eotv os l or and tudom anyegyetem - · a fejezet v eg en a kor abban fel rt modelleket olyan...

EOTVOS LORAND TUDOMANYEGYETEM

Bebes Andras

Hatekony portfoliok kulonbozo kockazati

mertekek szerint

Temavezeto: Madi-Nagy GergelyBSc szakdolgozat

Termeszettudomanyi Kar

Matematika BSc szakon

2011. junius 2.

http://www.elte.hu/

http://ttk.elte.hu/

http://www.cs.elte.hu/

EOTVOS LORAND TUDOMANYEGYETEM

Kivonat

Termeszettudomanyi Kar

Matematika BSc

A penzugyi vilagban rendkıvul nagy jelentoseggel bır, hogy penzunket milyen formaban,

hol es hogyan fektessuk be. A befektetesek kialakıtasanak elso es legfontosabb szempont-

ja a befekteto penzugyi viselkedese, hogy mekkora kockazatot hajlando vallalni, illetve,

hogy mekkora hozamot var el az adott befektetestol. A szakdolgozat a portfoliokepzes,

gyakorlati alkalmazasait mutatja be nehany alapveto modell segıtsegevel. A portfolio

elmelet alapja a portfolio, ami tobbfele ertekpapır egy kosarat jelenti. Az egyes ertekpapı-

rok tetszoleges sullyal szerepelhetnek a kosarban, celunk, hogy a befekteto igenyeinek

megfeleloen optimalis legyen az adott portfolio. Tehat, adott kockazat mellett a varhato

hozam maximalis, illetve adott hozam mellett a kockazat minimalis legyen. A vallalt

kockazat, illetve az elvart hozam pedig a befekteto magatartasatol fuggoen valtozik.

Az elso fejezetben bemutatjuk a portfolio alapveto tulajdonsagait. Megmutatjuk, hogy

mikent csokkentheti a diverzifikacio, tehat a portfolioban szereplo eszkozok csokkentesere

iranyulo magatartas, a kockazatot. A portfolio elmelet temakorevel eloszor Harry Marko-

witz foglalkozott 1952-ben megjelent cikkeben. A cikk a kovetkezo feltevesen alapul:

egy befekteto minel magasabb varhato hozamu, de minel alacsonyabb hozamszorasu

portfoliora vagyik. Ezutan definialjuk a Markowitz-fele hatekony portfoliokat.

A masodik fejezetben definialunk nehany a kockazat meresere alkalmas merteket. Majd

ezek segıtsegevel felırunk nehany alapveto modellt, amely a hatekony portfolio kialakıta-

sara alkalmas.

A harmadik fejezetben roviden bemutatjuk a szimplex algoritmus mukodeset, amely

a linearis programozasi feladat megoldasara alkalmas, valamint ennek a modosıtott

valtozatat, amely a programozasban optimalisabb a tarhelyigeny csokkentese miatt.

Az altalanosıtott redukalt gradiens modszer a nemlinearis programozasi feladatokra ad

megoldasi algoritmust. A fejezet vegen a korabban felırt modelleket olyan alakra hozzuk,

hogy tudjuk rajuk alkalmazni a kulonfele algoritmusokat.

Az utolso fejezet temaja egy konkret modellen bemutatni a korabban leırt modszereket.

A korabbi evek adatai rendelkezesunkre allnak, ıgy azokat rendszerezve kepesek vagyunk

kialakıtani sajat magunk szamara egy olyan adatbazist, amelyet aztan felhasznalva

megoldhatjuk a portfolio problemat.

http://www.elte.hu/

http://ttk.elte.hu/

http://www.cs.elte.hu/

Koszonetnyilvanıtas

Szeretnek koszonetet mondani mindazoknak, akik segıtettek munkamat. Kulonoskeppen

temavezetomnek, Madi-Nagy Gergelynek, akinek ideje nem volt draga, hogy foglalkozzon

velem, s kerdeseimmel barmikor nyugodtan fordulhattam hozza. Szeretnem meg megko-

szonni Biszak Elodnek a segıtseget, amit a dolgozat megırasa kozben nyujtott, valamint

Druszamnak, illetve barataimnak, hogy vegig mellettem alltak. Ezenfelul szeretnek

koszonetet mondani csaladomnak, kulonoskeppen Tamasovics Ritanak, aki mindvegig

mellettem allt.

ii

Tartalomjegyzek

Kivonat i

Koszonetnyilvanıtas ii

Abrak jegyzeke v

Tablazatok jegyzeke vi

1. Hatekony portfolio 11.1. A portfolio fogalma, alapveto tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Diverzifikacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Hatekony portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Portfolio problema 52.1. A kockazat mertekei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Portfolio kockazatanak szamıtasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. A problema modellezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Az atlag-variancia problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. Az atlagos abszolut-elteres modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Az atlag negatıv-elteres problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 123.1. Megoldasi modszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Szimplex algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Modosıtott szimplex algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.3. Redukalt gradiens modszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. A modellek megfelelo alakra hozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.1. Az atlag abszolut-elteres modell, mint linearis programozasi feladat 173.2.2. Az atlag negatıv-elteres modell, mint linearis programozasi feladat 18

4. A hatekony portfolio kialakıtasa 204.1. Az adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1. Reszvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.2. Elvart hozam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2. A problema megoldasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1. Az atlag-variancia modell megoldasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa . . . . . . . . . . . . . 274.2.3. Az atlag negatıv-elteres modell megoldasa . . . . . . . . . . . . . . 31

iii

Contents iv

4.3. Osszegzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A. Adatgyujto program 34

Irodalomjegyzek 35

Abrak jegyzeke

1.1. A kockazat alakulasa a diverzifikacio hatasara . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.1. Az atlag-variancia modell kezdeti allapota . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Az atlag-variancia problema megoldasa Emin mellett . . . . . . . . . . . . 244.3. Az atlag-variancia problema megoldasa Eatlag mellett . . . . . . . . . . . . 254.4. Az atlag-variancia problema megoldasa Emax mellett . . . . . . . . . . . . 264.5. Az atlag abszolut-elteres modell (alapfeladat) . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emin mellett) . . . . . . . . . 284.7. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Eatlag mellett) . . . . . . . . 294.8. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emax mellett) . . . . . . . . . 30

A.1. tozsde.pl implementacioja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

v

Tablazatok jegyzeke

1.1. Diverzifikacio hatasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.1. Kezdeti szimplex tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1. A BET-en 10 eve jelen levo reszvenyek varhato hozama . . . . . . . . . . 224.2. Elvart hozamok a dolgozatban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (variancia probl.) . . . . 254.4. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (variancia probl.) . . . 264.5. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (variancia probl.) . . . . 274.6. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (abszolut-elteres) . . . . 284.7. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (abszolut-elteres) . . . . 294.8. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (abszolut-elteres) . . . . 294.9. Osszesıtett tablazat (abszolut-elteres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.10. Osszesıtett tablazat (negatıv-elteres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.11. Eredmenyek osszesıtese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

vi

1. fejezet

Hatekony portfolio

A fejezethez szukseges adatokat, illetve definıciokat a [1] konyv felhasznalasaval gyuj-

tottem ossze.

1.1. A portfolio fogalma, alapveto tulajdonsagai

1. Definıcio. (Portfolio) Penzugyben a portfolio tobbfele befektetesi lehetoseg egy cso-

portjat jelenti, amelyet egy intezmeny vagy egyenek birtokolhatnak.

Az egyik legfontosabb szempont a kulonbozo ertekpapırok osszevalogatasakor a multbeli

adatok felhasznalasa. Az ertekpapır egy adott idointervallum alatt megfigyelheto viselke-

dese jo esellyel mutatja, hogy az ertekpapır hogyan fog viselkedni a jovoben. Persze

ez az elvart viselkedes egyaltalan nem biztos, hiszen nem tudhatjuk, hogy a befektetok

magatartasa nem valtozott-e olyan markansan, hogy a multbeli adatok mutatta varhato

hozamok alakulasa relevansan megvaltozik. Ez ugyan mindig hordoz magaban kisebb-

nagyobb kockazatot, am egy adott eszkoznek a multban megfigyelheto mozgasa megis

segıtsegunkre lehet. Az elmult evek kulonbozo eszkozeinek mozgasa pedig tobb helyen

is dokumentalva van, ıgy tobb lehetosegunk is akad ezek osszegyujtesere, elemzesere.

2. Definıcio. (Hozam) Penz- vagy tokepiacon alkalmazott befektetesek eredmenyekent

elert tokenovekmeny. Ertekpapır altal biztosıtott tenyleges jovedelem, amelyet a nevleges

kamat es arfolyamnyereseg, ill. a papır megszerzeskori piaci arfolyamanak aranya hataroz

meg.

3. Definıcio. (Realhozam) Megmutatja, hogy adott idoszak alatt tenylegesen mennyit

nott befektetesunk erteke. A mindenkori nominalis kamatlabak ertekebol az aktualis

inflacios erteket levonva kapjuk meg az adott idoszakra ervenyes realhozamot.

1

1. fejezet Hatekony portfolio 2

4. Definıcio. (Varhato hozam) A lehetseges hozamok valoszınusegekkel sulyozott atlaga.

Jelolje: E.

Egy portfolio osszeallıtasakor tobbfajta befektetesi eszkoz kozul is valaszthatunk, am a

dolgozat csak a kulonbozo ertekpapırokra koncentral. Ezek kozul az alabbiakban csak a

kovetkezokkel foglalkozunk: kincstarjegy, allamkotveny, vallalati kotveny, nagyvallala-

tok reszvenyei, illetve kisvallalatok reszvenyei. A kulonbozo fajta ertekpapırok mind

kulonbozo kockazati szinteket kepviselnek. A kockazat novelesevel a varhato hozam is

novekszik. Mıg a kincstarjegy teljesıtmenye eppen csak meghaladja az inflacio erteket,

addig a kisvallalati reszvenyek megterulesi rataja jocskan felette teljesıt.

1.1.1. Diverzifikacio

5. Definıcio. (Diverzifikacio) A diverzifikacio egy befektetoi magatartas, amely a portfo-

lio kockazatanak csokkentesere iranyul, megpedig a portfolioban szereplo ertekpapırok

szamanak novelesevel.

Fontos kerdes azonban, hogy miert csokkenti a diverzifikacio a portfolio kockazatat. A

valasz pedig, hogy a diverzifikacio csokkenti a valtozekonysagot, tehat a hozamingado-

zast. Valojaban mar kisfoku diverzifikacioval jelentos csokkenest lehet elerni. Hatasa

azert ilyen jelentos, mert a kulonbozo papırok arfolyamai nem mozognak egyutt, vagyis

nem korrelalnak.

Figyeljuk meg a diverzifikacio hatasat a kovetkezo egyszerubb peldan. Vegyunk ket

gyarat, az egyik esokabatot, mıg a masik napernyot gyart. A kereslet nyilvanvaloan

idojarasfuggo, ıgy most feltesszuk, hogy egy adott szezonban ketfele eset lehetseges,

azonos valoszınuseggel. Vagy esos az ido a szezonban, vagy napos. A kovetkezo tablazat

mutatja a megfelelo reszveny hozamat, 1 dollarnyi reszveny vasarlasa eseten:

esokabat gyar napernyo gyar diverzifikacio (50%/50%)esos (50%) 0,5 0,1 0,3

napos (50%) 0,1 0,5 0,3E(r) 0,3 0,3 0,3σ(r) 0,2 0,2 0

1.1. tablazat. Diverzifikacio hatasa

Az elso ket sor jeloli a hozamunkat, amennyiben esos, illetve napos idonk volt a szezon-

ban. A harmadik sorban kiszamoltuk, hogy megfelelo aranyu befektetes mellett milyen

varhato hozamra szamıthatunk, mıg az utolso sorban a befektetesek szorasat szamoltuk

ki. Az oszlopok jelzik, hogy milyen aranyban fektetjuk be a penzunket. Az elso ket

oszlopban 100%-ban a penzunket vagy az esokabat gyarba, vagy a napernyo gyarba


fektetjuk, a harmadik oszlop jelzi, hogy mi tortenik, ha befektetesunket megosztjuk,

tehat diverzifikaljuk, a kulonbozo reszvenyek kozott. Konnyen leolvashato, hogy mıg

a varhato hozam mindenhol ugyanannyi, addig a diverzifikalt portfolioban a szoras 0,

tehat nincs kockazata a hozamnak.

Termeszetesen a fent felvazolt peldaban a ket reszveny korrelacioja teljesen ellentetes,

ıgy lehetseges, hogy azonos megosztas mellett nem csokken a varhato hozam, mıg a

kockazat eltunik. A valosagban a kulonfele ertekpapırok egymashoz valo viszonya ennel

lenyegesen arnyaltabb. A kockazatcsokkenes azonban nem korlatlan. Diverzifikacioval a

portfolio hozamanak szorasa korulbelul a felere csokkentheto, ez a javulas azonban mar

viszonylag csekely szamu reszvennyel, 15− 20 a portfolioban szereplo papırral elerheto.

1.1. abra. A kockazat alakulasa a diverzifikacio hatasara

A diverzifikacioval csokkentheto kockazatot egyedi kockazatnak nevezzuk. Ez a fajta

kockazat az egyedi vallalatok kozvetlen kockazatat jelenti, tehat a piac egeszere vonatko-

zo kockazati tenyezo kulonbozik ettol. Ezt a piac egesze altal generalt kockazatot

azonban nem lehet diverzifikacioval csokkenteni. Piaci kockazatnak hıvjuk azt a kockaza-

tot, amelyre a diverzifikacio nincs hatassal.

Jol diverzifikalt portfolionak azt nevezzuk, amelyre csak a piaci kockazat hat. Tehat,

ahol az egyedi kockazatot kikuszoboltuk. Igy egy jol diverzifikalt portfoliora valojaban

csak a piac valtozasa van hatassal, tehat csak a piaci fellendules illetve hanyatlas jelent

kockazatot.


1.2. Hatekony portfolio

Ahogy azt korabban megallapıtottuk a reszvenyek kulonbozo aranyu keveresevel, s a di-

verzifikacioval az elerheto kockazatok es hozamok lenyegesen szelesebb valaszteka johet

szoba. De mi a cel? A celunk, hogy ugynevezett hatekony portfoliot hozzunk letre.

Hatekonynak egy portfoliot akkor nevezunk, ha teljesulnek ra a kovetkezo tulajdonsagok:

1. nem allıthato elo a portfolioenal nem kisebb varhato hozamu, de kisebb kockazatu

portfolio,

2. nem allıthato elo a portfolioenal nem nagyobb kockazatu, de nagyobb varhato

hozamu portfolio.

Jol lathato, hogy a problemaval csak akkor erdemes foglalkozni, ha az ertekpapırok

kozott megtalalhato olyan is, amelynek varhato hozama elore veletlen. Hiszen, ha min-

den ertekpapır hozama egyertelmu lenne, akkor csak azokat valogatnank a portfolionkba,

amelyek hozama a legmagasabb.

A problemaval eloszor Harry Markowitz foglalkozott. Az ezzel kapcsolatos elso cikket

1952-ben publikalta, majd 1959-ben bovebben kidolgozva ”Portfolio Selection: Efficient

Diversification of Investment” cımen konyv formajaban jelentetett meg. A mu azota is

a temakor alapjaul szolgal.

Konnyen lathato, hogy attol fuggoen, mekkora kockazatot vallal vagy mekkora hozamot

var el a befekteto, tobb hatekony portfolio is kepezheto, e szempontok figyelembe

vetelevel. Ezen portfoliok altal alkotott halmazt hatekony hatargorbenek nevezzuk.

2. fejezet

Portfolio problema

Az elozo fejezetben felvazolt problema megoldasara tobb alkalmas modell is szuletett.

Az alabbiakban bevezetjuk a kockazat mertekeit, majd bemutatunk nehany, a hatekony

portfolio kialakıtasara alkalmas modellt. A fejezetben definialt kockazati mertekeket,

illetve a modellek bemutatasahoz szukseges informaciok osszegyujtesehez a [1] iletve [2]

forrasokat hasznaltam.

2.1. A kockazat mertekei

6. Definıcio. (Variancia) A hozam varianciaja a varhato piaci hozamtol valo elteres

negyzetenek varhato erteke. Keplete:

V ar(rm) = E(rm − rm)2,

ahol rm az aktualis piaci hozam, rm = E[rm] pedig a varhato piaci hozam. Jelolese: σ2

7. Definıcio. (Szoras) A szoras a variancia negyzetgyoke. Jelolese: σ

A piaci bizonytalansag altalanosan hasznalt mertekei tehat a szoras es a variancia.

Azonban a kulonfele modellek megertesehez meg szukseg van nehany tovabbi, a kockazat

meresere hasznalhato mertek bevezetesere.

8. Definıcio. (Benchmark) A penzugy teruleten a benchmark (mas neven referencia-

index) egy viszonyıtasai alap, egy kuszobszam, melynek segıtsegevel osszehasonlıthatova

valnak az eltero penzpiaci befektetesek adatai.

A negatıv-elteres fogalmat a multbeli hozam statisztikak segıtsegevel vezetjuk be. Legyen

rti az i-edik ertekpapır hozama a t-edik megfigyelesi periodusban, ahol i = 1, . . . , n

5

2. fejezet Portfolio problema 6

valamint t = 1, . . . , T . Legyen bmt a benchmark hozam a t-edik periodusban, t =

1, . . . , T . Elofordulhat, hogy bmt = c konstans ∀t-re. Barmely x portfolio vektor es E

eseten:

9. Definıcio. Az atlaghoz viszonyıtott negatıv-elteres:

SE(x) =1T

T∑t=1

(n∑

i=1

rtixi − E

)−,

a benchmarkhoz viszonyıtott negatıv-elteres:

Sbm(x) =1T

T∑t=1

(n∑

i=1

rtixi − bmt

)−,

ahol

z− =

{|z| , ha z < 0,

0, ha z ≥ 0.

10. Definıcio. Az atlag abszolut-elterest a kovetkezokeppen definialjuk:

Sn(x) =1T

T∑t=1

∣∣∣∣∣n∑

i=1

rtixi − E

∣∣∣∣∣ ,ahol a parameterek megegyeznek a fentiekkel.

2.1.1. Portfolio kockazatanak szamıtasa

Adott portfolio varhato hozamanak szamıtasa konnyu, hiszen annak erteke egyszeruen

a benne szereplo reszvenyek varhato hozamanak sulyozott atlaga:

Portfolio varhato hozama =N∑

i=1

xiri,

valamint∑N

i=1 xi = 1, ahol

ri jeloli az i-edik ertekpapır varhato hozamat, xi pedig az i-edik ertekpapır sulyat a

portfolioban.

A portfolio kockazata azonban korantsem ilyen egyszeru, hiszen amennyiben ott is

ezt a becslest vennenk, akkor azt felteteleznenk, hogy a portfolioban szereplo papırok

arfolyamai teljesen egyutt mozognak. De pont amiatt, hogy a reszvenyek mozgasa nem


azonos, lehetseges, hogy a diverzifikacio csokkenti a kockazatot. Azonban, hogy pontosan

lassuk az osszefuggeseket a portfolioban szereplo reszvenyek kozott ıgy szukseges bevezet-

ni a kovariancia, illetve a korrelacio fogalmat.

11. Definıcio. (Kovariancia) Az X Y ertekpapırok kovarianciaja, melyet a cov(X,Y )

jelol, egyenlo az

E((X − rX)(Y − rY ))

kifejezessel, ahol rX , rY az X, Y varhato erteke. Ha X, Y fuggetlenek egymastol, akkor

cov(X,Y ) = 0.

12. Definıcio. (Korrelacio) Ket ertekpapır korrelacioja annak merteke, hogy az egyik

papır megvaltozasa mennyire mutat osszefuggest a masik papır megvaltozasaval. A

korrelacio magas vagy alacsony attol fuggoen, hogy a ket ertekpapır kozti kapcsolat

szoros vagy sem. Azonos iranyu megvaltozasok eseten a papırok pozitıvan korrelalnak,

mıg ellentetes iranyu megvaltozasok eseten negatıvan. Egymastol fuggetlen ertekpapırok

korrelacioja zerus. A korrelacio merteke a korrelacios egyutthato:

ρ :=cov(X,Y )√D2(X)D2(Y )

Ezek segıtsegevel mar kepesek vagyunk kiszamolni egy portfolio kockazatat. Egy olyan

portfolio eseten, amelyN db reszvenyt tartalmaz, a kiszamolashoz vegyunk egy matrixot,

ahol minden oszlop egy adott reszvenyt jelent, tehat a matrix i-edik oszlopa a portfolio-

ban szereplo i-edik reszveny. Ugyanıgy a sorok is ugyanezt jelentik. Ekkor az i-edik

sor i-edik eleme jelenti az i-edik reszveny sulyozott varianciajat (σ2i ), ahol a suly a

portfolioban szereplo reszveny aranyanak negyzete (x2i ). Illetve az i-edik sor j-edik eleme

(ahol i 6= j) jelenti a ket reszveny, az elobbiekhez hasonloan, sulyozott kovarianciajat

(xixjσij). A portfolio varianciajahoz pedig a matrix elemeit kell osszeadnunk.(σ2

Portfolio =N∑

i=1

N∑i=1

xixjσij

)

Konnyen meggondolhato, hogy ha N reszvenybe fektetunk be ugy, hogy minden resz-

venybol egyenlo aranyban veszunk, akkor amennyiben N 7−→ ∞, akkor a portfolio

varianciaja az atlagos kovarianciahoz tart. Tehat, ha az atlagos kovariancia nulla lenne,

akkor minden kockazatot ki tudnank kuszobolni kelloen nagy mennyisegu ertekpapır

tartasaval. Azonban a reszvenyarfolyamok nem egymastol fuggetlenul mozognak, ami

ıgy korlatozza a diverzifikacio lehetosegeit. A jol diverzifikalt portfolio kockazata nem

tartalmaz specifikus kockazatot, hanem kizarolag piaci kockazatbol all.


2.2. A problema modellezese

Hatekony portfoliokbol a befekteto igenyei szerint tobbfele is eloallıthato. Feladatunk,

hogy adott kockazat mellett maximalizaljuk a varhato hozamot, illetve, hogy adott

varhato hozam mellett minimalizaljuk a kockazatot. Az ilyen portfoliokat hatekony

portfolioknak nevezzuk. Ezeknek egy halmaza egy gorben abrazolhato, amelyet hatekony

hatargorbenek hıvunk.

Markowitz modelljeben a portfolio kockazatat annak varianciajaval merte. Igy a prob-

lemara a programozasi modellek egy valtozatat, az un. kvadratikus programozasi fe-

ladatot kapta. Az alabbiakban ennek bemutatasara teszunk kıserletet.

Jelolje a j-edik ertekpapır hozamat a ξj valoszınusegi valtozo, xj pedig a j-edik papırba

fektetett penzmennyiseget, j = 1, . . . , n. M legyen a rendelkezesunkre allo toke. Ebbol

kiszamolhatjuk a portfolio varhato hozamat: E(ξTx) = µTx, ahol

ξ = (ξ1, . . . , ξn)T

µ = (µ1, . . . , µn)T

x = (x1, . . . , xn)T

µi = E(ξi), i = 1, . . . , n.

Legyen C a ξ kovariancia matrixa:

C = (cij), C = E[(ξ − µ)(ξ − µ)T ].

Innen a variancia:V ar(ξTx) = E[(ξ − µ)Tx]2 =

= E[xT (ξ − µ)(ξ − µ)Tx] = xTCx

A portfolio problema kvadratikus programozasi feladatkent a kovetkezokent ırhato fel:

min xTCx

n∑j=1

µjxj ≥ pM

n∑j=1

xj = M

0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n

(2.1)

megszorıtasokkal, ahol uj , j = 1, . . . , n eloırt felso korlatok, p pedig a befekteto altal

elvart hozam.


A (2.1) feladat gyakorlati alkalmazasahoz szukseges n(n + 1)/2 kovariancia ismerete.

Ezeket a rendelkezesre allo multbeli adatok segıtsegevel szamolhatjuk ki. Azonban, ha

pl. n = 500, akkor ez rengeteg idobe telik, s ennyi ertekpapır mellett a megoldas is

rengeteg idobe telik.

A portfolio problema masik megfogalmazasa a kovetkezo:

maxn∑

j=1

µjxj

xTCx ≤ vn∑

j=1

xj = M

0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n

(2.2)

A v parametert megfeleloen valtoztatva kiszamolhatok a hatekony hatargorbe elemei.

A problema felırasa parametrikus kvadratikus programozasi feladatkent:

min12

T

Cx− λn∑

j=1

µjxj

tekintve 0 ≤ xj ≤ uj , j = 1, . . . , n λ ∈ [0,∞)

(2.3)

felteteleket, ahol λ egyfajta atvaltasi parameter a varhato hozam es kockazat kozott,

melyet (megfeleloen) valtoztatva megkaphatjuk a hatekony hatargorbe pontjait.

2.2.1. Az atlag-variancia problema

Az atlag-variancia problema a klasszikus Markowitz-fele modellnek nevezett portfolio

keresesi feladat, amelyben a kockazatot a portfolio hozamanak varianciajaval merjuk.

Parametrikus kvadratikus programozasi feladatkent a kovetkezokepp ırhato fel:

min V ar = xTCx

tekintve µTx = E,

Ax = b

x ≥ 0

felteteleket ∀E ∈ [Emin, Emax]− ra,

(2.4)

ahol az x n-dimenzios vektor koordinatai a portfolioban tartott egyes ertekpapırokba

fektetett osszegek szulyait, a µ n-dimenzios vektor az ertekpapırok hozamanak varhato


ertekeit jeloli, az A(n × m)-es matrix illetve a b m-dimenzios vektor pedig a linearis

megszorıto felteteleket hatarozza meg. E jeloli a portfoliotol elvart hozamot, Emax a

maximalisan elerheto E-t, mıg Emin a minimalis varianciahoz tartozo E-t.

2.2.2. Az atlagos abszolut-elteres modell

Az atlagos abszolut elteres modelljet Konno es Yamakazi vezettek be:

min Sn(x)

tekintve, hogy µTx = E,

Ax = b,

x ≥ 0.


(2.5)

ahol a parameterek ugyanazt jelentik, mint (2.4)-ben.

2.2.3. Az atlag negatıv-elteres problema

A problema megkozelıtheto mas szempontbol is, ha a befekteto csak a varhato hozam

alulteljesıtettsege miatt aggodik. Ilyenkor az atlagtol valo negatıv elterest minimalizal-

hatjuk.

Felırhato az atlag negatıv elteres problema ket megfelelo valtozatat:

min SE(x)

tekintve a µTx = E,

Ax = b

x ≥ 0


(2.6)

ahol minden parameter ugyanazt jelenti, mint (2.4)-ben, Emin kivetelevel, amely most a

minimalis negatıv elteresu portfolio hozamat jelenti. A masik valtozata a problemanak

a kovetkezo:


min Sbm(x)

tekintve a µTx = E,

Ax = b

x ≥ 0


(2.7)

ahol a parameterek ugyanazt jelentik, mint az elobb.

3. fejezet

Linearis, illetve kvadratikus

programozasi feladatta alakıtas

3.1. Megoldasi modszerek

13. Definıcio. (Linearis programozasi feladat) Meghatarozando egy adott linearis cel-

fuggveny optimuma egy adott linearis egyenlotlensegrendszer megoldasainak halmazan

es keresunk egy hozza tartozo optimalis megoldast is. (LP)

14. Definıcio. (Kvadratikus programozasi feladat) Kvadratikus programozasi feladatban

a feltetelek elsofokuak, a celfuggvenyben a valtozo masodfokon is szerepel. (QP)

Az ıgy felırt feladatok megoldasahoz az Excel Solver-t fogjuk majd hasznalni a kovetkezo

fejezetben. A Solver a linearis programozasi feladat megoldasahoz a szimplex algoritmust

alkalmazza, mıg a kvadratikus programozasi feladathoz a altalanosıtott redukalt gradiens

modszert alkalmazza. A Microsoft Excel 2007 problemamegoldo bovıtmenye azonban

nem kepes bonyolultabb modellek megoldasara, ugyanis nem tud nagyobb meretu vek-

torvaltozokkal szamolni. A problema elkerulese erdekeben a linearis programozasi fela-

datokat, ahol szukseg van a nagyobb vektorvaltozora, a nyılt forraskodu OpenOffice.org

program tablazatkezelojenek a Calc-nak Solver bovıtmenyevel fogjuk megoldani. A

Calc Solver az LP feladatok megoldasahoz a javıtott szimplex algoritmust vagy az

ugynevezett Elagaztatas es korlatozas modszer (Branch and Bound (BB)) hasznalja.

Ez utobbit azonban csak egeszerteku programozasi feladatok eseteben alkalmazza, ezert

a modszerrel kulon nem foglalkozunk a szakdolgozatban.

12

3. fejezet Linearis, illetve kvadratikus programozasi feladatta alakıtas 13

3.1.1. Szimplex algoritmus

A linearis programozasi feladat kanonikus alakja:

min cx

Ax = b

x ≥ 0

(3.1)

Ilyenkor a szimplex algoritmus a kovetkezo lepesekbol all:

1. Ha a tekintett lehetseges kanonikus alaku feladat celfuggvenye nem tartalmaz

negatıv egyutthatot, akkor vege az eljarasnak, a feladat bazismegoldasa optimalis

megoldas. Ellenkezo esetben a 2. lepes kovetkezik.

2. Vegyuk a negatıv cs-ek minimumat. Jelolje cj a minimummal megegyezo cs-ek

kozul a legkisebb indexut. Ha arj ≥ 0(r = 1, ..., n), akkor vege az eljarasnak,

a celfuggveny alulrol nem korlatos a lehetseges megoldasok halmazan. Ellenkezo

esetben a 3. lepes kovetkezik.

3. Ha min {br/arj : arj > 0, 1 ≤ r ≤ n} = bk1/ak1j = ... = bks/aksj , akkor valasszuk

az aktj(t = 1, ..., s) elemek kozul a legkisebb sorindexut generalo elemkent, majd

hajtsuk vegre a kovetkezo atalakıtasokat:

r′k =1

akjrk

r′i = ri −aij

akjrk (1 ≤ i ≤ n, i 6= k)

z′ = z − cjakj

rk,

ahol ri jeloli a kanonikus feladat i. egyenletet, z a celfuggveny egyenletet, r′i es z′

pedig az uj feladat i. egyenletet, illetve celfuggvenyet. Az ıgy kapott lehetseges

kanonikus alaku feladattal folytassuk az eljarast az 1. lepesnel.

3.1.2. Modosıtott szimplex algoritmus

Programozasi feladatokhoz azonban nem a fenti algoritmust hasznaljak, hanem annak

egy modosıtott valtozatat. A modosıtott szimplex lenyegesen kevesebb tarhelyet foglal.

Az alapotlet azon alapszik, hogy a modosıtott szimplex tablaba nem kerul be minden

valtozo, hanem csak az eppen hasznalt bazisvaltozok. Az algoritmus ennek megfeleloen

a kovetkezo lepesekbol all:


• Elokeszıto resz: v = 0. Ahol a kezdo szimplex tabla a kovetkezokepp nez ki:

b valt. b(v) x1, . . . , xn xn+1, . . . , xn+m

x1... b(0) E Axn

v = 0 −α 0, . . . , 0 c

3.1. tablazat. Kezdeti szimplex tabla

• Iteracios resz (v-edik iteracio).

1. Ha c(v) ≥ 0, akkor vege az eljarasnak, a v-edik feladat bazismegoldasa optima-

lis megoldas. Ellenkezo esetben a 2. lepes kovetkezik.

2. Vegyuk a negatıv c(v)s -k minimumat. Jelolje c(v)

j a minimummal megegyezo

c(v)s egyutthatok kozul a legkisebb indexut. Hatarozzuk meg az xj-hez tartozo,

a v-edik feladatban szereplo egyutthatokat az A(v)j = B−1

v A(0)j osszefugges

alapjan, majd kepezzuk a

∆ = min

{b(v)r

a(v)rj

: a(v)rj > 0, 1 ≤ r ≤ n

}

mennyiseget. Ha ez a minimum nem letezik, akkor vege az eljarasnak, a

celfuggveny alulrol nem korlatos a lehetseges megoldasok halmazan. Ellenkezo

esetben a 3. lepes kovetkezik.

3. Ha ∆ =b(v)k1

a(v)k1j

= ... =b(v)kw

a(v)kwj

, akkor valasszuk az a(v)ktj

(t = 1, ..., w) elemek kozul

a legkisebb sorindexut generalo elemkent. Kepezzuk a valasztott generalo

elem es A(v)j felhasznalasaval a Q(v) matrixot. Hatarozzuk meg az aktualis

bazisvaltozokat, es az illeto valtozoknak megfelelo dv+1 vektort. Szamıtsuk ki

a B−1v+1 = Q(v)B−1

v matrixot, a c(v+1) = c(0) − dv+1B−1v+1A

(0), bv+1 = B−1v+1b

(0)

vektorokat, es az α(v+1) = α(0) + dv+1B−1v+1b

(0) konstanst, ahol d k-adik

komponense c(v)j a tobbi pedig 0, tovabba Q(v):

1 −a(v)1j /a

(v)kj

. . ....

1

1/a(v)kj

1...

. . .

−a(v)nj /a

(v)kj 1


matrixot jeloli, ahol a feltuntetett elemektol kulonbozo elemek rendre 0-val

egyenlok. Ezt kovetoen noveljuk 1-gyel v erteket, es folytassuk az eljarast a

kovetkezo iteracios lepessel.

3.1.3. Redukalt gradiens modszer

A modszer a kovetkezo problema megoldasara koncentral:

min f(x)

tekintve a Ax = b

x ≥ 0,

(3.2)

ahol rang(A) = m es f ∈ C2

x = (v, w) partıciot vesszuk, ahol v jeloli a bazisvektorokat, w pedig a fuggetlen valtozo-

kat. Vesszuk tovabba az A = [BC], oly modon, hogy a matematikai program ekvivalens

legyen a kovetkezovel:

min f(v, w)

tekintve a Bv + Cw = b

(v, w) ≥ 0,

(3.3)

A modszer feltetelezi, hogy B nemszingularis (invertalhato), valamint v > 0 (nemdege-

neratıv feltetelezes). Jelolje dw a fuggetlen valtozok eltereset, valamint legyen dv =

−B−1[Cdw], megpedig ugy, hogy x + dx = (v + dv, w + dw)-re teljesuljon A[x + dx] =

A[x] + A[dx] = b + 0 = b. A modszer lenyege, hogy vesz egy iranyt a fuggetlen

valtozoknak, amelyek meghatarozzak majd a bazisvaltozok iranyat. Gyakorlatban tehat

dw erteke az f(B−1[b − Cw,w]) gradiense. Ezt az erteket (tekintettel w-re) nevezik

redukalt gradiensnek:

r = gradwf(x)− gradvf(x)B−1C,

ha x=(v,w). Ekkor dw = r lezarja az iteracio elso reszet. A masodik resze az iteracionak,

hogy meghatarozzuk a meretet. Fontos, hogy ne seruljon v nem-negativitasi feltetele.

Az iteracios lepes hatasara f erteke csokken.


Altalanosıtott redukalt gradiens modszer

Az altalanosıtott redukalt gradiens modszer kiterjeszti a redukalt gradiens modszert

nemlinearis modellekre, illetve megengedve, hogy a valtozoink tetszoleges hatarokon

belul mozogjanak:

min f(x)

tekintve a h(x) = 0

L ≤ x ≤ U,

(3.4)

ahol h dimenzioja m, x = (v, w) partıcionalhato, ugy hogy,

• v dimenzioja m

• v ertekei szigoruan a hatarokon belul van: Lv < v < Uv (nemdegeneratıv felt.)

• gradvh(x) nemszingularis (x = (v, w))

Mint ahogy a linearis esetben is, ∀w∃v(w), hogy h(v(w), w) = 0 (implicit fv. tetel),

amibol kovetkezik, hogy dv/dw = gradvh(x)−1gradwh(x). Az otlet, hogy dw-t a kovet-

kezokeppen valasszuk meg:

gradw(f(x)− yh(x)),

ahol y = dv/dw Ezutan megvalasztjuk a meretet, majd egy korrekcios lepes szukseges,

hogy visszakapjuk h(x) = 0-t.


3.2. A modellek megfelelo alakra hozasa

Az atlag-variancia probleman (2.4) latszik, hogy ez mar eredetileg is kvadratikus alakban

van felırva, ıgy itt nincs szukseg tovabbi atalakıtasra. Azonban az egyszeruseg kedveert

a kovetkezo ekvivalens alakban fogjuk hasznalni:

min1T

T∑t=1

(n∑

i=1

rtixi − E

)2

tekintve µTx = E,

Ax = b

x ≥ 0


(3.5)

3.2.1. Az atlag abszolut-elteres modell, mint linearis programozasi feladat

Az atlag abszolut-elteres modelljet a korabbi fejezetben a kovetkezokeppen ırtuk fel:

min1T

T∑t=1

∣∣∣∣∣n∑

i=1

rtixi − E

∣∣∣∣∣tekintve, hogy µTx = E,

Ax = b,

x ≥ 0.


(3.6)

A feladat atalakıthato linearis programozasi feladatta, ha az abszolut erteken beluli

erteket felbontjuk ket nemnegatıv reszre. Ekkor szukseges meg tovabbi korlatozo felte-

teleket bevezetnunk. z+t illetve z−t (t ∈ {1, . . . , T}) valtozok fogjak korlatozni az elvart

hozamtol valo negatıv illetve pozitıv eltereseket. Igy vegul az atalakıtas utan a feladat

a kovetkezo:


min1T

T∑t=1

z+t + z−t


n∑i=1

rtixi − E ≤ z−t

−

(n∑

i=1

rtixi − E

)≤ z+

t

Ax = b,

x, z−t , z+t ≥ 0.


(3.7)

ahol a parameterek ugyanazok, mint korabbiakban.

Az ıgy felırt feladat mar linearis programozasi feladat. Megoldasara a szimplex algorit-

must hasznalhatjuk.

3.2.2. Az atlag negatıv-elteres modell, mint linearis programozasi feladat

A feladatot az elozo fejezetben a kovetkezokeppen fogalmaztuk meg:

min1T

T∑t=1

(n∑

i=1

rtixi − bmt

)−tekintve a µTx = E,

Ax = b

x ≥ 0


(3.8)

A kovetkezo atalakıtasokra lesz szuksegunk, hogy a feladat megoldhato legyen a szimplex

modszerrel. Az elozo modellhez teljesen hasonloan az elvart hozamtol valo negatıv elteres

kezelesere bevezetjuk a z−t valtozot ∀t ∈ {1, . . . T}, a valtoztatas hatasara a kovetkezo

ekvivalens modellt kapjuk:


min1T

T∑t=1

z−t


n∑i=1

rtixi − bmt ≤ z−t

Ax = b,

x, z−t ≥ 0.


(3.9)

ahol a parameterek ugyanazok, mint korabbiakban.

Igy megfogalmazva a feladat mar linearis programozasi feladat, tehat alkalmazhatjuk ra

a szimplex modszert.

4. fejezet

A hatekony portfolio kialakıtasa

Az utolso fejezetben a felırt problemakat fogjuk megoldani. A megoldashoz a Budapesti

Ertektozsde bizonyos reszvenyeit fogjuk felhasznalni. A modellek gyakorlati alkalmaza-

sahoz szukseges adatok megszerzesehez a [7] forrast hasznaltam, mıg az algoritmusok

mukodesehez a [4]-t vettem utmutatoul, a hianyzo reszeket pedig a [5] illetve [6] oldalak

segıtsegevel potoltam. A gyakorlati alkalmazashoz nagy segıtseget nyujtott a [3] oldal.

4.1. Az adatok

4.1.1. Reszvenyek

A megoldashoz, s azok elemzesehez szuksegunk van egy adatbazisra, amelybol varhato

hozamot tudunk szamolni. A Budapesti Ertektozsde honlapjan (http://www.bet.hu)

az elmult tız ev adatai megtalalhatoak. A feladathoz csak a tozsden tız eve jelen levo

reszvenyeket fogjuk felhasznalni. Honapos adatokkal fogunk szamolni.

15. Definıcio. (Likviditas) Egy befektetes azon tulajdonsaga, hogy milyen ido- es hozam-

veszteseggel ”szamolhato fel”, ertekesıtheto, milyen konnyen forgathato, mennyire meg-

bızhato a masodlagos piaca. Maskent a toke keszpenzze teteli kepesseget, illetve mas

megfogalmazas szerint a penzeszkozokkel valo megfelelo ellatottsagot jelent.

Fontos, hogy a reszvenyek, amelyekkel foglalkozunk kelloen kis likviditasi kockazattal

legyenek kereskedhetoek, hiszen szeretnenk elkerulni egy-egy eszkoz alacsony piaci for-

galmabol eredo kockazatot. A szakdolgozatban nem szamolunk kulon ezzel a kockazattal

is, ezert a kulonosen kis forgalmu reszvenyeket egyszeruen kihagyjuk a felhasznalando

eszkozok listajabol.

20

4. fejezet A hatekony portfolio kialakıtasa 21

Mielott azonban tovabbmennenk fontos felhıvni a figyelmet a bet.hu bizonyos hianyos-

sagaira. Az adatok letoltesekor feltunt, hogy nehany havi jelentes hianyzik, letolteskor

az elozo havit kapjuk kezhez. Ezen hibaval a szakdolgozat nem foglalkozik, egyszeruen

helyben hagytuk, s a havi adatot a letoltott rossz (korabbi) jelentest helyesnek felte-

teleztuk. Igy elofordul, hogy a reszvenyek nemely havi hozama teljesen megegyezik

egymassal. Am a hiba korantsem volt akkora, hogy szamottevo problemat okozhasson,

a letoltott 110 havi jelentesbol, mindossze 2 bizonyult az ot megelozo honappal meg-

egyezonek.

Adatok osszegzese

A Budapesti Ertektozsde (bet) honlapjarol letoltheto havi adatok azonban igencsak

szerteagazoak, sokretuek, raadasul szamunkra a problema lejegyzesehez, az adathalmaz

igencsak csekely reszere van szuksegunk. Az adatok kivalogatasara, a gyorsabb megoldas

elerese erdekeben egy egyszerubb programot ırtunk Perlben. A nyelv egyik legfontosabb

resze a regularis kifejezesek szeles koru tamogatasa es alkalmazasa, ezaltal kivaloan

alkalmas nagymeretu szoveg- vagy adatfajlok egyszeru feldolgozasara.

Feladatunkat alaposabban meggondolva konnyen lathato, hogy a letoltott havi jelen-

tesekben szereplo informacio igencsak elenyeszo hanyadara tartunk csak igenyt. Egeszen

pontosan a Reszvenypiaci Adatok munkafuzet Jegyzett ’A’ illetve Jegyzett ’B’ tabla-

zatainak mindosszesen ket oszlopa szukseges:

• A reszvenyek neveire feltetlen szuksegunk van, hiszen ebbol tudjuk szamon tartani

melyik reszvenyrol beszelunk, illetve kovetni akarjuk azt is, hogy az adott reszveny

az elmult tız evben mindvegig a tozsden volt.

• A kulonfele reszvenyek havi hozamara is szuksegunk van, hiszen ezekbol az ada-

tokbol tudunk majd kesobb varhato hozamot szamolni (szerencsenkre ezt nem kell

kulon kiszamolnunk, a letoltott fajlban mar kiszamoltak helyettunk).

Mielott azonban a programmal foglalkoztunk volna, a szamunkra fontos tablazatokat

kimentettuk egy nagyobb fajlba. A programnak majd ezt adjuk meg inputkent, s ezen

adatsorokbol valogatja majd ki a szamunkra relevans informaciokat. Fontos meg itt

megjegyezni, hogy az elmult evekben tobb esetben is elofordult olyan, hogy a tozsden

jegyzett reszveny nevvaltozason esett at, aminek okaira most nem terunk ki, am figye-

lemmel kısertuk ezen valtozasokat, ıgy emiatt nem maradt ki reszveny a felsorolasbol. A

program (A.1) mukodese ezek utan mar nagyon egyszeru, soronkent veszi az input fajl

adatait, majd ezekbol kikeresi a lenyeges reszeket, s azokat eltarolja a megfelelo datum

ala.


Felhasznalt reszvenyek

Az alabbi tablazatban tehat a tız eve folyamatosan a beten levo reszvenyek lathatoak,

amelyekkel legalabb havi szinten volt kereskedes. A paros sorokban pedig a varhato

hozam (havi) lathato, amit az elmult tız ev adataibol szamoltunk ki.

Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARµi(%) : 0,43 -0,48 0,87 1,84 0,91MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA2,14 -0,12 2,18 0,51 5,54 -0,10

RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU1,47 0,27 0,56 1,02 1,26 1,55

EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX1,50 3,06 -0,32 -2,13 1,06

4.1. tablazat. A BET-en 10 eve jelen levo reszvenyek varhato hozama

4.1.2. Elvart hozam

A befekteto preferenciait is szukseges szamıtasba venni, ıgy fontos elore meghatarozni

milyen elvart hozamokkal fogunk szamolni. A feladatokban osszesen harom elvart

hozammal fogunk szamolni, megpedig a kovetkezokkel:

Emin Eatlag Emax

% 1,00487 1,04673 4,54124

4.2. tablazat. Elvart hozamok a dolgozatban

ahol:

• Emin = {MNB alapkamat}

• Eatlag = 1n

∑ni=1 µi

• Emax = max {µ1, ..., µn} − 1%

Jelen esetben a Magyar Nemzeti Bank alapkamata eves szinten 6%, n = 22, hiszen

osszesen 22 reszvennyel szamolunk.


4.2. A problema megoldasa

Fontos megjegyezni, hogy a feladatokban az Ax = b feltetel egyszeruen csak a reszvenyek

osszsulyat hatarozza meg, tehat 1Tx = 1. Az Excel illetve Openoffice tablazatok fel-

toltese adatokkal, a valtozok, valamint a fuggvenyek attekintheto felırasanak modjaban

nagyon sokat segıt a kovetkezo honlap:

http://www.math.bme.hu/˜gnagy/ExcelSolver.htm

Ezen felıras reszleteibe nem is bocsatkozunk most bele.

4.2.1. Az atlag-variancia modell megoldasa

A feladat kezdeti allapotaban a kovetkezokeppen nez ki:

4.1. abra. Az atlag-variancia modell kezdeti allapota

A feladat merete miatt sajnos csak kiragadott reszletek bemutatasara van esely. Azonban

a jobb attekinthetoseg erdekeben a lenyeges mezoket kulonfele szınekkel szıneztem.

Ugyanezen megfontolasbol a tablazat valamennyi erteket %-ban adtam meg.

A portfolioban szereplo reszvenyek sulyozasa (x) aD3−Y3 mezokben talalhato, kezdetben

ez az ertek 0. A portfolio hozammatrixa a D10 − Y119 mezokben lett eltarolva, RT×n

(T = 110, n = 22), ahol rti jeloli a i. reszveny t. idopontban elert hozamat. A varhato


hozamvektor (µ) ertekeit a D5 − Y5 mezokben rogzıtettem, az i. reszveny ertekeit a

kovetkezo egyenlet adta:

µi =1T

T∑t=1

rti.

AD7−D9 mezokben a befekteto altal elvart hozam, mellette pedig a hozzajuk kapcsolodo

korlatozo feltetelek E = µTx. A H9 − J9 mezok orzik a helyes sulyozasra vonatkozo

feltetelt (1Tx = 1). A10 −A119 mezokben az alabbi egyenletek talalhatoak:

n∑i=1

ttixi −n∑

i=1

µixi

A mellette talalhato mezokben (B10 − B119) ezen ertekek negyzetei talalhatoak. Vegul

pedig a pirossal kiemelt J7-es mezoben a minimalizalando mennyiseg a B10−B119 mezok

osszege talalhato.

Elsokent a minimalis elvart hozammal fogunk szamolni: 1, 00487 = µTx feltetelt vesszuk

be a feladatba:

4.2. abra. Az atlag-variancia problema megoldasa Emin mellett


Az alabbi tablazat a portfolioban szereplo reszvenyek sulyat adja meg, valamint rogzı-

tettem az ıgy kapott varianciat is:

Nev: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMARxi(%) : 13,09 0,00 2,77 0,00 0,39MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA0,21 0,80 0,00 0,00 0,00 0,00


EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z

16,80 0,00 5,55 0,00 2,97 0,16179

4.3. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (variancia probl.)

Ha az atlagos hozam az amit elszeretnenk erni, akkor a feladat megoldasa a kovetkezo-

keppen alakul:

4.3. abra. Az atlag-variancia problema megoldasa Eatlag mellett


Ebben az esetben a reszvenyek eloszlasa a portfolioban: (az utolso helyre ismet a kapott

varianciat ırtam)




17,41 0,00 5,23 0,00 3,03 0,16467

4.4. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (variancia probl.)

Konnyen lathato, hogy az ıgy kapott portfolio varianciaja alig kisebb, mint aze, ame-

lyiknel az alapkamattal szamoltunk, azonban eves szintre vetıtve a ket portfolio varhato

hozama lenyegesen elter. Emin-nel szamolva az eves kamatunk 6%, azonban, ha elvarjuk,

hogy havi szinten megkapjuk a portfolioban szereplo reszvenyek varhato ertekenek at-

lagat, akkor ez eves szintre vetıtve varhatoan 73%, ami lenyegesen magasabb.

Ha az elvart hozamnak a korabban felırt Emax-ot vesszuk, akkor a modell megoldasa a

kovetkezo:

4.4. abra. Az atlag-variancia problema megoldasa Emax mellett


Ebben az esetben a portfolioba csak ket reszvenybol valogatunk:

Nev: PHYLAXIA GENESISxi(%) : 59,72 40,28

4.5. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (variancia probl.)

Ahogy az fenti abran is lathato a variancia joval magasabb, mint az elozo ket esetben.

Ennek oka a keves szamu reszvenyben keresendo, hiszen itt nem erzodik olyan erovel a

diverzifikacio hatasa. Lathato tovabba az is, hogy a varhato hozam novelesevel megno

a kockazat is.

4.2.2. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa

Az alapfeladat a kovetkezokeppen nez ki:

4.5. abra. Az atlag abszolut-elteres modell (alapfeladat)

Az ujdonsag az elozo feladathoz kepest a z+ = (z+1 , . . . , z

+110) illetve a z− = (z−1 , . . . , z

−110)

valtozok, amelyek elemeinek osszege vegul generalja a celfuggvenyt. Valamint a z+-t es

z−-t korlatozo feltetelek:

n∑i=1

rtixi − E ≤ z+, ∀t ∈ {1, . . . , T}


−

(n∑

i=1

rtixi − E

)≤ z−, ∀t ∈ {1, . . . , T}

A harom kulonbozo oszlopban (D,E, F ), a haromfele elvart hozamra mind felırtuk ezeket

az egyenlotlensegeket. A megoldaskor termeszetesen majd csak a megfelelo oszlopot

vesszuk be a korlatozo feltetelek koze.

A feladatnak megadva az Emin feltetelt, valamint lefuttatva az algoritmust a kovetkezo

megoldast lathatjuk:

4.6. abra. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emin mellett)

Az ıgy kapott eredmenyeket tablazatba helyezve:




19,08 0,18 6,06 0,00 2,03 2,96057

4.6. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emin mellett (abszolut-elteres)


Az Eatlag feltetellel szamolva a kovetkezo megoldast kapjuk:

4.7. abra. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Eatlag mellett)

Az eredmenyt az alabbi tablazat jegyzi:




20,59 0,29 5,39 0,00 2,10 2,98344

4.7. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Eatlag mellett (abszolut-elteres)

Emax-val szamolva lenyeges eltereseket tapasztalhatunk. Az eredmeny tablazatban:

Nev: MOL OTP PHYLAXIA GENESISxi(%) : 24,09 2,82 69,58 3,51

4.8. tablazat. Reszvenyek eloszlasa a portfolioban Emax mellett (abszolut-elteres)

A feladat kockazata: z = 14, 73037. OpenOffice-ban a megoldas ıgy nez ki:


4.8. abra. Az atlag abszolut-elteres modell megoldasa (Emax mellett)

Az eredmenyeket osszefoglalva jol lathato, hogy a varhato hozam novelesevel egyutt

a vallalt kockazat is novekszik. Mint ahogy a variancia problema eseteben is, az elso

ket (Eatlag,Emin) esetben a ket portfolio kozti kulonbseg igencsak csekely, ennek az oka,

hogy az elvart hozam nagyon kozel esik egymashoz, s szemben az utolso esettel itt van

lehetosegunk mindenfele reszvenybol valogatni. Ha kiugroan magas (mint nalunk is) az

elvart hozam, akkor abban az esetben a hasznalhato reszvenyek szama sokkal kevesebb.

Lathato az is, hogy a kockazatunk az utolso esetben sokszorosa az masik ket esetben

elert kockazatnak, ennek oka, hogy keves szamu reszveny kerult a portfolionkba, ıgy erre

sokkal inkabb hat az egyeni kockazat.

Az alabbi tablazatban lathatoak az eredmenyek osszesıtve, ertelemszeruen x(min)i (%) az

i. reszveny Emin elvart hozam melletti sulyat jelenti az adott portfolioban, az utolso

sorba pedig a megfelelo elvart hozamhoz tartozo kockazatokat ırtuk:


Nev: x(min)i (%) : x

(atlag)i (%) : x

(max)i (%) :

DANUBIUS 10,95 9,27 0,00ECONET 0,00 0,00 0,00

EGIS 0,00 0,00 0,00FOTEX 0,00 0,00 0,00

LINAMAR 2,69 0,36 0,00MOL 0,00 0,49 24,09

MTELEKOM 0,00 0,00 0,00OTP 0,00 0,00 2,82

PANNERGY 0,69 1,22 0,00PHYLAXIA 0,00 0,00 69,58

RABA 0,00 0,00 0,00RICHTER 13,05 13,70 0,00

SYNERGON 0,00 0,00 0,00TVK 7,25 6,46 0,00

ZWACK 32,20 33,25 0,00BIF 5,42 6,88 0,00

ELMU 0,40 0,00 0,00EMASZ 19,08 20,59 0,00

GENESIS 0,18 0,29 3,51KONZUM 6,06 5,39 0,00NUTEX 0,00 0,00 0,00PFLAX 2,03 2,10 0,00

z 2,96057 2,98344 14,73037

4.9. tablazat. Osszesıtett tablazat (abszolut-elteres)

4.2.3. Az atlag negatıv-elteres modell megoldasa

Az atlag negatıv-elteres modelljenek implementacioja teljesen hasonlo, mint az atlag

abszolut-elteres modelljenek leırasa. A kulonbseg, hogy itt csak z−t (∀t ∈ {1, . . . , T}),tehat az elvart hozamtol valo negatıv elterest vesszuk figyelembe.

Egy masik lenyeges valtozas az elobbi modellhez kepest, hogy ez esetben a benchmarkhoz

viszonyıtunk. A szakdolgozatban az egyszeruseg kedveert bmt = c, tehat t-tol fuggetlenul

hatarozzuk meg ezt az erteket. Ez a meghatarozott ertek egyszeruen annyit jelent, hogy

van egy bizonyos elvart hozam, s ”buntetjuk”, ha ez ala megyunk. Jelen esetben legyen

ez az ertek Emin.

A modell ıgy a kovetkezokeppen nez ki:


minT∑

t=1

z−t


n∑i=1

rtixi − Emin ≤ z−t

Ax = b,

x, z−t ≥ 0.

felteteleket ∀E ∈ {Emin, Eatlag, Emax} − ra,

(4.1)

ahol minden ugyanaz, mint a korabbiakban.

Elsokent vegyuk azt az esetet, ha az elvart hozam Emin.

4.1. Lemma. Ha az atlag negatıv-elteres modellben bmt = E ⇒ 2Sbm(x) = Sn(x)

Bizonyıtas: Tudjuk, hogy

µi =1T

T∑t=1

rti

Fejezzuk ki E-t:

E = µTx =n∑

i=1

xiµi =1T

T∑t=1

n∑i=1

rtixi

Irjuk fel az elteresek osszeget:

T∑t=1

(n∑

i=1

rtixi − E

)=

T∑t=1

n∑i=1

rtixi − TE,

amibe E-t helyettesıtve 0-t kapunk. Mivel

T∑t=1

(n∑

i=1

rtixi − E

)=

T∑t=1

(. . .)+ +T∑

t=1

− (. . .)−

ezert lathato, hogy a negatıv elteresek osszege ugyanannyi, mint a pozitıv elteresek osszege

⇒

2T∑

t=1

(n∑

i=1

rtixi − E

)−=

T∑t=1

∣∣∣∣∣n∑

i=1

rtixi − E

∣∣∣∣∣4.2. Kovetkezmeny. Ebben az esetben az atlagos negatıv-elteres modellnek nincs semmi

elonye az atlagos abszolut-elteres modelljevel szemben.

A negatıv-elteres modell megoldasa innentol kezdve teljesen hasonloan megy a korabbi-

akhoz. Az eredmenyeket tablazatba rendezve a kovetkezoket lathatjuk:


Nev: x(atlag)i (%) : x

(max)i (%) :

DANUBIUS 9,75 0,00ECONET 0,00 0,00

EGIS 0,00 0,00FOTEX 0,00 0,00

LINAMAR 0,10 0,00MOL 0,39 27,64

MTELEKOM 0,00 0,00OTP 0,00 0,20

PANNERGY 0,85 0,00PHYLAXIA 0,00 69,97

RABA 0,00 0,00RICHTER 13,44 0,00

SYNERGON 0,00 0,00TVK 5,65 0,00

ZWACK 33,80 0,00BIF 6,67 0,00

ELMU 0,00 0,00EMASZ 21,37 0,00

GENESIS 0,23 2,18KONZUM 5,61 0,00NUTEX 0,00 0,00PFLAX 2,14 0,00

z 1,51385 8,66582

4.10. tablazat. Osszesıtett tablazat (negatıv-elteres)

4.3. Osszegzes

A kulonfele modellek kulonbozo befektetoi preferenciakat testesıtenek meg.

Kockazat Emin Eatlag Emax

Variancia 0,16179 0,16467 26,99604Abszolut-elteres 2,96057 2,98344 14,73037Negatıv-elteres - 1,51385 8,66582

4.11. tablazat. Eredmenyek osszesıtese

Altalanossagban leolvashato, hogy az elvart hozam novelesevel no a vallalt kockazat.

A portfolio osszeallıtasakor a legfontosabb szempontok mindig is a befekteto elvarasai.

Ezek szerint kulonboztettuk meg a haromfele modellt, s ezek lettek vegul az eredmenyek

meroszamai is. Tehat tulajdonkepp az elvart hozamok illetve vallalt kockazatok szeles

skalajan rengetegfele hatekony portfoliot kepezhetunk. Ezen megoldasok mind rajta

vannak a hatekony hatargorben.

A. fuggelek

Adatgyujto program

A.1. abra. tozsde.pl implementacioja

34

Irodalomjegyzek

[1] Brealey-Myers: Modern vallalati penzugyek 2005, Panem Konyvkiado, Budapest

[2] http://www.math.bme.hu/˜gnagy/diplij.pdf

[3] http://www.math.bme.hu/˜gnagy/ExcelSolver.htm

[4] http://gazdasz2.atw.hu/opkut jegyzet nemme.pdf

[5] http://en.wikipedia.org/

[6] http://google.co.uk/

[7] http://bet.hu/

35

eotv os l or and tudom anyegyetem - · a fejezet v eg en a kor abban fel rt modelleket olyan...

Documents