equilibrio e linearizzazione · equilibrio e linearizzazione dato il sistema dinamico s non lineare...
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EQUILIBRIO E LINEARIZZAZIONE Dato il sistema dinamico S NON lineare a tempo continuo descritto nello spazio degli stati dalla equazione di stato e dalla trasformazione dell’uscita di seguito riportate:
)]( ),([ )(
)]( ),([ )( :
tutxgty
tutxftxS
=
=&
•••• Si calcolano le condizioni di equilibrio o punto di equilibrio o stato di equilibrio imponendo che per l’ingresso u(t) che tale che utu =)( , sia verificata la condizione: 0)( =tx& , cioè in formule:
yty
utu
xtx
=
=
=
)(
)(
)(
⇒⇒⇒⇒ 0)( =tx& ⇒ ] ,[
] ,[ 0 :
uxgy
uxfS
=
=
•••• Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio attivando la procedura seguente: Si considera l’equilibrio ),,( uyx trovato al punto precedente. Si ha:
Ipotesi:
+=
+=
+=
)()(
)()(
)()(
tuutu
tyyty
txxtx
δ
δ
δ
⇒ Tesi:
+=
+=
)()()(
)()()(
tuDtxCty
tuBtxAtx
δδδ
δδδ &
In cui deve intendersi:
),(),(),(),(
),()),(),(),(
uxuxuxux u
uxgD
x
uxgC
u
uxfB
x
uxfA
∂
∂=
∂∂
=∂
∂=
∂∂
=
Dato il sistema dinamico S NON lineare a tempo discreto descritto nello spazio degli stati dalla equazione di stato e dalla trasformazione dell’uscita di seguito riportate:
)]( ),([ )(
)]( ),([ )1( :
kukxgky
kukxfkxS
=
=+
•••• Si calcolano le condizioni di equilibrio o punto di equilibrio imponendo che per l’ingresso u(k) che tale che: uku =)( , sia verificata la condizione )()1( kxkx =+ ; ovvero, in formule:
yky
uku
xkx
=
=
=
)(
)(
)(
⇒⇒⇒⇒ )()1( kxkx =+ ⇒ ] ,[
] ,[ :
uxgy
uxfxS
=
=
•••• Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio attivando la procedura seguente: Si considera l’equilibrio ),,( uyx trovato al punto precedente. Si ha:
Ipotesi:
+=
+=
+=
)()(
)()(
)()(
kuuku
kyyky
kxxkx
δ
δ
δ
⇒ Tesi:
+=
+=+
)()()(
)()()1(
kuDkxCky
kuBkxAkx
δδδ
δδδ
In cui deve intendersi:
),(),(),(),(
),()),(),(),(
uxuxuxux u
uxgD
x
uxgC
u
uxfB
x
uxfA
∂
∂=
∂∂
=∂
∂=
∂∂
=
ESERCIZIO 1: Si vuole determinare i punti di equilibrio e il corrispondente sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio per il sistema non lineare a tempo continuo descritto dalle seguenti equazioni di stato e trasformazione di uscita.
3
323
2212
1
)1(
)1(
xy
uxx
uxxx
ux
=
−+−=
−+=
=
&
&
&
• Determinazione dei punti di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso utu =)( .
3
2
21
3
32
21
3
32
221
1
0
10
0
0
)1(0
)1(0
0
xy
x
xx
u
xy
x
xx
u
xy
ux
uxx
u
=
−=
−=
=
⇒
=
−−=
+=
=
⇒
=
−+−=
−+=
=
⇒
3
3
2
1
1
1
0
xy
x
x
x
u
=
∀=
−=
=
=
Si deve osservare che in questo sistema 0),( =uxf impone un vincolo sull’ingresso; d’altra parte
si evince che per 0=u ∃ ∞∞∞∞ punti di equilibrio, corrispondenti agli infiniti valori di 3x , a cui
corrispondono infiniti valori dell’uscita 3xy = .
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dei punti di equilibrio precedentemente ricavati per 0=u
3
223
222
12
1
δδ
δ)1(3δδ
δ)1(2δ)1(δδ
δδ
xy
uuxx
uxuxuxx
ux
=
−⋅+−=
⋅⋅−⋅+−+=
=
&
&
&
La sostituzione dei valori relativi ai punti di equilibrio ) , , ,( 321 uxxx consente di relazionare:
3
223
22
12
1
δδ
δ)10(3δδ
δ)1()10(2δ)10(δδ
δδ
xy
uxx
uxxx
ux
=
−⋅+−=
⋅−⋅−⋅+−+=
=
&
&
&
⇒
3
23
212
1
δδ
δ3δδ
δ2δδδ
δδ
xy
uxx
uxxx
ux
=
⋅+−=
⋅++=
=
&
&
&
Si deve osservare che in questo caso le equazioni linearizzate sono uguali in tutti gli infiniti stati di equilibrio. La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D assumono la forma seguente:
[ ] 0; ; ; ==
=
−
= linlinlinlin DCBA 100
3
2
1
010
011
000
La scrittura matriciale del sistema linea rizzato è, pertanto, quella di seguito mostrata.
[ ] u
x
x
x
yu
x
x
x
x
x
x
δ0
δ
δ
δ
100δ
3
2
1
δ
δ
δ
010
011
000
δ
δ
δ
3
2
1
3
2
1
3
2
1
⋅+
⋅=⋅
+
⋅
−
=
δ&
&
&
ESERCIZIO 2: Si desiderano determinare i punti di equilibrio, relativi all’ingresso 1)( == utu ,
e il sistema linearizzato nell’intorno dei punti di equilibrio per il sistema NON lineare, a tempo continuo, descritto dalle equazioni di stato e trasformazione di uscita di seguito riportate.
12
2212
21
cos3
sin
xxy
uxxx
uxx
⋅⋅=
+−=
−=
&
&
• Determinazione dei punti di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 1)( == utu .
1
1
2
12
21
2
12
221
2
cos13
11sin
1
cos3
1sin0
10
cos3
sin0
0
xy
x
x
xxy
xx
x
xxy
uxx
ux
⋅⋅=
+−=
=
⇒
⋅⋅=
+−=
−=
⇒
⋅⋅=
+−=
−=
⇒
1
1
2
cos3
0sin
1
xy
x
x
⋅=
=
=
Dato che πkxx +=⇒= 0 0sin 11 , si ottengono due insiemi di stati di equilibrio relativi a valori
pari di k e a valori dispari di k; pertanto ci saranno due sistemi linea rizzati. Infatti si ha:
1
2
1
cos3
1
0
xy
x
kx
⋅=
=
+= π
⇒⇒⇒⇒
,...4,2,0
2
1
30cos3
1
0
ππ→==⋅=
=
=
parik
y
x
x
⇒⇒⇒⇒
,...5,3,
2
1
3cos3
1
ππππ
π
→=−=⋅=
=
=
disparik
y
x
x
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dei punti di equilibrio precedentemente ricavati per 1=u
21112
2112
21
δ)(cos3δ)(sin3δ
δ2δδ)(cosδ
δδδ
xxxxxy
uuxxxx
uxx
⋅⋅+⋅⋅−=
⋅⋅+−⋅=
−=
&
&
⇒
21112
2112
21
δ)(cos3δ)(sin3δ
δ2δδ)(cosδ
δδδ
xxxxxy
uxxxx
uxx
⋅⋅+⋅⋅−=
+−⋅=
−=
&
&
a) per k pari, 1 ; 0 21 == xx si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
212
212
21
δ)0(cos3δ)0(sin3δ
δ2δδ)0(cosδ
δδδ
xxxy
uxxx
uxx
⋅⋅+⋅⋅−=
+−⋅=
−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
212
212
21
δ13δ03δ
δ2δδ1δ
δδδ
xxxy
uxxx
uxx
⋅⋅+⋅⋅⋅−=
+−⋅=
−=
&
&
Il sistema linea rizzato nell’intorno dei punti di equilibrio, relativi ai valori pari di k, assume la seguente forma:
2
212
21
δ3δ
δ2δδδ
δδδ
xy
uxxx
uxx
⋅=
⋅+−=
−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
[ ] ux
xy
ux
x
x
x
δ0δ
δ30δ
δ2
1
δ
δ
11
10
δ
δ
2
1
2
1
2
1
⋅+
⋅=
⋅
−+
⋅
−=
&
&
La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D sono definite dalle scritture:
[ ] 0;30;2
1;
11
10==
=
−= linlinlinlin DCBA
b) per k dispari, 1 ; 21 == xx π si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
212
212
21
δ)(cos3δ)(sin3δ
δ2δδ)(cosδ
δδδ
xxxy
uxxx
uxx
⋅⋅+⋅⋅−=
+−⋅=
−=
ππ
π&
&
⇒⇒⇒⇒
212
212
21
δ13δ03δ
δ2δδ1δ
δδδ
xxxy
uxxx
uxx
⋅⋅−⋅⋅⋅−=
+−⋅−=
−=
&
&
Il sistema linea rizzato nell’intorno dei punti di equilibrio, relativi ai valori pari di k, assume la seguente forma:
2
212
21
δ3δ
δ2δδδ
δδδ
xy
uxxx
uxx
⋅−=
⋅+−−=
−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
[ ] ux
xy
ux
x
x
x
δ0δ
δ30δ
δ2
1
δ
δ
11
10
δ
δ
2
1
2
1
2
1
⋅+
⋅−=
⋅
−+
⋅
−−=
&
&
La matrice A della dinamica e le matrici B, C e D sono definite dalle scritture:
[ ] 0;30;2
1;
11
10=−=
=
−−= linlinlinlin DCBA
ESERCIZIO 3: Si desidera determinare il punto di equilibrio, relativo all’ingresso 2)( == utu ,
e il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio per il sistema NON lineare, a tempo continuo, descritto dalle equazioni di stato e trasformazione di uscita di seguito riportate.
21
12
22
211
2
8
xxy
xuxx
uxxx
+=
+⋅−=
+−=
&
&
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 2)( == utu .
21
21
21
21
12
2
21
21
12
2
21
42
16
220
280
20
80
xxy
xx
xx
xxy
xx
xx
xxy
xux
uxx
+=
⋅=
=
⇒
+=
+⋅−=
⋅+−=
⇒
+=
+⋅−=
+−=
⇒
21
22
21
162
2
xxy
xx
xx
+=
=
⋅=
Svolgendo i necessari calcoli e i dovuti passaggi algebrici si ottiene:
48
422
4
64)(
2
8)(
2
21
21
2
21
32
21
21
32
21
+=+=
⋅=⋅=
=
⇒
+=
=
⋅=
⇒
+=
=
⋅=
xxy
xx
x
xxy
x
xx
xxy
x
xx
⇒
12
4
8
2
1
=
=
=
y
x
x
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio in precedenza ricavato per 2=u
21
222
12
22
1121
δδ
δ2δδ2δ
δ8δ2
1δδ
xxy
uxuxuxx
uxx
xxxx
+=
⋅−−=
+⋅⋅
⋅−⋅−=
&
&
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
21
22
12
211
δδ
δ)4()2(2δ)2(δ2δ
δ8δ42
8δ4δ
xxy
uxxx
uxxx
+=
⋅⋅−−=
+⋅⋅
−⋅−=
&
&
⇒
21
212
211
δδ
δ16δ4δ2δ
δ8δ2δ2δ
xxy
uxxx
uxxx
+=
−−=
+−−=
&
&
Il sistema linearizzato è caratterizzato dalla matrice A della dinamica e dalle matrici B, C e D le cui forme costitutive sono di seguito riportate.
[ ] 0;11;16
8;
42
22==
−=
−
−−= linlinlinlin DCBA
ESERCIZIO 4: Si desidera determinare il punto di equilibrio, relativo all’ingresso 1)( == utu ,
e il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio per il sistema NON lineare, a tempo continuo, descritto dalle equazioni di stato e trasformazione di uscita di seguito riportate.
2
1
22
2211 )log()log(
xy
ux
xx
uxxux
=
+−=
−+−=
&
&
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 1)( == utu .
2
1
2
21
0
)log(2)log(0
xy
ux
x
uxx
=
+−=
−+−=
⇒
2
1
2
21
1
1)log(2)log(0
xy
x
x
xx
=
=
−+−=
⇒
2
11
21
1)log()log(2
xy
xx
xx
=
=−
=
Svolgendo i necessari calcoli e i dovuti passaggi algebrici si ottiene:
2
1
21
1)log(
xy
x
xx
=
=
= ⇒
ey
ex
ex
=
=
=
2
1
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno del punto di equilibrio in precedenza ricavato per 1=u
2
121
2
1
22
22
11
11
δδ
δδ)(
δδ
δδ2
δ)log(δδ
xy
uxx
x
x
xx
uxx
xx
uxux
=
++−=
−+−−=
&
&
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
2
1222
211
2
122
2
211
δδ
δδδ1
δ
δδδ2
δ1
δ
δδ
δδδ
δ
δδ2
δ1
)log(δδ
xy
uxe
ex
ex
uuxe
xe
x
xy
uxe
e
e
xx
uxe
xe
eux
=
++⋅−=
−−⋅+⋅−=
⇒
=
++−=
−⋅+⋅−−=
&
&
&
&
Il sistema linearizzato è definito dalle relazioni e caratterizzato dalle matrici di seguito riportate.
2
212
211
δδ
δδ1
δ1
δ
δ2δ2
δ1
δ
xy
uxe
xe
x
uxe
xe
x
=
+⋅−⋅=
−⋅+⋅−=
&
&
⇒ ; ;
−=
−
−=
1
211
21
linlin B
ee
eeA [ ]0
10
=
=
lin
lin
D
C
ESERCIZIO 5: Con riferimento al sistema dinamico non lineare di equazioni:
21
212
211
xxy
uxxx
xuxx
+=
+−=
+−=
&
&
Si determini: a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso 2)( == utu , indicando anche
l’eventuale stabilità o meno; b) la funzione di trasferimento del sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio;
Non si può determinare la funzione di trasferimento in quanto il sistema NON È lineare; si deve prima linearizzare il sistema e poi calcolare la funzione di trasferimento in un intorno dello stato o degli stati di equilibrio.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 2)( == utu .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso 2=u si determina imponendo 0)( =tx& .
21
21
21
0
0
xxy
uxx
xux
+=
+−=
+−=
⇒⇒⇒⇒
21
21
21
20
20
xxy
xx
xx
+=
+−=
+−=
⇒⇒⇒⇒
21
11
12
220
2
xxy
xx
xx
+=
+−=
=
⇒⇒⇒⇒
21
21
12
22
2
xxy
x
xx
+=
=
=
⇒
21
12
21
2
1
xxy
xx
x
+=
=
=
Si hanno due possibili stati di equilibrio individuati come stato a) e stato b), definiti dalle relazioni così come di seguito riportato:
3
2
1
) 2
1
=
=
=
y
x
x
a
3
2
1
) 2
1
−=
−=
−=
y
x
x
b
• Determinazione del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio a) Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato a) di equilibrio determinato in precedenza per l’ingresso 2=u , cioè 11 =x , 22 =x ; in queste condizioni si ottiene:
21
21122
2111
·
·
xxy
uxxxxx
xuxxux
δδδ
δδ·δδ
δδδδ
+=
+−−=
+−−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
21
212
211
2
·2
xxy
uxxx
uxxx
δδδ
δδ·δδ
δδδδ
+=
+−−=
−+−=
&
&
Il sistema linearizzato nell’intorno dello stato a) di equilibrio è definito dalle seguenti matrici:
−=
−−
−=
1
1
12
12aa BA ; ; [ ] 011 == aa DC ;
Il calcolo degli autovalori della matrice A della dinamica attiene alla seguente procedura:
432)1)·(2(])det([12
12][ 2 ++=+++=−⇒
+
−+=− ssssAsI
s
sAsI aa
Il polinomio caratteristico presenta tutti i coefficienti non nulli e dello stesso segno; tale situazione costituisce per un sistema del secondo ordine la condizione necessaria e sufficiente affinché gli autovalori della matrice A della dinamica siano negativi se reali o a parte reale negativa se complessi coniugati. Quindi il punto a) definisce un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Si calcolano, per verifica, gli autovalori; si ottiene:
2
7
2
3
2
73
2
1693043 2,1
2jsss ±−=
−±−=
−±−==++ ;
• Determinazione del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio b) Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato b) di equilibrio determinato in precedenza per
l’ingresso 2=u , cioè 11 −=x , 22 −=x ; in queste condizioni si ottiene:
21
21122
2111
·
·
xxy
uxxxxx
xuxxux
δδδ
δδ·δδ
δδδδ
+=
+−−=
+−−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
21
212
211
2
·2
xxy
uxxx
uxxx
δδδ
δδ·δδ
δδδδ
+=
++=
++−=
&
&
Il sistema linearizzato nell’intorno dello stato b) di equilibrio è definito dalle seguenti matrici:
=
−=
1
1
12
12bb BA ; ; [ ] 011 == bb DC ;
Il calcolo degli autovalori della matrice A della dinamica attiene alla seguente procedura:
42)1)·(2(])det([12
12][ 2 −+=−−+=−⇒
−−
−+=− ssssAsI
s
sAsI bb
Il polinomio caratteristico presenta tutti i coefficienti non nulli ma NON dello stesso segno; questa situazione costituisce per un sistema del secondo ordine la violazione della condizione necessaria e sufficiente affinché gli autovalori della matrice A della dinamica siano strettamente negativi se reali o a parte reale negativa se complessi e coniugati. Quindi il punto b) definisce un punto di EQUILIBRIO INSTABILE. Infatti il calcolano degli auto valori determina quanto segue:
2
17
2
1
2
171
2
161104 2,1
2 ±−=±−
=+±−
==−+ sss ;
Si conferma che si hanno due autovalori reali e distinti di cui uno è, tuttavia, positivo; pertanto, il punto b) è un punto di equilibrio instabile.
• Calcolo della Funzione di Trasferimento per il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio a)
La relazione costitutiva della funzione di trasferimento è espressa dalla scrittura seguente:
aaaaa DBAsICsG +−⋅= −1][)(
Il calcolo della matrice inversa 1][ −− aAsI si esplica nella procedura di seguito mostrata.
+−
+⋅
++=−⇒
+
−+=− −
22
11
43
1][
12
12][
21
s
s
ssAsI
s
sAsI aa
La funzione di trasferimento Ga(s), considerato che D = 0, assume l’espressione di seguito calcolata:
[ ]
−
+−
+
++⋅=−⋅= −
1
1·
22
11·
)43(
111][)(
21
s
s
ssBAsICsG aaaa
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e i relativi calcoli si ottiene:
[ ] [ ]
[ ]43
4)31·(
)43(
1
1
1·31·
)43(
1
1
1·2121·
)43(
1
1
1·
22
11·11·
)43(
1)(
222
22
++=++−
++=
−+−
++=
=
−++−+
++=
−
+−
+
++=
ssss
ssss
ss
sssss
s
sssGa
• Calcolo della Funzione di Trasferimento per il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio b)
La relazione costitutiva della funzione di trasferimento è espressa dalla scrittura seguente:
bbbbb DBAsICsG +−⋅= −1][)(
Il calcolo della matrice inversa 1][ −− bAsI si esplica nella procedura di seguito mostrata.
+
−⋅
−+=−⇒
−−
−+=− −
22
11
4
1][
12
12][
21
s
s
ssAsI
s
sAsI bb
La funzione di trasferimento Gb(s), considerato che D = 0, assume l’espressione di seguito calcolata:
[ ]
+
−
−+⋅=−⋅= −
1
1·
22
11·
)4(
111][)(
21
s
s
ssBAsICsG bbbb
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e i relativi calcoli si ottiene:
[ ] [ ]
[ ]4
42)31·(
)4(
1
1
1·31·
)4(
1
1
1·2121·
)4(
1
1
1·
22
11·11·
)4(
1)(
222
22
−+
+=+++
−+=
++
−+=
=
+++−
−+=
+
−
−+=
ss
sss
ssss
ss
sssss
s
sssGb
Le FUNZIONI di TRASFERIMENTO relative al sistema linearizzato in un intorno dei due punti di equilibrio a) e b) sono definite, rispettivamente, dalle relazioni seguenti:
43
4)(
2 ++=
sssGa
4
)2·(2)(
2 −+
+=
ss
ssGb
ESERCIZIO 6: Con riferimento al sistema dinamico non lineare di equazioni:
221
212
22211
2
·
xxy
uxxx
uxxxx
+=
+−=
+−=
&
&
Si determini: a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante 2)( == utu ;
b) la funzione di trasferimento del sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio;
c) guadagno, poli, zeri, costanti di tempo ed eventualmente pulsazioni naturali e smorzamenti della funzione di trasferimento determinata al punto b);
d) la costante di trasferimento della funzione di trasferimento determinata al punto b) (Prova in itinere del 22 novembre 2001)
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 2)( == utu .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso 2=u si determina imponendo 0)( =tx& .
221
21
2221
2
0
0
xxy
uxx
uxxx
+=
+−=
⋅+−=
⇒ 221
21
2221
2
20
20
xxy
xx
xxx
+=
+−=
⋅+−=
⇒ 221
21
221
2
2
40
xxy
xx
xxx
+=
=
+−=
⇒ 221
21
12
2
2
)4(0
xxy
xx
xx
+=
=
−⋅=
Si deve osservare che la condizione 02 =x NON può costituire una possibile soluzione in quanto NON soddisfa la seconda equazione; pertanto si ottiene:
221
21
1
2
2
04
xxy
xx
x
+=
=
=−
⇒ 22
2
1
24
24
4
xy
x
x
+=
=
=
⇒ 22
2
1
24
22
4
xy
x
x
+=
=
=
⇒ 2
2
1
124
1
4
⋅+=
=
=
y
x
x
⇒
6
1
4
2
1
=
=
=
y
x
x
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per 2=u
221
122121
2
22
221121
δ4δδ
δ)δδ(2
1δ
2δδδδ
xxxy
uxxxxxx
x
uuxuxxxxxx
+=
++⋅⋅
−=
+⋅+−−=
&
& δ
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
21
122
22
211
δ4δδ
δ)δ1δ4(142
1δ
212δ2δ4δ1δ
xxy
uxxx
uxxxx
+=
++⋅⋅⋅
−=
⋅⋅++⋅−⋅−=
&
& δ
⇒
21
122
2211
δ4δδ
δ)δ1δ4(4
1δ
4δ4δ4δδ
xxy
uxxx
uxxxx
+=
++⋅−=
++−−=
&
& δ
Il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è caratterizzato dalle equazioni e dalle matrici della dinamica di seguito riportate-
21
212
11
δ4δδ
δδδ4
1δ
4δδ
xxy
uxxx
uxx
+=
+−−=
+−=
&
& δ
⇒
=
−−
−=
1
41
4
101
linlin BA ; ; [ ] 041 == linlin DC ;
La matrice A della dinamica è una matrice triangolare bassa e i suoi autovalori sonno definiti dagli elementi che si trovano sulla diagonale principale. Pertanto, λλλλ1 = λλλλ2 = −−−−1. Si ottiene un autovalore
doppio, cioè con ordine di molteplicità pari a 2. I modi sono tem
−=1 e tetm
−= ·2 .
• Determinazione della Funzione di Trasferimento La relazione costitutiva della funzione di trasferimento è espressa dalla scrittura seguente:
DBAsICsG +−⋅= −1][)(
Il calcolo della matrice inversa 1][ −− AsI si esplica nella procedura di seguito mostrata.
2)1()1)·(1(])det([14
101
][ +=++=−⇒
+
+=− sssAsI
s
sAsI
+−
+⋅
+=− −
14
101
)1(
1][
21
s
s
sAsI
La funzione di trasferimento G(s), considerato che D = 0, assume l’espressione di seguito calcolata:
[ ]
⋅
+−
+⋅
+⋅=−⋅= −
1
41
4
101
)1(
141][)(
21
s
s
sBAsICsG
[ ] [ ]
[ ]2222
22
)1(
48
)1(
444)]1(44[
)1(
1
1
4)1(4
)1(
1
1
4)1(411
)1(
1
1
41
4
101
41)1(
1)(
+
+=
+
++=++
+=
⋅+⋅⋅
+=
=
⋅+⋅−+⋅
+=
⋅
+−
+⋅⋅
+=
s
s
s
ssss
sss
s
ssss
s
ssG
• Determinazione dei poli, zeri, costanti di tempo e guadagno. La funzione di trasferimento si presenta nella forma in cui sono già evidenziate le costanti di tempo sia per gli zeri, sia per i poli, nonché il guadagno; infatti si ha:
22 )1(
214
)1(
124)(
s
s
s
ssG
+
+⋅=
+
+⋅= ⇔⇔⇔⇔
)1()1(
1)(
21 sTsT
ssG
+⋅+⋅+
⋅=τ
µ
Consegue, pertanto, che: ττττ = 2; T1 = T2 = T = 1; µ = G(0) = 4. Per quanto attiene al valore degli zeri e dei poli si ha: 211 −=−= τz ; 11 11 −=−= Tp ; 11 22 −=−= Tp .
Il sistema è del secondo ordine e presenta due poli reali e coincidenti, cioè un polo con ordine di molteplicità νννν = 2, strettamente negativi e questo consente di affermare l’asintotica stabilità del sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio.
• Determinazione dei poli, zeri, costanti di tempo e guadagno. Il calcolo della costante di trasmissione è facilitato se la funzione di trasferimento è espressa nella forma in cui sono evidenziate le singolarità; in tale caso, infatti, si ottiene:
)1()1(
)21(8
)1()1(
)21(24
)1(
124)(
2 +⋅++
⋅=+⋅+
+⋅⋅=
+
+⋅=
ss
s
ss
s
s
ssG ⇔⇔⇔⇔
)()(
)()(
21 psps
zssG
−⋅−−
⋅= ρ
Consegue, pertanto, che la costante di trasmissione ρρρρ assume il valore ρρρρ = 8. Si riconferma, inoltre il valore dei poli e degli zeri; infatti, per lo zero si ha: s + 1/2 = 0 da cui s = -1/2 ⇒ z = -1/2 mentre per i poli si ottiene: (s + 1)2
= 0 da cui (s + 1) (s + 1) = 0 p1 = -1; p2 = -1.
ESERCIZIO 7: Con riferimento al sistema dinamico non lineare di equazioni:
)sin(
)sin(
)1(
21
2212
212
11
xxy
uxxuxx
uxxuxx
+=
+−=
+++=
&
&
Si determini: a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante 0)( == utu ;
b) il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio determinato al punto a)
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 0)( == utu .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso 0=u si determina imponendo 0)( =tx& .
)sin(
)sin(0
)1(0
21
221
212
1
xxy
uxxux
uxxux
+=
+−=
+++−=
⇒⇒⇒⇒
)sin(
0·)0sin(0
0)1(00
21
221
211
xxy
xxx
xxx
+=
+−=
+++−=
⇒⇒⇒⇒
)sin(
0·0
)1(0
21
21
21
xxy
xx
xx
+=
−=
+=
Procedendo nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
)sin(
0
0
1
121
2
xy
xxx
x
=
+=
=−
⇒⇒⇒⇒
)sin(
0·0
0
1
11
2
xy
xx
x
=
+=
=
⇒⇒⇒⇒
)0sin(
0
0
2
1
=
=
=
y
x
x
⇒⇒⇒⇒
0
0
0
2
1
=
=
=
y
x
x
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per 0=u
)cos(
)cos()·sin(
1(2
2121
212112
2112112
1
xxxxy
uxxuxuuxxux
uxxx·xuxuxux
δ)·(δδ
δδδδδδ
δδδ)δδδ
++=
++−+=
+++++=
&
&
Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene il seguente sistema:
)cos(
)cos([)[sin(
21(1(
2121
21212
12112
21
xxxxy
u·xuxxx·uux
u·xuxxx·uxx
δ)·(δδ
δ]δδ]δ
δ)δδ)δ
++=
++−+=
+++++=
&
&
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
)00cos(
0)0·cos(0[0)0[sin(
0·021(0010(
21
212
211
xxy
u·xx·x
u··x·x·x
δ)·(δδ
δ]δδ]δ
δ)δδ)δ
++=
++−+=
+++++=
&
&
⇒⇒⇒⇒
)1
01·0[0
21
212
11
xxy
u·xx·x
uxx
δ·(δδ
δ]δδδ
δδδ
+=
++−=
+=
&
&
Il sistema linea rizzato nell’intorno del punto di equilibrio 0021 === uxx ; assume, quindi la
seguente forma:
21
22
11
xxy
xx
uxx
δδδ
δδ
δδδ
+=
−=
+=
&
&
⇒⇒⇒⇒ ux
x
x
xδ
δ
δ
δ
δ·
0
1·
10
01
2
1
2
1
+
−=
&
& e [ ] u
x
xy δ
δ
δδ ·0·11
2
1 +
=
Le matrici afferenti il sistema linearizzato descritto nello spazio degli stati sono così costituite:
−=
10
01linA ⇒
=
0
1linB ⇒ [ ]11=linC ⇒ 0=linD
ESERCIZIO 8: Con riferimento al sistema dinamico non lineare del secondo ordine descritto dalle equazioni:
1
22
212
11 2]·1)([sin2
xy
xx
uxxxx
=
=
+++−=
&
&
Si desidera determinare: a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante 0)( == utu ;
b) le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio determinato in a); c) le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 0)( == utu .
Lo stato di equilibrio, relativo al prestabilito ingresso 0=u si determina imponendo 0)( =tx& .
1
2
212
1
0
2]·1)([sin20
xy
x
uxxx
=
=
+++−=
⇒⇒⇒⇒
1
12
1
2
0·20]·1)([sin20
0
xy
xx
x
=
+++−=
=
Continuando nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
1
1
2
20
0
xy
x
x
=
−=
=
⇒⇒⇒⇒
1
2
1
0
0
xy
x
x
=
=
=
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per 0=u →→→→ [u(t) = 0 ∀∀∀∀t]
1
22
111212
211 2)]·cos()sin(2·[]1)([sin2
xy
xx
uxxxxxxxx
δδ
δδ
δδδδδ
=
=
++++−=
&
&
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
1
22
12
211 2)]·0cos()0sin(2·[0]1)0([sin2
xy
xx
uxxxx
δδ
δδ
δδδδδ
=
=
++++−=
&
&
Effettuati i dovuti calcoli si ha il seguente sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio:
1
22
211 22
xy
xx
uxxx
δδ
δδ
δδδδ
=
=
++−=
&
&
⇒
[ ] ux
xy
ux
x
x
x
δδ
δδ
δδ
δ
δ
δ
·0·01
·1
2·
10
12
2
1
2
1
2
1
+
=
+
−=
&
&
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
−=
10
12linA ⇒⇒⇒⇒
=
1
2linB ⇒⇒⇒⇒ [ ]01=linC ⇒⇒⇒⇒ 0=linD
La matrice della dinamica Alin è triangolare alta e quindi, ha due autovalori λλλλ1 = −−−−2 e λλλλ2 = 1. Dato che un autovalore è positivo, in base al criterio degli autovalori il sistema linearizzato è instabile.
ESERCIZIO 9: Sia assegnato il sistema dinamico non lineare, del secondo ordine, descritto nello spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
21
212
21311
232
1232
xxy
uxxx
uxxxx
+=
−+−=
++−+−=
&
&
Si desidera determinare: a) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante 1)( −== utu , cioè ]1)([ ttu ∀−= ;
b) le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio determinato in a); c) le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato.
• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 1)( −== utu .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso 1−=u si determina imponendo 0)( =tx& .
21
21
2131
2320
12320
xxy
uxx
uxxx
+=
−+−=
++−+−=
⇒⇒⇒⇒
21
21
2131
2320
1320
xxy
xx
xxx
+=
++−=
−−+−=
⇒⇒⇒⇒
21
2131
21
1)32(0
232
xxy
xxx
xx
+=
−−+−=
=−
Continuando nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
21
31
21
120
232
xxy
x
xx
+=
−+−=
=−
⇒⇒⇒⇒
21
21
31
232
1
xxy
xx
x
+=
=−
=
⇒⇒⇒⇒
2
2
1
1
232
1
xy
x
x
+=
=−
=
⇒⇒⇒⇒
2
2
1
1
03
1
xy
x
x
+=
=
=
⇒⇒⇒⇒
1
0
1
2
1
=
=
=
y
x
x
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per 1−=u →→→→ [u(t) = -1 ∀∀∀∀t]
21
212
2112
11
232
2323
xxy
uxxx
uxxxxx
δδδ
δδδδ
δδδδδ
+=
−+−=
+−+−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
21
212
212
11
22
23)·23(
xxy
uxxx
uxxxx
δδδ
δ3δδδ
δδδδ
+=
−+−=
+−+−=
&
&
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
21
212
211
22
23)·23(
xxy
uxxx
uxxx
δδδ
δ3δδδ
δδδδ
+=
−+−=
+−+−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
21
212
211
22
23
xxy
uxxx
uxxx
δδδ
δ3δδδ
δδδδ
+=
−+−=
+−−=
&
&
La forma matriciale della descrizione del sistema linea rizzato nello spazio degli stati è la seguente:
[ ] ux
xy
ux
x
x
x
δδ
δδ
δδ
δ
δ
δ
·0·11
·2
2·
32
31
2
1
2
1
2
1
+
=
−+
−
−−=
&
&
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
−
−−=
32
31linA ⇒⇒⇒⇒
−=
2
2linB ⇒⇒⇒⇒ [ ]11=linC ⇒⇒⇒⇒ 0=linD
Il polinomio caratteristico di Alin è det(λλλλI – Alin) = λλλλ2 −−−−2λλλλ −−−− 3. Gli autovalori sono λλλλ1,2 =1 ±±±± √√√√10.
Poiché uno di essi è positivo, in base al criterio degli autovalori, il sistema linearizzato è instabile.
ESERCIZIO 10: Sia assegnato il sistema, descritto nello spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
1
2512
21511 2
xy
uxxx
uxxxx
=
−−=
++−−=
&
&
Si desidera determinare: a) le proprietà del sistema assegnato: ordine, linearità, statico o dinamico, proprio o improprio; b) lo stato di equilibrio corrispondente all’ingresso costante 2)( == utu , cioè ]2)([ ttu ∀= ;
c) le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio determinato in a); d) le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato. e) se il sistema linearizzato è stabile o instabile..
•••• Il sistema dato è del secondo ordine essendo presenti due variabili di stato; •••• è NON lineare poiché il secondo membro delle equazioni di stato non è una combinazione
lineare delle variabili di stato e dell’ingresso; •••• è dinamico in quanto l’uscita al generico istante t non può essere determinata sulla base
della conoscenza del solo ingresso allo stesso istante t; •••• è strettamente proprio poiché nella trasformazione dell’uscita non compare l’ingresso.
•••• Determinazione del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 2)( == utu .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso 2=u si determina imponendo 0)( =tx& .
1
251
2151
0
20
xy
uxx
uxxx
=
−−=
++−−=
⇒⇒⇒⇒
1
251
2151
20
220
xy
xx
xxx
=
−−=
++−−=
⇒⇒⇒⇒
1
251
2151
2
22
xy
xx
xxx
=
+=
++−=
Continuando nell’esecuzione dei dovuti passaggi e relative semplificazioni algebriche si ottiene:
1
251
212
2
222
xy
xx
xxx
=
+=
++−=+
⇒⇒⇒⇒
1
251
1
2
02
xy
xx
x
=
+=
=
⇒⇒⇒⇒
0
20
0
2
1
=
+=
=
y
x
x
⇒⇒⇒⇒
1
2
0
2
1
=
−=
=
y
x
x
• Determinazione del sistema linearizzato Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio ricavato per 2=u →→→→ [u(t) = 2 ∀∀∀∀t]
1
214
12
2114
11
5
25
xy
uxxxx
uxxxxx
δδ
δδδδ
δδδδδ
=
−−=
++−−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
1
214
12
214
11
5
)·25(
xy
uxxxx
uxxxx
δδ
δδδδ
δδδδ
=
−−=
+++−=
&
&
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
1
212
211
·0·5
)·20·5(
xy
uxxx
uxxx
δδ
δδ-δδ
δδδδ
=
−=
+++−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
1
22
211 2
xy
uxx
uxxx
δδ
δ-δδ
δδδδ
=
−=
++−=
&
&
La forma matriciale della descrizione del sistema linea rizzato nello spazio degli stati è la seguente:
[ ] ux
xy
ux
x
x
x
δδ
δδ
δδ
δ
δ
δ
·0·01
·1
1·
10
12
2
1
2
1
2
1
+
=
−+
−
−=
&
&
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
−
−=
10
12linA ⇒⇒⇒⇒
−=
1
1linB ⇒⇒⇒⇒ [ ]01=linC ⇒⇒⇒⇒ 0=linD
La matrice della dinamica Alin del sistema linearizzato è una matrice triangolare superiore (detta anche triangolare alta) per cui i suoi autovalori coincidono con gli elementi posti sulla diagonale principale; pertanto si ottiene che λλλλ1 = −−−−2 e λλλλ2 = −−−−1. Poiché gli autovalori sono reali e strettamente negativi, in base al criterio degli autovalori, il sistema linearizzato è asintoticamente stabile. La verifica di quanto ora affermato consiste nel calcolare gli autovalori in base alla loro definizione, ovvero determinando le radici del polinomio caratteristico pA(λλλλ). Il polinomio caratteristico pA(λλλλ) della matrice della dinamica Alin del sistema linearizzato è dato dalla relazione seguente:
)1)·(2(10
12)det()( ++=
+
−+=−= λλ
λ
λλλ AIpA
Gli autovalori sono le soluzioni dell’equazione:
0)det()( =−= AIpA λλ ⇒ 0)1)·(2( =++ λλ 01
02
=+
=+
λ
λ
→
→
1
2
2
1
−=
−=
λ
λ
Si è, così, verificato che gli autovalori sono λλλλ1 = −−−−2 e λλλλ2 = −−−−1; essi sono reali ed entrambi negativi.
ESEMPIO 1: Si consideri il sistema rete elettrica, alimentata dalla corrente iS(t), costituita dal collegamento del bipolo non lineare NL, definito dalla relazione costitutiva vNL(t) = K [i(t)]3, e da una induttanza L e da una capacità C come mostrato in figura. Si determini il modello del sistema in esame, lo stato di equilibrio per un ingresso u(t) = u = 2 e il corrispondente sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio. Sono assegnati L = 1 H, C = 1 F, K = 1 ΩΩΩΩ/A2.
Si tratta di un circuito NON LINEARE a parametri concentrati per il quale, comunque valgono le leggi di Kirchhoff delle tensioni alle maglie e delle correnti ai nodi della rete stessa. Per ispezione diretta si evince che la corrente i(t) che interessa il bipolo NON lineare NL è la corrente iL(t) che circola nell’induttanza L; pertanto si ha: iL(t) = i(t). La rete in esame si caratterizza per la presenza di due componenti dotati di memoria, cioè bipoli lineari il cui comportamento fisico afferisce a dinamiche proprie di accumulo e conservazione dell’energia. Le relazioni
costitutive caratterizzanti il modello matematico nel dominio del tempo continuo e, quindi, la dinamica dei due bipoli condensatore e induttanza sono le seguenti:
•••• dt
tdvCti C
C
)(·)( =
⇒ fenomeni di accumulo e restituzione di energia elettrostatica. Principio di conservazione della quantità di carica elettrica
•••• dt
tdiLtv L
L
)(·)( =
⇒ fenomeni di accumulo e restituzione di energia magnetica.
La rete è alimentata da un generatore indipendente di corrente iS(t) i cui effetti sul circuito sono valutati osservando le evoluzioni temporali della tensione ai morsetti del bipolo NON lineare NL. L’analisi delle caratteristiche del comportamento fisico del circuito consentono di concludere che: •••• Variabili di stato: x1(t) = vC(t) →→→→ tensione ai morsetti del condensatore di capacità C;
x2(t) = iL(t) →→→→ corrente ai morsetti dell’induttore di induttanza L;
•••• Variabile di ingresso: u(t) = iS(t) →→→→ generatore indipendente di corrente
•••• Variabile di uscita: y(t) = vNL(t) →→→→ tensione ai morsetti del bipolo NON LINEARE NL
a) determinazione del modello matematico del sistema NON lineare L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα porge la relazionare seguente:
)(·1
)(·1)(
)()(
·)()()()( tiC
tiCdt
tdvti
dt
tdvCtitititi SL
CL
CSLCS −−=⇒+=⇒+=
La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di figura, percorsa in senso orario, porge la relazionare che di seguito si riporta:
0)()()( =−− tvtvtv NLLC ⇒ )(·)(
·)( 3tiK
dt
tdiLtv L
Lc += ⇒ )(·)(·
1)( 3ti
L
Ktv
Ldt
tdiLC
L −=
Per quanto attiene la tensione ai morsetti del bipolo non lineare si ha:
)(·)( 3tiKtv LNL =
Le equazioni caratteristiche del sistema, equazioni di stato e trasformazione di uscita, pertanto, sono le seguenti:
)(·)(
)(·)(·1)(
)(·1
)(·1)(
3
3
tiKtv
tiL
Ktv
Ldt
tdi
tiC
tiCdt
tdv
LNL
LCL
SLC
=
−=
+−
=
⇒⇒⇒⇒
)(·)(
)(·)(·1
)(
)(·1
)(·1
)(
3
3
tiKtv
tiL
Ktv
Lti
tiC
tiC
tv
LNL
LCL
SLC
=
−=
+−
=
&
&
⇒⇒⇒⇒
)(·)(
)(·)(·1
)(
)(·1
)(·1
)(
32
3212
21
txKty
txL
Ktx
Ltx
tuC
txC
tx
=
−=
+−
=
&
&
NL C
L
vNL
iS(t)
vC(t)
i(t)
vL(t) αααα
iC(t)
++++
b) determinazione degli stati di equilibrio con l’ingresso 2)( == utu
In condizioni di equilibrio del sistema il vettore di stato x(t) deve soddisfare la relazione 0)( =tx& .
Sostituendo i valori dei parametri L, C, e K proposti dalla traccia, in condizioni di equilibrio si ha:
)()(
)()()(
)()()(
32
3212
21
txty
txtxtx
tutxtx
=
−=
+−=
&
&
⇒⇒⇒⇒ 32
321
2
)(
0
0
xty
xx
ux
=
−=
+−=
⇒⇒⇒⇒ 32
321
2
)( xty
xx
ux
=
=
=
⇒⇒⇒⇒ 3
31
2
2)(
2
2
=
=
=
ty
x
x
⇒⇒⇒⇒
8)(
2
8
2
1
=
=
=
ty
x
x
•••• Linearizzazione del sistema nell’intorno dello stato di equilibrio Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio assume la forma seguente:
)()(
)()()(
)()()(
32
3212
21
txty
txtxtx
tutxtx
=
−=
+−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
222
22212
21
3
3
xxy
xxxx
uxx
δδ
δδδ
δδδ
=
−=
+−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
22
22
12
21
2·3
2·3
xy
xxx
uxx
δδ
δδδ
δδδ
=
−=
+−=
&
&
Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è caratterizzato dalle equazioni di stato e dalla trasformazione di uscita che di seguito si riportano:
2
212
21
·12
·12)(
xy
xtxx
uxx
δδ
δδδ
δδδ
=
−=
+−=
&
&
La matrice A della dinamica e le tre matrici B, C e D che definiscono il sistema linearizzato nello spazio degli stati assumono la forma:
[ ] 01200
1
121
10==
=
−
−= DCBA ; ; ;
Gli autovalori della matrice A costituiscono gli zeri o radici del polinomio caratteristico associato alla matrice A stessa; pertanto, necessita calcolare il determinante della matrice [λλλλ·I – A]. Si ricava:
1121)12·(])det([121
1][ 2 ++=++=−⇒
+−=− λλλλλ
λ
λλ AIAI
Gli zeri del polinomio caratteristico sono le soluzioni dell’equazione:
35613660112 2,12 ±−=−±−=⇒=++ λλλ
356
356
2
1
+−=
−−=
λ
λ
La matrice A della dinamica presenta due autovalori reali distinti strettamente negativi; consegue che il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio È ASINTOTICAMENTE STABILE.
ESEMPIO 2: Si consideri il sistema rete elettrica, alimentata dalla corrente iS(t), costituita dal collegamento del bipolo non lineare NL, definito dalla relazione costitutiva vNL(t) = K [i(t)]3, e da una induttanza L, da una capacità C e da una resistenza R come è mostrato in figura. Si determini il modello del sistema in esame, lo stato di equilibrio per un ingresso u(t) = u =3 e il corrispondente sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio. Si consideri: R = 1 ΩΩΩΩ; L = 1 H, C = 1 F, K = 1/8 ΩΩΩΩ/A2.
Si tratta di un circuito NON LINEARE a parametri concentrati per il quale, comunque valgono le leggi di Kirchhoff delle tensioni alle maglie e delle correnti ai nodi della rete stessa. Per ispezione diretta si evince che la corrente i(t) che interessa il bipolo NON lineare NL è la corrente iL(t) che circola nell’induttanza L; pertanto si ha: iL(t) = i(t). La rete in esame si caratterizza per la presenza di due componenti dotati di memoria, cioè bipoli lineari il cui comportamento fisico afferisce a dinamiche proprie di
accumulo e conservazione dell’energia. La resistenza R esprime la cessione di potenza elettrica sotto forma di calore. Per quanto riguarda le relazioni costitutive dei bipoli conservativi si rimanda a quanto già affermato nell’esempio1. Inoltre, è assegnata la relazione costitutiva: vNL(t) = K [i(t)]3. La rete è alimentata da un generatore indipendente di tensione vS(t) i cui effetti sul circuito sono valutati osservando le evoluzioni temporali della tensione ai morsetti del bipolo condensatore C. L’analisi delle caratteristiche del comportamento fisico del circuito consentono di concludere che: •••• Variabili di stato: x1(t) = vC(t) →→→→ tensione ai morsetti del condensatore di capacità C;
x2(t) = iL(t) →→→→ corrente ai morsetti dell’induttore di induttanza L;
•••• Variabile di ingresso: u(t) = vS(t) →→→→ generatore indipendente di tensione
•••• Variabile di uscita: y(t) = vC(t) →→→→ tensione ai morsetti del bipolo condensatore C
c) determinazione del modello matematico del sistema NON lineare L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα porge la relazionare seguente:
)()(
·)()()()( tidt
tdvCtitititi L
CRLCR +=⇒+=
La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di figura, percorsa in senso orario, porge la relazionare che di seguito si riporta:
0)()()( =−− tvtvtv NLLC ⇒ )(·)(
·)( 3tiK
dt
tdiLtv L
Lc += ⇒ )(·)(·
1)( 3ti
L
Ktv
Ldt
tdiLC
L −=
La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di figura, percorsa in senso orario, porge la relazionare che di seguito si riporta:
)(·)()( tiRtvtv RCS =− ⇒ )(·)(
··)()( tiRdt
tdvCRtvtv L
CCS +=− , da cui si ricava:
)(·1
)(·1
)(·1)(
tvRC
tiC
tvRCdt
tdvSLC
C +−−=
Le equazioni caratteristiche del sistema, equazioni di stato e trasformazione di uscita, pertanto, sono le seguenti:
)()(
)(·)(·1)(
)(·1
)(·1
)(·1)(
3
tvcty
tiL
Ktv
Ldt
tdi
tvRC
tiC
tvRCdt
tdv
LCL
SLCC
=
−=
+−−=
⇒
)()(
)(·)(·1
)(
)(·1
)(·1
)(·1
)(
3
tvty
tiL
Ktv
Lti
tvRC
tiC
tvRC
tv
C
LCL
SLCC
=
−=
+−−=
&
&
NL C
L
vNL vC(t)
i(t)
vL(t) αααα
iC(t)
++++ ++++ −−−−
vS
iR(t)
++++
R
Le equazioni caratteristiche del sistema, equazioni di stato e trasformazione di uscita, facendo uso delle variabili di stato, degli ingressi e della definizione dell’uscita, nonché dei valori assunti per i parametri, sono le seguenti:
)()(
)(·)(·1
)(
)(·1
)(·1
)(·1
)(
1
3212
211
txty
txL
Ktx
Ltx
tuRC
txC
txRC
tx
=
−=
+−−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
)()(
)(·8
1)()(
)()()()(
1
3212
211
txty
txtxtx
tutxtxtx
=
−=
+−−=
&
&
d) determinazione degli stati di equilibrio con l’ingresso 3)( == utu
In condizioni di equilibrio del sistema il vettore di stato x(t) deve soddisfare la relazione 0)( =tx& ;
in condizioni di equilibrio si ottiene:
1
321
21
·8
10
0
xy
xx
uxx
=
−=
+−−=
⇒⇒⇒⇒
1
322
21
·8
130
3
xy
xx
xx
=
−+−=
+−=
⇒
1
232
21
0248
3
xy
xx
xx
=
=−+
+−=
L’equazione di terzo grado nella variabile di stato x2, fattorizzando il polinomio a primo membro, si può scrivere nella forma seguente:
1
2222
21
0)122)·(2(
3
xy
xxx
xx
=
=++−
+−=
⇒⇒⇒⇒
1
21
2
3
0)2(
xy
xx
x
=
+−=
=−
⇒⇒⇒⇒
1
1
2
32
2
xy
x
x
=
+−=
=
⇒⇒⇒⇒
1
2
1
2
1
=
=
=
y
x
x
Lo stato di equilibrio relativo all’ingresso 3)( == utu resta definito dai valori 2;1 21 == xx e
tale stato di equilibrio è unico in campo reale in quanto l’equazione x22 + 2x2 +12 = 0 ha soluzioni
complesse e coniugate.
•••• Linearizzazione del sistema nell’intorno dello stato di equilibrio Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio assume la forma seguente:
)()(
)(·8
1)()(
)()()()(
1
3212
211
txty
txtxtx
tutxtxtx
=
−=
+−−=
&
&
⇒
)()(
3·8
1)()(
)()()()(
1
22212
211
txty
xxtxtx
tutxtxtx
δδ
δδδ
δδδδ
=
−=
+−−=
&
&
Il sistema linea rizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è caratterizzato dalle equazioni di stato e dalla trasformazione di uscita che di seguito si riportano:
)()(
)(2·3·8
1)()(
)()()()(
1
22
12
211
txty
txtxtx
tutxtxtx
δδ
δδδ
δδδδ
=
−=
+−−=
&
&
⇒⇒⇒⇒
)()(
)(·2
3)(
)()()()(
1
212
211
txty
txtxx
tutxtxtx
δδ
δδδ
δδδδ
=
−=
+−−=
&
&
La matrice A della dinamica e le tre matrici B, C e D che definiscono il sistema linearizzato nello spazio degli stati assumono la forma:
[ ] 0010
1
5,11
11==
=
−
−−= DCBA ; ; ;
Gli autovalori della matrice A costituiscono gli zeri o radici del polinomio caratteristico associato alla matrice A stessa; pertanto, necessita calcolare il determinante della matrice [λλλλ·I – A]. Si ricava:
2
5
2
51
2
3)·1(])det([
5,11
11][ 2 ++=+
++=−⇒
+−
+=− λλλλλ
λ
λλ AIAI
Gli zeri del polinomio caratteristico sono le soluzioni dell’equazione:
4
155
4
402550552 2,1
2 j±−=
−±−=⇒=++ λλλ
4
1554
155
2
1
+−=
−−=
λ
λ
La matrice A della dinamica presenta due autovalori complessi coniugati a parte reale negativa; consegue che il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio È ASINTOTICAMENTE STABILE.
ESERCIZIO 10: Sia assegnato il sistema dinamico non lineare a tempo discreto, descritto nello spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
)()(3)(
2)(5)()()()(4)1(
)(3)()()()()1(
21
122212
22211
kxkxky
kxkukxkxkxkx
kukxkukxkxkx
=
−+−=+
++−=+
Si desidera: a) verificare che per l’ingresso 21=u lo stato di equilibrio corrispondente è 11 =x e 12 =x ;
b) determinare le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio indicato al precedente punto a);
c) determinare le matrici afferenti la descrizione del sistema linea rizzato nello spazio di stato. d) determinare se il sistema linea rizzato è asintoticamente stabile; e) determinare la funzione di trasferimento del sistema linearizzato.
•••• Verifica del punto di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso 021)( ≥∀== kuku .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso 21=u è determinato imponendo che sia
verificata la condizione )()1( kxkx =+ ; pertanto si relaziona come segue:
21
122212
22211
32
54
3
xxy
xuxxxx
uuxxxx
=
−+−=
++−=
=+−=+−=++−=++−=°
=°
1212
41
2
3
2
41
2
1·3
2
1·11·12
11: 21 membro
membrox
=−−=−+−=−+−=°
=°
1232
43
2
5
2
1141·
2
5
2
111·1·42
11: 22 membro
membrox
Le due equazioni corrispondenti alla descrizione dello stato sono, pertanto, verificate. Consegue che per l’ingresso 21=u lo stato di equilibrio x è effettivamente determinato da 11 =x e 12 =x :
• Determinazione delle equazioni del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio 11 =x e 12 =x corrispondente allo
ingresso 021)( ≥∀== kuku
)(·3)(·3)(
)(2
5)()(·2)(·4)(·4)1(
)(3)(·)(·)(·)(·)1(
2112
12221122
222211221
kxxkxxky
kxkukxxkxxkxxkx
kukxukuxkxxxkxxkx
δδδ
δδδδδδ
δδδδ2δδ
+=
−+−+=+
+++−−=+
La sostituzione dei valori relativi al punto di equilibrio ) , ,( 21 uxx consente di relazionare:
)(·3)(·3)(
)(2
5)()(·2)(·1·4)(·1·4)1(
)(3)(2
1)(·1)(·1·1·)(·1)1(
2112
122212
2212
1
kxxkxxky
kxkukxxkxkxkx
kukx·kukxkxkx
δδδ
δδδδδδ
δδδδ2δδ
+=
−+−+=+
+++−−=+
Procedendo con l’esecuzione dei dovuti calcoli si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
)(·3)(·3)(
)(2
5)()(·2)(·4)(·4)1(
)(3)(2
1)()(·2)()1(
21
12212
2211
kxkxky
kxkukxkxkxkx
kukx·kukxkxkx
δδδ
δδδδδδ
δδδδδδ
+=
−+−+=+
+++−−=+
)(·3)(·3)(
)()(·2)(2
3)1(
)(4)(·2
3)()1(
21
212
211
kxkxky
kukxkxkx
kukxkxkx
δδδ
δδδδ
δδδδ
+=
++=+
+−−=+
•••• matrici caratteristiche della descrizione del sistema linearizzato nello spazio di stato. La rappresentazione del sistema linearizzato nello spazio degli stati attiene alle relazioni di natura matriciale di seguito riportate
[ ] ux
xy
ux
x
x
xx
δ0δ
δδ
δδ
δ
δ
δδ
··33
·1
4·
223
231
2
1
2
1
2
11
+
=
+
−
−−=
&
&&
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
−
−−=
223
231linA ⇒⇒⇒⇒
=
1
4linB ⇒⇒⇒⇒ [ ]33=linC ⇒⇒⇒⇒ 0=linD
•••• valutazione dell’asintotica stabilità del sistema linearizzato; La stabilità del sistema linearizzato è determinata dai valori degli autovalori della matice Alin della dinamica del sistema linearizzato; pertanto, è necessario determinare le radici del polinomio caratteristico pAlin(λλλλ). Consegue che:
4
1
4
92
4
9)2)·(1(
223
231)det()( 22 +−=+−−=+−+=
−−
+=−= λλλλλλ
λ
λλλ AIpA
0)det()( =−= AIpA λλ ⇒ 02
1·
2
1=
−
− λλ ⇒⇒⇒⇒ 02
1=−λ →→→→ 2
2
1== νλ
Pertanto, si ottengono due autovalori reali e coincidenti λλλλ1 = λλλλ2 = 1/2,
cioè l’autovalore λλλλ = 1/2 con ordine di molteplicità νννν = 2. Poiché i due
autovalori si caratterizzano per il modulo 121 <= λλ si conclude
che il sistema linea rizzato è asintoticamente stabile.
• Determinazione della funzione di trasferimento G(z) Il sistema di partenza e il sistema linearizzato caratterizzano un sistema strettamente proprio in quanto l’uscita non dipende direttamente dallo ingresso u(k). In tale contesto, la funzione di trasferimento del sistema linearizzato è definita da:
BAzICzG lin1]·[)( −−=
−= −
1
4·]]·[33[)( 1
linAzIzG ⇒⇒⇒⇒
−−
+=
−
1
4·
223
231]·33[)(
1
z
zzG
Re(λλλλ)
Im(λλλλ)
λλλλ=1/2
λλλλ=1/2
Il calcolo della matrice 1][ −− linAzI è caratterizzato dalle scritture di seguito riportate:
[ ]
+
−−
−=
+
−−
+−=
=
+
−−
+−+=
−=− −
123
232·
)21(
4
123
232·
41
1
123
232·
)49()2)(1(
1·
]det[
1][
2
1
2z
z
zz
z
zz
z
z
zzA
AzIAzI
calin
lin
lin T
Nota l’espressione della matrice 1][ −− linAzI , il calcolo della funzione di trasferimento G(z) si
ottiene relazionando come segue:
+
−−
−=
1
4·
123
232·
)21(
4]·33[)(
2 z
z
zzG
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottengono le scritture seguenti:
+−−−
=
++−+−−
=1
4·3
2
3
2
33·
)21(
4
1
4·33
2
9
2
963·
)21(
4)(
22zz
zzz
zzG
+−−
−= zz
zzG 3
2
3612·
)21(
4)(
2 ⇒⇒⇒⇒
−
−=
2
1515·
)21(
4)(
2z
zzG
−
−
=2
1·
2
1
15·4)(
2z
z
zG ⇒⇒⇒⇒ )5,0(
60)(
−=
zzG
È bene osservare che la funzione di trasferimento G(z) ottenuta è caratteristica di un sistema del primo ordine (presenta un solo polo) mentre, sia il sistema assegnato, sia il corrispondente sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio, sono caratterizzati dalle due variabili x1 e x2; ciò evidenzia che si è verificata una cancellazione zero-polo e tale cancellazione NON È CRITICA in quanto z = ½ si posiziona all’interno del cerchio con centro nell’origine e di raggio unitario. ESERCIZIO 11: Sia assegnato il sistema dinamico non lineare a tempo discreto, descritto nello spazio degli stati dalle seguenti equazioni:
)()()(
)()(
)(1)·()1(
)()()()1(
221
11
22
211
kxkxky
kxkx
kukxkx
kxkukxkx
+−=
−
+=+
+−=+
Si desidera: a) determinare lo stato di equilibrio e l’uscita di equilibrio corrispondenti a un ingresso costante
1=u per ogni k ≥≥≥≥ 0; b) determinare il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio; c) determinare se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile, semplicemente stabile, oppure è instabile.
•••• Determinazione dello stato e della uscita di equilibrio corrispondenti a un ingresso costante 01)( ≥∀== kuku .
Lo stato d’equilibrio, relativo all’assegnato ingresso 1=u si determina imponendo che venga verificata la condizione )()1( kxkx =+ ; pertanto si relaziona come segue:
22
1
11
222
211
··
xxy
xx
uxxx
xuxx
+−=
−+=
+−=
⇒⇒⇒⇒
22
1
11
222
211
xxy
xx
xxx
xxx
+−=
−+=
+−=
⇒⇒⇒⇒
12
1
11
2
21
2
0
2
xxy
xx
x
xx
+−=
−=
=
⇒⇒⇒⇒
12
1
11
1
21
2
20
2
xxy
xx
x
xx
+−=
−=
=
Pertanto, sotto la condizione che sia x1 ≠≠≠≠ 0 si ottiene lo stato e l’uscita di equilibrio corrispondenti all’ingresso 01)( ≥∀== kuku .
2·22
2
2
21
12
+−=
=
=
y
x
xx
⇒⇒⇒⇒
44
4
2
2
1
+−=
=
=
y
x
x
⇒⇒⇒⇒
0
4
2
2
1
=
=
=
y
x
x
• Determinazione delle equazioni del sistema linearizzato
Si linearizza il sistema nell’intorno dello stato di equilibrio 21 =x e 42 =x corrispondente allo
ingresso 01)( ≥∀== kuku
)()()·(2)(
)()()()()()1(
)(·)(·)()1(
211
121
2
1
22
1122
2211
kxkxkxky
kxx
uxku
x
xkx
x
ukxkxkx
kuxkxukxkx
δδδ
δδδδδδ
δδδδ
+−=
−++−=+
++−=+
La sostituzione dei valori dello stato di equilibrio e dell’ingresso relativo, consente di determinare il seguente modello:
)()(·2·2)(
)(2
1·4)(
2
4)(
2
1)()()1(
)(·4)(·1)()1(
21
122122
211
kxkxky
kxkukxkxkxkx
kukxkxkx
δδδ
δδδδδδ
δδδδ
+−=
−++−=+
++−=+
Svolgendo i necessari passaggi e le dovute semplificazioni algebriche, si ottengono le scritture:
)()(·4)(
)(·2)(2
3)(·2)1(
)(·4)()()1(
21
212
211
kxkxky
kukx·kxkx
kukxkxkx
δδδ
δδδδ
δδδδ
+−=
++−=+
++−=+
La rappresentazione del sistema linearizzato nello spazio degli stati attiene alle relazioni di natura matriciale di seguito riportate
[ ] )(·)(
)(·33)(
)(·2
4
)(
)(·
232
11
)1(
)1(1
2
1
2
1
2
1
kukx
kxky
kukx
kx
kx
kx)x(k
δ0δ
δδ
δδ
δ
δ
δδ
+
=
+
−
−=
+
+=+
Le matrici caratteristiche della descrizione nello spazio di stato del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio sono, pertanto, costituite come di seguito riportato:
−
−=
232
11linA ⇒⇒⇒⇒
=
2
4linB ⇒⇒⇒⇒ [ ]14−=linC ⇒⇒⇒⇒ 0=linD
•••• valutazione dell’asintotica stabilità del sistema linearizzato; La stabilità del sistema linearizzato è determinata dai valori degli autovalori della matice Alin della dinamica del sistema linearizzato; pertanto, è necessario determinare le radici del polinomio
caratteristico pAlin(λλλλ). Consegue che:
22
3
2
32)
2
3)·(1(
232
11)det()( 2 +−−+=+−+=
−
−+=−= λλλλλ
λ
λλλ linA AIp
lin
0)det()( =−= linlinA AIp λλ ⇒ 02
1
2
12 =+− λλ ⇒⇒⇒⇒
−±= 2
4
1
2
1·
2
12,1λ , da cui:
−±=
4
7
2
1
2
12,1 ·λ ⇒
4
7
4
11 j−=λ e
4
7
4
11 j+=λ
Gli autovalori della matrice Alin della dinamica del sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio sono due autovalori complessi e coniugati. La Condizione Necessaria e Sufficiente affinché il sistema linearizzato sia asintoticamente stabile richiede che il modulo degli autovalori sia minore di uno, cioè: λλλλi< 1; quindi, si procede con la determinazione del calcolo del modulo degli autovalori sopra calcolati; ricordando che due numeri complessi e coniugati sono caratterizzati dall’avere lo stesso modulo, è immediato evincere ciò di seguito viene esplicitato:
1707,02
2
2
1
2
1
16
8
16
7
16
1
4
7
4
122
2,1 <=====+=
+
=λ
Pertanto, gli autovalori avendo modulo inferiore a uno si posizionano all’interno del cerchio di raggio unitario e centro nell’origine del piano di Argand-Gauss della variabile complessa “λλλλ”, ovvero nella regione di asintotica stabilità. Per questo si conclude affermando che, il sistema linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrio è asintoticamente stabile.