erlang’s loss system and b-formula loss systems with full accessibility overflow theory

PPKE ITK

2008/09tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekTávközlő rendszerekforgalmi elemzéseforgalmi elemzése

TájékoztatásTájékoztatáshttp://digitushttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/.itk.ppke.hu/~gosztony/

7.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 02. 24. 22

1.1. Erlang’s loss system and Erlang’s loss system and B-formulaB-formula

2.2. Loss systems with full accessibilityLoss systems with full accessibility

3.3. Overflow theoryOverflow theory

4.4. Multi-dimensional loss systemsMulti-dimensional loss systems

A TTE klasszikus elmélete innen indult.A TTE klasszikus elmélete innen indult.

Erlang, Engset, Fry, Molina …Erlang, Engset, Fry, Molina …

Bevezetés 1.Bevezetés 1.

Veszteséges rendszerekVeszteséges rendszerek


a)a) Feltevések és modellFeltevések és modell

b)b) Végtelen kapacitás/vonalszámVégtelen kapacitás/vonalszám

c)c) Véges vonalszám Véges vonalszám Erlang-B Erlang-B

d)d) Állapot–ábrák (állapot átmeneti Állapot–ábrák (állapot átmeneti diagramok) – receptkönyv diagramok) – receptkönyv

e)e) Numerikus eljárásokNumerikus eljárások

f)f) Méretezési alapelvek – GoS és Méretezési alapelvek – GoS és költségek költségek

Bevezetés 2.Bevezetés 2.

Erlang’s loss system and B-formula Erlang’s loss system and B-formula gondolatmenet gondolatmenet


• Szerkezet: Szerkezet: nn egyforma csatorna (vonal, egyforma csatorna (vonal, időrés) – homogén csoportidőrés) – homogén csoport

• Stratégia:Stratégia: teljes hozzáférhetőség (teljes hozzáférhetőség (full accessibilityfull accessibility)) foglalt csoportot találó hívások utóhatás foglalt csoportot találó hívások utóhatás

nélkül elvesznek (nélkül elvesznek (lost calls clearedlost calls cleared)) Ez: Ez: Erlang’s loss modelErlang’s loss model

• Forgalom:Forgalom: tartásidők exp. eloszl. tartásidők exp. eloszl. μμ intenzitás (intenzitás (1/1/μμ

várható érték, „tartásidő”)várható érték, „tartásidő”) beérkezési gyakoriság: beérkezési gyakoriság: intenzitásintenzitás tiszta születési és kihalási folyamat (tiszta születési és kihalási folyamat (pure pure

birth and death process birth and death process ill. Pure Chance ill. Pure Chance Traffic type One Traffic type One PCT-1PCT-1

A modell 1.A modell 1.


• Felajánlott forgalom:Felajánlott forgalom: offered traffic = carried traffic, ha noffered traffic = carried traffic, ha n∞∞

• Vizsgált esetek:Vizsgált esetek: n = ∞n = ∞ Poisson eloszlásPoisson eloszlás n < ∞n < ∞ csonkított Poisson eloszláscsonkított Poisson eloszlás

• Teljesítmény mérőszámok Teljesítmény mérőszámok (Performance (Performance measures)measures) : :

Idő torlódásIdő torlódás E E (time congestion)(time congestion) hívás torlódáshívás torlódás B (B (call congestion)call congestion) forgalom torlódásforgalom torlódás C C (traffic congestion)(traffic congestion)


A modell érzéketlen a tartásidő eloszlásáraA modell érzéketlen a tartásidő eloszlására

azazazaz: átlagos beérkezési : átlagos beérkezési gyakoriság x átlagos gyakoriság x átlagos tartásidőtartásidő



A modell érzéketlen a tartásidő eloszlásáraA modell érzéketlen a tartásidő eloszlására

InsensitivityInsensitivity: :

A system is insensitive to the A system is insensitive to the holding time distribholding time distribuutiontion

if the state probabilitiesif the state probabilities of the system only depend on the of the system only depend on the mean value of the holding timemean value of the holding time..


n = ∞ n = ∞ Poisson eloszlás 1. Poisson eloszlás 1.

[i] [i] [i+1] [i+1] időegységenként időegységenként -szor-szor[i] [i] [i-1] [i-1] időegységenként i időegységenként iμμ-ször-ször

Stacionaritás Stacionaritás Statisztikai egyensúly (a folyamat idő Statisztikai egyensúly (a folyamat idő szerinti deriváltjai 0-val egyenlők.szerinti deriváltjai 0-val egyenlők.

statistical equilibriumstatistical equilibrium(Erről a pont folyamatok (Erről a pont folyamatok jellemzésekor bővebbenjellemzésekor bővebbenlesz még szó.)lesz még szó.)



a)a)Csomóponti Csomóponti egyenletek egyenletek

(3 állapot,(3 állapot, mindig jó !)mindig jó !)

bb) metszeti egyenletek) metszeti egyenletek (2 állapot, főleg egy (2 állapot, főleg egy dimenziós esetekre) dimenziós esetekre)

NormálásNormálás



A = A = //μμbevezetésebevezetése


Végeredményben:Végeredményben:

A foglalt vonalakA foglalt vonalakszáma egy véletlenszáma egy véletlenidőpontban időpontban Poisson eloszlásúPoisson eloszlású

! ! nn ∞∞, minden igényt kiszolgál a rendszer !, minden igényt kiszolgál a rendszer !




A Poisson eloszlás forgalmi jellemzői:A Poisson eloszlás forgalmi jellemzői:CsúcsosságCsúcsosságPeakednessPeakedness

Az [i] állapot tartósságaAz [i] állapot tartóssága – mivel az állapotból való – mivel az állapotból valókilépés teljes intenzitása (kilépés teljes intenzitása ( + i + iμμ) :) :

vonal dimenziójú !vonal dimenziójú !


Peakedness - CsúcsosságPeakedness - Csúcsosság

Index of Dispersion for Counts IDCIndex of Dispersion for Counts IDC..

To describe second order properties of the number representation we use To describe second order properties of the number representation we use the index ofthe index of dispersion for counts, IDC. This describes the variations of the dispersion for counts, IDC. This describes the variations of the arrival process during aarrival process during a time interval time interval tt and is defined as: and is defined as:

Emlékeztető: TTE-05 !!!Emlékeztető: TTE-05 !!!(A jövő emlékei !!!)(A jövő emlékei !!!)

By dividing the time interval t into x intervals of duration t/x and observing By dividing the time interval t into x intervals of duration t/x and observing the numberthe number of events during these intervals we obtain an estimate of of events during these intervals we obtain an estimate of IDC(t)IDC(t). . For the Poisson processFor the Poisson process IDCIDC becomes equal to one. becomes equal to one. IDCIDC is equal to “ is equal to “peakednesspeakedness”, which we later introduce to”, which we later introduce to characterize characterize the the number of busy channels in a traffic processnumber of busy channels in a traffic process..

variancevariance(szórásnégyzet)(szórásnégyzet)

expectationexpectation (várható érték)(várható érték)


n = véges n = véges Erlang eloszlás 1. Erlang eloszlás 1.

Forgalom: Forgalom: PCT-1PCT-1

Erlang eloszlásErlang eloszlás (csonkított Poisson)(csonkított Poisson)

[feltételes Poisson p(i i[feltételes Poisson p(i i n) – lásd e n) – lásd e-A -A - val szorozva]- val szorozva]


Időtorlódás – Time congestionIdőtorlódás – Time congestionMind az Mind az nn vonal foglalt egy véletlen időpontban vonal foglalt egy véletlen időpontban

Hívástorlódás – Call congestionHívástorlódás – Call congestionEgy véletlen hívás visszautasításaEgy véletlen hívás visszautasítása

Erlang BErlang B képlet képlet



n = véges n = véges Erlang eloszlás 3. Erlang eloszlás 3.Lebonyolított forgalom – Carried trafficLebonyolított forgalom – Carried trafficMetszeti egyenlet az [i-1] és [i] közöttMetszeti egyenlet az [i-1] és [i] között

Elveszett forgalom – Lost traffic Elveszett forgalom – Lost traffic

Forgalmi torlódás –Traffic congestionForgalmi torlódás –Traffic congestion

E = B = CE = B = Cmert a hívásintenzitás mert a hívásintenzitás állapottól függetlenállapottól független

PASTAPASTA – – Poisson arrivals seePoisson arrivals see time averagestime averages



Véletlen lefoglalás –Véletlen lefoglalás –Random huntingRandom hunting

AA kihasználás,kihasználás,((utilizationutilization) ) azonosazonostorlódás esetében,torlódás esetében,a vonalszámmala vonalszámmalnöveksziknövekszik



Sorrendi lefoglalás – Sequential huntingSorrendi lefoglalás – Sequential hunting

Az i-dik vonal által lebonyolitottAz i-dik vonal által lebonyolitottforgalom független a vonalakforgalom független a vonalakszámától. Nincs feed-back.számától. Nincs feed-back.

Az átvitt forgalom növekedése, Az átvitt forgalom növekedése, egy többlet vonalegy többlet vonalhozzáadásakor:hozzáadásakor:

!!

Határértékek:Határértékek:



CsúcsosságCsúcsosság

Az [i] állapot tartósságaAz [i] állapot tartóssága

Dimenzió: vonalszámDimenzió: vonalszám

Sorrendi lefoglalás esetében Sorrendi lefoglalás esetében az utolsó vonal forgalmából becsülhetőaz utolsó vonal forgalmából becsülhető

Az [i] állapot elhagyásának intenzitása:Az [i] állapot elhagyásának intenzitása:(( + iμ) + iμ)..

Exponenciális Exponenciális eloszlás sf.eloszlás sf.


Az Erlang B formula általánosításaAz Erlang B formula általánosítása• Érvényes tetszőleges tartásidő eloszlás Érvényes tetszőleges tartásidő eloszlás

esetében (a képletek csak a tartásidő esetében (a képletek csak a tartásidő átlagától függenek, amelyet az átlagától függenek, amelyet az AA felajánlott forgalom tartalmaz).felajánlott forgalom tartalmaz).

• A levezetés Poisson érkezési A levezetés Poisson érkezési folyamatot tételezett fel. Palm tétele folyamatot tételezett fel. Palm tétele szerint ez érvényes, ha sok egymástól szerint ez érvényes, ha sok egymástól független forrásból érkezik a forgalom.független forrásból érkezik a forgalom.

• Matematikai általánosítás lehetséges Matematikai általánosítás lehetséges tört vonalszámra is.tört vonalszámra is.

A robusztus Erlang B formulaA robusztus Erlang B formula


1.1. SzerkesztésSzerkesztésa)a) Állapotok definiálásaÁllapotok definiálása

b)b) ÁbrázolásÁbrázolás

c)c) Átmenetek feltüntetéseÁtmenetek feltüntetése• érkezés vagy fázis váltásérkezés vagy fázis váltás• távozás (tartásidő vége vagy fázisváltás)távozás (tartásidő vége vagy fázisváltás)

2.2. Egyenletek felírásaEgyenletek felírása Ha statisztikai egyensúly van, akkor:Ha statisztikai egyensúly van, akkor:

• csomóponti egyenletek vagycsomóponti egyenletek vagy• metszeti egyenletekmetszeti egyenletek

3.3. Egyenletek megoldásaEgyenletek megoldásaa)a) kifejezés pl. [0] valószínűségével: p(0)kifejezés pl. [0] valószínűségével: p(0)

b)b) p(0) kiszámítása normálássalp(0) kiszámítása normálással

Állapotábrák 1.Állapotábrák 1.



Példa.Példa.

Két dimenziósKét dimenziósállapottérállapottér



Legyen a nem normalizált állapotvalószínűség q(0), Legyen a nem normalizált állapotvalószínűség q(0), kiszámítjuk a q(i), (i = 1, 2, …) értékeket. Majdkiszámítjuk a q(i), (i = 1, 2, …) értékeket. Majdnormalizálással:normalizálással:

ahol ahol

Az időtorlódás:Az időtorlódás:


Erlang B formula számítása 1.Erlang B formula számítása 1.

Nagy állapottér esetében numerikus Nagy állapottér esetében numerikus problémák merülhetnek fel az problémák merülhetnek fel az állapotvalószínűségek meghatározása állapotvalószínűségek meghatározása során.során.

Jól használható eljárásJól használható eljárásokok és rekurziós és rekurziós képletek állnak rendelkezésre.képletek állnak rendelkezésre.

[Részletesebben lásd jegyzet:7.4.1 fejezet, (7.22) [Részletesebben lásd jegyzet:7.4.1 fejezet, (7.22) – (7.28) képletek]– (7.28) képletek]


Erlang B formula számítása 2.Erlang B formula számítása 2.

Nehezen kezelhető,Nehezen kezelhető,mert mert n!n! és és AAnn gyorsan gyorsannöveksziknövekszik

Hasznos rekurziós formula:Hasznos rekurziós formula:

ésés

ahol:ahol:


Méretezési elvek 1.Méretezési elvek 1.

QoS QoS GoSGoS követelményekkövetelmények

GazdaságosságGazdaságosság

Méretezés a Méretezés a gyakorlatbangyakorlatban

Erlang B képlete több mint 80 éve ismertErlang B képlete több mint 80 éve ismertGazdaságossági megfontolások elméletileg is pontos Gazdaságossági megfontolások elméletileg is pontos formában 1940-es évektől.formában 1940-es évektől.



Méretezés Méretezés rögzített veszteségrerögzített veszteségre

Improvement functionImprovement function(Egy vonallal több !!)(Egy vonallal több !!)

a=(37.901 x 0.99)/50a=(37.901 x 0.99)/50= 0.7504= 0.7504

FF1,n1,n(A)=(A)==37,901[0,01-0,00738]=37,901[0,01-0,00738]=37,901 x 0.00262=37,901 x 0.00262=0.0993=0.0993


A vonalak A vonalak átlagosátlagos kihasználtságkihasználtság nagy vonalcsoportban nagyobb mint nagy vonalcsoportban nagyobb mint kis vonalcsoportban.kis vonalcsoportban.

Nagy vonalcsoportok Nagy vonalcsoportok érzékenyebbekérzékenyebbek a túlterhelésre. Kis vonalcsoportoknak a túlterhelésre. Kis vonalcsoportoknak nagyobb tartalék-kapacitásuk van.nagyobb tartalék-kapacitásuk van.

Méretezéskor választani lehet, hogy a Méretezéskor választani lehet, hogy a tervezés mire irányuljon:tervezés mire irányuljon:

nagyobb kihasználtságranagyobb kihasználtságra vagy vagy kisebb túlterhelés-érzékenységre kisebb túlterhelés-érzékenységre




Méretezés Méretezés rögzített improvement function rögzített improvement function mellettmellett

• Kis vonalcsoportok kihasználtsága növekedett.Kis vonalcsoportok kihasználtsága növekedett.• Nagy vonalcsoportokban a torlódás csökkent.Nagy vonalcsoportokban a torlódás csökkent.• Az így tervezett hálózat összességében kevésbéAz így tervezett hálózat összességében kevésbé érzékeny a túlterhelésre. érzékeny a túlterhelésre.

∆∆A/A/∆∆nnállandó !!állandó !!



Ez az ábraEz az ábraaz előzőaz előzőtáblázatottáblázatotszemlélteti.szemlélteti.

FFBB=0,05=0,05A =2,009A =2,009E =3,72%E =3,72%


Méretezési elvek 6.Méretezési elvek 6.Egyszerű gazdasági számítás a kívánatosEgyszerű gazdasági számítás a kívánatosFF1,n1,n(A)(A) meghatározására meghatározására

vonalcsoport vonalcsoport költségeköltsége

Költség/időegység :Költség/időegység :

Elvesző forgalom Elvesző forgalom miatti veszteségmiatti veszteség

Minimális a költség, ha:Minimális a költség, ha:

ImprovementImprovementvaluevalue

Bevétel/erlang/időegységBevétel/erlang/időegység



FFBB = 0.35 = 0.35A = 25 erlangA = 25 erlangKöltség min.Költség min.n = 30 -náln = 30 -nál

PéldaPélda



FFBB értéke értéke cc00–től nem függ. –től nem függ.

cc0 0 azt határozza meg, hogy egyáltalán érdemes-e azt határozza meg, hogy egyáltalán érdemes-e forgalmat lebonyolítani (szolgáltatást nyújtani).forgalmat lebonyolítani (szolgáltatást nyújtani).

Meg kell kívánni, hogy valamely Meg kell kívánni, hogy valamely n n értékre igaz legyen,értékre igaz legyen,hogy:hogy:

(Csak ebben az esetben nyereséges a szolgáltatás !)(Csak ebben az esetben nyereséges a szolgáltatás !)

erlang’s loss system and b-formula loss systems with full accessibility overflow theory

Documents