equazioni di einstein

5/16/2018 Equazioni Di Einstein - slidepdf.com

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EQUAZIONI DI EINSTEIN

Procedimento per ricavare le equazioni di Einstein

Fosca Fimiani

28/11/2011



2

La tesina è improntata a ricavare le equazioni di Einstein per la relatività generale, utilizzerò le

seguenti formule:

- ,

-

,

- ,

necessarie per ricavare le equazioni definendo il procedimento per ricavare le ultime due.

Il primo risultato che prendiamo in considerazione, che assumo vero nel caso in cui il campo

gravitazionale sia molto debole e la velocità delle particelle prese in considerazione sia molto

minore di quella della luce, è l’equazione del campo della gravità Newtoniana (l’equazione di

Poisson) . (1)

Metrica nel limite di campo gravitazionale debole

Se la gravità è una manifestazione della curvatura dello spazio tempo, in un capo gravitazionale

debole con coordinate tali che (dove ) e dove la metrica è statica allora

. (2)

Per dimostrare quest’ultima affermazione partiamo dal presupposto che in un campo in cui la

gravità non è presente o è estremamente debole lo spazio-tempo ha la geometria di Minkowski.

In senso stretto l'uso dello spazio di Minkowski per descrivere i sistemi fisici su distanze infinite si

applica solo nel limite newtoniano dei sistemi senza gravitazione significativa. In caso digravitazione significativa, lo spazio tempo diventa curvo e si deve abbandonare la relatività speciale

per la più completa relatività generale.

Nonostante ciò anche in questo caso lo spazio di Minkowski dà ancora una buona descrizione di

una regione infinitesima che circonda tutti i punti (tranne le singolarità gravitazionali). In senso più

astratto si può dire che in presenza di gravità lo spazio-tempo viene descritto da una varietà curva a

4 dimensioni per la quale lo spazio tangente ad ogni punto è uno spazio di Minkowski a 4

dimensioni. Quindi, la struttura dello spazio di Minkowski è ancora essenziale nella descrizione

della relatività generale.

Quando la gravità è estremamente debole lo spazio-tempo diviene piatto così da appariretotalmente, non solo localmente, come spazio di Minkowski. Per questo motivo lo spazio di

Minkowski viene spesso definito come uno spazio-tempo piatto.

Un campo gravitazionale debole corrisponde ad una regione dello spazio-tempo che è solamente

“poco” curva. In questa regione esistono coordinate dove la metrica prende la forma con ; non è detto che valga sempre, ma esistono delle coordinate che la

rispettano. Si possono trovare coordinate anche nello spazio di Minkowski dove non è simile a. Supponiamo che la metrica sia stazionaria, il che significa che tutte le derivate sono

uguali a zero, ad esempio un sistema cartesiano fisso in un qualche punto sulla superficie della terra.



3

La traiettoria di una particella che cade liberamente sotto la gravità è data dall’equazione della

geodetica . (3)

Si suppone che la particella si muova lentamente in modo tale che le 3 componenti della velocità

siano molto minori della velocità della luce con con con i=1, 2, 3.

Quindi possiamo ignorare i tre termini relativi alla velocità e avremo che

. (4)

Sapendo che e sostituendo ad e e si

avrà che , valida al primo

ordine in

.

Dato che si è assunta la metrica stazionaria si ha e con i=1, 2, 3.

Inserendo questi coefficienti nella (4) avremo che e

e se

allora .

Se poniamo si vede che è uguale all’equazione Newtoniana del moto di una particella in

un campo gravitazionale.

Quindi per una particella che si muove lentamente la descrizione della gravità come una curvatura

dello spazio-tempo tende alla teoria newtoniana se la metrica è tale che, nel limite del campo

gravitazionale debole, .

Tensore relativo alla sorgente

Per costruire le equazioni del campo gravitazionale, bisogna trovare un modo propriamente

relativistico per esprimere il termine relativo alla sorgente. Bisogna trovare un tensore che descriva

il comportamento della materia per ogni evento dello spazio tempo.

Consideriamo alcune distribuzioni generali dello spazio-tempo di particelle non interagenti,

ciascuna di massa

, comunemente chiamata polvere. Possiamo definire completamente la

distribuzione in ciascun punto P dello spazio-tempo dando la densità, ρ, e le 3-velocità in unqualche sistema inerziale. Per semplicità, consideriamo il fluido nella sua cornice di riposo

istantanea S in punto P, dove .

In questo sistema di riferimento (sdr), la densità (propria) è data da , dove è la massa

a riposo di ciascuna particella e è il numero di particelle nell’unità di volume. In un’altr o sdr, ,

ipotizziamo che la particella si muova con velocità rispetto ad S allora il volume che contiene un

numero fisso di particelle è contratto lungo la direzione del moto per via delle equazioni di Lorentz.

Quindi in la densità di particelle è e la massa è , quindi si avrà che

.



4

La conclusione è che la densità di materia non è uno scalare ma si trasforma come la componente-

00 di un tensore di rango-2. Questo suggerisce che il termine sorgente dell’equazione del campo

gravitazionale sia un tensore di rango-2.

Quindi per ciascun punto dello spazio tempo avremo che

, noto come

tensore energia-momento della materia, dove è la densità propria del fluido e sono le 4-

velocità. Nei sistemi con coordinate arbitrarie, , dove le 4-velocità del fluido sono definite come le componenti sono date da .

Per un fluido perfetto non compaiono forze fra le varie particelle, nessuna conduzione di calore o

viscosità in un sdr istantaneo a riposo. Quindi avremo che le componenti del tensore saranno le

seguenti

con

,

poiché ne chiediamo la validità in un punto P per qualsiasi sistema cartesiano inerziale e per un

arbitrario sistema di coordinate allora sostituiamo con . è simmetrico e per p 0 un

fluido perfetto diventa polvere e inoltre il tensore si conserva difatti o in coordinate

arbitrarie dall’equazione di continuità .

Quindi essendo ora in possesso di tutti gli elementi necessari cioè:

-

-

-

Combinandoli otteniamo la seguente formula

,

per un campo gravitazionale statico debole nel limite di basse velocità.

Quindi l’equazione della gravità dovrebbe essere

,

dove è un tensore di rango-2 collegato alla curvatura dello spazio-tempo e al tensore metrico,

con . Inoltre deve soddisfare le seguenti proprietà:

- deve contenere termini lineari di derivate al secondo ordine del tensore metrico,

- deve essere simmetrico.



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Possiamo quindi utilizzare il tensore che rispetta entrambe le proprietà, quindi in forma più

generale

,

dove è il tensore di Ricci, R è lo scalare di curvatore e , b e λ sono costanti.

Primo, se richiediamo che ogni termine sia lineare al secondo ordine del tensore metrico allora

λ=0, quindi avremo che

.

Per trovare le costanti

e b ci ricordiamo che

; quindi

.

Se consideriamo l’identità di Bianchi

vediamo che .

Avremo che

dove, comparando questa equazione con l’equazione di

Poisson nella gravità Newtoniana avremo che .

Otteniamo infine le equazioni di Einstein

.

Il tensore metrico dello spazio-tempo in 4-dimensioni avrà 10 componenti indipendenti (essendo

rappresentato come una matrice 4x4 simmetrica) e quindi in relatività si avranno 10 equazioni

indipendenti. Esistono discrepanze con la gravità Newtoniana il numero di equazioni è differentema è presente anche una differenza nella linearità rispetto ai termini delle relative espressioni difatti

le equazioni del campo di Einstein non sono lineari in mentre per la gravità Newtoniana la

linearità è presente per ϕ.

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