enseigner les mathématiques au lycée général et...
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Enseigner les mathématiques au lycée général et technologique
Nouveaux programmes
Rentrée scolaire 2019
Les matinées d’automne…
• J1 : 8h30 : Accueil par les IA-IPR de mathématiques
10h00 – 10h30 : Questions/Réponses – Pause
10h30 – 12h30 : Ateliers « des problèmes pour une mise en œuvre d’une différenciation pédagogique »
• J2 : Deux ateliers : Algorithmique / Automatismes
08h30 – 10h20 : Atelier 1
10h20 – 10h40 : Pause
10h40 – 12h30 : Atelier 2
Les après-midis d’automne…
• J1 : 14h00 : Accueil par les IA-IPR de mathématiques
15h30 – 16h00 : Questions/Réponses – Pause
16h00 – 18h00 : Ateliers « des problèmes pour une mise en œuvre d’une différenciation pédagogique »
• J2 : Deux ateliers : Algorithmique / Automatismes
14h00 – 15h50 : Atelier 1
15h50 – 16h10 : Pause
16h10 – 18h00 : Atelier 2
Accueil par les IA-IPR
I. Intentions majeures des programmes
II. En seconde : dans la continuité du collège
III. Le nouveau cycle terminal : un nouveau baccalauréat
IV. Le nouveau cycle terminal : de nouveaux programmes
I Les intentions majeuresQuelques lignes directrices pour l’enseignement
• Compétences mathématiques
• Diversité de l’activité de l’élève
• Résolution de problèmes et automatismes
• Utilisation de logiciels / activités algorithmiques et numériques
• Évaluation des élèves
• Place de l’oral
• Trace écrite
• Travail personnel des élèvesLes intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Les compétences mathématiques• Les six compétences mathématiques au lycée (nov. 2013) :
Chercher
Modéliser
Représenter
Calculer
Raisonner
Communiquer
• Point d’entrée des programmes du cycle 2 à l’enseignement supérieur
• Cadre privilégié : la résolution de problèmes
• Articulation indispensable avec automatismes et méthodesLes intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Diversité de l’activité de l’élève
• Sur les types de tâches (voir doc-ress C4)
• Sur les contextes :
• interne aux mathématiques
• interdisciplinarité et articulation avec les mathématiques
• mathématiques et vie quotidienne
Mathématiques vivantes : actualité, métiers
Histoire des mathématiques, discipline en constante évolution
Les intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Diversité de l’activité de l’élèveUn mot sur l’histoire des mathématiques
Transversalité.
Les sections « Histoire des mathématiques » ont pour but d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordres :
• historique : comprendre que les notions étudiées sont le fruit d’une aventure humaine, d’un long processus non linéaire
• épistémologique : comprendre comment s’est progressivement constitué le savoir mathématique.
Les intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Résolution de problèmes et automatismes
• Adapter une méthode connue à la situation étudiée.
• Développer les capacités à :
prendre des initiatives
imaginer des pistes
s’engager sans s’égarer
• Les automatismes tels que le calcul mental, libèrent la mémoire et permettent ainsi de centrer la réflexion sur l’élaboration d’une démarche.
Nécessité de disposer de rituels (courts et réguliers) :
consolidation de connaissances
appropriation de procédures
mobilisations directes de stratégies
Les intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Usages du numériqueActivités algorithmiques et numériquesDéveloppement d’un mode de pensée numérique :
• utiliser des outils numériques au service de l’activité mathématique (calculatrices, logiciels de géométrie, langages de programmation...)
• composante informatique intégrée à l’enseignement des mathématiques : algorithmique, programmation en Python et pratique du tableur
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Évaluation des élèves
En classe, alternance de :
• Interrogations écrites courtes et fréquentes (hebdomadaires) centrée sur les connaissances et les savoir-faire (méthodes et procédures).
• Contrôles-bilans mensuels contenant au moins une situation avec prise d’initiative, centrée sur l’évaluation des six compétences.
Productions en dehors du temps de la classe…
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Place de l’oral
Au quotidien des enseignements :
• enjeu de la verbalisation : elle joue un rôle majeur dans la compréhension même des objets
• Pratique de l’argumentation et débats
• Exemples de situations : reformulation d’un énoncé ou d’une démarche, échanges interactifs, mises en commun après temps de recherche, travaux de groupes, exposés, etc.
• Les pratiques déjà connues : DNL, TPE, etc.
Au quotidien des évaluations… Les intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Trace écrite
• Triptyque « Manipuler, verbaliser, abstraire »
• Trace claire, explicite et structurée – Elément de référence.
• Institutionnalisation : récapituler de façon organisée les connaissances, les procédures et les stratégies étudiées
• Statut des énoncés
Rapport « Villani-Torossian », préambule des programmes de cycles 2, 3, 4
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Travail personnel de l’élève
• Rappel et principe clé : la classe est le lieu privilégié pour la mise en activité des élèves
• Travaux hors la classe indispensables pour consolider les apprentissages : courts, divers et fréquents
• Individuel ou en groupe
• Travaux évalués à l’écrit et à l’oral, individuellement ou collectivement
Enseignement explicite qui doit conduire l’élève comprendre la nature et le sens du travail personnel qui lui est demandé.
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II En seconde : dans la continuité du collège
Programmes en vigueur : ajustement des programmes de cycle 4Arrêté du 17-07-18 publié au BO n°30 du 26 juillet 2019Notions de ratio, identité remarquable, inéquations
Points d’appui pour la poursuite au lycée :• Programmation et algorithmique• Résolution de problèmes• Probabilités et statistiques (lien entre les deux via l’approche fréquentiste)• Notion de fonction et de variable (algébrique et informatique)• Travail à poursuivre sur la construction des automatismes
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Les nouveautés Programme de seconde
• Approfondissement de la connaissance des différents types de nombres :
idécimalité de 1
3; irrationalité de 2.
• Calcul littéral : règles de calcul sur les puissances entières relatives et les racines carrées (avec démonstrations).
• Inégalités, inéquations.
• Identités remarquables à connaître « dans les deux sens » (sic !).
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Les nouveautés : programme de seconde
• Fonctions de référence : racine carrée, cube, en plus des fonctions carré et inverse (répertoire d’images mentales)
Suppression de l’étude des fonctions polynômes de degré 2
• Information chiffrée : proportions, pourcentages, évolutions
• Statistique descriptive : indicateurs de tendance centrale et de dispersion (écart interquartile, écart type)
• Pour des données réelles ou issues d’une simulation, lire et comprendre une fonction écrite en Python qui renvoie la moyenne m, l’écart type s et la proportion d ’éléments appartenant à [m-2s, m+2s]
• Probabilités
Distinguer modèle et réalité, dénombrements à l’aide de tableaux et d’arbres.Les intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Echantillonnage
• Observer la loi des grands nombres à l’aide de simulations sur tableur ou avec Python
• Simuler N échantillons de taille n d’une variable de Bernoulli de paramètre p. Si f est la fréquence observée sur un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre f et p est inférieur ou
égal à 1
𝑛.
• Suppression de l’intervalle de fluctuation et de la prise de décision
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NOUVEAUTÉS en géométrie
• Vecteurs : vecteur associé à la translation qui transforme M en M’; direction, sens et norme. Egalité.
Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée. Critère de colinéarité
• Projeté orthogonal d’un point sur une droite
• Attendus différents sur les droites du plan, en lien avec la colinéarité des vecteurs et le déterminant.
• Suppressions :
o enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
o Géométrie dans l’espace (solides, droites et plans) : à mobiliser et à entretenir !
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Algorithmique et programmationPeu de nouveautésSéquences d’instructions, notions de variable informatique et de fonction
En revanche, une liste d’exemples d’algorithmes en lien avec les thèmes du programme
• Déterminer par balayage un encadrement de 2 d’amplitude inférieure ou égale à10−𝑛
• Déterminer si un entier naturel est premier• Déterminer la première puissance d’un nombre positif donné supérieure ou inférieure à
une valeur donnée• Pour une fonction dont le tableau de variations est donné, algorithmes d’approximation
numérique d’un extremum (balayage, dichotomie) • Algorithme de calcul approché de la longueur d’une portion de la courbe représentative
d’une fonction• Algorithmes de simulation Les intentions majeures
En seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
Cycle terminal Nouveau baccalauréat
Bac
cala
uré
at t
ech
no
logi
qu
e
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« Poids » des mathématiques au baccalauréat Général
• Si spécialité en première et en terminale• Épreuve terminale : 16%• Oral : variable jusqu’à 10%, valeur typique 5%• Évaluation au cours du cycle terminal : 1% ou 2% (arrondi) selon choix de
« mathématiques expertes »• Rappel bac S : 18% ou 24% selon spé
• Si spécialité seulement en première• Épreuve commune de contrôle continu : 5%• Évaluation au cours du cycle terminal : 1% ou 2% (arrondi) selon choix de
« mathématiques complémentaires• Rappel bac ES : 13% ou 18% selon spé
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Bac
cala
uré
at t
ech
no
logi
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IV Le cycle terminal : de nouveaux programmes
Éléments de contenus (première)• Suites (point de vue algébrique)
Valeurs de 1 + 2 +⋯𝑛 et
1 + 𝑞 + 𝑞2+ … 𝑞𝑛 (avec démonstrations)
• Second degré : réparti entre « Algèbre », « Analyse », « Géométrie », et mentionné aussi en « Probabilités et statistique » dans le calcul de la variance en probabilité et en statistique
Racines, signe, somme et produit des racines.
Résolution de l’équation du second degré
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Analyse• Dérivation : classique (points de vue local et global)
• Exponentielle : nouveauté au niveau de la première, inspirée de l’actuelle terminale S.
• Fonctions trigonométriques : aspect graphique privilégié :
Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique, cosinus et sinus d’un nombre réel, fonctions cosinus et sinus
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Géométrie • Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule
avec le cosinus.
Bilinéarité, symétrie, expression dans une BON
Développement de | 𝑢 + Ԧ𝑣 |2, Al Kashi
Transformation de 𝑀𝐴.𝑀𝐵
• Géométrie repérée
Vecteur normal à une droite.
Equation de cercle
Parabole (axe de symétrie, sommet) Les intentions majeuresEn seconde : continuité collègeCycle terminal : nouveau BaccalauréatCycle terminal : nouveaux programmes
ProbabilitésProbabilités conditionnelles, en liaison avec les arbres pondérés.
Indépendance d’événements et d’épreuves.
Variables aléatoires : loi, espérance, variance, écart type.
Suppression de la loi binomiale, de l’intervalle de fluctuation et de la prise de décision.
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Echantillonnage
Simuler, avec Python ou un tableur,
N échantillons de taille n d’une variable aléatoire d’espérance 𝜇 et d′écart type 𝜎.
Si m désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des échantillons où
l’écart entre 𝑚 et 𝜇 est inférieur ou égal à 2𝜎
𝑛
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Algorithmique et programmation
Listes :
oGénération, en extension et en compréhension
oManipulations sur les listes (ajout, suppression) et leurs indices, itération sur les éléments d’une liste
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Vocabulaire ensembliste et logique
En complément du programme de seconde
• Formuler la négation de propositions quantifiées
• Employer les expressions, «condition nécessaire », « condition suffisante »
• Identifier le statut des égalités (identité, équation) et des lettres utilisées (variable, inconnue, paramètre)
• Raisonner par disjonction de cas, par l’absurde, par contraposée
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Voie technologique
Place spécifique des automatismes
Croisement de deux variables catégorielles (importance du tableur)
STI2D et Physique-Chimie et Mathématiques : partie mesure et incertitudes en lien avec les statistiques et la fluctuation d’échantillonnage.
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Les Epreuves Communes de Contrôle Continu (E3C)
• Calendrier académique en cours de finition
• Les sujets « zéro »
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Mathématiques complémentaires
Enseignement destiné en priorité aux élèves qui ont besoin de disposer d'outils mathématiques pour la poursuite de leurs études : formations économiques, médecine, etc.
Sauf cas exceptionnels, cet enseignement suppose toutefois d'avoir suivi sur toute l'année de la classe de première l'enseignement de spécialité de mathématiques.
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