erlang’s loss system and b-formula loss systems with full accessibility overflow theory

PPKE ITK

2008/09tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekTávközlő rendszerekforgalmi elemzéseforgalmi elemzése

TájékoztatásTájékoztatáshttp://digitushttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/.itk.ppke.hu/~gosztony/

8.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03. 22

1.1. Erlang’s loss system and B-formulaErlang’s loss system and B-formula

2.2. Loss systems with full accessibilityLoss systems with full accessibility

3.3. Overflow theoryOverflow theory

4.4. Multi-dimensional loss systemsMulti-dimensional loss systems

A TTE klasszikus elmélete innen indult.A TTE klasszikus elmélete innen indult.

Erlang, Engset, Fry, Molina …Erlang, Engset, Fry, Molina …

Bevezetés 1.Bevezetés 1.

Veszteséges rendszerekVeszteséges rendszerek


a)a) Modell: teljes elérhetőségű veszteséges Modell: teljes elérhetőségű veszteséges rendszer állapotfüggő hívásintenzitással,rendszer állapotfüggő hívásintenzitással,

b)b) Binomiális eloszlás,Binomiális eloszlás,

c)c) Engset eloszlás,Engset eloszlás,

d)d) Pascal (negatív binomiális) eloszlás,Pascal (negatív binomiális) eloszlás,

e)e) Csonkított Pascal eloszlásCsonkított Pascal eloszlás

Bevezetés 2.Bevezetés 2.

Loss systems with full accessibility – gondolatmenet Loss systems with full accessibility – gondolatmenet


• SzerkezetSzerkezet: : nn egyforma csatorna (vonal, egyforma csatorna (vonal, időrés) – homogén csoportidőrés) – homogén csoport

• StratégiaStratégia:: teljes hozzáférhetőség (teljes hozzáférhetőség (full accessibilityfull accessibility)) foglalt csoportot találó hívások utóhatás foglalt csoportot találó hívások utóhatás

nélkül elvesznek (nélkül elvesznek (LCCLCC - lost calls cleared)- lost calls cleared)• Forgalom:Forgalom:

tartásidők exp. eloszl. tartásidők exp. eloszl. μμ intenzitás (intenzitás (1/1/μμ várható érték)várható érték)

a felajánlott forgalom a felajánlott forgalom AA = átvitt forgalom ha a = átvitt forgalom ha a csatornák száma nincs korlátozva (független a csatornák száma nincs korlátozva (független a csatornák számától)csatornák számától)

születési és kihalási folyamat (születési és kihalási folyamat ( birth andbirth and death processdeath process ill. Pure Chance Traffic type Two ill. Pure Chance Traffic type Two PCT-2PCT-2))

A kapott eredmények A kapott eredmények függetlenek a tartásidő függetlenek a tartásidő eloszlásátóleloszlásától csak annak átlagától függnek csak annak átlagától függnek

A modell 1.A modell 1.


A modell 2.A modell 2.

Engset (Binomiális)Engset (Binomiális)S véges. A szabad forrás hívásintenzitása S véges. A szabad forrás hívásintenzitása γγ, , egyébként zérus. Ha egyébként zérus. Ha ii forrás (egyben csatorna) foglalt, forrás (egyben csatorna) foglalt, akkor akkor (S-i)(S-i)γγ a hívásintenzitás. Esetek:a hívásintenzitás. Esetek:• n ≥ Sn ≥ S, binomiális eloszlás, csúcsosság Z < 1, binomiális eloszlás, csúcsosság Z < 1• n < Sn < S, Engset eloszlás., Engset eloszlás.

Pascal (Palm-Wallström)Pascal (Palm-Wallström)S véges. Ha S véges. Ha ii forrás (egyben csatorna) foglalt, akkor forrás (egyben csatorna) foglalt, akkor (S+i)(S+i)γγ a hívásintenzitás. Esetek: a hívásintenzitás. Esetek:• n = ∞n = ∞, Pascal (negatív binomiális eloszlás), Pascal (negatív binomiális eloszlás)• n < ∞n < ∞, csonkított Pascal eloszlás., csonkított Pascal eloszlás.


Binomiális eloszlás 1.Binomiális eloszlás 1.

exponenciális eloszlásúexponenciális eloszlásúidőtartamokidőtartamok(feltételezés a képletek(feltételezés a képleteklevezetéséhez)levezetéséhez)

p(1)p(0)S ................

forg.forrásforg.forráslehetségeslehetségesállapotaiállapotai


Binomiális eloszlás 2.Binomiális eloszlás 2.Metszeti egyenletből:Metszeti egyenletből:



szabad forrásszabad forrásfelajánlottfelajánlottforgalmaforgalma


Binomiális eloszlás 4.Binomiális eloszlás 4.Nincs veszteség, ezért a forrásonként átvitt forgalom:Nincs veszteség, ezért a forrásonként átvitt forgalom:

y = y = aa

annak valószínűsége, hogy a forrás egy véletlen időpillanatbanannak valószínűsége, hogy a forrás egy véletlen időpillanatbanfoglalt. Az összes érkezési és megszűnési időpont felújítási foglalt. Az összes érkezési és megszűnési időpont felújítási pont (regeneration point).pont (regeneration point).

Definíciók:Definíciók:

(Ha torlódás van, (Ha torlódás van, akkor akkor y≠ay≠a !!) !!)



Időtorlódás:Időtorlódás:

Lebonyolított forgalom:Lebonyolított forgalom:

Forgalmi torlódás:Forgalmi torlódás:

Hívástorlódás:Hívástorlódás:

A A νν csatorna forgalma csatorna forgalma véletlen lefoglalás esetében:véletlen lefoglalás esetében:



Hívások száma Hívások száma időegységenként :időegységenként :

Csúcsosság:Csúcsosság:(független S-től(független S-tőlaz eloszlás simaaz eloszlás sima- smooth)- smooth)

Az [Az [ii] állapot tartóssága] állapot tartóssága,, exp.eloszlású az exp.eloszlású az alábbi paraméterrelalábbi paraméterrel: :

Sy


Peakedness - CsúcsosságPeakedness - Csúcsosság

Index of Dispersion for Counts IDCIndex of Dispersion for Counts IDC..

To describe second order properties of the number representation we use To describe second order properties of the number representation we use the index ofthe index of dispersion for counts, IDC. This describes the variations of the dispersion for counts, IDC. This describes the variations of the arrival process during aarrival process during a time interval time interval tt and is defined as: and is defined as:

Emlékeztető: TTE-05 !!!Emlékeztető: TTE-05 !!!(a jövő emléke !)(a jövő emléke !)

By dividing the time interval t into x intervals of duration t/x and observing By dividing the time interval t into x intervals of duration t/x and observing the numberthe number of events during these intervals we obtain an estimate of of events during these intervals we obtain an estimate of IDC(t)IDC(t). . For the Poisson processFor the Poisson process IDCIDC becomes equal to one. becomes equal to one. IDCIDC is equal to “ is equal to “peakednesspeakedness”, which we later introduce to”, which we later introduce to characterise the characterise the number of busy channels in a traffic processnumber of busy channels in a traffic process..

variancevariance(szórásnégyzet)(szórásnégyzet)

expectationexpectation (várható érték)(várható érték)



A véges számú forgalomforrást tartalmazó A véges számú forgalomforrást tartalmazó rendszereket lehet jellemezni:rendszereket lehet jellemezni:

a forgalomforrások számával (a forgalomforrások számával (SS) és ) és

a szabad forgalomforrások felajánlott forgalmával (a szabad forgalomforrások felajánlott forgalmával (ββ) )

a felajánlott forgalommal (a felajánlott forgalommal (AA) és ) és a csúcsossággal (a csúcsossággal (ZZ))

vagyvagy


Engset eloszlás 1.Engset eloszlás 1.

S > nS > n

A metszeti egyenletek 0 ≤ i ≤ n esetére léteznek.A metszeti egyenletek 0 ≤ i ≤ n esetére léteznek.


Engset eloszlás 2.Engset eloszlás 2.(Lásd a binomiális eloszlás levezetését.) (Lásd a binomiális eloszlás levezetését.)

Normalizálás:Normalizálás:

Eloszlás:Eloszlás:(csonkított(csonkítottbinomiális)binomiális)

Engset, 1918 !!Engset, 1918 !!

szabad forrásszabad forrásfelajánlottfelajánlottforgalmaforgalma



IdőtorlódásIdőtorlódás

HívástorlódásHívástorlódás

Átalakítások után:Átalakítások után:



Mintha Mintha S-1S-1 forrás lefoglalta volna az összes csatornát. forrás lefoglalta volna az összes csatornát.

Ha Ha SS növekszik növekszik EE is növekszik, így: is növekszik, így:

Értelmezés:Értelmezés:



Lebonyolított Lebonyolított forgalom:forgalom:

átalakítás metszetiátalakítás metszetiegyenletekkelegyenletekkel



Forgalmi torlódás:Forgalmi torlódás:

jelölése:jelölése:

Hívások száma Hívások száma időegységenként:időegységenként:

((S – YS – Y) a szabad ) a szabad források átlagos források átlagos számaszáma

SaA alkalmaztuk azalkalmaztuk azösszefüggést összefüggést



Elveszett forgalomElveszett forgalom

Az [i] állapot tartóssága Az [i] állapot tartóssága

Improvement functionImprovement function



A nagy A nagy SS és és nn esetében fellépő számítási nehézségek esetében fellépő számítási nehézségek miatt többféle rekurziós eljárást dolgoztak ki. miatt többféle rekurziós eljárást dolgoztak ki.

nn szerinti rekurzió: szerinti rekurzió:



SS szerinti rekurzió:szerinti rekurzió:

(Részletes levezetés és számítási problémák a jegyzetben.)(Részletes levezetés és számítási problémák a jegyzetben.)



nn és és SS szerinti rekurzió:szerinti rekurzió:

Az előbbi két számítás alapjánAz előbbi két számítás alapján

Értékelés:Értékelés: A paraméter növekvő értékére az A paraméter növekvő értékére az nn szerinti szerintiés az és az nn és és SS szerinti rekurzió egyaránt jók, de nem jók szerinti rekurzió egyaránt jók, de nem jókcsökkenő irányban. Az csökkenő irányban. Az SS szerinti rekurzió csökkenő szerinti rekurzió csökkenő irányban megfelelő.irányban megfelelő.


Engset eloszlás 11.Engset eloszlás 11.EE, , BB és és CC kapcsolata kapcsolata

Jelölés:Jelölés:

Már voltMár volt


Pascal eloszlásPascal eloszlás

nn∞∞

érkezési intenzitás:érkezési intenzitás:

állapotvalószínűségekállapotvalószínűségek, csak, ha:, csak, ha:

aholahol

(Negatív binomiális eloszlás)(Negatív binomiális eloszlás)


A feltételre nincs szükség.A feltételre nincs szükség.

Csonkított Pascal eloszlás 1.Csonkított Pascal eloszlás 1.

állapotvalószínűségek:állapotvalószínűségek:

(Csonkított negatív binomiális eloszlás)(Csonkított negatív binomiális eloszlás)

aholahol


Csonkított Pascal eloszlás 2.Csonkított Pascal eloszlás 2.

Számításokhoz alkalmazhatók az Engset eloszlás Számításokhoz alkalmazhatók az Engset eloszlás esetében kapott képletek az alábbi helyettesítéssel: esetében kapott képletek az alábbi helyettesítéssel:

Az eloszlás tetszőleges tartásidő eloszlás esetébenAz eloszlás tetszőleges tartásidő eloszlás esetébenérvényes.érvényes.

Minden összefüggésre érvényes ! Minden összefüggésre érvényes !

erlang’s loss system and b-formula loss systems with full accessibility overflow theory

Documents