ensino fundamental

Material Objetivo

Ensino Fundamental

Aplicações do Teorema de PitágorasÁreas e perímetros de figuras geométricas planas e expressões algéb. 1Áreas e perímetros de figuras geométricas planas e expressões algéb. 2Conceitos básicos de geometriaConjuntosConstrução, leitura e interpretação de tabelasCritérios de divisibilidade (I)Critérios de divisibilidade (II)Critérios de divisibilidade (III)Decomposição de um número natural em fatores primosDescobrindo direções e sentidos...Desenho geométrico - CircunferênciasDesenho geométrico – construção de ângulos múltiplos de 15° (I)Desenho geométrico – construção de ângulos múltiplos de 15° (II)Desenho geométrico – construção de ângulos múltiplos de 15° (III)Desenho Geométrico – construção de quadriláteros (I)Desenho Geométrico – construção de quadriláteros (III)Desenho Geométrico – Construção de TriângulosDesenho Geométrico – divisão de segmento de reta em partes proporc.Desenho geométrico – mediatrizDesenho Geométrico - medidas de ângulosDesenho geométrico – obtenção dos números irracionaisDesenho Geométrico - quadriláteros – construção e classificaçãoDesenho geométrico – retas coplanaresDesenho geométrico – retas coplanaresDesenho Geométrico – terceira e quarta proporcional e média geométricaDesenho Geométrico - transporte de ângulos e segmentos de retaDesenho Geométrico - triângulos – construção e classificaçãoDesenho Geométrico: bissetrizDesenho Geométrico: construção de planificações de prismas e pirâmidesDesenho Geométrico: construção de quadriláteros (II)Divisores de um número natural

Ensino Médio

A Esfera e suas PartesAbaixamento da ordemAdição e subtração de arcosAdição e Subtração de Arcos – Arco DuploAlinhamento de 3 Pontos - Área de um TriânguloAnálise combinatória – Princípio da Contagem e ArranjosÂngulosÂngulos na circunferênciaÂngulos na Circunferência e Potência de PontoÂngulos, Paralelismo e PerpendicularismoArco duploArcos notáveisÁrea das figuras circularesÁrea das figuras circulares

Área das Figuras PlanasÁrea de figuras semelhantesÁrea do triângulo e condição de alinhamentoÁrea dos polígonosÁrea dos quadriláterosÁrea dos triângulosArranjos completos e combinações completasAumento e descontoBinômio de NewtonCaracterística de uma matrizCaracterística, Teorema de Rouché-Capelli e Sistemas HomogêneosCiclo trigonométrico – determinaçõesCilindroCilindros e ConesCircunferência e ElipseCoeficiente angular e equação reduzidaCombinaçõesCombinações simplesComo reconhecer uma funçãoConeCongruência de triângulosConjuntos numéricosConjuntos Numéricos (Aritmética)

Aplicações do Teorema de Pitágoras1. Introdução

Qual é a medida real do desenho de cada uma das diagonais da planta abaixo?

Qual é a medida da área total da planta no desenho (cm2) e real (m2)?

2. Aplicações do Teorema de Pitágoras

Observe a planta abaixo.

Quais as medidas do desenho e as medidas reais das diagonais da sala e do banheiro, da largura da cozinha e do comprimento do quarto?

Qual é a medida da área total da planta no desenho (cm2) e real (m2)?Desconsiderando a largura das paredes, para determinar a diagonal da sala (z), precisamos do comprimento e da largura da sala. Observe que o comprimento da sala é a largura do quarto e a largura do banheiro é igual à da cozinha.

Separando a sala, o quarto, a cozinha e o banheiro, temos:

O quarto é representado por um quadrado cuja diagonal mede 3 . Observe que a medida da diagonal do quadrado é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos x. A sala, a cozinha e o banheiro representam retângulos cujas diagonais são hipotenusas de triângulos retângulos escalenos.

Determinando a largura (y) da cozinha, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

y = 2

A medida da largura (y) da cozinha é a mesma do banheiro. Assim, podemos determinar a medida da diagonal do banheiro pelo Teorema de Pitágoras:

ou

ou

Não se esqueça de que, ao efetuar cálculos com números decimais que não sejam quadrados perfeitos, devemos escrevê-los na forma de fração.

Determinando o comprimento ou largura (x) do quarto, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

x = 3

Para determinar a medida da diagonal da sala (z), precisamos das medidas x e w. Temos que w + x = 3 + 2,5; como x = 3, temos w + 3 = 3 + 2,5; logo: w = 2,5.

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

Construindo uma tabela com as dimensões e áreas do desenho e outra com as dimensões reais do quarto, da sala, da cozinha e do banheiro, temos:

dimensões do desenho (cm) área (cm2)

quarto 3cm x 3cm 9cm2

sala 3cm x 2,5cm 7,5cm2

cozinha 2cm x 3cm 6cm2

banheiro 2,5cm x 2cm 5cm2

Observe que a escala é 1:100, ou seja, cada 1cm corresponde a 100cm = 1m.

dimensões do desenho (m) área (m2)

quarto 3m x 3m 9m2

sala 3m x 2,5m 7,5m2

cozinha 2m x 3m 6m2

banheiro 2,5m x 2m 5m2

Assim, a área total da planta, tanto no desenho quanto nas medidas reais, é igual à soma das áreas, ou seja:

desenho (cm2) real (m2)

área total 27,5 cm2 27,5m2

Podemos representar a área total pela expressão algébrica (x + y) . (w + x); para x = 3, y = 2 e w = 2,5. Temos : (3 + 2) . (2,5 + 3) = 5 . 5,5 = 27,5.

A medida da diagonal do quarto no desenho, em cm, é . A escala é 1:100; assim, a medida real da diagonal do quarto, em cm, é ; da

sala ; da cozinha, e do banheiro .

Escrevendo o número fora do radical como uma raiz exata e efetuando as operações entre os radicais para obter no radical um único radicando, temos:

Construindo uma tabela com as medidas das diagonais no desenho (cm) e as reais (cm), temos:

Medidas das Diagonais

desenho (cm) real (cm) real (m)

quarto

sala

cozinha

banheiro

Áreas e perímetros de figuras geométricas planas e expressões algéb. 1

1. Introdução

Qual é a expressão algébrica que representa a área total de cada figura?

2.Áreas e perímetros de figuras geométricas plantas e expressões algébricas

Monômio[mono + nomo, com haplologia]: quantidade algébrica em que não há interposição de sinal + ou –.

Binômio[latim med-binomius]: expressão algébrica composta de dois termos.

Trinômio[tri + nomo + io]: expressão algébrica que tem três termos.

Polinômio[poli + nomo + io]: expressão algébrica composta por vários termos, separados pelos sinais + ou –.

Perímetro[do grego perímetros]: medida do contorno de uma figura geométrica plana.

Área[do latim area]: superfície plana limitada.

Lado[do latim vulgar latus]: qualquer um dos segmentos de reta de um polígono.

Semiperímetro[semi + perímetros]: metade de um perímetro.

Vértice[do latim vertice]: ponto de encontro dos lados de um polígono.

Altura[do latim altus]: distância perpendicular de baixo para cima.

Observe os triângulos e quadriláteros na figura:

No 6º ano, você viu que a superfície de um quadrado de 1cm x 1cm é denominada de centímetro quadrado, cujo símbolo é cm2. Assim, o "centímetro quadrado" é uma unidade de medida de superfície, ou seja , é a superficie ou a área de um quadrado de 1cm de lado.Área e perímetro do quadrado e do retângulo

Observe o quadrado ABCD e o retângulo EFGH.

O quadrado ABCD é constituído de nove quadradinhos de 1cm de lado. Temos que a área do quadrado de lado 3cm é igual a 9cm2.

O retângulo EFGH é constituído de 15 quadradinhos de 1cm de lado. Temos que a área do retângulo EFGH é igual a 15cm2.

Como calculamos a área de um quadrado sabendo a medida do lado? E de um retângulo?

Observe que, para o quadrado, determinamos a área elevando-se ao quadrado a medida do lado; para o retângulo, determinamos a área por meio do produto de dois de seus lados consecutivos.

Assim, para o quadrado:AQ = 3cm . 3cm = 32cm2 = 9cm2

para o retânguloAR = 5cm . 3cm = 5 . 3cm2 = 15cm2

Qual é o perímetro do quadrado ABCD? E do retângulo EFGH?

O quadrado ABCD tem perímetro igual a 12cm e o retângulo EFGH, 16cm.

Perímetro de um polígono é a soma dos lados desse polígono.

Indicamos perímetro de um polígono por 2p e o semi-perímetro por p.

Assim, para o quadrado, 2p = 3cm + 3cm + 3cm + 3cm = 4 . 3cm = 12cm e para o retângulo, 2p = 5cm + 3cm + 5cm + 3cm = 2 . 5cm + 2 . 3cm = 2 . (5cm + 3cm) = 2 . 8cm = 16cm

Observe que determinamos o perímetro de um quadrado efetuando o produto do lado por quatro e de um retângulo efetuando o dobro da soma de dois de seus lados consecutivos.

Área do paralelogramo e do triângulo

Observe o paralelogramo IJKL e o triângulo MNO hachurado.

O paralelogramo IJKL é constituído de oito quadradinhos de lado 1cm. Temos que a área total do paralelogramo IJKL é igual a 8cm2.

O triângulo MNO é constituído de quatro quadradinhos de lado 1cm. Temos que a área total do triângulo MNO é igual a 4cm2.

Os segmentos NO e MH são chamados de base e altura do triângulo, respectivamente.Como calculamos a área de um paralelogramo? E de um triângulo?

Observe as figuras:

O paralelogramo pode-se transformar num retângulo de mesma base e mesma altura. Então, para determinar a área, efetuamos o produto da base pela altura.

O triângulo equivale à metade da superfície de um paralelogramo, ou à metade da superfície de um retângulo. Se a área de um paralelogramo ou retângulo é o produto da base pela altura, a área do triângulo será o produto da base pela altura dividido por dois.

Assim, para o paralelogramo IJKL A = 4cm . 2cm = 8cm2

para o triângulo MNO

Área do losango

Observe o losango QRST.

O losango é constituído de quatro quadradinhos de lado 1cm. Temos que a área do losango QRST é igual a 4cm2.

Como calculamos a área de um losango, sabendo a medida de suas diagonais?

Observe as figuras:

O losango QRST pode-se transformar num retângulo cuja base é a medida da diagonal maior e cuja altura é metade da medida da diagonal menor, ou cuja base é metade da medida da diagonal maior e cuja altura é igual à medida da diagonal menor. A área do losango será o produto das diagonais dividido por dois.

Assim, para o losango QRST:

Área do trapézio

Observe os trapézios:

O trapézio ABCH é constituído de seis quadradinhos de lado 1cm e o trapézio CDEF, de doze quadradinhos com lado de 1cm.

Os segmentos AB e HC são chamados de base menor e base maior, respectivamente, e o segmento AH, de altura do trapézio ABCH.

A área do trapézio ABCH é igual a 6cm2 e a área do trapézio CDEF é igual a 12cm2.

Como calculamos a área de um trapézio?

Podemos calcular a área de um trapézio por meio do produto da altura pela semissoma de suas bases paralelas ou pela soma das áreas dos triângulos de bases paralelas.

Assim, para o trapézio ABHC

e para o trapézio CDEF

O trapézio pode ser decomposto em dois triângulos de mesma altura e de bases diferentes. A área de um triângulo equivale à metade da superfície de um paralelogramo.

Observe os paralelogramos:

Em relação à soma das áreas dos triângulos:

para o trapézio ABCH:

para o trapézio CDEF

Expressões algébricas de áreas de figuras geométricas planas

Observe as figuras:

Qual é a expressão algébrica ou termo algébrico que relaciona a área de cada figura?

Qual é a expressão algébrica que relaciona o perímetro de um quadrado? E de um retângulo?

A área de um quadrado de lado x é dada por:

AQUADRADO = x . x = x1 . x1 = x2

Para x = 3cm, temos A = 3 . 3 = 31 . 31 = 32 = 9cm2

A área de um retângulo de lado y e altura x é dada por:

ARETÂNGULO = x . y

O perímetro de um quadrado de lado x é dado por

2p = x + x + x + x = 1x + 1x + 1x + 1x = 4 . x

O perímetro de um retângulo de lados x e y é dado por

2p = x + y + x + y = 1x + 1y + 1x + 1y = 2.x + 2.y

A área do paralelogramo de base x e altura y é dada por:

APARALELOGRAMO = x . y

A área do triângulo de base x e altura y é dada por

ATRIÂNGULO =

A área do trapézio de bases paralelas x e z e altura y é dada por:

ATRAPÉZIO =

A área do losango de diagonal maior x e menor y é dada por:

ATRAPÉZIO = +

As expressões e 2x + 2y que representam, respectivamente, a área do trapézio e o perímetro do retângulo são chamadas de expressões algébricas. As

expressões x2, xy, 4x e também são expressões algébricas, chamadas de termos algébricos ou monômios.

Na expressão algébrica que representa a área do trapézio

,temos que

são termos algébricos, ou seja, na expressão algébrica possui dois termos algébricos.Termos algébricos indicam um produto de fatores.

Expressões algébricas que possuem apenas um número, ou apenas uma variável, ou produto entre números e variáveis são termos algébricos chamados de monômios.

Áreas e perímetros de figuras geométricas planas e expressões algéb.

21. Introdução

Qual é a expressão algébrica que representa a área total de cada figura hachurada?

2. Áreas e perímetros de figuras geométricas planas e expressões algébricas

Adição e subtração de monômios

Observe as figuras:

Você já viu que, para determinar a área de um retângulo, efetuamos o produto das medidas da base pela altura; de um quadrado, a medida do lado ao quadrado e de um triângulo, a metade do produto das medidas da base pela altura.

Temos as áreas das figuras:

Observe que:

As expressões algébricas que representam a área de cada figura são monômios. Um monômio geralmente é formado por um número chamado de coeficiente numérico e uma multiplicação de variáveis, chamada de parte literal.

Assim, para as áreas F1, F2, F3, F4 e F5, temos:

Figuras

expressão algébrica

que representa a área

coeficiente

numérico

parte

literal

F1 1 . x 1 x

Figuras

expressão algébrica

que representa a área

coeficiente

numérico

parte

literal

F2 2 . x 2 x

F3 1 . x 1 x

F4 x2 1 x2

F5 x2

Nos monômios, não existem adições e subtrações.

Dizemos que os monômios 2 . x e 1x são semelhantes, os monômios 2 . x e x2 não

são semelhantes, os monômios são semelhantes.

O que são monômios semelhantes?Monômios semelhantes são todos os monômiosque possuem a mesma parte literal.

Qual é a expressão algébrica que representa a área total de cada figura?

Na 1ª figura, a área total é uma adição de monômios semelhantes.

AT = 2x + 1x = (2 + 1) . x = 3x

Na 2ª figura, a área total é uma adição de monômios não-semelhantes.

Na 3ª figura, a área total é uma adição de monômios semelhantes.

Observe as figuras:

Os quadrados Q1, Q2, Q3 e Q4 possuem lados x, y, z e 1, respectivamente.

Qual é a expressão algébrica que representa a área de Q1 + . Q1 + 7 . Q4?

Substituindo a expressão algébrica que representa a área de Q1 e Q4 temos:

Qual é a expressão algébrica que representa a área total de

Temos que adicionar um quadrado de lado x com dois quadrados de lado 1 com dois retângulos de base x e altura 1.

Assim: AT = x2 + 1x + 1x + 1 + 1 = x2 + 2x + 2A expressão x2 + 2x + 2 é um quadrado perfeito? E x2 + 2x + 1?

Observe as figuras:

Qual é a expressão algébrica que representa a área total de

? E de

Conceitos básicos de geometria1. Introdução

Por que um banquinho de três pés nunca balança, enquanto um de quatro pés, às vezes, balança?

2. Entes geométricos primitivos: ponto, reta e plano

Ente [do latim ente]: aquele que só existe na imaginação.

Geometria [do grego geometría, "agrimensura", pelo latim geometria]: medida da Terra.

Ge(o) [do grego gê, ês]: elemento de composição = Terra: geocentrismo, geoide.

Ponto [do latim punctu]: configuração geométrica sem dimensão, caracterizada por sua posição.

Reta [do substantivado do adjetivo reto]: linha que segue sempre a mesma direção.

Reto [do latim rectu]: que segue sempre a mesma direção.

Plano [do latim planu]: liso, sem desigualdades.

Observe os dados abaixo:

Imagine que cada marca foi feita pela ponta bem fina de um lápis. Cada uma dessas marcas dá ideia de ponto e denotamos com letra maiúscula do alfabeto latino.

Por exemplo:

Podemos ainda considerar que cada canto da face de um dado dá ideia de um ponto.

Considerando a mesma face, temos os pontos F, G, H e I.

Não podemos estabelecer a dimensão de um ponto; um ponto não tem tamanho.

Consideremos agora um dado planificado:

Temos a ideia de uma linha, se ligarmos os pontos M e N ultrapassando a face.

Podemos denotá-la por ou ou podemos colocar uma letra minúscula do nosso alfabeto, como, por exemplo, m.

Temos a ideia de que a reta continua infinitamente nos dois sentidos. Não medimos a reta; o que medimos é uma parte da reta, que você irá ver mais tarde.

Vamos verificar a face de um dado com 4 pontos:

Obtemos, a cada dois pontos distintos, as retas:

O total das retas é 6.

A reta é uma linha infinita (não tem início nem fim) que não tem espessura.

Para a face de 5 pontos, observe quantas e quais retas distintas podemos obter passando no mínimo por dois pontos:

O total das retas é 6.

Observe que a reta que passa pelos pontos B e D é a mesma que passa pelos pontos C e B ou C e D, pois os pontos B, C e D estão alinhados. Podemos dizer que isso também vale para os pontos A, C e E.

Considerando os cantos da face:

podemos também obter as retas ou, utilizando letras minúsculas:

Cada face de um dado é uma superfície plana. Isso também vale para o dado planificado. Cada face do dado dá ideia de um plano.

Um ponto pode ou não pertencer à reta e a reta pode ou não estar contida no plano.

Denotamos plano com letra minúscula do alfabeto grego.

Por exemplo:

a (alfa) b (beta) g (gama)...

Temos a ideia do plano como uma superfície infinita em todas as direções, sem fronteiras e sem espessura.

Na figura ao lado está limitado, mas continua infinitamente.

Podemos representar o plano que contém a face 4 estendendo-o infinitamente, conforme figura abaixo:

Conjuntos1. Introdução

Uma pesquisa feita com 150 jovens sobre suas preferências por tipo de esporte revelou os seguintes resultados: 140 praticam futebol ou basquete, 100 praticam basquete e 110 praticam futebol. Quantos jovens praticam os dois esportes e quantos não praticam nenhum deles?

2. Subconjuntos de

conjunto [do latim conjunctu]

Você já viu os conjuntos:

e os símbolos:

∈ (pertence)

∉ (não pertence)

(contido)

(não contido)

(contém)

(não contém)

Observe o diagrama:

Sendo = {0, 1, 2, …}, temos que:

0 é um elemento de ; então, escrevemos 1 ∈ .

–1 não é um elemento de , escrevemos –1 ∉ .

Existe uma relação de pertinência entre elemento e conjunto. Se o elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto; caso contrário, que ele não pertence.

Você já viu o conjunto:

* = {1, 2, 3, …}

Observe que todo elemento de * é também elemento de . Dizemos, então, que * é um subconjunto ou parte de e indicamos * .

Em símbolos:

* ⇔ (∀x) (x ∈ * ⇒ x ∈ )

Porém, Ë * significa que não é subconjunto (parte) de B.

Portanto, Ë * se, e somente se, existe pelo menos um elemento de que não é elemento de *.

Em símbolos:

* ⇔ (∃x) (x ∈ e x ∉ *)

Existe uma relação de inclusão entre dois conjuntos com a definição de subconjunto.

Para relacionar elemento com conjunto, usamos ∈ e, para relacionar conjunto com conjunto, usamos .

Observe os conjuntos:

+ = {0, 1, 2, 3, …}

= {1, 2, 3, …}

= {0, 1, 2, 3, …}

* = {1, 2, 3, …}

Os subconjuntos e + são iguais, pois possuem os mesmos elementos: + e + .

Em símbolos: = Z+ ⇔ + e + .

Isso também vale para os conjuntos * e .

Os conjuntos + e são diferentes, pois 0 ∈ ; mas 0 ∉ .

Em símbolos: + ≠ ⇔ + .

Operações entre conjuntos

Observe os conjuntos:

= {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}

= {1, 2, 3, …}

_ = {0, –1, –2, –3, …}

+ = {0, 1, 2, 3, …}

A reunião (ou união) dos conjuntos + e _ indica-se por + U _, ao conjunto formado pelos elementos de + ou _.

Em símbolos: + U _ = {x | x ∈ + ou x ∈ _}

Em diagrama

+ U _

A intersecção dos conjuntos _ e + indica-se por _ +, ao conjunto formado pelos ele-mentos de _ e de +.

Em símbolos: _ + = {x | x ∈ + e x ∈ Z_}

Em diagrama:

+ _

A diferença entre _ e + indica-se por _ – +, ao conjunto formado pelos elementos que são de _e não são de +.

Em símbolos: _ – + = {x | x ∈ _ e x ∉ +}

_ – +

Sendo A = _ e B = +, o conjunto A – B é chamado de complementar de B em relação a A e indica-se AB. De modo análogo, B – A é chamado de complementar de A em relação a B e indica-se BA.

+ – –

Observe que + U _ =

_ + = {0} + – _ = {1, 2, 3, …} = *

_ – + = {–1, –2, –3, …} =

Você já viu que .

Em diagrama, temos:

Observe que:

U I = e = Ø = { }

– = e – =

A intersecção do conjunto dos racionais com os irracionais é um conjunto vazio, ou seja, não possui elemento algum: = Ø.

A intersecção do conjunto dos inteiros não negativos com os inteiros não positivos é um conjunto com um só elemento, ou seja, um conjunto unitário, cujo elemento é zero: _ + = {0}.

Podemos representar um conjunto de três modos diferentes.

Observe os conjuntos A, B e C:

Representamos o conjunto A por uma lista de elementos entre duas chaves, separados um a um por vírgula; representamos o conjunto B por uma propriedade comum a todos os elementos do conjunto e que os caracteriza; e o conjunto C, por meio de um diagrama, chamado de diagrama Venn-Euler, em que os elementos são escritos no interior de uma curva fechada.

Construção, leitura e interpretação de tabelas1. Introdução

Como calculamos o estoque de um supermercado.

Um dos supermercados da cidade de Rio das Quadras é o SUPER OBJUS. Observe sua localização.

2. Construção, leitura e interpretação de tabelas

Leia o texto com atenção:

O Sr. Joaquim é dono do SUPERMERCADO OBJUS. Quando ele pediu ao gerente para fazer o levantamento do estoque de mercadoria, recebeu o seguinte texto.

No estoque do SUPER OBJUS, temos:

Vinte caixas de leite condensado, cada uma contém dezoitos latas; trinta caixas de creme de leite, cada uma com vinte e quatro latas; trinta caixas de massa de tomate, cada uma com trinta e seis latas; cinquenta caixas de arroz, cada uma com vinte e quatro pacotes; cinquenta caixas de feijão, cada uma com catorze pacotes; setenta caixas de macarrão, cada uma com quarenta e oito pacotes.

Você acha que desta maneira fica interessante e prático para o Sr. Joaquim ter uma idéia geral doseu estoque?

Critérios de divisibilidade (I)1. Introdução

Qual é o maior número de 5 algarismos distintos que é divisível por 6 e 9 ao mesmo tempo? E o menor?

2. Critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são regras para se verificar se um número é divisível por outro, sem efetuar a divisão de um pelo outro. Vamos estudar alguns desses critérios:

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando é par, isto é, quando terminar em 0, ou 2, ou 4, ou 6 ou 8.

Assim: 208 é divisível por 2 porque termina em 8. 207 não é divisível por 2 porque termina em 7.


Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisivel por 3. Assim:

384 é divisível por 3, pois

3 + 8 + 4 = 15, e 15 é divisível por 3. ↓soma dos valores absolutos dosalgarismos do número 384

385 não é divisível por 3, pois


Divisibidade por 6

Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. Assim:

8322 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e é divisível por 3 (8 + 3 + 2 + 2 = 15, e 15 é divisível por 3).

6820 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 2 (é par), não é divisível por 3 (6 + 8 + 2 = 16, e 16 não é divisível por 3).


Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 9. Assim:

621 é divisível por 9, pois


8322 não é divisível por 9, pois

8 + 3 + 2 + 2 = 15, e 15 não é divisível por 9. ↓soma dos valores absolutos dosalgarismos do número 8322

Todo número natural divisível por 9 é divisível por 3, mas nem todo número natural divisível por 3 é divisível por 9.

98487 é divisível por 9, pois 9 + 8 + 4 + 8 + 7 = 36, e 36 é divisível por 9 e também por 3.

3486 é divisível por 3, pois 3 + 4 + 8 + 6 = 21, e 21 é divisível por 3 e não é por 9.

Critérios de divisibilidade (II)1. Introdução

Qual é o menor número de 5 algarismos distintos que é divisível por 8 e 10 ao mesmo tempo? E o maior?


Agora, vamos estudar os critérios de divisibilidade por 4, 5, 8 e 10.


Um número natural é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Assim:

3500 é divisível por 4, pois termina em 00.

5232 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4 (32:4) = 8.

750 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou em 5. Assim:




Um número natural é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Assim:


7936 é divisível por 8, pois 936 é divisível por 8.

10830 não é divisível por 8, pois não termina em 000 e 830 não é divisível por 8.


Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0. Assim:


9705 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Todo número natural divisível por 10 é divisível por 5, mas nem todo número natural divisível por 5 é divisível por 10. Assim:

9000 é divisível por 10 (termina em 0) e é divisível por 5 (termina em 0).

9005 é divisível por 5 (termina em 5) e não é divisível por 10.

Todo número natural divisível por 8 é divisível por 4, mas nem todo número natural divisível por 4 é divisível por 8.

Assim:

1832 é divisível por 8, pois 832 é divisível por 8 e é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.

1756 é divisível por 4, pois 56 é divisível por 4 e não é divisível por 8, pois 756 não é divisível por 8.

Critérios de divisibilidade (III)1. Introdução

Qual é o maior número de 5 algarismos distintos que é divisível por 7, 11 e 12 ao mesmo tempo? E o menor?


Agora, para finalizar, vamos estudar os critérios de divisibilidade por 7, 11 e 12.


Embora exista um critério de divisibilidade por 7, ele é pouco prático, principalmente quando os números são muito “grandes". Às vezes é preferível fazer a divisão por 7.

Veja como verificamos se um número natural é divisível por 7:

Descobriu qual é o critério?

Um número natural é divisível por 7 quando multiplicamos o 1º algarismo da esquerda do número por 3, ao resultado somamos o 2º algarismo e multiplicamos a soma por 3, ao resultado somamos o 3º algarismo e multiplicamos a soma por 3 e assim por diante até finalizarmos, quando somamos o último algarismo da direita e efetuamos a divisão da última soma por 7; caso o resultado dessa soma for divisível por 7, então o número é divisível por 7.

Para descobrir se 3584154 é divisível por 7, é mais fácil fazer a divisão por 7 do que verificar pelo critério de divisibilidade.

3584154 é divisível por 7?

Neste caso é mais fácil fazer a divisão por 7.


Um número natural é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar (ou par) e a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par (ou ímpar) for um número maior ou igual a zero e divisível por 11.

968676346 é divisível por 11, pois:

934 não é divisível por 11, pois:


Um número natural é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4, ao mesmo tempo.

Assim:

100080 é divisível por 12, pois é divisível por 3 (1 + 8 = 9, e 9 é divisível por 3) e é divisível por 4 (80 é divisível por 4).

500025 não é divisível por 12, pois, embora seja divisível por 3 (5 + 2 + 5 = 12, e 12 é divisível por 3), não é divisível por 4 (25 não é divisível por 4).

Decomposição de um número natural em fatores primos

1. Introdução

Qual é o número que, decomposto em fatores primos, é igual ao produto dos 7 primeiros números primos?

2. Decomposição de um número natural em fatores primos

composição [do latim compositione]: ação de compor.

decomposição [de + composição]: operação que consiste em decompor um número natural em fatores primos.

fator [do latim factor]: nome dado aos números, aos elementos de uma operação multiplicativa.

primo [do latim primu]: primeiro.

Você já viu que podemos escrever o número 80 como o produto de dois números naturais, das seguintes maneiras

Utilizaremos 2 x 40 e 5 x 16, pois cada um dos dois produtos possui um número primo. Vamos escrever o 40 e o 16 como o produto de dois números naturais, sendo um primo e outro composto. Escreveremos o número composto como o produto de dois números naturais, um primo e outro composto, e assim por diante, até escrevermos 80 como o produto de números primos, somente.

Observe:

80 = 24 . 5 ou 80 = 5 . 24

Assim, escrevemos 80 como o produto dos fatores primos: 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 . 5.E se um número for “muito grande"?

Para decompor um número “grande" ou “pequeno", usamos o seguinte método prático:

80 é par; dividimos 80 por 2




dividimos 5 por 5

Poderíamos ter iniciado a divisão pelo 5:

80 é divisível por 5





Assim, fizemos a decomposição do número 80 em fatores primos:

80 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 5 . 2 . 2 . 2 . 2

80 = 24 . 5 = 5 . 24

Geralmente começamos a dividir pelos números primos em ordem crescente, ou seja, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, e assim por diante.

Observe a decomposição dos números 100 e 1000 em fatores primos.

100 = 22 . 52 1000 = 23 . 53

Você saberia decompor o número 10000 em fatores primos sem usar o método prático?

Observe a quantidade de zeros e os expoentes do 2 e do 5.

Chegou a alguma conclusão?

ou

10000 = 10 . 10 . 10 . 10 = 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 = 24 . 54

Para decompor um número natural divisível por 100, 1000, 10000…, podemos usar a conclusão anterior.

Decompondo os números 800 e 12000 em fatores primos, temos:

Viu como é fácil?

Se você usar a regra prática, irá levar mais tempo fazendo muito mais divisões.

Desenho geométrico - Circunferências

1. Introdução

Traçando o contorno de uma moeda, como determinamos seu centro com régua e compasso?

O contorno das moedas possui elementos que dão a idéia de circunferências tangentes, externas, internas e secantes? Vocè é capaz de identificá-las?

Qual é a relação da distância entre o centro de duas circunferências com o raio de cada uma?

2. Traçando circunferências

Circunferência [do latim circumferentia]: contorno de um círculo.

Círculo [do latim circulus]: superfície plana e fechada, limitada por uma circunferência.

Corda [do latim chorda]: segmento determinado por dois pontos quaisquer da circunferência.

Raio [do latim radius]: segmento com uma extremidade no centro e outra na circunferência.

Diâmetro [do latim diametros]: corda que passa pelo centro da circunferência.

Secante [do latim secans, antis]: designativo da reta que intercepta uma curva em dois pontos distintos.

Tangente [do latim tangens, entis]: que tange ou tangencia.

Concêntrico [do latim con - + cêntrico, sob influxo do francêsconcentrique]: que tem o mesmo centro.

a) Traçando diâmetro, raio e corda de uma circunferência C

Trace uma circunferência de centro O e raio r, C(O,r) e um segmento que não passe pelo ponto O. Depois, trace a mediatriz de determinando, na circunferência, os pontos R e S e em PQ, o ponto M, os segmentos e , além dos segmentos e .

Os segmentos , , e são raios da circunferência C. Os segmentos , , e são cordas da circunferência C. O segmento é diâmetro da circunferência C.

Observe que med( ) + med( ) = med( ).

e são raios da circunferência C e é diâmetro. Sendo = r e = d, temos r + r = d:

A medida do diâmetro de uma circunferência é igual ao dobro da medida do raio.

O diâmetro é a maior corda de uma circunferência. Todo diâmetro é corda, mas nem toda corda é diâmetro.

b) Traçando as retas s , t e u à circunferência C1,secante, tangente e externa, respectivamente

Trace uma circunferência C1(O1, r1) e uma corda que passe ou não pelo centro O1. Trace, a seguir, uma reta s que contenha . Unindo os pontos O1 e T, determine . Por T, trace um ângulo reto de vértice T. Trace a reta t perpendicular a passando por T e uma reta u com todos os pontos exteriores a C1.

A reta s e a circunferência C1 têm dois pontos em comum; a reta t e a circunferência C1, um ponto comum e a reta u e a circunferência C1 não têm pontos comuns.

Estando uma reta e uma circunferência contidas em um mesmo plano, temos:

Uma reta é secante à circunferência quando intercepta a circunferência em dois pontos distintos.

Uma reta é tangente à circunferência quando intercepta a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência.

Em relação ao exemplo, sendo r1 o raio da circunferência C1 e d a distância da reta em relação à circunferência:

c) Determinando uma circunferência por três pontos não-colineares

Trace o segmento (corda da circunferência) e depois encontre o ponto M em traçando a mediatriz de .

Trace o segmento (corda da circunferência) e depois encontre o ponto N em traçando a mediatriz de .

Encontre o ponto O1, intersecção das mediatrizes de e . Com a ponta de metal em O1 e abertura até P, Q ou R, trace a circunferência C1.

d) Traçando duas circunferências C1 e C2, tangentes externas

Trace, com o compasso, uma circunferência C1(O1, r1) de raio r1, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1.

Marque um ponto P em C1 e trace a reta r que passa por P e O1. Com abertura igual à medida de r2 e ponta de metal em P, encontre o ponto O2 (exterior a C1) em r. Com a ponta de metal em O2, trace a circunferência C2.

As circunferências C1 e C2 são tangentes externas, têm um ponto (P) único em comum e os demais pontos de C2 são pontos externos a C1. A distância entre os centros O1 e O2 é igual à soma das medidas dos raios, ou seja, d = r1 + r2.

e) Traçando duas circunferências C1 e C2, tangentes internas

Trace com o compasso uma circunferência C1(O1,r1) de raio r1, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1.

Marque um ponto P em C1 e trace a reta r que passa por P e O1. Com abertura igual à medida de r2 e ponta de metal em P, encontre o ponto O2 (interior a C1) em r. Com a ponta de metal em O2, trace a circunferência C2.

As circunferências C1 e C2 são tangentes internas, têm um ponto (A) único em comum e os demais pontos de C2 são pontos internos de C1. A distância entre os centros O1 e O2 é igual à diferença entre as medidas dos raios das circunferências, ou seja, d = r1 - r2.

f)Traçando duas circunferências C1 e C2 secantes

Trace com o compasso uma circunferência C1(O1,r1), com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Trace uma reta que passe por O1 e, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à distância entre os centros O1 e O2, encontre o ponto O2 em r. Com a ponta de metal em O2 e abertura igual à medida de r2, trace C2.

As circunferências C1 e C2 são secantes, pois têm em comum somente os pontos A e B. A distância entre os pontos O1 e O2 é menor que a soma das medidas dos raios e maior que a diferença entre as medidas dos raios das circunferências, ou seja, r1 - r2 < a < r1 + r2.

g) Traçando duas circunferências C1 e C2 externas

Trace com o compasso uma circunferência C1(O1,r1) com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Trace uma reta r que passe por O1 e, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à distância entre os centros O1 e O2, encontre o ponto O2 em r. Com a ponta de metal em O2 e abertura igual à medida de r2, trace C2.

As circunferências C1 e C2 não têm pontos em comum. Os pontos de uma são externos à outra e a distância entre os centros O1 e O2 é maior que a soma das medidas dos raios, ou seja, d > r1 + r2.

h) Traçando duas circunferências C1 e C2 internas

Trace com o compasso uma circunferência C1(O1,r1) com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Trace uma reta r que passe por O1 e, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à distância entre os centros O1 e O2, encontre o ponto O2 em r. Com a ponta de metal em O2 e abertura igual à medida de r2, trace C2.

As circunferências C1 e C2 não têm pontos comuns. Os pontos de C1 são internos a C2 e a distância entre os centros O1 e O2 é menor que a diferença entre as medidas dos raios das circunferências, ou seja, d < r1- r2.

i) Traçando circunferências concêntricas

Trace com o compasso uma circunferência C1 (O1,r1), com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1.

Com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r2, trace com o compasso uma circunferência C2.

As circunferências C1 e C2 são intermas, não têm pontos em comum, possuem o mesmo centro e a distância entre os centros O1 e O2 é nula, ou seja, d = 0.

Seu traçado só será perfeito se você tiver em mãos todo o material de Desenho Geométrico.

Viu como é facil?

Desenho geométrico – construção de ângulos múltiplos de 15° (I)

1. Introdução

As fotos abaixo possuem elementos que formam ângulos de 180°, 90° e 45°. Você é capaz de identificá-los?

2. Construindo ângulos de 180°, 90° e 45°

Você aprendeu nas aulas 26 e 27 a construir a bissetriz de um ângulo de vértice conhecido e de vértice desconhecido.

Agora você vai aprender a construir ângulos de 180°, 90° e 45°.

Observando o logotipo do Colégio, você pode identificar alguns ângulos.

Você conseguiu identificar ângulos de 180°, 90° e 45°?Qual é a medida de cada um?

Observe as figuras do tangran e do mosaico.

Você conseguiu identificar ângulos de 180°, 90° e 45°?

Agora, tendo em mãos todo o material de Desenho Geométrico, veja como construímos ângulos de 180°, 90°e 45°.

Marque o ponto P e, com a ponta de metal em P, trace na reta suporte um arco de qualquer abertura e encontre os pontos A e B. Você acabou de construir um ângulo de 180°.

Abrindo o compasso com a ponta de metal em A e B, com medida maior que a anterior, trace dois arcos e encontre o ponto C.

Com a régua trace a semirreta de origem no ponto P passando pelo ponto C. Você acabou de construir um ângulo de 90°.

Marque o ponto D e, abrindo o compasso com medida maior que PB, com a ponta de metal em B, trace um arco e depois, com a ponta em D, trace outro arco com a mesma abertura encontrando o ponto E.

Com a régua trace a semirreta de origem no ponto P passando pelo ponto E, que determina os ângulos e

de medidas iguais a 45° cada um.

Posicionando o transferidor, coloque a linha de fé sobre o lado do ângulo, no vértice do ângulo e confira as medidas dos ângulos que você construiu.

Viu como é fácil?

Faça traços finos nas construções de Desenho Geométrico.

Seu traçado só será perfeito se tiver em mãos todo o material de Desenho Geométrico.

Desenho geométrico – construção de ângulos múltiplos de 15° (II)

1. Introdução

As fotos abaixo possuem elementos que formam ângulos de 60°, 30° e 15°. Você é capaz de identificá-los?

2. Construindo ângulos de 60°, 30° e 15°

Você aprendeu a construir ângulos de 180°, 90° e 45°.

Observe as fotos.

Você conseguiu identificar ângulos de 60°, 30° e 15°?

Agora você vai aprender a construir ângulos de 60°, 30° e 15°.

Tendo em mãos todo o material de Desenho Geométrico, veja como construímos ângulos de 60°, 30° e 15°.

Trace um arco de abertura qualquer com a ponta de metal no ponto P e determine o ponto A.

Com a mesma abertura e com a ponta de metal em A, trace um arco e determine o ponto B.

Com a régua trace a semi-reta com vértice em P, passando pelo ponto B. Você acabou de construir o ângulo de medida igual a 60°.

Com abertura qualquer e ponta de metal em A, trace um arco e depois com ponta em B outro arco com a mesma abertura, determinando o ponto C.

Com a régua trace a semirreta com vértice em P passando pelo ponto C, que determina os ângulos e de medidas iguais a 30°.

Com abertura qualquer e ponta de metal em A (ou B) trace um arco e depois com a ponta em D outro arco com a mesma abertura, determinando o ponto E.

Com a régua trace a semirreta com vértice em P, passando pelo ponto E, que determina os ângulos e de medidas iguais a 15° cada um.

Posicionando o transferidor com o centro no vértice P e a linha de fé sobre o lado do ângulo, confira as medidas dos ângulos que você construiu.

Viu como é fácil?

Faça traços finos nas contruções de Desenho Geométrico.


Desenho geométrico – construção de ângulos múltiplos de 15º (III)

1. Introdução

As fotos abaixo possuem elementos em que é possível formar ângulos de 75° e 105°. Você é capaz de identificá-los?

2. Construindo ângulos de 120° e 60°, 150 e 30°, 165° e 15°, 105° e 75°, 135° e 45°

Observe as fotos:

Você conseguiu identificar ângulos de 135° e 45°? E de 120° e 60°?

Você já viu como construir os ângulos de 60°, 30° e 15°.

Para construir o ângulo A B de medida igual a 60°, trace um arco de abertura qualquer com a ponta de metal no ponto P e determine o ponto A. Com a mesma abertura e com a ponta de metal em A, trace um arco e determine o ponto B. Com a régua trace a semi-reta com vértice em P, passando pelo ponto B.

Para construir os ângulos A C e B C de medidas iguais a 30° cada um, trace um arco com abertura qualquer e ponta de metal em A, trace um arco e depois com a ponta em B outro arco com a mesma abertura, determinando o ponto C. Com a régua trace a semi-reta com vértice em P, passando pelo ponto C.

Para construir os ângulos A E e C E de medidas iguais a 15° cada um, trace um arco com abertura qualquer e ponta de metal em A, e depois com a ponta em D outro arco com a mesma abertura, determinando o ponto E. Com a régua trace a semi-reta com vértice em P, passando pelo ponto E.

Você também já viu como construímos os ângulos de 180°, 90° e 45°.

Com a régua trace a semi-reta de origem no ponto P passando pelo ponto C. Para construir os ângulos A C e B C de medidas iguais a 90° cada um, marque o ponto P e, com a ponta de metal em P, trace na reta suporte um arco de qualquer abertura e encontre os pontos A e B. Abrindo o compasso com a ponta de metal em A e em B, com medida maior que a anterior, trace dois arcos e encontre e ponto C. Para construir os ângulos D E e B E de medidas iguais a 45° cada um, com a régua trace a semi-reta de origem no ponto P, passando pelo ponto C. Marque o ponto D e, abrindo o compasso com medida maior que PB, com a ponta de metal em B, trace um arco e depois, com a ponta em D, trace outro arco com a mesma abertura, encontrando o ponto E.

Com a régua trace a semi-reta de origem no ponto P, passando pelo ponto E.

Você aprendeu a construir ângulos de 180°, 90°, 45°, 30°, 60° e 15°.

Agora, você vai aprender a construir ângulos de 120°, 150°, 165°, 135, 75° e 105°.

Para construir o ângulo B Q de medida igual a 120°, construa o ângulo A B de medida igual a 60° e obtenha seu suplemento.

Para construir o ângulo Q C de medida igual a 150°, construa o ângulo A C de medida igual a 30° e obtenha seu suplemento.

Para construir o ângulo Q E de medida igual a 165°, construa o ângulo A E de medida igual a 15° e obtenha seu suplemento.

Para construir o ângulo A E de medida igual a 135°, construa o ângulo B E de medida igual a 45° e obtenha seu suplemento.

Agora, veja como construímos de duas maneiras os ângulos de 105° e 75°.

Para construir um ângulo de medida igual a 105°, construa o ângulo B E de medida igual a 45°. Com abertura de P até B e com a ponta de metal em E, determine o ponto F.

Com a régua trace a semi-reta com vértice em P, passando pelo ponto F. Você acabou de construir o ângulo B F de medida igual a 105° e o ângulo A F de medida igual a 75°.

Para construir um ângulo de medida igual a 75°, construa o ângulo A E de medida igual a 45°. Com abertura de P até B e com a ponta de metal em E, determine o ponto H.

Com a régua trace a semi-reta com vértice em P, passando pelo ponto H. Você acabou de construir o ângulo B H de medida igual a 75° e o ângulo A H de medida igual a 105°.

Viu como é fácil!

Desenho Geométrico – construção de quadriláteros (I)

1. Introdução

Observando as fotos, você identifica quadrados e retângulos. Como construímos um quadrado com régua e compasso? E um retângulo?

2. Construção de quadriláteros

quadrilátero [do latim quadrilateru]: polígono de quatro lados.

quadrado [do latim quadratu]: quadrilátero que tem os quatro lados iguais e quatro ângulos retos.

retângulo [do latim rectangulu]: quadrilátero que tem os quatro ângulos retos.

Na 5ª série a construção de quadrados e retângulos com régua e esquadro.

Agora você irá construir quadrados e retângulos com régua e compasso.

Você também já viu os elementos de um quadrado e de um retângulo.

Assim, no retângulo ABCD, temos:

vértices: A, B, C e D

lados:

lados opostos:

diagonais:

base:

altura:

No quadrado CDEF, temos:

vértices: C, D, E e F

lados:

lados opostos:

diagonais:

retângulo: quadrilátero que tem os quatro ângulos retos.

quadrado: quadrilátero que tem os quatro lados iguais e quatro ângulos retos.

Construindo um quadrado ABCD e um retângulo MNOP dadas a medida do lado do quadrado e as medidas dos lados do retângulo.

Construa um ângulo de 90° no vértice A e no vértice M e depois prolongue os lados do ângulo.

Com a ponta de metal em A e medida (lado do quadrado), encontre o ponto D, para a construção do quadrado. Com a ponta de metal em M e medida (lado menor do retângulo), encontre o ponto N, e com medida , encontre o ponto P para a construção do retângulo.

Agora com a ponta de metal em A e medida , encontre o ponto B; com a ponta de metal em D e mesma medida, trace um arco e com a ponta de metal em B e a mesma medida, encontre nesse arco o ponto C, para construir o quadrado.

Com a ponta de metal em N e medida , trace um arco e com a ponta de metal em P e medida , encontre nesse arco o ponto O para construir o retângulo.

Com a régua trace o lado de medida e depois o lado de medida , determinando o quadrado ABCD, e o lado de medida e depois o lado de medida , determinando o retângulo MNOP.

Desenho geométrico – construção de quadriláteros (III)

1. Introdução

Observando as fotos você identifica trapézios. Como construímos um trapézio com régua e compasso?


quadrilátero[do latim quadrilateru]: polígono de quatro lados.

trapézio[do grego trapézion, pelo latim tardio trapeziu]: quadrilátero que tem dois lados paralelos.

trapézio: quadrilátero que tem dois lados paralelos.

trapézio isósceles: o que tem os lados não paralelos iguais.

trapézio retângulo: o que tem um dos lados não paralelos perpendicular às bases.

trapézio escaleno: o que tem os lados não paralelos diferentes.

Você já viu na 5ª série a construção de trapézio com régua e esquadro.Agora você irá construir trapézio com régua e compasso.

Também vimos os elementos de um trapézio.

Observe a figura:

No trapézio isóceles BGHF, temos:

vértices: B, G, H e F

lados: BG, GH, HF e FB

lados opostos: BG e HF, GH e BF

diagonais: GF e BH

base maior: BF

base menor: GH

altura: SG

No trapézio retângulo GHQP, temos:

vétices: G, H, Q e P

lados: HG, GP, PQ e QH

lados opostos: GH e PQ, GP e HQ

diagonais: PH, GQ

base maior: GH

base menor: PQ

altura: HQ

Construindo um trapézio isósceles ABCD dadas as medidas da base maior, do ângulo da base maior e dos lados não-paralelos e um trapézio retângulo MNOP dadas as medidas da base maior, de um ângulo da base e de um lado não-paralelo.

Numa reta suporte, trace os segmentos AB e MN , bases maiores dos trapézios ABCD e MNOP, respectivamente.

Construa em N, B e A, um ângulo de 60°.

Construa em M, um ângulo de 90°.

Com a ponta de metal em N, B e A e abertura com as medidas dos lados não-paralelos, trace arcos que irão determinar com o prolongamento dos lados dos ângulos os lados não-paralelos.

Com a régua, prolongue os lados dos ângulos do trapézio isósceles, encontrando os pontos C e D, que determinam os lados BC e AD, respectivamente.

Com a régua, prolongue o lado do ângulo agudo do trapézio retângulo, encontrando o ponto O, que determina o lado NO.

Fixando a régua e deslizando o esquadro, trace o segmento OP (base menor), determinando o trapézio retângulo MNOP.

Com a régua trace o segmento CD (base menor), determinando o trapézio isósceles ABCD.

Desenho Geométrico – Construção de Triângulos1. Introdução

Observando as bandeiras dos estados do Acre, Minas Gerais, Rondônia e as fotos, você identificatriângulos equiláteros, isósceles e escalenos? Como construímos um triângulo com régua ecompasso?

2. Construção de triângulos

triângulo [do latim triangulu]: que tem três ângulos. equilátero [do latim aequilateru]: que tem todos os lados iguais.

isósceles [do grego isoskelés, pelo latim isoscele]: que tem dois lados iguais.

escaleno [do grego skalenós, pelo latim scalenu]: que tem todos os lados diferentes.

acutângulo [de acut(i)- + ângulo]: que tem ângulos agudos.

obtusângulo: que tem um ângulo obtuso.

polígono [do grego polygonon]: figura plana formada por uma linha poligonal fechada.

vértice [do latim vertice]: ponto de encontro dos lados de um polígono.

lado [do latim vulgar latu]: qualquer um dos segmentos de reta de um polígono.

altura [de alto + -ura]: distância perpendicular de baixo para cima.

Construindo triângulos equiláteros, isósceles e escalenos, dada a medida dos três lados:

Marque na reta suporte o ponto A e, com medida AB, encontre com o compasso o ponto B na reta r. Com a mesma abertura e ponta de metal em A e depois em B, trace dois arcos e encontre o ponto C.

Com a régua, trace os segmentos AC e BC, determinando um triângulo equilátero.

Marque, na reta suporte r, o ponto A e, com medida do lado diferente (AB), encontre com o compasso o ponto B na reta r. Com a medida BC e ponta de metal em A e depois em B, trace dois arcos e encontre o ponto C. Com a régua, trace os segmentos AC e BC, determinando um triângulo isósceles.

Repetindo o mesmo processo, com medida AB, encontre com o compasso o ponto B; com medida BC e ponta de metal em B, trace um arco e com medida AC e ponta de metal em A, trace outro arco e encontre o pontoC. Com a régua, trace os segmentos AC e BC, determinando um triângulo escaleno.

Repetindo o mesmo processo, determine outro triângulo escaleno. Observe que esses dois triângulos possuem os três lados de medidas diferentes e um ângulo reto, enquanto que os anteriores também possuem os três lados de medidas diferentes e um ângulo obtuso.

Construindo um triângulo, dados dois lados e o ângulo (30°) compreendido entre eles.

Marque numa reta suporte o ponto A e, com medida AB, encontre com o compasso o ponto B na reta-suporte.

Trace um arco de abertura qualquer com a ponta de metal no ponto B e encontre o ponto C.

Com a mesma abertura e com a ponta de metal em C, encontre o ponto D.

Com abertura qualquer e ponta de metal em C e depois com a ponta em D, outro arco com a mesma abertura, encontrando o ponto E.

Trace com a régua uma linha que passe pelos pontos B e E e, depois, com a ponta de metal em B e com medida BF, encontre o ponto F.

Com a régua, trace o segmento AF, determinando o triângulo ABF, escaleno e retângulo.

Construindo um triângulo, dados dois ângulos (60° e 45°) e o lado entre eles.

Marque na, reta suporte r, o ponto A e, com a ponta de metal em A e abertura qualquer, encontre o pontoB; depois, com a mesma abertura e ponta de metal em B, encontre o ponto C.

Com a régua, trace a semirreta com vértice em A passando por C.

Com a ponta de metal em A e medida AD, encontre o ponto D.

Construa em D um ângulo de 90° e depois trace a sua bissetriz, encontrando o ponto E.

Com a régua, trace a linha que passa por D e E, encontrando na linha que passa por A e C o ponto F e determine o triângulo ADF, escaleno e acutângulo.

Construindo um triângulo, dados um lado, um ângulo (30°) e o lado oposto a esse ângulo.

Marque numa reta-suporte e ponto A e, com medida AB, encontre com o compasso o ponto B na reta- suporte.

Com a ponta de metal em B, construa um ângulo de medida 30°.

Com a ponta de metal no ponto A, trace um arco na semirreta , encontrando os pontos F e G. Com abertura maior que a metade de FG e ponta de metal em F, trace um arco e depois em G um outro arco, encontrando o ponto H. Com a régua, trace a linha que passa pelos pontos A e H, encontrando em o ponto I determinando o triângulo ABI, escaleno e retângulo.

Viu como é fácil?



Desenho Geométrico – divisão de segmento de reta em partes proporc.

1. Introdução

As fotos possuem elementos que dão a ideia de divisão de um segmento em partes proporcionais. Como dividimos um segmento de reta em partes de medidas iguais?

2. Divisão de um segmento em partes proporcionais

Observe as duas fotos.

As fotos possuem elementos que dão a ideia de segmentos de reta divididos em partes iguais.

Você já viu que, para dividir um segmento em duas partes de medidas iguais, traçamos a mediatriz.

E para dividirmos em quatro partes de medidas iguais?

Traçamos a mediatriz de cada uma das duas partes, obtendo quatro partes de medidas iguais e assim por diante.

E para dividirmos um segmento em 3, 5, 6, 7, 9, … partes de medidas iguais?

Agora, tendo em mãos todo o material de Desenho Geométrico, veja como dividimos um segmento de reta em partes proporcionais.

a) Divisão de um segmento de reta em três partes de medidas iguais

Construa dois ângulos agudos de medidas iguais pelas extremidades P e Q do segmento PQ (podem ser ângulos múltiplos de 15°) e determine as retas t e u.

Para determinar os pontos P1, P2, P3 e Q1, Q2 e Q3 nas retas t e u respectivamente, com abertura qualquer do compasso, marcam-se, a partir de P e depois Q, três vezes sucessivas essa medida.

Determine o ponto P3 na reta t e o ponto Q3 na reta u, abrindo o compasso com a mesma medida, marcando um ponto após o outro.

Com a régua, trace retas paralelas que passam pelos pontos P e Q3, P1 e Q2, P2 e Q1, e P3 e Q.

As retas paralelas dividem o segmento PQ em três partes de mesma medida.

b) Divisão de um segmento de reta numa razão dada com deslizamento de esquadro

Construa um ângulo agudo por uma das extremidades do segmento, P ou Q. Faça como no método anterior para determinar os pontos P1, P2 e P3 na reta t ou Q1, Q2 e Q3 na reta u.

Com a régua, trace a reta que passa pelos pontos Q e P3 ou pelos pontos P e Q3.

Posicione o esquadro com um dos lados sobre o segmento QP3 ou sobre o segmento PQ3 e depois fixe a régua ao esquadro.

Fixando a régua e deslizando novamente o esquadro, trace uma reta paralela a P3Q por P2, determinando em PQ o ponto B; ou uma reta paralela a PQ3 por Q2, determinando em PQ o ponto B. O ponto B divide PQ na razão 2/1 ou em partes diretamente proporcionais a 2 e 1.

Fixando a régua e deslizando novamente o esquadro, trace uma reta paralela a P3Q por P1, determinando em PQ o ponto C; ou uma reta paralela a Q3P por Q1, determinando em PQ o ponto C. O ponto C divide PQ na razão 1/2 ou em partes diretamente proporcionais a 1 e 2.

Para dividirmos um segmento em três partes iguais, determinamos na reta auxiliar três pontos de mesma medida e traçamos retas paralelas, determinando no segmento dois pontos. O 1º ponto divide o segmento na razão 1:2; o 2º ponto, na razão 2:1.

Observe que, se o segmento PQ tiver valor unitário e for dividido em três partes de medidas iguais, a primeira divisão corresponderá a 1/3, e a segunda, a 2/3, ou seja, são números racionais que correspondem a dízimas periódicas simples.


Desenho geométrico – mediatriz1. Introdução

As fotos abaixo possuem elementos que dão a idéia de retas e segmentos. Você é capaz de identificar quais retas dividem os segmentos ao meio? Essas retas são mediatrizes?

2. Traçando a mediatriz

mediatriz [do latim tard. mediatrice]: reta perpendicular que divide um segmento de reta ao meio.

Observe as fotos:

Em quais fotos da tela anterior a reta é mediatriz do segmento?

Agora você vai aprender a traçar a mediatriz, que é a reta perpendicular que divide um segmento ao meio.

Tendo em mãos todo o material de Desenho Geométrico, veja como traçamos a mediatriz.

Com uma abertura do compasso maior que a medate do segmento e ponta de metal em A (ou B), trace um arco que intercepta o segmento.

Com a mesma abertura do compasso e a ponta de metal em B (ou A), trace outro arco, determinando os pontos M e N.

Trace com a régua a reta que passa pelos pontos M e N, mediatriz de AB.

Observe agora como podemos traçar a mediatriz, traçando os arcos sem interceptar os segmentos:

Com uma abertura do compasso maior que a metade do segmento e ponta de metal em A(ou B), trace dois arcos sem interceptar o segmento. Com a mesma abertura e ponta de metal em B(ou A), trace outros dois arcos, determinado os pontos M e N. Com a régua trace a reta que passa pelos pontos M e N, mediatriz de AB.

Com uma abertura do compasso maior que a metade do segmento e ponta de metal em C e depois em D, trace dois arcos na parte superior do segmento, determinando o ponto M. Com abertura maior que a anterior e ponta de metal em C

e depois em D, trace dois arcos na parte superior do segmento, determinando o ponto N. Com a régua trace a reta que passa pelos pontos M e N, mediatriz de CD.

Com abertura qualquer maior que a metade do segmento e ponta de metal em E e depois em F trace dois arcos na parte inferior do segmento, determinando o ponto M. Com abertura maior que a anterior e ponta de metal em E e depois em F trace dois arcos na parte inferior do segmento, determinando o ponto N. Com a régua trace a reta que passa pelos pontos M e N, mediatriz de EF.

Viu como é fácil? Faça traços finos nas construções de Desenho Geométrico. Seu traçado só será perfeito se tiver em mãos todo o material de Desenho Geométrico.

Desenho Geométrico - medidas de ângulos1. Introdução

As fotos abaixo possuem elementos que dão a idéia de ângulos. Como medi-los?

2. Medindo ângulos

Ângulo [do latim angulu]: região entre duas semi-retas distintas e de mesma origem.

Obtuso [do latim obtusu]: designativo do ângulo maior que um ângulo reto e menor que dos ângulos.

Agudo [do latim acutu]: designativo do ângulo menor que um ângulo reto.

Reto [do latim rectu]: designativo do ângulo formado por dois ângulos perpendiculares

Raso[do latim rasu]: designativo do ângulo formado por dois ângulos retos.

Nulo[do latim nullu]: sem valor.

Grau[do latim gradu]: cada uma das 360 partes iguais em que se divide a circunferência.

Transferidor[de transferir + -dor]: instrumento circular ou semicircular com limbo dividido em graus, usado para medir ângulos.

Teodolito[do inglês theodolite]: instrumento destinado a medir ângulos horizontais e verticais.

O que é ângulos?

Ângulos é a região entre duas semi-retas distintas e de mesma origem.

No relógio ao acima, temos:

O ponto O é o centro do relógio, ou seja, é a origem das semi-retas, que é chamada de vértice do ângulo.

Colocando o ponto A no ponteiro dos minutos e o ponto B no ponteiro das horas, obtemos as semi-retas e , chamndas de lados do ângulo, e denotamos o ângulo de vértice O e lados e por: AÔB ou BÔA.

No meio, coloca-se a letra que é o vértice com acento circunflexo indicando que é ângulo.

Podemos denotar ângulos com uma letra latina maiúscula ou uma letra grga minúscula com acento circunflexo.

É possível medir um ângulo?

Um dos instrumentos que medem ângulos é chamado de transferidor. A unidade de medida de ângulos é o grau, que denotamos por o . Indicamos a medida do ângulo de vértice O e lados e por med(AÔB) ou med(BÔA).Você já viu as medidas dos menores ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos, que são mostradas nos relógios das telas a seguir.

Assim:

med(AÔB) = 90º

ou med(BÔA) = 90º

med(CÔD) = 60º

ou med(DÔC) = 60º

med(EÔF) = med(GÔH) =

150ºou med(FÔE)

= 150º

180ºou med(HÔG)

= 180º

O transferidor é constituído do centro, de linha-de-fé, que é a retra que passa por 0 grau e 180 graus, e do limbo, que é a parte do contorno onde se localiza a graduação, como você pode observar na figura:

Para medirmos um ângulo, colocamos a linha-de-fé do transferidor sobre o lado do ângulo com o ponto central no vértice do ângulo e lemos no limbo a medida do ângulo.

Agora, observe como medimos alguns ângulos:

http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_843/01g.jpg

Medindo um ângulo de 60°.


Observe os ângulos indicados a seguir e a medida de cada um.

Um ângulo raso medindo 180o e dois ângulos retos medindo cada um 90o


Um ângulo agudo medindo 30o e um ângulo obtuso medindo 150o.

Um ângulo agudo medindo 45o e um ângulo obtuso medindo 135o.Observando o logotipo do Colégio Objetivo, você pode indentificar ângulos agudos, obtusos e retos. Às vezes, precisamos transportar e prolonga as semi-retas para determinarmos corretamente a medida de um ângulo.




Determinando as medidas dos ângulos anteriores, temos:

med(AÔB) = 45ºou med(BÔA) = 45º

med(CÔD) = 135ºou med(DÔC) = 135º

med(EÔF) = 90ºou med(FÔE) =

90º

Não se esqueça de que colocamos a linha-de-fé do transferidor sobre o lado do ângulo com o ponto central no vértice do ângulo.

Desenho geométrico – obtenção dos números irracionais

1. Introdução

Observando as fotos, você pode identificar triângulos e quadrados. Como construímos com régua e compasso um triângulo retângulo isósceles para que a medida do lado oposto ao ângulo reto seja cm?

2. Obtenção dos números irracionais

Comensurável [do latim commensurabile]: que se pode medir.

Incomensurável [do latim inconsurabile]: que não tem medida comum com outra grandeza.

Você já viu a construção de triângulo com régua e esquadros e com régua e compasso e a classificação quanto à medida dos lados e ângulos internos.

Agora você vai aprender a construir triângulos retângulos isósceles ou escalenos em que a medida do lado oposto ao ângulo reto é um número irracional.

Obtendo

Construa um ângulo reto no ponto A e com abertura do compasso igual a 1 cm e ponta de metal em A, determine os pontos B e C. Trace o segmento BC de medida cm.

Obtendo

No vértice C do triângulo ABC, construa um ângulo reto e com abertura do compasso igual a 1 cm e ponta de metal em C, determine o ponto D. Trace o segmento BD de medida cm.

Obtendo

No vértice D do triângulo BCD, construa um ângulo reto e com abertura do compasso de B até C no DABC, transporte o segmento BC com a ponta de metal em D, encontrando o ponto E. Trace o segmento BE de medida cm.

Observação: Se a medida do segmento DE for igual a 1 cm, a medida do segmento BE é , que não é irracional.

Obtendo

E assim a cada lado oposto ao ângulo reto do triângulo, construa um ângulo reto e com a abertura do compasso 1 cm determine um ponto e trace o terceiro lado do triângulo.

Para obter , os lados do D que contêm o ângulo reto podem ser .

Observe agora a justificativa matemática da obtenção dos irracionais.

Você já viu que a área de um quadrado de lado é obtida elevando-se a medida do lado ao quadrado e a medida do lado é obtida extraindo-se a raiz quadrada da área. Assim, se AQ = 2, então = .Para 2 = 2, temos = ;Para 2 = 3, temos = ;Para 2 = 4, temos = 2 ;Para 2 = 5, temos = ;Para 2 = 6, temos = ;Para 2 = 7, temos = ;etc.Para os triângulos, temos que:

12 + 12 = 2( )2 + 12 = 3( )2 + 12 = 4( )2 + 12 = 5( )2 + 12 = 6( )2 + 12 = 7Viu como é fácil!

Desenho Geométrico - quadriláteros – construção e classificação

1. Introdução

A foto e as bandeiras abaixo possuem elementos que formam quadriláteros. Você é capaz de identificá-los?

2. Construindo quadriláteros


quadrado[do latim quadratu]: quadrilátero que tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos.

retângulo[do latim rectangulu]: quadrilátero que tem os quatro ângulos retos.

paralelogramo[do grego parallelógrammon]: quadrilátero que tem os lados opostos iguais e paralelos dois a dois.


losango[do francês losangue]: quadrilátero que tem os quatro lados iguais.

Observe as figuras que você obteve na aula anterior.

Agora, tendo em mãos todo o material de Desenho Geométrico, veja como construímos os quadriláteros e qual a denominação de cada um.

Construindo um quadrado e um retângulo.

Com auxílio da régua, trace dois segmentos de reta, distantes um do outro.

Com a régua e um esquadro, trace segmentos de reta perpendiculares nas extremidades de cada segmento.

Deslizando o esquadro, continue traçando segmentos de reta perpendiculares às extremidades de cada segmento.

Finalize a construção dos segmentos de reta fixando a régua e deslizando o esquadro. Para o quadrado, meça as perpendiculares de medida igual à do primeiro segmento de reta traçado e, para o retângulo, meça as perpendiculares de medida menor ou maior que o segundo segmento traçado.

Unindo as duas extremidades dos dois segmentos perpendiculares, constrói-se um quadrado e, unindo as outras duas, um retângulo.

Não se esqueça de fazer traços finos nas construções de Desenho Geométrico.

Construindo um paralelogramo

Com auxílio da régua, trace um segmento de reta. Coloque o transferidor com o ponto central sobre uma das extremidades do segmento e marque 60°.

Coloque o centro do transferidor sobre a outra extremidade e marque novamente 60°.

Com auxílio da régua, ligue a primeira extremidade do segmento de reta ao ponto obtido do transferidor. Faça o mesmo com a segunda extremidade. Meça os dois segmentos de reta de mesma medida, que pode ou não coincidir com a marca obtida do transferidor.

E assim constrói-se um paralelogramo unindo as duas extremidades resultantes das medidas obtidas com a régua.

Construindo um trapézio isósceles e um trapézio retângulo

Com a régua, trace dois segmentos de reta distantes um do outro. Com o auxílio do esquadro, construa uma perpendicular na extremidade do primeiro segmento de reta e outras duas perpendiculares nas extremidades do outro segmento.

Com auxílio da régua e do esquadro, trace um segmento perpendicular, na extremidade do menor segmento de reta, de medida diferente do primeiro segmento.

E, assim, constrói-se um trapézio retângulo unindo as extremidades do primeiro e do terceiro segmentos de reta.

Ligue cada uma das extremidades do primeiro segmento à extremidade superior de cada segmento perpendicular, conforme figura, obtendo dois novos segmentos.

E, assim, constrói-se um trapézio isósceles unindo as extremidades restantes.

Construindo um losango

Com auxílio da régua e do esquadro, trace duas perpendiculares de medidas diferentes, uma passando pelo meio da outra.

Unindo as extremidades do segmento maior com as do menor.

E, assim, constrói-se um losango unindo as extremidades restantes.


Classificação dos quadriláteros

paralelogramo: quadrilátero que tem os lados opostos iguais e paralelos dois a dois.


trapézio isósceles: que tem os lados não paralelos iguais.

trapézio retângulo: que tem um dos lados não paralelos perpendicular às bases.

trapézio escaleno: que tem os lados não paralelos diferentes.


losango: quadrilátero que tem os quatro lados iguais.


Elementos de um quadrilátero

No quadrilátero ABCD na tela anterior, temos que os pontos A, B, C e D são os vértices do quadrilátero. Os segmentos de reta AB, BC, CD e DA são os lados do quadrilátero. Os segmentos de reta AB e DC e os segmentos de reta AD e BC são pares de lados opostos do quadrilátero. Unindo dois vértices não-consecutivos, obtêm-se os segmentos de reta AC e BC, que são as diagonais do quadrilátero denominadoretângulo.

Podemos chamar o segmento BC de base do retnângulo e o segmento CD, perpendicular ao segmento BC, dealtura do retângulo.



lados: AB, BC, CD e DAlados opostos: AB e DC, BC e ADdiagonais: AC e BDbase: DCaltura: ADNo quadrado CDEF, temos:


lados: CD, DE, EF e FGlados opostos: CD e EF, CF e DEdiagonais: DF e CE no paralelogramo RBSD, temos:vértices: R, B, S e D

lados: RB, BS, SD e CRlados opostos: RB e SD, BS e DRdiagonais: DB e RS

base: DSaltura: RTNo trapézio isósceles BGHF, temos:


lados: BG, GH, HF e FBlados opostos: BG e HG, GH e BFdiagonais: GF e BHbase maior: BFlados menor: GH altura: SGNo trapézio retângulo NOPQ, temos:

vértices: N, O, P e Q

lados: NO, OP, PQ e QNlados opostos: NO e PQ, OP e QNdiagonais: NP e OQbase maior: NQlados menor: OPaltura: ONNo losango IJLM, temos:

vértices: I, J, L e M

lados: IJ, JL, LM e MNlados opostos: IJ e LM, IM e JLbase maior: ILlados menor: MJDesenho Geométrico - quadriláteros – construção

e classificação1. Introdução

A foto e as bandeiras abaixo possuem elementos que formam quadriláteros. Você é capaz de identificá-los?

2. Construindo quadriláteros


quadrado[do latim quadratu]: quadrilátero que tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos.

retângulo[do latim rectangulu]: quadrilátero que tem os quatro ângulos retos.

paralelogramo[do grego parallelógrammon]: quadrilátero que tem os lados opostos iguais e paralelos dois a dois.


losango[do francês losangue]: quadrilátero que tem os quatro lados iguais.

Observe as figuras que você obteve na aula anterior.

Agora, tendo em mãos todo o material de Desenho Geométrico, veja como construímos os quadriláteros e qual a denominação de cada um.

Construindo um quadrado e um retângulo.

Com auxílio da régua, trace dois segmentos de reta, distantes um do outro.