eqe 002 otimizaÇÃo em engenharia quÍmica

EQE 002EQE 002

OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICAQUÍMICA

12 de setembro de 2013

Tópico 7

7. MÉTODOS NUMÉRICOS

- Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo. (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior).

São métodos de busca por tentativas.

- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:

- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.

- Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo.

Os métodos podem ser:

Motivação para o uso de métodos numéricos


W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

T4 oC

A m2 ?

T3= 15 oC

Dimensionamento de um trocador de calor

Modelo

Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica

02111 )TT(CWQ1. p

03433 )TT(CWQ2. p

0 UAQ3.

0

32

41

3241

TT

TTln

)TT()TT(4.

FLUXOGRAMA

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

T4 oC

A m2 ?

T3= 15 oC

CT = Ccap + Cutil480,

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

Avaliação EconômicaCT = Ccap + Cutil

480,

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

Modelo Ordenado

U

Q3.A

)TT(CpWQ. 21111

)TT(Cp

QW.

34332

32

41

3241

TT

TTln

)TT()TT(4.

Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

Variável de Projeto: T4

154T

286.875

,

4T6535

4T-100ln

4.469TC

480

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

T4 oC

A m2 ?

T3= 15 oC

154T

286.875

,

4T6535

4T-100ln

4.469TC

480

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.

A derivada desta função é por demais complexa, inviabilizando a explicitação de T4.

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração) (b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes

0 1/3 2/3 1

o

o

0 1/3 2/3 1

o

o

Dois experimentos por ciclo

0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4

o

o

oo

o

o

o

o

o

Três experimentos por ciclo

Exemplos (Problemas de Máximo)

intervalos eliminados

intervalos eliminados

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Casos de eliminação de 50% do intervalo

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

o

o

oo

o

o o

o

o

o

o

o

o

o

o

Casos de eliminação de 75% do intervalo

MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL

(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido).

(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.

(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida

Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Hipótese: a Função Objetivo é unimodal

Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA

Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.

Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?

Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:

(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)

(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.

Fi

Fs

LsLi xi xs

Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)

1

Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor

A razão dos seus lados é /1 =

Removendo-se um quadrado,

1

1-

sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /

1

O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos

618,0011

1 2

Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

382,01

1-

Retângulo Áureo

1

0,618

0,382

0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618

Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a

61,8% do comprimento anterior.

Retângulo Áureo

1

0,618

0,382

0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618

1 0,618 0,382 0,236 0,146 0,090

Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,61010 = 0,0081 do comprimento original, ou

seja, a menos de 1% do comprimento original.

1 0,618 0,382 0,236 0,146 0,090

Retângulo Áureo na Arquitetura Grega

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA

Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.

Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:

(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.

Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea

Fi

Fs

LsLi xi xs

0,382 0,382

0,618

Para isso: = Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

A cada iteração é eliminado um subintervalo

Exemplo:Eliminado o da esquerda, o intervalo inicial é reduzido para 0,618

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

Problema de MínimoEliminação de Região

Problema de MáximoEliminação de Região

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto


IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

Fi

Fs

LsLi xi xs

Fi

LsLi xi xs

Fs

xs Ls

xi xs

Fi Fs

xi Li

xs xi

Fs Fi

Inicialização

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

Fi

Fs

LsLi xi xs

0,382 0,382

0,618

Fi

LsLi xi xs

Fs

xi

Fs

LsLi xs

Fi

Problema de MáximoEliminação de Região



Fi

LsLi xi xs

Fs

xs Ls

xi xs

Fi Fs

Inicialização

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

Fi Fs

LsLi xi xs

0,382 0,382

0,618

Fi

LsLi xi xs

Fs

0,382 0,382

Problema de MínimoEliminação de Região



Fi

Fs

LsLi xi xs

xi Li

xs xi

Fs Fi

Inicialização

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

Fi

Fs

LsLi xi xs

0,382 0,382

0,618

xi

Fs

LsLi xs

Fi

0,382 0,382

EXEMPLO

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

T4 oC

A m2 ?

T3= 15 oC

Dimensionamento de um trocador de calor

Cp1 = 1,35 kcal/kg oCCp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC

Modelo

Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)


02111 )TT(CWQ1. p

03433 )TT(CWQ2. p

0 UAQ3.

0

32

41

3241

TT

TTln

)TT()TT(4.

FLUXOGRAMA

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

T4 oC

A m2 ?

T3= 15 oC


cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3



cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

Modelo Ordenado

U

Q3.A

)TT(CpWQ. 21111

)TT(Cp

QW.

34332

32

41

3241

TT

TTln

)TT()TT(4.

154T

286.875

0,48

4T6535

4T-100ln

4.469TC

Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

Variável de Projeto: T4

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

T4 oC

A m2 ?

T3= 15 oC

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)

154T

286.875

0,48

4T6535

4T-100ln

4.469TC

PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls


154T

286.875

0,48

4T6535

4T-100ln

4.469TC

i i i s s sN L x F x F L

2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 8579,93 5.33967,53 6.2873 47,47 100 52,53

15

Li

100

Lsxi

47,47

xs

67,53

9.568

6.287

Li assume o valor de xi... xi assume o valor de xs..

4 67,53 79,93 5.339 100 32,47

Se Convergiu Então Finalizar

Colocar Novo Ponto

xs

79,93

5.339

Iniciar

Repetir

Eliminar Região

Atualizar Delta

Acompanhamento no gráfico e na tabela

VER PROGRAMA AUREA.XLS

Minimização do Custo do Trocador de CalorResultado do Aurea.xls

N Li xs Fs xi Fi Ls

2,00 15,00 47,47 6776,63 67,53 5073,83 100,00 85,00

3,00 47,47 67,53 5073,83 79,93 4510,13 100,00 52,53

4,00 67,53 79,93 4510,13 87,60 4293,36 100,00 32,47

5,00 79,93 87,60 4293,36 92,33 4222,96 100,00 20,07

6,00 87,60 92,33 4222,96 95,26 4224,39 100,00 12,40

87,60 92,33 4222,96 95,26 7,67

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Univariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração) (b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes (Quasi-Newton)

7. Métodos Numéricos 7.1 Problemas Multivariáveis 7.1.1 Problemas Irrestritos (a) Métodos Diretos - Intervalo Fixo - Intervalo Variável (aceleração) (b) Métodos Indiretos: busca com gradiente 7.1.2 Problemas Restritos (a) Métodos Diretos - Intervalos Regulares - Intervalos Irregulares - Seção Áurea - Aproximação Polinomial - Interpolação Quadrática (b) Métodos Indiretos - Método de Newton - Método das Secantes


Procedimento Geral:

(c ) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.

(a) seleção de um ponto inicial (base).

Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Seccionada- Simplex- Hooke & Jeeves

7.2 Problemas Multivariáveis

(d) finalização

MÉTODOS DE BUSCA ALEATÓRIA

O método parte de um ponto inicial. Em seguida, são selecionadas aleatoriamente direções e distâncias, calculando-se a função objetivo nesses pontos. Após análise dos resultados, parte-se dos melhores valores obtidos repetindo-se o procedimento.

Os métodos diferem da forma como cada etapa é executada.

x1

x2

BUSCA POR MALHAS

A Função Objetivo é calculada em diversos pontos no entorno de um ponto base segundo uma configuração e incrementos pré-estabelecidos;

Identificado o melhor ponto este é tomado como novo ponto base, repetindo-se o procedimento.

Não havendo sucesso no entorno do um ponto base, os incrementos são reduzidos

O procedimento é repetido até que o incremento se torne menor ou igual a uma tolerância pré-estabelecida.

BUSCA SECCIONADA (UNIVARIÁVEL)

Uma busca univariável é executada de cada vez em cada uma das n direções.

Uma circunstância excepcionalmente favorável ocorre quando a função é quadrática e alinhada com os eixos coordenados: o método converge em n iterações.

Em outras circunstâncias o método perde em eficiência pois à medida que se aproxima do ótimo o passo vai se tornando cada vez menor.

MÉTODO SIMPLEX

Para duas dimensões ela assume a forma de um triângulo equilátero

A Função Objetivo é calculada nos vértices de uma figura denominada Simplex pelos autores do método [Spendley, Hext e Himsworth (1962)]

A Função é calculada nos três vértices: 1, 2 e 3.

O pior ponto (1, por exemplo) é substituído por outro projetado através do centroide da figura, mantendo o mesmo comprimento do lado do triângulo (ponto 4).

O procedimento é repetido permitindo a mudança de direção da busca.

A figura mostra a evolução da busca, com a mudança de direção e redução do lado do triângulo com a aproximação do ótimo.

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Explorar, Progredir e Chegou ao Ótimo: ver em seguida

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão (estamos nas proximidades do ótimo):

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar


ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável


Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Base: o centro da região de busca (na falta de maiores informações).

Tolerância: o menor intervalo de incerteza admissível para cada variável

Incremento: a busca deve ser grosseira, porém rápida no início e lenta e minuciosa nas proximidades do ótimo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerância, ou mais, para ser reduzido à metade à medida que se aproxima do ótimo.

Exploração

Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.

Base?- 1

?

- 2

?+ 1

?

+ 2

A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Do resultado, depreender a direção provável do ótimo

Exploração

BaseS- 1

I

- 2

S

+ 2

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

S: SucessoI: Insucesso

buscando máximo

Sucesso

desnecessário

Exploração

BaseS- 1

I

- 2

S

+ 2

O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração

- 1

18

15

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base


Direção provável do ótimo

10 Base

Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 2

- 115

12

- 2

x1

x2

+ 2

18


Insucesso: permanecer na Base



10 Base

Direção x1

Direção x2


- 115

- 2

x1

x2

+ 2


12 Insucesso:permanecer na Base


10 Base

Direção x1

Direção x2


13 Insucesso: permanecer na Base

- 17

18

- 2

x1

x2





15+1

10

Base

Direção x1

Direção x2


- 17

- 2

x1

x2




15+1

12

10

Base

18 Sucesso: deslocar a Base


+ 2

Direção x1

Direção x2

- 17

- 2

x1

x2


Insucesso: permanecer na Base Direção provável

do ótimo

15+1

10

Base


+ 2

Direção x1

Direção x2

12

11Insucesso: permanecer na Base

- 17

- 2

x1

x2




+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

15


- 17

- 2

x1

x2



+110

Base

Direção x1

Direção x2



15

+ 2


- 17

- 2

x1

x2


+110

Base

Direção x1

Direção x2


+ 2



A Base deve estar próxima do ótimo !


ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável



Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão (proximidade do ótimo):



A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?

Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar

Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.

Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos



x1

x2

Reduzir os incrementos1 = 1 /2 , 2 = 2 /2



9

- 17

- 2

+110

Base

+ 2

5

8

+ 2

1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo

+ 1- 1

- 2

x1

x2

1 < 1 e 2 < 2

8- 1

7

- 2

+1

10Base

+ 2

9

5

+ 1- 2

+ 2

- 2


a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo


ALGORITMO




Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão: (proximidade do ótimo)


x1

x2

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão (passo simples)

10

Base

+ 2

+1

25

22

15+1

+ 2

18

Resultado da Exploração

Progredir até ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

+ 2

+1

x1

x2

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão (passo duplo)

15+110

Base

+ 2

18

+ 2 2

+2 1

25

+ 2 2

+2 1

22

Resultado da Exploração

Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

Funções Unimodais

O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.

Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.

Funções Multimodais

(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes

f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2

2 + x1 – 7)2


ALGORITMO



Escolher uma Base

Repetir


Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão: (proximidade do ótimo)

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

'HJ 18JUL90-23MAI96'Executa o Método de Hooke & Jeeves.

'----------------------------------------------------------------------------' Programa Principal'----------------------------------------------------------------------------

EscolherUmaBaseDO

ExplorarAsVizinhancasDaBase '(Buscando a direção provável do ótimo). IF HouveSucessoEmAlgumaDirecao THEN

ProgredirAteUmInsucesso '(Na direção provável do ótimo). ELSE

IF ChegouAoOtimo THEN EXIT DO ELSE ReduzirTodosOsIncrementos END IFLOOPFinalizar

Ver H&JTela.xls

Aplicação a um processo

Fluxograma do ProcessoDimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto

W6

T*6

W10 T*

10

W13 T13 W11

T*11

W8

T*8

W*1

x*11

T*1

f11

f31

W7 T*

7

W5 T*

5

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x*

14

T4 f14 f24

W12 T*

12

W12 T*

12

W14 T*

14

W2

x12

T*2

f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

910

11

12

13

14

15

VdAe

AcAr

t* r*

Alimentação Produto

Vapor

Benzeno

Benzeno

Água Água

W15 T15

Dimensionamento

INCÓGNITAS PARÂMETROS

L

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14MODELO

FÍSICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12,T14, r,

G = 0(solução única)

Resultado do Dimensionamento

W6 =8.615 kg/hT*

6 = 150 oC

W10 =36.345 kg/hT*

10 = 80 oCW13 = 36.345 kg/hT13 = 25 oC

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oCW8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

W*1 = 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W5 = 36.345 kg/hT*

5 = 80 oC

W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h

W4 = 1.200 kg/hx*

14 = 0,1

T4 = 80 oCf14 = 120 kg/hf24 = 1.080 kg/h

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oCW12 = 228.101 kg/hT*

12 = 30 oC

W14 = 1.080 kg/hT*

14 = 25 oC

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR


BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

Vd = 11.859 l

*= 0,0833 h

r* = 0,60

Ae = 124 m2

Ac = 119 m2Ar = 361 m2

W15 = 37.425 kg/hT13 = 25 oC

Dimensionamento

incógnitas

L

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

variáveis de projeto

r,T9,T12OTIMIZAÇÃO

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOFÍSICO

variáveis especificadas

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T7,T8,T10,T11,T14,

r, T9, T12

?

Omitindo r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto

PARÂMETROS

G > 0Otimização

Resultado da Otimização(r, T9, T12)

W6 =5.857 kg/hT*

6 = 150 oC

W10 =24.670 kg/hT*

10 = 80 oCW13 = 24.670 kg/hT13 = 25 oC

W11 = 48.604 kg/hT*

11 = 15 oCW8 = 78.395 kg/hT*

8 = 15 oC

W*1 = 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W7 = 5.857 kg/hT*

7 = 150 oC

W5 = 24.670 kg/hT*

5 = 80 oC

W3 = 25.682 kg/hx13 = 0,004

T3 = 25 oCf13 = 101 kg/hf23 = 25.581 kg/h

W4 = 1.012 kg/hx*

14 = 0,1

T4 = 80 oCf14 = 101 kg/hf24 = 911 kg/h

W12 = 48.604 kg/hT*

12 = 27 oCW9 = 78.395 kg/hT*

9 = 44 oC

W14 = 911 kg/hT*

14 = 25 oC

W2 = 99.898 kg/hx12 = 0,001

T2 = 25 oCf12 = 98 kg/hf32 = 99.800 kg/h

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR


BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

Vd = 10.742 l

*= 0,0833 h

r = 0,506

Ae = 84 m2

Ac = 95 m2Ar = 238 m2

W15 = 25.581 kg/hT13 = 25 oC

FIM DA REVISÃO

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]

Método dos Multiplicadores de Lagrange

1. Formar o Lagrangeano do problema:

L(x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2]

i : multiplicadores de Lagrange i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)

2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.

3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

0,5

0,5

restrição

curvas de nível da função objetivo

1

1 x1

x2

Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2

L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2]

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 - 2]

Formar o Lagrangeano:

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 - 2]

L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1

2 + x22 – 0,25 - 2 = 0 (3)

L / = 2 = 0 (4)

A Eq. (4) é satisfeita para:

0,5

0,5

restrição

x1

x2 curvas de nível da função objetivo

1

1

= 0 (solução irrestrita):

= 0 (folga zero, fronteira da região):

(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1

(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS

EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS

Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.

Mas exige um procedimento de otimização:

- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas

- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator

T oC

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

T oC

W = 3.750 kgB/h

rafinado

y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60

extrato W = 3.750 kgB/h


To oC

Ts oC

T oCT oC

x* = 0,008 kgAB/kg A

alimentação

solvente

Normal

Simulações Sucessivas

Exemplo: Extrator

T oC

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h


To oC

Ts oC

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

Simulações Sucessivas

1. Q (xo – x) – W y = 02. y – k x = 0

x = Q xo / (Q + k W )

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

0

TT

TTln

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A ??T 2

* ???

W3 ??

T3* = 15 oC

T4* = ???

1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4. 3. Q – U A = 0

Normal

Simulações SucessivasQ

Ciclo!


T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A ??T 2

* ???

W3 ?? T3

* = 15 oC

T4* = ???

1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4. 3. Q – U A = 0

Simulações SucessivasQ

Ciclo!

Substituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta:

a = T1 – T3b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4.


T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A ??T 2

* ???

W3 ??

T3* = 15 oC

T4* = ???

a = T1 – T3b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4. Otimização

Por Hooke&Jeeves

0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000

FO = |T2 – 25| + |T4 – 30|

eqe 002 otimizaÇÃo em engenharia quÍmica

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