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Equacoes Trigonometricas
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2014.2
25 de marco de 2015
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Exemplo (1)
Resolver a equacao 2senx − 1 = 0
2senx − 1 = 0 ⇐⇒ 2senx = 1 ⇐⇒ senx =1
2
Isso ocorre quando x =π
6rad ou x =
5π
6rad
E tambem quando x =π
6+ 2kπ ou x =
5π
6+ 2kπ
S ={
x ∈ R ; x = (π6 + 2kπ)rad ou x = ( 5π6 + 2kπ)rad , k ∈ Z
}
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Exemplo (2)
Resolver a equacao 2senx − 3 = 0
2senx − 3 = 0 ⇐⇒ 2senx = 3 ⇐⇒ senx =3
2
Como nao existe x ∈ R tal que senx =3
2, o conjunto solucao
da equacao dada e vazio.
S = { } ou S = ∅
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Exemplo (3)
Resolver a equacao cos(x − 250) = −√2
2
Na primeira volta, x − 250 = 1350 ou x − 250 = 2250
Isso implica que x = 1600 ou x = 2500
Considerando todos os valores de x , temos:x = 1600 + k .3600 ou x = 2500 + k .3600.
S ={
x ∈ R ; x = (160 + 360k)0 ou x = (250 + 360k)0, k ∈ Z}
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Exemplo (4)
Resolver a equacao 3senx − 2 = 7senx − 1, com 00 ≤ x < 3600
3senx − 7senx = −1 + 2 ⇐⇒ 4senx = −1 ⇐⇒ senx = −1
4
arcsen
(
−1
4
)
= −0.2527rad = −14.48360 = 345, 51640
Veja que x tambem pode ser igual a 194.48360.
S ={
194.48360; 345.51640}
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Exemplo (5)
Resolver a equacao 2 cos2 x − 9 cos x = 5, com x ∈ [0, 2π)
Fazendo cos x = y , temos: 2y2 − 9y − 5 = 0O discriminante desta equacao e: ∆ = 121
Portanto, para esta equacao, podemos ter y = 5 ou y = −1
2
Ou seja, cos x = 5 ou cos x = −1
2Como nao ocorrre cos x > 1, entao cos x = 5 deve serdesconsiderado.
S =
{
2π
3,4π
3
}
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Exemplo (6)
Resolver a equacao 2 cos x − 1 = sec x, com x ∈ [0, 2π)
2 cos x − 1 = sec x ⇐⇒ 2 cos x − 1 = 1cos x ⇐⇒
2 cos2 x − cos x = 1
Fazendo cos x = y , temos 2y2 − y − 1 = 0 e ∆ = 9
Portanto, para esta equacao, podemos ter y = 1 ou y = −1
2
Ou seja, cos x = 1 ou cos x = −1
2
e, portanto, x = 0 ou x =2π
3ou x =
4π
3
S =
{
0,2π
3,4π
3
}
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Exemplo (7)
Resolver a equacao sen2x +√2 cos x = 0, com x ∈ [0, 3600)
Lembrando que sen2x = 2.senx . cos x , temos:
sen2x +√2 cos x = 0 ⇐⇒ 2.senx . cos x +
√2 cos x = 0
Ou ainda, cos x .(2senx +√2) = 0
Assim, cos x = 0 ou 2senx +√2 = 0
A primeira igualdade implica em x = 900 ou x = 2700.
Ja a segunda igualdade implica em senx = −√2
2, isto e,
x = 2250 ou x = 3150.
S ={
900, 2700, 2250, 3150}
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Exemplo (8)
Resolver a equacao cos 2x + 3senx − 2 = 0, com x ∈ [0, 3600)
Lembrando que cos 2x = cos2 x − sen2x , temos:
cos 2x + 3senx − 2 = 0 ⇐⇒ (cos2 x − sen2x) + 3senx − 2 = 0
Ou ainda, (1− sen2x)− sen2x + 3senx − 2 = 0
Que, organizando, resulta em: 2sen2x − 3senx + 1 = 0.
Fazendo senx = y , a equacao equivale a 2y2 − 3y + 1 = 0,cujo discriminante e ∆ = 1
Daı, y = 1 ou y =1
2, ou seja,
senx = 1 ou senx =1
2S =
{
300, 900, 1500}
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Exemplo (9)
Resolver a equacao senx − cos x = 1, com x ∈ [0, 2π)
senx = 1 + cos x
Daı,sen2x = (1 + cos x)2 ⇐⇒ (1− cos2 x) = 1 + 2 cos x + cos2 x
Ou seja, −2 cos2 x − 2 cos x = 0 =⇒ cos2 x + cos x = 0
Isso equivale a: cos x(cos x + 1) = 0. Isto e, cos x = 0 oucos x = −1.
Se cos x = 0, entao x = π/2 ou x = 3π/2
Se cos x = −1, entao x = π.
S = {π/2, π, 3π/2}. Sera?Checando, vemos que 3π/2 nao torna verdadeira a igualdade!Por que!?
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Exemplo (10)
Resolver a equacao cos 2x =
√3
2, com x ∈ [0, 3600)
Resposta...
S ={
150, 1650, 1950, 3450}
.
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Exemplo (11)
Resolver a equacao tg3x = 1, com x ∈ [0, π)
Resposta...
S =
{
π
12,5π
12,3π
4
}
.
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Exemplo (12)
Resolver a equacao sen2x . cos x + cos 2x .senx =
√2
2, com
x ∈ [0, 2π)
Resposta...
S =
{
π
12,π
4,3π
4,11π
2,17π
12,19π
12
}
.
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Exemplo (13)
Encontre 9 solucoes particulares e a solucao geral da equacao
2sen23x − sen3x − 1 = 0, com x ∈ R
Resposta...
S =
{
π + 4kπ
6,π + 12kπ
18,5π + 12kπ
18; k ∈ Z
}
.
Solucoes particulares (por exemplo):
k = 0 :π
6,π
18,5π
18
k = 1 :5π
6,13π
18,17π
18
k = 2 :3π
2,25π
18,29π
18
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