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La eNSeÑaNza De La PrOPOrciONaLiDaD eN 6.º aÑO

entrevista a la profesora Lucía Dallura

¿Cuál es la importancia de la enseñanza de la proporcionalidad en 6.º año?La proporcionalidad es un contenido central en los grados medios de la escuela primaria y su importancia radica en la gran variedad de situaciones problemáticas que involucra –todas ellas se tratan de relaciones matemáticas de naturaleza multiplicativa–.Desde los primeros años de escolaridad, los chicos trabajan con relaciones proporcionales –sa-biendo el precio de 2 lápices, pueden averiguar el precio de 4 lápices–. Si bien en 4.º y 5.º años se realiza un avance en estos contenidos, la conceptualización y la aplicación de estas relaciones se realizan en 6.º año –en particular, el reconocimiento de la constante de proporcionalidad–.Para poder resolver situaciones problemáticas se debe construir el concepto ampliamente e identificar las relaciones de proporcionalidad. Estas relaciones están vinculadas a diferentes aspectos de la realidad por lo que deben formar parte del caudal básico de conocimientos ma-temáticos que las personas tienen que conocer y dominar.

¿Qué proponen los diseños curriculares con respecto a la enseñanza de este tema en 6.º año?En los diseños curriculares se incluyen las relaciones de proporcionalidad como ejes temáticos de gran importancia porque permiten describir y analizar gran cantidad de procesos y relaciones de diversa naturaleza y complejidad. Además, permiten resolver situaciones problemáticas muy variadas.Por otro lado, la investigación en el aprendizaje de la matemática ha mostrado que son pocos los alumnos de grados medios –incluidos los de 6.º año– que tienen la habilidad de usar el ra-zonamiento proporcional de manera consistente. Es por esto que los diseños curriculares nacio-nales y jurisdiccionales mencionan la necesidad de privilegiar la construcción de los conceptos relacionados con la proporcionalidad directa e inversa.

¿Qué se debe tener en cuenta para enseñar el tema proporcionalidad?En la actualidad se sostiene que los alumnos que son estimulados a construir sus propios con-ceptos y procedimientos matemáticos a través de la resolución de problemas tendrán un mejor desempeño que aquellos que aprendan en forma dogmática o tradicional.

Lucía Dallura es maestra normal nacional, profesora de Matemática y Cosmografía egre-sada del Instituto Nacional Superior del Profesorado, técnica superior en Administración y Conducción Educativa, licenciada en Comunicación y Medios y periodista. Actualmente se desempeña como supervisora del Nivel Superior en la Dirección General de Educación de Gestión Privada y es profesora de Enseñanza de la Matemática en el Profe-sorado de Enseñanza Primaria de la Escuela Normal N.º 2 Mariano Acosta.Es capacitadora de docentes en proyectos del gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires y autora de numerosas publicaciones relacionadas con la matemática y su enseñanza.

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No es difícil comprender que:•sisesabenlosingredientesnecesariosparahacerunatortapara4personas,dupli-

cando dichos ingredientes se puede elaborar una torta para 8 personas –el doble de ingredientes permite el doble de porciones–;

•siunautomóviltarda4horasenrecorrerciertadistanciaaunavelocidadconstantede60 km/h, avanzando a 120 km/h –el doble de velocidad– tardará 2 horas, es decir, la mitad del tiempo.

Estos contextos comprensivos de las relaciones de proporcionalidad –directa en el primer caso e inversa en el segundo– facilitan las construcciones iniciales de los conceptos matemáticos aso-ciados con la proporcionalidad ya que los razonamientos son bastante obvios. Sin embargo, los contenidos escolares vinculados con las relaciones de proporcionalidad –directa e inversa– se dificultan para los chicos al intentar “matematizar” las situaciones y generalizar las propiedades matemáticas que se cumplen. En una relación de proporcionalidad se establece una proporción en la que intervienen dos mag-nitudes. Esas magnitudes se relacionan de tal forma que entre ellas se mantiene una constante de proporcionalidad.

Una relación de proporcionalidad directa es aquella en que se verifica que dos cantidades de distintas magnitudes se relacionan de tal manera que al doble o triple de cantidad de la primera, corresponde el doble o triple de cantidad de la segunda. Una relación de proporcionalidad inversa es aquella en que se verifica que dos cantidades de distintas magnitudes se relacionan de tal manera que al doble o triple de cantidad de la primera, corresponde la mitad o tercera parte de cantidad de la segunda.

La adquisición de los conceptos matemáticos que se involucran en la proporcionalidad es comple-ja y se logra a través de múltiples actividades que se desarrollan en varios años de la escolaridad. Entre esos conceptos podemos mencionar:

Concepto de razón, concepto de proporción, propiedad fundamental de las proporciones, cálcu-lo de elementos de una proporción, constante de proporcionalidad, relaciones de proporcionali-dad directa, relaciones de proporcionalidad inversa, aplicaciones de la proporcionalidad, etc.

Una proporción establece la equivalencia entre dos razones: ab = cd. La razón –cociente entre dos números– es siempre la misma y es la constante de proporcionalidad.En esta proporción, los extremos son a y d y los medios son b y c y se cumple la propiedad funda-mental de las proporciones que establece que:

“en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios”.

Esta propiedad es la que fundamenta y respalda la resolución de situaciones problemáticas donde se establecen relaciones de proporcionalidad. Teniendo en cuenta lo dicho, se deben realizar en el aula actividades variadas que relacionen cantidades de distintos tipos de magnitudes y que permitan el uso de diferentes estrategias dando lugar a discusiones sobre la pertinencia o economía de las mismas. La comparación entre situaciones de proporcionalidad y aquellas que no lo son –pero que por tener algunos aspectos en común con las de proporcionalidad tienden a verse como tales– instala la necesidad de discutir las condiciones bajo las cuales es válido el modelo de la propor-cionalidad. Esta discusión aportará elementos para la construcción de los conceptos asociados con la proporcionalidad.Las actividades y situaciones de aprendizaje que se trabajan en la escuela deben permitir:

•reconocer cantidades ymagnitudes que se relacionan en formaproporcional –porejemplo, cantidad y precio–;

•reconocercantidadesymagnitudesquenoserelacionanenformaproporcional–porejemplo, peso y edad–;


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•calcularlarazóndeproporcionalidad;•reconocerlaconstantedeproporcionalidad;•calcularlaconstantedeproporcionalidad;•analizaroelaborargráficosquerepresentanrelacionesdeproporcionalidad;•aplicarlaproporcionalidadencálculosdeporcentajes,escalas,etc.;•realizaraplicacionesdelaproporcionalidaddirectaenotrassituacionesmatemáticas

como: regla de tres simple o compuesta –concientizando que se trata de una “regla de tres” porque se cuenta con tres datos y el cuarto se calcula teniendo en cuenta que se trata de una relación de proporcionalidad–.

¿Cómo se trabaja la proporcionalidad en GPS+ Matemática 6? La propuesta editorial de Puerto de Palos facilita la secuencia de aprendizaje para los chicos de 6.º año, ya que las actividades que se proponen son variadas y permiten su abordaje con distin-tas estrategias que facilitan la construcción de los conceptos matemáticos que involucran. La variedad de situaciones problemáticas ofrecidas en GPS+ Matemática 6 modeliza la secuen-cia de actividades que se debe ofrecer a los alumnos en la escuela. Las situaciones problemá-ticas que se presentan en la vida cotidiana son una buena fuente para complementar la tarea áulica.El estudio de la proporcionalidad involucra también analizar sus límites, es decir, reconocer diversos tipos de problemas para los cuales no es posible aplicar dicho concepto o este no es suficiente. Es conveniente presentar situaciones que no sean de proporcionalidad para que los alumnos puedan analizarlas y tomar decisiones acerca de si las propiedades de la proporciona-lidad están presentes o no y si el problema tiene solución o no la tiene.Es muy importante identificar y significar la constante de proporcionalidad como síntesis de las resoluciones de las situaciones problemáticas. Además, se debe recalcar que, en definitiva, una situación matemática de proporcionalidad es aquella en la que se mantiene una constante –la constante de proporcionalidad–. Las situaciones problemáticas propuestas en el libro permiten:

diferenciar situaciones de proporcionalidad de otras que no lo son, identificar constantes de proporcionalidad, identificar las propiedades que se cumplen en relaciones proporcionales, establecer la correspondencia entre las magnitudes intervinientes, resolver situaciones pro-blemáticas de aplicación de la proporcionalidad, completar tablas en relaciones proporcio-nales, analizar y/o completar gráficos pertenecientes a relaciones de proporcionalidad, etc.

¿Qué páginas web pueden servir para que el docente profundice el tema?Algunas de las páginas web que el docente puede utilizar son las siguientes:

•http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/multiplicacion.pdf

•http://abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/direcciondecapacitacion/modulos/documentosdedescarga/segundoanio/matematica.pdf

•http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf•http://online2.exactas.unlpam.edu.ar/repem/cdrepem06/memorias/comunicaciones/Relatos/CRE12.pdf

•http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/diseno_desarrollo/matematica2.pdf


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Nuestra propuesta

Entendemos que aprender matemática es un proceso en el cual intervienen muchos factores; no alcanza con manejar técnicas o memorizar conceptos. Su enseñanza debe plantearse de forma tal que permita la construcción de conocimientos a partir de la resolución de problemas. Las actividades propuestas deben plantear un desafío para los alumnos y favorecer procesos de reflexión permanente. La propuesta incluye la discusión sobre la práctica realizada en el aula tanto entre los alumnos como entre los alumnos y el docente. La idea es promover ambientes de trabajo en donde los alumnos expliquen cómo resolvieron una actividad, debatan acerca de los procedimientos uti-lizados, decidan cuál es el más adecuado o el más económico para llegar a una conclusión.Este tipo de trabajo hace que la construcción del conocimiento sea una actividad verdadera-mente significativa.Incluimos también momentos para que los alumnos socialicen las soluciones obtenidas: mu-chos problemas tienen más de una solución o no tienen ninguna y es importante que se analice la validez de las mismas.

estructura general de GPS+ Matemática

El libro está dividido en bloques de dos o tres ca-pítulos. De esta forma el docente puede optar por variar el orden de acuerdo con su planifi-cación anual. Por ejemplo, se puede trabajar el primer capítulo del bloque de Proporcionalidad antes de finalizar el de Geometría y medida.Cada bloque comienza con una portada. Allí se detallan los capítulos que incluye y los conte-nidos. Se hace una breve introducción a través de una referencia histórica o curiosa para ge-nerar interés en los alumnos.


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estructura general de cada capítulo

En cada capítulo se desarrollan siempre tres contenidos.Las actividades, además de seguir una secuencia adecuada para la construcción del conocimien-to, están pensadas estratégicamente para que cada contenido quede en una hoja. Entendemos que esto puede ayudar al docente para realizar tareas de seguimiento y corrección.Las actividades especiales que se plantean en cada capítulo tienen como objetivo que los alumnos:

•desarrollenestrategiasderesolucióndeproblemas;•propongandistintasconclusionesylasregistren;•comprendanlamatemáticadesdeotraperspectiva;•utilicenmediostecnológicosparaaprendermássobreloscontenidostrabajadosenla

clase.

características especiales de cada capítulo

• Apertura del capítulo: cada capítulo comienza con una ilustración a doble página que aporta información para la situación problemática que se de-sarrolla.Estas situaciones, además de ser in-troductorias del capítulo, apuntan a trabajar distintos aspectos del pro-blema para que los alumnos utilicen y desarrollen estrategias de resolución.Por ejemplo, se pide a los alumnos:

•queescribanpreguntasapartirdeunainformación;•queescribanunapreguntaapartirdeunasituaciónylarespuesta;•queresuelvansituacionesquenotenganunaúnicasolución;•quecambienlosdatosdeunproblema,peroquesemantengalamismasolución,etc.

Cada apertura incluye una nueva estrategia de resolución. Este tipo de actividades aparecen también durante el desarrollo de los contenidos para afianzar su utilización.Además de trabajar una estrategia de resolución de problemas determinada, con esta actividad se busca recuperar conoci-mientos previos para ponerlos “en acción”. En la página siguiente a la apertura, se propone una reflexión gru-pal acerca de la estrategia de resolución utilizada en la apertura.


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• MateTic: en esta plaqueta se presentan distintos recursos tecnológicos para trabajar los te-mas del capítulo.Se puede utilizar para ampliar lo visto en la apertura o para dar una mirada general sobre próxi-mos temas. En los primeros capítulos se trabaja con la calculadora para afianzar su uso e introducir distin-tas estrategias de cálculos. En los siguientes, básicamente se invita a visitar distintas páginas web con videos, juegos y actividades para recuperar los contenidos. Se invita también a volver a estas páginas una vez que se hayan visto esos contenidos.

• Plaquetas teóricas: brindan definiciones breves y algunos ejem-plos que ayudan a resolver las actividades sin tener que recurrir al complemento teórico.Hay plaquetas teóricas centrales, que son previas a las activida-des de las que sirven de apoyo, o laterales, que están asociadas a una actividad concreta.

• Plaqueta Recalculando: se presentan preguntas para la reflexión grupal; están rela-cionadas con las activida-des precedentes y permiten registrar conclusiones sobre el trabajo realizado. Aparece siempre una por cada contenido trabajado.

• El Integrador: se brindan más actividades para in-tegrar todos los temas trabajados en el capítulo.


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en el libro aparecen distintas secciones especiales

Desafío GPS: se incluyen juegos, desafíos y curio-sidades para desarrollar diferentes capacidades en los alumnos. El objetivo es brindar un espacio distinto de trabajo para que sigan disfrutando de la matemática.Esta sección aparece al final de cada bloque, previo a los trabajos prácticos.

Trabajos prácticos: sirven para afianzar lo trabajado al finalizar cada bloque y se presenta uno por cada capítulo. Al igual que las actividades de cada con-tenido, se desarrollan en una hoja para favorecer procesos de corrección.Al comienzo de esta sección hay una portada, y en la página siguiente, una tabla para el registro de fechas de en-trega y escritura de la evaluación.

Recortables: aparecen al final del libro. Se in-cluyen figuras, tarjetas, tablas y cuadros para registrar y organizar la información. Es un mate-rial que está relacionado con las actividades del libro, plaquetas y secciones.


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Saberes para guardar

Este complemento presenta una serie de fichas teó-ricas que sirven para el repaso de los temas, siendo una excelente herramienta de apoyo para los alum-nos, padres y docentes. Dejamos abierta la forma de uso teniendo en cuenta la realidad de la escuela y del grupo de alumnos.

Las explicaciones son claras y amigables para que puedan ser exploradas y comprendidas tanto por los alumnos como por sus padres. En general, se propo-nen ejemplos para que los alumnos analicen distintas estrategias de resolución y les sirvan de base para ge-nerar otras.


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actividades de apertura de capítulo: tabla de estrategias

estrategia actividad actividad de reflexión

Escribir preguntas que se correspondan con la información de una ilus-tración y las respuestas dadas.

1. Inventen preguntas para cada una de las siguientes respuestas.•Oceanía.•41493000002. Comparen las preguntas que pensaron con las de otros compañeros.

¿Todos pensaron las mismas preguntas? Elijan las más adecuadas a la situación.•Sihubopreguntasquenohayan sido correctas, expli-quen por qué no lo fueron.

Inventar un enunciado y preguntas que cumplan con ciertas condiciones.Modificar datos de un problema para que ten-ga una única solución.

1. Inventen un problema que cumpla con lo pedido en cada caso.•Quetengamásdeunasolución.•Quesepuedaresolverutilizandoelcartelconel precio de los pasajes.2. Comparen las respuestas con sus compañe-ros. ¿Cumplen con lo pedido?

Modifiquen la primera actividad que inventaron para que tenga una única solución. Luego, resuélvanla.

Escribir preguntas que se respondan utilizando un dato determinado.

1. Completen los siguientes enunciados con los datos que faltan.•Enunestacionamientohay autos. ¿Cuán-tas ruedas hay?Respuesta: 4 . 12 = 48•Marcosdiceque es múltiplo de y de . ¿Es cierto lo que dice? Expliquen la respuesta.Respuesta: Sí, es cierto. Porque si se hace 48:12, da resto 0 y si se hace 48:4, también.2. Piensen dos preguntas que se puedan res-ponder utilizando el ejemplo de la multiplica-ción de los números por 0.

Comparen con sus com-pañeros las preguntas que propusieron en la actividad anterior.Escriban una pregunta que hayan pensado sus compa-ñeros y que sea correcta.

Modificar datos de un problema para que se cumplan ciertas condi-ciones.Inventar un enunciado que se corresponda con una solución.

1. Si la pizza tiene 8 porciones, ¿cuál es la frac-ción que representa el total de las porciones que comió cada uno? ¿Qué fracción representa lo que queda de la pizza?2. ¿Qué cambios harían en la situación para que no sobre ninguna porción? ¿Y para que sobre 12 pizza?

¿Todos propusieron los mismos cambios? Escriban una opción distinta a la que pensaron.Si los chicos tomaron 12 litro de jugo cada uno, ¿qué parte del total de jugo tomaron entre los dos?Inventen un enunciado cuya respuesta sea la siguiente.•ElgoleadordeRCllevaconvertidos 15 del total de los tantos de su equipo.

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Inventar un enunciado y preguntas a partir de los datos de una imagen y respuestas dadas.Inventar datos de un problema que cumplan ciertas condiciones.

1. Inventen un enunciado con dos preguntas cuyas respuestas sean.•Loscereales“Fuertes”.•Lanuez“Frutossecos”.

¿Qué debieron tener en cuenta para que la respuesta sea cereales “Fuertes”?Propongan una promoción más conveniente que la de los maníes “San Juan” que sea del mismo precio y que la cantidad que contiene el paquete sea menor que 0,200 kg. •Segúnlascondicionespedidas, ¿el paquete puede contener 0,3 kg?Si Victoria tiene $7,05, ¿le alcanza para compra algunas de las promociones de alfajores? Expliquen las respuestas.Propongan una promoción de alfajores más cara que la de “Raulito” y más barata que la de “Chiquito”, sin va-riar la cantidad de alfajores.

Modificar datos de un problema, que ya ha sido resuelto, para que la solución sea la correcta.Modificar datos de un problema, que ya ha sido resuelto, para obtener una solución dada, distinta a la anterior.

1. Observen las cuentas y sus resultados. Modifiquen el cálculo que está mal para que el resultado sea el que indicó Leo.

¿Cuál el cálculo que está mal? ¿Todos hicieron los mismos cambios?¿Qué otras opciones hay para modificar el cálculo y obtener el resultado que propuso Leo?¿Qué tuvieron en cuenta para realizar los cambios en el cálculo?¿Qué cambios habría que hacerle al cálculo para que el resultado sea 3,15 y la operación siga siendo una suma?

Inventar un problema utilizando la informa-ción de una imagen.

1. Inventen un enunciado para esta situación, en el cual el IMC de Luciana resulte normal.

¿Todos plantearon el mismo problema?¿Qué información tuvieron en cuenta para escribir el enunciado?Si el peso de Luciana fuera de 48 kg y su altura 1,60 m, ¿cuál es su IMC?

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Escribir una pregunta que se corresponda con una situación y una solución dada.

1. Busquen en los Recortables las piezas del rompecabezas, armen la llave mágica y pé-guenla en el monitor que aparece en el dibujo.2. Escriban en el monitor la pregunta que tuvo que responder Lucila para pasar de nivel.

¿Todos pudieron armar la llave mágica? ¿Las pregun-tas que escribieron fueron todas iguales?¿Qué otras preguntas escri-bieron?¿Qué tuvieron en cuenta para armar el rompecabezas de la llave mágica?¿Es correcta la respuesta de Lucila? ¿Por qué?

Escribir una pregunta que se corresponda con una solución dada.Modificar una pregunta para que se corresponda con una solución dada.

1. Resuelvan.•Piensenunapreguntaparaquelarepuestaalproblema sea: 36 baldosas.•¿Cómodeberíanmodificarlapreguntadelproblema anterior para que la respuesta sea 72 baldosas?

Comparen con sus com-pañeros las preguntas que escribieron en la página anterior. ¿Todos pensaron las mismas?¿De qué otras medidas po-dría ser el patio para que la respuesta sea “Se necesitan 36 baldosas”?

Inventar un enunciado que se corresponda con la información de una imagen –donde hay datos no visibles– y preguntas dadas.

1. Inventen un enunciado que incluya las siguientes preguntas y resuelvan.•¿Cuáleslacoordenadadelpuntorojo?•¿Cuálespuedenserlascoordenadasdelaletra “O” para formar la palabra amor?

¿Todos sus compañeros escribieron las mismas coordenadas para formar la letra “O”? Si existen otras posibilidades, escríbanlas.

Inventar un enunciado y preguntas en el que aparezca una frase o dato determinado.

1. Inventen un enunciado y las preguntas que correspondan en las cuales aparezca la frase: “tres promociones”.2. Inventen una pregunta sobre esta situación en la cual aparezca el precio $265,50. Luego, respóndanla.

Vuelvan a leer los enuncia-dos que pensaron en la pági-na anterior. ¿Todos pensaron los mismos? Escriban otros que consideren correctos.

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analizamos Desafío GPS

En esta sección, ampliamos algunas respuestas brindadas en la versión docente para las acti-vidades de la sección Desafío GPS.

Números naturales (pág. 40)“Los cuatro cuatros”: posibles respuestas para este desafío.

44 – 44 = 0, 44 : 44 = 1, 4 : 4 + 4 : 4 = 4 . 4 : (4 + 4) = 2, (4 + 4 + 4) : 4 = 3, (4 – 4) . 4 + 4 = 4, (4 . 4 + 4) : 4 = 5, (4 + 4) : 4 + 4 = 6, 44 : 4 – 4 = 7, 4 . 4 – 4 – 4 = 8, 4 : 4 + 4 + 4 = 9, (44 – 4) : 4 = 10

“Código simple”: la estrategia para codificar palabras es adjudicarle a cada letra, la que la precede 4 lugares en el alfabeto.

“¡Todos en esta habitación!”: en este desafío se puede ayu-dar a los alumnos indicándoles que pueden pintar algunas habitaciones de negro como se ve en la imagen. Luego de algunas pruebas, se debe llegar a la conclusión de que un movimiento par lleva de una habitación de un color a otra del mismo y que un movimiento impar lleva a una habitación de un color diferente. Así, se puede observar que con el movimiento par –4 lugares– pedido en la figura 1 solo se puede quedar en una habitación “negra”, por eso se pueden sacar algunas “blancas” (figura 2). Luego, como se pide un número impar –5 lugares– solo se llega a una “blanca” y se pueden sacar algunas “negras” (figura 3). Finalmente, se pide otro movimiento impar –3 lugares– y solo puede quedar en la única habitación “negra” que queda (figura 4).

Números racionales (pág. 80)“¿Qué parte queda pintada?”: en la figura 4 se puede observar que quedan sec-tores de 3 triángulos en donde está pintado uno solo y un triangulito pequeño que se seguirá dividiendo de la misma forma. Es decir, que en cada sector quedará representado 13. Por lo tanto, 13 es la parte de la figura que quedará pintada.

“El problema de los 35 camellos”: agregar un camello sirve para que las partes correspondien-tes a cada hermano pasen a ser un número entero. De esta manera, el total de camellos que les corresponderán es 34 (18, 12 y 4), uno menos de los que tenían originalmente (además del agregado). El reparto es justo porque se le dio más de lo que le correspondía a cada uno, ya que se realizó el cálculo entre más camellos. Por lo tanto, el que resuelve el problema puede pedir que le regalen ese camello que sobra.Es importante tener en cuenta que sobran camellos porque la suma de las fracciones asignadas a cada hermano es menor que 1.

Geometría y medida (pág. 120)“Juego del ¡Chomp!”: para ganar en este juego, hay que dejarle al otro participante un choco-late con la misma cantidad de filas y columnas. Por lo tanto, si el chocolate ya tiene la misma cantidad de filas y columnas, no conviene empezar.

“Dividir figuras”: en el triángulo escaleno se debe trazar la mediana de uno de los vértices.Para dividir figuras irregulares de muchos lados, se pueden trazar todas las diagonales de uno de los vértices formando triángulos y, luego, se divide cada uno como se hizo con el triángulo escaleno.

figura 1 figura 3figura 2 figura 4

figura 4

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