#ConquistaNoEstudo ■ #Dia3Semana9 Ensino Médio ■ 1º. ano

MATEMÁTICA

Olá! Vamos iniciar

nossos estudos do

Dia 3 – Semana 9.

Veremos nesta aula: conceito

de conjunto, pertinência,

representação de um conjunto,

subconjuntos e intersecção

de conjunto. O conteúdo da

aula de hoje encontra-se

no capítulo 1 do livro 2, nas

páginas de 12 a 16. Vamos lá!

Para se mexerQuais foram os conjuntos numéricos estudados até agora?Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da Matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.

Alguns símbolos foram inventados para facilitar a comunicação das ideias matemáticas. Veja alguns desses símbolos que podemos usar neste estudo.

Em geral, indicaremos os conjuntos por letras latinas maiúsculas (A, B, C, D, etc.) e os elementos, por letras latinas minúsculas

(a, b, c, d, etc.).

Números para contarO conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.Subconjuntos dos números naturaisN* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não nulos, ou seja, sem o zero.Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈N: conjunto dos números naturais pares.Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

Existem três formas de se representar um conjunto.

I. EnumeraçãoNessa forma, os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula.Exemplos:a. Conjunto das vogais de nosso alfabeto: V = {a, e, i, o, u}b. Conjunto dos estados da Região Nordeste do Brasil: E = {Maranhão, Piauí, Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba,

Pernambuco, Alagoas, Sergipe, Bahia}c. Conjunto dos números pares entre 10 e 20: P = {12, 14, 16, 18}

II. Representação pela propriedade de seus elementosNessa forma, os elementos são descritos por uma propriedade que se verifica para todos eles e somente para eles.Representamos o conjunto A por: A = { x | x tenha a propriedade P}(Lê-se: “A é o conjunto de todos os elementos x, tal que x tenha a propriedade P”.)

Exemplosa. V = {x | x é vogal}b. E = {x | x é estado da Região Nordeste do Brasil}c. P = {x | x é um número par, maior que 10 e menor que 20}

III. Diagrama de VennNessa forma, o conjunto é representado por uma região plana, delimitada por uma linha fechada não entrelaçada. Os elementos desse conjunto são simbolizados por pontos internos a essa região.

Relação de pertinênciaPara indicarmos que determinado elemento x participa de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e escrevemos:x ∈ A (lê-se: x pertence a A.)Quando o elemento x não pertence ao conjunto A, escrevemos:x ∉ A (lê-se: x não pertence a A.)Exemplos:a. Se A = {0, 2, 4, 6, 8}, temos: 2 é um elemento de A: 2 ∈ A 8 pertence a A: 8 ∈ A 3 não é um elemento de A: 3 ∉ A 5 não pertence a A: 5 ∉ A

b. Para o conjunto das vogais, representado a seguir por um diagrama de Venn, temos:

a ∈ V, u ∈ V, b ∉ V, c ∉ V

Conjuntos iguaisDizemos que dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) quando eles possuem os mesmos elementos, isto é, todo elemento de A também pertence a B e todo elemento de B também pertence a A.

Exemplos:a. Seja A o conjunto das vogais das palavras crase e trave: A = {a, e} Seja B o conjunto das vogais das palavras tela e cela: B = {e, a} Assim, A = B, pois A e B possuem os mesmos elementos, embora

escritos em ordem diferente.

b. Seja C o conjunto das letras da palavra ar: C = {a, r} Seja D o conjunto das letras da palavra arara: D = {a, r, a, r, a} Assim, C = D, pois C e D possuem os mesmos elementos. Como {a, r} = {a, r, a, r, a}, não repetimos elementos em um

conjunto.

Se dois conjuntos, A e B, não são iguais, indicamos A ≠ B (lê-se: A é diferente de B.). Isso acontece quando existe pelo menos um

elemento de um dos conjuntos que não pertence ao outro.

Exemplos:a. {m, e, l} ≠ {m, e, u}b. {2, 0, l} ≠ {-2, 0, 2}

Conjunto unitárioDenominamos de conjunto unitário aquele que possui apenas um elemento.

Exemplos:

a. Conjunto do único número primo par: M = {2}

b. V = {x | x é raiz da equação x – 3 = 0} = {3}

c. T = { x | x é satélite natural da Terra} = {Lua}

Conjunto vazioDenominamos de conjunto vazio aquele que não possui nenhum elemento. Para representá-lo, usamos o símbolo ∅ (letra de origem norueguesa) ou { }.

Exemplos:

a. Conjunto dos estados brasileiros que começam com a letra J: ∅b. V = { x | x é número e x = x – 1} = { }

Subconjunto: a relação de inclusãoDado o conjunto A = { – 4, – 3 , – 2 , – 1, 0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4} eles não são diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos estão dentro do conjunto A.

Essa relação é chamada de inclusão, ou seja, o conjunto B está incluso, contido no conjunto A, e é representada matematicamente por B ⊂ A (B está contido em A).

Dados os conjuntos C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, nesses dois conjuntos não é possível aplicar a relação de inclusão, então dizemos que C ⊄ D (C não está contido em D), assim como D ⊄ C (D não está contido em C).

Ao compararmos dois conjuntos,

percebemos que eles nem sempre

serão iguais, mas em alguns casos, alguns

elementos sim.

Observe: A ⊂ B (lê-se: A está contido em B.) ou, ainda, B ⊃ A (lê-se: B contém A.)Em diagrama, temos:

Exemplos: a. Sendo A = {x | x é estado da Região Sudeste do Brasil} e

B = {x | x é estado do Brasil}, temos: A ⊂ B.b. {2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}

Sendo A = {12, 13, 15, 17}, B = {13, 15, 16, 17} e C = {14, 16}, temos:a. A ⊄ B, pois existe o elemento 12 em A que não pertence a B.b. C ⊄ B, pois 14 ∈ A e 14 ∉ B.c. C ⊄ A, pois os seus elementos, 14 e 16, não são elementos de A.

Em diagrama, temos:

Operações com conjuntos As operações com conjuntos são: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença entre conjuntos e conjunto complementar.

União de conjuntosA união de conjuntos é formado pela junção de elementos de dois ou mais conjuntos dados. No caso dos elementos que se repetem nos conjuntos, eles aparecerão uma única vez no conjunto união.

Sendo assim, a união de A com B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e B. Exemplo:

Intersecção de conjuntosA intersecção de conjuntos refere-se aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Sendo assim, a intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Exemplo:

Diferença entre conjuntosA diferença entre conjuntos corresponde aos elementos de um conjunto que não estão no outro conjunto. Sendo assim, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Exemplo:

Conjunto complementar Essa operação relaciona-se com a diferença entre conjuntos. Sendo assim, o complemento relativo de A em relação a B, ou seja, a diferença de B e A, é o conjunto de elementos de B que não estão em A. Exemplo:

Agora é com você!1. Considerando os conjuntos M, N e P do

diagrama a seguir, complete com ∈ ou ∉ cada item.

a. 11 ______ P b. 15 ______ M c. 16 ______ N

d. 16 ______ Pe. 18 ______ Nf. 12 ______ M

2. Assinale a alternativa correta. Sejam x e y números tais que os conjuntos {11, 14, 15} e

{x, y, 11} sejam iguais. Então, podemos afirmar que: a. x = 14 e y = 15 b. x ≠ 14 c. y ≠ 14

d. x + y = 29 e. x < y

3. Seja A = {21, 22, 23}, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações.

a. 21 ∈ A b. 25 ∉ A c. 23 ∈ A d. {23} ∈ A e. {23} ⊂ A

f. {22, 21} ⊂ A g. {21, 22, 24} ⊄ A h. A ⊂ A i. ∅ ⊂ A

4. Considerando os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}, determine:

a. A ∪ B b. A ∩ B

c. A – B d. B – A

Para ir além

Os trabalhos iniciais sobre Lógica são creditados ao filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.), para quem o raciocínio dedutivo se verifica, essencialmente, por silogismos.

Os silogismos aristotélicos são argumentos constituídos por duas proposições (premissas), nas quais nos baseamos para avaliar uma terceira proposição, a conclusão.

Aristóteles