Επαναληπτικά Θέματα 329

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Σε ένα δοχείο υπάρχουν ν σφαίρες από τις οποίες οι 12 είναι άσπρες και οι υπό-

λοιπες είναι κόκκινες ή πράσινες. Επιλέγουμε από το δοχείο μια σφαίρα στην τύ-χη. Η πιθανότητα η σφαίρα να είναι κόκκινη είναι

( ) ν 27Ρ κν−

=

ενώ η πιθανότητα η σφαίρα να είναι πράσινη είναι

( ) ν 10P π .2ν−

=

i) Nα βρείτε το ν. ii) Πόσες κόκκινες και πόσες πράσινες σφαίρες υπάρχουν στο δοχείο; iii) Nα βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα που επιλέξαμε να είναι άσπρη ή κόκκινη. iv) Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα που επιλέξαμε να είναι πράσινη αν γνω-

ρίζουμε ότι δεν είναι κόκκινη. 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν oι σχέσεις

( ) ( )1 3Ρ Α , Ρ Β3 4

′= = και ( ) 1Ρ Α Β .2

∪ =

Να βρείτε τις πιθανότητες: i) ( )Ρ Α Β∩ ii) ( )Ρ Β Α−

iii) ( )Ρ Α Β .′ ∪

3. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύoυν οι

σχέσεις Α Β⊆ και ( ) ( )Ρ Α Ρ Β≠ .

Αν οι πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης

( )( )( )2x 1 3x 1 5x 6 0,− − − =

να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Α, Β ii) Α Β, Α Β∩ ∪

iii) Α Β, Β Α− − .

330 Άλγεβρα και στοιχεία Πιθανοτήτων Α΄ Λυκείου

4. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε

( ) ( ) 2Ρ Α x, P A B 2x3

= ∩ = −

και

( ) 22Ρ Α Β x .3

− =

i) Nα αποδείξετε ότι 1x .2

=

ii) Aν επιπλέον ισχύει

( ) 1Ρ Β Α ,3

− =

να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Β β) Α Β∪ γ) ( ) ( )Α Β Β Α .− ∪ −

5. Από τους μαθητές ενός Λυκείου το 70% χρησιμοποιεί φροντιστηριακά βιβλία

Μαθηματικών, το 60% Φυσικής και το 50% και τα δύο. Επιλέγουμε στην τύχη έναν μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα:

i) να χρησιμοποιεί φροντιστηριακά βιβλία Μαθηματικών και όχι Φυσικής ii) να χρησιμοποιεί μια τουλάχιστον από τις δύο κατηγορίες βιβλίων iii) να χρησιμοποιεί ακριβώς μια από τις δύο κατηγορίες βιβλίων iv) να μη χρησιμοποιεί καμία από τις δύο κατηγορίες βιβλίων. 6. Από το σύνολο

{ }Ω 1, 2, 3, ...,1000=

επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α. Να βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός α να είναι: i) πολλαπλάσιο του 2 ii) πολλαπλάσιο του 5 iii) πολλαπλάσιο του 2 και του 5 iv) πολλαπλάσιο ενός τουλάχιστον από τους αριθμούς 2 και 5 v) πολλαπλάσιο του 2 αλλά όχι του 5.

Επαναληπτικά Θέματα 331

7. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε

( ) ( )3 1Ρ Α και P B .4 3

= =

Nα αποδείξετε ότι: i) Τα ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα

ii) ( ) 1Ρ Α Β2

∩ ≥ iii) ( )5 2Ρ Α Β .12 3

≤ − ≤

8. i) Nα απλοποιήσετε την παράσταση

2

2 2

x x y x y xx y x y 2x y y x

.

ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2

2

2011 2010 2012 20112011 1 2012 4021 2010

.

9. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύουν οι σχέσεις

1 1 1α β γ 1 και 1,α β γ

να αποδείξετε ότι: i) αβ βγ γα αβγ ii) 2 2 2α β γ 1 2αβγ.

10. Να αποδείξετε ότι:

i) x y 2y x για κάθε x, y 0

ii) α β β γ γ α 6γ α β

για κάθε α,β, γ 0.

11. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν οι σχέσεις

α 2β 2 και α 2β 4 ,

να αποδείξετε ότι:

i) 2 23α 12β 24 ii) 4β1 2α 2β

.

332 Άλγεβρα και στοιχεία Πιθανοτήτων Α΄ Λυκείου

12. Έστω Α, ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης για το οποίο ισχύει η σχέση

( ) ( )1 3Ρ Α Ρ Α λ 1.2 2

′+ + − = +

Να αποδείξετε ότι 0 λ 2.≤ ≤

13. Να αποδείξετε ότι:

i) 2x 2 8x για κάθε x

ii) 2

2

x 2 8x 1x 4 x 1 2 x

για κάθε x 1,2 .

14. Να λύσετε την εξίσωση

3 κ 1 κ 9 3 x 1 2 3x 1 , όπου κ 1,9 .

15. Αν η εξίσωση

22α β x 4αx 4β 0 με α,β

έχει μία διπλή ρίζα, τότε: i) να αποδείξετε ότι α β 0

ii) να λύσετε την εξίσωση 2 2 2α β x 2x 3 α β 0.

16. Δίνεται η εξίσωση

2x 16x λ 0, λ ,64 .

i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x πραγματικές και άνισες.

ii) Αν ισχύει η σχέση 1 23x x 12, να βρείτε:

α) τους αριθμούς 1x και 2x β) την τιμή του λ.

17. Δίνεται η εξίσωση 23x 2 κ 1 2κ 1 0 , κ 2 .

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ii) Έστω 1 2x , x οι ρίζες της εξίσωσης. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

1 2 1 2x x x x . iii) Να βρείτε την τιμή του κ έτσι, ώστε να ισχύει η σχέση

1 2 1 2x x x x 0 .

Επαναληπτικά Θέματα 333

18. Δίνεται η εξίσωση 2 2x 2λx λ 4λ 5 0, λ

η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες 1 2x , x με 1 2x x .

i) Nα αποδείξετε ότι 5λ4

ii) Aν επιπλέον ισχύει η σχέση

1 2

1 1 1 ,x x 4

να βρείτε: α) την τιμή του λ β) τις ρίζες 1x και 2x .

19. Δίνεται η εξίσωση 22λx 4x λ 1 0, λ 0

η οποία έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. i) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παραμέτρου λ. ii) Aν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x , πραγματικές και άνισες, για

τις οποίες ισχύει η σχέση 2 21 2x x 2, να αποδείξετε ότι

40 λ .3

20. Ρίχνουμε διαδοχικά δύο ζάρια και θέτουμε όπου α την ένδειξη του πρώτου ζαριού και όπου β την ένδειξη του δεύτερου ζαριού. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση

2αx 6x β 0+ + =

να έχει: i) δύο ρίζες πραγματικές άνισες ii) μία διπλή πραγματική ρίζα.

21. Έστω Α, Β δύο ισοπίθανα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανό-τητες των ενδεχομένων Α και Α Β∩ είναι διαφορετικές μεταξύ τους και αποτε-λούν τις ρίζες της εξίσωσης

212x x 2 6 x 1+ − = + ,

να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Α, Α Β∩ και Α Β∪ ii) Α Β− και Β Α−

iii) ( ) ( )Α Β Β Α .− ∪ −

334 Άλγεβρα και στοιχεία Πιθανοτήτων Α΄ Λυκείου

22. Οι αριθμοί x 3, 1 2x− − και 3x 11−

είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου ( )να .

i) Nα βρείτε τον πραγματικό αριθμό x. ii) Nα βρείτε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. iii) Aν ο αριθμός 1 2x− είναι ο πέμπτος όρος της προόδου, να βρείτε: α) τον πρώτο όρο 1α της προόδου

β) το άθροισμα 12S των δώδεκα πρώτων όρων της προόδου.

23. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( )να ισχύουν οι σχέσεις

5S 5= και 2 7 12α α α 15.+ + = Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο 1α και τη διαφορά ω της προόδου ii) τον θετικό ακέραιο ν για τον οποίο ισχύει η σχέση

νS 14.=

24. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( )να έχουμε

1α 2= και 5α 4.= i) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. ii) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε για να πάρουμε

άθροισμα 99 ;2

25. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( )να ισχύει η σχέση

1 4α 3α= . i) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πρώτων δέκα όρων της προόδου είναι

10S 0.=

ii) Aν 1α 9,= τότε:

α) να βρείτε τον δέκατο όρο 10α της προόδου

β) να υπολογίσετε το άθροισμα 20S των πρώτων είκοσι όρων της προόδου.

Επαναληπτικά Θέματα 335

26. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( )να με πρώτο όρο 1α και διαφορά ω έχουμε

16

8

S4.

S=

i) Να αποδείξετε ότι 1ω 2α .=

ii) Nα βρείτε το λόγο 16

8

α.

α

27. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( )να ισχύουν οι σχέσεις

2 4α α 20+ = − και 3 5α α 40.+ =

i) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου. ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της προόδου. iii) Nα υπολογίσετε το γινόμενο των ν πρώτων όρων της προόδου.

28. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( )να με λόγο λ 0< το άθροισμα των δύο πρώτων όρων της είναι 2S 2= και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι

4S 20.= Να βρείτε: i) το λόγο λ της προόδου ii) τον πρώτο όρο 1α της προόδου

iii) τον έκτο όρο 6α της προόδου. 29. Δίνεται η συνάρτηση

2

2x 5f xx 4x λ

,

όπου λ σταθερός πραγματικός αριθμός. i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού

το σύνολο . ii) Για λ 5, να λύσετε την εξίσωση

f x 1.

336 Άλγεβρα και στοιχεία Πιθανοτήτων Α΄ Λυκείου

30. Δίνονται οι συναρτήσεις

α 3f xx 2 x

και 1 αg xx 2

όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g. ii) Να βρείτε την τιμή του α έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται

από το σημείο Μ 3,1 . iii) Για α 2 να βρείτε, αν υπάρχουν: α) τα κοινά σημεία της fC με τους άξονες x x και y y β) τις τετμημένες των κοινών σημείων της fC με τη gC .

31. Δίνονται τα σημεία A 2,0 , B 0, 4 και Γ 0,6 . Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ii) την εξίσωση της ευθείας η που διέρχεται από το σημείο Γ 0,6 και έχει

συντελεστή διεύθυνσης λ 2 iii) το σημείο τομής Δ της ευθείας η με τον άξονα x x iv) το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΓΔ. 32. Δίνεται η συνάρτηση

2f x 2x 4x 1, x .

i) Nα γράψετε τον τύπο της συνάρτησης f στη μορφή

2f x α x p q, x .

ii) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

33. Ένα ορθογώνιο με διαστάσεις x και y έχει εμβαδό 100 τ.μ. Να αποδείξετε ότι: i) η περίμετρος του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο

22x 200Π x , x 0

x

ii) η περίμετρος του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη για x 10 . 34. Δίνεται η παραβολή

2y αx βx γ, με α, β, γ η οποία τέμνει τον άξονα x x στα σημεία με τετμημένες 2 και 1 και τον

άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 4. Να βρείτε: i) τις τιμές των α, β και γ ii) την κορυφή της παραβολής.