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K.REDJDAL
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1- Equations différentielles du 1er ordre
On appelle équation différentielle du 1er ordre, toute équation de la forme F(x,
y,y’)=0, pouvant être vérifiée en chaque point x d’un intervalle IR, par une
fonction y=f(x) et par sa dérivée y’= f’(x)=dy/dx.
Intégrer ou résoudre une équation différentielle consiste à déterminer les
solutions y=f(x) qui la vérifient.
On trouve en réalité une infinité de courbes solutions. Une solution unique est
déterminée à partir de conditions initiales connues.
1-1-Equations à variables séparées
• On appelle équation à variables séparées toute équation du type
dxxfdyygsoityg
xfy )()(
)(
)('
• Pour résoudre ce type d’équations, on intègre les deux membres de
l’équation:
dxxfdyyg )()(
Exemple 1:
En intégrant les deux membres, on a :
ce qu'on peut écrire soit qui est
l'équation d'un cercle de centre (1 ;0) et de rayon R.
Exemple 2: xy’Lnx=(3Lnx+1)y ( x>0)
K.REDJDAL
En intégrant, on obtient :
ou encore
Remarque : Parmi ces courbes , il en existe une et une seule vérifiant
y(e)=1 et dont l'équation s'écrit :
Exemple 3 : xy’ + y2 =0 ( x et y différents de 0 )
L’intégration de cette expression donne :
soit
La courbe unique vérifiant
s'écrit
1-2-Equations homogènes
• On appelle équation homogène, toute équation de la forme y’ =f(y/x)
Une telle équation se résout en cherchant une représentation paramétrique des
courbes intégrales x=x(t) y=y(t)
En posant t=y/x ( x ≠0) et en éliminant dy entre les deux équations y=t x d’une
part et dy/dx = f(t) d’autre part, on se ramène à une équation à variables
séparées en x de la variable t.
K.REDJDAL
Exemple 4: x(x2+y
2)y’ =y
3 ( x et y différents de 0)
On pose t = y/x soit y = tx et dy = t dx + x dt
On remplace dans l’équation différentielle :
On simplifie par x3
On aboutit alors à l’équation à variables séparées de x en t :
La résolution de cette équation donne :
La solution paramétrique de l’équation différentielle est alors :
et
Exemple 5 : (x2+xy) y’ = x
2+y
2 ( x≠0 et y≠ x)
On pose t = y/x soit y = tx et dy = t dx + x dt
En simplifiant par x ( x ≠0) :
En intégrant, on aboutit à :
soit :
et
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1-3- Equations différentielles linéaires
On appelle équations différentielles linéaires du premier ordre, toute
équation de la forme A(x) y’ + B(x) Y = C(x)
La méthode générale d’intégration dite méthode de la variation de la constante
s’articule comme suit :
1ère
étape : Résolution de l’équation sans second membre A(x) y’ + B(x) y = 0
qui est une équation à variables séparables. On obtient alors la solution ,
solution qui dépend d’une constante K.
2ème
étape : On calcule en consiérant K non pas comme une constante
mais comme fonction de la variable x.
On injecte alors dans l’équation initiale, les expressions de et de .
On obtient alors une équation différentielle de la forme K’(x) = g(x)
On intègre pour déterminer K(x) : K(x) = G(x) + C
En remplaçant enfin K(x) par G(x) + C dans , on obtient la solution
générale : où
Dans les exemples suivants, on suppose que les conditions de calculs sont
vérifiées c'est à dire qu'on ignore les solutions dites "banales".
Exemple 6: x2 y’ + (1-2x)y = x
2
1ère
étape :: x2 y’ + (1-2x)y = 0
dxxx
dxx
x
y
dy)
12(
1222
L’intégration membre à membre donne
Ln|y| = 2Ln|x| + 1/x + C soit : y = k x2 e
1/x
2ème
étape : Variation de la constante : y = k(x)x2 e
1/x
x2 y’ + (1-2x)y = x
2 devient
x2{ ( k’(x) x
2 e
1/x + k(x) [2x e
1/x - x
2(1/x
2) e
1/x] }
+(1-2x) k(x)x2 e
1/x = x
2
K.REDJDAL
Après réduction, on a : k’(x) x4 e
1/x = x
2
Soit k’(x) = (1/x2) e
-1/x ce qui donne k(x) = e
-1/x+ C
La solution générale de l’équation différentielle est alors:
y = [e-1/x
+ C] [x2 e
1/x]
y= x2(1+Ce
1/x)
Exemple 7 : y’+3y =(5x+1)e2x
Remarque:
On peut rechercher une solution particulière de l’équation différentielle
A(x) y’ + B(x) y = C(x) dans le cas où les conditions suivantes sont satisfaites:
1) l’équation est à coefficients constants : A(x) =a et B(x)=b
2) le second membre C(x) a l’une des formes suivantes
• a) Pn(x) ( polynôme en x de degré n)
• b) Pn(x) ex
• c)Pn1(x) cosx + Qn2(x) sinx
• d) Ci (x) où Ci(x) est l’une des formes suivantes.
La solution particulière y0 est alors déterminée en posant respectivement:
a) y0 =a0 + a1 x + a2 x2 +………an x
n
b) y0 = (a0 + a1 x + a2 x2 +………an x
n )e
x si n'est pas racine de
l'équation sans second membre et y0 = x(a0 + a1 x + a2 x2 +………an x
n )e
x
si est racine de l'équation sans second membre et
c)y0 =(a0 + a1x + a2x2 +….+anx
n) cosx + (b0 + b1x + b2x
2 +…+bnx
n) sinx
avec n=max(n1 ,n2)
d) y0 = y0i ( y0i étant solution particulière comme si seule Ci(x) figurait
au second membre)
La solution générale de l’équation s’écrit alors :
Réponse : y= xe2x
+ke-3x
K.REDJDAL
Exemple 8 : y’ + y = cosx
Solution de l’équation sans second membre
y’+y=0 y’/y = -1 ce qui donne Ln|y|=-x+C
soit y = ke-x
Méthode de variation de la constante
[ k’(x) e-x –
k(x) e-x
] +
ke-x
= cosx
soit k’(x) e-x
= cosx ou encore k’(x) = ex cosx ce qui donne en faisant une
intégration par parties :
k(x) = (1/2) ex ( cosx + sinx) + C
La solution générale de l’équation donnée est alors :
y= [ (1/2) ex ( cosx + sinx) + C ] e
-x
y= (1/2) ( cosx+ sinx) + C e-x
Utilisation de l’identification pour la recherche de la solution particulière
On pose y0= a0 cosx + b0 sinx
L’équation y’+y = cosx donne
-a0 sinx + b0 cosx + a0 cos x + b0 sin x = cosx soit par identification
-a0 + b0 = 0
b0 + a0 = 1 ce qui donne a0=b0=1/2
La solution particulière est y0 = (1/2)( cosx + sinx)
Et la solution générale est alors :
y= (1/2)( cosx + sinx) + ke-x
Exercice 9 : Un modèle d’évolution
Dans une pièce à température constante de 20°C, à l’instant initial, noté 0, la
température y(0) d’un liquide est égale à 70°C .Cinq minutes plus tard, elle est
égale à 60°C .On admet que la température du liquide est une fonction dérivable
K.REDJDAL
du temps, exprimé en minutes, et que y’(t) est proportionnel à la différence entre
la température y(t) et celle de la pièce .
On notera a le coefficient de proportionnalité, a réel.
Ecrire y’(t) en fonction de y(t) et résoudre l’équation différentielle ainsi
trouvée. Quelle est la température du liquide 30 minutes après l’instant initial.
y’(t) = a [ y(t) – 20] ou bien y ’(t) = ay(t) – 20a soit . y ’ – ay = -20a
Les solutions sont les fonctions : y(t)= C e a t
+ 20 .
La solution particulière vérifie
• y( 0 ) = 70 et y( 5 ) = 60 d’où :
On obtient C = 50 et d’où a =Ln(0,8)/5 .
Quelle est la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?
Remplacer t par 30 dans y(t). On trouve environ 33 degrés.
Donc, au bout de 30 minutes, la température est d’environ 33 °C .
1-4- Equations se ramenant au type linéaire
1-4-1- Equations de Bernoulli
A(x) y’ + B(x) y = C(x) ym
( m R-{0 ;1} )
On divise par ym
On pose
on a alors :
L’équation s’écrit alors : qui est une «équation
linéaire en z .
On résout cette équation linéaire de z en x et on remplace ensuite z en
fonction de x.
Exemple 10 : ( x>0)
On divise par :
K.REDJDAL
On pose
on a alors :
L’équation devient : qui est une équation linéaire
1ére étape : Résolution de
2ème
étape : Variation de la constante
soit
qui est de la forme - U’U
La solution générale de l’équation linéaire en z est :
La solution générale de l’équation initiale est :
Exemple 11:
( x≠0)
On divise par :
On pose
on a alors :
L’équation devient :
qui est une équation linéaire
1ére étape : Résolution de
2ème
étape : Variation de la constante
K.REDJDAL
ou
soit
La solution générale de l’équation en z est :
La solution générale de l’équation en y est :
1-4-2- Equations de Lagrange
Ce sont des équations de la forme y = x f(y’) + g(y’)
Comme pour les équations homogènes, une telle équation se résout en cherchant
une représentation paramétrique des courbes intégrales x =x(t) et y = y(t).
On pose alors y’= t et en éliminant dy entre les deux équations dy = t dx d’une
part et y = x f(t) + g(t) d’autre part, on est ramené à une équation de type linéaire
en x de la variable t.
Exemple 12 :
On pose
On a alors :
Dans les deux expressions précédentes, on élimine dy et on obtient :
( équation linéaire de x en t )
1ére étape : Résolution de l'équation
K.REDJDAL
2éme étape : Variation de la constante
On revient à l'équation linéaire de x en t :
On remplace
La solution de l'équation linéaire de x en t s'écrit :
La solution de l'équation de Lagrange de y en t s'écrit :
1-4-3- Equations de Clairaut
Ce sont des équations de la forme y = x y’ + g(y’) ; cas
particulier de Lagrange avec f(y’)= y’.
Pour résoudre ce type d'équations, on pose y' = t et y'' = t'.
Exemple 13 :
Dérivons les deux membres de cette équation
2
K.REDJDAL
soit, en posant y' =t et y'' = t'
2
ou encore
La résolution de cette équation linéaire de x en t aboutit à la solution
paramétrique suivante :
et comme
1-4-4- Equations de Riccati
Ce sont des équations de la forme :
A(x) y’ = B(x) y2 + C(x) y + D(x) avec D(x) 0
On se ramène à une équation de Bernoulli en posant y=y0+u où y0 étant une
solution particulière qui est généralement donnée.
Exemple 14 :
Posons y = 3x+1 + u ( solution particulière y = 3x +1 )
soit : qui est une équation de Bernoulli.
La solution de cette équation de Bernoulli est :
La solution de l'équation de Riccati est alors
K.REDJDAL
2-Equations différentielles de deuxième ordre
Une équation différentielle de deuxième ordre est de la forme F(x , y, y’, y’’)=0
pouvant être vérifiée en chaque point x d’un intervalle I de R, par une
fonction y=f(x) et par ses dérivées première f ’(x) et seconde f ’’(x).
2-1- Equation différentielle linéaire :
A(x) y’’ + B(x) y’ + C(x) y = D(x) où A(x) 0
Si on connaît une solution particulière yp d’une équation différentielle
sans second membre , on obtient la solution générale de cette équation en posant
y=yp z(x) et en reportant dans cette même équation.
Si on connaît 2 solutions particulières indépendantes y1 et y2 d’une équation
différentielle linéaire sans second membre, on obtient directement la solution
générale de cette équation par combinaison linéaire de y1 et y2.
Si on connaît une solution particulière yp d’une équation différentielle
linéaire , on obtient la solution générale de cette équation en ajoutant à yp la
solution générale ySSM de l’équation sans second membre.
La question à résoudre est alors celle de la recherche de la solution particulière
2-1- 1- Equations linéaires à coefficients constants
2-1-1- 1- Equation sans second membre
Equation de la forme
On détermine le déterminant du trinôme caractéristique : am2+bm+c
La solution de l'équation différentielle sans second membre s'écrit alors :
K.REDJDAL
La solution de l'équation différentielle sans second membre s'écrit alors :
La solution de l'équation différentielle sans second membre s'écrit alors :
Exemple 15: y’’ – 5y’ +6y =0
>0 ; m1=2 et m2=3 : ySSM =K1 e2x
+ K2 e3x
Exemple 16 : y’’ – 4y’ +4y =0
=0; m1= m2=2 : ySSM= e2x
(K1 x+ K2 )
Exemple 17: y’’ +y’ +y =0
<0 ;
2
3sin
2
3cos 21
2xx
ey
x
ssm
K.REDJDAL
2-1-1-2- Equations avec second membre classique
ay’’ + b y’ + cy = D(x)
La forme de la solution particulière dépend de la nature du second
membre D(x) . On distingue plusieurs cas .
1er cas : D(x) est un polynôme de degré n
La solution particulière y0 s'écrit :
yp = a0+a1x+a2x2+…..+an x
n si c≠0
yp = x(a0+a1x+a2x2+…..+an x
n) si c=0 et b≠0
yp = x2(a0+a1x+a2x
2+…..+an x
n) si c=0 et b=0
Exemple 18 : y’’ – 10y’ +25y = 25x2 +5x+17
La solution de l’équation sans second membre est donnée par :
la solution particulière se détermine en posant
yp= a0 + a1x + a2x2
En remplaçant dans l’équation de départ , y , y’ et y’’ , on détermine par
identification les valeurs de a0 , a1 et a2 qui sont respectivement : 1 ,1 et 1 :
y0= 1 + x + x2.
La solution générale est donc : y= 1 + x + x2 +e
5x ( K1x+ K2 )
2ème cas : D(x) est de la forme
si n’est pas racine du trinôme caractéristique , on pose
Si est racine simple du trinôme caractéristique , on pose
est racine double du trinôme caractéristique, on pose
K.REDJDAL
Exemple 19 : 2y’’ – y’ – y = 4x e 2x
La solution de l’équation sans second membre est :
On recherchera la solution particulière en posant :
En remplaçant et après calcul on trouve
La solution générale est donc:
221
2
25
28
5
4x
xx eKeKexy
Exemple 20 : y’’ – y’ – 2y = 3 e2x
La solution de l’équation sans second membre est :
On recherchera la solution particulière en posant :
En remplaçant et après calcul on trouve 1
La solution de l'équation différentielle est alors
3ème cas :
Si (i ) n’est pas racine du trinôme caractéristique; on pose
Si (i ) est pas racine du trinôme caractéristique; on pose
K.REDJDAL
Exemple 21 : y’’ + 4y = 10 sin(3x)
La solution de l’équation sans second membre est :
y SSM = K1 cos(2x) + K2 sin (2x)
Une solution particulière se détermine en posant :
yp= a0 cos(3x) + b0 sin(3x)
En remplaçant , on trouve a=0 et b= -2 soit yp= -2sin(3x)
La solution générale est donc: K1 cos(2x) + K2 sin( 2x) -2sin (3x)
Exemple 22 : y’’ + 4y = - 4 sin(2x)
La solution de l’équation sans second membre est :
y SSM = K1 cos(2x) + K2 sin (2x)
On est dans la cas où i = 2i est racine du trinôme caractéristique
( )
On pose alors :
En remplaçant y , y' et y'' et en identifiant respectivement les termes en
cos(2x) ; sin(2x) ; x cos(2x) et x sin(2x) , on aboutit à :
La solution particulière de l'équation différentielle est :
La solution générale de l'équation différentielle est alors:
4ème cas :
On se ramène au cas précédent en posant d’abord :
K.REDJDAL
Exemple 23:
En posant , on a :
En remplaçant dans l'équation donnée, on aboutit à l'équation suivante en z :
qui est une équation linéaire à coefficients constants
La solution de l'équation sans second membre est :
La solution particulière
La solution générale de l'équation de z en x est :
La solution générale de l'équation de y en x est
Exemple 24:
Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il
est soumis à une force d’entraînement constante de valeur 50 N. Les forces de
frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient
de proportionnalité a pour valeur 25 N.m–1
.s–1
.
La position du chariot est repérée par la distance y , en mètres, du point H à
l’origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes.
On prendra t dans l’intervalle [0 ; +∞[.
Les lois de Newton conduisent à l’équation différentielle du mouvement :
25 y’ + 200 y’’ = 50,
où y’ est la dérivée de y par rapport au temps t et y’’ la dérivée seconde de y par
rapport au temps t.
On note v(t) la vitesse du chariot à l’instant t ; on rappelle que v(t) = y’(t).
K.REDJDAL
Résoudre cette équation en supposant que y(0)= y’(0)=0
y(t) = 2t – 16 + 16e –t/8
.
Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90 %
de sa valeur limite V ?
v(t) = 2 – 2e–t/8
Lim v(t) = 2
2 – 2e–t/8
< 2 *90% === > t < 8 Ln(10)
Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On
exprimera cette distance en mètres, au décimètre près ?
y(30)= 2*30-16+ 16 e -30/8
=44,4 m
K.REDJDAL
2-1-1-3- Equations avec second membre quelconque
ay’’ + b y’ + cy = D(x) ( D(x) quelconque)
La méthode dite générale ( méthode de la variation des constantes ),
utilisable évidemment pour D(x) classique, s'articule en deux étapes.
1ère étape : Recherche de la solution générale de l’équation
sans second membre
2ème étape : Application de la méthode de variations des constantes
y = K1(x) y1 + K2 (x) y2
K1(x) et K2 (x) sont des fonctions de x dont les dérivées sont
déterminées par le système suivant:
Exemple 25:
La solution de l'équation sans second membre est :
Le système à résoudre s'écrit alors :
En faisant la somme membre à membre, on élimine l'inconnue et on trouve
soit
K.REDJDAL
En intégrant par parties
on déduit
En multipliant la première équation par 2 et en additionnant membre à membre,
on obtient:
soit
donc
La solution générale de l'équation différentielle s'écrit alors :
soit après simplification :
K.REDJDAL
EXERCICES SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Exercice 1: Résoudre les équations différentielles du premier degré
suivantes après avoir reconnu leur nature.
Exercice 2: Résoudre les équations différentielles du deuxième degré
suivantes.
K.REDJDAL
Exercice 3: Loi de refroidissement de Newton
A l'instant t =0h, on place un corps à 100° C dans une pièce à 20°C. On note
y(t) la température du corps à l'instant. D'après la loi de refroidissement de
Newton , la vitesse de refroidissement du corps y'(t) est proportionnelle à la
différence de température entre le corps et la pièce soit
où k est le coefficient de refroidissement égal à 2.08 h
-1.
1) Montrer que la solution de l'équation différentielle vérifiant la condition
initiale y(0)= 100 s'écrit :
2) quelle est la température après 30 minutes ?
3) au bout de combien de temps la température tombera-t-elle à 30°C ?
Exercice 4 : Circuit électrique et loi de Kirchhoff
D'après Kirchhoff, dans un circuit électrique fermé, la somme des chutes de
tension de tous les éléments du circuit, est égale à la tension fournie par la
source .
K.REDJDAL
Dans un circuit RC (résistance et capacitance , pas d'inductance) , la loi de
Kirchhoff conduit à : V = VR + VC et donc
où : VC est la chute de tension aux bornes du condensateur et VR est la chute
de tension aux bornes de la résistance
Sachant qu'une résistance R = 8M est branchée en série avec un
condensateur de capacitance C = 2F et une batterie dont la force
électromotrice est de 20V et qu'à t=0 , le condensateur est déchargé :
1) Quelle est la tension aux bornes du condensateur après 2 secondes ?
2) Quelle est la valeur limite de cette tension?
Exercice 5 : Pendule
Un pendule simple est formé d'une boule de masse M suspendu par un fil sans
que l'on suppose sans masse , de longueur L.
Lorsqu'on écarte ce pendule de sa position d'origine( verticale), le poids ( P) se
décompose en deux vecteurs , une force ayant pour direction le fil et qui est
donc opposée à la tension du fil et d'une force F normale au fil , force de
rappel du pendule. On a P=Mg et F = Mg sin = M
g étant la gravité , l'angle d'écartement de la position verticale et
l'accélération tangentielle de la masse M .
V : force électromotrice en volts (V)
R : Résistance en Ohms ()
L : Inductance en Henrys (H)
C: capacitance en Farads (F)
K.REDJDAL
Comme l'accélération angulaire " vérifie = - L '' , on obtient une équation
différentielle du second ordre :
Lorsque est petit , cette équation devient :
Donner la solution de cette équation
Exercice 6 : Circuit LC
Le courant i(t) circulant dans un circuit LC soumis à une tension sinusoidale ,
vérifie l'équation
Déterminer i(t) sachant que i(0)=0 et i'(0)=0
Exercice 7
La suspension d’une voiture est schématisée par un ressort de force de rappel
k=1.36 *104 Nm
-1 . La masse m de la voiture est de 800 kg.
On démontre en mécanique que l’équation du mouvement vertical de cette
voiture est de la forme : 0ym
k'y
m
b"y où y désigne l’amplitude de
l’oscillation en fonction du temps t , b étant une constante qui peut être choisie
égale à 1600.
1) Résoudre cette équation différentielle sachant que y(0)=1 et y’0)=-1
K.REDJDAL
Exercice 8 : Mécanique du mouvement
Considérons une masse m suspendue à un ressort de constante de raideur k. On
désigne par y la position de la masse par rapport à sa position d’équilibre. Le
frottement est supposé proportionnel à la vitesse v = y’(t). On note λ le
coefficient de frottement (λ > 0). On supposera ce coefficient suffisamment
faible.
D'après mes lois de la mécanique du
mouvement, l'équation différentielle
régissant la distance y s'écrit :
Sachant que y(0)=0 et y'(0)=v . La vitesse v
est celle avec laquelle on pousse la masse
vers le bas à l'instant t=0 vérifier qu'il s'agit
d'un mouvement oscillatoire amorti
d'équation:
K.REDJDAL
REPONSES AUX EXERCICES SUR LES EQUATIONS
DIFFERENTIELLES
Exercice 1 :
ou solution algébrique
K.REDJDAL
Exercice 2
Exercice 3
2) 48.3 ° C
3) 1h
Exercice 4
1) et
2) lorsque t tend vers + ; VC(t) tend vers 20 volts.
Exercice 5
K.REDJDAL
Exercice 6
Exercice 7