ensta - cours ms 204 dynamique des systèmes mécaniques : ondes et...

IntroductionLa corde vibrante

Milieux continus non-dispersifsConclusion

ENSTA - COURS MS 204DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES :

ONDES ET VIBRATIONS

Amphi 1

ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 1



Exemples introductifsHypothèses générales et plan du cours

EQUIPE PÉDAGOGIQUE

I Cours :Cyril Touzé

I Petites classes :Olivier DoaréJean BoissonArnaud MalherCyril Touzé





OBJECTIFS DU COURSI Introduction de la dimension temps dans l’analyse des

systèmes mécaniques décrits par des milieux continus.

les milieux vont vibrer, osciller, sous l’effet de conditionsinitiales et/ou de forces externes.

I Apparition de nouveaux phénomènes :I Propagations d’ondes.I Vibrations des systèmes mécaniques, modes propres.

I Objectifs du coursI Donner les principaux outils d’analyse.I Donner des exemples de milieux continus que l’on pourra analyser:

• En mécanique des solides :Milieux élastiques, cordes, poutres, plaques.• En mécanique des fluides :Acoustique, ondes de surface, ballottement.





ONDES/VIBRATIONI Jet d’un caillou dans l’eau propagation d’une onde de déformation àla surface.

I Onde : phénomène propagatif.

I A l’échelle de la Terre...

Tsunami du 26 décembre 2004ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 1




ONDES/VIBRATION

I Présence d’obstacles, de limites : réflexions de l’onde incidente, localement la dynamique secomplexifie.

I Sommes d’ondes se propageant dansdes directions opposées: onde stationnaire

I On a alors affaire à des vibrations :





ONDES/VIBRATIONI Milieu infini:

• lorsque les conditions aux limites sont "loins".• lorsque le rapport entre le temps d’observation et le temps de propagation estpetit devant 1.

approche localeLe milieu est modélisé par une EDP. formalisme des ondes.

cours 1 et 2.

I Lorsque le milieu est fini:

approche globaleLe milieu est modélisé par une EDPassortie de conditions aux limites formalisme des modes.

cours 3, 4 et 5.





DISPERSIF / NON-DISPERSIF

I Lorsque le paquet d’onde nese déforme pas pendant lapropagation: La propagation estnon-dispersive.

cours 1

I Lorsque le paquet d’onde sedéforme : La propagation estdispersive.

cours 2





STATIQUE/DYNAMIQUE

I Dimensionnement "statique" d’une structure On connaît a priori l’amplitude maximale des effortss’exerçant sur une structure Dimensionnement statique afin que le déplacement resteinférieur à une valeur donnée

I Modèle équivalent :

I Dimensionnement statique : x < xmax = Fext

k





RÉPONSE VIBRATOIRE D’UN OSCILLATEUR

I Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique





RÉPONSE VIBRATOIRE D’UN OSCILLATEUR

I Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critiqueI Résultat :

I Réponse 2× supérieure à la réponse statique!





I Forçage harmonique :





I Forçage harmonique :

I Réponse 100× supérieure à la réponse statique!





MILLENNIUM BRIDGE (LONDRES)

Un exemple de forçage harmonique aux conséquences gênantes...





DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUESI Milieux continus + cadre général des H.P.P. :∂2w

∂t2+ L(w) = fext(x, t)

I Milieu infini (chapitre 2)I Ondes non-dispersives : milieux élastiques 3D et acoustique.

cours 1I Ondes dispersives : poutre en flexion et ondes de surface.

cours 2I Milieu fini (chapitre 3)

I Approche modale.cours 3

I Systèmes discrets (chapitre 4)I solutions temporelles : oscillateur 1D et ND.

cours 4I Résolution numérique et analyse modale expérimentale.

cours 5I Effets non-linéaires (chapitre 5)

cours 6ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 1



Ondes non-dispersivesOndes dispersives

La corde vibrante





LA CORDE VIBRANTE

I Tension T (x)

I Masse linéique ml = ρA

I Déplacement vertical d’un élément de corde : ξ(x, t) = w(x, t)ey





I Équilibre des forces au 1er ordre :

mldx∂2w

∂t2= T (x+ dx)

∂w

∂x(x+ dx, t)− T (x)

∂w

∂x(x, t).

I dx→ 0 :

ml∂2w

∂t2=

∂

∂x

(T (x)

∂w

∂x

)I T = Cte :

ml∂2w

∂t2= T

∂2w

∂x2





I L’équation peut se mettre sous la forme :

∂2w

∂t2− c2

∂2w

∂x2= 0

I avec :

c =

√T

ml.

I Équation locale





SOLUTION DE D’ALEMBERT (1747)I En posant α = x+ ct et β = x− ct,

l’équation d’onde devient,

∂2w

∂α∂β= 0

I Solution de la forme :

w(x, t) = F (x+ c t)︸︷︷︸←−

+G(x− c t)︸︷︷︸−→

Jean le Rond d’Alembert

(1717-1783)

I variable x± ct : clé de la solution !





RÉPONSE À UNE CONDITION INITIALE

I Condition initiale : w(x, 0) = w0(x) , ∂w∂t (x, 0) = 0

I Solution de d’Alembert :F (x) +G(x) = w0(x) , F ′(x)−G′(x) = 0

I Solution : w(x, t) = 12w0(x+ ct) + 1

2w0(x− ct)





ONDE HARMONIQUEI Solution harmonique :

w(x, t) = a cos[k(x− ct) + φ]

= a cos(kx− ωt+ φ)

avec c = ω/k

I k ≡ Nombre d’ondeI Longueur d’onde : λ = 2π/k

I ω ≡ PulsationI Période : T = 2π/ω

I Fréquence : F = 1/T = ω/2π

I φ ≡ PhaseENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 1




ONDES RÉELLES, ONDES COMPLEXES

I Onde complexe :

w(x, t) = Aei(kx−ωt), A ∈ C

I Commodité de calcul : ∂/∂x ik, ∂/∂t −iω

I A ∈ C→ |A| ≡ Amplitude , arg(A) ≡ phase

I Solution physique : Re[Aei(kx−ωt)

]





RELATION DE DISPERSION

EDP locale Relation de dispersion

Corde vibrante∂2w

∂t2− c2 ∂

2w

∂x2= 0 ←→ ω2 − c2k2 = 0

Cas général∂2w

∂t2+ L(w) = 0 ←→ D(k, ω) = 0





NOTION DE DISPERSIVITÉ

I Équation de corde :ω2 − c2k2 = 0 ωk = cte

La vitesse des ondes est constante→ non-dispersif.

I Cas général : D(k, ω) = 0 et ωk = f(k) 6= cte

Si l’on souhaite faire apparaître une solution type"d’Alembert":

w(x, t) = A exp ik(x− ω

kt),

La vitesse de propagation qui apparaitest dépendante de la longueur d’onde.→ le milieu est dispersif





UN EXEMPLE DE MILIEU DISPERSIF, LA CORDE SUR

FONDATION ÉLASTIQUE

Polycopié section 2.6 page 26.

∂2y

∂t2− c2 ∂

2y

∂x2+ by = 0





OBTENTION DE LA RELATION DE DISPERSION

I Solution de la forme : y(x, t) = A exp[i(kx− ωt)]I Relation de dispersion :

c2k2 + b− ω2 = 0

I À un nombre d’onde k donné, 2 pulsations différentes :

ω± = ±√c2k2 + b

I Vitesse de propagation de l’onde :

ω

k= ±√c2k2 + b

k

I ω/k dépend du nombre d’onde⇒ Dispersion





INTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE

VITESSE DE GROUPEI Superposition de 2 ondes (ω − δω, k − δk) et (ω + δω, k + δk) :

w(x, t) = cos [(k + δk)x− (ω + δω)t]

+ cos [(k − δk)x− (ω − δω)t]

= 2 cos(δkx− δωt)︸︷︷︸enveloppe

cos(kx− ωt)︸︷︷︸onde (k, ω)

I Vitesse de la modulation :ω

k−→ Vitesse de phase

I Vitesse de l’enveloppe :δω

δk' ∂ω

∂k−→ Vitesse de groupe

I Interprétation de Stokes : propagation non-dispersive.propagation dispersive





INTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE

VITESSE DE GROUPE

I Animations : propagation d’un paquet d’ondes:propagation non-dispersive.propagation dispersive.





VITESSES DE PHASE ET DE GROUPE POUR LA CORDE

TENDUE SUR FONDATION ÉLASTIQUE

cφ =ω

k= c

√1 +

b

c2k2cg =

∂ω

∂k=

c2k√c2k2 + b





CAS GÉNÉRAL : ω ET k PEUVENT ÊTRE COMPLEXES

I Si pour ω ∈ R donné,

Im(k) = 0 Onde propagative

Im(k) 6= 0 Onde évanescente

I Si pour k ∈ R donné,

Im(ω) = 0 Mouvement non amorti

Im(ω) 6= 0 Mouvement amorti




ElastodynamiqueAcoustique

Milieux continus non-dispersifs





ÉLASTODYNAMIQUE

I Équilibre des efforts dans un solide (MS102) :

∀x ∈ Ω : div σ + f = ρ∂2ξ

∂t2

I Relation contrainte-déformation pour un solide élastique,isotrope, à température constante :

σ = λ(trε)1 + 2µε,

I Tenseur des déformations :

ε =1

2

(t∇ξ +∇ξ

)





ÉQUATION DE NAVIER

Équilibre dynamique exprimé uniquement en termes dedéplacement :

ρ∂2ξ

∂t2= (λ+ µ)grad (div ξ) + µdiv (grad ξ)

Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836)





PREMIÈRE IDÉE D’ANALYSE

I Onde harmonique pour le déplacement :

ξ(x, y, z, t) =

ξX(x, y, z, t)ξY (x, y, z, t)ξZ(x, y, z, t)

=

A exp i(k.x− ω t)B exp i(k.x− ω t)C exp i(k.x− ω t)

I Impossibilité d’obtenir une relation de dispersion





ONDES LONGITUDINALES

I Soit D la dilatation locale du milieu :

D = div(ξ),

I Divergence de l’équation de Navier :

ρ∂2D

∂t2= (λ+ 2µ) ∆D

I Mise en évidence d’ondes de dilatation (compression/détente)non-dispersives se propageant au sein du milieu élastique.Célérité de ces ondes :

cL =

√λ+ 2µ

ρ





ONDES TRANSVERSES

I Soit Ω la rotation locale :

Ω =1

2rot(ξ).

I Rotationnel de l’équation de Navier :

ρ∂2Ω

∂t2= µ ∆ Ω

I Mise en évidence d’ondes transverses non-dispersivesse propageant au sein du milieu élastique.Célérité de ces ondes :

cL =

√µ

ρ





APPROXIMATION EN ONDES PLANES

Loin de la source, on peut considérer que l’on a des ondes planes

Problème invariant dans le plan perpendiculaire au vecteur d’onde





ÉQUATION DE NAVIER POUR UNE ONDE PLANE

I Expression du déplacement dans le cas d’une onde plane devecteur d’onde k = k ex :

ξ(x, y, z, t) =

ξX(x, t)ξY (x, t)ξZ(x, t)

I L’équation de Navier devient :

ρ∂2ξX∂t2

= (λ+ 2µ)∂2ξX∂x2

,

ρ∂2ξY∂t2

= µ∂2ξY∂x2

,

ρ∂2ξZ∂t2

= µ∂2ξZ∂x2

.





ONDES DE COMPRESSION (ONDES P)

ρ∂2ξX∂t2

= (λ+ 2µ)∂2ξX∂x2

⇒ c2L =λ+ 2µ

ρ





ONDES DE CISAILLEMENT (ONDES S)

ρ∂2ξY∂t2

= µ∂2ξY∂x2

⇒ c2T =µ

ρ





COMPARAISON DES VITESSES DE PROPAGATION

I Ondes longitudinales : c2L =λ+ 2µ

ρ=E

ρ

1

2(1 + ν)

I Ondes transverses : c2T =µ

ρ=E

ρ

1− ν(1 + ν)(1− 2ν)

I c si E (raideur)

I c si ρ (masse)

I Quelques valeurs numériques :cL cT

Acier 5700 m/s 3000 m/sBois 5000 m/s 2500 m/sCraie 2500 m/s 1200 m/s





APPLICATION : ONDES SISMIQUES

Sismogramme





LOCALISATION DE L’ÉPICENTRE

La durée entre les 2 fronts 3 points d’enregistrement...dépend de la distance





ONDES ACOUSTIQUES

I Ondes de compression longitudinales dans un milieu fluide.

I Pas d’ondes transversales.

I Équations de départ : Équations générales de la mécanique desfluides compressibles,linéarisées autour d’un état d’équilibre.

I Variables de champ : ρ(x, t), p(x, t), v(x, t)





ONDES ACOUSTIQUESI On obtient l’équation des ondes en 3 dimensions:

∂2p

∂t2− c2∆p = 0

I Loi d’état pour une transformation adiabatique :

c =

√γR0T

M

I Valeurs typiques, à 20C :Eau 1500 m/sAir 340 m/s

I Propagation non-dispersive.




Conclusion




CONCLUSION - ASPECTS IMPORTANTS À RETENIR

I Équation dynamique locale de différents milieux

I Approche en ondes harmoniques : w(x, t) = A exp[i(kx− ωt)]

I Relation de dispersion D(k, ω) = 0

I Vitesse de phase : cϕ =ω

k

I Vitesse de groupe : cg =∂ω

∂k

I Milieux non dispersifs : cϕ = Cte = cg

I Milieux dispersifs : cϕ = f(k) , cg = g(k)

I Deux exemples de milieux continus non-dispersifs:I Solide élastique isotrope.I fluide compressible (ondes acoustiques).




LA PROCHAINE FOIS...

I Deux exemples de milieux continus dispersifs:I Ondes de flexion dans les poutres.I ondes de surface.

I Ajout de bords au domaine (conditions aux limites) Réflexionsd’ondes

I Systèmes de dimensions finies ondes stationnaires modes




SUPPORTS DE COURS

Les supports du cours en amphi (transparents)sont accessibles au format pdf à l’adresse suivante:

http://www.ensta-paristech.fr/∼touze/MS204/


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