entropia di entanglement e teoria dei campi ... - infn.it del crescente sviluppo degli studi sulla...

UNIVERSITA DI BOLOGNA

DIPARTIMENTO DI FISICA

Laurea specialistica in FISICA

Anno Accademico 2007-2008

ENTROPIA DI ENTANGLEMENT

E TEORIA DEI CAMPI

BIDIMENSIONALE

Stefano Evangelisti

Tesi di laurea in Teoria Statistica dei Campi

Bologna, 2008

Relatore: Corelatore:

Prof. FRANCESCO RAVANINI Prof.ssa ELISA ERCOLESSI

I Sessione di Laurea

Indice

Introduzione 9

1 Teoria dei campi e meccanica statistica 13

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferimento . . . . . . . . . 13

1.2 Fermionizzazione del modello di Ising 2d . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Limite hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Operatori di disordine e dualita . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.3 Diagonalizzazione dell’hamiltoniana . . . . . . . . . . . 28

1.2.4 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.5 Il fermione di Majorana in coordinate complesse . . . . 35

2 Invarianza conforme globale 39

2.1 Il gruppo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Algebra del gruppo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi classica . . . . . . . . . 46

2.3.1 Rappresentazioni del gruppo conforme in d dimensioni 47

2.4 Il tensore energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5 Invarianza conforme e teoria dei campi quantistici . . . . . . . 51

2.5.1 Identita di Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Correlatori in teorie conformi . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Invarianza conforme in due dimensioni 59

3.1 Il guppo conforme in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Trasformazioni conformi globali in due dimensioni . . . . . . . 62

3.3 I generatori conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.1 I campi primari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Le funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5 Forma olomorfa delle identita di Ward . . . . . . . . . . . . . 67

5

INDICE

3.5.1 Identita di Ward conformi . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6 L’espansione del prodotto di operatori . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 Il bosone libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.2 Il fermione libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7 La carica centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7.1 Legge di trasformazione del tensore energia-impulso . . 82

3.7.2 Il significato fisico di c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8 Bordi ed effetti di size finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8.1 Invarianza conforme sul cilindro . . . . . . . . . . . . . 85

3.8.2 Comportamento critico di superficie . . . . . . . . . . . 88

3.9 Algebra di Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Tecniche di calcolo per l’entropia di Entanglement 95

4.1 Matrice densita ed entropia di Von Neumann . . . . . . . . . . 95

4.1.1 Approccio alla matrice densita tramite integrali sui

percorsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.2 Sistemi composti ed entropia di entanglement . . . . . 100

4.2 Entropia di entanglement e superfici di Riemann . . . . . . . . 104

4.3 Entropia di entanglement e teorie conformi bidimensionali . . 107

4.3.1 Singolo intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.2 Sistemi finiti con bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.3 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4 Fuori dal punto critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5 Il bosone libero massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6 Il fermione di Majorana massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7 Il fermione di Dirac massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5 Matrice densita e Corner Transfer Matrix 133

5.1 La Corner Transfer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 La matrice densita attraverso la CTM . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3 La catena di Ising trasversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3.1 CTM per il modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3.2 Diagonalizzazione della matrice densita ρ1 . . . . . . . 148

5.3.3 Entropia di entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4 Il modello XYZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.1 Il modello a otto vertici . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6

INDICE

5.4.2 Formulazione dell’otto vertici in termini di

variabili di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.4.3 Parametrizzazione in termini di funzioni

ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.5 Entropia di entanglement per il modello XYZ . . . . . . . . . 169

5.5.1 Il modello XXZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.5.2 Il modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Conclusioni 177

A Funzioni Ellittiche 179

A.1 Analiticita e periodicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.2 Identita algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.3 Valori speciali di sn, cn, dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.4 Identita differenziali e integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.5 Trasformazioni di Landen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7

INDICE

8

Introduzione

L’entanglement e una delle caratteristiche piu peculiari della meccanica quan-

tistica; esso ha posto alla comunita scientifica i maggiori interrogativi rela-

tivamente ai fondamenti della teoria stessa. Dal lavoro di A. Einstein, B.

Podolsky e N. Rosen del 1935 [24] il dibattito sul carattere intrinsecamente

non locale1 delle teorie quantistiche e suoi possibili completamenti della teo-

ria in senso deterministico si sono susseguiti fino al 1964, anno in cui J.S.

Bell [9] pubblico il suo fondamentale lavoro. Egli infatti indico che le teorie

alternative alla meccanica quantistica2, basate sul principio di realismo lo-

cale di Einstein, predicono una disuguaglianza verificabile fra osservabili in

misure di correlazione di spin, che contraddicono le previsioni della meccanica

quantistica.

I risultati di tutti i recenti esperimenti3 di precisione hanno conclusivamente

stabilito che la disuguaglianza di Bell e violata, per di piu in modo tale da

essere in accordo, entro gli errori, con le previsioni della meccanica quantisti-

ca. La non-localita risulta quindi essere un tratto ineliminabile delle teorie

quantistiche, e seguendo le parole stesse di Bell “Entanglement expresses the

spooky nonlocality inherent to quantum mechanics”.4

In questa tesi verranno discusse alcune tecniche analitiche di calcolo dell’en-

tropia di entanglement, ossia di una quantita fisica che e in grado di discri-

minare fra stati puri e stati entangled. In altre parole essa misura quanto

“quantistico” sia uno stato fisico.

L’interesse per questo tipo di grandezze e recentemente aumentato in virtu

del crescente sviluppo degli studi sulla “quantum computation”, ma ha appli-

1nel senso di A. Einstein, si veda [24].2nella sua formulazione “ortodossa”, elaborata dalla scuola di Copenhagen.3si veda per esempio il lavoro di A. Aspect, [4].4traduzione: “l’entanglement esprime la sinistra non-localita della meccanica

quantistica”.

9

cazioni molto vaste che toccano la fisica della materia condensata,5 dell’ottica

quantistica e anche la fisica dei buchi neri.6

I sistemi fisici su cui ci concentreremo saranno prevalentemente catene di

spin quantistici unidimensionali, al punto critico e non. Al punto critico tali

modelli sono descrivibili attraverso la teoria dei campi conformi bidimensio-

nale.7 Per questo motivo sfrutteremo le connessioni fra la teoria quantistica

di campo 1+1 dimensionale e la meccanica statistica classica e quantistica,

che ci permetteranno di descrivere in modi differenti lo stesso fenomeno fisi-

co.

Nello studiare i sistemi critici ci avvaleremo delle tecniche analitiche derivanti

dalla teoria dei campi conformi bidimensionale, che grazie alla sua algebra

infinito dimensionale permette di calcolare in modo esatto un gran numero

di grandezze fisiche rilevanti per gli scopi di questa tesi.

Per i sistemi non critici utilizzeremo invece tecniche derivanti dal gruppo di

rinormalizzazione e dalla meccanica statistica classica, ed in particolare la

cosidetta Corner Transfer Matrix. Essa e un potente strumento di soluzione

esatta dei modelli classici bidimensionali, ed inoltre ci permettera di calcolare

esattamente l’entropia di entanglement per alcuni modelli, come la catena di

Ising trasversa e il modello XYZ.

Lo schema della tesi e il seguente:

• nel capitolo 1 analizzeremo le connessioni fra la meccanica statistica

classica bidimensionale e la teoria di campo 1+1 dimensionale, pren-

dendo come prototipo il modello di Ising, che verra ripreso piu volte

in tutto l’elaborato;

• nel capitolo 2 studieremo le proprieta fondamentali delle teorie di

campo conformi, in dimensione generica. Tali teorie descrivono i

punti critici del secondo ordine dei modelli statistici;

• nel capitolo 3 specializzeremo la discussione del capitolo 2 al caso bi-

dimensionale. In questo caso l’algebra del gruppo conforme e infinito

dimensionale, e cio permette il calcolo esatto di molte quantita fisiche

rilevanti. Le mappe conformi permettono poi di studiare lo stesso siste-

ma fisico in diverse geometrie, ed in particolare di studiare i cosidetti

effetti di volume finito;

5si veda per esempio [3] e referenze ivi contenute.6si veda per esempio [50] e referenze ivi citate.7una dimensione spaziale e una temporale.

10

Introduzione

• nel capitolo 4 definiremo il concetto di matrice densita ed entropia

di Von Neumann, strettamente correlato con l’entropia di entangle-

ment. Sara discussa poi la tecnica delle “repliche”, che, unita alle

tecniche conformi, permettera il calcolo esatto dell’entropia di entan-

glement per molti modelli fisici differenti al punto critico.

Inoltre grazie ai risultati derivanti dalla teoria del gruppo di rinor-

malizzazione si deriva l’espressione generale per l’entropia al di fuori

del punto critico,8 che verificheremo esplicitamente per la teoria bo-

sonica e per la prima volta anche per la teoria fermionica libera

bidimensionale;

• nel capitolo 5 introdurremo il concetto e le principali caratteristiche

della Corner Transfer Matrix, utilizzandola poi per derivare le pro-

prieta dell’operatore densita e quindi dell’entropia di entanglement di

porzioni semi-infinite di catene quantistiche. Otterremo infatti l’espres-

sione dell’entropia per il modello XYZ, la quale ci consentira in mo-

do originale di derivare i risultati noti per la catena di Ising e per il

modello XXZ.

8ma in prossimita di esso.

11

Capitolo 1

Teoria dei campi e meccanica

statistica

In questo capitolo ci proponiamo di analizzare le connessioni fra teoria quan-

tistica dei campi e meccanica statistica classica nell’intorno di un punto cri-

tico.1 Per fare cio ci serviremo a lungo del modello di Ising bidimensionale,

il cosidetto “atomo d’idrogeno” della meccanica statistica, dal momento che

il suo contenuto fisico e matematico e di vasta portata e permette di eviden-

ziare chiaramente le connessioni fra meccanica statistica classica e teoria dei

campi. Inoltre la teoria quantistica a lui equivalente, ossia la teoria fermio-

nica neutra 1+1 dimensionale sara poi ripresa nei capitoli successivi come

“check” delle nuove teorie affrontate.

Un metodo per passare da una teoria statistica classica ad un modello quan-

tistico passa attraverso l’analisi della matrice di trasferimento, che analizze-

remo nel prossimo paragrafo.

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferi-

mento

Un potente metodo di risoluzione del modello di Ising bidimensionale e di

molti altri modelli di meccanica statistica e il cosidetto metodo della matri-

1tale punto critico deve essere del secondo ordine, per motivi che emergeranno in

seguito. I lavori pionieristici sui punti critici dei modelli statistici classici sono [56] e

[57].

13

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferimento

ce di trasferimento,2 che e l’analogo in meccanica statistica del formalismo

operatoriale della teoria quantistica dei campi.3 In questo paragrafo descri-

veremo tale metodo e illustreremo come questo guidi verso una analogia fra

teorie quantistiche e meccanica statistica critica.

Consideriamo un modello di Ising bidimensionale anisotropo definito su un

reticolo quadrato con m righe e n colonne e passo reticolare a. In ogni sito del

reticolo poniamo una variabile classica dicotomica, ossia una variabile σi,j4

che possa assumere solo i valori ±1. Assumiamo inoltre condizioni periodiche

al contorno in entrambe le direzioni, ossia:

σi,j+n = σi,j σi+m,j = σi,j (1.1)

condizione la quale, topologicamente parlando, equivale a considerare il mo-

dello definito su un toro. Denotiamo con µi la configurazione complessiva

degli spin della i-esima riga:

µi = σi,1σi,2 . . . σi,n (1.2)

Complessivamente ci sono 2n configurazioni possibili. Ogni riga contribuisce

all’energia complessiva del modello attraverso il seguente termine:

E[µi] = −Jn∑

k=1

σi,kσi,k+1 (1.3)

che non e altro che il classico termine di interazione di Ising che simula l’in-

terazione di scambio fra due spin vicini. Inoltre vi e un termine d’interazione

fra due righe vicine:5

E[µi, µj] = −J ′n∑

k=1

σi,kσj,k+1 (1.4)

Definiamo ora formalmente lo spazio vettoriale V , i cui elementi sono le µi,

2un testo di riferimento per studiare tali tecnice e applicarle a modelli statistici e [5].3le equivalenze fra meccanica statistica e teoria dei campi emergono anche nel conte-

sto degli integrali sui percorsi, come accenneremo nel capitolo 4, quando discuteremo la

matrice densita.4gli indici i e j corrono sulle righe e sulle colonne rispettivamente.5stiamo lavorando in assenza di campo magnetico.

14

Teoria dei campi e meccanica statistica

che noteremo da adesso in poi come ket e bra, ossia |µi〉, in analogia con la

meccanica quantistica. In questo spazio definiamo l’azione della matrice di

trasferimento attraverso i suoi elementi di matrice:

〈µ|T |µ′〉 = exp

−β (E[µ, µ′] +1

2E[µ] +

1

2E[µ′])

(1.5)

in termini dell’operatore T , la funzione di partizione del modello:

Z =∑

µ1,µ2,...,µm

exp−β (E[µi] + E[µi, µj]) (1.6)

si scrive come:

Z =∑

µ1,µ2,...,µm〈µ1|T |µ2〉〈µ2|T |µ3〉 . . . 〈µm|T |µ1〉

= Tr Tm

(1.7)

La matrice di trasferimento definita in (1.5) e manifestamente simmetrica,

quindi diagonalizzabile.6 La funzione di partizione puo essere espressa in

termini dei 2n autovalori Λk di T :

Z =2n−1∑

k=0

Λmk (1.8)

Il limite termodinamico si ottiene per n,m → ∞. In questo limite l’energia

libera si puo estrarre dall’andamento dell’autovalore massimo di T , assumen-

do per semplicita che esso non sia degenere. Infatti l’energia libera per sito

e data da:

−f/T = limm,n→∞

1mn

ln(Λm0 + Λm

1 + . . . )

= limm,n→∞

1mn

m ln(Λ0) + ln(1 + (Λ1/Λ0)m + . . . )

= limn→∞

ln Λ0n

(1.9)

dal momento che Λ1/Λ0 < 1. Il calcolo di quantita fisiche piu complicate puo

6grazie al teorema spettrale in dimensione finita.

15

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferimento

richiedere la conoscenza di piu autovalori.

Prima di esprimere i correlatori in termini di matrice di trasferimento, intro-

duciamo l’operatore σi che agisce sugli elementi di V dando il valore dello

spin dell’i-esima colonna della configurazione |µ〉:

σi|µ〉 = σi|µ〉 (1.10)

quindi:

〈σi,jσi+r,k〉 = 1/Z∑

µ1,µ2,...,µm〈µ1|T |µ2〉 . . . 〈µi|σjT |µi+1〉 . . .

. . . 〈µi+r|σkT |µi+r+1〉 . . . 〈µm|T |µ1〉

=Tr(Tm−rσjT

rσk)TrTm

(1.11)

Quest’ultima equazione ricorda il passaggio dal formalismo operatoriale ai

path integrals in teoria di campo.7 In questo caso l’evoluzione temporale e

data dalla matrice di trasferimento, che verra quindi interpretata come ope-

ratore di evoluzione temporale U(a), che fa evolvere il sistema di un tempo

a, pari al passo reticolare del reticolo. In altre parole possiamo definire un

operatore hamiltoniano H nel seguente modo:

T = exp(−aH) (1.12)

Gli autostati di T sono gli autostati dell’hamiltoniana quantistica H , e gli

autovalori di quest’ultima Er sono espressi da:

Er = −1/a ln(Λr) (1.13)

in termini degli autovalori di T . Quindi la densita di energia libera f/a2 e

proporzionale all’energia di vuoto per sito, nella teoria quantistica:

f/a2 = limn→∞

E0

na(1.14)

7vedi per esempio [23], capitolo 2.

16


La magnetizzazione 〈σ〉 nel limite termodinamico e data da:

〈σ11〉 = limm→∞

(TrTm)−1Tr(σTm)

= limm→∞

∑

l e−ma(El−E0) 〈0|σl|l〉

= 〈0|σ1|0〉

(1.15)

dove abbiamo inserito un set completo di autostati di T , del quale rimane

solo |0〉〈0| nel limite termodinamico, a causa dei fattori esponenziali. Il va-

lore medio statistico dello spin e quindi dato dal valore di aspettazione sul

vuoto del corrispondente operatore quantistico. Questa relazione si applica

ad ogni quantita locale e al suo corrispondente operatore.

Allo stesso modo il correlatore a due punti puo essere espresso nel limite

termodinamico come:

〈σ11σ1+r,1〉 = limm→∞

(TrTm)−1Tr(Tm−rσT rσ)

= limm→∞

emaE0∑

l〈0|e(m−r)aE0 σ|l〉〈l|e−raElσ|0〉

= 〈σ11〉2 + |〈0|σ|1〉|2 exp(−ra(E1 − Eo)) + . . .

(1.16)

La funzione a due punti connessa a grandi r ≫ 1 distanze e data da:

〈σ11σ1+r,1〉C ∼ |〈0|σ|1〉|2 exp(−ra(E1 −Eo)) (1.17)

Il gap energetico fra lo stato fondamentale e il primo livello eccitato non e

altro che la massa della teoria di campo quantistica. Infatti da quest’ultima

relazione leggiamo in che rapporto sono tale massa con la lunghezza di cor-

relazione associata allo spin del modello statistico:

ξ =1

ma(1.18)

Nell’intorno di un punto critico del secondo ordine la lunghezza di correla-

zione diverge, quindi “cadiamo” in una teoria di campo a massa nulla, ossia

17

1.2 Fermionizzazione del modello di Ising 2d

come vedremo nei prossimi capitoli, in una teoria invariante di scala. La

relazione precedente giustifica anche il fatto che l’analogia fra meccanica sta-

tistica classica e teoria dei campi quantistici valga nell’intorno di un punto

critico. In tale intorno infatti ξ ≫ a, ed ha quindi senso mandare a zero il

passo reticolare considerando una teoria di campo. Quando cio non e vero,

parleremo di analogia fra meccanica statistica classica e un modello quanti-

stico definito su reticolo.

Un’ultima ma importante considerazione riguarda il conto delle dimensioni.

Siamo infatti partiti da un modello classico bidimensionale, “atterrando” poi

su una teoria di campo quantistica euclidea 1+1 dimensionale. Quindi in via

del tutto generale possiamo affermare che un modello statistico classico in

d dimensioni spaziali equivale ad una teoria di campo in d − 1 dimensioni

spaziali. La dimensione mancante e il tempo euclideo della teoria quantistica.


In questa sezione riprenderemo il modello di Ising, esplicitando i concetti del

paragrafo precedente, con l’intento di arrivare alla formulazione del modello

in termini di una teoria di campo fermionica neutra.8

1.2.1 Limite hamiltoniano

Consideriamo nuovamente un modello di Ising definito su un reticolo qua-

drato con N = n2 siti, ossia con n righe e n colonne, indicando con τ il passo

reticolare lungo la verticale e con α quello lungo l’orizzontale (vedi figura

sottostante). Ancora una volta considereremo condizioni al contorno di tipo

periodico sugli spin del reticolo:

σi+n,j = σij σi,j+n = σij (1.19)

Nel seguito indicheremo con σi e σ′i gli spin su righe successive, mentre il

pedice i sara riferito alla posizione dello spin sulla riga. Ora sappiamo che

8per teoria di campo neutra intendiamo una teoria che ammetta soluzioni reali per

le equazioni del moto. La teoria fermionica neutra e anche detta di Majorana, e viene

utilizzata in teoria dei campi per descrivere particelle di spin 1/2 neutre dal punto di vista

elettrico, come ad esempio il neutrino.

18


Figura 1.1: Reticolo di Ising bidimensionale.

la configurazione globale del reticolo e specificata dalle n configurazioni delle

singole righe, ossia da µ1 . . . µn. Se consideriamo la possibilita di avere un

campo magnetico non nullo, le espressioni del paragrafo precedente riguar-

danti le energie si generalizzano in:

E(µ, µ′) = −J ′n∑

k=1

σkσ′k (1.20)

e

E(µ) = −Jn∑

k=1

σkσk+1 −B

n∑

k=1

σk (1.21)

L’energia totale del sistema associata alla configurazione µ1, . . . , µn e data

da:

E(µ1, . . . , µn) =

n∑

a=1

[E(µa, µa+1) + E(µa)] (1.22)

mentre la funzione di partizione canonica diviene:9

9in tutto l’elaborato per funzione di partizione si intendera sempre quella canonica.

19


Z =∑

µ1

∑

µ2

· · ·∑

µn

exp−βE(µ1, . . . µn) (1.23)

La matrice di trasferimento T ha elementi:10

〈µ|T |µ′〉 = exp −β [E(µ, µ′) + E(µ)] (1.24)

e riscriviamo la funzione di partizione come:

Z =∑

µ1,µ2,...,µn〈µ1|T |µ2〉〈µ2|T |µ3〉 . . . 〈µn|T |µ1〉

= Tr T n

(1.25)

Il problema si riduce cosı alla diagonalizzazione della matrice di trasferimen-

to, cosa che nel caso di campo magnetico applicato nullo e stata affrontata

con successo da Onsager nel 1944, [42]. Noi non ripercorreremo questa stra-

da, ma una ad essa equivalente.11 L’operatore T puo essere cosı decomposto:

T = V3V2V1, dove le matrici Vi sono matrici 2n × 2n (come del resto T ) con

elementi dati da:12

〈σ1 . . . σn|V1|σ′1 . . . σ

′n〉 =

n∏

k=1

eLσkσ′k

〈σ1 . . . σn|V2|σ′1 . . . σ

′n〉 = δσ1σ′

1. . . δσnσ′

n

n∏

k=1

eKσkσk+1

〈σ1 . . . σn|V3|σ′1 . . . σ

′n〉 = δσ1σ′

1. . . δσnσ′

n

n∏

k=1

eβBσk

(1.26)

dove si sono posti K = βJ e L = βJ ′. E immediato verificare che dalle

relazioni precedenti si ottiene:

10questa definizione differisce nella forma leggermente da quella introdotta nel paragrafo

precedente, ma conduce alle stesse relazioni.11anche se il nostro obiettivo non sara quello di determinare in modo esatto gli esponenti

critici del modello, ma piuttosto cercare l’equivalente teoria di campo.12i pedici indicano le posizioni reticolari.

20


〈σ1 . . . σn|T |σ′1 . . . σ

′n〉 =

n∏

k=1

eKσkσk+1+Lσkσ′

k+βBσk (1.27)

come ci si aspettava. Nel seguito risulteranno di grande utilita i seguenti

operatori, definiti su V = C2 ⊗ C2 ⊗ · · · ⊗ C2, ossia il prodotto tensoriale di

C2 n volte:13

σ1(a) = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ σ1 ⊗ · · · ⊗ I

σ2(a) = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ I

σ3(a) = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ σ3 ⊗ · · · ⊗ I

(1.28)

Dove:

σ1 =

(

0 1

1 0

)

σ2 =

(

0 −ii 0

)

σ3 =

(

1 0

0 −1

)

(1.29)

sono le matrici di Pauli, che compaiono nella posizione a-esima dei corrispet-

tivi σi(a). Valgono le seguenti proprieta:

[σi(a), σj(b)] = 2i εijk σk(a) δab

σi(a), σj(a) = 2δij

(1.30)

In termini degli operatori appena definiti la matrice di trasferimento si ri-

scrive come:

T =

n∏

a=1

[

eβBσ3(a) eKσ3(a)σ3(a+1) A(L) eL∗σ1(a)]

(1.31)

dove A(L) = (2 sinh(2L))1/2 e tanh(L∗) = e−2L. Possono risultare utili le

seguenti identita:

eβBσ3(a) = cosh(βB) + σ3(a) sinh(βB)

eLσ1(a) = cosh(L) + σ1(a) sinh(L)

eKσ3(a)σ3(a+1) = cosh(K) + σ3(a)σ3(a+ 1) sinh(K)

(1.32)

13da adesso in poi le posizioni reticolari saranno indicate entro parentesi.

21


Nella sezione precedente avevamo assunto di poter scrivere:

T = e−τH (1.33)

Ora si petrebbe in linea teorica cercare di costruire H a τ fissato, facendo

ampio uso della formula di Baker-Haussdorf, ma l’hamiltoniana risultante

non e particolarmente illuminante dal punto di vista fisico ne facilmente

risolvibile. Piu utile e considerarne il cosidetto limite hamiltoniano, ossia

mandare τ → 0 e ricavare H dall’espressione:

T = I − τH + o(τ 2) (1.34)

Nel mandare a zero il passo reticolare occorre assicurarsi che la descrizio-

ne fisica del problema non cambi, e come insegna la teoria del gruppo di

rinormalizzazione 14 questa richiesta puo essere soddisfatta riscalando op-

portunamente le costanti di accoppiamento. Procediamo come segue: nel

limite τ → 0 espandiamo T come in (1.34). Per semplicita esponiamo il

ragionamento per una matrice di trasferimento 2 × 2, e poi generalizzeremo

al caso 2n × 2n. Pensiamo quindi a T come a:

T =

(

a b

c d

)

(1.35)

e vorremmo identificarla come:

I − τH =

(

1 0

0 1

)

− τ

(

H11 H12

H21 H22

)

(1.36)

quindi si individua la seguente corrispondenza:

14una ampia e didattica presentazione del gruppo di rinormalizzazione in meccanica

statitistica si trova nel libro [14] e nell’articolo [32].

22


a→ 1 − τH11 per τ → 0

b→ −τH12 per τ → 0

c→ τH21 per τ → 0

d→ 1 − τH22 per τ → 0

(1.37)

a e d corrispondono agli elementi diagonali, ossia elementi di matrice di T

calcolati sulla medesima configurazione di spin, mentre b e c corrispondono

a elementi di matrice in cui il secondo spin e stato ruotato rispetto al primo.

Per questo motivo chiameremo H11 e H22 le hamiltoniane a zero spin ruotati,

mentre H12 e H21 le hamiltoniane a uno spin ruotato.

Quando ogni riga del reticolo possiede piu di uno spin, T ha 2n×2n elementi,

ma il discorso precedente si ripete in modo identico. Vogliamo ora convincer-

si che nel limite τ → 0 sopravvivono in H solo termini che lasciano gli spin

invariati o al piu ne ruotano uno. Per fare cio consideriamo una transizione

fra una riga a e una riga a + 1 che non ruoti nessuno spin:

T (zero spin ruotati) = exp K∑

i

σiσi+1 (1.38)

dove ci siamo gia messi nel caso di campo magnetico nullo e abbiamo ag-

giunto un controtermine costante all’hamiltoniana originaria per elidere il

termine costante che comparrebbe ad esponente nella matrice di trasferi-

mento.15 Scriviamo quindi:

T (zero spin ruotati) ∼ 1 − τH0 spin (1.39)

da cui se K → 0 per τ → 0, ossia K ≈ τ , avremmo un termine in H

proporzionale a∑

a σaσa+1. Ora nel caso di uno spin ruotato si ha:

T (uno spin ruotato) = exp K∑i σiσi+1 − 2L

= exp−2L exp K∑

i σiσi+1

∼ −τH1 spin

(1.40)

15Hnew = Hold + J ′n

23


e con l’identificazione τ ∼ exp−2L, ed espandendo nel limite τ → 0 otte-

niamo:

∼ τ1 + λτ∑

a

σaσa+1 ∼ τ + o(τ 2) (1.41)

dove si e posto K = λτ . Se infine consideriamo le transizioni fra righe con k

spin ruotati otteniamo:

T (k spin ruotati) = exp−2kL expK∑

a σaσa+1

∼ −τHk rot

∼ τk1 + λτ∑

a σaσa+1

(1.42)

che per ogni k > 1 da un contributo trascurabile nel limite τ → 0. Quindi

nell’hamiltoniana quantistica ci devono essere solo termini che non ruotano

nessuno spin o che ne ruotano al massimo uno. Identfichiamo quindi:

τ = exp−2L

K = λτ

(1.43)

da cui si evince che nel limite hamiltoniano K diviene molto piccolo mentre

L diviene molto grande. Il valore λ = 1 identifica il punto critico del modello,

infatti per un modello di Ising 2d si ha la seguente linea critica nello spazio

delle costanti di accoppiamento:16

sinh(2K) sinh(2L) = 1 (1.44)

Ogni punto di questa equazione conduce al modello di Ising critico con lun-

ghezza di correlazione ξ infinita. Nel limite hamiltoniano l’equazione critica

diviene:

e2L k = 1 −→ λ = 1 (1.45)

16ricavata dal confronto fra l’espansione a bassa temperatura e quella ad alta

temperatura della funzione di partizione, vedi per esempio [5].

24


Figura 1.2: Diagramma di fase del modello di Ising.

Inoltre λ > 1 identifica la fase ordinata, mentre λ < 1 quella disordinata.

Consideriamo la seguente hamiltoniana quantistica:17

H = −n∑

a=1

[σ1(a) + λ σ3(a)σ3(a+ 1)] (1.46)

che descrive una catena unidimensionali di spin quantistici. Ora e semplice

convincersi che questa hamiltoniana ha i corretti elementi di matrice, dato

che se confrontiamo gli elementi di 1− τH e T nel limite τ → 0 otteniamo lo

stesso risultato, previa avere fatto la corretta identificazione fra le costanti

di accoppiamento. Da osservare che effettivamente questa hamiltoniana ha

elemento di matrice nullo se preso fra due configurazioni con piu di uno spin

differente.

1.2.2 Operatori di disordine e dualita

Abbiamo visto nella sezione precedente come nel limite hamiltoniano il mo-

dello di Ising bidimensionale classico sia equivalente ad un modello quanti-

17detta catena di Ising trasversa.

25


Figura 1.3: Azione dell’operatore di disordine.

stico di spin su reticolo 1+1 dimensionale. Introduciamo i seguenti operatori

detti di disordine:18

µ3(r + 1/2) =r∏

ρ=−∞σ1(ρ)

µ1(r + 1/2) = σ3(r)σ3(r + 1)

(1.47)

Essi sono definiti sui punti del reticolo duale, ovvero sui punti medi del

reticolo originario. Dalla loro definizione si deduce che µ1(r+1/2) e sensibile

all’allineamento di due siti primi vicini. L’operatore µ3(r+1/2) agendo sugli

spin originari del reticolo, ruota tutti quelli che sono alla sinistra del punto

r, come illustrato in figura. Valgono le seguenti proprieta:

18definiti nel limite termodinamico. Il ruolo di tali operatori nel modello di Ising e stato

discusso originariamente nei lavori [25], [33].

26


i) µ3(r − 1/2)µ3(r + 1/2) = σ1(r)

ii)∏

m<n

µ1(m+ 1/2) = σ3(n+ 1)

iii) [µ3(r + 1/2), µ3(r′ + 1/2)] = 0

iv) [µ3(r + 1/2), σ(r′)] = 0

v) µ1(r + 1/2), µ3(r′ + 1/2) = 0

(1.48)

Partendo da una configurazione ordinata di spin esso crea una eccitazione

detta di kink. Questa e una configurazione topologica che interpola fra due

possibili stati di vuoto del sistema, ovvero i due stati con gli spin comple-

tamente allineati. Data una configurazione arbitraria di spin, ispezionando

solo le condizioni ai bordi della catena si puo sapere se vi e un numero pari

o dispari di kink.

L’hamiltoniana riscritta in funzione degli operatori di disordine diviene:

H = −∑r[µ3(r − 1/2)µ3(r + 1/2) + λµ1(r + 1/2)]

= −λ∑

r[λ−1µ3(r − 1/2)µ3(r + 1/2) + µ1(r + 1/2)]

(1.49)

Poiche le variabili σi e µi soddisfano la stessa algebra, l’espressione preceden-

te per H rende manifesta la seguente simmetria:

H(σ, λ) = λ−1H(σ, λ−1) (1.50)

detta simmetria di Kramers-Wannier, che a livello di autovalori si scrive co-

me: E(λ) = λE(λ−1).

Tale equazione porta ad una corrispondenza fra lo spettro a λ > 1 e quello a

λ < 1 e da sola e in grado di dire dove si trova il punto critico del modello.

Per punto critico di un modello quantistico intendiamo l’azzeramento del gap

energetico fra il livello fondamentale e il primo livello eccitato, cio l’azzera-

mento del cosidetto “massgap”. Detto m(λ) il massgap del modello di Ising,

l’equazione precedente implica che se m(λ∗) = 0 per un certo λ∗ allora anche

27


m(λ−1∗ ) = 0. Se ammettiamo che la teoria debba avere un solo punto criti-

co,19 questo sara necessariamente per λ∗ = 1.

1.2.3 Diagonalizzazione dell’hamiltoniana

L’hamiltoniana quantistica del modello di Ising puo essere diagonalizzata

esplicitamente mediante una trasformazione di Wigner-Jordan. Per sempli-

ficare le formule che seguono conviene effettuare una trasformazione unitaria

sull’hamiltoniana arrivando a:20

H = −∑

a

[σ3(a) + λ σ1(a)σ1(a + 1)] (1.51)

Definiamo i seguenti operatori fermionici:21

c(a) =

a−1∏

j=1

eiπσ+j

σ−

j σ−(a) =

a−1∏

j=1

(−σzj ) σ

−(a)

c+(a) =

a−1∏

j=1

e−iπσ+j σ−

j σ+(a) =

a−1∏

j=1

(−σzj ) σ

+(a)

(1.52)

che soddisfano alle seguenti regole di anticommutazione:

c(a), c(b) = c+(a), c+(b) = 0

c(a), c+(b) = δab

(1.53)

Nelle espressioni precedenti σ+ e σ− sono gli operatori cosidetti di scala, che

innalzano o abbassano le componenti lungo z di uno spin 1/2:

σ+ =1

2(σx + i σy) σ− =

1

2(σx − i σy) (1.54)

Valgono inoltre le seguenti importanti proprieta:

19vedi per esempio [42], [32].20fisicamente abbiamo semplicemente cambiato il sistema di riferimento.21stiamo pensando ancora ad una catena finita.

28


σ1(a)σ1(a+ 1) = [c+(a) − c(a)] [c+(a+ 1) + c(a + 1)]

σ3(a) = 2 c+(a)c(a) − 1

(1.55)

L’hamiltoniana in termini di questi operatori fermionici si scrive come:22

H = −2∑

a

c+(a)c(a) − λ∑

a

[c+(a) − c(a)][c+(a+ 1) + c(a+ 1)] (1.56)

Numeriamo ora i siti della catena nel seguente modo: −n,−n+1, . . . , n−1, n

in modo da avere complessivamente 2n + 1 siti, e espandiamo gli operatori

fermionici in trasformata di Fourier:

c(a) = 1√2n+1

∑

k e−ika ck

c+(a) = 1√2n+1

∑

k eika c†k

(1.57)

in cui k appartiene alla prima zona di Brillouin, ossia:

k = 0,± 2π

2n+ 1,± 4π

2n+ 1, . . . ,± 2πn

2n+ 1(1.58)

Invertendo le relazioni precedenti si ottiene l’algebra degli operatori c†k e ck:

ck, cj = c†k, c†j = 0

ck, c†j = δkj ∀ k, j(1.59)

Inserendo le espansioni precedenti nell’espressione per l’hamiltoniana otten-

go:

H = − 2∑

k>0

(1 + λ cos k)(c†kck + c†−kc−k)+

+ 2iλ∑

k>0

(c†kc†−k + ckc−k) − 2(1 + λ)c†0c0

(1.60)

22a meno di una ininfluente costante additiva.

29


Il modo zero rimane nell’espressione di H , e crea una degenerazione del vuo-

to.23 Questo annoso problema puo essere rimosso imponendo condizioni an-

tiperiodiche24 sulla catena di spin quantistici, cosa che si fa prendendo i

seguenti valori di k nell’espressione (1.57):

k = ± π

2n + 1,± 3π

2n+ 1, . . . ,± πn

2n + 1(1.61)

Questa nuova zona di Brillouin adattata alle condizioni al contorno antipe-

riodiche porta alla seguente espressione dell’hamiltoniana in termini di c†k e

ck:

H = − 2∑

k= 12, 32,...

(1 + λ cos k)(c†kck + c†−kc−k) +

+ 2iλ∑

k= 12, 32,...

(c†kc†−k + ckc−k)

(1.62)

Questa hamiltoniana e quadratica negli operatori c†k e ck, ma la sua forma

non e ancora sufficiente a determinarne lo spettro. Il vuoto di H non e il

vuoto di ck a causa dei termini c†kc†−k. Dovremmo trasformare l’hamiltonia-

na affinche sia nella forma:

H =∑

k

[. . . ] η†kηk (1.63)

con opportuni operatori di creazione e distruzione fermionici η†k e ηk.

Con questo proposito applichiamo la trasformazione di Bogoliubov-Valentin:25

ηk = Ukck + iVkc†−k η−k = Ukc−k − iVkc

†k

η†k = Ukc†k − iVkc−k η†−k = Ukc

†−k + iVkck

(1.64)

dove Uk e Vk sono parametri per il momento arbitrari. Questi nuovi operatori

23ossia la teoria possiede una infinita di vuoti, labellati dall’autovalore dell’impulso del

modo zero.24tali condizioni saranno poi le piu appropriate per la teoria di campo che ci apprestiamo

ad introdurre.25definita per k > 0.

30


di creazione e annichilazione soddisfano alla seguente algebra:

ηk, ηj = η†k, η†j = 0

ηk, η†j = δkj ∀ k, j

(1.65)

a patto che U2k + V 2

k = 1, condizione la quale ci consente di parametrizzare

tali parametri come:

Uk = cos θk Vk = sin θk (1.66)

Utili risultano essere le trasformazini inverse:

ck = Ukηk − iVkη†−k c−k = Ukη−k + iVkη

†k

c†k = Ukη†k + iVkη−k c†−k = Ukη

†−k − iVkηk

(1.67)

Sostituendo queste relazioni all’interno dell’hamiltoniana, si ottiene:

H =∑

k= 12, 32,...

[−2(1 + λ cos k)(U2k − V 2

k ) + 4λ sin kUk Vk](η†kηk + η†−kη−k)+

+∑

k= 12, 32,...

[4i(1 + λ cos k)Uk Vk + 2iλ sin k(U2k − V 2

k )](η†kη†−k + ηkη−k)

(1.68)

Per avere una hamiltoniana nella forma canonica (1.63) imponiamo che:

4(1 + λ cos k)Uk Vk + 2λ sin k(U2k − V 2

k ) = 0 (1.69)

mentre si ha anche:

2Uk Vk = sin 2θk U2k − V 2

k = cos 2θk (1.70)

che si riscrive come:

31


Figura 1.4: Relazione di dispersione per la teoria quantistica di Ising.

tan 2θk = − λ sin k

1 + λ cos k(1.71)

da cui, tenendo opportunamente conto dei segni:

sin 2θk = λ sin k√1 + 2λ cos k + λ2

cos 2θk = − λ cos k√1 + 2λ cos k + λ2

(1.72)

e inserendo nell’hamiltoniana otteniamo:

H = 2∑

k

Λk η†kηk (1.73)

dove Λk =√

1 + 2λ cos k + λ2. Tale relazione di dispersione e graficata in

figura.

Il minimo della relazione di dispersione lo si ha per k = ±π, ossia:

Λ±π =√

1 − 2λ+ λ2 = |λ− 1| (1.74)

32


e anche Emin = 2 |λ− 1|, cosa che conferma ulteriormente λ = 1 come punto

critico del modello.

Vorremmo ora andare nel limite continuo, ossia mandare α → 0 e misurare

il momento rispetto a kmin. Quindi scriviamo:

k = π + αk′ e Ek = Λk/α (1.75)

che per piccoli α da Λk ≈√

(1−λ)2

α2 + λk′2, che non e altro che la relazione

di dispersione di una particella relativistica di massa |1−λ|α

.

Infatti nell’intorno del punto critico si ha: E(k′) ≈ |k′|, che e la relazione

di dispersione di una particella relativistica massless. Nella prossima sezione

illustreremo un modo piu diretto di evidenziare il contenuto fermionico del

modello di Ising.

1.2.4 Equazione di Dirac

Riconsideriamo ora l’hamiltoniana:

H = −1

2

∑

a

[σ1(a) + λσ3(a)σ3(a+ 1)] (1.76)

dove il fattore 1/2 e stato introdotto per convenienza futura. Vorremmo

determinare l’equazioni del moto degli operatori della teoria. Nella metrica

euclidea per un operatore A generico vale:

∂

∂τA = [H, A] (1.77)

per cui si ha immediatamente:

∂

∂τσ3(r) = [H, σ3(r)]

∂

∂τµ3(r + 1/2) = [H, µ3(r + 1/2)] = λσ3(r)σ3(r + 1)µ3(r + 1/2)

(1.78)

Le equazioni del moto sono non lineari e non particolarmente agevoli da ri-

33


solvere. Possono essere tuttavia linearizzate definendo:

ψ1(r) = σ3(r) µ3(r + 1/2)

ψ2(r) = σ3(r) µ3(r − 1/2)

(1.79)

Ora conoscendo l’evoluzione a tempo euclideo per σ3 e µ3 non e difficile

ottenere:∂ψ1(r)

∂τ= −ψ2(r) + λ ψ2(r + 1)

∂ψ2(r)

∂τ= −ψ1(r) + λ ψ1(r − 1)

(1.80)

ristabilendo il passo reticolare con r ± 1 → r ± α e passando al limite conti-

nuo, si scrive:

∂ψ1(r)

∂τ= −(1 − λ)ψ2(r) + λ

∂ψ2(r)

∂rα

∂ψ2(r)

∂τ= −(1 − λ)ψ1(r) − λ

∂ψ1(r)

∂rα

(1.81)

e definendo t = ατ ,

∂ψ1(r)

∂t= −(1 − λ)

αψ2(r) + λ

∂ψ2(r)

∂r

∂ψ2(r)

∂t= −(1 − λ)

αψ1(r) − λ

∂ψ1(r)

∂r

(1.82)

I due campi ψ1 e ψ2 possono essere organizzati in un campo spinoriale:

Ψ =

(

ψ1

ψ2

)

(1.83)

Ora l’idea e di mandare a zero il passo reticolare orizzontale α per “cadere”

in una vera e propria teoria di campo. Nel fare cio dobbiamo pero contem-

poraneamente mandare λ → 1 affinche il termine massivo 1−λα

tenda ad un

valore finito m. Cosı facendo possiamo riscrivere le equazioni del moto per il

campo Ψ nel seguente modo:

34


(

γ0 ∂

∂t+ γ3 ∂

∂r+m

)

Ψ = 0 (1.84)

dove le matrici γ0 e γ3 sono date da:

γ0 =

(

0 1

1 0

)

γ3 =

(

1 0

0 −1

)

(1.85)

E importante osservare che ψ1 definito in (1.79) e un operatore antiautoag-

giunto, mentre ψ2 e autoaggiunto.26 Questo ci dice che non saranno esatta-

mente ψ1 e ψ2 le due componenti dello spinore neutro di Majorana che stia-

mo cercando, ma opportune loro combinazioni lineari, come vedremo nella

prossima sezione. 27

1.2.5 Il fermione di Majorana in coordinate complesse

Al termine della sezione precedente eravamo arrivati all’equazione (1.84) per

un fermione a due componenti. Tale equazione puo essere riscritta come:

(

m+ ∂r ∂t

∂t m− ∂r

)(

ψ1

ψ2

)

= 0 (1.86)

Consideriamo ora la seguente matrice unitaria:

S =1√2

(

1 −i−i 1

)

(1.87)

che soddisfa S†S = SS† = I. Valgono inoltre:

S†γ0S = γ0

S†γ3S = σ2 ≡ γ2

(1.88)

In virtu di tali proprieta possiamo mappare l’equazione di Dirac precedente

nella seguente:

(

γ0∂t + γ2∂r +m)

Ψ ′ = 0 (1.89)

26si puo verificare in entrambi i casi prendendone il trasposto coniugato.27per una ampia discussione sull’equivalenza fra Ising 2d e la teoria fermionica neutra

si veda per esempio [51],[60],[30], [48].

35


dove Ψ ′ = S†Ψ . Possiamo riscriverla in notazione matriciale come:

(

m −∂r − i∂t

∂t − i∂r −im

)(

−iψ′1

ψ′2

)

= 0 (1.90)

Ora ridefinendo le variabili nel seguente modo:

ψ ≡ −iψ′1 =

1√2(ψ2 − iψ1) ψ ≡ ψ′

2 =1√2(ψ2 + iψ1) (1.91)

e anche 28:z = t+ ir z = t− ir

∂z = 12(∂t − i∂r) ∂z = 1

2(∂t + i∂r)

(1.92)

le equazioni del moto per le componenti spinoriali divengono:

∂zψ = im2ψ

∂zψ = −im2ψ

(1.93)

Tali equazioni possono essere dedotte dalla seguente azione euclidea:29

S =

∫

d2x

ψ∂zψ + ψ∂zψ + imψψ

(1.94)

per uno spinore a due componenti reali, ossia uno spinore di Majorana. La

dualita del modello di Ising bidimensionale e espressa dall’invarianza della

teoria fermionica sotto la trasformazione:

m −→ −m

ψ −→ ψ

ψ −→ −ψ

(1.95)

Da osservare che quando m = 0 le equazioni del moto impongono che i due

28definite in questo modo risulta evidente - in base alla discussione finale della sezione

precedente - che sia ψ che ψ sono campi di Grassmann reali.29nota che ψψ + ψψ = 0 essendo variabili di Grassmann.

36


campi spinoriali siano olomorfo e antiolomorfo rispettivemente. Riprendere-

mo questa importante proprieta nel capitolo sulle teorie conformi bidimensio-

nali, mentre considereremo la teoria massiva in dettaglio quando parleremo

di teorie fuori dal punto critico.

Nel prossimo capitolo ci occuperemo di una classe importante di teorie di

campo, ossia le teorie di campo conformi. In questa classe cade per esempio

la teoria fermionica neutra massless, incontrata in questo capitolo.

37


38

Capitolo 2

Invarianza conforme globale

2.1 Il gruppo conforme

Scopo di questo capitolo e introdurre la nozione di invarianza conforme, in

uno spazio-tempo di dimensione generica. Denoteremo con gµν il tensore

metrico in uno spazio-tempo di dimensione d. Per definizione, una trasfor-

mazione conforme delle coordinate e una mappa invertibile x→ x′ che lascia

il tensore metrico invariato a meno di un fattore di scala:

g′µν(x′) = Λ(x) gµν(x) (2.1)

L’azione di una trasformazione conforme sulle coordinate puo essere pensa-

ta localmente equivalente ad una rotazione ed a una dilatazione. L’insieme

delle trasformazioni conformi forma gruppo - essendo invertibili e contenen-

do la trasformazione identita - ed inoltre il gruppo di Poincare 1 e un suo

sottogruppo, dal momento che esso corrisponde al caso Λ(x) = 1.

Tale affermazione segue dal fatto che per definizione le trasformazioni del

gruppo di Lorentz sono quelle che lasciano invariato il tensore metrico. In-

fatti vale la proprieta seguente:

Λαµ Λβ

ν gαβ = gµν (2.2)

per ogni arbitraria matrice del gruppo di Lorentz. Un altro modo per visualiz-

zare una trasformazione conforme delle coordinate, in via del tutto generale,

1tale gruppo di trasformazioni e formato dalle trasformazioni del gruppo di Lorentz -

dette in gergo boost - e dalle traslazioni spazio-temporali.

39


Figura 2.1: caso (a): reticolo originario. Caso (b): reticolo dopo una

trasformazione conforme. Caso (c): reticolo dopo una trasformazione non

conforme.

e quello di pensare a una mappa che lasci invariati gli angoli fra due cur-

ve qualsiasi che si intersecano in un punto. Proprio per questo motivo tali

trasformazioni sono note nella letteratura matematica come le mappe che

preservano gli angoli 2. Storicamente tale caratteristica delle trasformazioni

conformi delle coordinate trovo una applicazione pratica nella realizzazione

delle carte navali, nelle quali si deve riprodurre su un piano una porzione

del globo terracqueo, e nel fare cio, ai fini della navigazione, bisogna ripro-

durre fedelmente gli angoli fra rette piuttosto che le dimensioni lineari delle

nazioni. Analizziamo ora le conseguenze di (2.1) su di una trasformazione

infinitesima x µ −→ x µ + ǫ µ. Premesso che:

∂xα

∂x′µ= δα

µ − ∂µ ǫα (2.3)

La metrica al primo ordine in ǫ varia secondo la seguente legge:

g′µν(x′) =

∂xα

∂x′µ∂xβ

∂x′νgαβ(x) (2.4)

e cosı facendo si ottiene:

gµν(x) −→ g′µν(x′) = gµν(x) − ∂µǫν − ∂νǫµ (2.5)

Richiedere che la trasformazione sia conforme equivale a richiedere che:

∂µǫν + ∂νǫµ = f(x) gµν(x) (2.6)

2in realta si dovrebbe distinguere fra trasformazioni conformi pure e trasformazioni

isogonali, che preservano sı l’ampiezza dell’angolo, ma in generale non l’orientazione.

40


e il fattore f(x) viene determinato prendendo la traccia di entrambi i lati:

f(x) =2

d∂ρ ǫ

ρ (2.7)

Per semplicita assumiamo che la trasformazione conforme sia una deforma-

zione infinitesima della metrica euclidea standard in d dimensioni, ossia: 3

gµν = diag (1, 1, . . . , 1) = ηµν (2.8)

Applicando una ulteriore derivata ∂ρ all’equazione(2.6), permutando gli in-

dici e prendendo opportune combinazioni lineari delle espressioni ottenute,

si ottiene:

2 ∂µ ∂ν ǫρ = ηµρ ∂νf + ηνρ ∂µf − ηµν ∂ρf (2.9)

Contraendo con il tensore metrico ηµν , essa diviene:

2 ∂ 2ǫµ = (2 − d) ∂µf (2.10)

dove abbiamo usato la seguente notazione 4: ∂ 2 = ηµν∂µ ∂ν . Applicando ∂ν

alla (2.10) e ∂ 2 alla (2.6) otteniamo:

(2 − d) ∂µ ∂ν f = ηµν ∂2f (2.11)

e finalmente contraendo col tensore metrico η si perviene a:

(d− 1) ∂ 2f = 0 (2.12)

Per prima cosa notiamo che nel caso unidimensionale questa equazione non

dice granche, poiche non impone nessun vincolo sulla funzione f, dato che

qualsiasi trasformazione delle coordinate invertibile e conforme in una di-

mensione 5.Il caso bidimensionale sara affrontato in notevole dettaglio in se-

guito, per il momento concentriamo la nostra attenzione sul caso d > 3. Le

equazioni precedenti implicano:

∂µ ∂νf = 0 (2.13)

cioe la funzione f e al piu lineare nelle coordinate:

f(x) = A + Bµ xµ (2.14)

3tale ipotesi equivale a lavorare a tempo immaginario.4utilizzata sistematicamente in tutto l’elaborato.5in una dimensione non e nemmeno definito il concetto di angolo.

41


Ora riconsideriamo l’equazione (2.9):

2 ∂µ ∂ν ǫρ = ηµρ ∂νf + ηνρ ∂µf − ηµν ∂ρf (2.15)

Se sostituiamo l’espresione ottenuta per f all’interno di quest’ultima, scopria-

mo che ∂µ ∂ν ǫρ e una costante, il che significa che ǫµ e al piu quadratico

nelle coordinate. In via del tutto generale possiamo scrivere:

ǫµ = aµ + bµν xν + cµνρ x

ν xρ (2.16)

nel quale si ha, ovviamente cµνρ = cµρν .

Dal momento che i vincoli ottenuti sulla variazione infinitesima devono es-

sere soddisfatti per ogni x ∈ Rd, possiamo trattare ogni potenza di x sepa-

ratamente. La prima cosa che se ne deduce e che il parametro aµ e libero

da vincoli, e corrisponde ad una traslazione spazio-temporale infinitesima.

Consideriamo ora il termine lineare in x e sostituiamolo nell’equazione (2.6)

ottenendo:

bµν + bνµ =2

dηµν b

λλ (2.17)

la quale implica che bνµ e la somma di una parte antisimmetrica e una traccia

pura:

bνµ = α ηµν + mµν (2.18)

dove

mµν = − mνµ (2.19)

Il termine contenente la traccia di b rappresenta una trasformazione di dilata-

zione, mentre la parte antisimmetrica rappresenta una rotazione infinitesima

rigida. 6 Sostituendo infine il termine quadratico in x di ǫµ in (2.6) si ottiene:

cµνρ = ηµρ bν − ηνρ bµ + ηµν bρ (2.20)

dove 7

bµ ≡ 1

dcσσµ (2.21)

cosı da poter scrivere la corrispondente variazione infinitesima come:

ǫµ = cµνρ xν xρ = 2 (b · x) xµ − bµ x

2 (2.22)

6in uno spazio tempo euclideo un boost lorentziano si realizza mediante una rotazione

rigida.7si osservi che ∂σ ǫ

σ = b λλ + 2 c λ

λα xα

42


e in conclusione si ha:

x′µ = xµ + 2 (b · x) xµ − 2 b µ x2 (2.23)

che porta il nome di trasformazione conforme speciale, SCT. Listia-

mo ora la trasformazioni finite corrispondenti alle trasformazioni infinitesime

appena studiate:

(traslazioni) x′µ = xµ + aµ

(dilatazioni) x′µ = α xµ

(rotazioni rigide) x′µ = M µν x

ν

(SCT ) x′µ = xµ − b µ x2

1 − 2 b·x + b2 x2

(2.24)

Le prime tre trasformazioni non sono altro che “esponenziazioni” della corri-

spondente trasformazione infinitesima, mentre l’ultima non e cosı immedia-

ta, anche se e semplice convincersi che la sua versione infinitesima e proprio

(2.23). La SCT e una trasformazione conforme delle coordinate con un fattore

Λ(x) dato da:

Λ(x) = (1 − 2 b · x + b2 x2)2 (2.25)

Un altro modi per leggere l’azione delle SCT sulle coordinate e il seguente:

x′µ

x′2=

xµ

x2− bµ (2.26)

Ora risulta manifesto il fatto che le SCT non sono altro che traslazioni pre-

cedute e seguite da una inversione del tipo xµ → xµ

x2 .

2.2 Algebra del gruppo conforme

Richiamiamo ora la definizione di variazione in forma per un campo classico

φ(x) sotto l’azione di un gruppo continuo parametrizzata dai parametri ωa,

a = 1, 2, . . . , n.8 Consideriamo quindi un campo classico9 φ : x −→ V e una

8tali parametri, che in generale parametrizzano il gruppo di Lie in questione, sono

supposti essere costanti.9lo spazio V dipende dal tipo di campo che si sta considerando, per un campo scalare

potra essere per esempio R o C.

43

2.2 Algebra del gruppo conforme

trasformazione infinitesima che agisce sia sulle coordinate spazio-temporali

che sul campo:10

x′µ = xµ + ωaδxµ

δωa

φ′(x′) = φ(x) + ωaδFδωa

(x)

(2.27)

Analizzeremo tale variazione al primo ordine nel set di parametri ωa. Ti-

picamente si definisce il generatore Ga di una trasformazione di simmetria

attraverso la seguente espressione per la variazione infinitesima allo stesso

punto:11

δωφ(x) ≡ φ′(x) − φ(x) ≡ −iωaGaφ(x) (2.28)

Relazionando tale definizione con l’equazione (2.27), al primo ordine in ω

otteniamo:

φ′(x′) = φ(x) + ωaδFδωa

(x) (2.29)

= φ(x′) − ωaδxµ

δωa∂µφ(x′) + ωa

δFδωa

(x′) + o(ω2) (2.30)

L’espressione esplicita per il generatore risulta quindi essere:

iGaφ = δxµ

δωa∂µφ − δF

δωa

Supponiamo per il momento che la trasformazione conforme non agisca sui

campi, ossia F(φ) = φ, allora i generatori del gruppo conforme sono i

seguenti:

(traslazioni) Pµ = −i ∂µ

(dilatazioni) D = −i xµ∂µ

(rotazioni rigide) Lµν = i (xµ∂ν − xν∂µ)

(SCT ) Kµ = −i (2xµxν∂ν − x2∂µ)

(2.31)

dove i generatori meno familiari D e K sono associati rispettivamente alle di-

latazioni globali e alle trasformazioni conformi speciali. I suddetti generatori

obbediscono alle seguenti regole di commutazione, che infatti definiscono la

10se non specificato la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti sara sempre assunta.11variazione allo stesso punto e sinonimo di variazione in forma.

44


cosidetta algebra conforme:

[D,Pµ] = i Pµ (2.32)

[Kµ, D] = i Kµ (2.33)

[Kµ, Pν] = 2i (ηµνD − Lµν) (2.34)

[Kρ, Lµν ] = i (ηρµ Kν − ηρν Kµ) (2.35)

[D,Lµν ] = 0 (2.36)

Inoltre continuano a valere gli usuali commutatori del gruppo di Poincare:

[Pρ, Lµν ] = i (ηρµPν − ηρνPµ) (2.37)

[Lµν , Lρσ] = i (ηνρLµσ + ηµσLνρ − ηµρLνσ − ηνσLµρ) (2.38)

Un metodo estremamente efficace per semplificare l’algebra del gruppo con-

forme e quello di ridefinire i generatori del gruppo nel seguente modo:

Jµν = Lµν J−1,µ = 12(Pµ −Kµ)

J−1,0 = D J 0,µ = 12(Pµ +Kµ)

(2.39)

dove Jab = −Jba e a, b ∈ −1, 0, 1, . . . , d. Questi nuovo generatori obbedi-

scono alle regole di commutazione dell’algebra SO(d+ 1, 1), ossia:

[Jab, Jcd] = i (ηadJbc + ηbcJad − ηacJbd − ηbdJac) (2.40)

con la matrice diagonale ηab che ha elementi −1, 1, 1, . . . , 1), se la spazio-

tempo originario possedeva metrica euclidea. Questo dimostra l’isomorfi-

smo fra il gruppo conforme in d dimensioni e il gruppo pseudo-ortogonale

SO(d+ 1, 1) in d+ 1 dimensioni, che possiede 12(d+ 1)(d+ 2) parametri.12

Da osservare e il fatto che il gruppo di Poincare con l’aggiunta delle di-

latazioni forma gruppo. 13 Questo implica che una teoria invariante sotto

traslazione, rotazione e dilatazione non e necessariamente invariante sotto

l’intero gruppo conforme.

Prima di continuare ad esplorare la conseguenze delle trasformazioni confor-

mi sui campi, vogliamo introdurre degli oggetti, detti rapporti anarmonici

12il gruppo conforme in 3+1 dimensioni ha 15 paramtri, cinque in piu del gruppo di

Poincare, infatti a quest’ultimo bisogna aggiungere la dilatazione globale e le quattro

distinte SCT .13l’algebra dei loro generatori e chiusa.

45

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi classica

o invarianti conformi, che sono funzioni delle coordinate Γ(xi) invarianti sot-

to una qualsiasi trasformazione conforme. L’invarianza traslazionale implica

che tali quantita debbano dipendere solo dai moduli delle distanza | xi −xj |fra coppie di punti distinti. L’invarianza sotto trasformazioni di scala implica

che solo i rapporti fra queste quantita possono comparire, come ad esempio:

| xi − xj || xk − xl |

(2.41)

Inoltre, sotto una trasformazione conforme speciale la distanza fra due punti

diviene:14

| x′j − x′k | =| xj − xk |

(1 − 2 b · xj + b2 x2j )

12 (1 − 2 b · xk + b2 x2

k)12

(2.42)

L’uguaglianza precedente evidenzia come sia impossibile costruire degli in-

varianti conformi con due o tre punti, i piu semplici rapporti anarmonici

costruibili sono formati da quattro punti, ad esempio:

|x1−x2||x3−x4||x1−x3||x2−x4|

|x1−x2||x3−x4||x2−x3||x1−x4| (2.43)

Con N punti distinti possono essere costruiti N(N−3)2

rapporti anarmonici.

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi

classica

Una teoria di campo possiede invarianza conforme a livello classico se la sua

azione e invariante sotto l’applicazione del gruppo conforme, ossia scrivendo

in forma generale l’azione per un campo φ 15 nella forma:

S =

∫

ddx L(φ, ∂φ) (2.44)

14si deduce applicando da definizione la SCT a x′µ, con un po di pazienza.15potrebbe rappresentare anche una collezione di campi.

46


si deve avere:16

δ S = 0 (2.45)

sotto una generica trasformazione conforme dei campi e delle coordinate.

Daremo ragione del fatto che, per certe teorie, l’invarianza conforme e una

conseguenza dell’invarianza di scala e dell’invarianza sotto le trasformazioni

del gruppo di Poincare. 17 E importante pero sottolineare che l’invarianza

conforme a livello della teoria di campo quantistica non segue necessaria-

mente dall’invarianza classica.18In particolare una teoria di campo quantisti-

ca interagente risulta priva di significato fisico senza avervi introdotto una

procedura regolarizzante, e cio porta all’introduzione nella teoria stessa di

un fattore di scala che rompe la simmetria sotto dilatazioni! Questo avvie-

ne sempre in generale ad eccezione di alcuni valori particolari delle costanti

di accoppiamento della teoria, che corrispondono a punti fissi del gruppo di

rinormalizzazione.[14, 47, 36]

2.3.1 Rappresentazioni del gruppo conforme in d di-

mensioni

Per prima cosa analizziamo come un campo classico 19si trasforma sotto l’a-

zione del gruppo conforme. Avendo una trasformazione infinitesimale para-

metrizzate dai parametri ωa cerchiamo la trasformazione matriciale tale che

il campo multicomponente φ(x) trasformi come:20

φ′(x′) = (1 − i ωaTa) φ(x) (2.46)

L’operatore Ta produce una variazione dei campi che va aggiunta a quella

ottenuta nella sezione precedente 21 per ottenere la variazione in forma com-

plessiva del campo e il generatore completo della simmetria. Per fare cio

conviene usare il seguente metodo, prima applicato al piu familiare gruppo

di Poincare: consideriamone il sottogruppo che lascia invariata l’origine delle

16L e la densita di lagrangiana della teoria.17risultato talvolta indicato come teorema di Polyakov [37].18quando cio si realizza si parla di implementazione della simmetria alla Weyl-Wigner.

Si veda per esempio [17] per approfondimenti.19con il termine campo classico denotiamo una funzione delle coordinate, mentre con il

termine campo quantistico intenderemo un operatore definito su uno spazio di Hilbert H.20in questo caso stiamo considerando la variazione totale del campo.21dove si era supposto che solo lo coordinate venissero modificate dall’azione del gruppo

conforme.

47

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi classica

coordinate, ossia x = 0. Tale sottogruppo e il gruppo di Lorentz. Definiamo

allora un operatore Sµν che mi da la variazione subita dal campo φ(0) in

seguito ad una rotazione infinitesima:22

Lµνφ(0) = Sµνφ(0) (2.47)

L’operatore Sµν e detto operatore di spin associato al campo φ.23 Ora cono-

scendo l’algebra dei generatori siamo in grado di traslare Lµν(0) in qualsiasi

altro punto dello spazio-tempo, grazie all’operatore impulso:

Lµν(x) = ei xρPρ Lµν(0) e−i xρPρ = Sµν − xµPν + xνPµ (2.48)

dove abbiamo usato la formula di Baker-Haussdorf [41]:

e−A B eA = B + [B,A] +1

2![[B,A]A] + . . . (2.49)

in cui i termini successivi contengono correlatori che involvono un numero

sempre superiore di campi. Cio permette di ottenere la formula esplicita per

il generatore delle rotazioni:

Lµν φ(x) = [i (xµ∂ν − xν∂µ) + Sµν ] φ(x) (2.50)

L’idea e ora quella di utilizzare il medesimo ragionamento applicato al gruppo

conforme. Il sottogruppo che lascia invariata l’origine degli assi coordinati

e formato dalle rotazioni, dalle dilatazioni e dalle trasformazioni conformi

speciali. Se rimuoviamo i generatori delle traslazioni dall’algebra otteniamo

un algebra identica a quella del gruppo di Poincare, visto il ruolo simile

giocato da P µ e da Kµ. Definiamo con Sµν , ∆, kµ i valori dei generatori

Lµν , D,Kµ agenti su campi presi a x = 0. Tali generatori rispettano l’algebra

di gruppo, ossia:

[∆, Sµν ] = 0 (2.51)

[∆, kµ] = −i kµ (2.52)

[kµ, kν ] = 0 (2.53)

[kρ, Sµν ] = i (ηρµ kν − ηρν kµ) (2.54)

[Sµν , Sρσ] = i (ηνρSµσ + ηµσSνρ − ηµρSνσ − ηνσSµρ) (2.55)

22mentre Lµν continuera ad essere il generatore delle rotazioni in generale.23ci riferiremo allo spin di un campo in riferimento alle sue proprieta di variazione sotto

l’azione del gruppo delle rotazioni.

48


Utilizzando la formula di Baker-Haussdorf possiamo arrivare ad una espres-

sione esplicita per i generatori D e Kµ, che si scrivono come:

D φ(x) = (−i xν∂ν + ∆) φ(x) (2.56)

Kµ φ(x) = (kµ + 2 xµ∆ − xνSµν − 2i xµxν∂ν + ix2∂µ)φ(x) (2.57)

Dal momento che richiediamo che il campo φ(x) appartenga ad una rap-

presentazione irriducibile del gruppo di Lorentz, allora grazie al lemma di

Shur 24 ogni matrice che commuta con tutti i generatori del gruppo delle

rotazioni deve essere un multiplo dell’identita. Conseguentemente la matrice

∆ e un multiplo dell’identita e l’algebra di gruppo forza tutti i generatori

kµ ad annullarsi. ∆ e allora un numero, che scriveremo come −i∆, dove ∆

e una quantita detta dimensione di scaling del campo,25 che compare nella

versione “esponenziata” della (1.56):

φ′(x′) = λ−∆ φ(x) (2.58)

dove λ e il parametro associato alla dilatazione delle coordinate x −→ λx.

Concludiamo qusta sezione dando la legge di trasformazione per un campo

classico spinless (Sµν = 0) sotto una arbitraria trasformazione conforme:26

φ(x) −→ φ′(x′) =

∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

−∆d

φ(x) (2.59)

dove con ∂x′

∂xintendiamo lo jacobiano della trasformazione di coordinate, che

si lega al fattore di scala Λ nel modo seguente:

∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

= Λ−d2 (2.60)

Un campo che si trasforma in questo modo sotto le trasformazioni del gruppo

conforme globale e detto “quasi primario”.

24il lemma di Shur afferma che ogni operatore definito su uno spazio vettoriale V com-

mutante con una famiglia di operatori (A)n che a sua volta agisce irriducibilmente su V e

un multiplo dell’identita.25queste quntita giocano un ruolo chiave, in quanto sono intimamente connesse con gli

autovalori del gruppo di rinormalizzazione, che a loro volta danno immediatamente alcune

proprieta fisiche del modello.26di principio deducibile esponenziando le relazioni infinitesime.

49

2.4 Il tensore energia-impulso

2.4 Il tensore energia-impulso

Sotto una arbitraria trasformazione delle coordinate del tipo xµ → xµ + ǫµ

l’azione di una generica teoria di campo subisce la seguente variazione:

δS =

∫

ddx T µν∂µǫν (2.61)

dove T µν e il tensore energia-impulso della teoria, definito da:27

T µν = −L δµν + i∂L

∂[∂µφ]P νφ (2.62)

E noto che in teorie di campo che godono di invarianza sotto il gruppo di Lo-

rentz tale tensore possa essere posto in forma simmetrica - senza modificare

le equazioni delle correnti conservate e delle cariche associate - mediante una

procedura detta di Belinfante [23]. Cio ci consente di riscrivere la variazione

dell’azione come:

δS =

∫

ddx T µν (∂µǫν + ∂νǫµ) (2.63)

La quantita entro parentesi nella funzione integranda per una trasformazione

conforme e legata alla traccia di ǫ, grazie a (2.6) e (2.7) si ha:

δS =1

d

∫

ddx T µµ∂ρǫ

ρ (2.64)

Da quest’ultima equazione deduciamo che se la teoria possiede un tensore

energia-impulso a traccia nulla, la teoria stessa e automaticamente invarian-

te sotto l’azione di tutto il gruppo conforme. L’inverso ovviamente non e

vero, poiche ∂ρǫρ non e una funzione arbitraria.

Risulta che sotto certe condizioni 28 il tensore T µν di una teoria di campo che

gode di invarianza di scala puo essere reso a traccia nulla, con un metodo si-

mile a quello impiegato per rendere simmetrico il tensore di una teoria dotata

di invarianza Lorentziana. Quando questo e possibile allora automaticamente

la teoria risulta invariante sotto il piu ampio gruppo conforme. Di fatto non

e difficile convincersi che per una vasta classe di teorie di campo invarianti

sotto rotazioni e dilatazioni cio e sicuramente vero, almeno quando d > 3.29

27e una conseguenza del teorema di Noether, il quale afferma che a ogni simmetria

classica dell’azione corrisponde una quantita classicamente conservata.28quali siano queste condizioni risulta da una analisi dei dettagli tecnici della procedura

per i quali si rimanda a [23].29vedi per esempio [23].

50


In dimensione d = 2 la procedura generale valida alle altre dimensioni non e

piu applicabile, ma il risultato e ancora valido. 30

2.5 Invarianza conforme e teoria dei campi

quantistici

L’oggetto base della teoria dei campi quatistici sono i correlatori dei campi

della teoria, definibili in modo equivalente come valori di aspettazione sul

vuoto di stringhe di operatori ordinati temporalmente, oppure attraverso la

formulazione mediante integrali sui percorsi: 31

〈φ1(x1) . . . φn(xn)〉 =1

Z

∫

[dφ]φ1(x1) . . . φn(xn)expS[φ] (2.65)

dove φ1(x1) . . . φn(xn) sono campi quasi primari della teoria, x1 . . . xn so-

no generiche coordinate spazio-temporali, 32 e Z e il funzionale generato-

re 33,definito da:∫

[dφ] exp−S[φ] (2.66)

La misura entro parentesi quadre nell’integrale precedente e una misura di

tipo funzionale, per una introduzione della quale si veda per esempio [23],

[47], [54]. In questa sezione analizzeremo le conseguenze a livello quantistico

dell’invarianza conforme, in particolare concentrandoci sui vincoli che cio

impone sui correlatori a due, tre e quattro punti. Scopriremo che la simmetria

conforme e da sola in grado di fissare 34 la forma funzionale dei correlatori a

due e tre punti. Risultato chiave per questi scopi saranno le cosidette identita

di Ward, che come vedremo possono essere citate come l’analogo quantistico

del teorema di Noether, che invece involve solo quantita classiche.

30per un approfondimento su questo punto si puo consultare [34].31che sara quella piu usata all’interno di questo elaborato.32da ora in poi rilascieremo la notazione grassettata per indicare un oggetto multi-

componente.33piu precisamente Z qui definito e il funzionale di vuoto, ossia il funzionale generatore

calcolato mettendo a zero le correnti j(x).34a meno di costante moltiplicativa.

51

2.5 Invarianza conforme e teoria dei campi quantistici

2.5.1 Identita di Ward

Consideriamo l’equazione (2.65) che definisce un generico correlatore a n pun-

ti, e analizziamo le conseguenze che l’invarianza classica dell’azione comporta

in termini di correlatori quantistici. In particolare vale la seguente identita:

〈φ1(x′1) . . . φn(x′n)〉 = 〈F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn))〉 (2.67)

dove F descrive il cambiamento funzionale del campo sotto trasformazione

conforme, come descritto nell’equazione (2.29). La prova di quest’ultima

identita e diretta:

〈φ1(x′1) . . . φn(x′n)〉 = 1

Z

∫

[dφ]φ1(x′1) . . . φn(x′n)exp−S[φ]

= 1Z

∫

[dφ′]φ′1(x

′1) . . . φ

′n(x

′n)exp−S[φ′]

= 1Z

∫

[dφ]F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn))exp−S[φ]

= 〈F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn))〉

(2.68)

Alcuni commenti sono pero necessari: tra il primo e il secondo passaggio

abbiamo solo cambiato nome alla variabile di integrazione φ, mentre dalla

seconda alla terza riga abbiamo espresso φ′ in funzione di φ, usando la legge di

trasformazione dei campi. Nel fare cio abbiamo usato l’invarianza dell’azione

classica e “supposto” che la misura funzionale non vari nel fare cio.35

Per esempio l’invarianza della teoria sotto traslazioni x′ = x + a ha la

seguente conseguenza sui correlatori:

〈φ1(x1 + a) . . . φn(xn + a)〉 = 〈φ1(x1) . . . φn(xn)〉 (2.69)

che esprime il fatto che solo le posizioni relative sono importanti all’interno

dei correlatori. In modo analogo, l’invarianza di Lorentz pone il seguente

vincolo sui correlatori di un campo scalare:

〈φ1(Λµνx

ν1) . . . φn(Λ

µνx

νn)〉 = 〈φ1(x

µ1 ) . . . φn(x

µn)〉 (2.70)

35tale ipotesi puo sembrare arbitraria, e di fatto rappresenta uno dei principali ostacoli

nell’implementare a livello quantistico la simmetria conforme. Nonostante cio sara sempre

assunta.

52


Ed infine, l’invarianza sotto una trasformazione di scala espressa da:

x′ = λ x

φ′(λx) = λ−∆ φ(x)(2.71)

nel linguaggio dei correlatori si traduce in:

〈φ1(λx1) . . . φn(λxn)〉 = λ−∆1 . . . λ−∆n〈φ1(x1) . . . φn(xn)〉 (2.72)

Veniamo ora alle identita di Ward vere e proprie, che rappresentano in qual-

che modo una versione infinitesima delle uguaglianze sopra scritte. Sappiamo

che una trasformazione infinitesima generica sui campi puo essere scritta in

termini di generatori come:

φ′(x) = φ(x) − i ωaGaφ(x) (2.73)

dove ωa rappresenta una collezione di parametri costanti. Effettuiamo una

variazione come questa nel correlatore (2.65) con le ωa funzioni di x. L’azione

non sara piu invariante sotto questa nuova trasformazione puntuale, e la sua

variazione sara data da:36

δ S =

∫

ddx ∂µjµaωa (2.74)

dove le jµa sono le correnti classiche associate alle simmetrie, date da:37

jµa =

∂L∂(∂µφ)

∂νφ − δµνL

− ∂L∂(∂µφ)

δFδωa

(2.75)

Ora denotando con X la collezione di campi φ1(x1) . . . φn(xn) all’interno del

correlatore, e con δωX la sua variazione infinitesima sotto la trasformazione,

possiamo scrivere:

〈X〉 =1

Z

∫

[dφ′](X + δX)exp

S[φ] +

∫

dx∂µjµaωa(x)

(2.76)

e di nuovo assumeremo che la misura funzionale sia invariante sotto trasfor-

mazione locale ([dφ′] = [dφ]). Espandendo al primo ordine in ωa otteniamo:

〈δX〉 =

∫

dx ∂µ〈jµa (x)X〉ωa (2.77)

36vedi per esempio [23], capitolo due.37le correnti di Noether soddisfano l’equazione di continuita ∂µj

µa = 0.

53


La variazione δX e esplicitamente data da:

δX = −i∑n

i=1(φ(x1) . . .Gaφ(xi) . . . φ(xn))ωa(xi)

= −i∫

dx ωa(x)∑n

i=1 φ(x1) . . . Gaφ(xi) . . . φ(xn) δ(x− xi)

(2.78)

ora relazionandola con (2.79) otteniamo:

∂µ〈jµa (x)φ(x1) . . . φ(xn))〉 = −i

n∑

i=1

φ(x1) . . . Gaφ(xi) . . . φ(xn) δ(x− xi)

(2.79)

Queste sono le identita di Ward per le correnti jµa . Integriamo ambo i membri

dell’equazione (2.79) in una regione dello spazio-tempo che includa tutti i

punti xi. Dal membro sinistro otteniamo, dopo una integrazione per parti, il

seguente integrale di superficie:∫

Σ

dsµ〈jµa (x)φ(x1) . . . φ(xn))〉 (2.80)

Ora mandiamo Σ all’infinito, e richiedendo che i campi si annullino con suffi-

ciente rapidita per x→ ∞, l’integrale di superficie si annulla.38 Dal membro

destro invece abbiamo:

δω〈φ(x1) . . . φ(xn))〉 ≡ −i ωa

n∑

i=1

φ(x1) . . .Gaφ(xi) . . . φ(xn) = 0 (2.81)

In altre parole la variazione infinitesima del correlatore e nulla. Come esempi

notevoli cosideriamo le identita di Ward associate all’invarianza traslazionale,

rotazionale e di scala.

Le identita associate all’invarianza traslazionale sono quindi:

∂µ〈T µν X〉 = −

∑

i

δ(x− xi)∂

∂xνi

〈X〉 (2.82)

Consideriamo adesso le identita associate con l’invarianza di Lorentz (rota-

zionale in uno spazio-tempo euclideo). Supponiamo di avere gia messo in

forma simmetrica il tensore energia-impulso, quindi la corrente di Noether

relativa avra la seguente forma:

Mµνρ = T µνxρ − T µρxν (2.83)

38mandare Σ all’infinito non modifica il valore dell’integrale, in quanto la funzione

integranda e nulla ovunque al di fuori dei punti xi.

54


e le identita di Ward corrispondenti saranno:

〈(T ρν − T νρ)X〉 = −i∑

i

Sνρi 〈X〉δ(x− xi) (2.84)

dove Si rappresenta l’operatore di spin del campo i− esimo. Infine conside-

riamo le identita di Ward associate all’invarianza di scala. Anche in questo

caso supponiamo che il tensore energia-impulso della teoria sia gia stato po-

sto a traccia nulla. La corrente di Noether relativa a questa simmetria si

scrivera allora come:

JµD = T µ

νxν (2.85)

Dal momento che l’operatore che genera le dilatazioni e D = −i xν∂ν − i ∆

le identita in questo caso si scrivono come:

〈T µµX〉 = −

∑

i

δ(x− xi)∆i〈X〉 (2.86)

Le equazioni (2.82) (2.84) (2.86) sono le tre identita di Ward associate all’in-

varianza conforme.

2.5.2 Correlatori in teorie conformi

Avendo ora a disposizione il potente strumento delle identita di Ward pos-

siamo ora analizzare in dettaglio le conseguenze dell’invarianza conforme sui

correlatori a due e tre punti.39 Considerando l’identita (2.67) e l’equazione

(2.59) abbiamo allora che per campi spinless vale:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 =

∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

∆1d

x=x1

∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

∆2d

x=x2

〈φ1(x′1)φ2(x

′2)〉 (2.87)

Specializziamoci al caso di una trasformazione di scala x → λx, ottenendo:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 = λ∆1+∆2〈φ1(λx1)φ2(λx2)〉 (2.88)

L’invarianza traslazionale e rotazionale richiedono che:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 = f(|x1 − x2|) (2.89)

39questo importante risultato e stato ottenuto per la prima volta da Polyakov [49].

55


dove si deve avere:

f(x) = λ∆1+∆2f(λx) (2.90)

in virtu dell’espressione precedente. In altre parole

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 =C12

|x1 − x2|∆1+∆2(2.91)

dove C12 e un coefficiente arbitrario indeterminato. Ora rimane da imporre

l’invarianza sotto trasformazioni conformi speciali, per le quali si ha:∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

=1

(1 − 2 (b · x) + b2x2)d(2.92)

Data la seguente legge di trasformazione per il modulo della distanza |x1 − x2|:

|x′1 − x′2| =|x1 − x2|γ

12

1 γ12

2

(2.93)

dove γi = 1 − 2 (b · xi) + b2x2i , la covarianza dei correlatori implica:

C12

|x1 − x2|∆1+∆2=

C12(γ1γ2)∆1+∆2

2

γ ∆1

1 γ ∆2

2 |x1 − x2|∆1+∆2(2.94)

Il vincolo appena imposto risulta identicamente soddosfatto se e solo se:

∆1 = ∆2

In altre parole due campi quantistici “quasi primari” hanno correlatore non

nullo se e solo se possiedono le medesime dimensioni di scaling. 40 Riassu-

miamo il tutto scrivendo:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 =

C12

|x1−x2|2∆1se ∆1 = ∆2

0 se ∆1 6= ∆2

(2.95)

Dall’equazione precedente deduciamo come sono legate le dimensioni di scaling

di un campo con la sua dimensione anomala η:41

η = 2 − d+ 2∆ (2.96)

40questa peculiarita e frutto dell’invarinza sotto trasformazioni conformi speciali, e non

e presente nelle teorie che godono della sola invarianza di scala.41η e normalmente definita a partire dal correlatore a due punti come segue:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 ∼1

|x1−x2|d−2+η .

56


Una analisi del tutto simile puo essere effettuata sulle funzioni di correlazioni

a tre punti. La covarianza rispetto alle rotazioni, traslazioni, e dilatazioni

blocca tali correlatori ad avere la seguente forma:

〈φ1(x1)φ2(x2)φ3(x3)〉 =Cabc

123

xa12x

b23x

c13

(2.97)

dove xij = |xi − xj | e a, b, c devono soddisfare:42

a+ b+ c = ∆1 + ∆2 + ∆3 (2.98)

Nuovamente l’ulteriore richiesta che il correlatore sia covariante anche sotto

trasformazioni conformi speciali porta alla seguente forma funzionale: 43

〈φ1(x1)φ2(x2)φ3(x3)〉 =C123

x∆1+∆2−∆3

12 x∆2+∆3−∆1

23 x∆3+∆1−∆2

13

(2.99)

Purtroppo oltre i tre punti l’invarianza conforme non e piu in grado di de-

terminare la forma funzionale dei correlatori 44,infatti dai quattro punti in

su si ha la possibilita di costruire rapporti anarmonici, e conseguentemente

ogni funzione di tali rapporti risulta covariante. Una possibile forma per il

correlatore a quattro punti e la seguente:

〈φ1(x1)φ2(x2)φ3(x3)φ4(x4)〉 = f

(

x12x34

x13x24,x12x34

x14x23

) 4∏

i<j

x∆3−∆i−∆j

ij (2.100)

dove ∆ =∑4

i=1 ∆i. Nel prossimo capitolo analizzeremo le conseguenze

dell’invarianza conforme in due dimensioni.

42in realta una somma di termini cosı fatti e ammissibile, purche a, b, c rispettino il

vincolo.43da osservare che il coefficiente C123 che appare qui risulta fondamentale nel determina-

re la sviluppo perturbativo della funzione β delle equazioni del gruppo di rinormalizzazione

della teoria.44almeno in dimensione d ≥ 3, poiche in dimensione due la ricchezza della simmetria

conforme e molto superiore.

57


58

Capitolo 3

Invarianza conforme in due

dimensioni

L’invarianza conforme in due dimensioni assume un nuovo significato. Co-

me e gia emerso nel capitolo precedente il caso bidimensionale richiede una

attenzione particolare. Infatti, come scopriremo, in due dimensioni esistono

una infinita di trasformazioni conformi, che seppure non definite ovunque so-

no localmente conformi. Tali trasformazioni sono tutte le mappe analitiche

dal piano complesso in stesso. All’interno di questa infinita di trasformazioni

si trova un gruppo di trasformazioni definite ovunque ed invertibili che costi-

tuisce il gruppo conforme globale in due dimensioni. 1 L’analisi del capitolo

precedente continua a valere solo quando ci si riferisce a queste ultime tra-

formazioni. L’invarianza conforme locale consente la soluzione esatta delle

teorie conformi bidimensionali. 2

3.1 Il guppo conforme in due dimensioni

Consideriamo le coordinate (z0, z1) del piano, con zi ∈ R, i = 0, 1. Se ef-

fettuiamo una trasformazione delle coordinate del tipo zµ → wµ il tensore

metrico controvariante trasforma come:

g µν −→ ∂w µ

∂zα

∂w ν

∂zβg αβ (3.1)

1tale gruppo in due dimensioni e un gruppo di Lie a sei parametri.2per soluzione esatta di una teoria di campo conforme bidimensionale intendiamo la

possibilita di calcolare i correlatori con numero di campi arbitrario in modo esatto.

59

3.1 Il guppo conforme in due dimensioni

La condizione che definiva una trasformazione conforme era:

g′µν(w) ∝ g µν(z) (3.2)

o piu esplicitamente:3

(

∂w0

∂z0

)2

+(

∂w0

∂z1

)2

=(

∂w1

∂z0

)2

+(

∂w1

∂z1

)2

∂w0

∂z0∂w1

∂z0 + ∂w0

∂z1∂w1

∂z1 = 0

(3.3)

Questa due condizioni sono equivalenti a

∂w1

∂z0=∂w0

∂z1e

∂w0

∂z0= −∂w

1

∂z1(3.4)

oppure a∂w1

∂z0= −∂w

0

∂z1e

∂w0

∂z0=∂w1

∂z1(3.5)

La prima si riconosce essere equivalente alla condizione di Cauchy−Riemannper funzioni antiolomorfe, mentre la seconda definisce le funzioni olomorfe. 4

Questa osservazione motiva l’uso delle coordinate complesse (z, z) con le

seguenti regole di trasformazione:

z = z0 + iz1 z0 = 12(z + z)

z = z0 − iz1 z1 = 12i

(z − z)

∂z = 12∂0 − i∂1 ∂0 = (∂z + ∂z)

∂z = 12∂0 + i∂1 ∂1 = i(∂z − ∂z)

(3.6)

Noteremo le derivazioni rispetto alle variabili complesse z e z come ∂ = ∂z

e ∂ = ∂z rispettivamente. Da osservare che z e z sono da considerarsi due

variabili complesse distinte, e non l’una la complessa coniugata dell’altra.

Quando cio verra richiesto si parlera di ripristino della condizione di realta.

3stiamo sempre assumendo che la trasformazione conforme sia una deformazione della

metrica standard euclidea ηµν = diag(1, 1).4per funzione olomorfa intendiamo una funzione della variabile z ∈ C che sia derivabile

in senso complesso. Spesso tale termine viene impiegato come sinonimo di funzione anali-

tica, anche se quest’ultimo termine si riferisce al fatto che una funzione sia espandibile in

serie di potenze in una qualche regione del piano di Gauss.

60

Invarianza conforme in due dimensioni

In termini delle coordinate z e z il tensore metrico covarinante diviene:

gµν =

(

0 12

12

0

)

(3.7)

mentre il tensore controvariante gµν si ottiene invertendo la precedente ma-

trice, ottenendo:

gµν =

(

0 2

2 0

)

(3.8)

Tali oggetti ci permettono di trasformare un indice covariante olomorfo in un

controvariante antiolomorfo e viceversa. Valgono inoltre le seguenti formule

per il tensore di Levi− Civita: 5

εµν =

(

0 12i

−12i 0

)

εµν =

(

0 −2i

2i 0

)

(3.9)

In questo linguaggio lo condizione di Cauchy−Rieman nel caso olomorfo si

scrive come:

∂zw(z, z) = 0

le cui soluzioni sono le mappe olomorfe:

z −→ w(z) (3.10)

E un risultato noto dalla teoria delle funzioni analitiche che le mappe anali-

tiche del piano complesso su se stesso sono trasformazioni conformi.

Il gruppo conforme in due dimensioni e quindi formato dall’insieme di tutte

le mappe analitiche, e l’operazione di composizione di gruppo risulta essere

la composizione fra mappe.

Questo insieme e ovviamente infinito dimensionale, dal momento che una in-

finita di parametri (i coefficienti della serie di Laurent) devono essere specifi-

cati per definire una trasformazione analitica in una qualche regione del piano

complesso. E proprio questo numero infinito di trasformazioni che permette

di conoscere cosı tanto delle teorie di campo conformi bidimensionali.

5segue dalla legge di trasformazione tensoriale ε′µν = ∂xα

∂x′µ∂xβ

∂x′ν εαβ .

61

3.2 Trasformazioni conformi globali in due dimensioni

3.2 Trasformazioni conformi globali in due di-

mensioni

Tutto quello detto finora in questo capitolo e puramente locale, ossia non e

stata imposto il vincolo che la trasformazione sia ben definita ovunque nel

piano complesso 6 e invertibile. Rigorosamente parlando, queste richieste so-

no necessarie per definire un gruppo matematico. Distingueremo quindi le

trasformazioni conformi globali, ossia quelle ben definite ovunque ed inverti-

bili, da quelle locali, che non necessariamente posseggono queste proprieta.

L’insieme delle trasformazoni conformi globali forma quello che chiameremo

gruppo conforme speciale. Risulta che l’insieme di tali mappe e formato

dalle trasformazioni della forma:

f(z) =az + b

cz + dcon ad− bc = 1 (3.11)

dove a, b, c, d sono numeri complessi. Questa mappe sono dette trasformazioni

proiettive 7 e ad ognuna di queste possiamo associare una matrice:

A =

(

a b

c d

)

(3.12)

Non e difficile convincersi che la matrice associata con la composizione di

due mappe di Moebius e la matrice prodotto delle due matrici associate

alla due trasformazioni. Abbiamo quindi mostrato come il gruppo conforme

speciale sia isomorfo all’insieme delle matrici 2 × 2 a elementi complessi con

determinante unitario, cioe il gruppo SL(2,C).

Inoltre e noto che il gruppo SL(2,C) e isomorfo al gruppo SO(3, 1), ossia

il gruppo di Lorentz in quattro dimensioni. Il gruppo conforme speciale e

quindi il gruppo pseudo-ortogonale SO(3, 1) e possiede quindi sei parametri. 8

3.3 I generatori conformi

Come tipico in fisica, le proprieta locali risultano essere spesso piu sfruttabili

di quelle globali. Per questo motivo vogliamo studiare l’algebra dei generatori

6 o meglio sulla sfera di Riemann, ossia il piano complesso piu il punto all’infinito.7alle volte chiamate trasformazioni di Moebius o anche di Gliozzi.8per una dimostrazione esplicita della forma (3.11) si veda per esempio [23] oppure [37].

62


del gruppo conforme locale in due dimensioni. Ogni mappa olomorfa puo

essere scritta come:

z′ = z + ǫ(z) ǫ(z) =

∞∑

−∞cnz

n+1 (3.13)

dove per ipotesi la mappa infinitesima ammette una espansione di Laurent

attorno a z = 0. Gli effetti di una tale trasformazione ( e della sua controparte

antiolomorfa) su di un campo spinless 9 e adimensionale 10 φ(z, z) sono:

φ′(z′, z′) = φ(z, z)

= φ(z′, z′) − ǫ(z′)∂ ′φ(z′, z′) − ǫ(z′)∂ ′φ(z′, z′)

(3.14)

o anche:δφ = −ǫ(z) ∂ φ− ǫ ∂φ

=∑

n

cnlnφ(z, z) + cnlnφ(z, z)

(3.15)

dove abbiamo introdotto i seguenti generatori:

ln = −zn+1 ∂z ln = −zn+1 ∂z (3.16)

Questi generatori obbediscono alla seguente algebra:

[ln, lm] = (n−m) ln+m

[ln, lm] = (n−m) ln+m

[ln, lm] = 0

(3.17)

Come evidente dalla forma dell’algebra stessa, essa e la somma diretta di due

algebre isomorfe, ognuna delle quali ha una algebra molto semplice. A volte

l’algebra dei commutatori sopra scritta prende il nome di algebra di Witt.

Entrambe queste due algebre infinito dimensionali contengono una sottoalge-

bra chiusa generata da l−1, l0, l1. Questi sono i generatori della sottoalgebra

9sotto rotazioni un campo φ(z) trasforma come: φ(z) → eiszφ(z), dove s definisce lo

spin del campo. Per campo spinless intendiamo un campo per il quale s = 0. Questa

definizione non ha connessioni con l’idea quanto-meccanica di spin.10con tale definizione intendiamo un campo per cui ∆ = 0.

63

3.3 I generatori conformi

associata al gruppo conforme speciale. Infatti direttamente dalle definizioni

e facile leggere l’azione di tali generatori:

l−1 = −∂z l1 = −z2∂z l0 = −z∂z

↓ ↓ ↓(traslazioni) (SCT ) (dilatazioni)

(3.18)

Inoltre i generatori che rispristinano la condizione di realta z = z∗ sono: 11

ln + ln i(ln − ln) (3.19)

In particolare l0 + l0 genera le dilatazioni globali, mentre i(l0 − l0) genera le

rotazioni.

3.3.1 I campi primari

In due dimensioni la definizione di campo quasi-primario data nel capitolo

precedente si applica anche ai campi con spin. Infatti, dato un campo con

dimensione di scaling ∆ e spin planare s, 12 definiamo la dimensione confor-

me olomorfa h e quella antiolomorfa h nel modo seguente: 13

h =1

2(∆ + s) h =

1

2(∆ − s) (3.20)

Sotto una trasformazione conforme globale z → w(z), z → w(z) un campo

quasi-primario trasforma come:

φ′(w, w) =

(

∂w

∂z

)−h(∂w

∂z

)−h

φ(z, z) (3.21)

La legge appena definita mostra come un campo quasi-primario di dimensio-

ni conformi (h, h) trasformi come le componenti di un tensore covariante di

rango “h+ h” aventi h indici di tipo z e h indici di tipo z.

Se la mappa z → w e prossima all’identita, cioe se w = z+ǫ(z) e w = z+ǫ(z)

con ε e ε piccoli, si puo scrivere:

dwh dwh φ′(w, w) = dzh dzh φ′(z, z) (3.22)

11con z∗ intendiamo il complesso coniugato di z.12 definito a partire dall’operatore di spin Sµν del campo come Sµν = εµν s.13ci adeguiamo alla convenzione di [23].

64


e vale anche:

δǫ,ǫφ ≡ φ′(z, z) − φ(z, z) =

= −(hφ∂zǫ+ ǫ∂zφ) − (hφ∂z ǫ+ ǫ∂zφ)

(3.23)

Un campo la cui variazione sotto una qualsiasi trasformazione conforme (in

particolare anche quelle locali) sia data dalla formula appena scritta viene

detto primario. Un campo primario e anche quasi-primario, mantre il vi-

ceversa non e vero. Un campo non primario e anche detto secondario. Per

esempio la derivata di un campo primario con h 6= 0 e un campo secondario.

3.4 Le funzioni di correlazione

Espresse in termini delle coordinate olomorfe e antiolomorfe, la relazione:

〈φ1(x′1) . . . φn(x

′n)〉 = 〈F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn))〉 (3.24)

per una trasformazione conforme di n campi primari di dimensioni conformi

hi e hi diviene

〈φ1(w1, w1) . . . φn(wn, wn)〉 =n∏

i=1

(

∂w

∂z

)−hi

w=wi

(

∂w

∂z

)−hi

w=wi

〈φ1(z1, z1) . . . φn(zn, zn)〉

(3.25)

Questa relazione - che e una conseguenza immediata delle identita di Ward

- fissa la forma funzionale dei correlatori a due e tre punti, 14 con la novita,

rispetto al caso trattato nel capitolo precedente della possibilita di avere

spin non nullo, incorporato nelle differenze hi − hi. La forma esplicita per i

correlatori a due punti e in questo caso:

〈φ1(z1, z1)φn(z2, z2)〉 =C12

(z1 − z2)2h(z1 − z2)2h(3.26)

dove C12 e una costante arbitraria e:

h1 = h2 = h

h1 = h2 = h

(3.27)

14richiedendo la sola invarianza sotto il gruppo conforme speciale.

65

3.4 Le funzioni di correlazione

In tutti gli altri casi il correlatore e nullo, ossia quando le dimensioni

conformi dei campi sono differenti.

Per quanto riguarda i correlatori a tre punti si ha:

〈φ1(z1, z1)φn(z2, z2)φ3(z3, z3)〉 = C123

z h1+h2−h3

12 z h3+h2−h1

23 z h1+h3−h2

13

= 1z h1+h2−h3

12 z h3+h2−h1

23 z h1+h3−h2

13

(3.28)

dove C123 e una costante indeterminata e zij = zi−zj . Come nel correlatore a

due punti la somma degli spin della parte olomorfa si cancella con la somma

degli spin della parte antiolomorfa, assicurando invaianza rotazionale.

Anche nel caso bidimensionale l’invarianza conforme globale non fissa i cor-

relatori a piu di tre punti, a causa dell’esistenza dei rapporti anarmonici. Co-

munque il numero di tali rapporti in due dimensioni e ridotto, dal momento

che i quattro punti sono obbligati a stare sullo stesso piano. Scaturiscono

cosı delle relazioni lineari fra di essi, che elenchiamo qui sotto:

η =z12z34z13z24

1 − η =z14z24z13z24

η

1 − η=z12z34z14z23

(3.29)

Il correlatore a quattro punti puo dipendere in modo arbitrario da η ed η,

purche il risultato sia reale. Una possibile espresione e la seguente:

〈φ1(z1, z1) . . . φ4(z4, z4)〉 = f(η, η)

4∏

i<j

zh3−hi−hj

ij zh3−hi−hj

ij (3.30)

dove h =∑4

i=1 hi e h =∑4

i=1 hi.

66


3.5 Forma olomorfa delle identita di Ward

Nel capitolo precedente abbiamo derivato le identita di Ward associate con

l’invarianza sotto traslazione, rotazione e dilatazione. Nel fare cio si era uti-

lizzata la definizione canonica del tensore enrgia - impulso, opportunamente

modificato per renderlo simmetrico e a traccia nulla. 15 Ricordiamo le tre

identita in questione: 16

∂µ〈T µνX〉 = −

∑ni δ(x− xi)

∂∂xν

i〈X〉

εµν〈T µνX〉 = −i ∑ni si δ(x− xi)〈X〉

〈T µµX〉 = −∑n

i δ(x− xi)∆i〈X〉

(3.31)

dove X simboleggia una stringa di campi primari φ(x1) . . . φ(xn). Nella se-

conda identita abbiamo usato la forma specifica del generatore di spin Siµν

per una teoria di campo bisimensionale, ossia siεµν , dove εµν e il tesore antisi-

metrico e si e lo spin del campo φi. Vogliamo ora riscrivere queste identita in

termini di coordinate complesse e componenti complesse. Useremo le espres-

sioni (3.7) e (3.9) per il tensore metrico e antisimmetrico rispettivamente.

Per la delta di Dirac in campo complesso useremo la seguente identita:

δ(x) =1

π∂z

1

z=

1

π∂z

1

z(3.32)

Tale identia si puo giustificare nel seguente modo. Consideriamo un campo

vettoriale F µ la cui divergenza e integrata in una regione M del piano com-

plesso che ha come frontiera ∂M . Possiamo quindi applicare il teorema di

Gauss:∫

M

d2x ∂µFµ =

∫

∂M

dξµFµ (3.33)

dove dξµ e un vettore uscente ed ortogonale al contorno ∂M del dominio di

integrazione. Si puo anche riscrivere il suddetto integrale usando un vettore

differenziale dsρ parallelo al contorno ∂M e che lo percorre in verso antiorario.

Ci si basa sulla seguente identita: dξµ = εµρdsρ. In termini di coordinate

complesse il precedente integrale di superficie non e altro che un integrale di

15ricordiamo che la proprieta del tensore energia impulso di essere a traccia nulla, T µµ =

0, implica l’invarianza conforme dell’azione classica.16tali identita sono sempre da considerarsi in senso distribuzionale.

67


linea, dove la componente (anti)olomorfa di dsρ e dz (dz):∫

M

d2x ∂µFµ =

∫

∂M

dz εzzFz + dz εzzF

z

=1

2i

∫

∂M

−dz F z + dz F z(3.34)

dove ∂M indica un integrale di contorno preso in senso antiorario. Se poi F z

e olomorfa si puo applicare il teorema di Cauchy. Consideriamo quindi una

funzione f(z) olomorfa e verifichiamo la correttezza della rappresentazione

della delta di Dirac di equazione (3.32) con il seguente calcolo:

∫

M

d2x δ(x) f(z) =1

π

∫

M

d2x f(z) ∂z1

z

=1

π

∫

M

d2x ∂z

(

f(z)

z

)

=1

2πi

∫

∂M

dzf(z)

z

= f(0)

(3.35)

Nel secondo passaggio abbiamo assunto che f(z) sia una funzione analitica

entro M mentre nel terzo passaggio ci siamo appoggiati al risultato di equa-

zione (2.34) con F z = f(z)/πz e F z = 0. Una prova del tutto simile si puo

fare per la seconda rappresentazione della δ in equazione (3.32), usando come

funzione di “prova” questa volta una f(z) antiolomorfa.

Detto cio possiamo scrivere finalmente la forma olomorfa delle identita di

Ward:

2π∂z〈TzzX〉 + 2π∂z〈TzzX〉 = −∑n

i=1 ∂z1

z − wi∂wi

〈X〉

2π∂z〈TzzX〉 + 2π∂z〈TzzX〉 = −∑n

i=1 ∂z1

z − wi∂wi

〈X〉

2〈TzzX〉 + 2〈TzzX〉 = −∑ni=1 δ(x− xi)∆i〈X〉

−2〈TzzX〉 + 2〈TzzX〉 = −∑ni=1 δ(x− xi) si〈X〉

(3.36)

68


Gli n punti xi sono adesso descritti dalle 2n coordinate complesse (wi, wi) da

cui l’insieme di campi primari X in generale dipende. Se sommiamo prima e

sottraiamo poi le ultime due equazioni della lista precedente otteniamo: 17

2π〈TzzX〉 = −∑n

i=1 ∂z1

z − wihi〈X〉

2π〈TzzX〉 = −∑ni=1 ∂z

1

z − wi

hi〈X〉(3.37)

Inserendo quest’ultimo risultato nelle prime due equazioni della lista di iden-

tita (2.36) otteniamo:

∂z

〈T (z, z)X〉 −∑n

i=1

[

1

z − wi∂wi

〈X〉 +hi

(z − wi)2〈X〉

]

= 0

∂z

〈T (z, z)X〉 −∑n

i=1

[

1

z − wi∂wi

〈X〉 +hi

(z − wi)2〈X〉

]

= 0

(3.38)

dove abbiamo introdotto T e T componenti olomorfa e antiolomorfa del ten-

sore energia impulso definiti come segue:18

T = −2πTzz T = −2πTzz (3.39)

Osserviamo che le espressioni entro parentesi graffe in (2.38) sono rispettiva-

mente olomorfa e antiolomorfa, e possiamo riscrivere:

〈T (z)X〉 =

n∑

i=1

[

1

z − wi∂wi

〈X〉 +hi

(z − wi)2〈X〉

]

+ reg. (3.40)

dove reg. sottintende una funzione olomorfa della variabile z, regolare per

z = wi. Naturalmente vale una espressione del tutto simile per la parte

antiolomorfa del tensore energia - impulso.

17 ripristinando la rappresentazione della delta di equazione (3.32).18anche in questo caso ci adeguiamo alla definizione utilizzata in [23].

69


3.5.1 Identita di Ward conformi

E possibile riscrivere le identita di equazione (2.31) in una unica relazione

come segue. Data una arbitraria variazione conforme delle coordinate εν(x),

possiamo scrivere:

∂µ(ǫνTµν) = ǫν∂µT

µν + 12(∂µǫν + ∂νǫµ)T µν + 1

2(∂µǫν − ∂νǫµ)T µν

= ǫν∂µTµν + 1

2(∂ρǫ

ρ)ηµνTµν + 1

2εαβ∂αǫβεµνT

µν

(3.41)

dove abbiamo usato le seguenti relazioni:

12(∂µǫν + ∂νǫµ) = 1

2(∂ρǫ

ρ)ηµν

12(∂µǫν − ∂νǫµ) = 1

2εαβ∂αǫβεµν

(3.42)

Da osservare che 12(∂ρǫ

ρ) e il fattore locale f(x) di equazione (2.6) mentre12εαβ∂αǫβ rappresenta una rotazione locale. Integrando ambo i membri dell’e-

quazione (2.41) riusciamo a incapsulare la tre identita di Ward in una unica

equazione:

δǫ 〈X〉 =

∫

M

d2x ∂µ〈T µν(X) ǫν(x) X〉 (3.43)

dove δǫ rappresenta la variazione di X sotto un trsformazione conforme infi-

nitesima. Inoltre l’integrale su M racchiude una porzione del piano di Gauss

che contiene tutte le posizioni dei campi di X.

Dal momento che la funzione integranda e la divergenza di un campo vetto-

riale, possiamo utilizzare il teorema di Gauss. Applicando il risultato (2.34)

a F µ = 〈T µν(x) ǫν(x) X〉, si trova:

δǫ,ǫ 〈X〉 =i

2

∫

C

−dz 〈T zz ǫz X〉 + dz 〈T zz ǫz X〉 (3.44)

Abbiamo introdotto la seguente notazione abbreviata: ǫ = ǫz e ǫ = ǫz, ri-

spettivamente variazione infinitesima olomorfa e antiolomorfa. Da osservare

inoltre che 〈Tzz X〉 e 〈Tzz X〉 non contribuiscono all’integrale in quanto il

contorno C contiene le posizioni dei campi ma non vi passa “attraverso”, e le

70


due quantita citate sono nulle al di fuori di tali punti. Finalmente sostituen-

do la definizione (3.39) otteniamo le cosidette identita di Ward conformi: 19

δǫ,ǫ 〈X〉 = − 1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 +1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 (3.45)

dove di nuovo il cammino di integrazione antiorario C deve includere tutte

le posizzioni (wi, wi) dei campi nella stringa X. Nella derivazione di queste

identita e stato usato il fatto che i campi in X fossero primari, ma in realta

l’equazione precedente puo essere assunta come la legge di variazione di un

qualsiasi campo locale sotto trasformazione conforme infinitesima. 20 Se pero

i campi in X sono primari, usando il risultato (3.40) possiamo calcolare espli-

citamente l’integrale di contorno in (3.45) ottenendo:

δǫ 〈X〉 =∑

i

(ǫ(wi)∂wi+ ∂ǫ(wi) hi) 〈X〉 (3.46)

nella quale riotteniamo la formula (2.23) per la variazione di un campo prima-

rio sotto trasformazione conforme olomorfa infinitesima.21 Nel fare cio abbia-

mo usato la formula di Cauchy per la derivazione di una funzione complessa

f(z):dn

dznf(z) =

n!

2πi

∮

γ

f(z′)

(z′ − z)n+1dz′ (3.47)

E inoltre interessante applicare le identita di Ward conformi al caso parti-

colare del gruppo conforme speciale SL(2,C), ossia all’insieme delle mappe

conformi definite ovunque e invertibili. Ora seguendo gli argomenti che cor-

relavano l’equazione (2.81) possiamo affermare che δǫ 〈X〉 si deve annullare

sotto una trasformazione conforme globale infinitesima, che parametrizziamo

nel seguente modo:

f(z) =(1 + α)z + β

γz + 1 − α(3.48)

dove α, β e γ sono parametri infinitesimi. Al primo ordine la variazione ǫ(z) e:

19 alle volte in letteratura tali identita compaiono con segni differenti, a seconda della

convenzione in uso per esempio nel definire T e T .20 per un approfondimento in merito cosultare [23], capitolo 5.21 essendo z e z due variabili indipendenti si e liberi di variare l’una e non l’altra e

viceversa, indicando le variazioni con δǫ e δǫ.

71


ǫ(z) = β + 2αz − γz2 (3.49)

Dal momento che i parametri della trasformazione sono arbitrari, cio implica

i seguenti vincoli sui correlatori di campi primari:

∑

i ∂wi〈φ1(w1) . . . φn(wn)〉 = 0

∑

i(wi∂wi+ hi)〈φ1(w1) . . . φn(wn)〉 = 0

∑

i(w2i ∂wi

+ 2 wi hi)〈φ1(w1) . . . φn(wn)〉 = 0

(3.50)

E un semplice test verificare che i correlatori a due e tre punti ottenuti

precedentemente soddisfano questi vincoli. Viceversa partendo da questi

ultimi e possibile ottenere le formule funzionali dei correlatori suddetti.

Analizziamo ora le trasformazioni del tensore energia - impulso in seguito ad

una mappa conforme. Sappiamo che sotto una generica trasformazione di

coordinate un tensore controvariante trasforma come:

T ′αβ(x′) =∂x′β

∂xµ

∂x′α

∂xνT µν(x) (3.51)

che nel linguaggio delle coordinate complesse diviene:

T ′ww =

(

∂w

∂z

)2

Tzz (3.52)

il che ha come conseguenze immediate che h = 2 e h = 0, ossia il tensore

energia - impulso e un campo con dimensione di scaling ∆ = 2 e s = 2.

Inoltre se effettuiamo il cambio di coordinate w = 1/z otteniamo:

T ′(1/z) = z4 T (z) (3.53)

Se ammettiamo che T ′(0) sia regolare possiamo concludere che:

per z → ∞ T (z) −→ z−4 (3.54)

il che ci dice come scala a grandi distanze dall’origine la parte olomorfa del

tensore energia - impulso.

72


3.6 L’espansione del prodotto di operatori

E tipico dei correlatori di una teoria quantistica divergere quando le posizioni

di due o piu campi coincidono. Questo comportamento matematico riflette

il fenomeno fisico delle infinite fluttuazioni di un campo quantistico misurato

in un punto preciso dello spazio - tempo. Piu precisamente la quantita:22

φav =1

V

∫

V

φ(x)d2x (3.55)

di un campo quantistico in un volume V ha varianza 〈φavφav〉 divergente

per V → ∞. L’espansione in prodotto di operatori, o OPE, e l’operazione

matematica che esprime il prodotto di due operatori che dipendono da z e w

come somma di termini, tutti composti da un singolo operatore ben definito

per z → w, moltiplicato per un c-numero che incorpora le fluttuazioni del

limite di punti coincidenti. Ovviamente ambo i membri si devono pensare

all’interno di correlatori, o se vogliamo in senso distribuzionale.

Ricordiamo l’espressione per il correlatore di T (z) con una stringa di campi

primari:

〈T (z)X〉 =n∑

i=1

[

1

z − wi∂wi

〈X〉 +hi

(z − wi)2〈X〉

]

+ reg. (3.56)

che evidenzia il comportamento singolare di tale correlatore con un campo

primario φi(wi, wi) quando z tende ad uno dei wi. L’OPE di T (z) con un

campo primario si scrive dall’espressione precedente semplicemente rimuo-

vendo 〈. . . 〉. Quindi l’OPE di T (z) con un singolo campo primario φ con

dimensioni conformi h e h si scrive come:

T (z)φ(w, w) ∼h

(z − w)2φ(w, w) +

1

z − w∂wφ(w, w) (3.57)

T (z)φ(w, w) ∼h

(z − w)2φ(w, w) +

1

z − w∂wφ(w, w) (3.58)

Ovunque appaia il simbolo ∼ all’interno di un OPE, esso significa uguaglianza

a meno di espressioni regolari per z → w. In generale un OPE contiene una

infinita di termini, che ovviamente nel caso precedente non possono essere

22il pediceav sottintende la parola inglese average, ossia media.

73


tutti dedotti delle identita di Ward conformi. Generalmente per un OPE fra

un campo A(z) e un campo B(z) scriveremo:

A(z) B(z) =

N∑

n=−∞

ABn (w)

(z − w)n(3.59)

dove gli operatori ABn sono non singolari a w = z.

Per esempio nel caso precedente si aveva Tφ1 = ∂wφ(w). Definiamo inoltre

il concetto di contrazione fra due campi A e B, che sara molto utile in seguito:

A(z)B(w) ≡N∑

n=1

ABn(w)

(z − w)n. (3.60)

Tale definizione e una estensione al caso delle teorie conformi bidimensionali

dell’usuale concetto di contrazione della teoria dei campi.23

3.6.1 Il bosone libero

In due dimensioni il bosone libero e descritto dalla seguente azione euclidea:

S =1

2g

∫

d2x(

∂µϕ∂µϕ+m2ϕ2

)

(3.61)

dove ϕ e un campo scalare reale e g e un parametro di normalizzazione ge-

nerico. Vogliamo calcolare il correlatore a due punti o propagatore causale

definito da:

G(x, y) = 〈ϕ(x)ϕ(y)〉 = 〈0|T ϕ(x)ϕ(y)|0〉 (3.62)

dove T e l’operatore di ordinamento temporale, lo stato |0〉 rappresenta lo

stato di vuoto della teoria quantistica mentre x ey ∈ R2. Se riscriviamo l’a-

zione classica come:

S =1

2

∫

d2x d2y ϕ(x) A(x, y) ϕ(y) (3.63)

dove A(x, y) = g δ(x−y) (−∂2 +m2) possiamo leggere il propagatore come24

23si vedano per esempio [47], [23].24cio segue da una generalizzazione continua di una formula valida per gli integrali

gaussiani.

74


G(x, y) = A−1(x, y) o:

g (−∂2x +m2) G(x, y) = δ(x− y) (3.64)

Ricordiamoci che nel linguaggio degli integrali sui percorsi vale:

〈ϕ(x)ϕ(y)〉 =

∫

[Dϕ] ϕ(x) ϕ(y) e−SE

∫

[Dϕ] e−SE

(3.65)

dove la misura entro parentesi [. . . ] e una misura funzionale che puo essere

interpretata come:25

[Dϕ] =∏

x ∈ R2

dϕ(x) (3.66)

A causa dell’invarianza traslazionale e rotazionale il propagatore G(x, y) di-

pendera solo dal modulo della distanza fra le posizioni |x − y|. Se ora inte-

griamo la (3.64) in x, all’interno di un disco D di raggio r, otteniamo:

1 = 2π g

∫ r

0

dρ ρ(

−1ρ∂∂ρ

(ρ G′) +m2 G)

= 2π g

−r G′(r) +m2

∫ r

0

dρ ρ G(ρ)

(3.67)

Il caso a massa nulla puo essere risolto immediatamente dando:

G(r) = − 1

2πgln(r) (3.68)

Il caso massivo puo essere affrontato derivando ulteriormente l’equazione

(2.66) e ottenendo la cosidetta equazione di Bessel modificata di ordine zero:

G′′ +1

rG′ −m2G = 0 (3.69)

25per approfondimenti sulla misura funzionale vedere per esempio [47],[54],[37].

75


Da un punto di vista fisico si e interessati a soluzioni che decadano all’infini-

to, una soluzione della suddetta equazione con questa caratteristica e:

G(r) =1

2πgK0(mr) (3.70)

dove K0(r) e la funzione di Bessel modificata di ordine zero:26

K0(r) =

∫ ∞

0

dtcos(rt)

(t2 + 1)12

, r > 0 (3.71)

che ha la proprieta seguente:

K(r) ∼ e−mr se mr ≫ 1 (3.72)

Tale andamento e tipico dei correlatori a due punti in teorie di campo mas-

sive, e comporta l’introduzione nella teoria di un scala di lunghezza, che in

unita naturali 27 e data dall’inverso della massa.

Riscriviamo il correlatore per il campo bosonico libero:

〈ϕ(x)ϕ(y)〉 = − 1

4πgln[(x− y)2] + cost. (3.73)

e in termini delle coordinate complesse z e z esso diviene:

〈ϕ(z, z)ϕ(w, w)〉 = − 1

4πgln(z − w) + ln(z − w) + cost. (3.74)

Le componenti olomorfa e antiolomorfa possono essere separate derivando

l’espressione precedente nel seguente modo:

〈∂zϕ(z, z)∂wϕ(w, w)〉 = − 14πg

1(z − w)2

〈∂zϕ(z, z)∂wϕ(w, w)〉 = − 14πg

1(z − w)2

(3.75)

26vedi per esempio [1].27~ = c = 1.

76


Ci concentreremo adesso sul campo olomorfo ∂ϕ ≡ ∂zϕ. Dall’equazioni pre-

cedenti e chiaro che l’OPE di tale campo con se stesso vale:

∂ϕ(z)∂ϕ(w) ∼ − 1

4πg

1

(z − w)2 (3.76)

e la sua struttura rispetta il carattere bosonico del campo, in quanto inver-

tendo l’ordine dei fattori a primo membro il risultato non cambia.

Il tensore energia-impulso associato al campo bosonico non massivo e:

Tµν = g

(

∂µϕ ∂νϕ − 1

2ηµν ∂ρ ϕ ∂

ρ ϕ

)

(3.77)

dove ηµν = (1, 1). La componente olomorfa del tensore energia-impulso T (z)

vale:

T (z) = −2πg ∂ϕ∂ϕ (3.78)

E pratica comune in teoria quantistica dei campi definire le quantita fisiche

affinche il loro valore medio sul vuoto sia zero. Il modo standard per fare cio

e appunto sottrarre ad ogni quantita tale valore, e il procedimento prende

il nome di ordinamento normale o alla Wick.28 La quantita A dopo essere

stata ordinata in modo normale viene contrassegnata con : A : . Definiamo

quindi:

T (z) = −2πg : ∂ϕ∂ϕ : (3.79)

intendendo con cio:

T (z) = −2πg limw→z

( ∂ϕ(z)∂ϕ(w) − 〈∂ϕ(z)∂ϕ(w)〉 ) (3.80)

L’OPE del campo ∂ϕ con T (z) puo essere calcolato con l’aiuto del teorema

di Wick:29

28una volta che si esprimono le quantita mediante operatori di creazione e distruzione

tale procedura consiste nel portare tutti i creatori a sinistra dei distrutturi.29vedi per esempio [47].

77


T (z) ∂ϕ = −2πg : ∂ϕ∂ϕ : ∂ϕ(w)

∼ − 4πg : ∂ϕ(z)∂ϕ(z) : ∂ϕ(w)

∼ ∂ϕ(z)(z − w)2

(3.81)

ed espandendo ∂ϕ(z) attorno a w arriviamo a:

T (z) ∂ϕ ∼ ∂ϕ(w)

(z − w)2 +∂2

wϕ(w)

(z − w)(3.82)

Quest’ultima espressione dimostra che ∂ϕ e un campo primario con dimen-

sione conforme h = 1. Il teorema di Wick ci consente di calcolare l’OPE del

tensore energia-impulso con se stesso:

T (z)T (w) = 4π2g2 : ∂ϕ(z)∂ϕ(z) :: ∂ϕ(w)∂ϕ(w) :

∼ 1/2(z − w)4 − 4πg

: ∂ϕ(z)∂ϕ(w) :(z − w)2

(3.83)

ed espandendo il secondo addendo intorno a w otteniamo:

T (z)T (w) ∼ 1/2

(z − w)4 +2T (w)

(z − w)2 +∂T (w)

(z − w)(3.84)

Questa espressione ci consente di concludere che T (z) non e un operatore

primario a causa del termine anomalo 1/2(z−w)4

. Vedremo a breve il significato

di quest’ultimo.

3.6.2 Il fermione libero

In due dimensioni l’azione euclidea di un ferminone libero di Majorana non

massivo si scrive come:

S =1

2g

∫

d2x Ψ γµ∂µΨ (3.85)

dove Ψ =

(

ψ1

ψ2

)

e Ψ = Ψt γ0 , con γ0 e γ1 matrici 2 × 2 date da:

78


γ0 =

(

0 1

1 0

)

γ1 =

(

0 −ii 0

)

(3.86)

e soddisfacenti l’algebra di Clifford euclidea γµγν + γνγµ = 2ηµν con ηµν =

diag(1, 1). Inoltre a livello di azione classica ψ1 e ψ2 sono variabili di Grass-

mann. 30

Ora se ridefiniamo ψ1 ≡ ψ e ψ2 ≡ ψ possiamo riscrivere l’azione nel seguente

modo:

S = g

∫

d2x

ψ∂ψ + ψ∂ψ

(3.87)

mentre l’operatore di Dirac si scrive come:

γ0(γ0∂0 + γ1∂1) = 2

(

∂z 0

0 ∂z

)

(3.88)

Le equazioni del moto classiche divengono:

∂ψ = 0 ∂ψ = 0 (3.89)

le cui soluzioni sono una funzione olomorfa ψ(z) e una antiolomorfa ψ(z).

Come nel caso bosonico, siamo interessati al propagatore della teoria, che

nel caso di uno spinore a due componenti e una matrice 2 × 2 data da:

GFij(x, y) = 〈ψi(x) ψj(y)〉 con i, j = 1, 2. Come nel paragrafo precedente

esprimiamo l’azione nel seguente modo:

S =1

2

∫

d2x d2y ψi(x)Aij(x, y)ψj(y) (3.90)

dove come sempre x, y ∈ R2 e anche:

Aij(x, y) = g δ(x− y)(γ0γµ)ij∂µ (3.91)

Anche in qusto caso ci si appoggia ad un risultato riguardante integrali gaus-

siani di variabili di Grassmann, 31 generalizzato al continuo, per ottenere:

30sono oggetti matematici anticommutanti che formano un’algebra detta appunto di

Grassmann.31vedi per esempio [23], appendice al capitolo due.

79


GFij(x, y) = A−1

ij (x, y) (3.92)

oppure:

g (γ0γµ)ik∂µ GFkj(x, y) = δ(x− y)δij (3.93)

In termini di coordinate complesse quest’ultima equazione diviene:

2g

(

∂z 0

0 ∂z

) (

〈ψ(z, z)ψ(w, w)〉〈ψ(z, z)ψ(w, w)〉〈ψ(z, z)ψ(w, w)〉〈ψ(z, z)ψ(w, w)〉

)

=

= 1π

(

∂z1

z − w 0

0 ∂z1

z − w

)

(3.94)

dove si e usata la rappresentazione della delta di Dirac introdotta nei para-

grafi precedenti. La soluzione della suddetta equazione matriciale e:

〈ψ(z, z)ψ(w, w)〉 = 12πg

1z − w

〈ψ(z, z)ψ(w, w)〉 = 12πg

1z − w

ψ(z, z)ψ(w, w)〉 = 0

(3.95)

L’OPE del campo fermionico con se stesso (parte olomorfa)32 vale:

ψ(z)ψ(w) ∼ 1

2πg

1

z − w(3.96)

Di nuovo l’OPE riflette il carattere fermionico dei campi. Ora il passo suc-

cessivo e il calcolo dell’OPE di ψ con T (z) e del tensore energia-impulso con

se stesso. Quest’ultimo si scrive come:

T (z) = −2π Tzz = −πg : ψ(z)∂ψ(z) : (3.97)

dove come prima abbiamo usato l’ordinamento normale dei campi:

: ψ∂ψ : (z) = limw→z

(ψ(z)∂ψ(w) − 〈ψ(z)∂ψ(z)〉) (3.98)

32una analoga relazione vale per la parte antiolomorfa.

80


Nuovamente l’OPE di T (z) con ψ si ottiene mediante teorema di Wick:33

T (z) ψ(w) = −πg : ψ(z)∂ψ(z) : ψ(w)

∼ 12

∂ψ(z)(z − w)

+ 12

ψ(z)(z − w)2

∼ 12

ψ(w)(z − w)2 +

∂ψ(w)(z − w)

(3.99)

Quest’ultima espressione mostra come la parte olomorfa del campo fermio-

nico sia un operatore primario con dimensione conforme h = 1/2. Analo-

gamente ci si puo calcolare l’OPE di T (z) con se stesso, e dopo un discreto

numero di contrazioni si giunge a:

T (z)T (w) = π2g2 : ψ(z)∂ψ(z) :: ψ(w)∂ψ(w) :

∼ 1/4(z − w)4 +

2T (w)(z − w)2 +

∂T (w)(z − w)

(3.100)

espressione che ha una forma analoga a quella ottenuta nel caso bosonico

eccetto che per il fattore numerico che moltiplica il termine anomalo, qui 1/4

invece che 1/2.

3.7 La carica centrale

Ispirandoci ai risultati ottenuti per il bosone e il fermione massless, scriviamo

il seguente OPE del tensore energia-impulso con se stesso per una generica

teoria di campo conforme:34

T (z)T (w) ∼ c/2

(z − w)4 +2T (w)

(z − w)2 +∂T (w)

(z − w)(3.101)

dove la costante c che moltiplica il primo addendo dipende dal modello in

33con l’attenzione di inserire un segno meno ogni volta che due operatori fermionici

vengono scambiati.34l’articolo pionieristico nel quale per la prima volta si sono studiate le teorie conformi

bidimensionali e le loro conseguenze e [8].

81

3.7 La carica centrale

studio e prende il nome di carica centrale. Come abbiamo visto tale parame-

tro e uguale ad 1 per la teoria del bosone libero e a 1/2 nel caso fermionico.

Il valore della carica centrale non puo essere determinato da considerazioni

di simmetria ma piuttosto dal comportamento a breve distanza della teoria

quantistica. Se pensiamo a due campi non interagenti abbiamo che il tenso-

re energia-impulso della teoria complessiva e la somma dei tensori delle due

teorie non interagenti, e pure la carica centrale complessiva e la somma delle

cariche centrali delle due teorie prese singolarmente. In modo un po’ naıfe

possiamo pensare alla carica centrale come ad una quantita che “conta” i

gradi di liberta di una teoria.35

3.7.1 Legge di trasformazione del tensore energia-impulso

Dall’OPE di T (z) con se stesso sappiamo che il tensore energia-impulso non

trasforma come un campo primario di dimensione conforme h = 2, in con-

trasto con quello che ci si aspetta classicamente. Dalle identita di Ward

conformi

δǫ,ǫ 〈X〉 = − 1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 +1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 (3.102)

che sappiamo essere applicabili anche a campi non primari sotto trasforma-

zione conforme, possiamo ottenere la variazione infinitesima di T (z):

δǫ T (w) = − 12πi

∮

C

dz ǫ(z) T (z)T (w) =

= − 112c ∂3

wǫ(w) − 2T (w)∂wǫ(w) − ǫ(w)∂wT (w)

(3.103)

L’idea ora e quella di “esponenziare” la trasformazione infinitesima per otte-

nere come cambia il tensore energia impulso in una trasformazione generica

z → w(z). Il risultato e il seguente:

T ′(w) =

(

dw

dz

)−2[

T (z) − c

12w; z

]

(3.104)

35un risultato estremamente interessante legato al significato della carica centrale e il co-

sidetto teorema c di Zamolodchikov [59]. Esso afferma che per una generica teoria di campo

si puo definire una quantita che e decrescente lungo il flusso di rinormalizzazione. Tale

quantita diviene uguale alla carica centrale al punto fisso del gruppo di rinormalizzazione.

82


dove abbiamo introdotto la derivata cosidetta schwarziana, definita da:

w; z =

(

d3w/dz3

dw/dz

)

− 3

2

(

d2w/dz2

dw/dz

)2

(3.105)

Vale la seguente proprieta: consideriamo una composizione di mappe del ti-

po: z → w → u, allora si ha una regola “a catena” che coinvolge la derivata

schwarziana:

u; z = w; z +

(

dw

dz

)2

u;w (3.106)

Inoltre si ha anche che tale derivata si annulla se w(z) e una trasformazione

del gruppo conforme speciale, ovvero una mappa di Moebius.

3.7.2 Il significato fisico di c

La comparsa della carica centrale c, a volte detta anomalia conforme, e legata

al modo in cui il sistema quantistico reagisce all’introduzione di una scala

macroscopica. Per rendere questo discorso piu specifico consideriamo la tra-

sformazione conforme che mappa il piano complesso in una striscia infinita

di spessore L 36 con condizioni al contorno di tipo periodico sui bordi.37 Tale

mappa e:

z −→ w =L

2πln(z) (3.107)

Ne segue che dw/dz = L/(2πz) e la derivata schwarziana e 1/(2z2). Il ten-

sore energia-impulso della teoria definita sul cilindro e legato a quello della

teoria “piana” dalla relazione:

T ′cyl(w) =

(

2π

L

)2[

Tpl(z) z2 − c

24

]

(3.108)

Se assumiamo che Tpl(z) abbia un valore di aspettazione nullo sul vuoto, im-

mediatamente ci accorgiamo che T ′cyl(w) ha invece un valore di aspettazione

36tale trasformazione non e ovviamente invertibile.37effettivamente stiamo mappando il piano complesso su di un cilindro.

83

3.8 Bordi ed effetti di size finito

diverso da zero, infatti:

〈Tcyl(w)〉 = − cπ2

6L2(3.109)

La carica centrale risulta essere proporzionale all’energia di Casimir,38 ossia

alla variazione dell’energia del vuoto dovuta all’introduzione di una scala di

lunghezze nel sistema. Tale energia va a zero quando la circonferenza L del

cilindro va ad infinito.


Finora, con l’eccezione del paragrafo precedente, abbiamo studiato teorie con-

formi bidimensionali definite sul piano complesso. In questa sezione vogliamo

studiare teorie conformi definite su porzioni del piano complesso delimitate

da uno o piu bordi, oppure su geometrie differenti come potra essere il cilin-

dro. Nel fare cio evidenzieremo ancora una volta l’utilita delle mappe locali,

dato che le trasformazioni dal piano complesso a queste geometrie particolari

non appertengono al gruppo conforme globale.

L’importanza di studiare sistemi con size finito e molteplice. Per esempio

molta informazione sui modelli statistici bidimensionali e sui modelli quanti-

stici unidimensionali deriva da simulazioni numeriche, che obbligatoriamente

operano su sistemi con size finito L. Le proprieta di questi sistemi nel limite

termodinamico per L→ ∞ sono inferite dalle proprieta a dimensione finita,

e la teoria conforme puo fornire espressioni analitiche per queste ultime.

In sistemi quantistici, (per esempio catene di spin), il size finito potra essere

nella direzione del tempo immaginario 39, la quale corrisponde al caso di tem-

peratura finita40. L’invarianza conforme e percio molto utile nello studiare

il comportamento di un sistema quantistico unidimensionale a T finita, che

diviene critico per T = 0. 41

Inoltre le tecniche conformi permettono di calcolare l’andamento delle quan-

38da osservare che il segno della variazione dipende dalla geometria del problema!39stiamo pensando alla teoria nella sua formulazione euclidea.40come specificheremo meglio a breve.41per criticita in un sistema quantistico intendiamo l’annullarsi del “massgap”, ossia

della differenza fra l’energia del primo livello eccitato e dello stato fondamentale.

84


tita fisiche vicino ai bordi, dove sono imposte condizioni al contorno libere o

fissate.42

3.8.1 Invarianza conforme sul cilindro

Consideriamo una teoria di campo definita su un cilindro infinito di circon-

ferenza L. Sebbene tale cilindro non abbia dei veri e propri bordi, la sua

geometria e sorgente di effetti di “bordo”, analoghi a quelli che si trovano in

teorie definite su varieta con bordo.43 Tali effetti avranno importanti appli-

cazioni nello studio di sistemi quantistici a temperatura finita e di lunghezza

finita, come vedremo quantitativamente a breve e nel prossimo capitolo. Per

il momento consideriamo la mappa che dal piano infinito (coordinatizzato da

z) porta sul cilindro (con coordinata w):

w =L

2πln(z) o z = e2πw/L (3.110)

Una quantita interessante da calcolare su questa geometria e il correlatore

a due punti di un campo primario di dimensione conforme h. La sua forma

sul piano era data da (3.26), e servendoci della legge di tarsformazione per i

campi primari sotto mappe conformi (3.21) (3.25) otteniamo:44

〈φ1(w1)φ2(w2)〉 =(

∂w∂z

)−h

w=w1

(

∂w∂z

)−h

w=w2

〈φ1(z1)φ2(z2)〉

=(

2πL

)2h e2πh(w1+w2)/L

(z1 − z2)2h

=(

2πL

)2h(2 sinh[π(w1 − w2)/L])−2h

(3.111)

mentre il correlatore completo lo si ottiene moltiplicando la parte olomorfa

con la parte antiolomorfa:

(

2π

L

)2h+2h

(2 sinh[π(w1 − w2)/L])−2h (2 sinh[π(w1 − w2)/L])−2h (3.112)

Assumiamo ora per semplicita che il campo abbia spin nullo, ossia h = h =

42i primi risultati riguardanti teorie conformi e bordi si trovano in [15],[13].43per esempio la striscia infinita del paragrafo precedente.44considerando la sola parte olomorfa.

85


∆/2. L’espressione precedente si riduce a:

(

2π

L

)2∆[

4 sinhπw

Lsinh

πw

L

]−∆

(3.113)

dove w = w1 −w2 e w = w1 − w2 sono coordinate relative. Conviene riespri-

mere tutto in funzione delle coordinate lungo e attraverso il cilindro u e v

rispettivamente, definite come segue: w = u+ iv e w = u− iv. Manipolando

l’espressione precedente si giunge a:

〈φ1(u1, v1)φ2(u2, v2)〉 =

(

2π

L

)2∆[

2 coshπu

L− 2 cosh

πv

L

]−∆

(3.114)

Come ci si aspetta l’effetto del size finito scompare quando |w| e molto mi-

nore di L. In quel limite infatti sinh πwL

∼ πwL

e si ritrova immediatamente

il risultato del caso di geometria piana. Diversamente, quando u ≫ L si ha

2 cosh πuL

∼ e2πu/L e il correlatore diviene:

〈φ1(u1, v1)φ2(u2, v2)〉 =

(

2π

L

)2∆

e 2πu∆/L u≫ L (3.115)

Il correlatore lungo il cilindro decade esponenzialmente con una lunghezza

di correlazione ξ = L/2π∆, proporzionale al size del sistema. L’apparire

di una lunghezza di correlazione in un sistema critico e interamente dovuta

all’esistenza di una scala macroscopica.

Nell’occuparci di catene quantistiche, la geometria cilindrica puo essere let-

ta in due modi: o una catena di lunghezza L con condizioni periodiche al

contorno alla temperatura nulla, oppure una catena infinita alla temperatura

T = 1/L. Nel secondo caso, la lunghezza di correlazione ξ = L/2π∆ nella

direzione temporale e sintomo di un “gap” energetico fra lo stato fondamen-

tale e il primo stato eccitato. Cerchiamo di rendere questo punto piu espli-

cito considerando una teoria di campo euclidea e il correlatore a due punti

〈φ(x, 0)φ(x, τ), dove x e τ sono la coordianta spaziale e il tempo immaginario

rispettivamente. Nel formalismo operatoriale le funzioni di correlazione sono

calcolabili come valori di aspettazione sul vuoto:

86


〈φ(x, τ)φ(x, 0)〉 = 〈0|eHτφ(x, 0)e−Hτφ(x, 0)|0〉

=∑

n〈0|eHτφ(x, 0)e−Hτ |n〉〈n|φ(x, 0)|0〉

=∑

n e−(En−E0)τ |〈0|φ(x, 0)|n〉|2

(3.116)

Dove H e l’hamiltoniana, |n〉 sono autostati dell’energia con autovalori cre-

scenti e En e l’autovalore di H associato a |n〉.Se consideriamo una situazione in assenza di rottura spontanea di simmetria,

allora 〈0|φ(x, 0)|0〉 e nullo. Diversamente potremmo riscrivere l’equazione

precedente per le funzioni a due punti connessa:

〈φ(x, τ)φ(x, 0)〉 − 〈φ(x, τ)〉〈φ(x, 0)〉 =∑

n>0

e−(En−E0)τ |〈0|φ(x, 0)|n〉|2

(3.117)

Il termine dominante a grandi distanze τ e il primo stato eccitato, e nomi-

nando δE = E1 −E0 si ha:

〈φ(x, τ)φ(x, 0)〉c ∝ e−δEτ (τ → ∞) (3.118)

Comparando l’equazione (3.118) con l’equazione (3.115) possiamo concludere

che: 45

δE =2π∆

L(3.119)

Se l’estensione finita del sistema e nella direzione del tempo immaginario, il si-

ze L e uguale all’inverso di una temperatura 1/T e la lunghezza di correlazione

diviene:

ξ =1

2πT∆(3.120)

Questa lunghezza di correlazione ha l’interpretazione fisica di una lunghezza

di “coerenza”, ossia della lunghezza tipica entro la quale la coerenza quan-

tistica non e distrutta dalle fluttuazioni termiche. 46 Da osservare che in

45in unita naturali.46un modo un po’ naıfe di interpretarla e pensarla come la dimensione lineare media

entro la quale gli spin quantistici sono allineati parallelamente.

87


entrambi i casi il rapporto fra il size e la lunghezza di correlazione e pro-

porzionale alla dimensione di scaling del campo. Tale caratteristica diviene

fondamentale per esempio quando si studiano numericamente sistemi non

risolvibili analiticamente.

3.8.2 Comportamento critico di superficie

In questa sezione applichiamo le tecniche conformi a sistemi bidimensionali

con bordi, un esempio dei quali potrebbe essere il semipiano infinito. L’o-

biettivo e quello di determinare l’andamento dei correlatori in prossimita dei

bordi quando il “bulk” e critico.47

Un modello di meccanica statistica bidimensionale o una teoria quantisti-

ca in una dimensione sono caratterizzati dalle condizioni al contorno. Se

tali modelli godono di invarianza conforme al punto critico, tali condizioni

al contorno devono essere preservate delle mappe conformi. Cio riduce la

simmetria generale del modello: la parte olomorfa e quella antiolomorfa non

sono piu disaccoppiate e sopravvivono solo la meta dei generatori conformi.48

Il caso piu semplice di varieta con bordo a cui applicare le tecniche conformi

e il piano semi-infinito.

Consideriamo quindi il semipiano superiore del piano di Gauss, che ha come

bordo l’asse reale. Un modello definito su tale geometria godera di invarianza

conforme se le mappe analitiche lasciano immutate le condizioni al contorno

su tale asse. Tra tutte le trasformazioni del gruppo conforme speciale49 le

uniche che mappano l’asse reale in se stesso sono quelle in cui i parametri a, b

e c sono reali. Questa richiesta dimezza il numero di trasformazioni conformi

globali che soddisfano le caratteristiche suddette.

Analogamente considerando le trasformazioni conformi locali infinitesime del-

la forma z → z + ǫ(z) quelle che lasciano invariato l’asse reale sono quelle

per cui ǫ(z) = ǫ(z), cioe ǫ deve essere reale sull’asse reale. Questa e una

richiesta forte che di nuovo elimina meta dei generatori del gruppo conforme,

e fa si che il settore olomorfo della teoria e quello antiolomorfo non siano piu

indipendenti.

Se consideriamo la legge di trasformazione per i campi primari (3.21), notia-

47per “bulk” del sistema intendiamo la regione lontana dai bordi.48i generatori conformi in due dimensioni e l’algebra da loro soddisfatta verranno discussi

nella prossima sezione.49ossia le mappe analitiche definite ovunque e invertibili.

88


mo che quest’ultima per campi definiti sull’asse reale e moltiplicativa. Noi

vogliamo pero che i campi definiti sui bordi della varieta vengano lascia-

ti inalterati dalla mappa conforme, un esempio dei quali potrebbe essere il

seguente:

φ|R = 0 φ|R = ∞ (3.121)

La prima condizione simula sistemi i cui bordi non sono “preordinati”, ov-

vero sistemi in cui i bordi si ordinano prima del “bulk”. La seconda invece

mima sistemi in cui succede esattamente questo, sistemi cioe che subiscono

una transizione “straordinaria”.50 Ricordiamo l’identita di Ward conforme

che incorpora gli effetti delle mappe conforme sui correlatori:

δǫ,ǫ 〈X〉 = − 1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 +1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 (3.122)

dove come al solito X sta per una stringa di campi locali. Assumiamo che

questi siano campi primari, ossai:

X = φh1,h1(z1, z1) . . . φhn,hn

(zn, zn) (3.123)

Sul piano complesso questa relazione da in realta una coppia di relazioni, es-

sendo le variazioni su z e z indipendenti. Nel semipiano complesso l’identita

conforme e ancora applicabile, col vincolo che il contorno C sia confinato nel

semipiano e che ǫ sia il complesso coniugato di ǫ.

Per poter applicare la “tecnologia” conforme delle sezioni precedenti al caso

del semipiano superiore con bordo, siamo indotti a considerare la dipendenza

dalla coordinata antiolomorfa zi come dipendenza dalla coordinata olomorfa

z∗i = zi definita sul semipiano inferiore. Introduciamo cosı una immagine

speculare del sistema attraverso una trasformazione di parita. Passando dal

semipiano superiore al semipiano inferiore ogni campo vettoriale e tensoriale

cambiera i suoi indici olomorfi in antiolomorfi e viceversa. Cosı T (z∗) = T (z),

T (z∗) = T (z) e cosı via.51 Tale estensione sara compatibile con le condia-

zioni al contorno se e solo se T = T sull’asse reale. Tradotto in coordinate

cartesiane cio diviene Txy = 0 con il chiaro significato fisico che non ci devono

essere flussi di energia dal semipiano superiore a quello inferiore.

E adesso possibile riscrivere l’identita di Ward conforme la teoria definita

50per un approfondimento vedi [23],capitolo undici.51si prolunga analiticamente il semipiano superiore.

89


z

z z1 1

2 z2

*

*

Im z < 0

Im z > 0

Figura 3.1: Cammini di integrazione nel piano complesso.

sul semipiano superiore come una pura espressione olomorfa dell’intero piano

complesso. Il secondo termine:

1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X〉 (3.124)

diviene un integrale di contorno nel semipiano inferiore, immagine speculare

di quello nel semipiano superiore (vedi figura). Dal momento che T = T sul-

l’asse reale, i due contorni disgiunti possono essere fusi in un unico contorno,

grazie al fatto che il tratto orizzantale si elide in virtu del segno differente di

equazione (3.122). Si giunge ad un unico integrale nel piano complesso, che

racchiude il doppio dei punti dei due integrali originari presi singolarmente.

Quindi si ha:

δǫ 〈X〉 = − 1

2πi

∮

C

dz ǫ(z)〈T (z) X ′〉 (3.125)

dove ora X ′ ≡ φh1(z1)φh1

(z∗1) . . . φhn(zn)φhn

(z∗n) in cui φh(z) e la parte olo-

morfa del campo φ mentre φh(z∗) e la sua parte antiolomorfa dopo una

trasformazione di parita che la rende un campo olomorfo della variabile z

con dimensione conforme h.

In altre parole il correlatore 〈X〉 nel semipiano, come funzione delle 2n va-

riabili z1, z1, . . . zn, zn soddisfa le stesse equazioni differenziali del correlatore

〈X ′〉 nell’intero piano complesso come funzione delle 2n coordinate olomorfe

90


z1, z∗1 , . . . zn, z

∗n. Abbiamo rimpiazzato i gradi di liberta antiolomorfi con dei

nuovi gradi di liberta olomorfi, mantenendo costante il numero di gradi di

liberta totali. L’interazione del campo con il bordo viene sostituita con un

campo immagine che produce lo stesso effetto del bordo. 52

La piu semplice applicazione del metodo delle immagini e il calcolo del pro-

filo del parametro d’ordine nelle vicinanze del bordo, ossia la dipendenza

di 〈φ(z)〉 dalla distanza dall’asse reale. In accordo con l’analisi precedente

possiamo concludere che tale correlatore a un punto e dato da 〈φ(z)φ(z)〉nell’intero piano complesso. Quest’ultimo sappiamo essere dato da:

(z − z)−2h (3.126)

cosı se y e la distanza dall’asse reale e supponiamo che il campo sia spinless,

possiamo concludere che il profilo cercato e:53

〈φ(y)〉 ∼ 1

y∆(3.127)

3.9 Algebra di Virasoro

Quest’ultimo sezione sara una panoramica senza pretese di completezza sul-

l’algebra dei generatori conformi, le loro rappresenatazioni54 e gli spazi di

Hilbert delle teorie stesse.55 Come ogni simmetria in fisica, i generatori delle

trasformazioni conformi formano un’algebra, nota come algebra di Virasoro.

Ci sono una infinita di trasformazioni conformi locali, una per ogni coeffi-

ciente dell’espansione di Laurent di ǫ(z) =∑

n anzn+1; in corrispondenza si

ha una infinita di generatori Ln, che non sono altro che i modi normali del

tensore energia-impulso, definiti da:56

T (z) =∑

n∈Z

z−n−2 Ln Ln =1

2πi

∮

dz zn+1 T (z) (3.128)

52chiunque abbia studiato fisica avra ripensato al metodo delle cariche immagine in

elettrostatica, nel quale cariche elettriche fittizie vengono inserite nella regione non fisica

del problema per simulare l’effetto dei bordi.53quest’ultima espressione risultera molto utile nei prossimi capitoli dove studieremo

sistemi con bordo.54note come Verma moduli.55per uno studio completo e dettagliato si veda [23], capitoli sei, sette e otto.56analogamente per la parte antiolomorfa.

91


Essi soddisfano la seguente algebra:

[Ln, Lm] = (n−m)Ln+m + c12n(n2 − 1)δn+m

[

Ln, Lm

]

= (n−m)Ln+m + c12n(n2 − 1)δn+m

[

Ln, Lm

]

= 0

(3.129)

Per ogni particolare teoria conforme gli Ln sono operatori che agiscono sugli

stati dello spazio di Hilbert della teoria. Quest’ultimo e costruito con una

tecnica nota come quantizzazione radiale. Con tale metodo vi e una corri-

spondenza uno a uno fra i campi della teoria e gli stati dello spazio di Hilbert

che sono autostati di L0. Questo e l’operatore che genera le dilatazioni e i

suoi autovalori sono appunto le dimensioni di scaling.

Dalla forma dell’algebra di Virasoro si cercano rappresentazioni irriducibili

dell’algebra stessa, che saranno i “mattoni” per costruire spazi di Hilbert piu

complessi.

Se studiamo teorie conformi che descrivano i punti fissi di particolari modelli

statistici bidemensionali, saremo interessati alle rapresentazioni irriducibili e

unitarie, poiche in queste ultime non ci sono campi con dimensioni conformi

negative, e quindi i correlatori decadono all’infinito.57

Risulta che per c < 158 le richieste fatte impongono vincoli severi, e solo i

seguenti valori di c ammettono rappresentazioni unitarie ed irriducibili:

c = 1 − 6

m(m+ 1)m = 3, 4, 5, . . . (3.130)

e per ogni valore di m sono possibili solo un numero finito di rappresenta-

zioni. Le corrispondenti dimensioni conformi dei campi primari della teoria

sono date dalla formula di Kac:

h = hr,s =(r(m+ 1) − sm)2 − 1

4m(m+ 1)(3.131)

con 1 ≤ s ≤ r ≤ m−1. Fra tutti i modelli che si ritrovano in questa classifica-

57viceversa in teorie non unitarie alcuni correlatori divergono quando le posizioni dei

punti divengono arbitrariamente grandi.58per c > 1 tutte le rappresentazioni sono unitarie, per approfondomenti consultare

[23],capitolo sette.

92


zione ve ne sono alcuni noti, ovvero il modello di Ising critico bidimensionale,

il cosidetto “atomo d’idrogeno” della meccanica statistica, che corrisponde

a m = 3, c = 1/2. Per m = 5 troviamo il modello di Potts a tre strati,

per m = 4 il modello di Ising tricritico e cosi via. Per questi modelli risulta

che tutte le proprieta del modello al punto critico possono essere calcolate

analiticamente.59

Nel prossimo capitolo applicheremo le tecniche conformi al calcolo dell’en-

tropia di Von-Neumann per alcuni modelli bidimensionali.

59ecco un altro esempio della potenza dell’invarianza conforme.

93


94

Capitolo 4

Tecniche di calcolo per

l’entropia di Entanglement

In questo capitolo analizzeremo alcune recenti tecniche di calcolo dell’entro-

pia di entanglement per teorie di campo bidimensionali, conformi e non. Nel

caso conforme ci appoggeremo diffusamente ai risultati esposti nel capitolo

precedente, mentre nel caso di teorie non critiche argomenti provenienti dal

gruppo di rinormalizzazione ci condurranno ad un formula generale che ve-

rificheremo esplicitamente nel caso del bosone libero massivo, e dei fermioni

di Majorana e Dirac massivi.

Per prima cosa richiameremo il concetto e alcune delle piu importanti pro-

prieta dell’operatore densita,1 indispensabile per poter poi definire l’entropia

di entanglement.

4.1 Matrice densita ed entropia di Von Neu-

mann

Introduciamo quindi il formalismo dell’operatore densita, introdotto da J.

Von Neumann nel 1927, che descrive quantitativamente situazioni fisiche in

cui sono presenti miscele2 e insiemi puri. Un insieme puro e una collezione

di sistemi fisici tutti caratterizzati dallo stesso vettore di stato |α〉. Nel caso

della miscela, o stato misto, una frazione di membri con popolazione per-

1spesso chiamato matrice densita.2talvolta chiamate stati misti.

95

4.1 Matrice densita ed entropia di Von Neumann

centuale ω1 e caratterizzata dal ket |α(1)〉, un’altra frazione con popolazione

percentuale ω2 da |α(2)〉 e cosı via. Come suggerisce il nome lo stato misto

puo essere visto come miscela di stati puri. Le popolazioni percentuali sod-

disfano la condizione di normalizzazione∑

i ωi = 1.

Inoltre |α(1)〉, |α(2)〉,... non devono essere necessariamente ortogonali e il loro

numero e in generale diverso dalla dimensione dello spazio di Hilbert del si-

stema fisico,3 potendo anche eccederla. Consideriamo ora la quantita fisica A

rappresentata dall’operatore autoaggiunto A; possiamo chiederci quale sara

la media del valore di A dopo un gran numero di misure. La risposta e data

tramite la media d’insieme di A definita da:

〈A〉 =∑

i

ωi 〈α(i)|A|α(i)〉

=∑

i

∑

n

ωi an |〈n|α(i)〉|2(4.1)

dove abbiamo usato la decomposizione spettrale seguente per A:4

A =∑

n

an|n〉〈n| (4.2)

in cui |n〉n e un set completo e ortogonale di autostati di A con autovalore

an, e Pn ≡ |n〉〈n| e il proiettore ortogonale su tali stati.

L’equazione precedente mostra come tali valori di aspettazione devono es-

sere ulteriormente pesati dalla corrispondente popolazione percentuale ωi,

rispetto ad una media su uno stato puro. Si noti come le considerazioni

probabilistiche entrino in modo duplice, ossia sia come media sullo stato che

come media sulla miscela statistica.

Riscriviamo ora la media d’insieme inserendo una generica risoluzione della

identita I =∑

b |b〉〈b|:

〈A〉 =∑

i

ωi

∑

b′

∑

b′′

〈α(i)|b′〉〈b′|A|b′′〉〈b′′|α(i)〉

=∑

b′

∑

b′′

(∑

i

ωi〈α(i)|b′〉〈b′′|α(i)〉) 〈b′|A|b′′〉(4.3)

3stiamo pensando ad uno spazio di Hilbert di dimensione finita, come quello in cui si

rappresenta uno spin 1/2.4nell’ipotesi che A sia un operatore compatto.

96

Tecniche di calcolo per l’entropia di Entanglement

In questo modo abbiamo fattorizzato la struttura intrinseca della miscela.

Cio ci porta a definire l’operatore densita nel modo seguente:

ρ =∑

i

ωi |α(i)〉〈α(i)| (4.4)

per uno stato misto, con 0 6 ωi 6 1, mentre per uno stato puro in cui

ωi = 0 per tutti gli i eccetto uno, si avrebbe ρ = |ψ〉〈ψ|.L’operatore densita contiene tutta l’informazione fisica sul sistema in que-

stione e possiamo scrivere piu sinteticamente:

〈A〉 = Tr(Aρ) (4.5)

Inoltre esso gode delle seguenti proprieta:5

1. ρ e operatore limitato e autoaggiunto, con ‖ρ‖ ≤ 1;

2. ρ e definito positivo, ossia 〈ψ|ρ|ψ〉 ≥ 0 ∀ψ ∈ H;

3. ρ e un operatore di classe traccia con Tr ρ = 1;

4. per uno stato puro ρ 2 = ρ, ossia ρ e un operatore idempotente

Inoltre se pensiamo agli stati |α(i)(t)〉 della miscela come dipendenti dal tem-

po non e difficile provare che ρ(t) soddisfa l’equazione di Liouville quantistica,

ossia:6

i~∂ρ

∂t=[

H, ρ(t)]

(4.6)

dove ~ e la costante di Planck ridotta, e H e l’hamiltoniana che genera l’e-

voluzione temporale del sistema.

Nella prossima sezione introdurremmo il cosidetto approccio alla matrice

densita tramite integrali sui percorsi, che useremo nel seguito del capitolo.

5si veda [38].6espressione a tempo reale.

97


4.1.1 Approccio alla matrice densita tramite integrali

sui percorsi

Come noto in meccanica statistica quantistica si ha un ulteriore elemento

di in certezza oltre alle fluttuazioni termiche (gia presenti a livello classico),

ossia l’indeterminazione quantistica. Il calcolo dei valori medi delle quantita

fisiche passa attraverso l’operatore densita, che nel formalismo canonico si

scrive come:

ρ = e−βH , β =1

kBT(4.7)

La funzione di partizione canonica nel linguaggio operatoriale diviene:7

Z =∑

n

〈n|ρ|n〉 =∑

n

〈n|e−βH |n〉 = Trρ (4.8)

e il valore medio di una osservabile all’equilibrio termodinamico sara dato da:

〈A〉 =∑

n

〈n|ρA|n〉 = Tr(ρA) (4.9)

Vediamo come e possibile riottenere queste quantita nel formalismo degli in-

tegrali sui percorsi8. Consideriamo l’elemento di matrice:

ρ(xf , xi) = 〈xf |ρ|xi〉 = 〈xf |e−βH |xi〉 (4.10)

Tale quantita puo essere scritta come:

ρ(xf , xi) =

∫ (xf ,β)

(xi,0)

[Dx] exp −SE(x) (4.11)

dove [Dx] e la misura funzionale, che integra su tutte le traiettorie che par-

tono da xi al tempo 0 e terminano in xf al tempo β. In questo contesto

il tempo immaginario τ e semplicemente una variabile ausiliaria introdotta

per rendere manifesta l’analogia con gli integrali sui percorsi, che di norma

7pensiamo per semplicita alla statistica quantistica di un sistema unidimensionale di

particella singola, non sara poi difficile generalizzare a casi piu realistici e di interesse,

come le catene di spin.8a tempo euclideo e in unita naturali.

98


in meccanica quantistica sono utilizzati per calcolare propagatori temporali.

L’azione euclidea SE(x) che e un funzionale della traiettoria e invece data da:

SE(x) =

∫ β

0

[m

2x(τ)2 + V (x(τ))

]

dτ (4.12)

Ora forti di tale espressione formale possiamo riscrivere la funzione di parti-

zione come:

Z =

∫

dx 〈x|ρ|x〉 =

∫

dx

∫ (xf ,β)

(xi,0)

[Dx] exp −SE(x)

=

∫

[Dx] exp −SE(x)

(4.13)

dove nell’ultimo integrale si sono rimossi gli estremi di integrazione in quanto

si integra su tutte le traiettorie per cui x(0) = x(β). Infine calcoliamoci il

valore di aspettazione di una osservabile fisica A:

〈A〉 =1

Z

∫

dx 〈x|ρA|x〉

=1

Z

∫

dx dy 〈x|ρ|y〉〈y|A|x〉

=1

Z

∫

dx dy δ(x− y) A(x) 〈x|ρ|y〉

=1

Z

∫

dx A(x) 〈x|ρ|x〉

=1

Z

∫

[Dx] A(x(0)) exp −SE(x)

(4.14)

nel quale abbiamo supposto che A sia un operatore moltiplicativo nella coor-

dinata x, ossia 〈y|A|x〉 = δ(x− y) A(x).

L’idea base di tutto il nostro ragionamento e che la funzione di partizione

di un sistema quantistico nel formalismo degli integrali sui percorsi e otteni-

bile da un integrale sui percorsi ordinario attraverso una rotazione di Wick

e restringendo il tempo euclideo al un dominio finito di estensione β. Alla

99


Figura 4.1: Sistema composto.

temperatura nulla tale dominio diviene di estensione infinita e si riottiene

l’usuale funzionale generatore9 a tempo euclideo. A temperatura finita la

funzione di partizione di una teoria quantistica d dimensionale si scrive in

modo formalmente identico10 alla funzione di partizione di un sistema clas-

sico d+ 1 dimensionale definito in una striscia infinita di larghezza β.

Nel seguito consideremo spesso sistemi fisici composti da due sottoinsiemi

distinti, i cosidetti “Bob e Alice”11, quindi discuteremo brevemente le pro-

prieta peculiari della matrice densita per sistemi cosı fatti.

4.1.2 Sistemi composti ed entropia di entanglement

Consideriamo quindi un sistema fisico che sia formato da due sottosistemi,

diciamo A e B (vedi figura), di modo che lo spazio di Hilbert complessivo

della teoria si scriva come: H = HA ⊗HB.

Classici esempi di sottosistemi fisici sono i sistemi a due stati, diciamo 0 e 1,

come ad esempio uno spin 1/2, in cui H = C2.12 Se cosiderassimo un sistema

fisico formato da due sistemi di questo tipo, con H = C2 ⊗ C2, una base in

tale spazio sarebbe:13

9nell’ottica della teoria dei campi, in cui le traiettorie divengono tutte le possibili

configurazioni per i campi della teoria.10grazie allo strumento degli integrali sui percorsi.11sono i nomi piu usati in tutti i trattati di entanglement.12i sistemi quantistici a due stati, molto studiati anche in virtu degli sviluppi della

“quantum computation”, sono talvolta detti Qbit.13detta base computazionale.

100


|0A 0B〉|0A 1B〉|1A 0B〉|1A 1B〉

(4.15)

Consideriamo uno stato puro in H, diciamo |ψAB〉, la matrice densita asso-

ciata a questo stato puro si scrive:

ρ = |ψAB〉〈ψAB|, |ψAB〉 ∈ H (4.16)

Ora definiamo la matrice densita ridotta ρA = TrHBρ. La domanda che vale

la pena porsi e la seguente: se parto da uno stato puro del sistema complessi-

vo, calcolando la matrice densita ridotta di uno dei due sottoinsiemi ottengo

nuovamente uno stato puro? La risposta in generale e no, come dimostra il

seguente esempio esplicito: consideriamo il seguente stato puro in H:

|ψ〉 =|00〉 + |11〉√

2(4.17)

che si traduce nel seguente operatore densita:

ρ = |ψ〉〈ψ|

= 12[ |00〉〈11|+ |00〉〈00|+ |11〉〈11|+ |11〉〈00| ]

(4.18)

Ora se tracciamo sul sottoinsieme B otteniamo:

ρA =1

2[ |0〉〈0| + |1〉〈1| ] (4.19)

che e uno stato misto! L’esempio ci ha quindi insegnato che anche partendo

da uno stato puro per il sistema complessivo, il calcolo della matrice densita

ridotta per un sottoinsieme puo portare ad una miscela di stati.

La domanda che viene naturale a questo punto e la seguente: che forma deve

avere |ψ〉 in H affinche la matrice ridotta in A sia della forma ρA = |ψA〉〈ψA|,ossia sia uno stato puro? La risposta e che |ψ〉 devo essere uno stato decom-

ponibile, o separabile, ossia avere la forma:

101


|ψ〉 = |ψA〉 ⊗ |ψB〉 (4.20)

Se lo stato non si presenta in questa forma si dice che e uno stato “entan-

gled”, ossia “intrecciato”. Per capire se un generico vettore dello spazio di

Hilbert H e separabile o entangled e molto utile un risultato noto come de-

composizione di Schimdt:

∀ |ψ〉 ∈ H = HA⊗HB esiste |iA〉 insieme di vettori mutuamente ortogonali

in HA ed esiste |iB〉 insieme di vettori mutuamente ortogonali in HB tali

che si possa scrivere:

|ψ〉 =∑

i

λi |iA〉 ⊗ |iB〉 λi ≥ 0,∑

i

λ2i = 1 (4.21)

ed inoltre lo stato e separabile se e solo se ∃! λi 6= 0.

Possiamo ora finalmente introdurre il concetto di entropia di Von Neumann,14che

per un sistema quantistico descritto dall’operatore densita ρ si scrive co-

me: S = −Tr(ρ ln ρ). Tale definizione di entropia gode delle seguenti pro-

prieta:15

1. se ρ e uno stato puro S(ρ) = 0;16

2. S(ρ) = S(U−1ρU) con U operatore unitario;

3. maxS(ρ) = ln(D), con D = dim H;17

4. se ho λ1 + λ2 + · · · + λn = 1, con λi ≥ 0 allora

S(λ1ρ1 + λ2ρ2 + · · ·+ λnρn) ≥ λ1S(ρ1) + λ2S(ρ2) + · · ·+ λnS(ρn);

5. se ho un sistema decomponibile in due sotto sistemi A e B vale:

S(ρAB) ≤ S(ρA) + S(ρB);

14che e la versione quantistica dell’entropia di Shannon della teoria dell’informazione.15non sempre si usa il logaritmo naturale nel definire l’entropia di Von Neumann. Per

esempio nella teoria dell’informazione, dove si ha a che fare con distribuzioni di probabilita,

conviene utilizzare il logaritmo che ha come base il numero di eventi diversi disponibili, in

modo che il massimo si S sia sempre 1.16questa proprieta permette di dimostare la versione quantistica del teorema di Nerst,

per sistemi quantistici che abbiano uno stato fondamentale non degenere.17per spazi di Hilbert finito dimensionali.

102


e l’uguaglianza vale quando i due sottosistemi sono scorrelati fra loro,

ossia quando ρAB = ρA ⊗ ρB.

Vogliamo ora definire l’entropia di entanglement, ossia una quantita fisica che

come vedremo quantifica quanto i due sottoinsiemi A e B (Alice e Bob) siano

correlati o se vogliamo “intrecciati”18 uno con l’altro. Consideriamo un siste-

ma quantistico in uno stato puro |ψ〉 la cui matrice densita si scrive quindi

come ρ = |ψ〉〈ψ|, e consideriamo un osserevatore, diciamo Bob che puo

effettuare misure solo su un sottoinsieme di osservabili, mentre un secondo

osservatore Alice effettua misurazioni sulle rimanenti.19 La matrice densita

ridotta del primo sottoinsieme sara ρA = TrB ρ. L’entropia di entanglement

e semplicemente l’entropia di Von Neumann associata alla matrice densita

ridotta, ossia:

SA = −TrA ρA ln ρA (4.22)

e non e difficile convincersi che SA = SB. Se i due sottoinsiemi sono completa-

mente scorrelati risultera SA = 0 mentre tale quantita risultera massimizzata

per uno stato massimamente “entangled”.

Per chiarire quest’ultimo passaggio puo essere d’aiuto il seguente esempio:

consideriamo due spin quantistici 1/2, e il sistema complessivo che si trova

nel seguente stato:

|Ψ〉 = cos θ| ↑↓〉 + sin θ| ↓↑〉 (4.23)

dove A effettua misure solo sul primo spin mentre B solo sul secondo. In que-

sto caso risulta che SA raggiunge in suo massimo valore, ossia ln 2, quando

cos2 θ = 1/2, che in accordo con l’idea intuitiva di massimo entanglement.

Nel seguito ci occuperemo di entropia di entanglement in sistemi quantistici

come catene di spin, e l’insieme di osservabili citato precedentemente non

sara altro che l’insieme delle variabili di spin associate ad una o piu porzioni

di catana di lunghezza finita, in una catena che complessivamente e infini-

tamente lunga. Nell’intorno di un punto critico per la catena di spin, dove

la lunghezza di correlazione ξ ≫ a, con a passo reticolare, sappiamo che la

nostra teoria e descrivibile come teoria di campo.

In particolare in questo capitolo20 analizzeremo solo sistemi la cui relazione

18tale denominazione rappresenta un tentativo di tradurre il termine inglese entangled.19i due set di osservabili che competono a Bob e Alice rispettivamente sono commutanti

fra loro, ossia ogni osservabile di A commuta con ogni osservabile di B e viceversa.20e in tutto l’elaborato.

103

4.2 Entropia di entanglement e superfici di Riemann

di dispersione nell’intorno del punto critico sia di tipo relativistico, in modo

da ottenere una teoria di campo relativistica,21 che esattamente al punto cri-

tico diviene conforme.

La tecnica largamente usata nel proseguo basa il calcolo dell’entropia di en-

tanglement sul cosidetto metodo delle repliche, ossia studieremo il nostro

sistema su una superficie di Riemann a n fogli, e solo alla fine manderemo

n→ 1.

4.2 Entropia di entanglement e superfici di

Riemann

Consideriamo un modello quantistico definito su reticolo, in una dimensio-

ne spaziale e una temporale, e supponiamo che i siti siano equidistanti con

passo reticolare a sull’asse reale. Tali siti saranno indicizzati dalla variabile

discreta x, e il dominio di x potra essere tutto l’asse reale, un semiasse o un

segmento finito di lunghezza L a seconda della situazione. Indicheremo for-

malmente il set completo di osservabili mutuamente commutanti con φ(x),e l’insieme completo di autovalori e autostati con φ(x) e ⊗x|φ(x)〉 ri-

spettivamente. Per una catena di spin quantistici tali osservabili potrebbero

essere S2(x), Sz(x) ∀ x.22Supporremo che il tempo sia una variabile continua, e l’evoluzione temporale

del sistema e determinata dall’hamiltoniana H . La matrice densita di un tale

sistema in uno stato termico alla temperatura β−1 e data da:

ρ(φ(x), φ(x′)′) = Z(β)−1〈φ(x)|e−βH|φ(x′)′〉 (4.24)

dove Z(β) = Tre−βH e la funzione di partizione. Come illustrato nella sezio-

ne precedente possiamo riesprimere la matrice densita tramite il formalismo

degli integrali sui percorsi, nel seguente modo:

21esattamente come per la catena di Ising quantistica analizzata nel primo capitolo

dell’elaborato.22e noto infatti che le tre componenti dello spin quantistico non commutino fra loro, ma

ognuna di esse commutata con il quadrato dello spin locale totale. Variabili definite su

siti diversi ovviamente commutano.

104


Figura 4.2: Rappresentazione grafica della matrice densita e della funzione

di partizione.

ρ = Z−1

∫

[dφ(x, τ)]∏

x

δ(φ(x, 0)−φ(x′)′)∏

x

δ(φ(x, β)−φ(x)) e−SE (4.25)

dove SE e l’azione euclidea del modello. Il fattore di normalizzazione assi-

cura che Trρ = 1, cosa che puo essere verificata ponendo φ(x) = φ(x′)′e integrando su tutte le configurazioni dei campi. Topologicamente parlan-

do tale operazione equivale a “incollare” insieme la configurazioni a τ = 0

e τ = β formando un cilindro con circonferenza β. Consideriamo ora il

sottosistema A costituito dall’insieme di punti x negli intervalli disgiunti

(u1, v1), . . . , (uN , vN). L’espressione per la matrice densita ridotta ρA per un

tale sottosistema si ottiene dalla equazione (4.25) integrando su tutti i gradi

di liberta complementari ad A, ossia figurativamente “incollando” fra loro

le configurazioni iniziali e finali di tutti i punti x che non si trovano in A e

poi integrando su tutti i campi per quei valori di x. Questo avra l’effetto di

lasciare dei “tagli”, uno per ogni intervallo (ui, vi) per τ = 0.

L’idea ora e quella di considerare n repliche del nostro sottosistema A, e

calcolare la quantita TrρnA, per ogni intero positivo n. Indicizziamo le copie

del sistema con 1 ≤ k ≤ n, e congiungiamo ciclicamente le estremita di una

copia con quella successiva nel seguente modo:

φ(x)′k = φ(x)k+1 φ(x)′n = φ(x)1 ∀ x ∈ A (4.26)

105

4.2 Entropia di entanglement e superfici di Riemann

Denoteremo l’integrale di cammino su una tale configurazione con Zn(A).

Risulta inoltre che:

TrρnA =

Zn(A)

Zn(4.27)

Le condizioni di raccordo precedenti possono apparire a prima vista un po

esotiche, ma esse sono motivate dall’espressione esplicita di TrρnA. Infatti

scrivendo in forma sintetica:

ρ(φf , φi) = Z−1

∫ (φf ,β)

(φi,0)

[dφ] e−SE (4.28)

dove φi e φf sono le configurazioni dei campi iniziale e finale rispettivamente,

e facile convincersi che:

TrρnA = Z−n

∫

[dφ1] . . . [dφn] ρ(φ1, φ2)ρ(φ2, φ3) . . . ρ(φn, φ1) (4.29)

che e esattamente quello che si affermato in equazione (4.27).

Ora dal momento che TrρnA =

∑

λ λn, dove λ sono gli autovalori di ρA (i

quali sono confinati in [0, 1)), e TrρA = 1, allora segue che il lato sisnistro di

(4.27) e assolutamente convergente e analitico per tutti Re n > 1. Vogliamo

provare ora che:23

SA = − limn→1+

∂

∂n

Zn(A)

Zn(4.30)

Ricordiamoci che SA = −∑

λ λ lnλ. Scriviamo quindi:

− ∂

∂nTrρn

A = −∑

k

∂

∂nen ln λk

= −∑

k

en ln λk lnλk

= −∑

k

λnk lnλk

(4.31)

23la tecnica e del tutto simile a quella nota in teoria dei campi come ζ function

regolarization.

106


Figura 4.3: Fogli di Riemann.

da cui segue senza difficolta l’equazione (4.30).24

Finora abbiamo sempre supposto che x fosse una variabile discreta, ma ora

vogliamo mandare il passo reticolare a zero in modo da considerare una

vera e propria teoria di campo. L’integrale sui percorsi Zn(A) diverra in

questo limite un integrale su una superficie di Riemann a n fogli, con punti

di diramazione in uj e vj . Naturalmente supporremo che la teoria di campo

risultante sia Lorentz-invariante. Nel prossimo paragrafo ci specializzeremo

ulteriormente a teorie di campo bidimensionali relativistiche e massless, ossia

teorie conformi.

4.3 Entropia di entanglement e teorie confor-

mi bidimensionali

Ora specializziamoci al caso di una teoria di campo conforme (CFT), con

carica centrale c, inizialmente a temperatura nulla.

Mostreremo in questo caso come il rapporto di funzioni di partizioni in (4.27)

e ottenibile dalla funzione di correlazione di opportuni campi primari Φn(uj)

e Φ−n(vj) con dimensioni di scaling 25 ∆n = 2hn = (c/12)(1 − 1/n2) inseriti

24si e data per scontata la convergenza uniforme di∑

λ λn, cosı da poter derivare e

passare al limite entro il simbolo di serie.25manterremo la notazione di [23] per quanto riguarda le dimensioni di scaling.

107

4.3 Entropia di entanglement e teorie conformi bidimensionali

Figura 4.4: Trasformazione topologica della superficie di Riemann di ζ1/n in

una sfera.

in ognuno degli n fogli di Riemann.

4.3.1 Singolo intervallo

Consideriamo per primo il caso di un singolo intervallo (N=1) senza bordi,

che corrisponderebbe a considerare una porzione di lunghezza finita l all’in-

terno della nostra catena quantistica, pensata inizialmente alla temperatura

nulla.26

La seguente mappa conforme w → ζ = (w − u)/(w − v) mappa i punti di

diramazione in (0,∞). Successivamente possiamo mappare la nostra super-

ficie di Riemann Rn a n fogli in un unico piano complesso C attraverso la

trasformazione: ζ → z = ζ1/n = ((w − u)/(w − v))1/n, come e illustrato in

figura. Consideriamo infatti la seguente sequenza di operazioni:

1. mappiamo ciascun foglio Tk su una superficie sferica Σk, usando la

26ossia stiamo pensando al sistema che complessivamente si trova nello stato

fondamentale.

108


tecnica della proiezione stereografica.27 In particolare il taglio di Tk

viene mappato in un taglio che congiunge i poli nord e sud di Σk lungo

un meridiano (parte a della figura).

2. immaginando che ogni Σk sia fatta di materiale malleabile, si aprono i

bordi del taglio e si comprime la superficie fino a ridurla ad un n-esimo

di superficie sferica a forma di spicchio (parte b della figura).

3. si incollino infine i bordi degli n spicchi cosı ottenuti nei modo prescrit-

ti dalle condizioni di raccordo di ζ1/n, ottenendo la superficie sferica

annunciata, che e topologicamente equivalente al piano complesso piu

il punto all’infinito (parte c della figura).

Consideriamo ora la componente olomorfa del tensore energia-impulso T (w),

dove ricordiamoci w ∈ Rn. Tale componente e legata a T (z) definita su C

da:28

T (w) =

(

dz

dw

)2

T (z) +c

12z, w (4.32)

dove z, w e la derivata Schwartziana (z′′′z′ − 3/2 z′′2)/z′2. In particolare,

sapendo che nel piano 〈T (z)〉C = 0 in virtu dell’invarianza rotazionale e tra-

slazionale, otteniamo immediatamente:

〈T (w)〉Rn=

c

12z, w =

c(1 − (1/n)2)

24

(v − u)2

(w − u)2(w − v)2(4.33)

risultato che si raggiunge agevolmente usando la regola a catena per la deri-

vata Schwartziana. Tale espressione puo allora essere confrontata con quella

relativa al correlatore di T con due campi primari Φn(u) e Φ−n(v) con di-

mensioni conformi complesse hn = hn = (c/24)(1 − (1/n)2):

〈T (w)Φn(u)Φ−n(v)〉C =hn

(w − u)2(w − v)2(v − u)2hn−2(v − u)2hn(4.34)

dove Φ±n sono campi primari normalizzati in modo da avere:

〈Φn(u)Φ−n(v)〉C = |v − u|−2hn−2hn (4.35)

27vedi per esempio [10].28come mostrato nel capitolo precedente.

109


Quest’ultima espressione e deducibile dalle identita di Ward conformi esami-

nate nel capitolo precedente, e nella fattispecie:

〈T (w)Φn(u)Φ−n(v)〉C =

(

hn

(w − u)2+

hn

(w − v)2+

1

w − u

∂

∂u+

1

w − v

∂

∂v

)

〈Φn(u)Φ−n(v)〉C(4.36)

Da notare che in quest’ultima espressione w e assunta coordinata su un singo-

lo piano complesso, pensato disaccoppiato dagli altri. Riassumendo abbiamo

mostrato che:

〈T (w)〉Rn≡∫

[dφ]T (w)e−SE(Rn)

∫

[dφ]e−SE(Rn)=

〈T (w)Φn(u)Φ−n(v)〉C〈Φn(u)Φ−n(v)〉C

(4.37)

Consideriamo ora gli effetti di una trasformazione conforme infinitesima w →w′ = w+ǫ(w) di C che agisce in modo identico su tutti i fogli di Rn. L’effetto

sarebbe quello di inserire un fattore

− 1

2πi

∫

γ

ǫ(w)T (w)dw +1

2πi

∫

γ

ǫ(w)T (w)dw (4.38)

all’interno dell’integrale sui percorsi, dove γ e un contorno che racchiude i

punti u e v. Dal momento che deve essere inserito in ogni foglio, il lato destro

dell’espressione precedente risulta moltiplicato per un fattore n.

Poiche le identita di Ward conformi determinano tutte le proprieta di tra-

sformazione di un correlatore sotto trasformazione conforme, concludiamo

che la quantita Zn(A)/Zn = TrρnA sotto una generica trasformazione confor-

me trasforma come la potenza n-esima del correlatore a due punti dei campi

primari Φ±, a meno di una costante moltiplicativa.29 Scriveremo quindi:

TrρnA = cn((v − u)/a)−(c/6)(n−1/n) (4.39)

dove l’esponente non e altro che 4n hn, cn e una costante moltiplicativa inde-

terminata e a e un fattore con le dimensioni di una lunghezza30 inserito per

29affermare che due quantita si trasformano in modo identico sotto una generica

trasformazione conforme equivale a dire che essi soddisfano le stesse equazioni differenziali.30una possibile scelta potrebbe essere il passo reticolare.

110


rendere il risultato finale adimensionale, come deve essere. L’unico vincolo

sulla costante cn e che c1 deve essere uguale a uno. Differenziando l’ultima

espressione trovata rispetto a n e prendendone il limite per n→ 1 otteniamo

il primo importante risultato di questa sezione:31

SA =c

3ln

(

l

a

)

− c′1 (4.40)

dove l e la lunghezza del segmento considerato e c′1 e la derivata rispetto

a n di cn calcolata in n = 1. Il fatto che TrρnA trasformi che la potenza

n-esima di un correlatore a due punti di campi primari permette a questo

punto di calcolare tale quantita in ogni altra geomatria ottenibile attraverso

una mappa conforme z → z′ = w(z). A tale proposito ci serviamo della

formula introdotta nel capitolo precedente:

〈Φ(z1, z1),Φ(z2, z2), . . . 〉 =∏

j

|w′(zj)|2hn 〈Φ(w1, w1),Φ(w2, w2), . . . 〉 (4.41)

Consideriamo per esempio la seguente mappa: w → w′ = β2π

lnw, che mappa

ogni foglio della superficie di Riemann in un cilindro infinitamente lungo di

circonferenza β. I diversi fogli ora sono collegati lungo i tagli che congiungo-

no i punti immagine di u e v. Se disponiamo questi ultimi ad essere paralleli

all’asse del cilindro otteniamo l’espressione dell’entropia di entanglement per

il nostro sottosisteme alla temperatura β−1.32 In questo caso avremmo la

seguente espressione per il correlatore a due punti:

〈Φ′n(u′)Φ′

−n(v′)〉 =

(2π/β)2

[2 cosh(2π(u−v)β

) − 2]

2 hn

(4.42)

dove gli apici sono riferiti alla nuova geometria. Tale correlatore porta alla

seguente espressione per l’entropia di entanglement:

SA =c

3ln

[

β

πasinh(πl/β)

]

− c′1 (4.43)

31risultato peraltro noto nel contesto della fisica dei buchi neri, e chiamato entropia

geometrica.[27]32vedi il paragrafo bordi ed effetti di size finito del capitolo precedente, oppure la

referenza originale [12].

111


Figura 4.5: Sottosistema di lunghezza l in sistema globale di lunghezza L.

Nel limite l ≪ β riotteniamo SA = c/3 ln(

la

)

− c′1 come prima, mentre nel

limite opposto l ≫ β si trova SA ∼ (πc/3)(l/β). Va osservato che in que-

st’ultimo limite l’entropia e estensiva.

Alternativamente possiamo orientare il taglio (u, v) perpendicolarmente al-

l’asse del cilindro, considerando la mappa w → w′ = L2π

lnw, la quale corri-

sponde all’entropia di un sottosistema di lunghezza l in un sistema comples-

sivo finito di lunghezza L (vedi figura). Avremmo la seguente espressione per

il correlatore a due punti:

〈Φ′n(u′)Φ′

−n(v′)〉 =

(2π/L)2

[2 − 2 cos(2π(u−v)L

)]

2 hn

(4.44)

che porta alla seguente espressione per l’entropia di entanglement:

SA =c

3ln

[

L

πasin(πl/L)

]

− c′1. (4.45)

Da osservare che tale espressioni e simmetrica sotto lo scambio l → L− l ed

e massima quando l = L/2.

4.3.2 Sistemi finiti con bordo

Consideriamo ora il caso in cui il nostro sistema 1d sia semi-infinito, ossia

definito sulla semiretta [0,∞) e il sottositema A sia invece l’intervallo finito

[0, l]. La superficie di Riemann consiste ora in n copie del semipiano x ≥ 0,

incollati fra loro lungo 0 ≤ x ≤ l, τ = 0, dove τ rappresenta l’ordinata. Come

prima consideriamo per primo il caso di temperatura nulla.

112


Consideriamo la variabile complessa w = τ + ix, e la trasformazione z =

((w− il)/(w+ il))1/n la quale mappa l’intera superficie di Riemann nel disco

di raggio unitario |z| ≤ 1. In questa geometria vale ancora 〈T (z)〉 = 0 grazie

all’invarianza rotazionale, e usando nuovamente la formula (4.32) otteniamo:

〈T (w)〉Rn=

c

24

(

1 − 1

n2

)

(2il)2

(w + il)2(w − il)2=

hn(2il)2

(w + il)2(w − il)2(4.46)

Ricordiamoci che nel semipiano T e T sono collegati da una continuazione

analitica T (w) = T (w)∗.33 Inoltre sappiamo anche che in questa geometria i

correlatori a un punto sono diversi da zero, e si ha:

〈φ(u, u)〉 =1

(u− u)2 hn(4.47)

Ora grazie alle identita di Ward conformi possiamo scrivere:

〈T (w)φn(u, u)〉 =

hn

(w − u)2+

hn

(w − u)2+

1

(w − u)

∂

∂u+

1

(w − u)

∂

∂u

1

(u− u)2 hn

(4.48)

il quale porta al risultato:

〈T (w)φn(u, u)〉 =hn

(u− u)2hn

4u2

(w + u)2(w − u)2(4.49)

Ora osserviamo che come nel caso precedente abbiamo la seguente identita:

〈T (w)〉Rn≡∫

[dφ]T (w)e−SE(Rn)

∫

[dφ]e−SE(Rn)=

〈T (w)φn(u, u)〉〈φn(u, u)〉 (4.50)

che ci porta a concludere che in questo caso TrρnA trasforma come la potenza

n-esima del correlatore ad un punto 〈φn(u, u)〉, quindi a meno di una costante

moltiplicativa verra identificata con esso, ossia:

TrρnA = cn〈φn(u, u)〉n = cn(2l/a)(c/12)(n−1/n) (4.51)

dove a e stata introdotta per rendere il risultato adimensionale, come deve

33vedi capitolo precedente.

113


essere. Cio porta al seguente risultato per l’entropia di entanglement del

sottosistema A:

SA =c

6ln

(

2l

a

)

− c′1 (4.52)

Adesso come nel paragrafo precedente possiamo calcolarci l’entropia di en-

tanglement in altre geometrie, grazie alle mappe conformi. Per prima cosa

otteniamo il risultato per il nostro sottosistema alla temperatura finita β−1,

ossia:

SA =c

6ln((β/πa) sinh(2πl/β)) − c′1 (4.53)

che nel limite l ≫ β rida immediatamente il risultato di precedente. Potrem-

mo anche definire “l’entropia di bordo” g nel seguente modo:34

g = 2 S spA − S p

A = c′1 − c′1 (4.54)

dove “sp” sottintende l’entropia calcolata nel semipiano, mentre “p” si rife-

risce all’intero piano.

Per un sottosistema finito di lunghezza l all’interno di un sistema globale di

lunghezza L alla temperatura nulla si ha invece:35

SA = (c/6) ln((L/πa) sin(πl/L)) + g − c′1 (4.55)

espressione che nuovamente e invariante sotto lo scambio l → L− l.

4.3.3 Il caso generale

Il caso in cui il sottoinsieme di cui si intende valutare l’entropia di entangle-

ment sia costituito da N sottointervalli36 e algebricamente piu complicato,

ma il metodo resta inalterato. La trasformazione di coordinate che “unifor-

ma” la superficie di Riemann avra in questo caso la forma: z =∏

i(w−wi)αi,

34tale quantita fu discussa per la prima volta in [2].35per una catena complessivamente lunga L con condizioni al contorno periodiche.36sottointervalli di un sistema che potra essere globalmente infinito o semi-infinito.

114


con∑

i αi = 0 (cosı che infinito non sia un punto singolare). Qui le wi po-

tranno essere le uj ,vj, oppure ±iuj in caso di sistema con bordo. Nel nostro

caso avevamo αi = ±1/n ma e interessante considerare il caso generale. An-

cora una volta avremo:

〈T (w)〉 =c

12z, w =

c

12

z′′′z′ − 3/2 z′′2

z′2(4.56)

Consideriamo ora la derivata Schwartziana z, w. Come funzione di w es-

sa e meromorfa e ha un polo doppio in ogni wi. Inoltre essa e O(w−2) per

w → ∞, quindi avra la forma generale:

z, w =∑

i

Ai

(w − wi)2+∑

i

Bi

(w − wi)(4.57)

dove∑

iBi = 0. Ora bisogna determinare algebricamente Ai e Bi, che con

un po di pazienza da come risultato:

Ai = 12(1 − α2

i );

Bi =1 − α2

i

αi

∑

j 6=i

αj

wi − wj

(4.58)

Cosı facendo abbiamo mostrato che:

〈T (w)〉 =c

12

∑

i

[

1/2(1 − α2i )

(w − wi)2+

(

(1 − α2i )

αi

∑

j 6=i

αj

wi − wj

)

1

w − wi

]

(4.59)

che va confrontato con l’identita di Ward conforme:

〈T (w)∏

i

Φi(wi)〉 =∑

i

[

hi

(w − wi)2+

1

(w − wi)

∂

∂wi

]

〈∏

k

Φk(wk)〉 (4.60)

Affinche la prima espressione sia equivalente alla seconda divisa per 〈∏

k

Φk(wk)〉,

si dovra avere per prima cosa hi = 12(1 − α2

i ) e anche:

(1 − α2i )

αi

∑

j 6=i

αj

wi − wj=

∂

∂wiln〈∏

k

Φk(wk)〉 (4.61)

115


Derivando ulteriormente quest’ultima espressione si arriva alla condizione:

(

(1 − α2i )

αi

∑

j 6=i

αj

wi − wj

)

=∂

∂wi

(

(1 − α2k)

αk

∑

j 6=k

αj

wk − wj

)

(4.62)

per ogni coppia (i, k). Tale condizioni si riduce a:

−(1 − α2i )

αi

αk

(wk − wi)2= −(1 − α2

k)

αk

αi

(wi − wk)2(4.63)

cioe αi = ±αk per ogni coppia (i, k). Dal momento che∑

i αi = 0 l’unico

modo per soddisfare questa richiesta e porre αi = ασi con σi = ±1, meta set

con il segno +, meta col segno −. Se tutte queste condizioni sono soddisfatte

giungiamo a:

∂

∂wi

ln〈∏

j

Φj(wj)〉 =c

12(1 − α2)

∑

k 6=i

σiσk

wi − wk

(4.64)

cosı che:

ln〈∏

j

Φj(wj)〉 =c

12(1 − α2)

∑

k<i

σiσk ln(wi − wk) + E (4.65)

dove E e una costante indipendente dalle wi, che puo dipendere dalle wi nel

caso di assenza di bordi.

Concludiamo che TrρnA trasforma sotto una generica mappa conforme come

la potenza 1/α-esima del seguente correlatore:

〈∏

j

Φj(wj)〉 ∝∏

j<k

(wi − wk)c12

(1−α2)σiσk(wi − wk)c12

(1−α2)σiσk (4.66)

Prendendo ora α = 1n, σ = ±1 e wi = uj o vj a seconda, otteniamo:

TrρnA ∼ cNn

(

∏

j<k(uk − uj)(vk − vj)∏

j≤k(vk − uj

)(c/6)(n−1/n)

(4.67)

La costante moltiplicativa risulta cosı espressa in termini delle precedenti cn,

a patto che i diversi intervalli siamo presi ben distanziati in rapporto alla loro

116


Figura 4.6: Coppia di sottosistemi ad intersezione non nulla.

lunghezza. Derivando rispetto a n e mandando n → 1 arriviamo finalmente

all’espressione per l’entropia di entanglement:

SA =c

3

(

∏

j≤k

ln((vk − uj)/a) −∏

j<k

ln((uk − uj)/a) −∏

j<k

ln((vk − vj)/a)

)

−Nc′1

(4.68)

Una espressione simile si ottiene nel caso di sistemi col bordo, come ad esem-

pio il semipiano infinito, con meta dei punti che corrisponderebbero a punti

immagine.

Chiudiamo questa sezione considerando piu in dettaglio il caso N = 2. Con-

sideriamo la situazione di figura, con due sottoinsiemi con intersezione non

nulla. Vale allora il seguente risultato:

Sn(A)Sn(B)

Sn(A ∩B)Sn(A ∪ B)=

(

(v1 − u2)(v2 − u1)

(u2 − u1)(v2 − v1)

)(c/6)(n−1/n)

(4.69)

dove Sn(A) = TrρnA, talvolta chiamata entropia di Tsallis.37 Riconosciamo

come argomento di questo rapporto di “entropie” un rapporto anarmonico,

ossia una quantita invariante sotto una trasformazione conforme globale. Dif-

37la definizione esatta di entropia di Tsallis e la seguente : (TrρnA − 1)/(1 − n).

117

4.4 Fuori dal punto critico

ferenziamo ambo i membri rispetto a n e poi mandiamo n→ 1, ottenendo:38

S(A) + S(B) − S(A ∩ B) − S(A ∪B) ∝ ln

(

(v1 − u2)(v2 − u1)

(u2 − u1)(v2 − v1)

)

(4.70)

ossia tale rapporto di entropie di entanglement e indipendente dal “cut-off”,

(e quindi rimane finito per a → 0) ed e proporzionale al logaritmo del rap-

porto anarmonico.

Nel prossimo paragrafo studieremo l’entropia di entanglement per sistemi

fuori dal punto critico, e quindi non conformi.


In questo paragrafo considereremo un modello non-critico 1+1 dimensionale,

nel cosidetto limite di scaling in cui a→ 0 mantenendo fissa la lunghezza di

correlazione. Cio corrisponde a considerare una teoria di campo relativistica

e massiva. Inizialmente consideriamo il caso in cui il sottosistema A sia l’asse

rela negativo 39, cosı che la superficie di Riemann abbia punti di diramazione

in 0 e ∞. Comunque per il caso non-critico il punto di diramazione all’infi-

nito non e determinante, nel senso che essendo la lunghezza di correlazione

finita esso potra essere rimpiazzato con ogni punto a distanza L dall’origine

a patto che L≫ ξ.

Useremo un argomento che in un certo senso risultera parallelo a quello usato

da Zamolochikov [59] nel provare il suo famoso teorema c. Consideriamo il

valore di aspettazione del tensore energia-impulso Tµν di una teoria massiva

euclidea definita su una tale superficie di Riemann. In coordinate comples-

so ci sono tre componeneti diverse da zero: T ≡ Tzz, T ≡ Tzz e la traccia

Θ = 4Tzz = 4Tzz.40 Queste componenti sono collegate dalle equazioni di

conservazione:

∂zT + 14∂zΘ = 0

∂zT + 14∂zΘ = 0

(4.71)

38tale risultato e stato per la prima volta considerata in [16].39in ascissa poniamo la coordinata spaziale e in ordinata quella del tempo immaginario.40queste definizioni differiscono per un fattore 2π da quelle impiegate nel capitolo

precedente, tale fattore sara reintrodotto alla fine dell’analisi.

118


Consideriamo i valori di aspettazione di queste tre componenti. In una teoria

definita su un singolo figlio di Riemann (ossia sull’ordinario piano complesso)

〈T 〉 e 〈T 〉 entrambi si annullano, ma 〈Θ〉 e costante e diverso da zero. In una

geometria a n fogli di Riemann invece tutti e tre questi valori di aspettazione

saranno in generale diversi da zero e acquisiranno una dipendenza spaziale

non banale. Con l’ausilio dell’invarianza rotazionale attorno all’origine essi

avranno la seguente forma generale:

〈T (z, z)〉 = Fn(zz)/z2

〈Θ(z, z)〉 − 〈Θ〉1 = Gn(zz)/(zz)

(4.72)

Dalla legge di conservazione (4.71) abbiamo:

(zz)

(

F ′n +

1

4G′

n

)

=1

4Gn (4.73)

Ora supponiamo che Fn e Gn decadano entrambe a zero esponenzialmente

per z ≫ ξ, mentre nel limite opposto approccino i loro valori conformi, ossia

Fn → (c/24)(1 − n−2) e Gn → 0.41

Cio comporta che possiamo definire una funzione C effettiva definita da:

Cn(R2) ≡(

F (R2) +1

4G(R2)

)

(4.74)

dove R2 ≡ zz. Vale inoltre la seguente formula:

R2 ∂

∂(R2)Cn(R2) =

1

4Gn(R2) (4.75)

Se fossimo capaci di dimostrare che Gn ≤ 0 avremmo fornito una prova alter-

nativa del teorema c. In ogni modo cio che realmente ci serve e una versione

integrale dell’uguaglianza precedente, che scriviamo come:42

41considera il risultato del paragrafo dedicato al singolo intervallo ponendo u = ∞ e

v = 0.42stiamo implicitamente assumendo che la teoria abbia un punto fisso infrarosso banale,

ossia con c = 0.

119


∫ ∞

0

Gn(R2)

R2d(R2) = −(c/6)(1 − n−2) (4.76)

o equivalentemente:

∫

(〈Θ(z, z)〉 − 〈Θ〉1)d2R = −πn(c/6)(1 − n−2) (4.77)

dove l’integrazione va eseguita sull’intera superficie di Riemann. Ora tale

integrale (moltiplicato per un fattore 1/2π ripristinando l’usuale definizione

del tensore energia-impulso) misura la risposta dell’energia libera − lnZ ad

una trasformazione di scala, ossia ad una variazione della massa m, essendo

quest’ultimo l’unico parametro dimensionato della teoria rinormalizzata. Il

lato sinistro dell’equazione precedente risulta percio uguale a:

−(2π)m(∂/∂m)[lnZn − n lnZ] (4.78)

che porta al risultato finale:

Zn

Zn= cn(ma)(c/12)(n−1/n) (4.79)

dove cn e di nuovo una costante arbitraria (con c1 = 1), e a e un parame-

tro con le dimensioni di una lunghezza per rendere l’espressione precedente

adimensionale. Tale risultato mostra che la dipendenza dell’esponente da

(n− 1/n) e una proprieta globale delle teorie continue, che resta preservata

anche fuori dal punto critico. Differenziando a n = 1 giungiamo al risultato

principale di questa sezione, ossia:

SA ∼ −(c/6) ln(ma) = (c/6) ln(ξ/a) (4.80)

dove ξ e la lunghzza di correlazione. Tale risultato comunque e valido stret-

tamente per ξ ≫ a, ossia quando ha senso parlare di teoria di campo.

Nella prossima sezione verificheremo esplicitamente tale risultato per la teoria

bosonica libera e per la teoria del fermione di Majorana e di Weyl, riottenen-

do per tali modelli i corretti valori della carica centrale.

120


4.5 Il bosone libero massivo

Consideriamo la seguente azione euclidea per un bosone neutro massivo:

S =

∫

1

2

(

(∂µϕ)2 +m2ϕ2)

d2r (4.81)

dove l’integrazione si esegue su una superficie di Riemann a n fogli, in cui il

taglio e supposto essere lungo l’asse negativo (con punti di diramazione 0 e

∞).43

Per ottenere l’entropia di Von Neumann di questo sistema dobbiamo calcola-

re il rapporto Zn/Zn, dove Zn e la funzione di partizione calcolata su questa

geometria a n fogli. Per fare cio useremo la seguente identita:

∂

∂m2lnZn = −1

2

∫

Gn(r, r) d2r (4.82)

dove Gn(r, r) e il correlatore a due punti calcolato in questa particolare geo-

metria. In seguito ci servira la combinazione Gn(r, r)− nG1. Il correlatore a

due punti o propagatore causale della teoria soddisfa:

(−2r +m2) Gn(r, r′) = δ2(r− r′) (4.83)

La sua espressione esplicita puo essere determinata come segue: per prima

cosa osserviamo che tale propagatore puo essere scritto in funzione delle au-

tofunzioni φk dell’operatore di Helmholtz nel seguente modo:44

Gn(r, r′) =∑

k

Nkφk(r)φk(r

′)

Λk(4.84)

dove Λk e l’autovalore di φk. La costante Nk viene fissata dalla condizione di

43L’azione qui considerata e identica a quella del capitolo precedente nella sezione

dedicata al bosone libero, con l’aggiunta del termine massivo.44vedi per esempio [11] per una trattazione completa dell’argomento.

121


Figura 4.7: Rappresentazione grafica dello spazio in cui e definita la teoria

bosonica. Nel caso particolare si e rappresentata una superficie di Riemann

a quattro fogli.

ortonormalita del set di autofunzioni:

Nm

∫

φm(r)φn(r)d2r = δmn (4.85)

Nel nostro caso risulta conveniente lavorare in coordinate polari piane, r =

(x, y) = (r cos θ, r sin θ). Il set completo di autofunzioni per l’operatore di

Helmholtz e il seguente:

φaν,i = cos(νθ)Jν(λir), φb

ν,i = sin(νθ)Jν(λir) (4.86)

dove Jν(λir) e la funzione di Bessel del primo tipo, e tutti i nuovi indici

verranno specificati a breve. Da osservare che anche le funzioni di Bessel del

secondo tipo Yν(x) sono autofunzioni dello stesso operatore differenziale, ma

non sono inserite nell’espansione di Gn(r, r′) perche si richiede la regolarita

in r = 0.

Inizialmente consideriamo il problema in geometria finita, ossia per r ≤ L.

Il limite di volume infinito sara riottenuto per L → ∞, in senso distribu-

zionale. Imponiamo ora condizioni al contorno 2πn periodiche sulla nostra

superficie di Riemann, che si traduce immediatamente nella richiesta che ν

122


sia un multiplo intero di 1/n, ossia ν = k/n. Imponendo poi l’annullamento

delle autofunzioni in r = L, si ha immediatamente λiL = αν,i, dove αν,i e

l’i-esimo zero della funzione di Bessel.45

Usando la seguente relazione di ortogonalita per le funzioni di Bessel (vedi

per esempio [1]):

∫ L

0

rdr Jν(αν,ir/L)Jν(αν′,ir/L) =L2

2J2

ν+1(αν,i)δνν′ (4.87)

otteniamo la costante di normalizzazione:

Ni,k =dk

2πn

2/L2

J2k/n+1(αk/n,i)

(4.88)

che ci permette di scrivere l’espressione completa per il propagatore:

G(r, r′) =1

2πn

∞∑

k=0

dk

∞∑

i=1

2/L2

J2k/n+1(αk/n,i)

Jk/n(αk/n,ir/L)Jk/n(αk/n,ir′/L)

α2k/n,i/L

2 +m2Ck(θ, θ

′)

(4.89)

dove

Ck(θ, θ′) = cos(kθ/n) cos(kθ′/n) + sin(kθ/n) sin(kθ′/n) (4.90)

mentre d0 = 1 e dk>0 = 2.

Nel limite L → ∞ l’indice i diviene continuo, αν,i/L → λ con λ parametro

continuo, e la delta di Kronecker δνν′ viene rimpiazzata dalla delta di Dirac

δ(λ−λ′). Il limite per la costante di noramalizzazione e: Nk(λ) = dkλ/(2πn).

Arriviamo infine alla seguente espressione per il propagatore:

G(r, r′) =1

2πn

∞∑

k=0

dk

∫ ∞

0

λdλJk/n(λr)Jk/n(λr

′)

λ2 +m2Ck(θ, θ

′) (4.91)

A posteriori si puo anche assumere questa espressione come un “ansatz” e

verificare che effettivamente soddisfa tutte le proprieta richieste. A tale pro-

posito sono utili le seguenti relazioni:

∫ ∞

0

xJα(ux)Jα(vx)dx =1

uδ(u− v) (4.92)

45l’indice i corre da 1 ad infinito.

123


e anche la seguente identita distribuzionale:46

∞∑

k=1

cos

(

k

n(θ − θ′)

)

= −1

2+ π

∞∑

−∞δ

(

θ − θ′

n− 2πk

)

(4.93)

Infine vale la pena ricordarsi l’espressione per la delta di Dirac in due dimen-

sioni in coordinate polari piane:

δ(r) =1

rδ(r)δ(θ) (4.94)

Ora per calcolare (4.82) prendiamo il propagatore a punti coincidenti:47

Gn(r) ≡ Gn(r, r) =1

2πn

∞∑

k=0

dk Ik/n(mr)Kk/n(mr) (4.95)

dove Ik(x) e Kk(x) sono le funzioni di Bessel modificate del primo e secondo

tipo rispettivamente.48 Chiaramente la somma precedente e UV divergente.

Tale risultato non ci sorprende poiche e comune nell’usuale teoria dei campi

3+1 dimensionale che i correlatori divergano se presi in punti coincidenti, e

ci aspettavamo che cio succedesse anche nel piano. Nonostante tali difficolta

procediamo formalmente nel calcolo di (4.82) scambiando l’ordine di serie ed

integrale, ottenedo:

− ∂

∂m2lnZn =

1

2

∫

Gn(r, r) d2r =1

2

∑

k

dk

∫ ∞

0

Ik/n(mr)Kk/n(mr) rdr

(4.96)

Ora l’integrale precedente e nuovamente divergente, e lo regolarizzeremo con

una tecnica simile alla regolarizzazione dimensionale della teoria dei campi.49

L’idea e di calcolare il seguente integrale:

∫ ∞

0

Ik/n(mr)Kk/n(mr) rsdr (4.97)

46vedi per esempio [10].47il quale comporta di calcolare l’integrale su λ, cosa che puo essere fatta agevolmente

con un programma di calcolo simbolico come Mathematica.48vedi per esempio [1].49si vedano gli articoli pionieristici [53] e [18].

124


per quei valori di s per i quali converge, poi prolungare analiticamente50 al

valore s = 1 che e quello che ci interessa. Tale integrale risulta:

Γ[12

+ k + s2] Γ[− s

2] Γ[1+s

2]

4√πΓ[1

2+ k − s

2]

(4.98)

per −1 < Re(s) < 0 e Re(2n + s) > −1. Se prolunghiamo analiticamente

questa espressione a s = 1 otteniamo: −k2. Inserendo quest’ultimo risultato

nell’espressione (4.97) arriviamo a:

− ∂

∂m2lnZn = − 1

4nm2

∑

k

dk k (4.99)

Di nuovo incontriamo una serie divergente, che pero interpretiamo come

2ζ(−1) = −1/6, ottenendo:51

∂

∂m2lnZn = − 1

24nm2(4.100)

Possiamo allora immediatamente scrivere:

∂

∂m2ln

(Zn

Zn

)

=1

24m2

(

n− 1

n

)

(4.101)

il quale dopo una integrazione di ambo i membri rispetto a m2 porta a:

Zn

Zn= cn(m2a2)

112

(n−1/n) (4.102)

e conseguentemente otteniamo l’espressione per l’entropia di Von Neumann

S:

S = −1

6ln(ma) =

1

6ln(ξ/a) (4.103)

la quale conferma la formula generale ottenuta nel paragrafo precedente con

50sfruttando l’unicita del prolungamento analitico.51alternativamente al procedimento qui usato si poteva procedere utilizzando la cosidetta

formula di somma di Eulero-MacLaurin, vedi per esempio [1] e [12].

125

4.6 Il fermione di Majorana massivo

c = 1.

Una naturale estensione del calcolo appena svolto e il bosone libero carico,

ossia un bosone descritto da un campo scalare ϕ ∈ C. L’azione per un tale

campo si scrive come:52

S =

∫

(

∂µϕ∗∂µϕ+m2ϕ∗ϕ

)

d2r (4.104)

In modo analogo ad equazione (4.82) abbiamo che:

∂

∂m2lnZn = −

∫

Gn(r, r) d2r (4.105)

dove Gn(r, r) e il propagatore della teoria, che di nuovo si ottiene invertendo

l’operatore di Helmholtz. Il risultato allora e identico a quello del bosone

neutro a meno di un fattore due, ossia:53

Scomplex = −1

3ln(ma) =

1

3ln(ξ/a) (4.106)

Tale risultato conferma ovviamente l’espressione generale (4.80), questa volta

con carica centrale c = 2, come del resto ci si aspettava, dato che la dinamica

di un campo scalare complesso equivale a quella di due campi scalari reali.

Nella prossima sezione eseguiremo lo stesso calcolo per la teoria del fermione

di Majorana massivo, riottenedo l’espressione generale con c = 1/2.


Consideriamo la seguente azione euclidea per un fermione neutro:

S =

∫

d2x

ψ∂zψ + ψ∂zψ + imψψ

(4.107)

dove ψ e ψ sono le componenti di uno spinore bidimensionale reale. L’in-

tegrazione si intende eseguita su una superficie di Riemann a n fogli, in cui

52l’integrazione e eseguita sulla superficie di Riemann a n fogli, esattamente come nel

calcolo precedente.53il pedice complex si riferisce al fatto che stiamo considerando un bosone carico.

126


si prendono condizioni al contorno 2πn antiperiodiche, a differenza del ca-

so bosonico in cui tali condizioni erano periodiche. Infatti quando si ha a

che fare con una teoria di campo euclidea sussiste una certa liberta nello

scegliere l’asse temporale e quello spaziale. Imitanto una tecnica nota come

quantizzazione radiale (vedi per una esaustiva trattazione [23]) interprete-

remo la coordinata angolare 0 < θ < 2πn come spaziale e quella radiale

0 < r < ∞ come temporale. Detto in altre parole la nostra teoria e definita

su n semi-cilindri infiniti, collegati fra loro da un taglio infinitamente lungo

parallelo all’asse del cilindro.54 Nella sua versione “piana” questa geometria

e semplicemente una superficie di Riemann a n fogli doppiamente fogliata

per via delle condizioni al contorno antiperiodiche, con il taglio lungo l’asse

reale negativo. La funzione di partizione si scrive come:

Zn =

∫

DψDψ e−Sn (4.108)

dove Sn e l’azione (4.107). Ora deriviamo rispetto a m il logaritmo di Zn

ottenendo:

− ∂

∂mlnZn =

i

∫

d2x

∫

DψDψ ψψ e−Sn

∫

DψDψ e−Sn

= i

∫

d2x 〈ψψ〉

(4.109)

quindi come nel caso bosonico dobbiamo calcolare il correlatore a due punti

o propagatore 〈ψ(x)ψ(y)〉. Ispirandoci allo stesso procedimento eseguito nel

capitolo precedente per la teoria fermionica conforme si tratta allora di in-

vertire il seguente operatore A(x, y):

A(x, y) = 2 δ(x− y)

(

∂ − im2

im2

∂

)

(4.110)

Facciamo la seguente osservazione:

54la quantizzazione radiale nella sua versione originale prevede spazio e tempo

coordinatizzati come nel nostro caso, ma quest’ultimo che va da −∞ a +∞.

127


2

(

∂ − im2

im2

∂

) (

∂ im2

− im2

∂

)

= 2

(

∂∂ − m2

40

0 ∂∂ − m2

4

)

= −12(−2 +m2)

(

1 0

0 1

)

= −12(−2 +m2) I

(4.111)

Detto ora Gn(r, r′) il propagatore per l’equazione di Helmoltz che soddisfa a

condizioni al contorno antiperiodiche, si avra che:

(

〈ψ(r)ψ(r′)〉〈ψ(r)ψ(r′)〉〈ψ(r)ψ(r′)〉〈ψ(r)ψ(r′)〉

)

=

(

−2∂ −imim −2∂

)

Gn(r, r′)

(4.112)

e quindi concludiamo che 〈ψ(r)ψ(r′)〉 = im Gn(r, r′) e anche:

− ∂

∂mlnZn = −

∫

d2x Gn(r, r′) (4.113)

Ora nel caso di funzioni al contorno antiperiodiche in θ la corretta funzione

di Green che soddisfa:

(−2 +m2) Gn(r, r′) = δ(r− r′) (4.114)

e la seguente:

Gn(r, r′) =1

πn

∑

k=1/2,3/2,...

∫ ∞

0

λdλJk/n(λr)Jk/n(λr

′)

λ2 +m2Ck(θ, θ

′) (4.115)

con Ck(θ, θ′) identico al caso bosonico e la somma eseguita su tutti i nume-

ri semiinteri positivi, esattamante come avevamo ottenuto fermionizzando il

modello di Ising nel primo capitolo.55

Procedendo ora in stretta analogia col caso bosonico otteniamo:

m

∫

Sn

d2x Gn(r, r′) =m

πn

∫

Sn

d2x∑

k=1/2,3/2,...

Ik/n(mr)Kk/n(mr) (4.116)

55e una conseguenza dell’avere imposto condizioni al contorno antiperiodiche.

128


La serie e ovviamente UV divergente, ma scambiando formalmente l’ordine

fra serie e integrale otteniamo:

m

πn

∑

k=1/2,3/2,...

∫

Sn

d2x Ik/n(mr)Kk/n(mr) = − 1

nm

∑

k=1/2,3/2,...

k (4.117)

che riscriviamo come:

− 1

2nm

∞∑

n=0

(2n+ 1) (4.118)

Adesso si tratta di regolarizzare la somma di tutti i numeri dispari,56 il che

puo essere fatto sfruttando il seguente risultato:

∞∑

n=0

(2n+ 1)s = (1 − 2s) ζ(−s) (4.119)

che mi da per s = 1 il valore di 1/12. inserendo in (4.116) arriviamo a:

∂

∂mlnZn = − 1

24nm(4.120)

da cui otteniamo subito:

ln

(Zn

Zn

)

=1

24

(

n− 1

n

)

ln(ma) (4.121)

o anche:

Zn

Zn= (ma)(1/24)(n−1/n) (4.122)

Differenziando rispetto a n e ponendo poi n = 1 siamo ora in grado di espri-

mere l’entropia di Von Neumann per il nostro sistema di fermioni di Majorana

56e curioso come nel caso fermionico gia a questa punto del calcolo osserviamo il “di-

mezzarsi” dei gradi di liberta della teoria, cosı come si riscontra anche a livello di carica

centrale.

129

4.7 Il fermione di Dirac massivo

come:

S = − 1

12ln(ma) =

1

12ln(ξ/a) (4.123)

dove a e l’usuale fattore con le dimensioni di una lunghezza introdotto per

rendere l’argomento del logaritmo adimensionale. La formula precedente

verifica la forma generale per l’entropia di Von Neumann ricavato preceden-

temente con 1/2 come valore della carica centrale.

Da osservare che essendo l’entropia una quantita globale per il sistema, essa

dipende fortemente dalle condizioni al contorno. Infatti sia nel caso boso-

nico che in quello fermionico, variando le condizioni al contorno avremmo

riottenuto la stessa forma funzionale per S, ma con costanti moltiplicative

differenti. Le condizioni al contorno utilizzate sono state scelte perche rite-

nute le piu oppurtune nel descrivere le teorie di campo considerate.57

Nella prossima sezione estenderemo il risultato appena ottenuto per un spino-

re di Majorana a due componenti al caso di un spinore di Dirac complesso.58


In questa sezione tratteremo la teoria fermionica descritta da uno spinore di

Dirac a due componenti, definito sulla usuale superficie di Riemann a n fogli

con condizioni al contorno 2πn antiperiodiche. Tale spinore e costruibile a

partire da due spinori reali, e non e difficile immaginare che il risultato per

quanto riguarda l’entropia di Von Neumann sara lo stesso della sezione pre-

cedente con carica centrale c = 1.

Per prima cosa osserviamo che l’azione euclidea per uno spinore di Majorana

reale si puo anche scrivere come:59

Smajor =1

2

∫

Rn

d2x ψ [/∂ +m] ψ (4.124)

dove /∂ = γ0∂t + γ1∂r, con γ0 = σ1 e γ1 = σ2, ψ = ψT (iσ2). Per costruire uno

57per approfondimenti sull’argomento consultare [23], capitolo 6.58con spinore di Dirac intenderemo uno spinore complesso a due componenti, poiche

stiamo trattando teorie di campo bidimensionali.59alternativamente all’azione espressa in coordinate complesse nel paragrafo precedente.

130


spinore di Dirac a due componenti complesse posso servirmi di due spinori

di Majorana neutri,60 definendo l’azione nel seguente modo:

Sdirac = (S ′major + S ′′

major) =

= 12

∫

Rn

d2x [ψ′ (/∂ +m) ψ′ + ψ′′ (/∂ +m) ψ′′]

(4.125)

Ponendo infatti:

Ψ = 1√2(ψ′ + iψ′′)

Ψ = 1√2(ψ′ − iψ′′)

(4.126)

arriviamo immediatamente all’usuale azione euclidea per una spinore com-

plesso Ψ, ossia:

Sdirac =

∫

Rn

d2x Ψ [/∂ +m] Ψ (4.127)

dove Ψ e Ψ sono due spinori complessi a due componenti. Dall’equazione

(4.125) si deduce subito che:61

∂

∂mlnZdirac

n = 2∂

∂mlnZmajor

n (4.128)

che comporta che l’entropia di Von Neumann di questo modello e identica

a quella del fermione di Majorana a meno di un fattore 2. Possiamo quidi

scrivere:62

S =1

6ln(ξ/a) (4.129)

in accordo con il risulato generale (4.80) con carica centrale c = 1.

Inoltre tale risultato e in accordo con l’idea intuitiva di “raddoppio” dei gradi

di liberta, incapsulata nel concetto stesso di carica centrale.

60cosı come la dinamica di un campo scalare complesso si costruisce a partire da quella

di due campi scalari reali.61in cui Zn e la funzione di partizione sulla superficie di Riemann definita da (4.108).62in questo caso S e l’entropia di Von Neumann.

131


Nel prossimo capitolo eseguiremo ulteriori “check” della formula generale

(4.80), testata su alcuni modelli statistici quantistici, come la catena di

Ising trasversa e il modello XY Z. Per fare cio introdurremo un nuovo

fondamentale strumento, la Corner Transfer Matrix.

132

Capitolo 5

Matrice densita e Corner

Transfer Matrix

In questo capitolo calcoleremo l’entropia di entanglement di alcuni modelli

statistici quantistici, e verificheremo nuovamente la formula generale (4.80).

La tecnica impiegata non sara piu quella delle repliche, bensı una nuova tec-

nica che utilizza lo strumento della Corner Transfer Matrix.1 Tale metodo ci

permettera di derivare direttamante ρA, e quindi l’entopia di entanglement

S = −TrρA ln ρA.

5.1 La Corner Transfer Matrix

Nel primo capitolo abbiamo discusso le proprieta dell’usuale matrice di tra-

sferimento, detta alle volte matrice “row to row”. L’azione di tale operatore

puo essere rappresentata graficamente come l’aggiunta di una riga di siti al

nostro reticolo bidimensionale.2 In modo simile definiremo la Corner Transfer

Matrix come quell’operatore che “aggiunge” un intero quadrante al reticolo.3

Inizialmente pensiamo ad un modello statistico classico definito su un re-

ticolo piano regolare in cui l’interazione sia definita su ogni placchetta del

reticolo, (i cosidetti modelli IRF) ossia dipende dai quattro spin definiti sugli

angoli di tale placchetta. Nel fare cio vogliamo seguire l’introduzione storica

1tale tecnica fu introdotta per la prima volta da Rodney Baxter negli anni ’70, si vedano

i pionieristici lavori [6] e [7].2inizialmente ragioniamo nel caso di reticolo finito.3le ragioni di cio si chiariranno nel proseguo.

133


Figura 5.1: Porzione di reticolo su cui si va a definire la CTM . A sinistra la

disposizioni dei siti in ogni placchetta.

della CTM 4 dovuta a R. Baxter,5 e in seguito generalizzeremo al tipo di

interazione da noi impiegata.6

Consideriamo quindi un reticolo bidimensionale con assegnata una variabile

di spin σi = ±1 in ogni sito. L’energia totale del modello si scrivera come:

E =∑

ǫ(σi, σj , σk, σl) (5.1)

dove la sommatoria e intesa su tutte le possibili configurazioni del sistema,

metre per ogni placchetta i siti i, j, k, l sono disposti negli angoli, come in fi-

gura. ǫ invece rappresenta il peso di Boltzmann associato ad ogni placchetta.

La funzione di partizione diviene allora:

Z =∑∏

w(σi, σj , σk, σl) (5.2)

dove la produttoria e riferita a tutte le placchette del reticolo mentre le som-

4dove CTM sta per Corner Transfer matrix.5vedi l’esaustiva trattazione di [5].6la CTM e definibile per ogno modello statistico classico con interazione a range finito.

134

Matrice densita e Corner Transfer Matrix

matoria si riferisce a tutte le possibili configurazioni di spin. Vale inoltre:

w(a, b, c, d) = exp−ǫ(a, b, c, d)/kT (5.3)

E inoltre immediato definire l’energia libera per sito f :

f = −kTN

lnZ (5.4)

in cui N e il numero totale di siti del reticolo. Il valor medio di una quantita

definita sul reticolo - come per esempio la magnetizzazione per sito - si scrive

allora:

〈σ1〉 = Z−1∑

σ1

∏

w(σi, σj, σk, σl) (5.5)

Un sistema cosı definito avra in generale piu di uno stato fondamentale, ossia

tutti quegli stati per i quali l’energia globale E sara minima.

Consideriamo adesso il lato di destra della figura precedente, che rappresenta

un quadrante del reticolo complessivo. Labelliamo gli spin del bordo sinistro

con σ1, . . . σm e quelli del bordo superiore con σ′1, . . . σ

′m. Ovviamente si ri-

chiedera che σ1 ≡ σ′1. Per i siti sul bordo diagonale, ossia quelli disegnati in

figura come triangoli , si dovranno scegliere le condizioni al contorno. Una

possibile scelta puo essere porre tutti gli spin “up”, oppure lasciare condizioni

al contorno libere.7 Introduciamo la notazione abbreviata σ = σ1, . . . σm e

σ′ = σ′1, . . . σ

′m. Definiamo quindi l’elemento di matrice Aσσ′ nel seguente

modo:

Aσσ′ =

∑∏

w(σi, σj, σk, σl) se σ1 = σ′1

= 0 se σ1 6= σ′1

(5.6)

dove nuovamente la produttoria e intesa sulle 1/2 m(m + 1) placchette del

reticolo, mentre la sommatoria “somma” su tutti gli spin denotati con un

punto nero il figura. Da osservare che gli spin σ e σ′ non sono sommati, cosı

il lato destro dell’equazione precedente rimane funzione di tali spin “latera-

li”.

7ossia sommare anche su tutte le configurazioni di tali spin.

135


Figura 5.2: Quadranti di un reticolo bidimensionale e relative Corner Transfer

Matrices.

In modo del tutto analogo potremmo definire gli elementi di matrice Bσσ′

immaginando di ruotare il quadrante della figura precedente di 90 in sen-

so antiorario, cosı da avere gli spin σ sul lato inferiore e quelli σ′ sul lato

sinistro.8 Analogamente si definiscono gli elementi Cσσ′ e Dσσ′ ruotando ul-

teriormente di 90 e 180 rispettivamente.

Consideriamo ora il reticolo mostrato in figura. Dividiamolo con due “tagli”

immaginari in quattro quadranti di eguale dimensione, come mostrato. Sia

σ1 lo spin centrale e σ,σ′,σ′′,σ′′′ i set di spin definiti su questi tagli. Dalle

definizioni delle matrici A,B,C,D appena date possiamo scrivere la funzione

di partizione dell’intero reticolo come:

Z =∑

σ,σ′,σ′′,σ′′′

Aσσ′Bσ′σ′′Cσ′′σ′′′Dσ′′′σ (5.7)

oppure in forma compatta:

Z = Tr(ABCD) (5.8)

8vedi figura in cui viene rappresentato l’intero reticolo attraverso quattro corner transfer

matrices.

136


Figura 5.3: Quadrante di un reticolo bidimensionale per un modello di Ising

anisotropo, con geometria di tipo “triangolare”.

Vale anche:

〈σ1〉 =Tr(SABCD)

Tr(ABCD)(5.9)

dove S e la matrice 2N × 2N : 9

S =

(

I 0

0 −I

)

(5.10)

A questo punto risulta giustificata l’affermazione che la moltiplicazione per

una CTM equivale ad aggiungere un quadrante al reticolo.

Quanto mostrato in questa sezione per una interazione di tipo IRF e facil-

mente estendibile ad altri tipi di interazioni a corto range, come nell’esempio

seguente.

Consideriamo un quadrante di un reticolo bidimensionale come quello di fi-

gura (5.3). In ogni sito del reticolo e allocata una variabile tipo Ising σij ,10 e

l’interazione di tipo anisotropo e “distribuita” sui link fra i diversi siti. Essi

vengono talvolta chiamati dimeri. La geometria del quadrante e leggermente

9dove si e supposto che σ1 sia 1 nella prima meta di elementi e −1 nella seconda meta.10gli indici i e j “corrono” nelle due direzioni diagonali rispettivamente.

137

5.2 La matrice densita attraverso la CTM

differente da quella precedentemente analizzata, sia per quanto riguarda i

bordi11 sia per il fatto che i due set di spin che definiscono la CTM , ossia

s = s1, . . . , s4 e s′ = s′1, . . . , s′4, non hanno lo spin centrale in comune.12

Inoltre il reticolo e preso ruotato di 45 rispetto ai reticoli normalmente im-

piegati. Le costanti di accoppiamento nelle due direzioni diagonali sono J1 e

J2. La Corner Transfer Matrix per un modello cosı fatto si definisce allora:

As,s′ =∑ ∏

dimeri

w(σi, σj) (5.11)

dove la somma e estesa a tutte le configurazioni di spin, mentre la produt-

toria si estende su tutti i dimeri del reticolo. σi e σj rappresentano gli spin

agli estremi di ogni dimero, w(σi, σj) rappresenta invece il peso di Boltzmann

associato a quel legame, che per il momento non specifichiamo.

Questa geometria risultera molto utile nel proseguo del capitolo, quando con-

sidereremo nuovamente un modello di Ising classico bidimensionale.

Dagli esempi fatti dovrebbe essere emerso come sia possibile generalizzare il

concetto di CTM a differenti geometrie e condizioni di bordo, a patto che

l’interazione del modello sia a range finito.

Nella prossima sezione analizzeremo le connessioni che intercorrono fra la

CTM e la matrice densita. Esse infatti ci permetteranno poi di calcolare

l’entropia di entanglement di alcuni modelli quantistici unidimensionali.


In questa sezione studieremo in via generale le connessioni fra la matrice

densita e la Corner Transfer Matrix.13

Consideriamo una catena di spin 1/2 quantistici formata da L siti, la cui evo-

luzione temporale e determinata dall’hamiltoniana H. L’operatore densita

costruito sulla base dello stato fondamentale |φ0〉 e:

ρ = |φ0〉〈φ0| (5.12)

11in questo caso le condizioni degli spin sul bordo diagonale sono libere.12il numero di quattro spin laterali e del tutto arbitrario, la generalizzazione ad un

numero di spin qualsiasi sara immediata.13i primi risultati a riguardo si trovano in [39] e [40]. Le linee generali di tali risultati

sono esposte in [43].

138


Possiamo denotare la configurazione complessiva della catena in forma ab-

breviata σ = σ1, . . . , σL, e scrivere:

ρ(σ, σ′) = 〈σ|φ0〉〈φ0|σ′〉 = φ0(σ) φ∗0(σ

′) (5.13)

e assumendo φ0 reale:

ρ(σ, σ′) = φ0(σ) φ0(σ′) (5.14)

Ora prendendone una traccia parziale possiamo ottenere la matrice densita

ridotta di un sottoinsieme di nostro interesse. Dividiamo quindi la catena di

spin in due sottoinsiemi, diciamo σ1 = σ1, . . . , σM e σ2 = σM+1, . . . , σL,ottenendo subito:

ρ1(σ1, σ′1) =

∑

σ2

φ(σ1, σ2) φ(σ′1, σ2) (5.15)

e una formula anologa vale per ρ2. Immaginiamo ora che ci sia una relazione

fra la catena unidimensionale di spin quantistici e un modello statistico clas-

sico bidimensionale. Piu specificatamente supponiamo che l’hamiltoniana H

pensata come matrice 2n × 2n commuti con la matrice di trasferimento “row

to row” T del modello classico, ossia:14

[

H, T]

= 0 (5.16)

Lo stato fondamentale di H sara quindi anche autostato di T , e nella fatti-

specie supponiamo che sia l’autostato corrispondente all’autovalore massimo

per la matrice di trasferimento.15

Consideriamo ora un generico vettore |ψ〉 ∈ V = C2 ⊗ . . .C2 ⊗ C2, dove il

prodotto tensoriale e preso L volte. Supponiamo che esso sia della forma

generale:16

14in questo caso, a differenza del capitolo uno, nessun limite hamiltoniano viene

considerato.15cosa che si realizzera esplicitamente nei modelli che considereremo in seguito.16tale vettore appartiene quindi allo spazio degli stati della nostra catena quantistica

originaria.

139


|ψ〉 = |φ0〉 +∑

k 6=0

ck|φk〉 (5.17)

dove |φk〉, con k = 0, 1, . . . , 2L e una base ortonormale di autovettori della

matrice di trasferimento T .17

Applichiamo N volte l’operatore T ottenendo:

TN |ψ〉 = λNmax

(

|φ0〉 +∑

k

(

λm

λmax

)N

ck|φk〉)

(5.18)

dove λi sono gli autovalori di T relativi all’elemento |φi〉. Nel limite N ≫ 1

arriviamo a:

TN |ψ〉 ∼ λNmax|φ0〉 (5.19)

o equivalentemente a:

〈σ|φ0〉 ∼ λ−Nmax〈σ|TN |ψ〉 (5.20)

relazione che diviene una uguaglianza nel limite N → ∞. Il fattore diver-

gente che cresce come λNmax puo essere riassorbito ridefinendo la matrice di

trasferimento18 del modello statistico classico affinche λmax = 1, ossia lo stato

fondamentale sia autostato con autovalore 1 della matrice di trasferimento.

A questo punto leggendo l’equazione (5.20) affermarmiamo che φ0(σ) puo es-

sere interpretata come la funzione di partizione di una striscia semi-infinita

che ha σ come configurazione di spin ad un capo e ψ all’altro capo, ideal-

mente all’infinito.19 In modo del tutto simile ρ(σ, σ′) viene interpretata come

la funzione di partizione di due striscie semi-infinite, una verso +∞ e l’altra

verso −∞, con configurazioni iniziali σ e σ′ rispettivamente.

La matrice densita ridotta si ottiene identificando σ2 e σ′2 e “sommandovi

sopra”, cosa che graficamente corrisponde ad incollare fra loro le due striscie

fra il sito M +1 e L, mentri i rimanenti siti restano sconnessi. In conclusione

17supposta quindi diagonalizzabile.18e quindi l’hamiltoniana del modello classico, cosa che si realizza aggiungendo un

termine costante che non modifica in nessun modo le relazioni determinate finora.19da qui l’arbitrarieta con cui si puo scegliere il vettore |ψ〉.

140


Figura 5.4: Striscia infinita con taglio perpendicolare ad essa, ottenuta su

reticolo ruotato di 45.

si arriva alla funzione di partizione di una striscia infinitamente lunga con

un taglio perpendicolare ad essa, come illustrato in figura.

La situazione illustrata e quella di un reticolo classico orientato di 45, e la

zona colorata nella parte bassa della figura simboleggia l’azione della matrice

di trasferimento “row to row”20 che agisce su questo reticolo orientato. Il fat-

to di prendere un reticolo orientato puo apparire arbitrario, e sara motivato

dalle applicazioni delle sezioni successive.21

Le variabili σ1 e σ′1 sono denotate da cerchi vuoti, mentre σ2 da cerchi pieni.

Le linee tratteggiate dividono il sistema in quattro quadranti, e definiscono

cosı le quattro Corner Transfer Matrices A, B, C e D.22 Ora sempre dalla

figura leggiamo l’espressione finale per l’elemento di matrice dell’operatore

densita ridotta:

ρ1(σ1, σ′1) = (ABCD)σ1,σ′

1(5.21)

20che verra analizzata nel prossimo paragrafo.21in particolare dalla richiesta di trovare una matrice T che commuti con l’hamiltoniana

quantistica.22che differiscono da quelle della sezione precedente per geometria e condizioni di bordo.

141


Figura 5.5: Usuale geometria delle CTM . Le freccie indicano la direzione in

cui agiscono tali matrici.

Il fatto che le Corner Transfer Matrices impiegate in questa sezione abbiano

una geometria diversa da quelle precedentemente definite, e in particolare

siano matrici rettangolari non deve preoccupare, poiche cio che conta e il

fatto che siano ben definiti i prodotti fra le matrici stesse che compaiono

nell’espressione precedente. Inoltre verranno ignorate le condizioni ai bordi

del reticolo stesso, in quanto ininfluenti nel limite termodinamico.23 In tale

limite, quando la catena quantistica inizialmente considerata diviene infinita

scriveremo quindi:

ρ1 = ABCD (5.22)

dove la notazione ˆ sta ad indicare appunto il limite termodinamico. Da

osservare che in generale Trρ1 6= 1 quindi si dovra considerare la versione

normalizzata seguente:

ρ′1 =ρ1

Trρ1(5.23)

Tipicamente si considerano reticoli bidimensionali in cui i quattro quadranti

hanno una geometria di tipo “triangolare”, come illustrato in figura (5.4),

23per sistemi non critici, in cui la lunghezza di correlazione ξ <∞.

142


i quali generano Corner Transfer Matrices quadrate. Il ragionamento pre-

cedente rimane valido, e in particolare il limite termodinamico potra essere

raggiunto a partire da entrambe le geometrie,24 arrivando allo stesso risultato

finale.

A questo punto la determinazione della matrice densita ridotta25 per un si-

stema quantistico viene ricondotta allo studio delle CTM ′s del suo “analogo”

classico. Nella prossima sezione tratteremo catene quantistiche i cui analoghi

classici sono modelli statistici integrabili, le quali Corner Transfer Matrices

sono note e diagonalizzabili nel limite termodinamico.

5.3 La catena di Ising trasversa

Consideriamo la seguente hamiltoniana quantistica, detta catena di Ising tra-

sversa:26

H = −L∑

j=1

σxj − λ

L∑

j=1

σzjσ

zj+1 (5.24)

dove σx, σz sono le usuali matrici di Pauli, e λ e un parametro che determina

il tipo di ordine del sistema, come osservato nel capitolo uno. Per implemen-

tare il ragionamento del paragrafo precedente - e quindi avere informazioni

sulla matrice densita di questo sistema quantistico unidimensionale - dobbia-

mo individuare un sistema statistico classico la cui matrice di trasferimento

“row to row” commuti con l’hamiltoniana quantistica appena introdotta.

Il sistema che fa al caso nostro e un modello di Ising bidimensionale isotro-

po con il reticolo ruotato di π/4.27 Per convincerci di cio alcuni passaggi

preliminari sono necessari. Cominciamo con l’analizzare alcune caratteristi-

che di tale modello classico, focalizzando la nostra attenzione sulla matrice

di trasferimento “row to row”. Consideriamo quindi la porzione di reticolo

rappresentata in figura, e cerchiamo di esprimere la funzione di partizione

24e a partire da differenti condizioni ai bordi.25e in particolare del suo spettro.26in questo capitolo useremo una notazione leggermente diversa da quella del primo

capitolo; il pedice si riferisce al sito mentre il tipo di matrice di Pauli si legge ad esponente.27la cui hamiltoniana e la stessa presa in considerazione nel primo capitolo, in equazioni

(1.20),(1.21),(1.22).

143


Figura 5.6: Porzione di reticolo bidimensionale ruotato di 45 gradi.

Ogni link rappresenta una interazione fra siti regolata dalla costante di

accoppiamento k.

del reticolo complessivo in termini di T , esattamente come abbiamo fatto nel

capitolo uno per un modello di Ising bidimensionale con reticolo orientato in

modo “tradizionale”.

Poniamo per semplicita condizioni al contorno periodiche in entrambe le di-

rezioni del reticolo,28 che vincola il numero di righe orizzontali a essere pari.

Definiamo la seguente matrice di trasferimento:

Vσ,σ′ = exp

L∑

j=1

(kσjσ′j + kσj+1σ

′j)

(5.25)

che “collega” la riga A di figura con la riga B. σ e σ′ rappresentano le con-

figurazioni della riga A e B rispettivamente, mentre k = J/kT , dove J e la

costante di accoppiamento del modello. La matrice che realizza il trasferi-

mento dalla riga B alla riga A si scrive invece:

Wσ,σ′ = exp

L∑

j=1

(kσjσ′j + kσjσ

′j+1)

(5.26)

La funzione di partizione dell’intero reticolo piano si scrivera come:

28in questo caso intendiamo la direzione orizzontale e verticale rispettivamente.

144


Z =∑

σ,σ′,...,σm

Vσ,σ′Wσ′,σ′′ . . . ;Vσm−1,σmWσm,σ (5.27)

dove m e il numero di righe orizzontali considerate. Tale espresione si puo

riscrivere sinteticamente come:

Z = Tr (VW )m2 (5.28)

in modo del tutto simile a quanto gia osservato a piu riprese in questo ela-

borato. Una differenza che pero vale la pena di osservare e il fatto che aver

ruotato il reticolo comporta l’introduzione di due diverse matrici di trasferi-

mento, in quanto due righe orizzontali successive risultano “sfasate”, e quindi

la stessa interazione si presenta periodicamente ogni due righe. La matrice

di trasferimento T diverra allora il prodotto VW , e laddove si parli di azio-

ne della matrice di trasferimento29 se non specificato si intendera l’azione di

quest’ultima. Analizziamone quindi l’elemento di matrice:

〈σ|VW |σ′〉 =∑

σ′′

Vσ,σ′′Wσ′′,σ =

= 2L

L∏

j=1

cosh[

k(σj + σ′j) + k(σj+1 + σ′

j+1)]

(5.29)

Ora consideriamo nuovamente l’hamiltoniana quantistica (5.24), e vogliamo

mostrare che essa commuta con T , col vincolo che:

λ = sinh2(2k) (5.30)

Per prima cosa esplicitiamone l’elemento di matrice:

〈σ|H|σ′〉 = −L∑

i=1

δ(σi + σ′i)∏

j 6=i

δ(σj − σ′j) − λ

L∑

i=1

σiσi+1δσ,σ′ (5.31)

Adesso possediamo tutti gli strumenti per mostrare che [T, H ] = 0; conside-

rando infatti l’elemento di matrice di tale commutatore:30

29in questo modello “ruotato”.30i dettagli di questo calcolo si possono trovare in [29].

145


(

TH − HT)

σ,σ′

= −Tσ,σ′

L∑

i=1

cosh[k(σi − σ′i) + k(σi+1 + σ′

i+1)]

cosh[k(σi + σ′i) + k(σi+1 + σ′

i+1)]·

· cosh[k(σi−1 − σ′i−1) + k(σi − σ′

i)]

cosh[k(σi−1 + σ′i−1) + k(σi + σ′

i)]−

L∑

i=1

λσ′iσ

′i+1 − (σi ↔ σ′

i)

(5.32)

Usando le seguenti identita trigonometriche:

sinh[a(σ ± σ′)] = σ±σ′

2sinh(2a)

tanh[a(σ ± σ′)] = σ±σ′

2tanh(2a)

(5.33)

possiamo riscrivere in modo conveniente il prodotto di rapporti di coseni

iperbolici che compare nell’equazione precedente:

cosh[k(σi − σ′i) + k(σi+1 + σ′

i+1)]

cosh[k(σi + σ′i) + k(σi+1 + σ′

i+1)]· cosh[k(σi−1 − σ′

i−1) + k(σi − σ′i)]

cosh[k(σi−1 + σ′i−1) + k(σi + σ′

i)]− (σi ↔ σ′

i) =

=σi+1σi + σiσi−1 + σ′

i+1σi + σiσ′i−1

2sinh2(2k) − (σi ↔ σ′

i)

(5.34)

L’elemento di matrice del commutatore diviene allora:

L∑

i=1

(σi+1σi − σ′i+1σ

′i) (sinh2(2k) − λ) (5.35)

espressione che si annulla se sinh2(2k) = λ, come anticipato.

Nella prossima sezione analizzeremo la Corner Transfer Matrix per il modello

di Ising bidimensionale, prima nel caso anisotropo, poi in quello isotropo. Ta-

li risultati ci permetteranno di determinare lo spettro dell’operatore densita

ridotta della catena di Ising trasversa, e quindi l’entropia di entanglement.

5.3.1 CTM per il modello di Ising

Consideriamo nuovamente la figura (5.3), che useremo come “building block”

per costruire un reticolo bidimensionale come quello in figura (5.5), con con-

146


dizioni al contorno libere. Tale reticolo rappresenta un modello di Ising

anisotropo, come gia discusso.31 Consideriamo i seguenti operatori, i quali

“aggiungono” un link di tipo J1 e J2 rispettivamente:

exp[

J1σzjσ

zj+1

]

(2 sinh(2J2))1/2 exp

[

J2σxj

]

(5.36)

dove tanh Ji = exp(−2Ji) e la relazione che lega le costanti con le loro duali.

Il quadrante completo puo essere ottenuto aggiungendo via via linee diago-

nali di link, attraverso i seguenti operatori:32

Ωj = exp

[

J1

L−1∑

k=j

σzjσ

zj+1

]

Γj = (2 sinh(2J2))(L−j+1)/2 exp

[

J2

L∑

k=j

σxj

]

(5.37)

La Corner Transfer Matrix associata ad un quadrante come quello di figura

(5.3), con L spin sul lato verticale ed altrettanti su quello orizzontale si scrive

allora come:

A = ΓLΩL−1ΓL−1 . . .Γ2Ω1Γ1Ω1Γ2 . . .ΓL−1ΩL−1ΓL (5.38)

Consideriamo ora il caso fortemente anisotropo, ossia la situazione in cui

J2 ≫ 1 (J2 ≪ 1) e J1 ≪ 1. L’idea e quella di sfruttare la formula di Baker-

Haussdorf per riscrivere (al primo ordine nelle coupling constants) la matrice

A come l’esponenziale di un unico operatore, ossia porre A = e−HCTM .

Il risultato di tale limite e:

A = (2 sinh(2J2))L2/2 exp

J2

[

L∑

k=1

(2k + 1)σxk + λ

L−1∑

k=1

2kσzkσ

zk+1

]

(5.39)

31le ragioni del fatto che stiamo considerando il caso anisotropo diventerenno chiare a

breve.32sono matrici 2L × 2L, dove L verra poi fatto tendere all’infinito nel limite

termodinamico.

147


dove λ = J1/J2 e il parametro che determina in quale fase si trova il sistema;

per λ > 1 ci si trova nella fase ordinata del sistema, per λ < 1 in quella

disordinata e infine a λ = 1 il sistema si trova sulla sua linea critica. Il fattore

divergente (2 sinh(2J2))L2/2 si elide nella formula (5.23), quindi possiamo gia

ora lavorare con la versione normalizzata della Corner Transfer Matrix An,

ossia:

An = exp

J2

[

L∑

k=1

(2k + 1)σxk + λ

L−1∑

k=1

2k σzkσ

zk+1

]

(5.40)

Ci si chiede ora se questo risultato resti valido quando si torna a considerare

un reticolo isotropo, con J1 = J2 ≡ J . La risposta e affermativa in quanto B.

Davies in [20] ha provato33 che nel caso di un modello di Ising bidimensionale

vale una espressione del tipo An = exp(−uH ), dove u e un parametro che

misura il grado di anisotropia del sistema.34 In particolare il limite u → 0

rappresenta il caso di forte anisotropia, e permette di estrarre l’espressione

esplicita per H , esattamente come abbiamo fatto in equazione (5.39).

Forti di tale risultato, la cui genesi si puo consultare nei lavori originali [6],

[7], e in [5], scriviamo l’espressione della Corner Transfer Matrix per un mo-

dello di Ising isotropo nel limite termodinamico:

An = exp

J

[

∑

k

(2k + 1)σxk + λ

∑

k

2k σzkσ

zk+1

]

(5.41)

Nella prossima sezione utilizzeremo questo risultato per diagonalizzare la ma-

trice densita ridotta.

5.3.2 Diagonalizzazione della matrice densita ρ1

Riprendiamo ora la relazione che collega la matrice densita ridotta della ca-

tena quantistica alla Corner Transfer Matrix:

33seguendo gli argomenti enunciati da Baxter in [5].34esso emerge da una particolare parametrizzazione scelta per le costanti d’accoppia-

mento, che fa uso delle funzioni ellittiche. Per motivi di semplicita si e preferito non

seguire questa strada, seguendo la notazione dei lavori di I. Pechel e J. Cardy, vedi per

esempio [12], [43],[44],[45] e [46].

148


ρ1 = ABCD (5.42)

Nel caso in esame l’isotropia del reticolo e il limite termodinamico fanno si

che tale relazione divenga35:

ρ1 = A4 ≡ cost · e−4HCTM (5.43)

dove il termine moltiplicativo costante diviene formalmente infinito nel limite

termodinamico, evento che non crea problemi di sorta in quanto l’operatore

densita cosı definito in generale non soddisfa Trρ1 = 1, quindi se ne dovra

considerare la versione correttamente “normalizzata” ρ′1:

ρ′1 =ρ1

Trρ1

=A4

n

TrA4n

(5.44)

dove An = e−HCTM e:

HCTM = −J[

∑

k

(2k + 1)σxk + λ

∑

k

2k σzkσ

zk+1

]

(5.45)

Nell’espressione (5.44) ogni divergenza “termodinamica” viene rimossa dal

rapporto fra numeratore e denominatore.

Questa hamiltoniana si diagonalizza con una tecnica molto simile a quella

usata nel primo capitolo per “fermionizzare” il modello di Ising, in questo

caso pero i termini locali σxk e σz

kσzk+1 risultano moltiplicati per un fattore

proporzionale alla posizione del sito. Questa particolarita - che deriva dalla

geometria della CTM - complica ovviamente la procedura.36

L’idea alla base e sempre quella di riuscire a ridurre HCTM nella forma ca-

nonica:37

HCTM =∞∑

k=0

ǫk a†kak (5.46)

35tale relazione vale al di fuori del punto critico, dove la lunghezza di correlazione e

finita.36i dettagli si possono trovare in [20].37a meno di costante additiva.

149


con a†k, ak operatori di creazione e distruzione fermionici, ossia operatori che

soddisfano le seguenti regole di anticommutazione:

ak, al = a†k, a†l = 0

ak, a†l = δkl

(5.47)

Eseguendo una trasformazione di Wigner-Jordan sulle variabili di spin, si

arriva al seguente spettro energetico:

ǫk =

(2k + 1)ǫ λ < 1 T > Tc

2kǫ λ > 1 T < Tc

(5.48)

dove

ǫ =π

4

I(κ′)

I(κ)(5.49)

con I integrale ellittico del primo tipo, κ′ =√

1 − κ2 e

κ =

λ λ < 1

1/λ λ > 1

(5.50)

Facciamo ora alcuni commenti sullo spettro energetico individuato:

• λ < 1

lo stato fondamentale ha energia E = 0, mentre gli stati ecciatati hanno

energie che sono multipli dispari di ǫ, E = ǫ, 3ǫ, 5ǫ, . . . . Costruendo

stati a due fermioni si ottengono anche i livelli energetici proporzionali

a un numero pari di ǫ’s eccetto 2ǫ. La spaziatura dei livelli, tranne che

fra il primo e il secondo livello eccitato e sempre di ǫ;

• λ > 1

lo stato fondamentale ha ancora energia E = 0 ma ora e doppiamente

degenera causa l’oridine a lungo raggio tipico della fase a bassa tem-

peratura. Cio comporta una doppia degenerazione per tutto lo spettro

150


energetico. Gli stati eccitati sono multipli interi di 2ǫ, e la spaziatura

fra i livelli energetici e appunto 2ǫ.

Da osservare inoltre che lo spettro “collassa” al punto critico, ossia la spa-

ziatura fra i livelli energetici tende ad annullarsi.38 Diagonalizzata HCTM

possiamo immediatamente concludere che lo spettro della matrice densita

ridotta ρ′1 e di tipo esponenziale decrescente, caratteristica verificata in piu

occasioni anche con simulazioni numeriche.39

Nella prossima sezione eseguiremo il calcolo esplicito dell’entropia di entan-

glement per la catena di Ising trasversa.

5.3.3 Entropia di entanglement

Abbiamo concluso la sezione precedente diagonalizzandoHCTM , ed arrivando

in particolare ad una espressione del tipo: HCTM = ǫO, dove ǫ e un parame-

tro che regola la spaziatura fra i livelli energetici, mentre O e un operatore

con autovalori interi. Ricordandoci equazione (5.44) possiamo quindi scrivere

la seguente espressione per l’entropia di entanglement:

S = −Trρ′1 ln ρ′1 = −Trρ1 ln ρ1

Trρ1+ Trρ1 = −ǫ lnZ

∂ǫ+ lnZ (5.51)

dove Trρ′1 = 1, e Z = TrA4n = Tre−4HCTM .40 Ora nel caso λ < 1 si ha:

Z = Tre−4HCTM =∞∏

j=0

[

1 + e−ǫ(2j+1)]

(5.52)

e quindi grazie ad equazione (5.51) abbiamo immediatamente:

S = ǫ∞∑

j=0

2j + 1

1 + eǫ(2j+1)+

∞∑

j=0

ln(1 + e−ǫ(2j+1)) (5.53)

Anologamente nella fase ferromagnetica λ > 1 si ha:

38a cui si associa la comparsa delle eccitazioni di Goldstone, per approfondimenti vedi

[17].39vedi per esempio [43].40ovviamente lo spettro di questa quantita si ricava a partire dall’equazione (5.48) e

(5.49) moltiplicando per un fattore 4.

151


Figura 5.7: Entropia di entanglement per una catena di Ising quantistica

come funzione del parametre λ. La linea tratteggiata rappresenta il limite di

S per λ→ ∞, ossia ln 2.

S = ǫ∞∑

j=0

2j

1 + e2jǫ+

∞∑

j=0

ln(1 + e−2jǫ) (5.54)

La figura mostra l’entropia di entanglement come funzione di λ, con una

divergenza nel punto critico quantistico λ = 1. Cio evidenzia il fatto che

l’entropia di entanglement e, oltre che una misura di quanto sia “quantisti-

co” uno stato, anche una buona “spia” per le transizioni di fase del sistema.

Da osservare che S(0) = 0 e S(∞) = ln 2, in accordo col fatto che lo stato

ferromagnetico puro (λ = ∞) e doppiamente degenere mentre lo stato pa-

ramagnetico puro (λ = 0) ha un solo stato fondamentale, con tutti gli spin

allineati nella direzione del campo magnetico.41

Analizziamo ora in dettaglio il comportamento di S nell’intorno del punto

critico, ossia quando λ → 1, e ǫ → 0. Partendo indifferentemente da una

fase o dall’altra, a piccoli ǫ possiamo approssiamare la serie con un integrale,

ottenendo:

41l’hamiltoniana della catena di Ising trasversa si puo pensare come l’hamiltoniana di

un insieme di spin quantistici che interagiscono a primi vicini mediante la componente z

e sono soggetti ad un campo magnetico di modulo unitario lungo la direzione x.

152


S ≃∫ ∞

0

dx

(

2xǫ

1 + e2xǫ+ ln(1 + e−2xǫ)

)

=π2

12

1

ǫ(5.55)

dove col simbolo ≃ intendiamo in prossimita del punto critico. Usando ora

le seguenti espressioni asintotiche:42

I(0) = π/2 I(x) = −1/2 ln(1 − x) +O(1 − x)0 (5.56)

possiamo riscrivere:

S ≃ π2

12

1

ǫ≃ − 1

12ln(1 − κ) =

1

12ln(ξ) + C (5.57)

dove si e usato il ben noto risultato ξ ∝ |1 − κ|−1. La costante C varia a

seconda del modello considerato, e non e quindi universale.

Siamo giunti nuovamente a verificare la formula generale (4.80), ottenendo

in questo caso c = 1/2.43

5.4 Il modello XYZ

Consideriamo ora la catena quantistica XYZ, ossia una catena di Heisenberg

con accoppiamento anisotropo in tutte le direzioni. L’hamiltoniana quanti-

stica che descrive il modello e la seguente:

HXY Z = −∑

k

(Jxσxkσ

xk+1 + Jyσ

ykσ

yk+1 + Jzσ

zkσ

zk+1) (5.58)

dove le σ sono le usuali matrice di Pauli,44 e Jx, Jy, Jz sono le tre costanti

di accoppiamento nelle tre direzioni spaziali. La generalita di questo mo-

dello ci permettera di ottenere informazioni su altri modelli che si ottengono

da quest’ultimo come casi particolari. Infatti valgono le seguenti osservazioni:

42vedi per esempio [1].43risultato atteso, poiche nell’intorno del punto critico la catena di Ising trasversa am-

mette una descrizione in termini di teoria di campo, e nella fattispecie la teoria risultante

e la teoria fermionica neutra con carica centrale c = 1/2, vedi capitolo uno.44il pedice indica la posizione reticolare, mentre l’apice indica il tipo di matrice di Pauli.

153

5.4 Il modello XYZ

• se Jx = Jy = Jz si riduce al modello di Heisenberg;

• se Jx = Jy = 0 si riottiene la catena di Ising quantistica, con l’in-

terazione data solamente dall’accoppiamento degli spin lungo l’asse

z;

• se Jx = Jy otteniamo quello che viene chiamato modello XXZ, o alle

volte modello di “Heisenberg-Ising”.

Il modello XYZ ha come equivalente classico45 il modello a otto vertici, in-

fatti B. Sutherland ha provato che l’hamiltoniana quantistica di tale modello

commuta con la matrice di trasferimento “row to row” del modello a otto

vertici.46

Per calcolare l’entropia di entanglement del modello XYZ dobbiamo quindi

studiare le Corner Transfer Matrices del modello a otto vertici, che introdur-

remo nel prossimo paragrafo.

5.4.1 Il modello a otto vertici

Finora abbiamo considerato modelli statistici bidimensionali in cui si allo-

cavano le variabili sui siti del reticolo mentre le interazioni “giacevano” sui

link fra un sito e l’altro. Immaginiamo ora un modello statistico definito su

un reticolo bidimensionale quadrato in cui succeda esattamente il contrario,

ossia le variabili del modello sono definite sui link fra i siti, mentre l’intera-

zione e definita su ogni sito. Nella fattispecie una configurazione del modello

a otto vertici si costruisce nel seguente modo:47

• si ponga una freccia su ogni link del reticolo quadrato. Il tipo di

variabile del modello e quindi ancora dicotomica;

• si permettano configurazioni tali che il numero di frecce che entrano ed

escano da un sito sia pari. Con queste regole e semplice convincersi che

si possono costruire otto tipi di vertici, come illustrato in figura (5.8);

45nel senso dei paragrafi precedenti.46si veda il lavoro originale [52], oppure [5] capitolo 10.47tale modello statistico simula un sistema ferroelettrico, nel quale le frecce sui diversi

link del reticolo vengono assimilate a dipoli elettrici.

154


Figura 5.8: Le otto diverse configurazioni permesse a ogni vertice.

• dopo aver numerato opportunamente i tipi di vertice da 1 a 8 si assegni

una energia ǫj con j = 1, . . . , 8 corrispondente ad ognuno di questi tipi.

La funzione di partizione del modello si scrive quindi come:

Z =∑

C

exp[−(n1ǫ1 + · · ·+ n8ǫ8)/kT ] (5.59)

dove la somma e intesa su tutte le configurazioni possibili di frecce sul retico-

lo, mentre nj rappresenta il numero di vertici di tipo j presenti in una data

configurazione. Naturalmente k rappresenta la costante di Boltzmann e T la

temperatura assoluta del bagno termico a cui e sottoposto il sistema.

Possiamo inoltre definire i seguenti pesi di Boltzmann:

wj = exp(−ǫj/kT ), j = 1, . . . , 8. (5.60)

Dalla figura precedente osserviamo che il vertice di tipo 7 e un “pozzo”48 di

frecce mentre il vertice di tipo 8 e una “sorgente”. Se si impongono condi-

zioni al contorno di tipo toroidale49 sul reticolo ne segue il vincolo che:

n7 = n8 (5.61)

Se invertiamo il verso di tutte le frecce verticali il vertice di tipo 5 diviene

48nel senso che tutte le frecce sono entranti.49ossia periodiche in entrambe le direzioni.

155

5.4 Il modello XYZ

un “pozzo”, mentre il vertice di tipo 6 diviene una “sorgente”. Quindi si ha

anche il vincolo:

n5 = n6 (5.62)

Le energie ǫ5 . . . ǫ8 compaiono nella funzione di partizione solo nelle combi-

nazioni ǫ5 + ǫ6 e ǫ7 + ǫ8, quindi senza perdita di generalita possiamo porre:

ǫ5 = ǫ6 ǫ7 = ǫ8 (5.63)

Una situazione particolarmente interessante si ha quando

ǫ1 = ǫ2 ǫ3 = ǫ4. (5.64)

Con tale vincolo l’energia di una data configurazione resta invariata inver-

tendo il verso di tutte le frecce. Se pensiamo alle frecce come a dei dipoli

elettrici cio significa che non vi e campo elettrico applicato, per questo mo-

tivo questo particolare modello e chiamato otto vertici a campo nullo.

Nel proseguo useremo la seguente notazione:

a = w1 = w2 b = w3 = w4

c = w5 = w6 d = w7 = w8

(5.65)

e chiaramente possiamo riscrivere:

Z =∑

C

an1+n2bn3+n4cn5+n6dn7+n8 (5.66)

con Z che e una funzione Z(a, b; c, d) di a, b, c, d.

Si puo dimostrare che in un reticolo con un numero pari sia di colonne che

di righe vale la seguente importante relazione di simmetria:50

Z(a, b; c, d) = Z(c, d; a, b) (5.67)

che ci permettera nel proseguo di mappare fra loro fasi diverse del modello.

50si veda [5], capitolo 10, sezione 2.

156


Figura 5.9: Le sei diverse configurazioni permesse a ogni vertice nel modello

a sei vertici, a volte chiamato “ice-type” model.

Una importante variante del modello a otto vertici e il cosidetto modello a

sei vertici, che si ottiene dal precedente ponendo d = 0. Le configurazione

permesse saranno quindi quelle rappresentate in figura (5.9).

Tale modello sara di particolare importanza in quanto esso e l’equivalente

classico del modello quantistico XXZ. La dimostrazione di cio rientra come

caso particolare della dimostrazione di B. Sutherland dell’equivalenza fra il

modello XYZ e l’otto vertici.51

Concludiamo questa sezione esplicitando la forma della matrice di trasferi-

mento “row to row” e Corner Transfer Matrix per il modello a otto vertici.52

Supponiamo che il reticolo piano possegga M righe e N colonne, ed impo-

niamo condizioni al contorno periodiche in entrambe le direzioni (toroidali).

Consideriamo una riga di “frecce” fra due successive righe orizzontali di ver-

tici, e denotiamone la configurazione con φr, con r = 1, 2, . . . ,M . Essendo

due i possibili versi di ogni freccia φr avra 2N possibili valori. Definiamo ora

l’elemento della matrice di trasferimento “row to row” come:

V (φ, φ′) =∑

exp[−(m1ǫ1 +m2ǫ2 + · · ·+m8ǫ8)/kT ] (5.68)

dove φ e φ′ sono le configurazioni di due righe successive, come in figura

(5.10), mentre m1, . . . , m8 rappresentano il numero di volte in cui compare

il vertice di tipo 1, . . . , 8 nella riga orizzontale in questione. V e quindi una

matrice 2N × 2N . La funzione di partizione si scrive allora come:

Z =∑

φ1

∑

φ2

. . .∑

φM

V (φ1, φ2)V (φ2, φ3) . . . V (φM , φ1)

= TrV M

(5.69)

51per approfondimenti si veda [5].52ed equivalentemente per quello a sei vertici.

157

5.4 Il modello XYZ

Figura 5.10: Azione della matrice di trasferimento nel modello a otto vertici.

Figura 5.11: Corner Transfer Matrix per il modello a otto vertici.

Analizziamo ora la CTM per il modello a otto vertici. Con riferimento alla

figura (5.11) indichiamo con s = s1, . . . , sN e s′ = s′1, . . . , s′N le configurazioni

da cui dipende la CTM , (indicate con dei pallini rossi in figura (5.11)) dove

N e il numero di righe orizzontali e verticali. I pallini neri in figura indicano

la variabili su cui si “somma”, mentre i pallini blu indicano la variabili di

bordo, che potranno essere fissate in modo arbitrario.53

Scriviamo quindi l’espressione esplicita per la CTM As,s′ come:

As,s′ =∑

•exp[−(m1ǫ1 +m2ǫ2 + · · ·+m8ǫ8)/kT ] (5.70)

dove la somma si estende su tutte le variabili indicate con un pallino nero in

figura (5.11), mentre m1, . . . , m8 indicano come prima il numero di volte in

53l’idea e di prenderne poi il limite termodinamico, cosı da poter trascurare le condizioni

sulle variabili al contorno.

158


µ ν

β

α

Figura 5.12: Configurazione di vertice generica, con le quattro variabili di

tipo Ising µ, α, ν, β associate ad ogni link.

cui compare un certo tipo di vertice nella configurazione considerata.

Ruotando il quadrante di figura (5.11) di 90, 180, 270 rispettivamente, si

definiscono poi le “CTM” Bs,s′, Cs,s′ e Ds,s′.

Nel seguito indicheremo con Ad, Bd, Cd eDd le versioni diagonali delle Corner

Transfer Matrices. Vedremo infatti nella prossima sezione come il modello

a otto vertici sia riformulabile in termini di variabili di Ising con interazio-

ne IRF, anologamente al caso generale considerato ad inizio capitolo.54 In

quella formulazione sara immediato osservare che le CTM ′s del modello sono

simmetriche, quindi diagonalizzabili.

5.4.2 Formulazione dell’otto vertici in termini di

variabili di Ising

Il modello a otto vertici puo essere formulato in termini variabili di Ising e

visto come una generalizzazione del modello di Ising bidimensionale.

Per prima cosa consideriamo una configurazione generica di un vertice del

modello a otto vertici, come quella indicata in figura (5.12). Siano µ, α, ν, β

le variabili tipo Ising associate alle quattro “gambe” del vertice raffigurato.

Esse hanno il valore +1 (−1) se le corrispondenti frecce puntano verso l’alto

o verso destra (verso il basso o verso sinistra).

Indicando con w(µ, α|β, ν) il peso di Boltzmann associato al vertice, si hanno

le seguenti identita:

54vedi formule (5.1), (5.2) e (5.4).

159

5.4 Il modello XYZ

w(+,+|+,+) = w(−,−|−,−) = a

w(+,−|−,+) = w(−,+|+,−) = b

w(+,−|+,−) = w(−,+|−,+) = c

w(+,+|−,−) = w(−,−|+,+) = d

(5.71)

dove w(µ, α|β, ν) e nullo per ogni altro valore di µ, α, ν, β. Queste identita si

possono riscrivere come una unica relazione nel seguente modo:

w(µ, α|β, ν) =1

4a′(1 + µανβ) + b′(αβ + µν) + c′(αν + βµ) + d′(βν + αµ)

(5.72)

dove:

a′ = 12(a+ b+ c + d) b′ = 1

2(a + b− c− d)

c′ = 12(a− b+ c− d) d′ = 1

2(a− b− c+ d).

(5.73)

Supponiamo ora che il reticolo abbia M righe (indicizzate i = 1, . . . ,M) e

N colonne (indicizzate j = 1, . . . , N). La funzione di partizione puo essere

quindi riscritta come:

Z =∑

α,µ

w11w12 . . . wMN (5.74)

dove

wij = w(µij, αij|αi+1,j, µi,j+1). (5.75)

La somma di equazione (5.74) si estende a tutti i valori (±1) delle variabili

α11, . . . , αMN e µ11, . . . , µMN .

Veniamo ora alla formulazione vera e propria del modello a otto vertici in

termini di variabili di spin. Associamo uno spin σij ad ogni cella del reticolo,

come in figura (5.13). Ogni spin puo assumere il valore ±1.

Permettiamo interazioni fra spin primi e secondi vicini. L’hamiltoniana piu

160


i

j

σi,j

σ

σi,j+1

i+1,j+1σi+1,j

Figura 5.13: Reticolo del modello a 8 vertici, raffigurato con linee

tratteggiate. Siti del reticolo duale, raffigurati da cerchi aperti.

generale che possiamo scrivere invariante per traslazione con queste caratte-

ristiche e la seguente:

E = −M∑

i=1

N∑

j=1

Jvσi,jσi,j+1 + Jhσi,jσi+1,j

+ Jσi,j+1σi+1,j + J ′σi,jσi+1,j+1 + J ′′σi,jσi,j+1σi+1,jσi+1,j+1.

(5.76)

dove Jv, Jh, J, J′, J ′′ sono costanti di accoppiamento per il momento non spe-

cificate.55 Questo modello contiene una interazione a quattro spin di tipo

IRF. Definiamo ora, per tutti gli i, j le seguenti variabili:

αi,j = σi,jσi,j+1

µi,j = σi,jσi+1,j

(5.77)

cosı da poter riscrivere l’equazione (5.76) come:

E = −M∑

i=1

N∑

j=1

Jvαi,j + Jhµi,j + Jαi,jµi,j + J ′αi+1,jµi,j + J ′′αi,jαi+1,j

(5.78)

55ci stiamo attenendo alla notazione di R. Baxter, si veda per esempio [5].

161

5.4 Il modello XYZ

con il vincolo che per ogni i, j si verifichi:

µi,jαi,jαi+1,jµi,j+1 = 1. (5.79)

Ad ogni configurazione delle variabili σi,j corrisponde una configurazione del-

le variabili αi,j , µi,j. Viceversa ad ogni configurazione delle variabili αi,j, µi,j

corrispondono due configurazione delle variabili σi,j che soddisfano (5.79).

Possiamo quindi esprimere la funzione di partizione di questo modello di

Ising come:

ZI = 2∑

α,µ

exp(−E/kT ) (5.80)

dove la somma e intesa sopra tutti i valori (±1) delle variabili α11, . . . , αMN

e µ11, . . . , µMN che soddisfano (5.79).

Ora dal momento che w(µ, α|β, ν) in (5.71) si annulla a meno che µανβ = 1,

l’equazione (5.74) resta immutata imponendo il vincolo (5.79). Allora la som-

ma in (5.74) e in (5.80) sono identiche, a patto che (per µανβ = 1) :

w(µ, α|β, ν) = exp[12Jv(α + β) +

1

2Jh(µ+ ν) + Jαµ+ J ′βµ+ J ′′αβ]/kT.

(5.81)

Segue che:

ZI = 2Z8V (5.82)

dove Z8V e la funzione di partizione del modello a otto vertici definita in

equazione (5.74), con αi,j e µi,j variabili di tipo Ising associate ad ogni frec-

cia del reticolo e

162


Figura 5.14: Reticoli anisotropi di Ising disaccoppiati.

ǫ1 = −Jh − Jv − J − J ′ − J ′′, ǫ2 = Jh + Jv − J − J ′ − J ′′,

ǫ3 = −Jh + Jv + J + J ′ + J ′′, ǫ4 = Jh + Jv + J + J ′ − J ′′,

ǫ5 = ǫ6 = J − J ′ + J ′′,

ǫ7 = ǫ8 = −J + J ′ + J ′′.

(5.83)

Siamo giunti quindi a dimostrare l’equivalenza fra questo modello di Ising

generale e il modello a otto vertici. In particolare il modello a otto vertici a

campo magnetico nullo (w1 = w2, w3 = w4) corrisponde al caso Jh = Jv = 0,

ossia con solo interazioni di tipo diagonale e a quattro spin. In questo caso

sfruttando le relazioni (5.60) e (5.65) possiamo scrivere:

a = exp[(J + J ′ + J ′′)/kT ], b = exp[(−J − J ′ + J ′′)/kT ],

c = exp[(−J + J ′ − J ′′)/kT ], d = exp[(J − J ′ − J ′′)/kT ].

(5.84)

Inoltre se J ′′ = 0 rimangono solo le interazioni di tipo diagonale e a, b, c, d

soddisfano alla condizione:

ab = cd (5.85)

Come evidente dalla figura (5.14), in questo caso il modello a otto vertici

“fattorizza” in due modelli di Ising anisotropi con interazione a primi vicini,

disaccoppiati fra loro. Il primo di questi due sistemi e rappresentato in figura

163

5.4 Il modello XYZ

σ

σσ1

A

Figura 5.15: Corner Transfer Matrix per il modello a otto vertici, definita

sul reticolo duale.

da pallini vuoti, il secondo da pallini pieni.

Concludiamo questa sezione analizzando le Corner Transfer Matrices del mo-

dello ad otto vertici (a campo applicato nullo), attraverso la sua formulazione

in termini di variabili di spin. La situazione e esattamente identica a quella

studiata ad inizio capitolo per un modello IRF.56 Considerando il reticolo

duale (figura (5.13)) su cui si definiscono le variabili di spin, un quadrante

del reticolo e quello rappresentato in figura (5.15).

Si definisce cosı la CTM A nel seguente modo:57

Aσσ′ =

∑∏

w(σi, σj , σk, σl) se σ1 = σ′1

= 0 se σ1 6= σ′1

(5.86)

dove σ e σ′ rappresentano le configurazioni di spin laterali che definiscono

l’elemento di matrice della CTM , la somma si esegue su tutti gli spin de-

notati con un pallino nero, mentre gli spin denotati con un pallini blu sono

gli spin di bordo, che si possono porre tutti uguali a uno per convenzione.58

La produttoria e eseguita su tutte le facce del quadrante. Con opportune

rotazioni si definiscono le matrici B, C e D.

Una osservazione importante e che w(a, b, c, d) in equazione (5.86) e simme-

56si vedano equazioni (5.2), (5.4) e figura (5.2).57in modo analogo a quanto gia fatto in equazione (5.6) per un modello IRF generico.58ancora una volta l’idea sara quella di considerare il limite termodinamico, limite in

cui il tipo di condizione al contorno non influisce sul risultato.

164


trico sotto lo scambio di a con c, oppure b con d. Da cio segue che le Corner

Transfer Matrices A, B, C e D sono simmetriche (quindi diagonalizzabili) e

che A = C e B = D. Queste proprieta risulteranno molto utili nel proseguo

del capitolo.

Nella prossima sezione illustreremo come si possano parametrizzare tutti i

parametri fisici del modello mediante l’uso delle funzioni ellittiche di Jacobi,

di cui una breve introduzione si puo trovare in appendice.

5.4.3 Parametrizzazione in termini di funzioni

ellittiche

Vediamo ora come parametrizzare convenientemente i pesi di Boltzmann a,

b, c e d del modello a otto vertici (a campo applicato nullo) mediante le

funzioni ellittiche di Jacobi.

Definiamo i parametri ∆ e Γ nel seguente modo:59

∆ = (a2 + b2 − c2 − d2)/2(ab+ cd)

Γ = (ab− cd)/(ab+ cd)

(5.87)

Per prima cosa eliminiamo la dipendenza da d nelle relazioni (5.87) ottenen-

do:

2∆(1 + γ)ab = a2 + b2 − c2 − a2b2γ2c−2 (5.88)

dove

γ = (1 − Γ)/(1 + Γ) = cd/ab (5.89)

L’equazione (5.88) e una relazione biquadratica simmetrica fra a/c e b/c. Se

b/c e dato, essa diviene una relazione quadratica per a/c con discriminante

∆2(1 + γ)2(b/c)2 − [(b/c)2 − 1][1 − γ2(b/c)2]. (5.90)

59le motivazioni del fare cio saranno chiare in seguito.

165

5.4 Il modello XYZ

Questa e una forma quadratica in (b/c)2, che puo essere riscritta come:

(1 − y2b2/c2)(1 − k2y2b2/c2), (5.91)

dove le quantita y e k dipendono solo da ∆ e γ, e sono definite dalle seguenti

relazioni:

k2y4 = γ2

(1 + k2)y2 = 1 + γ2 − ∆2(1 + γ)2.

(5.92)

Vogliamo ora parametrizzare b/c in termini di una qualche funzione di varia-

bile u. Come mostrato in appendice, un modo conveniente per farlo e usare

le funzioni ellittiche, ossia porre:

b/c = y−1sn(iu) (5.93)

dove sn e una funzione ellittica di Jacobi di argomento u e modulo k.60 Il

fattore i e stato introdotto per convenienza futura. La radice quadrata di

equazione (5.91) diviene allora cn(iu) dn(iu), e la soluzione di (5.88) diviene:

a

c=y[(1 + γ)sn(iu) + y cn(iu) dn(iu)]

y2 − γ2sn2(iu)(5.94)

che e inoltre una funzione meromorfa di u. Essa puo essere ulteriormente

semplificata definendo λ attraverso:

k sn(iλ) = −γ/y. (5.95)

Ora grazie ad equazioni (5.92) e (5.89) otteniamo:61

60i dettagli delle definizioni e le piu importanti proprieta si possono trovare in appendice.61come vedremo quando tratteremo in dettaglio il modello XYZ, le quantita piu rilevanti

nella nostra analisi saranno ∆ e Γ, poiche esse sono direttamente connesse con le costanti

di accoppiamento della catena quantistica XYZ.

166


y = sn(iλ), γ = −k sn2(iλ)

Γ = (1 + k2sn2(iλ))/(1 − k sn2(iλ))

∆ = −cn(iλ)dn(iλ)/(1 − k sn2(iλ))

(5.96)

Usando le formule di addizione delle funzioni ellittiche (vedi [5], capitolo

quindici) l’equazione (5.94) diviene:

a/c = sn i(λ− u)/sn(iλ) (5.97)

e grazie alle relazioni (5.89) (5.96) abbiamo anche:

d/c = −k sn(iu) sn i(λ− u). (5.98)

E utile ora definire una sorta di versione “iperbolica” della funzione sn, ossia

snh definita da:

snh(u) = −i sn(iu) = i sn(−iu) (5.99)

Essa e una funzione meromorfa di u, reale se u e reale e se 0 < k < 1. Usando

ora le relazioni (5.93) (5.96) (5.97) e (5.98) arriviamo alla seguente parame-

trizzazione per i pesi di Boltzmann del modello a otto vertici (a campo nullo):

a = ρ snh(λ− u)

b = ρ snh(u)

c = ρ snh(λ)

d = ρ k snh(λ) snh(u) snh(λ− u)

(5.100)

dove λ e un fattore di normalizzazione. Se ρ, u e λ sono reali, allora anche

a, b, c e d lo sono. Inoltre se 0 < k < 1 e 0 < λ < I′ 62 tali quantita sono

62per la definizione del semiperiodo I′ si veda l’appendice.

167

5.4 Il modello XYZ

Figura 5.16: Stato fondamentale (energia minima) nella fase di ordine anti-

ferroelettrico. Compaiono solo vertici di tipo 5 e 6.

positive, come deve essere.63

Concludiamo questa sezione descrivendo sinteticamente la classificazione del-

le fasi del modello a otto vertici in assenza di campo applicato.64 Ci sono

cinque distinte fasi:

• ordine ferroelettrico: a > b+ c+ d, ∆ > 1,

• ordine ferroelettrico: b > a + c+ d, ∆ > 1,

• assenza di ordine: a, b, c, d < 12(a + b+ c+ d), −1 < ∆ < 1,

• ordine anti-ferroelettrico: c > a + b+ d, ∆ < −1, (regime principale)

• ordine anti-ferroelettrico: d > a+ b+ c, ∆ < −1.

Nella fasa di ordine ferroelettrico lo stato fondamentale e quello in cui le

frecce tendono ad allinearsi, e il sistema presenta un “momento di dipolo

elettrico” per link non nullo. La differenza fra le due fasi ferroelettriche sta

nella direzione scelta dai dipoli.

Nella fase disordinata invece non si instaura nessun tipo di ordine, e la frecce

tendono a disporsi in modo casuale nel reticolo.65

Nella fase di ordine anti-ferroelettrico le frecce tendono a disporsi su link

63e quindi questo il regime fisico che verra considerato.64la soluzione esatta di questo modello si trova in [5], capitolo dieci.65rispettando ovviamente le regole generali dell’otto vertici.

168


alterni con direzioni opposte, come mostrato in figura (5.16).66 Il momento

di dipolo elettrico per sito medio e ancora nullo, ma il sistema presenta un

ordine a grande scala.

Nella prossima sezione analizzeremo le connessioni fra la catena quantistica

XYZ e il modello a otto vertici a campo applicato nullo, per poi calcolare

l’entropia di entanglement in alcuni significativi casi particolari.

5.5 Entropia di entanglement per il modello

XYZ

Per poter utilizzare l’espressione (5.22) anche nel caso della matrice densita

ridotta 67 di una catena XYZ si deve avere a disposizione un modello clas-

sico bidimensionale la cui matrice di trasferimento “row to row” commuti

con l’hamiltoniana quantistica (5.58). Tale modello, come preannunciato e

il modello a otto vertici a campo applicato nullo. Infatti B. Sutherland68 ha

mostrato che se si verifica la seguente relazione69

Jx : Jy : Jz = 1 : Γ : ∆ (5.101)

fra le costanti di accoppiamento del modello XYZ e i parametri dell’otto ver-

tici, allora V 70 commuta con H della catena quantistica.

Osserviamo inoltre che tenendo ∆ e Γ fissati e variando a, b, c, d di equazioni

(5.96) otteniamo una intera famiglia di modelli a otto vertici le cui matrici

di trasferimento commutano con H.

Tutti i risultati generali ottenuti a partire da equazione (5.12) sono quindi

applicabili, e possiamo scrivere la seguente relazione fra la matrice densita

ridotta ρ1 del XYZ e le Corner Transfer Matrices del modello a otto vertici

66il caso mostrato in figura corrisponde al primo tipo di ordine anti-ferroelettrico elencato

nella classificazione delle fasi.67tale matrice descive lo stato fisico di una catena XYZ semi-infinita, esattamente come

nel caso della catena di Ising trasversa.68si veda [52] oppure [5] capitolo 10 sezione 14.69che equivale all’uguaglianza a meno di un fattore di proporzionalita comune a tutte e

tre le quantita.70definita in equazione (5.68).

169

5.5 Entropia di entanglement per il modello XYZ

(a campo nullo) 71

ρ1(σ, σ′) = (ABCD)σ,σ′ = (AB)2

σ,σ′ (5.102)

dove l’apice ˆ indica che la grandezza considerata e presa nel limite termodi-

namico, e abbiamo sfruttato la proprieta che A = C e B = D. In generale la

quantita precedente non verifichera il vincolo Trρ1 = 1, quindi si considerera

la versione opportunamente normalizzata ρ′1 definita da equazione (5.23).

Definiamo inoltre Z = Trρ1.

Per il modello a otto vertici (a campo applicato nullo) R. Baxter ha ottenuto

la seguente forma per le Corner Transfer Matrices nel limite termodinamico:72

Ad(u) = Cd(u) =

(

1 0

0 s

)

⊗(

1 0

0 s2

)

⊗(

1 0

0 s3

)

⊗ . . .

Bd(u) = Dd(u) =

(

1 0

0 t

)

⊗(

1 0

0 t2

)

⊗(

1 0

0 t3

)

⊗ . . .

(5.103)

dove s = exp

(

− πu

2I(k)

)

e t = exp

(

−π(λ− u)

2I(k)

)

.

I(k) e integrale ellittico del primo tipo di modulo k.73 Definiamo ora x =

(st)2 = exp(−πλ/I(k)) e scriviamo l’operatore densita sfruttando la formula

(5.102) come:

ρ1 =

(

1 0

0 x

)

⊗(

1 0

0 x2

)

⊗(

1 0

0 x3

)

⊗ . . . (5.104)

Osserviamo che nell’espressione di ρ1 risulta “parametrizzata” da λ e k sol-

tanto, come le quantita definite in (5.96), che sono legate alle Ji del XYZ

mediante (5.101) e (5.96). Si tratta ora di calcolare Z, e sapendo che la trac-

cia del prodotto tensoriale di operatori e il prodotto algebrico delle tracce dei

singoli operatori, otteniamo:

71pensato nella sua formulazione in termini di variabili di Ising con interazione IRF,

quindi in riferimento alla definizione (5.86) e alla figura (5.15).72si vedano i lavori originali [6], [7] oppure [5], capitolo tredici.73vedi appendice.

170


Z = Trρ1 =

∞∏

j=1

(1 + xj) =

∞∏

j=1

(1 + e−πλj/I(k)) (5.105)

Osserviamo ora che anche nel caso del modello XYZ si puo scrivere:

ρ1 = (AB)2 = e−HCTM (5.106)

dove

HCTM =

(

0 0

0 ǫ

)

⊗(

0 0

0 2ǫ

)

⊗(

0 0

0 3ǫ

)

⊗ . . . (5.107)

con ǫ = πλ/I(k). Possiamo quindi affermare che HCTM = ǫO, dove O e un

operatore con autovalori interi. Vale allora anche in questo caso la formula

(5.51), che porta immediatamente a:

S = ǫ

∞∑

j=1

j

(1 + ejǫ)+

∞∑

j=1

ln(1 + e−jǫ) (5.108)

espressioni valida in generale al variare di λ e k.

Ora questa formula se ǫ ≪ 1 si approssima con un integrale, dando come

risultato:

S ≃∫ ∞

0

dx

(

xǫ

1 + exǫ+ ln(1 + e−xǫ)

)

=π2

6

1

ǫ(5.109)

Tale formula approssimata ci servira nelle prossime due sezioni quando ana-

lizzeremo i casi particolari del modello XXZ e del modello di Ising, che si

ottengono dall’otto vertici come casi particolari.

5.5.1 Il modello XXZ

Poniamo ora k = 0 (Γ = 1) e prendiamo poi il limite λ → 0+, che corri-

spondono a considerare la catena quantistica anisotropa solo nella direzione

z. Cio corrisponde a considerare il modello XXZ.

In questo limite ǫ≪ 1 e la formula (5.109) e valida. Analizzando l’espressio-

ne (5.96) per λ ∼ 0 otteniamo:

171


−∆ ≈ 1 +π2

8I2(k)λ (5.110)

ossia λ ≈ 2√

2I(k)

π

√−1 − ∆.74

Ponendo k = 0 (I(0) = π/2) e sostituendo in equazione (5.109) ottenia-

mo:

S ≈ π2

12√

2

1√−∆ − 1

. (5.111)

Per il modello XXZ nell’intorno del punto critico anti-ferromagnetico vale la

seguente espressione per la lunghezza di correlazione:75

ln(ξ/a) ≈ π2

2√

2

1√−∆ − 1

(5.112)

dove a e un parametro con le dimensioni di una lunghezza introdotto per

rendere adimensionale l’argomento del logaritmo.76 L’entropia diviene allora:

S ≈ 1

6ln(ξ/a) (5.113)

che conferma la formula generale (4.80) con c = 1.

5.5.2 Il modello di Ising

Consideriamo ora il caso in cui in modello a otto vertici (a campo applicato

nullo) diviene equivalente a due reticoli di Ising anisotropi disaccoppiati.77

74prendendo il limite λ→ 0+ ∆ < −1, quindi l’argomento della radice e positivo.75definita come l’inverso del gap energetico fra lo stato fondamentale e il primo livello

eccitato.76per quest’ultimo risultato vedi [5], capitolo 8.77vedi figura (5.14) ed equazione (5.85).

172


Definiamo la seguente quantita:

k−1I = sinh(2βJ) sinh(2βJ ′) (5.114)

dove β = 1/kT . Usando le equazioni (5.84) (5.85) e (5.87) otteniamo:

∆ =a2 + b2 − c2 − d2

4ab= k−1

I (5.115)

Lo stato ferromagnetico del modello di Ising bidimensionale (J > 0, J ′ > 0,

k−1I < 1) corrisponde al regime ferroelettrico del modello a otto vertici, pre-

cisamente per ∆ > 1 e a > b + c + d. Usando la relazione di simmetria

di equazione (5.67) del modello a otto vertici possiamo mappare tale regi-

me all’interno del cosidetto regime principale, ossia quello per cui ∆ < −1,

semplicemente scambiando a con c e b con d.78 Dalle formule parametriche

(5.100) otteniamo allora:

snhλ = k−1/2

k1/2snhu = exp(−2βJ ′)

(5.116)

Utilizzando questo relazioni possiamo riscrive la formula parametrica di ∆

come:

∆ =1

2cn(iλ)dn(iλ) (5.117)

ma affinche Γ = 0 (come deve essere per ab = cd) si dovra avere:

λ =1

2I ′(k′) (5.118)

ossia λ e esattamente a meta del suo dominio di definizione. Sostituendo tale

valore in equazione (5.117) otteniamo:

kI = 2k1/2/(1 + k). (5.119)

78da osservare che, come conseguenza di cio ∆ cambia segno.

173


Grazie alle trasformazioni di Landen79 si ha poi immediatamente:

exp(−πI ′(k′I)/I(kI)) = exp(−πI ′(k′)/2I(k)) (5.120)

ossia definendo80

qI = exp(−πI ′(k′I)/I(kI)) q = exp(−πI ′(k′)/I(k)) (5.121)

possiamo riscrivere qI = q1/2. Ricordiamoci ora l’equazione (5.9) per la ma-

gnetizzazione per sito di il modello di Ising 2-d, che riscriviamo come:

〈σ1〉 = M0 =Tr(SAdBdAdBd)

Tr(AdBd)2. (5.122)

La matrice S nella base in cui si diagonalizza il prodotto AB assume la se-

guente forma:81

S =

(

1 0

0 −1

)

⊗(

1 0

0 1

)

⊗(

1 0

0 −1

)

⊗ . . . (5.123)

Utilizzando equazione (5.122) e l’espressione di S arriviamo alla seguente

espressione per la magnetizzazione:

M0 =∞∏

n=1

1 − q2n−1I

1 + q2n−1I

(5.124)

Ora sfruttando le definizioni del modulo k e del suo coniugato k′ (si veda ap-

pendice) otteniamo l’espresione per la magnetizzazione del modello di Ising

bidimensionale:

M0 = k′1/4I = (1 − k2

I)1/8 = (1 − cosech2(2βJ)cosech2(2βJ ′))1/8 (5.125)

valido per ∆ > 1 ossia T < Tc, dove Tc e la temperatura critica del modello

79si veda l’appendice.80tali quantita vengono chiamati “nomi” delle funzioni ellittiche. Per ulteriori dettagli

si veda l’appendice.81si veda [5], capitolo 13.

174


di Ising bidimensionale.82 Abbiamo cosı ottenuto attraverso il metodo della

Corner Transfer Matrix un fondamentale risultato della meccanica statistica,

ottenuto per la prima volta da L. Onsager83 e C.N. Yang negli anni cinquan-

ta.84

Veniamo ora al calcolo dell’entropia di entanglement, sempre ponendo

λ = 12I ′(k′), ossia quando il modello a otto vertici (a campo nullo) si riduce

a due reticoli di Ising disaccoppiati. Utilizziamo la formula (5.109) con

ǫ =π

2

I ′(k′)

I(k)(5.126)

che sfruttando le trasformazioni di Landen riscriviamo come:

ǫ =πI ′(k′I)

I(kI)(5.127)

dove kI e definito da equazione (5.119). La linea critica del modello di Ising

bidimensionale si raggiunge per kI → 1, e noi supporremo di avvicinarci ad

essa dal regime ferromagnetico, ossia kI → 1−.

Riscriviamo due utili relazioni per gli integrali ellittici:

I(0) = π/2

I(x) ≈ −1/2 ln(1 − x) +O(1 − x)0, x ≈ 1.

(5.128)

Servendoci di tali relazioni abbiamo subito che:

ǫ ≈ − π2

ln(1 − kI)(5.129)

e quindi l’entropia di entanglement S diviene:

S ≈ −1

6ln(1 − kI). (5.130)

82per approfondimenti si vedano [5] capitolo 7, oppure [28].83L. Onsager si e sempre rifiutato di pubblicare la sua derivazione della formula per la

magnetizzazione del modello di Ising bidimensionale. Per tale calcolo consultare il lavoro

[58].84si vedano i lavori originali [42] [58]. Per la derivazione con il metodo della CTM si

vedano [6] oppure [5], capitolo 13.

175


Se poi poniamo J = J ′, ossia consideriamo i due reticoli isotropi, sappiamo

che ξ ∝ (1 − kI)−1, quindi l’entropia si riscrive come:

S ≈ 1

6ln(ξ/a) (5.131)

che conferma la formula (4.80) con c = 1. Cio non ci sorprende poiche ogni

reticolo di Ising contribuisce con c = 1/2. Abbiamo inoltre riottenuto il ri-

sultato di equazione (5.57) come caso particolare del modello XYZ.

Concludiamo questo capitolo osservando l’efficacia del metodo della Corner

Transfer Matrix, che oltre ad essere un utile strumento per derivare le pro-

prieta della matrice densita e quindi dell’entropia, e un potentissimo stru-

mento per la soluzione esatta dei modelli statistici bidimensionali, il risulato

(5.125) ne e una conferma.

176

Conclusioni

In questa tesi abbiamo studiato le tecniche analitiche di calcolo dell’entropia

di entanglement, per sistemi al punto critico e non. Dapprima grazie alle

tecniche conformi abbiamo ottenuto risultati generali per l’entropia, che la

collegano a parametri fisici della teoria come ad esempio la carica centrale,

il volume del sistema, la sua temperatura e la lunghezza di correlazione. Poi

abbiamo verificato esplicitamente tali risultati generali per la teoria bosonica

massiva e per la teoria fermionica di Majorana e Dirac massiva, entrambe

nel caso bidimensionale.

Successivamente abbiamo utilizzato la tecnica della Corner Transfer Matrix

per derivare l’espressiane analitica esatta dell’entropia di entanglement della

catena di Ising trasversa e del modello XYZ. Questo secondo risultato in

particolare permette di riderivare in modo originale i casi particolari della

catena di Ising e del modello XXZ.

In tutti i casi analizzati i risultati confermano la teoria generale studiata nel

capitolo quattro, dando i corretti valori per la carica centrale della teoria

considerata.

Da osservare che un particolare limite continuo del modello XYZ permette di

ottenere la teoria di campo bidimensionale di sine-Gordon, che e un esempio

di teoria di campo interagente, integrabile e con effetti non perturbativi. In

questa ottica i risultati ottenuti per il modello XYZ potrebbero risultare di

grande utilita nello studio dell’entanglement in teorie di campo non libere,

che rappresentano un vasto e inesplorato campo di ricerca.

177

Appendice A

Funzioni Ellittiche

In questa appendice vogliamo fornire un breve sommario sulle definizioni e

sulle principali proprieta delle funzioni ellittiche. Tali funzioni sono funzio-

ni di due variabili, il nome q e l’argomento u. Usualmente q e considerata

costante e reale, con valori fra 0 e 1; mentre u e considerata la variabile, in

generale complessa.

I mezzi periodi I e I ′ (talvolta chiamati K e K ′) sono definiti da:

I = 12π

∞∏

n=1

(

1 + q2n−1

1 − q2n−1· 1 − q2n

1 + q2n

)2

I ′ = π−1I ln(q−1),

(A.1)

e quindi

q = exp(−πI ′/I) (A.2)

Il modulo k e il modulo coniugato k′ sono dati da:

k = 4q1/2

∞∏

n=1

(

1 + q2n

1 + q2n−1

)4

k′ =

∞∏

n=1

(

1 − q2n−1

1 + q2n−1

)4

(A.3)

Le funzioni teta sono definite da:

179

A.1 Analiticita e periodicita

H(u) = 2q1/4 sin(πu2I

)∞∏

n=1

(

1 − 2q2n cos(πuI

) + q4n)

(1 − q2n)

H1(u) = 2q1/4 cos(πu2I

)∞∏

n=1

(

1 + 2q2n cos(πuI

) + q4n)

(1 − q2n)

Θ(u) =∞∏

n=1

(

1 − 2q2n−1 cos(πuI

) + q4n−2)

(1 − q2n)

Θ1(u) =

∞∏

n=1

(

1 + 2q2n−1 cos(πuI

) + q4n−2)

(1 − q2n)

(A.4)

Le funzioni ellittiche di Jacobi sono invece definite da:

sn(u) = k−1/2H(u)/Θ(u)

cn(u) = (k′/k)1/2H(u)1/Θ(u)

dn(u) = k′1/2Θ1(u)/Θ(u).

(A.5)

A.1 Analiticita e periodicita

Le funzioni teta H(u), H1(u), Θ(u) e Θ1(u) sono funzioni intere di u (ossia

analitiche in tutto il piano complesso). Gli zeri di H(u) e Θ(u) sono dati da:

H(0) = 0 per u = 2mI + 2niI ′

Θ(u) = 0 per u = 2mI + i(2n− 1)I ′,

(A.6)

dove m, n sono interi. Dalle definizioni (A.5) segue che le funzioni ellittiche

di Jacobi sono funzioni meremorfe (ossia le loro uniche singolarita sono poli).

La funzione H(u) soddisfa le relazioni di quasi-periodicita

H(u+ 2I) = −H(u)

H(u+ 2iI ′) = −q−1 exp(−πiu/I)H(u).

(A.7)

180

Funzioni Ellittiche

Le altre funzioni teta sono in relazione con H(u) mediante:

H1(u) = H(u+ I), Θ1(u) = Θ(u+ I)

Θ(u) = −iq1/4 exp(12πiu/I)H(u+ iI ′)

Θ1(u) = q1/4 exp(12πiu/I)H(u+ I + iI ′).

(A.8)

Segue che sn, cn e dn soddisfano le seguenti proprieta:

sn(−u) = −sn(u), cn(−u) = sn(u), dn(−u) = dn(u),

sn(u+ 2I) = −sn(u)

cn(u+ 2I) = −cn(u)

dn(u+ 2I) = dn(u)

sn(u+ 2iI ′) = sn(u)

cn(u+ 2iI ′) = −cn(u)

dn(u+ 2iI ′) = −dn(u)

(A.9)

e anche

sn(u+ iI ′) = (ksnu)−1

cn(u+ iI ′) = −idnu/(ksnu)

dn(u+ iI ′) = −icn(u)/snu

(A.10)

Citiamo ora un utile corollario del teorema di Liouville:

181

A.2 Identita algebriche

I II

I

I

2

2i

−

’

’i

Figura A.1: Rettangolo della “periodicita”.

se una funzione f(u) e doppiamente periodica (o anti-periodica) e analiti-

ca all’interno di una porzione rettangolare del piano complesso, ossia:

f(u+ 2I) = ±f(u), f(u+ 2iI ′) = ±f(u) dove 2I e 2I ′ rappresentano la lun-

ghezza dei due lati del rettangolo (vedi figura (A.1)), allora f(u) e costante

in tutto il piano complesso.

A.2 Identita algebriche

Valgono le seguenti identita algebriche:

cn2u+ sn2u = 1

dn2u+ k2sn2u = 1.

(A.11)

Queste identita suggeriscono l’utilizzo delle funzioni ellittiche di Jacobi per

parametrizzare espressioni che contengono radici quadrate di forme quadra-

tiche. Per esempio l’equazione:

y = x(1 − x2)1/2 + (1 − k2x2)1/2, (A.12)

182

Funzioni Ellittiche

si parametrizza agevolmente con la sostituzione

x = snu (A.13)

grazie alla quale equazione (A.12) diviene:

y = snucnu+ dnu. (A.14)

Da osservare che a meno che k2 = 0 oppure k2 = 1, questa parametrizzazione

non puo essere fatta con funzioni elementari.

Valgono inoltre le seguenti identita:

snI = 1, dnI = k′. (A.15)

e anche k2 + k′2 = 1.

A.3 Valori speciali di sn, cn, dn

Elenchiamo alcuni valori particolari delle funzioni ellittiche di Jacobi:

sn0 = 0, cn0 = dn = 1,

snI = 1, cnI = 0, dnI = k′,

sn 12iI ′ = ik−1/2, cn 1

2iI ′ = (1 + k−1)1/2, dn1

2iI ′ = (1 + k)1/2.

(A.16)

A.4 Identita differenziali e integrali

Possono risultare molto utili i seguenti risultati:1

limu→0

sn(u)/u = 1 (A.17)

Inoltre si puo invertire sn(u) ottenendo:

1per una prova dei quali si veda [5], capitolo 15.

183

A.5 Trasformazioni di Landen

u =

∫ snu

0

dt

[(1 − t2)(1 − k2t2)]1/2(A.18)

e definendo φ tale che snu = sinφ, si puo scrivere

u =

∫ φ

0

dα

(1 − k2 sin2 α)1/2. (A.19)

Ora mandiamo u→ I, e sfruttando snI = 1 otteniamo:

I =

∫ π/2

0

dα

(1 − k2 sin2 α)1/2. (A.20)

ossia I(k) e l’integrale ellittico completo del primo tipo. Una relazione ana-

loga vale per I ′ e k′, ossia:

I ′ =

∫ π/2

0

dα

(1 − k′2 sin2 α)1/2. (A.21)

A.5 Trasformazioni di Landen

In questa ultima sezione enunceremo brevemente le relazioni che vanno sotto

il nome di trasformazioni di Landen,2 che risultano di grande utilita nel caso

il cui il modello a otto vertici si riduca a due reticoli di Ising disaccoppiati.3

Esibiamo la dipendenza di q, I, I ′, snu, cnu, dnu et cetera dal modulo k

scrivendoli come qk, Ik, I′k, sn(u, k), cn(u, k), dn(u, k) ...

Se poi definiamo:

l = 2k1/2/(1 + k), (A.22)

allora valgono le seguenti relazioni:

Il = (1 + k)Ik, I ′l =1

2(1 + k)I ′k ql = q

1/2k (A.23)

Un testo nel quale si possono trovare numerose nozioni sulle funzioni ellittiche

e [55].

2o meglio, la parte di esse che ha rilevanza all’interno dell’elaborato.3si veda il capitolo 5.

184

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189

BIBLIOGRAFIA

190

Ringraziamenti

A questo punto e doveroso ringraziare i miei relatori Francesco Ravanini ed

Elisa Ercolessi per avermi condotto fino qui. Il loro aiuto e la loro guida

sono stati indispensabili, questa tesi non sarebbe stata possibile senza di

essi. Vorrei ringraziare inoltre le seguenti persone per tutto quello che mi

hanno insegnato in questi anni universitari: Roberto Soldati, Giorgio Velo,

Silvio Bergia, Fabio Ortolani, Roberto Balbinot, Roberto Zucchini, Giovanni

Venturi, Fiorenzo Bastianelli, Giovanni Carlo Bonsignori, Giovanni Feverati,

Davide Fioravanti, Enrico Onofri, Luca Griguolo, Silvana Marchi, Adriano

Tomassini, Stefania Donnini, Giovanni Cicuta, Mario Casartelli e tutti i pro-

fessori e ricercatori del dipartimento di fisica di Bologna e dei dipartimenti

di fisica e matematica di Parma.

Un ringraziamento particolare meritano i “milanesi” Enzo Miccio e France-

sco Zanlungo; Enzo e stato mio mentore durante i primi anni universitari,

Francesco mi ha lungamente aiutato durante le fasi di elaborazione e stesura

della tesi, senza i suoi consigli sarebbe stato tutto molto piu difficile.

Indispensabile e stato inoltre l’aiuto di Cristiano Osti e di tutto lo staff della

biblioteca di Fisica di via Irnerio, che mi hanno aiutato a reperire libri e

articoli, offrendo sempre grande disponibilita.

A questo punto mi preme ringraziare i miei genitori: il loro sostegno e aiuto e

stato indispensabile e insostituibile ormai dal lontano 1983, a loro e dedicata

questa tesi. Fondamentale e stato il sostegno di tutta la mia famiglia, dai

nonni Giancarlo, Laura, Umberto, Ermelinda agli zii e cugini.

Un particolare ringraziamento va inoltre ai miei parenti “acquisiti” Francesca

Donato Di Paola e Antonio Scozzafava, che mi hanno infuso la cultura dello

studio fin dai miei primi anni di eta.

Ringrazio anche tutti i miei amici, con i quali ho passato splendidi anni:

Lorenzo Ferrari (detto Fulgenzio), Emanuele Scozzafava, Cicci, Ricky e la

Gloria, Luca Giubellini (detto Giubbo), Luca Ugolotti (detto Bruno), l’Alfio

191

e la Veronica, il Muzzo, il Mengo, il Giulio, Andrea e Giovanni Capra, il

Fitto, Cesino e la Silvia C., Francesco ed Elisa Minari, la Betta, il Peuta,

Marcello Rodolfi, Lorenzo Burani, Sbabba, lo Zeppo, il Bigno e la Mavi, la

Silvia R. e tutti i ragazzi del quartiere San Lazzaro e del quartiere Sidoli, oltre

che tutti gli amici del collegio Alma Mater: Marco e Alice, Flavio, Pasquale,

Alessandra, Roberta A., Federica e Mario, Marco S., Vittorio, Roberta T.,

Alisia, Francesco Z., Romito F., il direttore Nicolli L., il signor Pietro, la

signora Lidia e tutto lo staff collegiale.

Un grande ringraziamento infine lo dedico a Ilaria (Buzzi): senza il suo amore

e il suo insostituibile aiuto non avrei passato i piu bei anni della mia vita.

Spero di passarne con te ancora molti altri.

entropia di entanglement e teoria dei campi ... - infn.it del crescente sviluppo degli studi sulla...

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