Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 1.1 – Teoria dos Conjuntos

Amintas Paiva Afonso

INDICEINTRODUÇÃO

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS

DIAGRAMAS DE VENN

CONJUNTOS ESPECIAIS

RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

UNIÃO DE CONJUNTOS

INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

DIFERENÇA SIMÉTRICA

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO

PROBLEMAS

Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.

Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto.

Exemplo:

Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas

NOTAÇÃOTodo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula.

Exemplo:

O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim:

L = {a; b; c; ...; x; y; z}

Exemplo:

A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) =

B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =

Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo:O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.

Ao número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q).

5

3ÍNDICE

Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}

2 M ... se lê 2 pertenece ao conjunto M

5 M ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M

ÍNDICE

I) POR EXTENSÃO

Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento.

É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto.

Exemplos:A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.

A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }

ÍNDICE

B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10.

B = {-9; -7; -5; -3; -1 }

II) POR ENTENDIMENTO

É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto.

Exemplo:

Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

P = {os números dígitos }

Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”.

Exemplo:

Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana.

Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo }

Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }

ÍNDICE

Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada.

AMT

7

23

6

9

aei

o

u(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)84

1 5

ÍNDICE

A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “

CONJUNTO VAZIO

É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { }

Exemplos:

M = { números maiores que 9 e menores que 5 }

P = { x / }1

0X

CONJUNTO UNITÁRIO

É o conjunto que tem um só elemento.

Exemplos:

F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0

CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com limitado número de elementos.

Exemplos:

E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }

N = { x / x2 = 4 }

;

CONJUNTO INFINITOÉ o conjunto com ilimitado número de elementos.

Exemplos:

R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }

CONJUNTO UNIVERSALÉ um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U

Exemplo:O universo ou conjunto universal

;

de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.

ÍNDICE

INCLUSÃOUm conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B.

NOTAÇÃO : A BSe lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :

B A

PROPRIEDADES:

I) Todo conjunto está incluido em si mesmo.

A A

II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. A

III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( )

A BB A

IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( )A B

V) Simbolicamente: A B x A x B

CONJUNTOS COMPARÁVEISUm conjunto A é COMPARÁVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão.

A é comparável com B se A U B = B U A

Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }

1

23

4

5A

B

Observe que B está incluso em A, portanto, A e B são COMPARÁVEIS

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos.

Exemplo:

A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }

Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B

Simbolicamente : A B (A B) (B A)

CONJUNTOS DISJUNTOSDois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns.

REPRESENTACÃO GRÁFICA :

A B

1

7

5 3

9

2

4

8

6

Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS

CONJUNTO DE CONJUNTOSÉ um conjunto cujos elementos são conjuntos.

Exemplo:

F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }

Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos.

{a} é um elemento do conjunto F então {a} F

É correto dizer que {b} F ? NÃO

Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F

CONJUNTO POTÊNCIAO conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Exemplo: Seja A = { m; n; p }

Os subconjuntos de A são:

{m}, {n}, {p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, Φ

Então o conjunto potência de A é:

P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ }

QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?

Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potência ou seja P(A) tem 8 elementos.

PROPRIEDADE:

Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n.Exemplo:

Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).

RESPOSTA

Se 5 < x < 15 e é um número par então

B = { 6; 8; 10; 12; 14 }

Observe que o conjunto B tem 5 elementos então:

Card P(B) = 2n

P(B) = 25 = 32

ÍNDICE

Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}

Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}

Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}

Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....}2; 3;

Números Reais ( R )

R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}2; 3

12

15

12

43

Números Complexos ( C )

C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}2; 312

N

ZQ

I

RC

EXEMPLOS:

Expressar por extensão os seguintes conjuntos:

A ) 2P x N /x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0

2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4T

3

B 2

RESPOSTAS

INDICE

76

556

A B

O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.

A B

A B x /x A x B

Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO DE CONJUNTOS

Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis

Se A e B são conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

B

AUB AUB

PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS

1. A U A = A

2. A U B = B U A

3. A U Φ = A

4. A U U = U

5. (AUB)UC = AU(BUC)

6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ

ÍNDICE

76

556

A B

O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.

A B

A B x /x A x B

Exemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis

Se A e B são conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

A B A B = B

B

A B = Φ

PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

1. A A = A

2. A B = B A

3. A Φ = Φ

4. A U = A

5. (A B) C =A (B C)

6. A U (B C) =(A U B) (A U C)

A (B U C) =(A B) U (A C)

ÍNDICE

76

556

A B

O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

A B

A B x /x A x B

Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

76

556

A B

O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

B A

B A x /x B x A

Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

B A 8;9

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA DIFERENÇA DE CONJUNTOS

Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis

Se A e B são conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

A - B A - B

B

A – B = A

ÍNDICE

76

556

A B

O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A).A B

A B x /x (A B) x (B A)

Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

Também é correto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA - B B - A

A B

Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.Notacão: A’ ou AC

Exemplo:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9}e

Simbolicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

12 3

45

6

78

9

U AA

A’ = {2; 4; 6; 8}

PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO

1. (A’)’ = A

2. A U A’ = U

3. A A’ = Φ

4. U’ = Φ

5. Φ’ = U

ÍNDICE

PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3PROBLEMA 4PROBLEMA 5FIM

Dados os conjuntos: A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34} B = { 2; 4; 6; ...; 26} C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}a) Expressar B e C por entendimentob) Calcular: n(B) + n(A)c) Achar: A B , C – A

SOLUÇÃO

Os elementos de A são:Primeiro analisemos cada conjunto

1 3x1

tt4tt1 3x2

tt7tt1 3x3

tt tt101 3x11

tt3 tt4

1 3x0

tt1tt

...

A = { 1+3n / nZ / 0 n 11}

Os elementos de B são:

2x2

tt4tt2x3

tt6tt 2x4

tt8tt 2x13

tt tt262x1

tt2tt ...

B = { 2n / nZ / 1 n 13} n(B) = 13

n(A) = 12

Os elementos de C são:

3 4x1

tt7tt3 4x2

tt tt113 4x3

tt tt153 4x7

tt tt31

3 4x0

tt3tt

...

C = { 3 + 4n / nZ / 0 n 7 }

a) Expressar B e C por entendimentoB = { 2n / nZ / 1 n 18}

C = { 3+4n / nZ / 0 n 7 }

b) Calcular: n(B) + n(A)

n(C) = 8

n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}

c) Achar: A B , C – A

A B = { 4; 10; 16; 22 }

C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }

Sabemos que A B é formado pelos elementos comuns de A e B, então:

Sabemos que C - A é formado pelos elementos de C que não pertencem a A, então:

Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }Determinar se é verdadeiro ou falso:a) Φ Gb) {3} Gc) {{7}; 10} Gd) {{3}; 1} Ge) {1; 5; 11} G

SOLUÇÃO

Observe que os elementos de A são:

1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11

es VERDADERO

Então:

é VERDADEIRO porque Φ estáincluso em todos os conjuntos

é VERDADEIRO porque {3}é um elemento de G

é FALSO porque {{7};10} não é elemento de G

é FALSO

a) Φ G ....

b) {3} G ...

c) {{7}; 10} G ...

d) {{3}; 1} G ...

e) {1; 5; 11} G ...

Dados os conjuntos:P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }M = { x/4N / -4 < x < 21 } T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }a) Calcular: M - ( T – P )b) Calcular: Pot(M – T )c) Calcular: (M U T) – P

SOLUÇÃO

P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }

Analisemos cada conjunto:

2x2 + 5x – 3 = 02x – 1

+ 3x(2x-1)(x+3)=0

2x - 1 = 0 x = 1/2x + 3 = 0 x = -3

Observe que xZ , então: P = { -3 }

M = { x/4N / -4 < x < 21 }Como x/4 N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto :

M = {1; 2; 3; 4; 5 }

T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }

Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x

x – 4 = 0 x = 4x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3

Portanto: T = { -3; 3; 4 }

a) Calcular: M - ( T – P )

T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T – P = {3; 4 }

M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }

M - (T – P)= {1; 2; 5 }

b) Calcular: Pot( M – T )

M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M – T = {1; 2; 5 }

Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5};

{1;2};{1;5};{1;2;5};

{2;5};Φ }

c) Calcular: (M U T) – P

M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }

(M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }

(M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }

Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos A, B e C.

A B

C

A

B

C

SOLUÇÃO

A B

C

A B

CA

B

C

AB

C

[(AB) – C]

[(BC) – A]

[(AC) – B]

U U

A B

A

B

C

Observe como se obtém a região sombreada

Toda a zona de amarelo é AUBA zona de verde é AB

Então, restando se obtém a zona que se vê na figura: (AUB) - (AB)

C

Finalmente, lhe agregamos C e se obtém:

[ (AUB) - (AB) ] U C ( A B ) U C=

Segundo as preferências de 420 pessoas que assistem os canais A, B ou C se observa que 180 assistem o canal A, e 240 assistem o canal B e 150 não assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais são 230. Quantos assistem os três canais?

SOLUÇÃO

O universo é: 420

Assistem A: 180 Assistem B: 240Não assistem C: 150Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270

A B

C

a

d

(I) a + e + d + x = 180

be

xf

(II) b + e + f + x = 240

c

(III) d + c + f + x = 270

Fato: Assistem por lo menos dos canales 230, entonces:

(IV) d + e + f + x = 230

(I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270

Somamos as equações (I), (II) e (III)

Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420230

então: a + b + c = 190

a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690190 230

190 + 560 + x =690 x = 40

Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais