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阳帅上海版四年级暑假作业

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爱数学，爱刘阳

2015-7-11

学而思网校

2015-阳帅四年级上海版

暑期作业

姓名_________

学校_________

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写给学习奥数的小朋友和爸爸妈妈的一封信

首先，欢迎加入阳帅的数学课堂，希望在这里，可以得到你想要的，收获知识，培养兴趣，

喜欢上数学学习。

和大家一样，我也是很小就开始接触奥数的学习，并且也在省级比赛中获得了一些奖项，上

学期间奥数给我带来了很多荣耀，大学毕业之后，从事的工作也和奥数密切相关。

不管是自己学，还是教孩子们学，我都有一个深刻的体会，其实奥数的学习是一项技能的学

习，要想学好，唯一的诀窍就是多练习，所以在暑期班，老师给大家送上一份暑期作业，希望大

家认真完成。

另外我再推荐一些比较好的习题集，《数学思维训练汇编》，《高思学校竞赛数学导引（详解

升级版）》，《计算秘籍》，《奥数精讲与测试》，这些书都可以在京东上搜到。我推荐的这些习题集，

大家不用都买，做完一本其实已经是很棒的事情了，做到不会的题目可以看看详解，也可以在

qq 群中向我咨询。

最后，祝同学们越来越好，加油！爱你们大家！

刘阳

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第一讲:整数与数列（一）

【本讲知识点】

平方差公式基本知识：

平方差公式：a2－b2＝（a＋b）×（a－b）

阳帅友情提示:

平方差公式是四年级学习的一种新的计算方法，而且我们在小学阶段证明平方差

公式的方法也非常有趣，采取了数形结合的方法。

看到题目中有两个平方做差，或者两个数做乘法，一般都会用到平方差公式。

【随堂练习】

1. （★）计算：10112－112＝_____

2. （★）计算：196×204＝______

3. （★★）计算：（992＋952＋912＋„＋72＋32）－（972＋932＋892＋„＋52＋12）

4. （★★）计算：50×50＋51×49＋52×48＋53×47＋54×46＋55×45

5. （★★☆）如图，大正方形的面积比小正方形的面积大 40平方厘米，大正方

形的边长和小正方形的边长之和是 20 厘米，那么大正方形的面积是多少平方厘

米？

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6. （★★☆）观察下列各式：

（x－1）×（x＋1）=x2－1

（x－1）×（x2＋x＋1）=x3－1

（x－1）×（x3＋x2＋x＋1）=x4－1

根据前面各式的规律可得

（x－1）×（x9＋x8＋„„＋x＋1）=_______

7. （★★☆）平方差公式的证明方法是数形结合，那么根据下面的图形，计算

（a＋b）×（c＋d）＝______。

8. （★★★）采取数形结合的方法，计算（a＋b＋c）×（d＋e＋f）

9. （★★★）已知 a2－b2＝60，并且 a 和 b 都是自然数，那么 a 和 b 有几组不

同的情况？

10. （★★★☆）（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）

b

d

c

a

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【练习解析与答案】

1.

10112－112＝（1011＋11）×（1011－11）＝1022×1000＝1022000

2.

196×204＝（200－4）×（200＋4）＝200×200－4×4＝40000－16＝39984

3.

（992＋952＋912＋„＋72＋32）－（972＋932＋892＋„＋52＋12）

＝（992－972）＋（952－932）＋（912－892）＋„„＋（72－52）＋（32－12）

＝（99－97）×（99＋97）＋（95－93）×（95＋93）＋（91－89）×（91＋89）

＋„„＋（7－5）×（7＋5）＋（3－1）×（3＋1）

＝2×（99＋97）＋2×（95＋93）＋2×（91＋89）＋„„＋2×（7＋5）＋2×

（3＋1）

＝2×（99＋97＋95＋93＋91＋89＋„„＋7＋5＋3＋1）

＝5000

4.

50×50＋51×49＋52×48＋53×47＋54×46＋55×45

＝50×50＋（50＋1）×（50－1）＋（50＋2）×（50－2）＋（50＋3）×（50

－3）＋（50＋4）×（50－4）＋（50＋5）×（50－5）

＝50×50×6－1×1－2×2－3×3－4×4－5×5

＝14945

5.

不妨设大正方形的边长是 a，小正方形的边长是 b，

则 a2－b2＝40，a＋b＝20

根据平方差公式，a－b＝2

a＝11，大正方形的面积是 121

6.

通过观察可得，（x－1）×（x9＋x8

＋„„＋x＋1）=x10－1

7.

根据大长方形的面积等于四个小长方形的面积之和，（a＋b）×（c＋d）＝ac＋

ad＋bc＋bd

8.

画出长方形，如图所示

（a＋b＋c）×（d＋e＋f）＝ad＋ae＋af＋bd＋be＋bf＋cd＋ce＋cf

f

e

a c

d

b

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9.

a2－b2＝（a＋b）×（a－b）＝60，并且 a＋b和 a－b的奇偶性相同

a＋b＝30，a－b＝2

a＋b＝10，a－b＝6

一共两种情况

10.

（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）

＝（2－1）×（2＋1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）

＝（22－1）×（22＋1）×（24＋1）×（28＋1）

＝216－1

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第二讲:整数与数列（二）


平方和公式基本知识：

平方和公式：12＋22＋32＋„＋n2＝n×（n＋1）×（2n＋1）÷6

阳帅友情提示:

平方和公式的证明非常经典，这种“踢三角”的方式同学们要学会。

平方和公式的使用必须满足两个条件，第一，从 1的平方开始，第二，连续自然

数的平方。如果不满足这两个要求的平方和，必须转化成满足要求的平方和，才

能使用公式。本讲的重点，平方和公式的考点是学会如何转化，主要的转化方式

就是填补和提取公因数。

本讲的计算都会有很多个数相加减，同学们一定要书写好过程，分解步骤，不要

一步直接得到答案。

【随堂练习】

1. （★）计算：12＋22＋32＋„„＋992＋1002＝_____

2. （★）计算：112＋122＋132＋„„＋492＋502＝_____

3. （★☆）计算：52＋102＋152＋„„＋652＋702＝_____

4. （★★）计算：3×7＋6×14＋9×21＋„„＋60×140＝_____

5. （★★☆）计算：12＋22＋42＋52＋72＋82＋102＋„„＋442＋462＋472＋492＋

502＝_____

6. （★★☆）计算：1×2＋2×3＋3×4＋„„＋39×40＋40×41＝_____

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7. （★★★）

理解计算方法并模仿计算：

1×7＋2×5＋3×3＋4×1

＝7＋5＋5＋3＋3＋3＋1＋1＋1＋1

＝（1＋3＋5＋7）＋（1＋3＋5）＋（1＋3）＋（1）

＝42＋32＋22＋12

＝30

1×19＋2×17＋3×15＋4×13＋5×11＋6×9＋7×7＋8×5＋9×3＋10×1＝

_____

8. （★★★☆）1×20＋2×19＋3×18＋„„＋19×2＋20×1＝_____

9. （★★）已知 13＋23＋33＋43＋„„＋n3＝（1＋2＋3＋„„＋n）2，计算：13

＋23＋33＋43＋„„＋203＝_____

10. （★★★）根据上一道题目中提供的立方和公式，计算：23＋43＋63＋83＋„„

＋303＝_____

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【练习解析与答案】

1.

12＋22＋32＋„„＋992＋1002

＝100×（100＋1）×（200＋1）÷6

＝338350（有些常见的结果希望同学们可以记住）

2.

112＋122＋132＋„„＋492＋502

＝（12＋22＋„„＋102＋112＋122＋132＋„„＋492＋502）－（12＋22＋„„＋102）

＝50×51×101÷6－10×11×21÷6

＝42925－385

＝42540

3.

52＋102＋152＋„＋652＋702

＝5×5×（12＋22＋„„＋142）

＝5×5×14×15×29÷6

＝25375

4.

3×7＋6×14＋9×21＋„„＋60×140

＝3×7×（12＋22＋„„＋202）

＝3×7×20×21×41÷6

＝60270

5.

12＋22＋42＋52＋72＋82＋102＋„„＋442＋462＋472＋492＋502

＝（12＋22＋„„＋492＋502）－（32＋62＋„„＋482）

＝50×51×101÷6－3×3×16×17×33÷6

＝42925－13464

＝29461

6.

1×2＋2×3＋3×4＋„„＋39×40＋40×41

＝1×1＋2×2＋3×3＋„„＋39×39＋40×40＋1＋2＋3＋„„＋39＋40

＝40×41×81÷6＋（1＋40）×40÷2

＝22960

7.

1×19＋2×17＋3×15＋4×13＋5×11＋6×9＋7×7＋8×5＋9×3＋10×1

＝102＋92＋82＋„„＋22＋12

＝10×11×21÷3

＝385

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8.

1×20＋2×19＋3×18＋„„＋19×2＋20×1

＝1×（21－1）＋2×（21－2）＋3×（21－3）＋„„＋19×（21－19）＋20

×（21－20）

＝1×21＋2×21＋3×21＋„„＋19×21＋20×21－（1×1＋2×2＋3×3＋„„

＋19×19＋20×20）

＝21×（1＋2＋3＋„„＋19＋20）－20×21×41÷6

＝1540

9.

13＋23＋33＋43＋„„＋203

＝（1＋2＋3＋4＋„„＋20）2

＝44100

10.

23＋43＋63＋83＋„„＋303

＝2×2×2×（13＋23＋33＋43＋„„＋153）

＝2×2×2×（1＋2＋3＋4＋„„＋15）2

＝115200

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第三四讲:抽屉原理与最不利原则


抽屉原理基本知识：

抽屉原理 1:将 n＋1 个苹果任意放到 n个抽屉中，那么保证必然有一个抽屉中的

苹果至少有 2个。

抽屉原理 2:

将 m个苹果任意放到 n个抽屉中，那么保证必然有一个抽屉中的物品的件数至少

有 m÷n＋1个。

阳帅友情提示:

抽屉原理是在论证中非常重要的一个原理，主要用于说明“必定存在”的问题，

理论性很强，需要同学们多运用，多熟练。

【随堂练习】

1. 任意 40个人中，至少肯定有几个人属于同一生肖？

2. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都

足够多，一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相同？

3. 某校的小学生中，年龄最小的 6岁，最大的 13岁，从这个学校中至少选几个

学生，就能保证其中一定有三个学生的年龄相同？

4. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各 10 支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那

么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有 4支是同一种颜色的铅笔？

5. 口袋里装有红、黄、蓝、绿这 4 种颜色的球，且每种颜色的球都有 4 个，小

华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球

中每种颜色的球都有？

6. 一副扑克牌共 54 张，其中有 2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块 4种花

色的牌各 13张，那么：

（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？

（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有 3张牌是红桃？

（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有 5张牌是同一花色的？

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7. 把 40 块巧克力放入 A、B、C、D 四个盒子内，如图，A 盒中放的最多，放了

13块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：

（1）D 盒最少可以装几块？

（2）D 盒最多可以装几块？

8. 圆桌周围恰好有 12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐，当再有一人入座

时，就肯定会和已经就坐的某个人相邻，问：已经就坐的最少有多少人？

9. 一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有

放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一

格内？

10. 一个鱼缸里有很多条鱼，共有 5个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其

中有 5条相同品种的鱼？

11. 冬冬把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出 4 枚棋子，那

么他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋

子有黑、白两种颜色）

12. 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有 10 个，黄色的

有 8个，蓝色的有 3个，绿色的有 1个，请问：

（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？

（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？

13. 黑色、白色、黄色、红色的筷子各有 8 根，混杂放在一起，在黑暗中取出一

些筷子。要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双），

那么最少要取多少根才能保证达到要求？

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14. 将 1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和 9 只绿袜子放入一

个布袋里，请问：

（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？

（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只

袜子颜色相同即为一双）

15. 现有 10 把钥匙分别能开 10把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁。最少

要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？

16. 体育馆里有足球、篮球和排球 3 种球，一个班的 50 名学生去借球，每人最

少借 1个，最多可以借 2个，请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全

一样？

17. 有 37个数，每个数为 0或 1。要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周

上时，总能找到 6个 1连排在一起，问：其中最少有多少个数是 1？

18. 新春佳节，商场举办抽奖活动，抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有

32、30、28、26、24 张，每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付 2元钱，

奖励方式如下：用 15 张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用 11张同色的

奖券换一架相同颜色的坦克模型，用 4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模

型。请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色

互不相同？

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【练习答案】

1. 4

2. 5

3. 17

4. 13

5. 13

6. （1）42 （2）44 （3）19

7. 最少 4块，最多 8块

8. 4

9. 5

10. 21

11. 取出黑子的情况可以是 4枚，3枚，2枚，1枚，0枚共 5种情况，所以要去

2×5＋1＝11（次）

12. （1）19 （2）15

13. 4＋1＋2＝7（根）两双筷子并不一定颜色相同

14. （1）13 （2）14

15. 45

16. 6

17. 考虑最不利情况，即 0111110111110„„这样的情况，1个 0和 5 个 1搭配，

用去了 36个数字，再增加一个 1就可以满足题目要求。所以最少 31 个 1。

18. 32＋10＋10＋10＋10＋1＝73（张） 73×2＝146（元）

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第八讲:几何计数


几何计数基本方法：

分类枚举：按大小分类，按形状分类，对应法分类

运用加乘原理，排列组合，容斥原理这些工具进行快速计数

阳帅友情提示:

分类时要注意不重不漏，考虑全面，几何计数不难，但是想做对，很有挑战。

【随堂练习】

1. （★★）从一张大方格纸上剪下 5 个相连方格（只有一个公共顶点的两个方

格不算相连），共能剪出_______种不相同的图形（经过旋转或翻转也相同的图形

视为同一种）。

2. （★★★）如图是一个由 9 个点组成的点阵，那么以图中 3 个点为顶点的直

角三角形有_______个。

3. （★★★）有几种方法将下图中的 1 个 3×3 的正方形 ABCD 分成一个 1×1

的正方形和四个 2×1的长方形？

4. （★★）由 35个单位小正方形组成的长方形中，如图所示有两个“★”，问：

包含两个“★”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？

D

CB

A

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5. （★）用同样大小的正方体小木块堆成的立体如下图所示，那么共用了_______

块小正方体。

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【练习答案】

1. 12种，如下图

2. 44个

3. 18种

4. 72个

5. 50块

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第九讲:平行四边形与梯形


四边形基本知识：

面积公式：

正方形：边长×边长

长方形：长×宽

平行四边形：底×高

梯形：（上底＋下底）×高÷2

三角形：底×高÷2

阳帅友情提示:

本讲的面积计算主要是以公式为主，灵活运用公式，学会正向逆向使用公式，是

本讲的训练重点。

几何在初等数学学习中占据了半壁江山，同学们要培养良好的图形感，培养正确

的解题方法，思考习惯。

【随堂练习】

1. （★）在平行四边形 ABCD中，E为 BC边上的任意一点，平行四边形 ABCD的

面积是 100，那么△AED的面积是多少？

2. （★）图中平行四边形的面积是 18平方米，那么平行四边形的周长是多少？

3. （★☆）如图，将一个长为 18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且

梯形面积的面积是三角形的 5倍，那么三角形底边 BE的长是多少？

B

CD

E

A

A

B C

D

E

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4. （★☆）有 10张长 3厘米，宽 2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在

桌面上，那么这 10 张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？

5. （★★☆）三张正方形的纸片铺在桌面上如图所示，其中任意两条相交线段

之间的夹角都是直角，而各条线段的长度在图中标出，单位是厘米。那么它们一

共遮盖的面积是多少平方厘米？

6. （★★☆）如图，一个平行四边形的一边长 15厘米，这条边上的高为 6厘米，

一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差 18平方厘米。那么其

中梯形的上底是多少厘米？

7. （★★★）一个面积为 900 的正方形被 8 个相同的长方形围起来，形成的大

正方形的外周长为 264，那么小长方形的面积为______。

1 1

2 2

4

4

6

15

6

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8. （★★★☆）下图中 ABCD是直角梯形，AB长是 40厘米，三角形 ADE和三角

形 EBC 是等腰直角三角形，梯形 ABCD 的面积比长方形 DECF 的面积大 80 平方厘

米，求三角形 ADF的面积。

9. （★★★★）如图，直角梯形 ABCD中，AB15厘米，BC12厘米，AE垂直于

AB，阴影部分的面积为 15平方厘米。问梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？

10. （★★★★）下面的图形由边长为 8，12，10 的正方形构成，直线 AB 将这

个图形分成了 2个面积相等的部分，则 BC是_______。

A

B C

A B

C D E

A D

C B

F

E

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【练习答案】

1. 50

2. 24米

3. 6

4. 24平方厘米

5. 58平方厘米

6. 3厘米

7. 432

8. 180平方厘米

9. 198平方厘米

10. 1

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附赠讲:体育比赛中的数学问题


体育比赛基本知识：

1. 基本赛制：

淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，胜者之间再按前述规则比赛定胜负

单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分

双循环赛：每两个队之间都要比赛两场，有主客场之分

2. 场数计算（n支队伍参赛）：

淘汰赛：n－1

单循环赛：n×（n－1）÷2

双循环赛：n×（n－1）

3. 积分计算（n场比赛）：

2-1-0积分：总得分 2n分

3-1-0积分：总得分在 2n~3n之间

4. 体育比赛中的逻辑推理解题一般步骤：

（1）确定场数，计算总得分或总得分的范围

（2）确定每队得分

（3）根据胜负场数确定每队每场比赛情况

阳帅友情提示:

1. 体育比赛中的数学问题实际上就是计数和逻辑推理的结合，知识点比较多，

也比较杂，同学们要把基础学扎实。

2. 体育比赛中的数学问题经常会出现在各种杯赛的压轴题中，同学们要学会把

一道复杂问题进行分解。

【随堂练习】

1. （★）10支参赛队进行单循环赛，每支队都要和其他队伍比赛一场，那么每

支队伍要比赛几场？10支队伍一共比赛了多少场？

2. （★）人大附小组织了一次投篮比赛，规定投进一球得 3 分，投不进倒扣 1

分。小亮投了 5个球，投进了 3个。那么，他应该得多少分？

3. （★☆）有 8 个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那

么冠军胜了几局？

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4. （★★☆）三人轮流打乒乓球，每场两人上场，输者退下换另一人，这样继

续下去，在甲打了 6场，乙打了 3场时，丙最多打几场？

5. （★★☆）编号为 1，2，3，4，5，6的六个运动员进行乒乓球单循环赛。到

现在为止，编号为 1，2，3，4，5的运动员已参加比赛的场数正好分别等于他们

的编号数。编号为 6的运动员已经赛了几场？

6. （★★★）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜

者得 2分，平局各得 1 分，输者得 0分。结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后

一名，那么乙得几分？

7. （★★★）四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规

定胜一局得 2分，平一局得 1分，负一局得 0分。如果每个人最后得的总分都不

相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？

8. （★★★★）四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场，如果踢平，

每队各得 1分，否则胜队得 3分，负队得 0 分，比赛结果，各队的总得分恰好是

四个连续的自然数，问：输给第一名的队的得分是多少？

9. （★★★★）四年级三个班举行运动会。设跳高，跳远和百米三项，各项算

每班总成绩，第一名得 5分，第二名得 3分，第三名得 1分。已知一班和二班总

分相等且并列第一名。那么，三班的得分是多少分？

10. （★★★★）世界杯预选赛上,德国队,意大利队和荷兰队进行循环赛。每一

队与另外两队各赛一场。现在知道：德国队两胜，进 6球 2球；意大利队一胜一

负，进 4球失 4球；荷兰队两负，进 2球失 6球。那么，德国队与意大利队比赛

的比分是_______。

400-800-2211


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【练习答案】

1. 9场 45场

2. 7分

3. 7局

4. 5场

5. 3场

6. 3分

7. 3局

8. 4分

9. 5分

10. 3：1

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