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CAPITOLO 4

EQUAZIONI di CONSERVAZIONE 4.1 Classificazione delle Macchine Chiamasi macchina la sede di una trasformazione energetica operante mediante uno o pi fluidi in azione dinamica o cinematica; detti fluidi sono i vettori energetici della trasformazione. Tale definizione generale ricomprende le macchine a flusso continuo, dette turbomacchine, (quali pompe, compressori, turbine), le macchine a fluido periodico, dette volumetriche (quali pompe, compressori, espansori volumetrici) e gli scambiatori di calore (quali generatori di vapore, condensatori, ecc.). Pertanto per macchina si intende un sistema che converte energia primaria in una forma pi comodamente utilizzabile (energia meccanica). In una macchina a fluido in particolare tale conversione viene realizzata utilizzando un fluido, ad esempio aria, acqua o vapore. Tale fluido subisce una trasformazione allinterno della macchina, con un conseguente trasferimento di energia tra gli organi mobili della macchina (rotore) ed il fluido stesso. Il fluido a contatto con gli organi di una macchina scambia con questi delle forze. Si sottolinea come tali forze compiono lavoro solo se gli organi sono in movimento. Le macchine possono essere classificate in base al senso del trasferimento di energia; in particolare si parla di macchina operatrice quando il lavoro viene compiuto dalla macchina sul fluido con un conseguente assorbimento di potenza. Si parla di macchina motrice quando il lavoro viene compiuto dal fluido sulla macchina, con una erogazione di potenza allalbero della macchina. Esempi di macchine motrici sono le turbine idrauliche, le turbine a gas o a vapore, i motori a combustione interna, Diesel e a Ciclo Otto. Esempi di macchine operatrici sono i compressori, i ventilatori e le pompe. Unaltra classificazione si basa sulla natura del fluido evolvente. Si chiamano macchine idrauliche quelle che lavorano con fluidi incomprimibili; prendono invece il nome di macchine termiche quelle che usano fluidi comprimibili. Per un fluido incomprimibile la sua storia meccanica separata da quella termica, che peraltro ininfluente. Per un fluido comprimibile invece le due cose sono intimamente legate. Se si esercita una pressione su un fluido comprimibile, cambia la sua densit e si scalda; con un fluido incomprimibile ci non accade. Si ha quindi energia termica che si converte in energia meccanica, e ci si verifica solo in macchine a fluido comprimibile. Unaltra classificazione riguarda gli organi che scambiano energia, cio quelli che interagiscono con il fluido: macchina rotativa o alternativa a seconda che lorgano mobile segua un moto rotatorio (ad es. turbine, compressori, pompe) o alternato (motori a combustione interna). Esempi di pompe rotative sono quella ad ingranaggi, il compressore a lobi tipo Roots e quello ad alette. Si distingue poi tra macchine dinamiche e volumetriche a seconda dellandamento del flusso. Nelle macchine dinamiche, il flusso attraverso la macchina continuo; tali macchine, come gi anticipato sono dette turbomacchine. Nelle macchine volumetriche il flusso invece periodico: la macchina preleva ciclicamente una certa quantit di fluido, le fa compiere la trasformazione, e quindi la scarica. Esempi di macchine

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volumetriche sono i compressori rotativi tipo Roots e i compressori ad alette. Le macchine alternative possono essere solo volumetriche, mentre quelle rotative possono essere sia volumetriche sia dinamiche. Unulteriore classificazione riguarda unicamente le macchine dinamiche (turbomacchine): a seconda della direzione del flusso allinterno della macchina si distingue tra macchine assiali, in cui il fluido procede prevalentemente in direzione parallela allasse di rotazione della macchina, e macchine radiali, dove il fluido procede invece prevalentemente in direzione perpendicolare allasse di rotazione della macchina. Esempi di macchine assiali sono il ventilatore assiale, il compressore assiale e le turbine a vapore. La pompa centrifuga invece un esempio di macchina radiale. La Tabella 1 riassume tutte le classificazioni dette, mentre la Tabella 2 e la Tabella 3 riportano i principali tipi rispettivamente di macchine operatrici e di quelle motrici. Di queste ultime, nella realt solo quelle riportate in rosso e sottolineate ed trovano applicazione. Scambio di energia motrici operatrici Tipo di fluido idrauliche termiche

Moto degli organi che scambiano lavoro alternative rotative Regime di flusso volumetriche dinamiche

Direzione del flusso assiali radiali Tabella 1: classificazione delle Macchine a Fluido

Fluido motore

Movimento organo motore

Tipi di funzionamento

Macchine volumetriche

Macchine dinamiche

(turbomacchine)

Liquido Alternativo Pompe alternative -

Rotativo Pompe a ingranaggi, a

palette, a eccentrici ecc. Pompe

(assiali, miste, radiali)

Gas Alternativo

Compressori a stantuffo e a membrana

-

Rotativo Compressori Roost, a palette, a eccentrico

Compressori (assiali, misti, radiali)

Tabella 2: classificazione delle Macchine Operatrici

Fluido Movimento organo Tipi di funzionamento

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motore motore Macchine volumetriche

Macchine dinamiche

(turbomacchine)

Liquido

Alternativo Macchine idrauliche a revolver, stellari ecc.

-

Rotativo Macchine idrauliche a ingranaggi, a palette, a

eccentrici ecc.

Turbine idrauliche (Pelton, Francis, Kaplan e eliche)

Vapore Alternativo

Macchine alternative a vapore

-

Rotativo - Turbine a vapore

(assiali, radiali)

Gas

Alternativo

Motori alternativi a combustione interna, a combustione esterna,

ad accensione comandata, Diesel

-

Rotativo Motori rotativi a

combustione interna ecc.

Turbine a gas (assiali, radiali)

Tabella 3: classificazione delle Macchine Motrici Le macchine operano quindi con fluidi che subiscono, durante il loro moto tra le pareti delle macchine, trasformazioni termodinamiche; indipendentemente dal tipo di macchina e di fluido considerato, tali processi energetici sono governati dalla leggi della fisica. Elementi fondamentali nella trattazione teorica delle macchine sono quindi:

1. la conoscenza delle propriet termodinamiche e fisiche dei fluidi; 2. la conoscenza delle equazioni della termo e fluidodinamica.

Nei prossimi paragrafi e capitoli saranno trattati questi argomenti.

Figura 1: sezione dei rotori di un motore-pompa idraulico rotativo, con vista esplosa.

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Figura 2: sezione trasversale di a) un compressore tipo Roots; b) un compressore rotativo a palette.

Figura 3: sezione longitudinale di una pompa centrifuga (1. cassa, 4. girante, 14, albero).

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Figura 4: ruota Pelton dellimpianto di S. Massenza e sezione trasversale dellimpianto idroelettrico (Franco

Tosi) - caduta 590 m; portata 14.8 m3/s; potenza 75 MW, velocit di rotazione 428 giri/min).

Figura 5: sezione trasversale di una turbina Francis dellimpianto di Ilha Solteira (Brasile) (Consorzio Voith, Neyrpic, Sfac, Escherwiss, Riva, Ansaldo, Tosi) - caduta 48 m; portata 450 m3/s; potenza 194 MW, velocit di

rotazione 85.7 giri/min.

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Figura 6: sezione trasversale di una turbina Kaplan dellimpianto di Jupi.

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Figura 7: ventilatore assiale.

Figura 8: compressore assiale.

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Figura 9: turbina a vapore a unico corpo.

Figura 10: turbina a vapore a doppio corpo con cross over.

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Figura 11: rotore di una turbina a vapore

Figura 12: turbogas bialbero aeroderivativo GE LM 1600.

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1 v1

2

v2

Q

L

4.2. Sistema aperto Si definisce sistema aperto un sistema il cui contorno pu essere attraversato da:

- materia; - calore; - lavoro.

Per quanto concerne le tematiche oggetto del presente capitolo un sistema aperto pu essere visto come una scatola nera attraversata da un fluido di lavoro (Figura 13).

Tutte le considerazioni sviluppate nel presente capitolo si baseranno sulle ipotesi semplificative di:

- modello monodimensionale del sistema; - moto stazionario del fluido di lavoro.

Lipotesi di moto stazionario del fluido di lavoro implica:

- composizione chimica costante in un dato punto; - propriet termodinamiche costanti in un dato punto; - velocit costante in un dato punto.

Figura 13: sistema aperto.

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4.3. Principio di conservazione della massa Si consideri il sistema in Figura 13, per il principio di conservazione della massa le portate massiche (kg/s) allingresso (1) e alluscita del sistema (2), in assenza di accumulo, sono uguali tra loro.

m1 = m2 Quindi per un fluido, sia esso comprimibile che incomprimibile, si avr che

222111

21

2222

1111

vAvA

mm

vAm

vAm

=

===

222111 vAvA = (fluidi comprimibili e incomprimibili) Dove:

- i la densit del fluido al punto i-esimo; - A1 larea di passaggio del fluido al punto i-esimo; - vi il vettore velocit del fluido in ingresso alla sezione di passaggio Ai e normale ad essa

(ricordiamo che siamo nellipotesi di modello monodimensionale). Indichiamo per semplicit con vi il modulo del vettore velocit;

Fluido incomprimibile Dato un fluido incomprimibile che attraversa il volume di controllo si ha che:

1 = 2 quindi

221121

222111 vAvAvAvA

=

==

A1v1 = A2v2 (fluidi incomprimibili)

Dove il prodotto dellarea di passaggio per il vettore velocit in direzione normale allarea stessa non altro che la portata volumetrica (V) del fluido.

m2 * m/s = m3/s Per un fluido incomprimibile si ha la conservazione della portata volumica (m3/sec).

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4.4. Principio di conservazione dellenergia Si ricorda che tutte le trattazioni fatte in questo corso si basano sullipotesi di sistemi semplificati, cio sistemi termodinamici:

a) macroscopicamente in quiete, non sottoposti a campi gravitazionali ed esenti da effetti di superficie;

b) elettricamente e magneticamente neutri; c) chimicamente inerti.

4.4.1. Primo principio della termodinamica per sist emi chiusi

Dato un sistema chiuso, quindi un sistema che non pu scambiare massa con lesterno, per il I P.T.D. avremo che:

qe + le = e = u dove:

- qe il calore massico scambiato con lesterno; - le il lavoro massico scambiato con lesterno; - e la variazione di energia del sistema per unit di massa; - u la variazione di energia interna del sistema per unit di massa.

4.4.2. Primo principio della termodinamica per sist emi aperti

Dato un sistema aperto, in grado quindi di scambiare massa con lesterno, per il I P.T.D. avremo che

qe + l = e a sua volta la variazione di energia del sistema pari a

e = u + ec + ep Mettendo a sistema si ha

qe + l = u + ec + ep dove

- l il lavoro scambiato per unit di massa; - ec la variazione di energia cinetica del sistema per unit di massa; - ep la variazione di energia potenziale del sistema per unit di massa.

Il lavoro scambiato per unit di massa (l) la somma del lavoro utile specifico massico (le) e del lavoro di pulsione specifico massico (lpulsione).

l = le + lpulsione Il lavoro utile specifico massico (le) il lavoro scambiato per unit di massa tra il fluido che attraversa il sistema aperto e gli organi mobili che costituiscono la macchina (Figura 13 pagina 10).

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Il lavoro di pulsione specifico massico (lpulsione) o anche detto lavoro di spostamento specifico massico pari allenergia necessaria a muovere il fluido attraverso le sezioni (1) e (2) di ingresso e di uscita dal volume di controllo (Figura 13 pagina 10).

lpulsione = p1v1 p2v2 Dove

- pi la pressione del fluido in corrispondenza della sezione di passaggio i-esima; - vi il volume specifico massico del fluido in corrispondenza della sezione di passaggio i-

esima. Dallanalisi dimensionale si vede come il prodotto tra la pressione e il volume specifico massico dia luogo ad una grandezza che ha lunit di misura di un lavoro specifico massico.

U.d.m. (p) = Pa = N/m2 U.d.m (v) = m3/kg Quindi

(P)(v) = N/m2 * m3/kg = N * m/kg = J/kg Dove J/kg non altro che lunit di misura del lavoro specifico massico. Pertanto dato un sistema aperto per il I P.T.D. abbiamo

pcpulsioneeepulsionee

pceeeullq

lll

eeulq++=++

+=

++=+

Esplicitando tutti i termini

lpulsione = p1v1 p2v2

ec = (v22-v1

2) qe + le = (u2 u1) + (v22-v1

2) + g (z2 z1) + (p2v2 p1v1)

ep = g (z2 z1) Considerando che la densit () non altro che il reciproco del volume specifico (v) si ha che il I P.T.D. per sistemi aperti assume la seguente espressione

qe + le = (u2 u1) + (v22-v1

2) + g (z2 z1) + (p2/2 - p1/1) che espressa in funzione dellentalpia (h)

h = u + pv diventa

qe + le = (h2 h1) + (v22-v1

2) + g (z2 z1)

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tale equazione valida sia per processi reversibili che reali (cio irreversibili), sar direttamente lentalpia alluscita del sistema a tenere implicitamente conto della presenza o meno di irreversibilit .

4.4.3. Lavoro perso

Dato un sistema chiuso abbiamo visto che il I P.T.D. assume la seguente forma

q + l = du E a sua volta il lavoro scambiato specifico massico pari a

l = pdv ponendo a sistema si ottiene

q = du + pdv dalla definizione di entalpia, differenziano si ottiene

h = u + pv dh = du + pdv + vdp ponendo a sistema

vvvvv

vpddppddhq

dppddudh

pdduq+=

++=+=

Semplificando i termini si ottiene

q = dh - vdp Per un processo reversibile si ha

TdsqT

qds ==

Ponendo a sistema avremo

dpdhTdsTdsq

dpdhqv

v=

==

Quindi per un processo reversibile

dh = Tds + vdp Questa espressione sebbene ricavata per un processo reversibile valida anche per processi irreversibili essendo lentalpia una grandezza di stato e quindi la variazione di entalpia indipendente dal tipo di trasformazione (reversibile o meno) ma dipende solo dallo stato iniziale e finale del sistema.

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Per un processo irreversibile la variazione di entropia del sistema maggiore del rapporto tra il calore scambiato con lesterno e la temperatura del sistema

T

qds etot

>

Si ha invece che

T

q

T

qds irretot

+=

Quindi

Tdstot = qe + qirr Come precedentemente detto lequazione

dh = Tds + vdp valida per processi reversibili lo anche per processi irreversibili quindi

dh = Tdstot + vdp Ponendo a sistema si ha

dpqqdhqqTds

dpTdsdhirre

irretot

tot vv

++=

+=+=

Il calore generato da processi irreversibili non altro che il lavoro perso per le irreversibilit dovute agli attriti , quindi

qirr = l irr sostituendo si ha

dh = qe + l irr + vdp integrando

++=2

1

12 vdplqhh irre

Ponendo a sistema con leq. di conservazione dellenergia per sistemi aperti

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( ) ( ) ( )( ) ( )++++=+

++=

++=+

1221

22

2

1

2

1

12

1221

2212

2

1v

v

2

1

zzgvvdplqlqdplqhh

zzgvvhhlq

irreee

irre

ee

( ) ( )1221222

12

1v zzgvvdpll irre ++=

Per un processo reversibili (l irr = 0)

( ) ( )1221222

12

1v zzgvvdple ++=

Per un sistema in quiete

=2

1

vdpll irre

Dove

2

1

vdp

il lavoro utile, cio il lavoro realmente scambiato tra la macchina e il fluido. Ci significa che data una macchina:

- operatrice (ad esempio una pompa o un compressore), detto le il lavoro meccanico allalbero della macchina, quindi lenergia meccanica spesa per comprimere il fluido, una parte di questo lavoro si perde per attriti e viene convertito in calore (l irr) mentre la restante parte (le lirr) pari allintegrale di vdp il lavoro realmente ricevuto dal fluido e che ne che ne determina linnalzamento di pressione;

- motrice (ad esempio una turbina), detto le il lavoro ceduto dal fluido, una parte di questo lavoro si perde per attriti e viene convertito in calore (l irr) mentre la restante parte (le lirr) pari allintegrale di vdp il lavoro realmente disponibile allalbero della turbina.

Nel caso di processi reversibile il lavoro scambiato con lesterno ed il lavoro utile coincidono.

=2

1

vdple

Esercizio: data una turbina a vapore che elabora una portata (m) di vapor dacqua di 2 kg/s scambiando con lesterno una potenza termica (Q) di 11 kW, calcolare la potenza meccanica (P) allalbero della turbina.

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p (MPa) T (C) Titolo di vapore (x) v (m/s) z (m) Ingresso 3 400 - 60 5 Uscita 0,125 105,99 1 180 2

Tabella 4: condizioni del vapore allingresso e alluscita della turbina.

P = m*l Note: per il calcolo delle entalpie utilizzare le tabelle del vapore surriscaldato e del vapor saturo. Riultato:

- P = 1.057 kW.

4.4.4. Fluidi incomprimibili e teorema di Bernulli Abbiamo visto come lequazione di conservazione dellenergia

qe + le = (h2 h1) + (v22-v1

2) + g (z2 z1)

sia valida sia per processi reversibili che irreversibili o anche detti reali. Si anche visto come il lavoro effettivamente scambiato tra fluido e macchina, ceduto o assorbito, sia pari alla differenza tra il lavoro utile e il lavoro convertito in calore per irreversibilit.

( ) ( )1221222

12

1v zzgvvdpll irre ++=

Per poter per calcolare il lavoro con queste espressione necessario risolvere lintegrale in essa contenuto, quindi necessario conoscere il tipo di trasformazione. Almeno di non essere nel caso di un fluido incomprimibile. Per un fluido incomprimibile

= cost v = cost quindi integrando sia

1

2

P

Q

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( ) ( ) ( )

1212

21

222

1 ppzzgvvll irre

++=

Consideriamo ora un sistema:

- ideale (l irr = 0) - costituito da un condotto attraversato da un fluido incomprimibile ( = cost); - in assenza di organi mobili che permettano lo scambio di lavoro tra il fluido e lesterno (le =

0); lequazione

( ) ( ) ( )

1212

21

222

1 ppzzgvvll irre

++=

assumer la forma

2

22

2

21

21

1

1

22gz

vpgz

vp++=++

meglio nota come teorema di Bernulli.

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4.5. Moto sub sonico e super sonico Si definisce Numero di Mach il rapporto tra la velocit del fluido e la velocit del suono

a

vM =

Dove:

- v la velocit del fluido; - a la velocit del suono.

Si definisce moto subsonico il moto di un fluido avente

M < 1 v < a Il fluido si muove a velocit inferiore a quella del suono. Si definisce moto supersonico il moto di un fluido avente

M > 1 v > a Il fluido si muove a velocit superiore a quella del suono. Il quadrato della velocit del suono rappresenta la variazione di pressione in un fluido al variare della sua densit a entropia costante. La velocit del suono varia in funzione del fluido e delle condizioni del fluido.

Sd

dpa

=

2

Per un gas perfetto la velocit del suono pari a:

RTa = Dove R la costante universale dei gas. Nel caso di un fluido a densit costante:

=== adt 0cos La velocit del suono infinita, di conseguenza il moto sempre subsonico. Si consideri un fluido che attraversa un condotto:

- adiabatico, quindi no scambio di calore con lesterno; - senza scambiare lavoro con lesterno, quindi lavoro utile pari a zero; - in regime stazionario.

Per lequazione di conservazione della massa avremo

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tAv cos=

Con

- , densit del fluido; - A, sezione di passaggio; - v, velocit del fluido nel condotto.

Calcolando il differenziale dellequazione di conservazione della massa si ottiene

( ) 00cos =++== AdvAvdvdAAvdtAv Dividendo per Av si ottiene

00 =++=++v

dvd

A

dA

Av

AdvAvdvdA

Quindi

0=++v

dvd

A

dA

Per lequazione di conservazione dellenergia per un sistema adiabatico e che non scambia lavoro, considerando trascurabile la variazione di quota del fluido nel condotto, si ha:

tv

h cos2

2

=+

Differenziando si ottiene

002

120

2

2

=+=+=

+ vdvdhdvvdhvhd

Quindi

vdvdh = Si visto in precedenza che per un processo come per un processo irreversibile vale la seguente equazione

dh = Tds + vdp da cui, data una trasformazione reversibile (ds = 0) si ha che

dh = vdp

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ponendo a sistema le due equazioni dh = vdp dh=-vdv si ha

vdp = -vdv v

dv

v

dpvdv

dp == 2

Ponendo a sistema quanto ricavato dallequazione di conservazione della massa

0=++v

dvd

A

dA

con quanto ottenuto dallequazione di conservazione dellenergia

v

dv

v

dp =2

si ottiene

0

0

2

2

=+

=

=++

v

dpd

A

dA

v

dv

v

dp

v

dvd

A

dA

Pertanto

=

==dp

d

v

dpd

v

dpd

v

dp

A

dA

222

11

Quindi

=

dp

d

v

dp

A

dA 2

1

Dalla definizione di velocit del suono, tenuto conto che siamo nellipotesi di processo reversibile (dS = 0)

Sd

dpa

=

2

Sostituendo

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=

=

=

=

=

2

2

222

22

222

2

111

1

a

v

v

dp

av

vadp

av

dp

A

dA

d

dpa

dp

d

v

dp

A

dA

S

Quindi

=

2

2

21

a

v

v

dp

A

dA

A sua volta si definito il Numero di Mach come

a

vM =

Sostituendo si ha

[ ]22

1 Mv

dp

A

dA =

Dai passaggi precedenti si visto essere

v

dv

v

dp =2

quindi

[ ] [ ]222

11 Mv

dvM

v

dp

A

dA ==

=

4.5.1. Moto subsonico di un fluido in un condotto In presenza di moto subsonico avremo

[ ] 011 2 >< MM Pertanto

2v

dp

A

dA

v

dv

A

dA

Dato un condotto convergente

0002

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000 >>> dpv

dp

A

dA

000 > dvv

dv

A

dA

Pertanto in presenza di un flusso subsonico che attraversa un condotto adiabatico e in assenza di scambio di lavoro con lesterno:

- riducendo la sezione di passaggio si ha conversione di energia di pressione in energia cinetica, la pressione scende e la velocit sale;

- aumentando la sezione di passaggio si ha conversione di energia cinetica in energia di pressione, il fluido rallenta e la pressione sale.

M < 1 A v p A v p

4.5.2. Moto supersonico di un fluido in un condotto

In presenza di moto subsonico avremo

[ ] 011 2 MM Pertanto

2v

dp

A

dA v

dv

A

dA

Dato un condotto convergente

0002

>

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0002

> dpv

dp

A

dA

000 >>> dvv

dv

A

dA

Pertanto in presenza di un flusso supersonico che attraversa un condotto adiabatico e in assenza di scambio di lavoro con lesterno:

- riducendo la sezione di passaggio si ha conversione di energia cinetica in energia di pressione, il fluido rallenta e la pressione sale;

- aumentando la sezione di passaggio si ha conversione di energia di pressione in energia cinetica, la pressione scende e la velocit sale.

M > 1

A v p A v p

4.6. Entalpia totale, temperatura totale e pression e totale

Si consideri un condotto attraversato da un fluido, nelle ipotesi di: - condotto adiabatico (qe = 0); - assenza di organi mobili (le = 0).

Sino a qui si sono considerate sempre e solo le propriet statiche del fluido, quali la temperatura statica e la pressione statica, cio le propriet del fluido misurate da strumenti che non risentono della velocit della corrente. Nel condotto rappresentato in Figura 14 sono presenti due misuratori di pressione, uno normale alla direzione del flusso, e che quindi non vede la velocit del flusso, che legge la pressione statica e laltro avente lingresso rivolto contro la corrente, la cui misura di pressione sar quindi influenzata dalla velocit del flusso. Si definiscono condizioni totali del fluido (entalpia totale, pressione totale, temperatura totale, ecc.) le condizioni del fluido a seguito di un arresto senza attriti, cio reversibile, e adiabatico e quindi isoentropico. La pressione risultante dallarresto del flusso detta pressione totale, che la pressione letta dal sensore posto sulla traiettoria del fluido in Figura 14.

MISURA DELLA PRESSIONE STATICA

MISURA DELLA PRESSIONE TOTALE

1 2

Figura 14:condotto adiabatico in assenza di organi mobili.

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Applicando, ai capi del condotto, lequazione di conservazione dellenergia per fluidi comprimibili si ha:

qe + le = (h2 h1) + (v22-v1

2) + g (z2 z1)

nelle ipotesi di

- flusso adiabatico (qe = 0); - assenza di organi mobili (le = 0); - variazione di quota trascurabile (z = cost);

si ha

h1 + v12 = h2 + v2

2 si definisce entalpia totale (ht)

ht = h + v2

Si consideri ora lipotesi che il fluido in moto nel condotto sia un gas perfetto, ne consegue che

dh = cp dT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Dimostrazione Dal primo principio della termodinamica

q l = dep + dec + du nelle ipotesi di flusso a velocit costante, quindi variazione di energia cinetica nulla (dEc = 0), e in assenza di variazioni significative di quota, quindi variazione di energia potenziale gravitazionale nulla (dep = 0), si ha:

q l = du

p

pt

s

h

ht

h

v2/2

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dove

l = pdv quindi

q = du + pdv Dalla definizione di entalpia si ha

h = u + vp dh = du + pdv + vdp ponendo a sistema si ottiene

vdppdvpdvdhqvdp-pdv-dhdu

pdvduq+=

=+=

semplificando si ha

q = dh - vdp Dalla definizione di calore specifico si ha

pp dT

qc

=

Quindi sostituendo si ottiene

pp dT

vdpdhc

=

Ma essendo per definizione cp il calore specifico per una trasformazione a pressione costante allora

P = cost dp = 0

Ne consegue che

dTcdhdT

dhc p

pp =

=

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Procediamo ora alla definizione di temperatura totale (Tt) ht = h + v

2 ht h = v2

dh = cp dT ht h = cp (Tt T) quindi ponendo a sistema si ha

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cp (Tt T) = v

2

da cui

p

2

t 2cTT

v+=

Infine definiamo la pressione totale (pt) Per una trasformazione adiabatica sappiano essere (vedasi appendice al capitolo)

1

1

2

1

2

=

p

p

T

T

Ne consegue che

1

=

p

p

T

T tt

4.6.1. Temperatura e pressione totale in funzione d el Numero di Mach La temperatura totale (Tt) e la pressione totale (pt) possono essere espressi in funzione del Numero di Mach.

( ) 22

11 M

T

Tt += ( ) 122

11

+=

M

p

pt

Dimostrazione Al paragrafo 4.5 si introdotto il Numero di Mach, rapporto tra la velocit del fluido e la velocit del suono

p

pt

h

s

T

Tt

T

v2/2cp

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Mava

vM ==

Dove:

- v la velocit del fluido; - a la velocit del suono.

La velocit del suono varia in funzione del fluido e delle condizioni del fluido e per un gas perfetto la velocit del suono pari a:

RTa = Dove R la costante universale dei gas. Ponendo a sistema si ha

=

=

=RTMv

RTa

Mav

RTMv 22 =

Dalla definizione di temperature totale si ha

p

2

t 2cTT

v+=

Ponendo il tutto a sistema

+=

=

+=

p

2

t

22

p

2

t

2cTT2c

TT RTM

RTMv

v

=

+=+=

=

+=

vp

vt

p

v

p

t

v

p

pt

ccR

c

RTMTT

c

RTc

cM

TT

c

c

c

RTMTT

22

222

2

( )( )

+=

=

+=

2

12 2

2

TMTT

c

c

c

ccTMTT

t

v

p

v

vpt

Pagina 29 di 37

( )

+= 22

11 M

TTt

( ) 22

11 M

T

Tt +=

Q.E.D. A partire dallequazione appena dimostrata si ricava anche la pressione totale in funzione del Numero di Mach.

( )( )

+=

=

+=

2

1

1

2

2

11

2

11

M

p

p

p

p

T

T

M

T

T

t

tt

t

( ) 122

11

+=

M

p

pt

Q.E.D.

4.6.2. Temperatura e pressione totale per un fluido incomprimibile Per un fluido incomprimibile si ha

M 0 Quindi la temperatura totale (Tt) e la temperatura statica (T) coincidono.

( )TT

M

M

T

T

t

t

+=

02

11 2

Si visto come per un fluido incomprimibile valga la seguente equazione di conservazione dellenergia

( ) ( ) ( )

1212

21

222

1 ppzzgvvll irre

++=

Nel caso di arresto (v2 = 0) senza attriti, cio reversibile, e adiabatico e quindi isoentropico (l irr = 0) in un condotto senza parti mobili (le = 0) si ha

( ) ( ) 02

1 1212

21 =

++

pp

zzgv

Pagina 30 di 37

Se poi consideriamo in condotto piano o comunque il salto geodetico trascurabile (z2 = z1) avremo che tra le condizioni iniziali (p,T,v) e quelle successive allarresto (pt,Tt,vt) varr la relazione:

( )0

2

1 2 =

+

ppv t

Quindi

2

2

1vppt +=

Pagina 31 di 37

4.7. Appendice

4.7.1. Variazione di entropia per un gas perfetto Dal Primo Principio della Termodinamica per un sistema chiuso

du = q - l

dove

q = Tds

l = pdv

sostituendo si ha

vT

duv

v

dT

pdspdTdsdu

pdl

Tdsq

lqdu

==

==

=

Si rammenta che per un gas perfetto:

- lenergia interna funzione solo della temperatura; - il calore specifico costante (cx = cost); - vale la legge dei gas perfetti.

du = cvdT

vv

R

T

pRTp ==

con

- R = costante del gas = R*/PM, - R* = costante universale dei gas perfetti = 8.314 J/(kmolK) - PM = massa molare

Ponendo il tutto a sistema

=

=

=

=

vv

v

cdu

vT

du

v dR

dsT

dTc

R

T

p

dT

dT

pds

v

v

vds

dR

T

dTcv +=

Posto che per un gas perfetto cv costante, integrando si ottiene:

Pagina 32 di 37

+

=

1

2

1

2

v

vlnln R

T

Tcs v

Quindi

s = f(T;v)

Analogamente si pu ricavare lentropia in funzione di T e p.

q = dh vdp

con

q = Tds

sostituendo si ha

pv

T

dhvdp d

TdsdhTds ==

Per un gas perfetto si ha che dh = cpdT

p

vv

R

TRTp ==

con

- R = costante del gas = R*/PM, - R* = costante universale dei gas perfetti = 8.314 J/(kmolK) - PM = massa molare

Ponendo il tutto a sistema

p

dpR

T

dTcds

R

T

dT

dT

ds

p =

=

=

=

p

v

cdh

pv

T

dh

p

Posto che per un gas perfetto cp costante, integrando si ottiene:

=

1

2

1

2 lnlnp

pR

T

Tcs p

Quindi

s = f(T;p)

Pagina 33 di 37

4.7.2. Trasformazione adiabatica per un gas perfett o Per un gas perfetto oggetto di una trasformazione adiabatica (q = 0) si ha

pv = cost p1v1 = p2v2

e vale anche la relazione

1

1

2

1

2

=

p

p

T

T

Dimostrazione Si visto come per un gas perfetto valga la relazione

+

=

1

2

1

2

v

vlnln R

T

Tcs v

Nel caso di trasformazione adiabatica si avr

q = 0 s = 0 Quindi

=

+

=

1

2

1

2

1

2

1

2

v

vlnln

v

vlnln0 R

T

TcR

T

Tc vv

=

1

2

1

2

v

vlnln

vc

R

T

T

Per la relazione di Mayer si ha

R = cp - cv

s

T

T2

T1

s2 s1

1

2

Figura 15: trasformazione adiabatica e quasi statica (irreversibile).

Pagina 34 di 37

sostituendo

=

=

1

2

1

2

1

2

1

2

v

vln1ln

v

vlnln

v

p

v

vp

c

c

T

T

c

cc

T

T

Ponendo a sistema con la definizione di :

( )( )

=

=

=

=

1

1

2

1

2

1

2

1

21

2

1

2

v

vlnln

v

vln1ln

v

vln1ln

T

T

T

T

c

c

c

c

T

T

v

p

v

p

( )( )

( )

=

=

=

=

1

2

1

11

221

2

1

1

21

1

2

1

2

v

v

v

v

v

v

v

v

v

R

p

R

p

RTp

T

T

T

T

( )

=

1

2

1

2

1

1

2

v

v

v

v

p

p

=

2

1

1

2

v

v

p

p

2211 vv pp =

Quindi

pv = cost

Q.E.D.

Pagina 35 di 37

Dimostriamo ora che

1

1

2

1

2

=

p

p

T

T

Nei passaggi della dimostrazione precedente si visto che

( )1

1

2

1

2

v

v

=

T

T

Da cui si ha

( ) 1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

v

v

v

v

v

v

=

=

T

T

Ponendo a sistema con

1

1

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

12211 v

v

v

v

v

vvv

=

==

=

p

p

p

p

p

ppp

si ha

=

=

=

=

=

11

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

v

v

v

v

v

v

v

v

p

p

p

p

p

p

T

T

p

p

p

p

T

T

1

1

2

1

2

=

p

p

T

T

Q.E.D.

Pagina 36 di 37

4.7.2.1. Lavoro specifico massico per una trasforma zione adiabatica di un gas perfetto

Per un sistema chiuso

l = pdv ma

v

costcostv == pp

Ponendo a sistema si ha

( )

+===

=

=+

2

1

112

2

1

12 v1-

1cost

v

vcost

v

vcost

v

cos

v

ld

ld

ltp

pdl

[ ]2112 vv1-cost

+= l

A sua volta

costvcost

vcostv

ppp ===

Ponendo a sistema si ha

[ ][ ] =

+=

=

+=

2112

2

112

2

112

v-1

1v

cost1-

cost

costv

vv1-

cost

plp

lp

l

[ ]112212 vv-11

ppl =

Raccogliendo p1v1 si ottiene

=

=

11

2211

11

221112 v

v1v

1

11

v

vv

-1

1

p

pp

p

ppl

Ma per una trasformazione adiabatica si ha

Pagina 37 di 37

=

==

1

2

2

1

1

22211 v

v

v

vvv

p

ppp

Ponendo a sistema con la precedente

=

=

=

=

1

1

211

1

2

1

21112

1

2

1

2

11

221112

v

v1v

1

1

v

v

v

v1v

1

1

v

v

v

v1v

1

1

ppl

p

p

p

ppl

( )

=

=

=

=

=

=

1

1

2112

1

1

21112

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

11112

11

RT

v

1v1

1

v

v

v

v1v

1

1

p

pl

RTp

p

ppl

p

p

T

T

T

T

pl

Si definisce rapporto di espansione ()

= (p2/p1) sostituendo si ha

=

1

112 1RT1

1l