- 2015 –

1. ¿Qué tan lejos viaja la luz en el vacío en 1,0 ns, sabiendo que su velocidad es de 3,0 x 108 �� ?

R.: d = ct =3,0 x 108 �� x 1,0 ns = 3,0 x 108x1,0x10-9 m = 3,0 x 10-1 m = 0,30 m = 30 cm

2. ¿Cuántas revoluciones hace el segundero de un reloj en tres años, si no hay año bisiesto en el

intervalo?

R.: El segundero da una revolución en 60 s. Además, en 3 años hay 3x365x24x3600 s, por lo que el

segundero da en ese tiempo �� ������ rev = 3x365x24x60rev = 1576800rev. Como

en el año tiene 365 días, se están usando 3 cifras significativas, por lo que la respuesta debe

expresarse como 1,58 x 106 revoluciones.

3. La siguiente figura muestra la indicación de un voltímetro en la toma de cierta diferencia de

potencial. ¿Cuál de los siguientes reportes es el correcto?

Lectura N° 01: �, ! ± #, $ V

Lectura N° 02: �, ! ± #, ! V

Lectura N° 03: �, % ± #, $ V

Lectura N° 04: �, % ± #, ! V

R.: De la posición de la aguja se puede asegurar que la medida es menor que 5,5 V y mayor que 5,1

V, por lo que la lectura debe hallarse entre 5,2 V y 5,4 V. Por tanto, la medida deberá reportarse

como �, % ± #, $ V.

4. Si se miden los lados de un cuadrado, obteniéndose 10 cm con una exactitud del 1 %, ¿cuál

es el área del cuadrado con su incertidumbre asociada?

R.: El área del cuadrado es de 100 cm2, siendo su incertidumbre relativa

∆'' = (∆(() = 2 ∆(( = 2*0,01+ = 0,02, de donde la incertidumbre absoluta viene a ser

∆A = 0,02A = 0,02*100cm + = 2cm , luego, la respuesta es A = (100 + 2) cm2.

5. (a) Calcule la altura de un cilindro de radio R que tiene el mismo volumen de una esfera de

radio R. ¿Cuál es la incertidumbre en la altura si la del radio es del 1 %? (b) Demuestre que el

cilindro tiene un área superficial mayor que la esfera.

R.: (a) Como los volúmenes son iguales, se cumple que V/01 = V2�3, de donde πR h = �π67 , de tal

manera que la altura pedida es h = �6 .

En cuanto a la incertidumbre absoluta de la altura, ésta quedará expresada por ∆h = 8986 ∆R = �∆6 .

La incertidumbre relativa estará expresada por ∆99 = :∆;7 .:;7 = ∆66 , es decir, es igual a la incertidumbre

relativa del radio, por lo que coinciden también las incertidumbres porcentuales. Luego, la

incertidumbre en la altura es del 1 %.

(b) Áreasuperf/010ABCD = 2πRh + 2πR = 2πR F�6 G + 2πR = Hπ6) + 2πR = I�π6)

= 4,7πR

Áreasuperf2�32CJ = 4πR , de donde queda demostrado que el área superficial del cilindro es

mayor que el de la esfera.

6. Si el radio interior de un recipiente cilíndrico está dado por K# ± ∆K y su altura por L# ± ∆L,

¿cómo debe expresarse el volumen con su incertidumbre?

R.: El volumen del cilindro está dado por

V = πR� H� ± F8N86 ∆R + 8N8O ∆HG = πR� H� ± *2πR�H�∆R + πR� ∆H+

7. Calcular la cantidad de movimiento de una partícula de masa M= (120,00 + 0,05) kg y

velocidad V = (20,0 + 0,4) m/s, con la correspondiente incertidumbre.

R.: P0 = M0V0 = 120,00(20,0) kg.m/s = 2 400 kg.m/s, con ∆P = M�∆V + V�∆M = 120*0,4+ +20*0,05+ kg. m/s = (48+1) kg.m/s = 49 kg.m/s ≈ 50kg. m/s. La cantidad de movimiento es,

entonces, P=(2,40 + 0,05) x 102 kg.m/s.

8. Si se conoce el área de un círculo de radio V# con una exactitud del 2 %, ¿con qué exactitud se

determinará el volumen de una esfera de radio !V#?

R.: La incertidumbre relativa en el área del círculo está dada por

∆''W = X*Y+XZ ∆C

πCW) = CWπ

πCW) ∆r = ∆CCW = 0,02 , de donde la incertidumbre relativa en el radio es ∆CCW = 0,01

La incertidumbre relativa en el volumen está dada por

∆NNW = [X\XZ[∆C:π7 * CW+7 = �π* CW+) * +∆C:π*]ZW7+7= * πCW)+∆C πCW7 = ∆CCW = 0,03. Es decir, el volumen de la esfera de radio

2r� se determinará con una exactitud del 3 %.

9. Dos estudiantes, A y B, miden la resistencia eléctrica del mismo dispositivo obteniendo los

siguientes resultados:

Estudiante A: !� ± � ohmios Estudiante B: %! ± ^ ohmios

¿Es significativa la discrepancia de 7 ohmios en los resultados?

R.: La discrepancia no es significativa ya que, en este caso, los márgenes de error se superponen

en un intervalo muy grande, pudiendo ser correctos ambos resultados.

10. Si una fuerza de !�#, !� ± #, #_`se distribuye perpendicularmente a una superficie de

!, �� ± #, #�a�!, calcular la presión con su incertidumbre absoluta, relativa y porcentual.

R.: b� = cWdW = ��, � ,��×I�f: Pa = 98,137 × 10� Pa

Incertidumbre absoluta: ∆b = cW∆dhdW∆cdW) = *!�#,!�+i�,��×I�f:jhi!,��×I�f:j*�,��+*!,��×I�f:+) Pa

∆b = �,��I �I���,�� �×I�f] Pa = 19399Pa ≈ 1,9 × 10� Pa

El resultado final debe reportarse como

b = *98,1 ± 1,9+ × 104 Pa

Incertidumbre relativa: 0,0198

Incertidumbre porcentual: 1,98 %

11. Un estudiante mide la longitud de un péndulo simple y considera que su mejor estimación

es 110 mm y el intervalo en el que probablemente se encuentra la longitud es de 108 a 112 mm.

¿Cómo debe expresarse este resultado?

R.: 110 ± 2 mm

12. Un estudiante de la FIME determina la aceleración debido a la gravedad, k, midiendo el

tiempo l que tarda una piedra en caer desde una altura m, habiendo obtenido que l = $, n ±#, $� y m = _n, ! ± #, %opq�. ¿Qué resultado obtuvo, con la incertidumbre correcta? ¿Qué se

puede concluir? ¿Cómo se puede mejorar el resultado?

R.: De la fórmula ℎ = I gs se obtiene t = uv) , lo que lleva a t� = *��, +*I,�+) w02��) = 36,1 w02��) .

La incertidumbre relativa en t es ∆xxW = ∆uuW + 2 ∆vvW = �,��, + 2 �,II,� = 0,007 + 2*0,063+ = 0,133,

y la absoluta es ∆t = 36,1 × 0,133 w02��) = 4,80 w02��) , con lo que la respuesta correcta es

k = %n ± � opq��!

Ya que el valor conocido de t es 32 w02��) , puede concluirse que el resultado obtenido es bastante

coherente con el valor conocido ya que este último cae en los márgenes de error del estudiante.

Mejorar el resultado significa mejorar la medida de los datos. Observando las incertidumbres de la

altura y del tiempo se aprecia que les corresponde valores de 0,7 % y 6,3 %, respectivamente, lo

que permite sugerir mejorar la calidad de la medición del tiempo de caída, procurando disminuir

su incertidumbre relativa a fin de disminuir la incertidumbre relativa de t.

13. Justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

(a) El SI clasifica las unidades de medida como fundamentales, suplementarias y derivadas.

(b) La medida 4 030 kg puede tener solamente 3 ó 4 cifras significativas.

(c) El error experimental puede ser debido a las equivocaciones del experimentador.

(d) Si una expresión es dimensionalmente homogénea, entonces es correcta.

R.: (a) FALSO. Actualmente, en el SI se consideran solo unidades fundamentales y derivadas.

(b) VERDADERO. El “cero” del orden de las unidades puede o no ser significativo. Los otros tres

dígitos son significativos, por lo cual solo puede haber en total 3 ó 4 cifras significativas.

(c) FALSO. El error experimental aparece siempre, por mucho cuidado que se ponga al efectuar

la medición. Las equivocaciones del experimentador son fallas que no deben darse en una

actividad experimental y se consideran como errores graves.

(d) FALSO. Por ejemplo, la expresión 60m + 20m = 100m es dimensionalmente homogénea,

pero es incorrecta.

14. En la medida del tiempo de caída de un objeto desde cierta altura se han obtenido las

siguientes observaciones. Determinar el valor más probable y la incertidumbre asociada.

R.:

t� = ∑ t0I�I10 = 12,39s10 = 1,239s

σ� = z∑ *t0 − t�+ I�In*n − 1+ = z∑ *t0 − t�+ I�I 10*9+= z∑ 0,003609I�I 10*9+

σ� = }0,0000401s = 0,0063s

La sensibilidad del instrumento permite apreciar un

error de 0,01 s.

La incertidumbre absoluta se estimará mediante la expresión

∆s = √0,0000401 + 0,0001s = √0,0001401s = 0,011836 s ∆s = 0,012s

Luego, el resultado deberá expresarse como t = *1,239 ± 0,012+s

15. En la medición del voltaje proporcionado por una fuente, se obtuvo la tabla siguiente:

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

V(voltios) 27,34 27,27 27,26 27,30 27,31 27,32 27,30 27,34 27,31 27,29

Determinar cómo deberá expresarse la medida

R.: El promedio viene a ser el valor más probable, obteniéndose

V� = ∑ tV0I�I10 = 273,04s10 = 27,304s

La sensibilidad del instrumento indica un error de medición de 0,01 V

N 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

t (en s) 1,20 1,25 1,23 1,24 1,23 1,24 1,26 1,25 1,27 1,22

N° t( s) ti-tm (s) (ti-tm)2 (s)

2

01 1,20 -0,039 0,001521

02 1,25 0,011 0,000121

03 1,23 -0,009 0,000081

04 1,24 0,001 0,000001

05 1,23 -0,009 0,000081

06 1,24 0,001 0,000001

07 1,26 0,021 0,000441

08 1,25 0,011 0,000121

09 1,27 0,031 0,000961

10 1,22 -0,019 0,000361

σ� = z∑ *V0 − V�+ I�In*n − 1+ = z∑ *V0 − V�+ I�I 10*9+ = z0,0062410*9+ V = 0,008326V ≈ 0,0083V

La incertidumbre absoluta se estimará mediante la expresión

∆V = }6,933 × 10�� + 0,0001V = }0,00016933V = 0,013012V

Por lo anterior, la medida deberá expresarse como V = *27,304 ± 0,013+voltios.

16. Una carga cuya masa es M está colgada de muelle. Durante el equilibrio el peso de la carga

se compensa por la tensión del muelle. Para alargar el muelle en h respecto de la posición de

equilibrio se necesita aplicar la fuerza F, proporcional a h (F=kh). Una fuerza de la misma

magnitud pero de sentido contrario, tiende a volver la carga a su posición inicial una vez

transcurrido el tiempo t. Determinar el tiempo t en función de h, M y k.

R.: La expresión para el tiempo deberá darse como t = ChJM�k/, donde C es una constante

adimensional. Las dimensiones de k vienen dadas por

�k� = ��9� = MLT� L�I = MT�

y las de t, por

�t� = LJM�*MT� +/ = LJM�T� /M/= LJM�h/T� / = L�M�TI.

n V(voltios) (Vi – Vm) (voltios) (Vi – Vm)2 (voltios)

2

01 27,34 0,036 0,001296

02 27,27 -0,034 0,001156

03 27,26 -0.044 0,001936

04 27,30 -0,004 0,000016

05 27,31 0,006 0,000036

06 27,32 0,016 0,000256

07 27,30 -0,004 0,000016

08 27,34 0,036 0,001296

09 27,31 0,006 0,000036

10 27,29 -0,014 0,000196

Igualando los exponentes para bases iguales, se concluye que a = 0, c = −1/2yb = 1/2, por lo

que el tiempo se expresa como

t = CMI/ k�I/ = C���

17. Sobre un cuerpo de masa M actúa una fuerza constante F en el tramo h. Determinar la

velocidad v adquirida por el objeto al final del recorrido, sabiendo que una fuerza constante de

100,0 N aplicada sobre un cuerpo de 2,0 kg, en un recorrido de 4,0 m permite adquirir la

velocidad de 20,0 m/s.

R.: La velocidad adquirida se expresará en función de la fuerza, la longitud del tramo y la masa del

objeto: v = CFJM�h/, de donde, usando el análisis dimensional, resulta

LT�I = MJLJT� JM�L/ = MJh�LJh/T� J,

de donde a =1/2, b = −1/2 y c = 1/2 y la expresión pedida será v = CFI/ M�I/ hI/ = C��9� .

Tomando en cuenta los valores numéricos señalados,

C = v� ��9 = *20,0+� ,�*I��,�+*�,�+ = �,�√ �� = �,�I�√ = √2,

por lo cual, la expresión definitiva es

v = � �9� .

18. Justificar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

(i) Una constante numérica es de dimensión igual a 1.

(ii) La exactitud requiere precisión, pero la precisión no requiere exactitud.

(iii) Un error de calibración es un tipo de error aleatorio.

(iv) El estado del medio ambiente en que se realizan los experimentos da origen a errores

sistemáticos.

(v) El error relativo de un cociente es igual al de un producto.

R.: (i) FALSO; una constante numérica tiene dimensiones nulas (o iguales a 0) respecto de las

magnitudes fundamentales.

(ii) VERDADERO; Un instrumento puede dar sucesivamente valores muy próximos entre sí, pero

muy alejados del verdadero, con lo cual estaríamos ante un instrumento muy preciso pero

bastante inexacto. En cambio, de darse que cierto instrumento resulte exacto, necesariamente los

datos que se tomen con éste deben ser muy próximos entre sí, con lo cual se prueba que la

exactitud requiere de precisión.

(iii) FALSO; se trata de un tipo de error sistemático, ya que puede corregirse o compensarse.

(iv) VERDADERO; el estado del medio ambiente puede ser controlado con lo cual puede

corregirse o compensarse el error así originado.

(v) VERDADERO; veamos:

* Error relativo de un cociente

EC21J� = ∆ZZ = 1y ∆x + xy ∆yxy = ∆xx + ∆yy = EC21*+ + EC21*�+

* Error relativo de un producto

EC21J� = ∆ZZ = y∆x + x∆yxy = ∆xx + ∆yy = EC21*+ + EC21*�+

En ambos casos, el error relativo es el mismo e igual a la suma de los errores relativos de los

datos.

19. Se tienen los vectores ��� = _�� + !�� + ��� , �� = −!�� + !�� + �� y a� = �� − !�� − !�� . Hallar:

(a) El área del paralelogramo determinado por los extremos de tales vectores.

(b) Si los orígenes de �� � a� están en los puntos (1,1,1) y ( 2,-1,2), determinar por métodos

vectoriales la ecuación de la recta que pasa por los extremos tales vectores.

(c) La proyección escalar sobre ��� del vector que une los orígenes de �� � a�.

(d) Un vector unitario no nulo paralelo a ��� y perpendicular a �� + a�.

(e) Los cosenos directores del vector resultante.

R.: (a) Sean P(4,2,5),Q(-2,2,1) y R(1,-2,2) los extremos de los vectores a��, b��y c�. Hallamos:

PQ������ = −6ı� − 4k��, PR������ = −3ı� − 4ȷ� − 3k��,

PQ������ X PR������ = � ı� ȷ� k��−6 0 −4−3 −4 −3� = *0 − 16+ı� − *18 − 12+ȷ� + *24 − 0+k�� = −16ı� − 6ȷ� + 24k��

�PQ������XPR������� = �−16ı� − 6ȷ� + 24k��� = }16 + 6 + 24 = √256 + 36 + 576 = √868 = 29,5u

R

P Q

Resp.: área del paralelogramo = 29,5u

(b) Hallamos las coordenadas de los extremos de b��y c�:

b�� = −2ı� + 2ȷ� + k�� = ix′, y′, z′j − *1,1,1+, de donde *x′, y′, z′+ = *−2,2,1+ + *1,1,1+ = *−1,3,2+;

c� = ı� − 2ȷ� − 2k��=*x′′, y′′, z′′+ − *2, −1,2+,con*x′′, y′′, z′′+ = *1, −2, −2+ + *2, −1,2+ = *3, −3,0+;

Dado que m����//n��, se cumple n�� = km����; es decir:m���� = *3, −3,0+ − *−1,3,2+ = *4, −6, −2+ y n�� = *x, y, z+ − *−1,3,2+ = *x + 1, y − 3, z − 2+ implica que k*4, −6, −2+ = *x + 1, y − 3, z − 2+

de donde: k = hI� = − ��� = − ¢� es la ecuación de la recta.

© El vector que une los orígenes de b��y c� es p�� = *2, −1,2+ − *1,1,1+−= ı� − 2ȷ� + k��; el vector unitario de a��es u�� = J��J = �£�h ¤�h�����√I�h�h � = �£�h ¤�h�����√�� = �£�h ¤�h�����√� ; Luego, la proyección escalar

de p��sobreu�� es

/ p��. u��/=/iı� − 2ȷ� + k��j. ¦�£�h ¤�h�����√� § /= ���h�√� = √� .

(d)b�� + c� = −2ı� + 2ȷ� + k���+ ı� − 2ȷ� − 2k�� = −ı� − k��. Debe cumplirse que λa��. ib�� + c�j = 0.

Veamos: λi4ı� + 2ȷ� + 5k��j. *−ı� − k��+= λ*−4 − 5+ = −9λ = 0,de donde se concluye que no

existe el vector pedido.

(e) La resultante es a�� + b�� + c� = 3ı� + 2ȷ� + 4k��. Los cosenos directores son:

Cosα = 3√9 + 4 + 16 = 3√2929

Cosβ = √¨h�hI� = √ ¨ ¨

Cosδ = �√¨h�hI� = �√ ¨ ¨

20.- El producto mixto ���.*�� © a�) nos da el volumen del paralelepípedo determinado por los

vectores no coplanares ���, �� � a�.

(a) Calcule el volumen del paralelogramo de la figura, sabiendo que O(2,1,1), A(4,3,3), B(3, 6 ,6) y

C(3,-3,8)

(b)D.q. los vectores ��� = −%�� + _�� + %�� , �� = �� + !�� + �� � a� = −�� + %�� + !�� son coplanares.

R.:

(a) De la figura,a�� = *4,3,3+ − *2,1,1+ = 2ı� + 2ȷ� + 2k��,b�� = *3, 6,6+ − *2,1,1+ = ı� + 5ȷ� + 5k�� y c� = *3, −3,8+ − *2,1,1+ = ı� − 4ȷ� + 7k��.

b�� X c� = � ı� ȷ� k��1 5 51 −4 7� = *35 + 20+ı� − *7 − 5+ȷ� + *−4 − 5+k�� = 55ı� − 2ȷ� − 9k��

a��.*b��x c�)=i2ı� + 2ȷ� + 2k��j. i55ı� − 2ȷ� − 9k��j= 110 – 4 – 18 = 110 – 22 = 88

(b) Si son coplanares, el producto mixto debe ser nulo:

b�� X c� = � ı� ȷ� k��1 2 1−1 3 2� = *4 − 3+ı� − *2 + 1+ȷ� + *3 + 2+k�� = ı� − 3ȷ� + 5k��

a��.*b��x c�)=i−3ı� + 4ȷ� + 3k��j. iı� − 3ȷ� + 5k��j= - 3 – 12 + 15 = -15 +15 = 0, como quería probarse.

21. Hallar la constante “a” de modo que los vectores sean coplanarios o��� = !�� − �� + �� ,ª��� =

�� + !�� − %�� y V� = %�� + ��� + ��� sean coplanarios.

R.: Para que los vectores sean coplanarios, su producto mixto debe ser cero:

q�� X r� = � ı� ȷ� k��1 2 −33 a 5 � = *10 + 3a+ı� − *5 + 9+ȷ� + *a − 6+k�� = *10 + 3a+ı� − *14+ȷ� + *a − 6+k��

p��.*q��x r�)=i2ı� − ȷ� + k��j. **10 + 3a+ı� − *14+ȷ� + *a − 6+k��+ = 20 + 6a +14 + a – 6 = 28 + 7a = 0,

de donde a = −4.

22. Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

R.: Sean los vectores de la figura y <ABC el ángulo inscrito en la semicircunferencia.

¬

­ ®

�̄�� °��� ±

Hallemos p��.q��:

p��.q�� = iAO������ + OB������j. iOC������ − OB������j = AO������. OC������ − AO������. OB������ + OB������. OC������ − OB������. OB������

p��.q�� = R − R Cosβ + R Cosβ − R = 0, y donde β es la medida de

< BOC.

Como el producto escalar es nulo, se concluye que el ángulo inscrito en una

semicircunferencia es un ángulo recto.

23. Hallar la ecuación del plano perpendicular a �́�� = !�� + %�� + n�� y que pasa por el extremo del

vector µ��� = �� + ��� + %�� (ver fig.)

R.: PQ������ = B��� - r� es perpendicular a A���, por lo que ( B��� - r�). A��� = 0.

Expresando lo anterior en coordenadas rectangulares, se tiene

ixı� + yȷ� + zk��j. i2ı� + 3ȷ� + 6k��j − i2ı� + 3ȷ� + 6k��j. iı� + 5ȷ� + 3k��j = 0

2x + 3y + 6z – 2 – 15 - 18 = 0

2x +3y + 6z = 35 es la ecuación del plano requerida.

24. ¿Cuáles proposiciones, de las siguientes, son verdaderas y cuáles son falsas?

Justifique.

l. Es posible que la suma de dos vectores unitarios sea otro vector unitario.

ll. Un vector solo puede tener tres componentes como máximo.

lll. Si el modulo de un vector es 3 y el modulo de otro es 4, su suma vale 5.

R.:

I. VERDADERO, lo cual se da cuando el ángulo entre los vectores que se suman es de 120°. En este

caso, al seguir el método del triángulo se construye un triángulo equilátero.

II.FALSO, ya que siempre se pueden hallar muchos vectores que sumados entre sí permitan

obtener el vector dado.

III. FALSO, ya que depende del ángulo entre los vectores que se van a sumar. Solo si éste ángulo es

de 90° y los sumandos de 3 y 4 unidades, la resultante será de 5 unidades.

25. Hallar el vector unitario tangente a la curva ¶ = l − l!, · = l!, ¸ = l + l! , en el

punto t=1.

R.: ¹º¹s = »*1 − 2s+|v½I = −1

¹¾¹s = »*2s+|v½I = 2

¹¿¹s = »*1 + 2s+|v½I = 3

Vector unitario tangente:

À� = −Á� + 2Â� + 3Ã��}*−1+ + *2+ + *3+ = −Á� + 2Â� + 3Ã��√15

26. Hallar un vector unitario perpendicular a la superficie del paraboloide de revolución

¸ = ¶! + ·!, en el punto *$; !; �+.

R.: Escribimos la función de superficie Å*º; ¾; ¿+ = º2 + ¾2 − ¿ y evaluamos el gradiente de

esta función:

∇���φ = ∂φ∂x ı� + ∂φ∂y ȷ� + ∂φ∂z k�� = 2xı� + 2yȷ� − k��

120°

R B=1

A=1

60°

En el punto *1; 2; 5+, ∇���φ = 2ı� + 4ȷ� − k�� es un vector normal a la superficie y un vector unitario

normal o perpendicular a la misma en dicho punto es

É�� = 2ı� + 4ȷ� − k��}*2+2 + *4+2 + *−1+2 = 2ı� + 4ȷ� − k��√21

27. Si se da el vector Ê��� = ­*ËÌÍÎlÏ� + ÍÐÑÎlÒ�+, donde ­ y Î son constantes y l un escalar,

se pide: (a) hallar: ÓÊ���Ól y [ÓÊ���Ól[ ; (b) D.q. Ê��� y

ÓÊ���Ól son perpendiculares.

R.:

(a) ÔÕ��Ôv = Ö×i−ØÙÚ×sÛ� + ÜÝØ×sÞ�j y

ß¹à�¹s ß = Ö×}*−ØÙÚ×s+2 + *ÜÝØ×s+2 = Ö×

(b) ÔÕ��Ôv = Ö×i−ØÙÚ×sÛ� + ÜÝØ×sÞ�j y

à� ∙ ÔÕ��Ôv = Ö ×i−ÜÝØ×sØÙÚ×sÛ� + ØÙÚ×sÜÝØ×sÞ�j = 0,

concluyéndose que à�y ÔÕ��Ôv son vectores perpendiculares entre sí.

28. Si el módulo del vector diferencia de dos vectores es √! , entonces esos vectores deben:

a) ser colineales. b) ser paralelos. c) ser perpendiculares.

d) ninguna respuesta anterior es correcta.

R.:

* Si dos vectores son colineales o paralelos, del mismo sentido, pero el módulo de uno de ellos es

2√2 y el del otro√2, el módulo de la diferencia es √2 .

* Si se tienen dos vectores unitarios perpendiculares entre sí, el módulo de su resultante debe ser

√2.

De lo anterior se concluye que la respuesta correcta es la d).