問題解答quiz 5-4. 総費用関数 c(y) = y2 ¡9y +52 生産量 y 0 1 2 5 10 100 総費用 c(y)...
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問題解答
1 論理と集合
練習問題
Ex 1-1. (a) 明日大学に行ったとすれば，雨は降っていない
(b) 需要が増えたのは，価格が下がったからである．
(c) 合格しなかったのは，勉強しなかったからである．
(d) 合格したのは，勉強したからである．
Ex 1-2. (b)と (d)は集合であるが，(a)と (c)は集合ではない．
Ex 1-3. (a) x ≤ 1ならば，x ≤ 2である．
(b) 携帯電話の（割引考慮前の）通話料は 1ヶ月で 2万円以下であれば，携帯電話で 1
時間以上話さない日がある．
(c) 大学を卒業できる学生であれば，英語の成績は「可」以上である．
演習問題
Problem 1-1. 命題「平家にあらずんば人にあらず」: a /∈ A ⇒ a /∈ B
対偶命題「人であれば平家である」: a ∈ B ⇒ a ∈ A
Problem 1-2. A = 1, 3, 5, B = 2, 4, 6, A ∩B = φ, A ∪B = Ω
Problem 1-3. (a) 「xが 1未満かつ yが 1未満であるならば，x + y < 2.」
(b) 「xが 1未満かつ yが 1未満」を式で表せば，x < 1, y < 1．辺々を足せば，
x + y < 1 + 1 = 2.
復習問題
Quiz 1-1. (a) ∀x ∈ N, x ≥ 0
(b) ∃x ∈ Z, x < 0
(c) ∀a ∈ R++ = b ∈ R | b > 0,∃x ∈ N, 1/x < a
(d) ∀x ∈ Q, ∃n ∈ Z,∃m ∈ N, x = nm
Quiz 1-2. (a) 十分条件
(b) 必要条件
(c) 必要十分条件
Quiz 1-3. (a) 「xが非負かつ yが非負であるならば，x + y ≥ 0.」
(b) 「xが非負かつ yが非負」を式で表せば，x ≥ 0, y ≥ 0．辺々を足せば，x + y ≥0 + 0 = 0.
Quiz 1-4. (a) A
1
(b) A ∩B
Quiz 1-5. (a) 1, 2, 3, 1, 2, a, 1, 2, b, 1, 3, a, 1, 3, b, 2, 3, a, 2, 3, b, 1, a, b, 2, a, b, 3, a, b(b) 1, 2, a, 1, 2, b, 1, 3, a, 1, 3, b, 2, 3, a, 2, 3, b, 1, a, b, 2, a, b, 3, a, b(c) 1, 2, a, 1, 2, b, 1, 3, a, 1, 3, b, 2, 3, a, 2, 3, b
Quiz 1-6. (a) (H, H,H), (T,H, H), (H, T, H), (H, H, T ), (T, T, H), (T, H, T ), (H, T, T ), (T, T, T )
(b) A = (H,H, H), (H, T, H), (H, H, T ), (H, T, T )B = (T, H,H), (H, T, H), (H, H, T )A ∩B = (H, T, H), (H, H, T )A ∪B = (H, H, H), (H, T, H), (H,H, T ), (H, T, T ), (T,H, H)
Quiz 1-7. 奇数の集合を A，偶数の集合を Bとする．1番目の命題「xは偶数でなく，かつ奇数
でないならば，xは整数ではない」を記号で表せば，
x ∈ Ac ∩Bc =⇒ x /∈ Z
であり，2番目の命題「整数は偶数か奇数かのどちらかである」を記号で表せば，
x ∈ Z =⇒ x ∈ A ∪B = (Ac ∩Bc)c
である (最後の等号はドモルガンの法則より). 2番目の命題は 1番目の命題の対偶命
題であるので，両者は同値である．
2 写像・ベクトル・行列
練習問題
Ex 2-1. (a) 21 (b) 91
Ex 2-2. (a)
(1 2
3 4
) (2
−1
)=
(1× 2 + 2× (−1)
3× 2 + 4× (−1)
)=
(0
2
)
(b)
(1 2
3 4
)(6 5
4 3
)=
(1× 6 + 2× 4 1× 5 + 2× 3
3× 6 + 4× 4 3× 5 + 4× 3
)=
(14 11
34 27
)
(c)
(6 5
4 3
)(1 2
3 4
)=
(6× 1 + 5× 3 6× 2 + 5× 4
4× 1 + 3× 3 4× 2 + 3× 4
)=
(21 32
13 20
)
Ex 2-3. (a) (0, 1) (b) (1,−1) (c) (−2, 1) (d) (2, 1)
演習問題
Problem 2-1. p · q ≤ 1000
Problem 2-2. 行列で表現すると，(
x
y
)=
(0.1 0.5
0.5 0.2
)(X
Y
)
2
(X,Y ) = (30, 50)の場合，(
x
y
)=
(0.1 0.5
0.5 0.2
) (30
50
)=
(0.1× 30 + 0.5× 50
0.5× 30 + 0.2× 50
)=
(28
25
)
(X,Y ) = (50, 30)の場合，(
x
y
)=
(0.1 0.5
0.5 0.2
) (50
30
)=
(0.1× 50 + 0.5× 30
0.5× 50 + 0.2× 30
)=
(20
31
)
Problem 2-3. (a) Sn =∑n
k=1 kとする．順番に足せば Sn = 1 + 2 + · · ·+ n
足す順序を逆にすれば Sn = n + (n− 1) + · · ·+ 1
辺々を足すと， 2Sn = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) = n(n + 1)となり，Sn =
∑nk=1 k = 1
2n(n + 1)が得られる．
(b) a 6= 1とする．
(a−1)(1+a+ · · ·+an) = (a+a2 + · · ·+an+1)− (1+a+ · · ·+an) = an+1−1
であるから，∑n
k=0 ak = 1−an+1
1−a (a 6= 1)が得られる．
復習問題
Quiz 2-1. 100個入り箱のミカン 1個あたりの値段は 45円で，ミカン 1個の値段 50円とは異な
るので，線形ではない．
Quiz 2-2. (a)
(0
1
)(b)
(−1
1
)(c)
(2
1
)(d)
(1
0
)(e)
(2
1
)(f)
(−1
−2
)
Quiz 2-3. (a)
(3 2
2 1
)(b)
(16 11
9 6
)(c)
(16 44
13 36
)
Quiz 2-4. (a)
(9 7
6 4
)(b)
(7 7
8 8
)(c)
(5 1
3 0
)
Quiz 2-5. (a) (0, 3) (b) (−3, 2) (c) (2,−1) (d) (1,−2)
Quiz 2-6. Q ·P ≤ 200000
Quiz 2-7. (X, Y ) = (30, 50)の場合，(x, y) = (11.2, 22.2).
(X, Y ) = (50, 30)の場合，(x, y) = (8, 21)
Quiz 2-8. 左辺を 2乗すると，(|x|+ |y|)2 = |x|2 + |y|2 + 2|x||y|.一方，右辺を 2乗すると，|x + y|2 = |x|2 + |y|2 + 2x · y.
x · y = |x||y| cos θ ≤ |x||y|より，(|x|+ |y|)2 ≥ |x + y|2.|x + y| ≥ 0であるので，両辺の平方根をとれば，|x|+ |y| ≥ |x + y|.
3
3 連立方程式
練習問題
Ex 3-1. (a) det
(1 2
3 4
)= 1× 4− 2× 3 = −2 (b) det
(6 5
4 3
)= 6× 3− 5× 4 = −2
(c) det
(a c
0 b
)= a× b− c× 0 = ab (d) det
(1 1
2 2
)= 1× 2− 1× 2 = 0
(e) det
(1 2
1 2
)= 1× 2− 2× 1 = 0
Ex 3-2.
(a)
(x
y
)=
(1 2
2 1
)−1 (8
7
)= −1
3
(1 −2
−2 1
)(8
7
)= −1
3
(−6
−9
)=
(2
3
)
(b) 行列式 = 0なので，解なし
(c)
(x
y
)=
(1 2
4 2
)−1 (8
7
)= −1
6
(2 −2
−4 1
)(8
7
)= −1
6
(2
−25
)=
(−1
3256
)
Ex 3-3.
x = (I −A)−1b =
(0.9 −0.25
−0.8 0.5
)−1 (110
180
)=
10.25
(0.5 0.25
0.8 0.9
) (110
180
)=
(400
1000
)
演習問題
Problem 3-1. (a) x = 1, y = 2 (b) 解なし (c) x = −13496, y = 9000
Problem 3-2. 行列で表現すると，(
1 E[X]
E[X] E[X2]
)(α
β
)=
(E[Y ]
E[XY ]
)
(α
β
)=
(1 E[X]
E[X] E[X2]
)−1 (E[Y ]
E[XY ]
)
=1
E[X2]− (E[X])2
(E[X2] −E[X]
−E[X] 1
)(E[Y ]
E[XY ]
)
=1
E[X2]− (E[X])2
(E[X2]E[Y ]−E[X]E[XY ]
−E[X]E[Y ] + E[XY ]
)
=
(E[X2]E[Y ]−E[X]E[XY ]
E[X2]−(E[X])2
E[XY ]−E[X]E[Y ]E[X2]−(E[X])2
)
Problem 3-3. (a) Y = c0+I1−c , C = c0+cI
1−c
4
(b) 財市場の需給均衡に消費関数を代入した Y = (c0 + cY ) + Iと 45度線 Y = Y
の交点を求めている．
投資がない場合の均衡所得 Y0 =c0
1− cから，投資 Iが需要に加わることによ
り，均衡所得は Y1 =c0 + I
1− cに増加する（乗数効果）．
また，消費も C0 =c0
1− cから C1 =
c0 + cI
1− cに増加する．
-
6
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡¡
³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³
C = c0 + cY
Y = c0 + cY + I
C1 =c0 + cI
1− c
C0 =c0
1− c
©©*
6
?
I
Y
C, Y Y = Y
•
•
•
Y1 =c0 + I
1− cY0 =
c0
1− c
復習問題
Quiz 3-1. (a) 5 (b) − 11 (c) ab
Quiz 3-2. (a)
(25 −1
5
−15
35
)(b)
(− 3
11511
411 − 3
11
)(c)
(1a − 2
ab
0 1b
)
Quiz 3-3. (a)
(6/5
7/5
)(b)
(2
1
)(c)
(1
2
)
Quiz 3-4.
(a)
(C
Y
)=
(1 −0.8
−1 1
)−1 (500
100
)=
10.2
(1 0.8
1 1
)(500
100
)=
10.2
(580
600
)=
(2900
3000
)
従って，Y = 3000.
(b)
(C
Y
)=
(1 −0.8
−1 1
)−1 (500
300
)=
10.2
(1 0.8
1 1
)(500
300
)=
10.2
(740
800
)=
(3700
4000
)
従って，Y = 4000.
Quiz 3-5. C = 50 + 0.8Y と I = 50 − 500rを Y = C + I に代入し，L = 150を L = 0.2Y −500r + 180に代入すると，
Y = 50 + 0.8Y + 50− 500r
150 = 0.2Y − 500r + 180
5
の Y と rの連立方程式が得られる．整理して，行列で表現すれば(
0.2 500
0.2 −500
)(Y
r
)=
(100
−30
)
であるから，これを解くと
(Y
r
)=
(0.2 500
0.2 −500
)−1 (100
−30
)= − 1
200
(−500 −500
−0.2 0.2
) (100
−30
)
= − 1200
(−35000
−26
)=
(175
0.13
)
となる．従って，Y = 175.
Quiz 3-6.(
YA
YB
)=
(0.96 −0.2
−0.24 0.7
)(300
200
)=
(248
68
)
Quiz 3-7.
(xA
xB
)=
(0.96 −0.2
−0.24 0.7
)−1 (248
68
)=
10.624
(0.7 0.2
0.24 0.96
)(248
68
)=
(300
200
)
4 関数
練習問題
Ex 4-1.n 1 2 3 4 6 12 52 365 8760(
1 + 1n
)n2 2.25 2.3704 2.4414 2.5216 2.6130 2.6926 2.7146 2.7181
Ex 4-2. 年金現価は
11 + r
+1
(1 + r)2+ · · ·+ 1
(1 + r)n=
11 + r
1− 1(1+r)n
1− 11+r
=1r
(1− 1
(1 + r)n
)
と求められるので，下記のとおりである．
期間 10 10 10 10 2 5 7
年金金額 1 1 1 1 1 1 1
割引率 1% 3% 5% 10% 3% 3% 3%
年金現価 9.4713 8.5302 7.7217 6.1446 1.9135 4.5797 6.2303
割引率がゼロであれば，年金金額が 1の年金現価と年数は等しくなるが，割引率が大き
くなるにつれて，その差が大きくなることに注意．
6
Ex 4-3.
演習問題
Problem 4-1. Y = 100の時，C = 50 + 0.8× 100 = 130．
C = 150の時，Y = (150− 50)/0.8 = 125.
Problem 4-2. (a) f−1(y) = y−12 (b) f−1(y) = y2−1
2 (y ≥ 0)
(c) f−1(y) = ln(y−1)2 (y ≥ 1)
Problem 4-3.年単利 1% 2% 3% 5% 7% 10% 100%
元利合計 1.01 1.02 1.03 1.05 1.07 1.1 2
半年複利 1.00% 1.99% 2.98% 4.94% 6.88% 9.76% 82.84%
月利 1.00% 1.98% 2.96% 4.89% 6.78% 9.57% 71.36%
連続複利 1.00% 1.98% 2.96% 4.88% 6.77% 9.53% 69.31%
Problem 4-4.
log2
(x3y2
)= log2 1
log2
(x1/2y−2/3
)= log2 8
=⇒
log2 x3 + log2 y2 = 0
log2 x1/2 + log2 y−2/3 = 3=⇒
3 log2 x + 2 log2 y = 012 log2 x− 2
3 log2 y = 3=⇒
log2 x = 2
log2 y = −3=⇒
x = 4
y = 18
復習問題
Quiz 4-1. (1 + r)T = 2 =⇒ T ln(1 + r) = ln 2 =⇒ T = ln 2ln(1+r)．
(a) 70 (b) 24 (c) 15 (d) 8
Quiz 4-2. （省略）
Quiz 4-3. (a) Y = C−500.8 (C ≥ 50)
(b) r = 10I−10 (I ≥ 10)
(c) x = U2 (U ≥ 0)
(d) K = ey (y ∈ R)
(e) x =√
C − 9− 1 (C ≥ 10)
7
Quiz 4-4. 割引率=10%の場合,
Aの現在価値 =101.1
+10
1.12+
101.13
+ · · ·+ 101.110
= 61.45
Bの現在価値 =80
1.13= 60.11
61.45 > 60.11より，Aを実行すべき．
割引率=15%の場合,
Aの現在価値 =10
1.15+
101.152
+10
1.153+ · · ·+ 10
1.1510= 50.19
Bの現在価値 =80
1.153= 52.60
50.19 < 52.60より，Bを実行すべき．
5 微分 (1)
練習問題
Ex 5-1. (a) ddx
√x = 1
2x−12 = 1
2√
x
(b) ddx
√x2 + 1 = 1
2(x2 + 1)−12 2x = x√
x2+1
(c) ddxe−
x2
2 = e−x2
2 (−122x) = −xe−
x2
2
(d) ddx ln(x2 + 1) = 2x
x2+1
Ex 5-2. (a) ddx
(x1−γ
1−γ
)= x−γ
(b) ddxex2
= ex22x
(c) ddxxex2
= ex2+ xex2
2x = (1 + 2x2)ex2
Ex 5-3. 効用関数 u(c) =√
c
消費量 c 0.0001 0.01 1 2 3 4
効用 u(c) 0.01 0.1 1 1.41 1.73 2
限界効用 u′(c) 50 5 0.5 0.35 0.29 0.25
演習問題
Problem 5-1. (a)d
dx
[(1 + x)2
]= 2(1 + x)
(b)d
dx
[(3x2 + 5x + 6)3
]= 3(6x + 5)(3x2 + 5x + 6)2
(c)d
dx
[√2x2 + 3x− 1
]=
12(4x + 3)(2x2 + 3x− 1)−1/2
8
(d)d
dx
[5ex2−5x+2
]= 5(2x− 5)ex2−5x+2
(e)d
dx[ln(−2x + 8)] =
1x− 4
(f)d
dx
[(x +
1x
)a]= a
(1− 1
x2
)(x +
1x
)a−1
(g)d
dx
[(1 + x)2(3 + x)3
]= 2(1 + x)(3 + x)3 + 3(1 + x)2(3 + x)2
= (1 + x)(3 + x)2(6 + 2x + 3 + 3x) = (1 + x)(9 + 5x)(3 + x)2
(h)d
dx
[x5(1 + x)2
]= 5x4(1 + x)2 + 2x5(1 + x) = x4(1 + x)(5 + 5x + 2x)
= (1 + x)(5 + 7x)x4
(i)d
dx
[(1 + x)ax1−a
]= a(1 + x)a−1x1−a + (1− a)(1 + x)ax−a
= (1 + x)a−1x−a(ax + (1− a)(1 + x)) = (1− a + x)(1 + x)a−1x−a
(j)d
dx
[xe−x2
]= e−x2
+ xe−x2(−2x) = e−x2
(1− 2x2)
(k)d
dx
[2x + 3
x2 − 3x + 1
]= 2(x2 − 3x + 1)−1 − (2x + 3)(2x− 3)(x2 − 3x + 1)−2
=2(x2 − 3x + 1)− (2x + 3)(2x− 3)
(x2 − 3x + 1)2=−2x2 − 6x + 11(x2 − 3x + 1)2
(l)d
dx
[(x + 3)
√2− x
]= (2− x)1/2 − 1
2(x + 3)(2− x)−1/2
=2(2− x)− (x + 3)
2√
2− x=−3x + 12√
2− x
Problem 5-2. (a)d
dx
(1
1 + x2
)=
−2x
(1 + x2)2
(b)d
dx
(x2
(1 + ex)2
)=
2x
(1 + ex)2+
−2x2ex
(1 + ex)3=
2x(1 + ex − xex)(1 + ex)3
(c)d
dxx2ex = 2xex + x2ex = x(2 + x)ex
Problem 5-3.d
dxax =
d
dxeln ax
= eln ax d
dxln ax = ax d
dx(x ln a) = ax ln a
Problem 5-4.d
dxloga x =
d
dx
lnx
ln a=
1ln a
d
dxln x =
1x ln a
復習問題
Quiz 5-1. (a) −2(1− x) (b) 3(2x + 5)(x2 + 5x)2 (c) (1 + ax)(1 + bx)2(2a + 5abx + 3b)
(d) exx(1 + x)−2 (e) ax(1 + x)a−1(a + (1 + x) ln a)
Quiz 5-2. (a)−2
(1 + x)2(b)
2x3
√1 + x4
(c)ex(x− 1)
x2(d)
4x
2x2 − 1
Quiz 5-3. (a) −2(x− a) = 0 =⇒ x = a
(b)1√2πσ
exp(−(x− µ)2
2σ2
)x− µ
−σ2= 0 =⇒ x = µ
(c)1√2πσ
exp(−(x− µ)2
2σ2
) [(x− µ
σ2
)2
− 1σ2
]= 0 =⇒ x = µ± σ
9
Quiz 5-4. 総費用関数 C(Y ) = Y 2 − 9Y + 52生産量 Y 0 1 2 5 10 100
総費用 C(Y ) 52 44 38 32 62 9152
限界費用 C ′(Y ) -9 -7 -5 1 11 191
6 微分 (2)
練習問題
Ex 6-1. (a) x0 = 0の周りでテーラー展開すると，
f(x) = f(0) + f ′(0)(x− 0) + 12f ′′(0)(x− 0)2 + · · ·+ 1
n!f(n)(x)(x− 0)n + · · · .
f(x) = ex, f (n)(x) = exを代入すると，
ex = e0 + e0(x− 0) +12e0(x− 0)2 + · · ·+ 1
n!(x− 0)n + · · ·
= 1 + x +12x2 + · · ·+ 1
n!xn + · · ·
=∞∑
n=0
1n!
xn
(b)n 1 2 3 4 5 6 7∑n
k=01k! 2 2.5 2.6667 2.7083 2.7167 2.7181 2.7183(
1 + 1n
)n2 2.25 2.3704 2.4414 2.4883 2.5216 2.5465
n∑
k=0
1k!の方がよりはやく exp(1)に収束する．
Ex 6-2.∞∑
k=0
e−xxk
k!= e−x
∞∑
k=0
xk
k!= e−xex = 1
演習問題
Problem 6-1. (a) f(x) = (1 + x)T , f ′(x) = T (1 + x)T−1, f ′′(x) = T (T − 1)(1 + x)T−2.
x = 0より，f(0) = 1, f ′(0) = T, f ′′(0) = T (T − 1).
=⇒ (1 + x)T = 1 + Tx + 12T (T − 1)x2 + · · ·
(b) f(x) = ln(1 + x), f ′(x) = (1 + x)−1, f ′′(x) = −(1 + x)−2.
x = 0より，f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1.
=⇒ ln(1 + x) = x− 12x2 + · · ·
(c) f(x) = x2ex, f ′(x) = (2x + x2)ex, f ′′(x) = (2 + 4x + x2)ex.
x = 0より，f(0) = 0, f ′(0) = 0, f ′′(0) = 2.
=⇒ x2ex = x2 + · · ·
Problem 6-2. (a)p
q
d(p−a)dp
=p
q(−a)p−a−1 = (−a)p−aq−1 = −a
(b)p
q
d(
1a+bp
)
dp=
p
q
−b
(a + bp)2=
p
q(−bq2) = −bpq
10
復習問題
Quiz 6-1. (a) f(x) =√
1− x, f ′(x) = −12(1− x)−1/2, f ′′(x) = −1
4(1− x)−3/2.
x = 0より，f(0) = 1, f ′(0) = −12 , f ′′(0) = −1
4 .
=⇒ √1− x = 1− 1
2x− 18x2 + · · ·
(b) f(x) = ln(1 + x + x2), f ′(x) = (1 + 2x)(1 + x + x2)−1,
f ′′(x) = 2(1 + x + x2)−1 − (1 + 2x)2(1 + x + x2)−2.
x = 0より，f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 1.
=⇒ ln(1 + x + x2) = x + 12x2 + · · ·
(c) f(x) = ex ln(1 + x), f ′(x) = ex(ln(1 + x) + (1 + x)−1),
f ′′(x) = ex(ln(1 + x) + 2(1 + x)−1 − (1 + x)−2).
x = 0より，f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 1.
=⇒ ex ln(1 + x) = x + 12x2 + · · ·
Quiz 6-2. (a) Problem 6-1 (a)の結果より，A，Bの需要の価格弾力性は，それぞれ εA，εB で
ある．
(b)p
q
d(pεA + pεB )dp
=p
pεA + pεB
[εApεA−1 + εBpεB−1
]=
εApεA + εBpεB
pεA + pεB
7 偏微分・全微分
練習問題
Ex 7-1. (a) fx = y, fy = x, fxy = 1, fxx = 0, fyy = 0.
(b) fx = 1, fy = 1, fxy = 0, fxx = 0, fyy = 0.
(c) fx = 2(x + y), fy = 2(x + y), fxy = 2, fxx = 2, fyy = 2.
Ex 7-2. fx = αxα−1yβ, fy = βxαyβ−1,
fxy = αβxα−1yβ−1, fxx = α(α− 1)xα−2yβ, fyy = β(β − 1)xαyβ−2.
Ex 7-3. fx = 2ax + by, fy = bx + 2cy, fxy = b, fxx = 2a, fyy = 2c.
演習問題
Problem 7-1. (a) fx = 4x3, fy = 4y3, fxx = 12x2, fxy = 0, fyy = 12y2.
(b) fx = 1/ρ(xρ + yρ)1/ρ−1ρxρ−1 = xρ−1(xρ + yρ)1/ρ−1,
fy = 1/ρ(xρ + yρ)1/ρ−1ρyρ−1 = yρ−1(xρ + yρ)1/ρ−1,
fxx = (ρ− 1)xρ−2(xρ + yρ)1/ρ−1 + xρ−1(1/ρ− 1)(xρ + yρ)1/ρ−2ρxρ−1
= (ρ− 1)xρ−2yρ(xρ + yρ)1/ρ−2,
fxy = xρ−1(1/ρ− 1)(xρ + yρ)1/ρ−2ρyρ−1
= (1− ρ)xρ−1yρ−1(xρ + yρ)1/ρ−2,
fyy = (ρ− 1)yρ−2(xρ + yρ)1/ρ−1 + yρ−1(1/ρ− 1)(xρ + yρ)1/ρ−2ρyρ−1
= (ρ− 1)xρyρ−2(xρ + yρ)1/ρ−2.
(c) fx = 2xx2+y2 , fy = 2y
x2+y2 , fxx = 2(x2+y2)−4x2
(x2+y2)2= 2(y2−x2)
(x2+y2)2,
fxy = −4xy(x2+y2)2
, fyy = 2(x2+y2)−4y2
(x2+y2)2= 2(x2−y2)
(x2+y2)2.
11
Problem 7-2.∂u/∂x
∂u/∂y
∣∣∣(x,y)=(x0,y0)
=αxα−1yβ
βxαyβ−1
∣∣∣(x,y)=(x0,y0)
=αy0
βx0
復習問題
Quiz 7-1. (a) fx = x2 + xy + y2 + (x + y)(2x + y) = 3x2 + 4xy + 2y2, fy = 2x2 + 4xy + 3y2.
(b) fx = −(x2 + y2)−22x = −2x(x2+y2)2
, fy = −2y(x2+y2)2
.
(c) fx = x2+y2−(x+y)2x(x2+y2)2
= y2−2xy−x2
(x2+y2)2, fy = x2−2xy−y2
(x2+y2)2
(d) fx = 12(x2 + y2)−
12 2x = x√
x2+y2, fy = y√
x2+y2.
(e) fx = 0.3(y/x)0.7, fy = 0.7(x/y)0.3.
Quiz 7-2. (a) dz = (9x2 − 4xy)dx + 2(y − x2)dy
(b) dz = 2(x + 2y + 3)(dx + 2dy)
Quiz 7-3. (a) Ux1 = x2, Ux2 = x1.
(b) Ux1 = 5x−1/21 x
1/32 x
1/43 , Ux2 = 10
3 x1/21 x
−2/32 x
1/43 , Ux3 = 5
2x1/21 x
1/32 x
−3/43 .
(c) Ux1 = 4.8x−3/21
(0.4x
−1/21 + 0.6x
−1/22
)−3,
Ux2 = 7.2x−3/22
(0.4x
−1/21 + 0.6x
−1/22
)−3.
Quiz 7-4. YK = α(K/L)α−1, YL = (1− α)(K/L)α.
Quiz 7-5. YK = δK−r−1[δK−r + (1− δ)L−r]−1/r−1,
YL = (1− δ)L−r−1[δK−r + (1− δ)L−r]−1/r−1.
Quiz 7-6. (a) du = ∂u∂x1
dx1 + ∂u∂x2
dx2 = adx1 + bdx2
(b) (省略)
(c) ∂u∂x1
= a, ∂u∂x2
= bより，∂u/∂x1
∂u/∂x2= a
b .
8 最大化問題・最小化問題の 1階条件と 2階条件
練習問題
Ex 8-1. 下図を参照．
(a)
x
y
極値，最大・最小なし
(b)
x
y
?
極大
6
極小
最大・最小なし
(c)
x
y
@@
@@
@
¡¡
¡¡
¡
極小・最小
極大・最大なし
Ex 8-2. (a) y (b) x (c) 12(x + y)
12
Ex 8-3. (a) 左辺−右辺= 12 + 9
2 − 4 = 1 > 0
(b) 左辺−右辺= 12k2 + 1
2(k + 2)2 − (12k + 1
2(k + 2))2 = 1 > 0
(c) 左辺−右辺= αx2 + (1− α)y2 − (αx + (1− α)y)2 = α(1− α)(x− y)2 > 0
グラフによる説明: f(x) = x2として，x0 < x1ならば
αf(x0) + (1− α)f(x1) > f(αx0 + (1− α)x1)
となるので，グラフ上の 2点 (x0, f(x0))と (x1, f(x1))を結んだ直線における x = αx0 +
(1−α)x1に対応する値 y = αf(x0) + (1−α)f(x1)は，曲線 y = x2上の値 f(αx0 + (1−α)x1)よりも大きい．
»»»»»»»»»»»
y = f(x)
x0 x1
αx0 + (1− α)x1
αf(x0) + (1− α)f(x1)
f(αx0 + (1− α)x1)
¤¤º
演習問題
Problem 8-1. (a) f ′(x) = 3x2 − 1 = 0より，f ′(x) = 0となる xは x = ±√
33 であり，
f ′′(x) = 6xより，f ′′(√
33
)= 2
√3 > 0，f ′′
(−√
33
)= −2
√3 < 0となるの
で，増減表は次のとおりである．
x −√
33
√3
3
f ′(x) + 0 − 0 +
f ′′(x) < 0 > 0
f(x) 2√
39 −2
√3
9
従って，f(√
33
)= −2
√3
9 が極小値であるが，最小値ではない．
f(−√
33
)= 2
√3
9 が極大値であるが，最大値ではない．
(b) f ′(x) = 3x2 − 2x = x(3x− 2) = 0より，f ′(x) = 0となる xは x = 0, 23 であ
り，f ′′(x) = 6x− 2より，f ′′(0) = −2 < 0，f ′′(
23
)= 2 > 0．
x 0 23
f ′(x) + 0 − 0 +
f ′′(x) < 0 > 0
f(x) 0 − 427
従って，f(0) = 0が極大値であるが，最大値ではない．
f(
23
)= − 4
27 が極小値であるが，最小値ではない．
13
(c) f ′(x) = lnx+1 = 0より，f ′(x) = 0となるxはx = e−1であり，f ′′(x) = x−1
より，f ′′(e−1) = e > 0．
x e−1
f ′(x) − 0 +
f ′′(x) > 0
f(x) −e−1
従って，f(e−1) = −e−1が極小値であり，最小値でもある．
Problem 8-2. f(x)を x∗の周りで 1次までテーラー展開すると，
f(x) = f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗).
f(x∗)が極大値であるなら，x > x∗であってもx < x∗であっても, f(x)−f(x∗) ≤ 0
でなければならない．従って，f ′(x∗) = 0. すなわち，f ′(x∗) = 0が f(x∗)が極大
値であるための必要条件である．
さらに，f(x)を x∗の周りで 2次までテーラー展開すると，
f(x) = f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗) + 12f ′′(x∗)(x− x∗)2.
f ′(x∗) = 0かつ f ′′(x∗) < 0ならば，
f(x) = f(x∗) + 12f ′′(x∗)(x− x∗)2 < f(x∗)になるので，f(x∗)が極大値である．す
なわち，f ′(x∗) = 0かつ f ′′(x∗) < 0が f(x∗)が極大値であるための十分条件であ
る．
f ′(x∗) = f ′′(x∗) = 0の場合，f(x)を x∗ の周りで 4次までテーラー展開すると，
f(x) = f(x∗) + 13!f
(3)(x∗)(x− x∗)3 + 14!f
(4)(x∗)(x− x∗)4.
f(x∗)が極大値であるなら，x > x∗であってもx < x∗であっても, f(x)−f(x∗) ≤ 0
でなければならない．従って，f (3)(x∗) = 0. すなわち，f (3)(x∗) = 0が f(x∗)が極
大値であるための必要条件である．
一方，f (3)(x∗) = 0かつ f (4)(x∗) < 0ならば，
f(x) = f(x∗) + 14!f
(4)(x∗)(x − x∗)4 < f(x∗)になるので，f(x∗)が極大値である．
すなわち，f (3)(x∗) = 0かつ f (4)(x∗) < 0が f(x∗)が極大値であるための十分条件
である．
Problem 8-3. p = 1の場合の利潤関数は π(q) = q − 1− 12q2である．
1階条件: π′(q) = 1− q = 0. 従って，q = 1.
2階条件: π′′(q) = −1 < 0. 従って，q = 1が利潤を最大化する最適生産量である.
p = 3の場合の利潤利潤関数は π(q) = 3q− 1− 12q2である．2階条件は p = 1の場
合と同様に成立するので，1階条件 π′(q) = 3− q = 0から，q = 3が利潤を最大化
する最適生産量である．価格の上昇に伴って，最適生産量も上昇する．
Problem 8-4. 利潤: π(q) = q − 13q3 + 3
2q2 − 3q − 1.
1階条件: π′(q) = 1 − q2 + 3q − 3 = −q2 + 3q − 2 = −(q − 1)(q − 2) = 0より，
q = 1または q = 2.
2階微分: π′′(q) = −2q + 3より，π′′(1) = 1 > 0，π′′(2) = −1 < 0となり，2階条
14
件を満たすのは q = 2のときのみである. 従って，q = 2が利潤最大化する最適生
産量である.（q = 1は利潤最小化の生産量である．）
復習問題
Quiz 8-1. 関数を y = f(x)と書く．
(a) f ′(x) = 3x2 − 4x− 4 = (3x + 2)(x− 2) = 0より，x = −23 または x = 2.
f ′′(x) = 6x− 4より，x = −23 のとき，f ′′
(−23
)= −8 < 0．
x = 2のとき，f ′′(2) = 8 > 0．
x −23 2
f ′(x) + 0 − 0 +
f ′′(x) < 0 > 0
f(x) 6727 −7
従って，f(−2
3
)= 67
27 が極大値であるが，最大値ではない．
f (2) = −7が極小値であるが，最小値ではない．
(b) f ′(x) = 2x(x4+1)−4x5
(x4+1)2= −2x(x4−1)
(x4+1)2= 0より，x = 0または x = ±1.
f ′′(x) = [−2(x4−1)−8x4](x4+1)2+2x(x4−1)8x3(x4+1)(x4+1)4
= −2(5x4−1)(x4+1)+16x4(x4−1)(x4+1)3
よ
り，x = 0のとき，f ′′(0) = 2 > 0．x = ±1のとき，f ′′ (±1) = −2 < 0．
x −1 0 1
f ′(x) + 0 − 0 + 0 −f ′′(x) < 0 > 0 < 0
f(x)(≥ 0) 12 0 1
2
従って，f(0) = 0が極小値であり，最小値でもある．
f (±1) = 12 が極大値であり，最大値でもある．
(c) f ′(x) = −2xe−x2= 0より，x = 0.
f ′′(x) = −2e−x2+ 4x2e−x2
より，x = 0のとき，f ′′ (0) = −2 < 0．
x 0
f ′(x) + 0 −f ′′(x) < 0
f(x)(> 0) 1
従って，f (0) = 1が極大値であり，最大値でもある. 極小値，最小値は存在し
ない．
(d) f ′(x) = e−x2 − 2x2e−x2= (1− 2x2)e−x2
= 0より，x = ±√
22 .
f ′′(x) = −4xe−x2 − 2x(1− 2x2)e−x2= −2x(3− 2x2)e−x2
より，
15
x −√
22
√2
2
f ′(x) − 0 + 0 −f ′′(x) > 0 < 0
f(x) −12
√2e 1
2
√2e
x =√
22 のとき，f ′′
(√2
2
)= −2
√2e < 0．
x = −√
22 のとき，f ′′
(−√
22
)= 2
√2e > 0．
ロピタルの定理1より, limx→±∞ f(x) = limx→±∞ x
ex2 = limx→±∞ 1
2xex2 = 0であ
るので，f(√
22
)= 1
2
√2e が極大値であり，最大値でもある．
f(−√
22
)= −1
2
√2e が極小値であり，最小値でもある．
Quiz 8-2. (a) f ′(x) = 1.5x2 − 6x + 6 = 1.5(x− 2)2 = 0より，x = 2.
f ′′(x) = 3x− 6より，x = 2のとき，f ′′ (2) = 0．
x 2
f ′(x) + 0 +
f ′′(x) = 0
f(x) 10
従って，極値，最大値，最小値は存在しない．
(b) f(x)の定義域: x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞). f ′(x) = 1− x−2 = 0より，x = ±1.
f ′′(x) = 2x−3より，x = 1のとき，f ′′(1) = 2 > 0．
x = −1のとき，f ′′(−1) = −2 < 0．
x −1 0 1
f ′(x) + 0 − × − 0 +
f ′′(x) < 0 × > 0
f(x) −2 × 2 (×: 定義できない)
従って，f(1) = 2が極小値であるが，最小値ではない．
f(−1) = −2が極大値であるが，最大値ではない．
(c) f(x) = 2−x(x−1)(x+2) . f(x)の定義域: x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2, 1) ∪ (1,∞).
f ′(x) = −(x2+x−2)−(2−x)(2x+1)(x2+x−2)2
= x(x−4)(x2+x−2)2
= 0より，x = 0または x = 4.
f ′′(x) = (2x−4)(x2+x−2)2−(x2−4x)2(x2+x−2)(2x+1)(x2+x−2)4
= (2x−4)(x2+x−2)−2(2x+1)(x2−4x)(x2+x−2)3
より，x = 0のとき，f ′′(0) = −1 < 0．x = 4のとき，f ′′(4) = 181 > 0．
1I を開区間とし a ∈ I とする．関数 f(x)と g(x)が I において微分可能で f(a) = g(a) = 0, limx→af ′(x)g′(x)
= α
ならば，limx→af(x)g(x)
= αが成立する．
16
x −2 0 1 4
f ′(x) + × + 0 − × − 0 +
f ′′(x) × < 0 × > 0
f(x) × −1 × −19
従って，f(0) = −1が極大値であるが，最大値ではない．
f(4) = −19 が極小値であるが，最小値ではない．
(d) f ′(x) = 0.5x−0.5e−0.1x − 0.1x0.5e−0.1x = 0.1e−0.1x(5x−0.5 − x0.5
)= 0 より，
x = 5.
f ′′(x) = −0.01e−0.1x(5x−0.5 − x0.5
)+0.1e−0.1x
(−2.5x−1.5 − 0.5x−0.5)より，x =
5のとき，f ′′ (5) = −0.1(5e)−0.5 < 0．
x 5
f ′(x) + 0 −f ′′(x) < 0
f(x) √
5e
従って，f (5) =√
5e が極大値であり，最大値でもある．
Quiz 8-3. 利潤: π(x) = 60x− x3 + 6x2 − 24x.
1階条件: π′(x) = 60− 3x2 + 12x− 24 = −3(x2 − 4x− 12) = −3(x + 2)(x− 6) = 0.
産出量は非負であることから，x = 6.
2階条件: π′′(x) = −6x + 12. x = 6の時，π′′(6) = −24 < 0. 従って，x = 6が利潤最
大となる産出量である.
Quiz 8-4. 利潤: π(q) = 130q − 13q3 + 7
2q2 − 10q − 25
1階条件: πq = 130− (q∗)2 + 7q∗− 10 = −(q∗)2 + 7q∗ + 120 = −(q∗ + 8)(q∗− 15) = 0
より，q∗ = 15. (q∗ ≥ 0)
2階条件: πqq = −2q∗ + 7 = −23 < 0より，
q∗ = 15は確かに利潤を最大にする生産量である．
Quiz 8-5. すべての y > 0について C ′(y) > 0, C ′′(y) > 0が成立するものと仮定する．平均費用
AC(y) = C(y)y を最小にする y = y∗を求める．
1階条件は，AC ′(y∗) = C′(y∗)y−C(y∗)(y∗)2 = 0であるので，C ′(y∗) = C(y∗)
y∗ が成立する. す
なわち，MC(y∗) = AC(y∗)となる．.
一方，AC ′′(y) = C′′(y)y(y)4
> 0より，2階条件AC ′′(y) > 0は常に成立する．したがって，
AC ′(y∗) = 0を満たす y∗はAC を最小にする点であり，そこではMC(y∗) = AC(y∗)
なので，平均費用線AC の最小値で限界費用線MC と交わる．
Quiz 8-6. 価格が平均可変費用を上回らなければ，短期的な生産に必要な可変費用を生産物の売
り上げによって回収できないので，操業停止に至る．したがって，短期操業停止価格
とは，平均可変費用の最小値である．
17
可変費用は，費用から固定費用 30を引いた V C(x) = x3 − 6x2 + 15xであるから，平
均可変費用は AV C(x) = x3−6x2+15xx = x2 − 6x + 15となる．平均可変費用を最小
とする生産量は，AV C ′(x) = 0より，2x − 6 = 0，すなわち x = 3である．至る所
AV C ′′(x) = 2 > 0だからAV C(3) = 6は極小値，かつ最小値である．よって操業停止
価格は 6である．
Quiz 8-7. 利潤: π(x) = (20− x)x− (x2 + 10).
1階条件: π′(x) = 20− 4x = 0. 従って，x = 5, p = 20− x = 15.
2階条件: π′′(x) = −4 < 0より，x = 5は利潤最大となる生産量であり，p = 15は利
潤最大となる製品価格である．
18
9 多変数関数の最大化問題・最小化問題
練習問題
Ex 9-1. Av =
(a11 a12
a21 a22
)(v1
v2
)=
(a11v1 + a12v2
a21v1 + a22v2
)
v ·Av = a11v21 + (a12 + a21)v1v2 + a22v
22
Ex 9-2. (a) 左辺−右辺= x21 + x2
2 − 2x1x2 = (x1 − x2)2 ≥ 0
(b) 左辺−右辺= 2x21 + 2x2
2 + 2x23 − 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3
= (x1 − x2)2 + (x1 − x3)2 + (x2 − x3)2 ≥ 0
[別解:] 2つの n次元ベクトル a = (a1, . . . , an), x = (x1, . . . , xn)の間には
|a|2|x|2 ≥ (a · x)2
が成立するので，
(a21 + a2
2 + · · ·+ a2n)(x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n) ≥ (a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn)2
である．(a)は n = 2の場合，(b)は n = 3の場合で，a = (1, · · · , 1)を代入すればよい．
Ex 9-3. E[X + Y ] = 1n
∑ni=1(xi + yi)
= 1n(x1 + y1 + x2 + y2 + · · ·+ xn + yn)
= 1n(x1 + x2 + · · ·+ xn) + 1
n(y1 + y2 + · · ·+ yn)
= 1n
∑ni=1 xi + 1
n
∑ni=1 yi
= E[X] + E[Y ].
E[αX] = 1n
∑ni=1 αxi = 1
n(αx1 + αx2 + · · ·+ αxn) = α 1n(x1 + x2 + · · ·+ xn) = αE[X]
以下の証明では，期待値の線形性を利用する．
(a) E[(X −E[X])2] = E[X2 − 2XE[X] + E[X]2]
= E[X2]− 2E[X]E[X] + E[X]2
= E[X2]− E[X]2
(b) E[(X −E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY −XE[Y ]−E[X]Y + E[X]E[Y ]]
= E[XY ]−E[Y ]E[X]− E[X]E[Y ] + E[X]E[Y ]
= E[XY ]−E[X]E[Y ]
Ex 9-4. ヘッセ行列:
(fxx(x, y) fxy(x, y)
fyx(x, y) fyy(x, y)
)=
(2y 2x
2x 0
)
H(x, y) = det
(fxx(x, y) fxy(x, y)
fyx(x, y) fyy(x, y)
)= fxx(x, y)fyy(x, y)− f2
xy(x, y) = −4x2
演習問題
Problem 9-1. (a) fx(x, y) = 2(x + y) + 4(2x + y) = 10x + 6y
fy(x, y) = 2(x + y) + 2(2x + y) = 6x + 4y
fxx(x, y) = 10 > 0, fxy(x, y) = 6, fyy(x, y) = 4
19
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y) = 40− 36 = 4 > 0
1階条件 fx(x∗, y∗) = fy(x∗, y∗) = 0を満たす点は (x∗, y∗) = (0, 0)であり，極
小の 2階条件を満たすので，(x∗, y∗) = (0, 0)で極小となる（最小でもある）．
(b) fx(x, y) = 2a(ax + y) = 2a2x + 2ay
fy(x, y) = 2(ax + y) = 2ax + 2y
fxx(x, y) = 2a2 > 0 (a 6= 0), fxy(x, y) = 2a, fyy(x, y) = 2
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y) = 4a2 − 4a2 = 0
1階条件 fx(x∗, y∗) = fy(x∗, y∗) = 0を満たす点は (x∗, y∗) = (t,−at) (t ∈ R)
であり，極小の 2階条件を満たさないが，極小かつ最小となる．
Problem 9-2. g1(x) = x2x1x2
− p1 = x−11 − p1, g2(x) = x1
x1x2− p2 = x−1
2 − p2
g11(x) = −x−21 < 0 (f(x)の定義域より，x1 6= 0, x2 6= 0)
g12(x) = 0, g22(x) = −x−22
H(x) = g11(x)g22(x)− g212(x) = x−2
1 x−22 > 0
g11(x) < 0, H(x) > 0より，g(x)は最大化の 2階条件を満たす．
Problem 9-3. fx(x, y) = 2x, fy(x, y) = −2y
fx(0, 0) = 0, fy(0, 0) = 0より，原点において 1階条件を満たす.
極小の 2階条件 (fxx > 0,H > 0)，極大の 2階条件 (fxx < 0,H > 0)が満たされて
いるかどうかをチェックする．
fxx(x, y) = 2 > 0, fxy(x, y) = 0, fyy(x, y) = −2
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − f2xy(x, y) = −4 < 0より, いずれの 2階条件も満た
さない．
Problem 9-4. ∂g∂x1
= x2x1x2
− p1 = 0, ∂g∂x2
= x1x1x2
− p2 = 0より，
x1 = p−11 , x1 = p−2
2 が関数 gの最大化の 1階条件である．
復習問題
Quiz 9-1. 方針として，まず，1階条件を満たす (x∗, y∗)を求める．そして，(x∗, y∗)において，極
小の 2階条件 (fxx > 0, H > 0)，極大の 2階条件 (fxx < 0,H > 0)が満たされている
かどうかをチェックする．
(a) fx(x, y) = 2x + y − 4, fy(x, y) = x + 2y − 2
1階条件 fx(x∗, y∗) = 0, fy(x∗, y∗) = 0を満たす (x∗, y∗)は (2, 0).
fxx(x, y) = 2 > 0, fxy(x, y) = 1, fyy(x, y) = 2
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y) = 4− 1 = 3 > 0, 極小の 2階条件を満た
す．
fxx(x, y) > 0, H(x, y) > 0より，f(2, 0) = −4が極小値である．
(b) fx(x, y) = 2x, fy(x, y) = 6y2 − 18y + 12
1階条件 fx(x∗, y∗) = 0, fy(x∗, y∗) = 0を満たす (x∗, y∗)は，
(0, 1)または (0, 2).
fxx(x, y) = 2 > 0, fxy(x, y) = 0, fyy(x, y) = 12y − 18
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y) = 24y − 36
20
(x∗, y∗) = (0, 1)のとき，H(0, 1) = −12 < 0, いずれの 2階条件も満たさない．
(x∗, y∗) = (0, 2)のとき，H(0, 2) = 12 > 0, 極小の 2階条件を満たす．
fxx(x, y) > 0, H(0, 2) > 0より，f(0, 2) = 4が極小値である．
(c) fx(x, y) = 3x2y + y3 − y = (3x2 + y2 − 1)y
fy(x, y) = x3 + 3xy2 − x = (x2 + 3y2 − 1)x
1階条件 fx(x∗, y∗) = 0, fy(x∗, y∗) = 0を満たす (x∗, y∗)は，
y∗ = 0
x∗ = 0
y∗ = 0
x∗2 + 3y∗2 − 1 = 0
3x∗2 + y∗2 − 1 = 0
x∗ = 0
3x∗2 + y∗2 − 1 = 0
x∗2 + 3y∗2 − 1 = 0
のいずれかを満たすことになる．上記 4組の 2次元連立方程式をそれぞれ解くと，
(x∗, y∗) = (0, 0), (±1, 0), (0,±1), (12 ,±1
2), (−12 ,±1
2).
fxx(x, y) = 6xy, fxy(x, y) = 3x2 + 3y2 − 1, fyy(x, y) = 6xy
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − f2xy(x, y) = 36x2y2 − (3x2 + 3y2 − 1)2 = [6xy +
(3x2 + 3y2 − 1)][6xy − (3x2 + 3y2 − 1)] = −[3(x + y)2 − 1][3(x− y)2 − 1]
上記 (x∗, y∗)の組み合わせをH(x, y)に代入して符号をチェックすると，
H(x∗, y∗) > 0を満たすのは (12 ,±1
2), (−12 ,±1
2)である．
(x∗, y∗) = (12 , 1
2), (−12 ,−1
2)のとき，fxx(x∗, y∗) > 0．
(x∗, y∗) = (12 ,−1
2), (−12 , 1
2)のとき，fxx(x∗, y∗) < 0．
従って，f(12 , 1
2) = f(−12 ,−1
2) = −18 が極小値である．
f(12 ,−1
2) = f(−12 , 1
2) = 18 が極大値である．
(d) fx(x, y) = −x−2 − y, fy(x, y) = −y−2 − x, (x 6= 0, y 6= 0)
1階条件 fx(x∗, y∗) = 0, fy(x∗, y∗) = 0を満たす (x∗, y∗)は (−1,−1).
fxx(x, y) = 2x−3, fxy(x, y) = −1, fyy(x, y) = 2y−3
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y) = 4x−3y−3 + 1
fxx(−1,−1) = −2 < 0, H(−1,−1) = 5 > 0より，
f(−1,−1) = −3が極大値である．
Quiz 9-2. (a) 凸関数の定義に従って，任意の 2点 (x1, x2), (x′1, x′2)と 0 ≤ α ≤ 1を満たす任意
の αについて，
αf(x1, x2) + (1− α)f(x′1, x′2) ≥ f(αx1 + (1− α)x′1, αx2 + (1− α)x′2)
を証明すればよい．
左辺−右辺= α(x2
1 + x22) + (1− α)(x
′21 + x
′22 )− [
αx1 + (1− α)x′1]2 − [
αx2 + (1− α)x′2]2
= α(1− α)(x21 + x2
2) + α(1− α)(x′21 + x
′22 )− 2α(1− α)(x1x
′1 + x′2x′2)
= α(1− α)[(x1 − x′1)
2 + (x2 − x′2)2]
≥ 0
(b) f(x1, x2) = x21x
22とする．2点 a = (1, 3), b = (3, 1)について
f(a) = f(b) = 9, f
(12(a + b)
)= f(2, 2) = 16
21
となり，
12f(a) +
12f(b) < f
(12(a + b)
)
であるから，凸関数ではない．
Quiz 9-3. 凹関数の定義に従って，任意の 2点 (x1, x2), (x′1, x′2)と 0 ≤ α ≤ 1を満たす任意の α
について，
f(αx1 + (1− α)x′1, αx2 + (1− α)x′2) ≥ αf(x1, x2) + (1− α)f(x′1, x′2)
を証明すればよい．さらに，(a), (b)の関数の値は非負であるので，上の不等式の両辺
を 2乗して，
f(αx1 + (1− α)x′1, αx2 + (1− α)x′2)2 ≥ (αf(x1, x2) + (1− α)f(x′1, x
′2))
2 (∗)
を証明すればよいということになる．
(a) (∗)の（左辺）−（右辺）を計算すると
f(αx1 + (1− α)x′1, αx2 + (1− α)x′2)2 − (αf(x1, x2) + (1− α)f(x′1, x
′2))
2
= αx1 + (1− α)x′1 + αx2 + (1− α)x′2
−(
α2(x1 + x2) + (1− α)2(x′1 + x′2) + 2α(1− α)√
(x1 + x2)(x′1 + x′2))
= α(1− α)(x1 + x2) + α(1− α)(x′1 + x′2)− 2α(1− α)√
(x1 + x2)(x′1 + x′2)
= α(1− α)(√
x1 + x2 −√
x′1 + x′2
)2
≥ 0
より，U = f(x1, x2)は凹関数である．
(b) (∗)の（左辺）−（右辺）を計算すると
f(αK + (1− α)K ′, αL + (1− α)L′)2 − (αf(K, L) + (1− α)f(K ′, L′))2
= (αK + (1− α)K ′)(αL + (1− α)L′)
−(α2KL + (1− α)2K ′L′ + 2α(1− α)
√KLK ′L′
)
= α(1− α)(KL′ + K ′L− 2√
KLK ′L′)
= α(1− α)(√
KL′ −√
K ′L)2
≥ 0
より，f(K,L)は凹関数である．
Quiz 9-4. π = 3pK0.5L0.5 − wL− rK
πK = 1.5pK−0.5L0.5 − r, πL = 1.5pK0.5L−0.5 − w
1階条件 πK(K∗, L∗) = 0, πL(K∗, L∗) = 0より，K∗L∗ = w
r .
πKK = −0.75pK−1.5L0.5 < 0, πKL = 0.75pK−0.5L−0.5, πLL = −0.75pK0.5L−1.5
22
(K > 0, L > 0)
H(K,L) = πKKπLL − π2KL = 0.752p2K−1L−1 − 0.752p2K−1L−1 = 0
πKK < 0, H(K, L) = 0となり，利潤最大化の 2階条件は満たさない．
（注意：１階条件は最適な K∗ と L∗ の投入比率を K∗L∗ = w
r と定め，K∗ = wr L∗ と
して，最適化された利潤を 3p(K∗L∗)0.5 − wL∗ − rK∗ = (3p(wr )0.5 − 2w)L∗ とする．
よって，(1) 3p(wr )0.5 − 2w > 0ならば，最大利潤も最適なK∗, L∗も存在しない．(2)
3p(wr )0.5 − 2w = 0ならば，最大利潤はゼロで最適なK∗と L∗はK∗ = w
r L∗を満たす
任意のK∗と L∗である．(3) 3p(wr )0.5 − 2w < 0ならば，最大利潤はゼロで最適なK∗
と L∗はK∗ = L∗ = 0である．）
Quiz 9-5. π = pKαLβ − wL− rK
πK = αpKα−1Lβ − r, πL = βpKαLβ−1 − w
1階条件 πK(K∗, L∗) = 0, πL(K∗, L∗) = 0より，K∗L∗ = α
βwr .
πKK = α(α− 1)pKα−2Lβ < 0, πKL = αβpKα−1Lβ−1,
πLL = β(β − 1)pKαLβ−2 (K > 0, L > 0)
H(K,L) = πKKπLL − π2KL = αβ(−α− β + 1)p2K2α−2L2β−2
α + β = 1の場合，πKK < 0, H(K, L) = 0となり，利潤最大化の 2階条件は満たさな
い．
一方，α + β < 1の場合，πKK < 0, H(K,L) > 0となり，利潤最大化の 2階条件が満
たされる．
（注意：α + β = 1の場合，Quiz 8-4 と同様にして, (1) p(αwβr )α− w
β > 0ならば，最大
利潤も最適なK∗, L∗も存在しない．(2) p(αwβr )α− w
β = 0ならば，最大利潤はゼロで最
適なK∗と L∗はK∗ = αβ
wr L∗を満たす任意のK∗と L∗である．(3) p(αw
βr )α − wβ < 0
ならば，最大利潤はゼロで最適なK∗と L∗はK∗ = L∗ = 0である．）
Quiz 9-6. β = Cov[Y,C]V ar[Y ] = E[Y C]−E[Y ]E[C]
E[Y 2]−E[Y ]2= 80−9×8
100−92 = 819
α = E[C]− βE[Y ] = 8− 8199 = 80
19
Quiz 9-7. π(q1, q2) = q1(10− q1) + q2(10− 2q2)− 0.5(q1 + q2)2
π1 = 10− 2q1 − q1 − q2 = 10− 3q1 − q2, π2 = 10− 4q2 − q1 − q2 = 10− q1 − 5q2
1階条件 π1(q∗1, q∗2) = 0, π2(q∗1, q
∗2) = 0より，q∗1 = 20
7 , q∗2 = 107 , p∗1 = p∗2 = 50
7 .
π11 = −3 < 0, π12 = −1, π22 = −5
H(q1, q2) = π11π22 − π212 = 15− 1 = 14 > 0
π11 < 0, H(q1, q2) > 0より，利潤最大化の 2階条件を満たす．
生産量 q∗1 = 207 , q∗2 = 10
7 と価格 p∗1 = p∗2 = 507 が利潤最大化問題の解である．
(一般には p∗1と p∗2は異なり，その場合，差別価格があるという．)
10 制約付きの最大化問題・最小化問題
練習問題
Ex 10-1. minx,y x2 + y2 s.t. x + y =√
2
23
ラグランジュ関数: L(x, y, λ) = x2 + y2 + λ(√
2− x− y). その 1階条件:
Lx = 2x∗ − λ∗ = 0
Ly = 2y∗ − λ∗ = 0
Lλ =√
2− x∗ − y∗ = 0
=⇒ x∗ = y∗ =√
22 , λ∗ =
√2であり， x2 + y2の最小値は 1.
Ex 10-2. maxx,y x + y s.t. x2 + y2 = 1
ラグランジュ関数: L(x, y, λ) = x + y + λ(1− x2 − y2). その 1階条件:
Lx = 1− 2λ∗x∗ = 0
Ly = 1− 2λ∗y∗ = 0
Lλ = 1− (x∗)2 − (y∗)2 = 0
=⇒ (x∗, y∗, λ∗) = ±(√
22 ,
√2
2 ,√
22 )である．
このうち，最大となるのは (x∗, y∗, λ∗) = (√
22 ,
√2
2 ,√
22 )のときで，x + yは最大値
√2を
とる.
Ex 10-3. maxx,y xy s.t. x2 + y2 = 1
ラグランジュ関数: L(x, y, λ) = xy + λ(1− x2 − y2). その 1階条件:
Lx = y∗ − 2λ∗x∗ = 0
Ly = x∗ − 2λ∗y∗ = 0
Lλ = 1− (x∗)2 − (y∗)2 = 0
=⇒ (x∗, y∗, λ∗) = (−√
22 ,−
√2
2 , 12), (−
√2
2 ,√
22 ,−1
2), (√
22 ,−
√2
2 ,−12), (
√2
2 ,√
22 , 1
2)であ
る．
このうち，最大となるのは (x∗, y∗, λ∗) = (−√
22 ,−
√2
2 , 12), (
√2
2 ,√
22 , 1
2)のときで， xyの
最大値は 12 .
演習問題
Problem 10-1. ラグランジュ関数: L(x, y, λ) = xαyβ + λ(m− px− qy). その 1階条件:
Lx = α(x∗)α−1(y∗)β − λ∗p = 0
Ly = β(x∗)α(y∗)β−1 − λ∗q = 0
Lλ = m− px∗ − qy∗ = 0
=⇒ x∗ = αp
mα+β , y∗ = β
qm
α+β . 最大効用: (x∗)α(y∗)β =(
αp
)α (βq
)β (m
α+β
)α+β.
所得の限界効用: λ∗ = α(x∗)α−1(y∗)β
p = β(x∗)α(y∗)β−1
q =(
αp
)α (βq
)β (m
α+β
)α+β−1．
Problem 10-2. (a) y1 + (1 + r)(y0 − c0) = c1を整理すると，
異時点間の予算制約式: c0 +c1
1 + r= y0 +
y1
1 + r.
24
(b) maxc0,c1 cα0 cβ
1 s.t. (1 + r)c0 + c1 = (1 + r)y0 + y1
ラグランジュ関数: L(c0, c1, λ) = cα0 cβ
1 + λ[(1 + r)y0 + y1 − (1 + r)c0 − c1].
その 1階条件:
Lc0 = α(c∗0)α−1(c∗1)
β − λ∗(1 + r) = 0
Lc1 = β(c∗0)α(c∗1)
β−1 − λ∗ = 0
Lλ = (1 + r)y0 + y1 − (1 + r)c∗0 − c∗1 = 0
=⇒ c∗0 = αα+β
[y0 + y1
1+r
], c∗1 = β
α+β [(1 + r)y0 + y1].
Problem 10-3. ラグランジュ関数: L(K, L, λ) = rK + wL + λ(q −KαLβ). その 1階条件:
LK = r − αλ∗(K∗)α−1(L∗)β = 0
LL = w − βλ∗(K∗)α(L∗)β−1 = 0
Lλ = q − (K∗)α(L∗)β = 0
=⇒ K∗ =[(
αβ
wr
)βq
] 1α+β
, L∗ =[(
αβ
wr
)−αq
] 1α+β
.
最小生産費用= rK∗ + wL∗ =((
αβ
) βα+β +
(αβ
) −αα+β
)(wβrαq)
1α+β .
復習問題
Quiz 10-1. ラグランジュ関数: L(X1, X2, λ) = X131 X
232 + λ(120−X1 − 4X2). その 1階条件:
L1 = 13(X∗
1 )−23 (X∗
2 )23 − λ∗ = 0
L2 = 23(X∗
1 )13 (X∗
2 )−13 − 4λ∗ = 0
Lλ = 120−X∗1 − 4X∗
2 = 0
=⇒ X∗1 = 40, X∗
2 = 20.
Quiz 10-2. ラグランジュ関数: L(x, y, λ) = xy2 + λ(6000− 100x− 400y). その 1階条件:
Lx = (y∗)2 − 100λ∗ = 0
Ly = 2x∗y∗ − 400λ∗ = 0
Lλ = 6000− 100x∗ − 400y∗ = 0
=⇒ x∗ = 20, y∗ = 10. 最大効用= x∗(y∗)2 = 2000.
Quiz 10-3. ラグランジュ関数: L(x, y, λ) = 32y − x2 + λ(√
x− y). その 1階条件:
Lx = −2x∗ + 12λ∗(x∗)−
12 = 0
Ly = 32− λ∗ = 0
Lλ =√
x∗ − y∗ = 0
=⇒ x∗ = 4, y∗ = 2. 最大効用= 32y∗ − (x∗)2 = 64− 16 = 48 > 20.
25
Quiz 10-4. ラグランジュ関数: L(K,L, λ) = LK + λ(1500− 20L− 30K). その 1階条件:
LK = L− 30λ∗ = 0
LL = K − 20λ∗ = 0
Lλ = 1500− 20L∗ − 30K∗ = 0
=⇒ K∗ = 25, L∗ = 37.5.
Quiz 10-5. 利潤: π(K, L) = 20K0.5L0.5 − wL− 20K.
1階条件: πK = 10(K∗)−0.5(L∗)0.5 − 20 = 0, πL = 10(K∗)0.5(L∗)−0.5 −w = 0. 移行
すると，
10(K∗)−0.5(L∗)0.5 = 20
10(K∗)0.5(L∗)−0.5 = w
辺々を掛け算すると，100 = 20w =⇒ w = 5. ラグランジュ関数を使って答えても
よい.
(注意: この問題では，w = 5ならば，KL = 1
4 の任意の (K, L)を選んで最大利潤
Y − 5L− 20K = 20(KL)12 − 5L− 20K = 40K − 20K − 20K = 0 が実現している．
Quiz 8-4, 8-5の注意も参照のこと.)
Quiz 10-6. maxK1,L1 f1(K1, L1) s.t. y2 = f2(K −K1, L− L1)
ラグランジュ関数: L(K1, L1, λ) = f1(K1, L1) + λ(f2(K −K1, L−L1)− y2). その 1
階条件:
LK1 = ∂f1
∂K1+ λ∗ ∂f2
∂K2
d(K−K∗1 )
dK1= ∂f1
∂K1− λ∗ ∂f2
∂K2= 0
LL1 = ∂f1
∂L1+ λ∗ ∂f2
∂L2
d(L−L∗1)dL1
= ∂f1
∂L1− λ∗ ∂f2
∂L2= 0
Lλ = f2(K∗2 , L∗2)− y2 = 0
=⇒ (K∗1 , L∗1)において，
∂y1/∂K1
∂y1/∂L1= ∂y2/∂K2
∂y2/∂L2が満たすべき条件である.
11 積分
練習問題
Ex 11-1. (a)∫ a
−axexdx =
∫ a
−ax(ex)′dx = [xex]a−a −
∫ a
−aexdx
= aea + ae−a − ea + e−a = (a− 1)ea + (a + 1)e−a
(b)∫ a
−ax2exdx =
∫ a
−ax2(ex)′dx = [x2ex]a−a −
∫ a
−a2xexdx
= a2ea − a2e−a − 2[(a− 1)ea + (a + 1)e−a]
= (a2 − 2a + 2)ea − (a2 + 2a + 2)e−a
ただし，3番目の等式は (a)の結果を利用した．
(c)∫ e
1
1x
dx = [ln |x|]e1 = ln e− ln 1 = 1− 0 = 0
Ex 11-2. (a)∫
ea+bxdx =1bea+bx (b)
∫axdx =
ax
ln a
26
Ex 11-3. 右辺の積分を区間 [k, k + 1](k = 1, 2, · · · , n)に分割する．
右辺 =∫ 2
1ln xdx +
∫ 3
2ln xdx + · · ·+
∫ n+1
nln xdx =
n∑
k=1
∫ k+1
kln xdx
被積分関数 ln xは単調増加なので，積分範囲の下限で ln xを評価すると，各積分区間
[k, k + 1]上では lnx ≥ ln k（等号成立は x = kのみ） である．よって
右辺 >n∑
k=1
∫ k+1
kln kdx =
n∑
k=1
ln k =左辺
演習問題
Problem 11-1. (a) 被積分関数が e−x2を微分した結果（合成関数の微分）の定数倍であること
に気付けば早いが，置換積分 u = e−x2を用いてもよい．∫ a
−axe−x2
dx =∫ a
−a
−12
(e−x2
)′dx =
−12
[e−x2
]a
−a= 0
(注: f(x)が奇関数 (f(−x) = −f(x))ならば，∫ a−a f(x)dx = 0.)
(b)∫ a
0e−kxdx =
[−1
ke−kx
]a
0
= −1k
(e−ka − 1
)
(c) k > 0の場合は，∫ ∞
0e−kxdx =
[−1
ke−kx
]∞
0
= −1k
(0− 1) =1k
であるが，k ≤ 0の場合は，±∞になってしまう．
Problem 11-2. (a)∫
x−0.3dx =1
−0.3 + 1x−0.3+1 =
10.7
x0.7
(b) f(x) = yとおくと，dy = f ′(x)dx.∫
f ′(x)f(x)
dx =∫
1ydy = ln |y| = ln f(x)
(c)∫
ln xdx =∫
(x)′ ln xdx = x ln x−∫
x1x
dx = x lnx− x = x(lnx− 1)
Problem 11-3. 定積分は “符号 (±)つきの面積”を計算することに注意．
(a) 区間 [−1, 2]上で，x2 + 4 ≥ 0なので，定積分を求めればよい．∫ 2
−1(x2 + 4)dx =
[13x3 + 4x
]2
−1
=13× 8 + 8−
(−1
3− 4
)= 15
(b) 符号に気をつけてそれぞれの区間毎に定積分を計算する．区間 [0, 2]上では
x2 +2x ≥ 0であるが，区間 [−1, 0]上で x2 +2x ≤ 0であるので，区間 [−1, 0]
上の定積分の符号は負になってしまう．
−∫ 0
−1(x2 + 2x)dx +
∫ 2
0(x2 + 2x)dx
= −[13x3 + x2
]0
−1
+[13x3 + x2
]2
0
= −(
0−(−1
3+ 1
))+
(13× 8 + 4
)− 0
=223
27
復習問題
Quiz 11-1. (a)∫ a
−a(x2 + x5)dx =
[13x3 +
16x6
]a
−a
=13a3 +
13a3 +
16a6 − 1
6a6 =
23a3
[別解]:
x2が偶関数 (f(−x) = f(x))，x5が奇関数 (f(−x) = −f(x))であることに注意
すれば，∫ a
−a(x2 + x5)dx = 2
∫ a
0x2dx =
23a3.
(b) x2/3が偶関数である.∫ a
−ax2/3dx = 2
∫ a
0x2/3dx =
223 + 1
[x
23+1
]a
0=
65a
53
(c)∫ a
1ln xdx =
∫ a
1(x)′ ln xdx = [x ln x]a1 −
∫ a
1x
1x
dx = a ln a− a + 1
Quiz 11-2. (a)∫
(6x3 + 10x2 + 5)dx =6
3 + 1x3+1 +
102 + 1
x2+1 + 5x =32x4 +
103
x3 + 5x
(b)∫
(x1/2 + 5x−2/3)dx =1
12 + 1
x12+1 +
5−2
3 + 1x−
23+1 =
23x
32 + 15x
13
Quiz 11-3. (a) x3 + 5x = yとおくと，dy = (3x2 + 5)dx.∫
(x3 + 5x)10(3x2 + 5)dx =∫
y10dy =y11
11=
(x3 + 5x)11
11
(b) ex + 3x2 = yとおくと，dy = (ex + 6x)dx.∫
2(ex + 3x2)(ex + 6x)dx =∫
2ydy = y2 = (ex + 3x2)2
(c) x2 + 2 = yとおくと，dy = 2xdx.∫
2x
(x2 + 2)10dx =
∫y−10dy = −y−9
9= − 1
9(x2 + 2)9
Quiz 11-4. (a)∫
x3exdx =∫
x3(ex)′dx = x3ex−3∫
x2exdx = x3ex−3[x2ex − 2
∫xexdx
]
= (x3 − 3x2)ex + 6∫
xexdx = (x3 − 3x2)ex + 6[xex −
∫exdx
]
= (x3 − 3x2 + 6x− 6)ex
(b)√
1 + x2 = yとおくと，
x = (y2 − 1)12 , dx = 1
2
(y2 − 1
)− 12 2ydy =
(y2 − 1
)− 12 ydy.
∫x3
√1 + x2
dx =∫ (
y2 − 1) 3
2
y
(y2 − 1
)− 12 ydy =
∫ (y2 − 1
)dy =
13y3 − y
=√
1 + x2
[13
(1 + x2
)− 1]
=√
1 + x2
3(x2 − 2
)
(c)∫
xlogxdx =∫
12
(x2
)′ logxdx =12x2logx− 1
2
∫x2 1
xdx =
12x2logx− 1
2
∫xdx
=12x2logx− 1
4x2 =
14x2 (2logx− 1)
28
Quiz 11-5. p = MC(q)より，q =√
p− 3.
(a) p0 = 7のとき，q0 = 2. 従って，
PS(p0 = 7) = 7× 2−∫ 2
0(q2 + 3)dq = 14− 1
3× 8− 3× 2 =
163
(b) p1 = 12のとき，q1 = 3. 従って，
PS(p1 = 12) = 12× 3−∫ 3
0(q2 + 3)dq = 36− 1
3× 27− 3× 3 = 18
(c) 生産者余剰の変化分:
∆PS = PS(p1 = 12)− PS(p0 = 7) = 18− 163
=383
Quiz 11-6. q = D(p)より，p = D−1(q) = 25− q2 .
(a) p0 = 20のとき，q0 = 10. 従って，
CS(p0 = 20) =∫ 10
0
(25− q
2
)dq − 20× 10 = 250− 1
4× 100− 200 = 25
(b) p1 = 15のとき，q1 = 20. 従って，
CS(p1 = 15) =∫ 20
0
(25− q
2
)dq − 15× 20 = 500− 1
4× 400− 300 = 100
(c) 消費者余剰の変化分:
∆CS = CS(p1 = 15)− CS(p0 = 20) = 100− 25 = 75
A 確率
練習問題
Ex A-1. (a) サイコロを 2回ふる場合は，1回目の結果と 2回目の結果を区別できる．
1回目および 2回目の結果をそれぞれ ωi, ωj (i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)と記す.
根元事象: (ωi, ωj), (i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6). 全部で 36個 (= C16C1
6 )
標本空間: (ωi, ωj)|i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.和が偶数となる事象: (ωi, ωj)|i + j = 2n, n ∈ N. 要素の数:18個 (= 36/2)
2個のサイコロを同時にふる場合は，2個のサイコロの結果を区別できない．
根元事象: (ωi, ωj), (i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6; ωi ≤ ωj). 全部で 21個 (= 6+5+4+3+2+1)
標本空間: (ωi, ωj)|i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6; ωi ≤ ωj.和が偶数となる事象: (ωi, ωj)|ωi ≤ ωj , i + j = 2n, n ∈ N.要素の数:12個 (= (3 + 2 + 1)× 2)
(b) 事象A, Bを，A = 6の目が出る ,B = 偶数の目がでる とする．
P (A|B) =P (A ∩B)
P (B)=
1/61/2
=13
29
Ex A-2. P (Ω) = P (A ∪Ac). A ∩Ac = φより，P (A ∪Ac) = P (A) + P (Ac) = 1.
従って，P (Ac) = 1− P (A).
Ex A-3.
x
FX(x)
-
6
1 2 3 4 5 6
0.10.20.3
0.5
0.7
1
dt d
t dt d
t dt d
t
演習問題
Problem -1. P (B) = P (A ∩B) + P (Ac ∩B) = 0.1 + 0.3 = 0.4
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)より，
P (A) = P (A ∪B) + P (A ∩B)− P (B) = 0.6 + 0.1− 0.4 = 0.3
Problem -2. (a) (H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H), (H,T,T), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)
(b) A = (H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T)B = (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H)A ∩B = (H,H,T), (H,T,H)A ∪B = (H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H)
Problem -3. (a) P0 < X ≤ 1 = FX(1)− FX(0) = 0.7− 0.5 = 0.2
(b) P1 < X ≤ 2 = FX(2)− FX(1) = 1− 0.7 = 0.3
(c) P0 < X ≤ 2 = FX(2)− FX(0) = 1− 0.5 = 0.5
(d) P2 < X = 1− FX(2) = 1− 1 = 0
復習問題
Quiz A-1. (a) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0.6 + 0.5− 0.3 = 0.8
(b) P (A | B) = P (A ∩B)/P (B) = 0.3/0.6 = 0.5
(c) P (A ∩B) = P (A | B)P (B) = 0.8× 0.5 = 0.4
(d) P (B) = P (A ∩B)/P (A) = 0.4/0.5 = 0.8
30
Quiz A-2. (a) P (A1) = 13/52 (b) P (A2) = 4/52 = 1/13 (c) P (A1 ∩A2) = 1/52
(d) P (A1 ∪A2) = P (A1) + P (A2)− P (A1 ∩A2) = 13/52 + 4/52− 1/52 = 4/13
Quiz A-3. (A1 ∩A2) ⊆ ((A1 ∩A2) ∪ (A1 ∩Ac2)) = A1 ⊆ (A1 ∪A2)より，
P (A1 ∩A2) ≤ P (A1) ≤ P (A1 ∪A2).
P (A1 ∪A2) = P (A1) + P (A2)− P (A1 ∩A2) ≤ P (A1) + P (A2)
Quiz A-4. FX(10) =∫ 10
0
110
e−t/10dt =[−e−t/10
]10
0= −e−1 + 1 = 1− 1
e
Quiz A-5. 赤い玉を事象A, 大きい玉を事象Bとおくと，白い玉は事象Acで表せる．
問題設定より，P (A ∩B) = 310 = 0.3, P (Ac ∩B) = 2
10 = 0.2.
従って，大きい玉が赤い玉である確率:
P (A | B) =P (A ∩B)
P (B)=
P (A ∩B)P (A ∩B) + P (Ac ∩B)
=0.3
0.3 + 0.2= 0.6
B 確率分布
練習問題
Ex B-1. X, Y は独立であることから，E[XY ] = E[X]E[Y ].
Cov[X, Y ] = E[(X − E[X])(Y −E[Y ])]
= E[XY −XE[Y ]−E[X]Y + E[X]E[Y ]]
= E[XY ]− E[X]E[Y ]−E[X]E[Y ] + E[X]E[Y ]
= E[XY ]− E[X]E[Y ]
= 0
Ex B-2. E[U ] = E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]
V ar[U ] = E[(U − E[U ])2]
= E[(aX + bY − aE[X]− bE[Y ])2]
= E[(a(X − E[X]) + b(Y − E[Y ]))2]
= a2E[(X − E[X])2] + 2abE[(X − E[X])(Y − E[Y ])] + b2E[(Y − E[Y ])2]
= a2V ar[X] + 2abCov[X, Y ] + b2V ar[Y ]
= a2V ar[X] + b2V ar[Y ]
(X と Y が独立であるので，最後の等式は Ex B-1の結果Cov[X, Y ] = 0を利用した．)
Cov[U, V ] = E[(U −E[U ])(V − E[V ])]
= E[(aX + bY − aE[X]− bE[Y ])(cX + dY − cE[X]− dE[Y ])]
= E[(a(X − E[X]) + b(Y −E[Y ]))(c(X −E[X]) + d(Y −E[Y ]))]
= E[ac(X −E[X])2 + (ad + bc)(X −E[X])(Y − E[Y ]) + bd(Y − E[Y ])2]
= acV ar[X] + (ad + bc)Cov[X, Y ] + bdV ar[Y ]
= acV ar[X] + bdV ar[Y ]
(X と Y が独立であるので，最後の等式は Ex B-1の結果Cov[X, Y ] = 0を利用した．)
31
Ex B-3. (a) a ≤ X ≤ bより，−b ≤ −X ≤ −a.
密度関数: f−X(x) = 1−a−(−b) = 1
b−a (−b ≤ x ≤ −a).
従って，−X ∼ U(−b,−a).
(b) (a)において，a = −1, b = 1とおけば，−X ∼ U(−1, 1).
(c) X ∼ N(µ, σ2)より，PX ≤ x = Φ(x−µ
σ
).
P−X ≤ x = PX ≥ −x = 1− PX ≤ −x = 1− Φ(−x−µ
σ
)= Φ
(x−(−µ)
σ
)
(最後の等式は，標準正規分布の密度関数が 0を中心として左右対称なので，Φ(y)+
Φ(−y) = 1であることから得られる．)
従って，−X ∼ N(−µ, σ2).
(d) (c)において，µ = 0, σ = 1とおけば，−X ∼ N(0, 1).
演習問題
Problem B-1. (a) PX ≤ 60 = P
X−5010 ≤ 60−50
10
= PZ ≤ 1 = 1 − P1 < Z = 1 −
0.1587 = 0.8413
(b) P70 ≤ X = P
70−5010 ≤ X−50
10
= P2 ≤ Z = 0.0288
(c) P50−10a ≤ X ≤ 50+10a = P
50−10a−5010 ≤ X ≤ 50+10a−50
10
= P−a ≤
Z ≤ a = 1− PZ < −a − PZ > a = 1− 2PZ > a = 0.9
従って，a = 1.645.
Problem B-2. (a) Cov[X,X] = E[(X − E[X])(X −E[X])] = E[(X −E[X])2] = V ar[X].
Cov[X,Y ] = E[XY ]− E[X]E[Y ]について，Ex B-1を参照.
V ar[X] = Cov[X, X] = E[X2]−E[X]2.
(b) Ex B-2の V ar[U ]の導出を参照．
Problem B-3. E[Z] =∫∞−∞ xfZ(x)dx = 0は，非積分関数が奇関数であることから，直ちに得ら
れる．
V ar[Z] =∫ ∞
−∞x2fZ(x)dx
=∫ ∞
−∞x2 1√
2πe−x2/2dx
= − 1√2π
∫ ∞
−∞x
(e−x2/2
)′dx
= − 1√2π
([xe−x2/2
]∞−∞
−∫ ∞
−∞e−x2/2
)dx
=1√2π
∫ ∞
−∞e−x2/2dx
= 1
( 1√2π
∫∞−∞ e−x2/2dxは標準正規分布の密度関数の全領域における積分であるので，
1に等しい．)
Problem B-4. (a) FY (y) = PY ≤ y = PFX(X) ≤ y = PX ≤ F−1X (y) = FX(F−1
X (y)) =
y. 従って，Y ∼ U(0, 1).
32
(b) ProB-4.xlsを参照．
復習問題
Quiz B-1. E[X] =16(1 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9) =
163
E[Y ] =16(2 + 4 + 8 + 10 + 12 + 16) =
263
V ar[X] = E[X2]−E[X]2 =16(12 + 32 + 52 + 62 + 82 + 92)− 162
32=
689
V ar[Y ] = E[Y 2]−E[Y ]2 =16(22 + 42 + 82 + 102 + 122 + 162)− 262
32=
2009
Cov[X, Y ] = E[XY ]− E[X]E[Y ]
=16(1× 2 + 3× 4 + 5× 8 + 6× 10 + 8× 12 + 9× 16)− 16
3263
=1159
ρ(X, Y ) =Cov[X,Y ]√
V ar[X]√
V ar[Y ]=
115/9√68/9
√200/9
=23
4√
34
Quiz B-2. (a) PX > 120 = P
X−10010 > 120−100
10
= PZ > 2 = 0.0288
(b) PX > 90 = P
X−10010 > 90−100
10
= PZ > −1
= 1− PZ < −1 = 1− PZ > 1 = 1− 0.1587 = 0.8413
(c) P90 ≤ X ≤ 110 = P
90−10010 ≤ X−100
10 ≤ 110−10010
= P−1 ≤ Z ≤ 1
= 1− PZ < −1 − PZ > 1 = 1− 2PZ > 1 = 1− 0.3174 = 0.6826
(d) P100 − 10a ≤ X ≤ 100 + 10a = P
100−10a−10010 ≤ X ≤ 100+10a−100
10
=
P−a ≤ Z ≤ a = 1− PZ < −a − PZ > a = 1− 2PZ > a = 0.9
従って，a = 1.645.
Quiz B-3. (a) 平均の線形性より，E[2X] = 2E[X].
(b) V ar[2X] = E[(2X − 2E[X])2] = E[4(X −E[X])2] = 4V ar[X].
(c) Cov[2X,Y ] = E[(2X − 2E[X])(Y − E(Y ))] = 2E[(X − E[X])(Y − E(Y ))] =
2Cov[X,Y ].
(d) ρ(2X, Y ) = Cov[2X,Y ]√V ar[2X]
√V ar[Y ]
= 2Cov[X,Y ]
2√
V ar[X]√
V ar[Y ]= ρ(X,Y ).
(e) Ex B-2において，a = b = 1とおけば，V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ]が得
られる.
Quiz B-4. (a) E(X) =∫ 4−2 x(x + 2)/18dx = 1
18 [x3/3 + x2]4−2 = 2
(b) E[(X + 2)3] =∫ 4−2(x + 2)4/18dx =
∫ 60 y4/18dy = 1
18 [y5/5]60 = 432/5
(c) E[6X − 2(X + 2)3] = 6E[X]− 2E[(X + 2)3] = 12− 864/5 = −804/5
33
Quiz B-5. X ∼ N(µ, σ2)ならば，E[eX ] = eµ+ 12σ2が成り立つことを示す．
E[eX ] =∫ ∞
−∞ex 1√
2πσe−
(x−µ)2
2σ2 dx
=∫ ∞
−∞
1√2πσ
e−1
2σ2 (x−µ−σ2)2+µ+ 12σ2
dx
= eµ+ 12σ2
∫ ∞
−∞φ
(x− (µ + σ2)
σ
)dx
= eµ+ 12σ2
(∫∞−∞ φ
(x−(µ+σ2)
σ
)dxはN(µ + σ2, σ2)に従う確率変数の密度関数の全領域における
積分であるので，1に等しい．)
Quiz B-6.
E[Y n] = E[enX ]
=∫ ∞
−∞enx 1√
2πσe−
(x−µ)2
2σ2 dx
=∫ ∞
−∞
1√2πσ
e−1
2σ2 (x−µ−nσ2)2+nµ+ 12n2σ4
dx
= enµ+ 12n2σ2
∫ ∞
−∞φ
(x− (µ + nσ2)
σ
)dx
= enµ+ 12n2σ2
(∫∞−∞ φ
(x−(µ+nσ2)
σ
)dxはN(µ + nσ2, σ2)に従う確率変数の密度関数の全領域におけ
る積分であるので，1に等しい．)
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