Entropie is niet wanorde Freddy Brugmans, Amsterdam, november 2015

1

De entropie van een systeem plus haar omgeving zal altijd toenemen - via uitwisseling van mechanische arbeid en

warmte tussen systeem en omgeving - tot een maximale waarde, die wordt bereikt bij thermisch evenwicht: dit is

de tweede hoofdwet van de thermodynamica.

Een wijdverbreid misverstand in populaire, maar ook veel wetenschappelijke publicaties - is de bewering, dat het begrip

entropie staat voor wanorde of chaos. Er zijn inderdaad gevallen waarin een toename van entropie gepaard gaat met een

afname van ordening; maar dit is beslist niet algemeen waar. Een voorbeeld waar de bewering bij toeval wel opgaat, is het

mengen van twee gassen als in een vat hun tussenschot wordt weggehaald: de ordelijke tweedeling verdwijnt en de gasdeeltjes

gaan chaotisch door elkaar bewegen.

Een tegenvoorbeeld is het roesten van ijzer. Roest is het roodbruine materiaal dat ontstaat wanneer ijzer reageert met zuurstof

in de aanwezigheid van water. De sterke structuur van ijzer, voortkomend uit de regelmatige ordening van ijzeratomen, neemt

door het roesten af. Een oorspronkelijk glad oppervlak maakt plaats voor een wirwar aan afbladderende delen. Uiteindelijk wordt

de hele ijzermassa omgezet in roest. Vaak wordt dit corrosieproces toegeschreven aan de onvermijdelijk toename van de

wanorde in het ijzer.

Entropietoename is inderdaad onvermijdelijk bij alle waarneembare processen, inclusief het roesten van ijzer. De denkfout is

echter, dat het roestende ijzer los van de omgeving kan worden beschouwd. De entropie van het systeem ijzer plus omgeving

neemt toe, maar de entropie van het ijzer neemt door vorming van ijzeroxide juist af!1 Roesten is een exotherme reactie,

waarbij warmte in de omgeving wordt opgenomen. De binnen het ijzer aanwezige energie spreidt zich bij het roesten over het

grotere volume van systeem plus omgeving.

Bio-systemen kunnen een lagere entropie krijgen, als o.a. zonne-energie zich spreidt over het grotere volume van systeem plus

omgeving. Expansie van een gas in haar omgeving leidt eveneens tot energiespreiding; in het voorbeeld van de mengende

gassen spreidt de energie van elk gas zich over het vatvolume. De entropie kan ook op een andere manier toenemen: toevoer

van energie aan een niet-groeiend totaal volume verhoogt de entropie ervan door meer spreiding in de inwendige energie van de

atomaire en moleculaire trillingen.

Entropietoename is dus altijd energiespreiding: energie spreidt zich gelijkelijk over meer mogelijke toestanden. Entropie is net

als energie een toestandsfunctie, d.w.z. is onafhankelijk van hoe de toestand bereikt wordt. Entropie is gedefinieerd als het

aantal microtoestanden, dat door n macrotoestand wordt gerepresenteerd. Entropie is het aantal bits ontbrekende informatie,

zoals positie, snelheid en trilfrequentie per deeltje. M.a.w. entropie is onzekerheid: de toevallige afwijking van het gewogen

gemiddelde van een meervoudige toestand.2

Entropie is onzekerheid vanwege onbekendheid.

1 Afname van bijna 550 J/K. Bron: D.F. Styer, Entropy and Rust, Am. J. Phys. 78, 1077 (2010) 2 H.S. Leff, Removing the Mystery of Entropy and Thermodynamics, Parts I-V, The Physics Teacher 50 (2012)

Entropie is niet wanorde Freddy Brugmans, Amsterdam, november 2015

2

Tot zover mijn uitleg over wat entropie is; nu volgt een verdieping over quantum-entropie.

Entropie is als statistisch begrip onlosmakelijk verbonden met het exact herkennen van patronen door een generieke

waarnemer: een mens, een meetapparaat of welk subject dan ook. Het exact herkennen van een patroon is het comprimeren

van een reeks bits tot een algoritme dat het patroon logisch beschrijft. Nu blijken er altijd bits te zijn die met geen enkel ten

volle uitrekenbaar algoritme comprimeerbaar zijn: zij vormen de noodzakelijk ontbrekende informatie. Exacte waarneming van

een deel, is meer onzekerheid over het geheel.

Statistiek heeft als uitgangspunt het ergodisch principe: als elke informatie ontbreekt, hebben alle mogelijke toestanden van

een systeem een gelijke kans. Over het begrip kans later meer: een experiment heeft altijd maar n echte uitkomst. Bij een

experiment aan een quantumdeeltje is het enig mogelijke antwoord ja f nee; maar welk antwoord het wordt, is niet exact te

voorspellen. Deze onvoorspelbaarheid is een onontkoombare onbekendheid. Over meerdere experimenten middelen de echte

antwoorden uit tot een optelbare kansfunctie, die wel precies de kansen voorspelt op de mogelijke keren ja n nee.

Er is een optelbare kansfunctie met de eigenschap dat de kans nul is, dat op dezelfde vraag aan elke kant van een

quantumverstrengeld paar een verschillend gemeenschappelijk antwoord wordt gegeven. De statistische samenhang in zon

paar heeft geen logisch-denkbaar achterliggend mechanisme. Slechts het toevallige antwoord van de n legt de ander vast. Uit

experimenten aan zulke paren blijkt, dat de lengtesom van twee driehoekszijden niet groter hoeft te zijn dan de derde

zijdelengte! Deze quantumlogica verrast iedereen.

De uit quantumlogica voortvloeiende onzekerheid noemt men quantuminformatie: de entropie als gevolg van de meervoudige

toestand van een quantumdeeltje. Het klassiek-logische perspectief op de wereld is onverenigbaar met de volgens exacte

waarneming correcte quantumlogica3. Terwijl klassieke informatie in essentie het resultaat van kopiren is, valt

quantuminformatie niet te kopiren4. Deze eigenaardigheid van quantuminformatie ligt ten grondslag aan de noodzakelijke

entropietoename5 bij meting aan quantumdeeltjes.

Quantummeting leidt zo onvermijdelijk tot het overschrijven van bits in macroscopische geheugens. Een veel gemaakte denkfout

is, dat de quantumtheorie zelf ook van toepassing is binnen het macroscopische domein. De bij de beschrijving van

quantumdeeltjes relevante constante van Planck heeft echter een volstrekt verwaarloosbaar effect bij het rekenen aan o.a. het

roesten van ijzer. Berekening van de thermodynamische entropieverandering (in J/K) op basis van klassieke informatie over de

chemische reactanten volstaat.

Quantumentropie is onvoorspelbaarheid vanwege onontkoombare onbekendheid.

3 Niettemin zou de onderliggende logische structuur niet-statistisch van aard kunnen zijn. Bron: Gerard t Hooft, The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics, arXiv:1405.1548v2 (2014) 4 Het no-cloning theorema voor ongekende toestand komt overeen met het Heisenberg onzekerheidsprincipe 5 In klassieke zin leidt reset van het meetapparaat tot energiespreiding via onomkeerbare warmte-dissipatie. Bron: Rolf Landauer, The physical nature of information, Physics Letters A 217, 188-193 (1996)

Entropie is niet wanorde Freddy Brugmans, Amsterdam, november 2015

3

Tot slot: entropie is exact gedefinieerd, doch tch een raadsel.

Entropie (onzekerheid) is door Claude Shannon statistisch gedefinieerd als de verwachtingswaarde van informatie, d.w.z. het

gewogen gemiddelde van het aantal mogelijke uitkomsten uit een experiment, uitgedrukt in bits. M.a.w. entropie is het aantal

bits aan nog te verkrijgen informatie, volgens de kansverdeling van het aantal mogelijke uitkomsten. Als de uitkomst vooraf

zeker is, dan is de entropie nul. Een experiment levert veel informatie bij een kleine kans vooraf op een vastgestelde uitkomst.

De entropie H van een stochastische variabele X met n mogelijke uitkomsten {x1, ..., xn} met discrete kansen p is de functie

De - uitgaande van een gelijke kans op elke mogelijke uitkomst - uniforme kansverdeling met n mogelijke uitkomsten geeft de

maximale entropie H(u) = 2log(n). De onzekerheid vooraf is hier maximaal, omdat een gelijke kans p = 1/n op elke mogelijke uitkomst uiterst klein is.

De entropie H van een stochastische variabele X met een continue kansverdeling van uitkomsten met dichtheidsfunctie f(x) is de

functie

De - uitgaande van een oneindig aantal mogelijke uitkomsten - normale kansverdeling f(x) met een gegeven

verwachtingswaarde en variantie 2 geeft de maximale entropie H(f):

Volgens de variatierekening geldt bij dezelfde variantie H(f) > H(u): de maximale entropie van een wegens correlatie normaal

verdeelde, continue stochast is groter dan die van de uniform verdeelde, discrete stochast. Misschien verklaart deze ongelijkheid

onze aandacht voor correlatievorming via continue verschijnselen. Ongelijkheid en oneindigheid zijn echter zuiver wiskundig

gedefinieerde begrippen; een juiste fysische interpretatie van deze begrippen, alsmede van het statistische begrip kans, is verre

van vanzelfsprekend. Zo heeft het statistische begrip kans niets te maken met keuzevrijheid; zelfs niet met het bestn van

een keuze. Geloof in goden en de perceptie van een zelf met vrije wil impliceren de foutieve aanname, dat er een toekomst

onafhankelijk van fysische oorzaken gekozen wordt. De bewering dat deze aanname nodig is voor verantwoordelijk gedrag is

onjuist, omdat sociale gedraging louter intutief vertrouwen in mensen behoeft. Het is juist de cultuur van het afschuiven van

verantwoordelijkheid die maakt, dat de aanname zo populair is; maar dit terzijde. Statistiek gaat uit van het ergodisch principe

dat alle - mogelijk oneindig veel - microtoestanden gelijke kans hebben, simpelweg omdat de toestanden onbekend zijn. Ludwig

Boltzmann, de grondlegger van het fysische entropie-begrip, gebruikt het begrip kans eveneens voor het onbekend zijn van de

microtoestand van een (ideaal) gas. Warmteleer is een niet-reductionistische theorie en de statistisch-mechanische interpretatie

gaat ervan uit, dat alle - mogelijk oneindig veel - microtoestanden even onbekend kunnen zijn. Dit uitgangspunt maakt een

beschrijving mogelijk van de toestand na dissipatie van warmte in termen van toegenomen entropie van systeem plus omgeving.

Deze theorie introduceert met zijn praktische, maar niettemin onbewezen uitgangspunt een schijnbare onomkeerbaarheid.

Binnen de quantumtheorie staat kans voor het vooraf onontkoombaar onbekend zijn van de exacte quantumtoestand. Deze

onontkoombare onbekendheid is te verklaren uit het feit, dat de mens via zijn preparatie van een quantumexperiment deel

uitmaakt van het totale quantumsysteem. Men spreekt van het schijnbaar ineenstorten van de golffunctie als de preparatie het

toelaat sommige informatie te verkrijgen. Onomkeerbaarheid en ineenstorting staan haaks op de oorzakelijke verbondenheid6

volgens de natuurwetten. Waar het ten diepste om draait is de onvoorspelbaarheid van een toestand. We spreken van een

complex systeem als het systeem als geheel (zoals een mens) onvoorspelbare (emergente) eigenschappen heeft, in de zin dat

ze niet voortvloeien uit de eigenschappen van de onderdelen. Deze onvoorspelbaarheid is in alle dynamische systemen aanwezig

in de vorm van niet-lineariteit van fysische variabelen. De chaostheorie laat echter zien, dat een dynamisch systeem slechts

schijnbaar wanordelijk hoeft te zijn: de chaotisch ogende structuur kan deterministisch voortkomen uit een wiskundig algoritme,

maar de precieze uitkomst is dan toch methodisch onvoorspelbaar. Oorzakelijkheid betekent daarom nog geen voorspelbaarheid:

er kan vooraf slechts een statistische verwachting worden uitgesproken, zoals bij de niet altijd correcte weersverwachting.

6 De oorzakelijke verbondenheid heeft wellicht een zuiver wiskundige, niet-statistische grondslag. Volgens de hypothese van kosmische inflatie zijn met buiten onze waarnemingshorizon verstrengelde qubits overgebleven. Ze vormen de vacumenergie (en donkere materie?) op de Planck-schaal. De maximale entropie van ons heelal nam door de inflatie zeer snel toe. Ook door de waargenomen huidige versnelde uitdijing bereikt steeds minder straling ons, wat de schijnbare pijl van de tijd kan verklaren. Bronnen: Sean Caroll, From Eternity to Here (2010); Max Tegmark, Our Mathematical Universe (2014).