ENTRENAMIENTO OLIMPICO

JOAQUIN MORAGA

1. Notacion

En la matematica un poco mas seria, utilizamos formulas para expresar mejornuestras ideas, aqui agregare un item de notacion para que entiendan mejor el texto:

significa existe, si escribo x A significa que en el conjunto A existe unx. El simbolo : se lee tal que, es decir que si escribo x A : x2 = 2 quierodecir que en A existe un elemento cuyo cuadrado es 2. el simbolo se llama mas o menos, por ejemplo cuando escribo x = 3,

quiero decir que x es 3 o bien es 3, es analogo a escribir x = 3 o x = 3. se llama si y solo si y quiere decir que lo que escriben a su izquierda es

totalmente equivalente a lo que escriben a su derecha. Ejemplo

n2 = 4 n = 2.Esto es obvio, dado que un numero (asumimos que esta en Z) tiene sucuadrado igual a 4 si y solo si es 2 o 2. Este simbolo se puede escribirde forma consecutiva, cuando quieremos expresar que muchas ideas sonequivalentes, como vemos en el siguiente ejemplo:

n2 = 4 n = 2 n = 2 o bien n = 2. el simbolo significa producto, lo escribimos para abreviar multiplica-

ciones muy grandes, por ejemplo, para decir que queremos multiplicar todoslos numeros del 1 al n podriamos escribir:

ni=1

i = 1 2 n.

La variable que aparece a la izquierda de la expresion i = 1 es llamadoindice y usualmente se usa la letra i de indice, el numero que aparece ala derecha de la expresion i = 1 es el primer numero donde iniciamos elprodcuto y el numero que aparece arriba del

, es decir, el n es el nmero

en el que terminamos el producto. El numero que aparece a la derechadel simbolo

ni=1 es la formula que estamos multiplicando, por ejemplo si

escribimosni=1 i nos dice que estamos multplicando i donde i se mueve

desde el 1 al n, en otras palabras, estamos multiplicando los primeros nnumeros naturales.

Si en cambio, escribieramosni=1 2 significa que estamos multiplicando

n veces el numero 2, en otras palabras el resultado sera 2n. De forma analoga se define el simbolo de sumatoria que es el siguiente .

Por ejemplo si escribimosni=1 i queremos decir que estamos sumando los

1

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numeros del 1 al n. Si escribimos en cambioni=1 i

2, queremos decir queestamos sumando los primeros n cuadrados. Es decir que

ni=1

i2 = 1 + 2 + 3 + + n.

Decimos que un numero natural n N es cuadrado perfecto si existe otronumero natural k N tal que n = k2. Analogamente se define el cuboperfeco.

2. Teorema de Factorizacion unica

En este texto consideraremos los numeros enteros, que como conjunto es deno-tado por Z. El conjunto Z tiene dos aplicaciones internas, las cuales son la suma+ y la multpliciacion . Cuando un conjunto tiene dichas estructuras y ademascumple ciertas reglas como la conmutatividad, la asociatividad, la distributividady la existencia de neutros (que en el caso de los enteros son el 0 y el 1), decimosque el conjunto es un anillo

Muchos de los Teoremas de los numeros enteros Z se extienden a objetos masabstractos llamados anillos, si quieren conocer que es un anillo pueden buscar ladefinicion en internet. A grandes razgos, un anillo A es un conjunto con suma (+)y multiplicacion () tal que cumple propiedades que lo hacen parecerse mucho a Z,tales como la conmutatividad, distributividad, asociatividad y existencia de neutrosaditivos y multplicativos. Entonces, el 15 y el 12 mostramos anteriormente que sonnumeros compuestos.

Ademas dentro del anillo entero Z tenemos una relacion llamada divisibilidad.Esta relacion es denotada por | y es definida por la siguiente formula:

n | m k Z : m = kn.Aunque la Teora de divisibilidad de numeros existe en Z, nosotros solo la traba-

jaremos en los numeros naturales N, que son los enteros positivos y el 0. Se puedenotar que N Z con la estructura de suma y multiplicacion es tambien un anillo.En el anillo de los naturales N decimos que un elemento n Z es primo si susunicos divisores son el 1 y n (en otras palabras, el 1 y si mismo). Por ejemplo, lasiguiente lista es la lista de los numeros primos mayores que 1 y menores que 100:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41

43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Como recomendacion, siempre es bueno saber esta lista, no necesariamente com-pleta, pero si tener algunos numeros en mente. Porque usualmente nos enfrentamosa problemas que parten diciendo: Demostrar que para todo numero primo p Z,entonces si tenemos muchos ejemplos de primos en nuestra cabeza, podremos vermas ejemplos y entender mejor el problema.

Si a | b para a, b N, tambien decimos que b es un multiplo de a. Para abreviarnotacion escribimos a - b para indicar que a no divide a b o equivalentemente, b noes multiplo de a. La divisibilidad tiene algunas propiedades importantes, como lassiguientes:

Si a, b N y a | b, entonces a b. si a, b, c N, a | b y a | c, entonces a | b+ c. si a, b, c N, a | b, entonces a | bc.

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La segunda y tercera propiedad se pueden generalizar a la siguiente: Sia | b1, a | b2, . . . , a | bk, entonces para cualesquiera enteros c1, c2, . . . , ck setiene que

a |ni=1

bici.

Observar, que si elegimos un numero fijo a N y marcamos en la recta realtodos sus multiplos, es decir marcamos

. . . ,2a,a, 0, a, 2a, . . .y luego elegimos cualquier otro numero b N, este nuevo numero b sera un multiplode b o bien estara a distancia menor que a de un multiplo de a, es decir, que existenq y 0 r < a que cumplen

b = aq + r,

En este proceso, el numero q es llamado cociente y el numero r es llamado resto.Por ejemplo si consideramo el numero 61 y el 5, al escribir los multiplos de 5encontraremos el 60 y el 65. Claramente el cociente sera 12 y el resto 1. Usualmenteescribimos b = r( mod a) para expresar que b deja resto r al ser dividido por a.Este parrafo se puede resumir en el siguiente Teorema:

Teorema 2.1. (Algoritmo de Division) Para cualesquiera enteros positivos a, b N, exite unicos enteros q y r tal que b = qa+ r y ademas 0 r < a con r = 0 si ysolo si a | b.

Cuando escribimos un numero como multiplicacion de otros, decimos que es-tamos descomponiendo dicho numero, por ejemplo al escribir 15 = 3 5 o bien12 = 3 4. Si un numero se puede escribir como multiplicacion de dos numerostal que ninguno de ellos es un 1 decimos que dicho numero es compuesto, notar quetodo numero es o bien compuesto o bien primo. Este ultimo hecho viene directo dela definicion de primo y compuesto.

Entonces, podemos pensar en la siguiente idea: Si tomamos un numero cualquieran N, si es compuesto, podemos expresarlo como multiplicacion de otros dosnumeros, llamemoslos n1 y n2, ahora, podra suceder que n1 es primo. Si n1 esprimo, seguimos intentando descomponer n2, si n1 no es primo, lo descomponemosdenuevo. Si hacemos esto, cada vez nos apareceran numeros mas pequeos, entonces,en algun momento este procedimiento debera parar. Cuando todos los numerosson primos en nuestra multiplicacion decimos que dicha descomposicion es la de-scomposicion en factores primos. Un punto interesante de este procedimiento, esque independiente de como avancemos en el proceso, siempre llegaremos a la mismadescomposicion prima.

Teorema 2.2. Dado un entero positivo n > 1 este puede ser representado exac-tamente de una unica manera como producto de potencias de numeros primos:

n = p11 pkk =ki=1

pi

i ,

donde p1 < < pk son numeros primos y los i son enteros positivos.Demostracion. Solo demostraremos la existencia de dicha propiedad, la unicidad ladejaremos para mas adelante.

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Supongamos que existe un numero n > 1 que no puede ser representado comoproducto de potencias primas. Ademas supongamos que dicho n es el numero maspequeo en N que no puede ser expresado como potencia de numeros primos. Si nfuese primo, entoncea si podra ser representado como multiplicacion de potenciasde primos trivialmente. Supongamos que n es compuesto y podemos escribir n = abcon a < n y b < n. Entonces, como asumimos que n es el menor numero que nopuede ser escrito como multiplicacion de potencias de primos, concluimos que a yb si pueden ser escritos como multiplicacion de potencias de primos y como n es lamultiplicacion de a y b concluimos que tambien podra ser escrito como potencia demultiplicacion de primos. Lo cual es una contradiccion.

Entonces, concluimos que todo numero en N puede ser escrito como multipli-cacion de potencias de primos.

Ahora, tenemos una lista de ejercicios para resolver, sus dificultados son vari-ables.

Ejercicio 1. Encontrar la mayor potencia de 2 que divide a 100!. Ademas, encon-trar la cantidad de ceros que tiene el numero 100!.

Ejercicio 2. Demostrar que un numero p Z es primo si y solo si dados a, b Zp | ab p | a o bien p | b.Ejercicio 3. Demostrar que si n N es un numero compuesto, entonces uno desus divisores debe ser mayor que bnc.Ejercicio 4. Demostrar que existen infinitos primos.Pista: Asumir que existe solo una cantidad finita de primos y llamarlos p1, . . . , pk,luego considerar el numero

N =

ki=1

pi + 1 = p1 p2 pk + 1.

Demostrar que N no es divisible por p1, . . . , pk y concluir que en la descomposicionprima de N debe haber un primo nuevo.

Ejercicio 5. Sean a y b enteros. Demostrar que 2a + 3b es divisible por 17 si ysolo si 9x+ 5y es divisible por 17.

Ejercicio 6. Encontrar todos los pares de numeros (d, n) tal que d divide a n2 + 1y d divide a (n+ 1)2 + 1.

Ejercicio 7. Dada la factorizacion prima de un numero n N, de la siguienteforma:

n = p11 pkk .Determinar la cantidad de formas distintas de escribir n como multiplicacion deexactamente 2 numeros distintos.

Ejercicio 8. Para cualquier numero natural n N denotaremos por d(n) la can-tidad de divisores distintos de n. Demostrar que dados n,m N se tiene que

d(mn) = d(n)d(m).

Ejercicio 9. Sea n N un entero positivo. Demostrar que 32n + 1 es divisible por2 pero no por 4.

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Ejercicio 10. Sea k un entero positivo. Determinar para que k es posible escribir1 como la suma de el recproco multiplicativo de k enteros positivos impares.

Ejercicio 11. Demostrar que si a, b, c son enteros positivos entonces (ab+ 1)(bc+1)(ac+ 1) es cuadrado perfecto si y solo si ab+ 1, bc+ 1 y ac+ 1 lo son.

Departamento de Matematica, Universidad de Concepcion, Casilla 160-C, Concepcion,Chile

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