Entre nós

Jorge PicadoDepartamento de Matemática

Universidade de Coimbra

~ tranças e números racionais ~

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 1

Nós de marinheiro

Lais de guia: o favorito dos velejadores.

Este nó é ideal para fazer um lacete numa ponta de corda, não escorrega e é fácil de desfazer se não estiver sobre pressão.Algumas pessoas gostam de o memorizar dizendo "o coelho sai da sua toca, dá uma volta à árvore e volta para a toca".

Nó de oito:

Nó de travagem - evita que o cabo escape.

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O que é um nó “matemático”

O resultado é um fio entrelaçado, sem pontas.

Um nó é isto, pensando no fio como não tendo espessura, a sua secção sendo um ponto.

Formando um nó (matemático) com um bocado de fio:

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2

O que é um nó “matemático”Nó: curva fechada no espaço que nunca se auto-intersecta.

Nó trivial

(Não-nó)

Trevo(Nó cego)

Nó de Oito

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Como manipular (desatar) um nó? Alexandre o Grande: espada

Matemáticos: deformações (transformações) contínuas.

Nó Górdio

7 para 3 cruzamentosJaneiro 2006 Nós, tranças e números racionais 4

5 para 3 cruzamentos

Disfarces do trevo

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A versão de seis cruzamentos do lais de guia é a representação mais simples possível deste nó. Diz-se que o lais de guia tem número de cruzamento 6.

8

6

A versão mais simples de um nó pode, em alguns casos, parecer muito diferente

da sua aparência usual.

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Manipulação de nós:movimentos de Reidemeister

Qualquer deformação de um nó pode ser alcançada por uma sequência de três tipos

de movimento:

Knotplot.exe

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Knotplot.exe

Quando é que dois nós são o mesmo?

(envolve geralmente a transformação de um diagrama em outro diagrama)

[O Monstro, L. Kauffman]

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E quando é que dois nós não são o mesmo?

(Envolve a questão mais subtil de garantir quando é que uma tal transformação não é possível)

Exemplos de invariantes:

• Número de cruzamento• Número de desatamento

Uma tal garantia envolve a noção de

invariante

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Classificação Lista dos nós primos até 9 cruzamentos.

Nó primo: nó que não é composição de nós mais simples.

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0 1

3 1

4 1

5 2

6 3

7 7

8 21

9 49

10 166

11 552

12 2 176

13 9 988

14 46 972

15 253 293

16 1 388 70517 8 053 249

TOTAL: 9 755 186

Cruzamentos - Nós

[J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks]

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9

Mais exemplos de invariantes:

• Número de cruzamento• Número de desatamento• Número de coloração

• Número de ponte

• Polinómios: Alexander, Conway, Jones• Invariantes de Vassiliev.

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Polinómio de Conway

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10

Polinómio de Conway

mas

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Polinómio de Jones

invariante COMPLETO ? : problema em ABERTO

Knotplot.exe

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Tranças

Região no plano de projecção delimitada por um círculo de tal modo que o nó atravessa esse círculo precisamente em quatro pontos.

0 1

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Tranças

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Tranças Racionais

33+ -

-3 ,0

-3, 0-3

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15

Notação de Conway

3,

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15

Notação de Conway

3 ,3,-2

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 16

Surpreendentemente, existe um modo muito simples de dizer quando é que duas tranças

são equivalentes

-2,3,2

3,-2,3

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Tranças

0

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 18

TEOREMA DE CONWAY:

As tranças racionais são univocamente determinadas pelas correspondentes

fracções contínuas. De facto:

F é um invariante completo !

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM

Bibliografia

• D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado.

E ainda:

• C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004.

• B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994.

• J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332.

• J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48.

• R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com.

• A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002.

• Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/.

(tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, www.atractor.pt).

Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM

Bibliografia

• D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado.

E ainda:

• C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004.

• B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994.

• J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332.

• J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48.

• R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com.

• A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002.

• Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/.

(tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, www.atractor.pt).