Erste Unterrichtsstunde: Wievielmal so groß? – mit Tangram Flächen

vergleichen

Groblernziel:

Die Schüler und Schülerinnen können die Größenverhältnisse der geometrischen Figuren

des C-Tangrams durch Flächeninhaltsvergleiche verständlich erläutern.

Feinlernziele:

Die Schüler und Schülerinnen …

FLZ 1: … ermitteln die Kongruenz der zwei kleinen Dreiecke des Tangrams, indem

sie diese passgenaue aufeinanderlegen.

FLZ 2: … vergleichen den Flächeninhalt von zwei ausgewählten geometrischen Figuren des

C-Tangrams, indem sie diese aufzeichnen und mit Hilfe des kleinen

Dreiecks passgenau auslegen oder die Zerlegungsmethode anwenden.

FLZ 3: … wählen für ihre Begründungen eine geeignete Veranschaulichungsform, indem sie

ihren Lösungsweg (passgenaues Auslegen mit Hilfe des kleinen Dreiecks oder

Zerlegungsmethode) nachvollziehbar dokumentieren.

FLZ 4: … können ihre Ergebnisse begründen, indem sie mit Hilfe des Plakates ihre

Vorgehensweise zum Finden der Flächeninhalte aller Figuren verbalisieren bzw.

der Klasse vorstellen.

Groblernziel:

Die Schüler und Schülerinnen können die Größenverhältnisse der geometrischen Figuren des C-Tangrams durch Flächeninhaltsvergleiche

verständlich erläutern.

Zeit Didaktische Phase/Inhalt

Lehrer-Schüler-Interaktion U-Meth. SF/OF Medien/ Material

9.25 Uhr

Einstieg Motivierung Zielangabe

LAA präsentiert C-Tangram, zieht die Tangram-Teile auseinander und fordert S. auf, zum einen das kleine Dreieck mit dem anderen kleinen Dreieck und zum anderen mit dem Quadrat hinsichtlich des Flächeninhaltes zu vergleichen und eine Begründung zu finden. mgl. S.-Antworten: Das kleine Dreieck … - … ist deckungsgleich zu dem anderen kleinen Dreieck, da ich sie durch eine Bewegung aufein-

ander legen kann � somit sind sie gleich groß - … passt zweimal in das Quadrat, weil ich zwei kleine Dreiecke hineinlegen kann � somit ist das

Quadrat doppelt so groß wie das kleine Dreieck LAA: „ In dieser Stunde wollen wir herausfinden, was die Tangram-Teile miteinander verbindet, indem wir sie miteinander vergleichen und sie auf ihren Flächeninhalt überprüfen.

Impuls UG LV

FU / Sitzkreis

Tafel: Tangram

9.30 Uhr

Arbeits-phase I

Arbeitsauftrag: Vergleiche zwei andere Tangram-Teile! Stelle den Flächenvergleich so dar, dass die Gruppe deine Vorgehensweise erkennt! S. vergleichen zwei beliebige geometrische Figuren des Tangrams, indem sie diese auf die Größe des Flächeninhalts mit Hilfe des kleinen Dreiecks überprüfen. Sie legen die geometrischen Figuren mit dem kleinen Dreieck aus. Die Vorgehensweise ihrer Überprüfung skizzieren sie auf einem leeren Blatt. Dabei nutzen sie die Tangram-Teile als Schablone.

Sg

EA Tangrams

Filzstifte

9.35 Uhr

Arbeits-phase II

Arbeitsauftrag: Präsentiert und vergleicht eure Ergebnisse! Diskutiert, was verbindet alle Tangram-Teile miteinander? Begründet euer Ergebnis! S. stellen ihren Flächenvergleich zweier Figuren der Gruppe vor und vergleichen ihre Ergebnisse miteinander, indem sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede benennen. S. stellen Vermutungen auf, in welcher Verbindung alle Teile miteinander stehen. S. erstellen ein Plakat, indem sie ihre Vergleiche aus der Gruppenarbeit aufkleben, evtl. neue hinzufügen und eine Begründung für die Gemeinsamkeit notieren.

Sg GA DIN-A2

Blätter

Legende:

LAA – Lehramtsanwärterin FU – Frontalunterricht U – Meth. – Unterrichtsmethoden SF – Sozialform S. – SchülerInnen EA – Einzelarbeit SV – Schülervortrag AF – Arbeitsform GA – Gruppenarbeit UG – Unterrichtsgespräch Sg – Schülerübung

9.55 Uhr - 9.10 Uhr

Schluss-phase Präsentation der Ergebnisse / Reflexion über die Sache

LAA: „Das Ziel unserer Stunde ist herausfinden, was die Tangram-Teile miteinander verbindet. Wie und was habt ihr herausgefunden? Begründet euer Ergebnis!“ S. präsentieren ihre Ergebnisse mit Hilfe des Plakate, indem sie auf die Größen des Flächen-inhaltes der geometrischen Figuren durch das Auslegen mit dem kleinen Dreieck schließen und sinngemäß folgende Begründungen finden: • Form des mittelgroßen Dreiecks kann mit den zwei kongruenten kleinen Dreiecken passend

ausgelegt werden (ebenso Form des großen Dreiecks aus dem mittelgroßen und den beiden kleinen Dreiecken)

• Fläche von Quadrat, Parallelogramm und mittleren Dreieck ist gleich, da man sie mit zwei kleinen Dreiecken passend auslegen kann.

• Werden alle 7 Teile des Tangrams verwendet, kann die Fläche mit 16 kleinen Dreiecken ausgelegt werden. � Tangram-Teile stehen in einem bestimmten Größenverhältnis zueinander: Jede geo-metrische Figur lässt sich mit kleinen Dreiecken passend auslegen

Impuls SV UG

FU/ Halbkreis

Tafel, Plakate

Das Originaltangram besteht aus einem 4x4 Quadrat (vgl. Köller 2009), sodass das Tangram

in 16 Quadrate und 32 Halbquadrate zerlegt werden kann. Unter dieser Gegebenheit lässt

sich der Flächeninhalt eines jeden Spielsteins ermitteln.

Abb. 7: 4x4 Quadrat mit eingezeichnetem Tangram (nach Römhild)

Mit Blick auf die Seitenverhältnisse aller geometrischen Figuren des Tangrams geht dies mit

seinen sieben Tans auf die Zerlegung eines Quadrats nach dem geometrischen Prinzip des

Halbierens von Seiten und Diagonalen zurück. Jede Form lässt sich problemlos aus

mehreren der kleinen Dreiecke bilden. Wird die Mittelsenkrechte auf der Hypotenuse des

großen Dreiecks gebildet, so entstehen zwei mittelgroße Dreiecke. Das mittelgroße Dreieck

kann auf gleiche Weise in zwei kleine Dreiecke zerlegt werden. Daher kann die Form des

mittelgroßen Dreiecks aus den zwei kongruenten kleinen Dreiecken gelegt werden. Genauso

kann die Form des großen Dreiecks aus dem mittelgroßen und den beiden kleinen

Dreiecken gelegt werden. Die Seitenlängen des Quadrates entsprechen der Kathete des

kleinen Dreiecks, ebenso die kurzen Seitenlängen des Parallelogramms. Die langen Seiten

des Parallelogramms entsprechen der Länge der Hypotenuse des kleinen Dreiecks. Somit

lässt sich mit zwei kleinen Dreiecken ebenso das Parallelogramm sowie das Quadrat legen.

Die Größen des Flächeninhaltes aller geometrischen Figuren können durch das Auslegen

mit dem kleinen Dreieck erschlossen werden. Werden alle sieben Teile des Tangrams

verwendet, kann die Fläche mit 16 kleinen Dreiecken ausgelegt werden.

Ergebnisse der Beobachtungsgruppe der ersten Stunde - Wievielmal so groß?

– mit Tangram Flächen vergleichen

Fünfte Unterrichtsstunde: Vom Tan-Quadrat zum Tangram-Quadrat –

Vergrößern von geometrischen Figuren

Groblernziel:

Die Schüler und Schülerinnen können die Beziehung von Ähnlichkeitsabbildungen mit Hilfe

der Vergrößerungen des Tan-Quadrates kausal begründen.

Feinlernziele:

Die Schüler und Schülerinnen …

FLZ 1: …. ermitteln Ähnlichkeitsabbildungen des großen Tan-Dreiecks, indem sie das

jeweilige Dreieck an einer Kathete spiegeln und somit den Flächeninhalt

verdoppeln.

FLZ 2: … konstruieren Ähnlichkeitsabbildungen des Tan-Quadrates, indem sie das nächst-

größere Quadrat aus vier Tan Quadraten herstellen und somit den Flächeninhalt

vervierfachen oder mit Hilfe der unterschiedlich großen Tan-Dreiecke den

Flächeninhalt des nächst größeren Quadrates verdoppeln.

FLZ 3: … können Kausalzusammenhänge der Ähnlichkeitsabbildungen beschreiben, indem

sie die Veränderung des Flächeninhaltes und der Seitenlänge implizit begründen.

FLZ 4: … wählen für ihre Begründungen eine geeignete Veranschaulichungsform, indem sie

ihren Lösungsweg beim Finden weiterer Vergrößerungen und deren Beziehungen

hinsichtlich des Flächeninhaltes und der Seitenlänge nachvollziehbar darstellen.

Groblernziel: Die Schüler und Schülerinnen können die Beziehung von Ähnlichkeitsabbildungen mit Hilfe der Vergrößerungen des Tan-Quadrates

kausal begründen.

Zeit Didaktische Phase/Inhalt

Lehrer-Schüler-Interaktion U-Meth.

SF/OF Medien/ Material

9.25 Uhr

Einstieg Wieder-holung

LAA präsentiert C-Tangram und fordert S. auf, das C-Tangram ausschließlich in kleine Dreiecke zu zerlegen. S. ermitteln die Anzahl der kleinen Dreiecke über die Bestimmung des Flächeninhaltes und ermitteln die Anzahl von 16 kleinen Dreiecken. LAA deckt D-Tangram auf.

Impuls UG

FU / Kreis

Tafel C- und D- Tangram

9.30 Uhr

Erarbeitung Zielangabe

LAA hebt das kleine Dreieck hervor und fordert S. auf, das nächst größere Dreieck zu finden und dies an einer vorgegebenen Linie anzulegen. S. verdoppeln den Inhalt des kleinen Dreiecks, indem sie das mittlere Dreieck auswählen. Dabei legen sie die Kathete des Dreiecks an die vorgegebene Linie. LAA fordert S. auf, das nächstgrößere Dreieck zu finden. S. verdoppeln den Inhalt des mittleren Dreiecks, indem das große Dreieck an die vorgegebene Linie anlegen. In dieser Stunde geht es um das Vergrößern von geometrischen Figuren. Forscherauftrag: Es ist herauszufinden, wie eine geometrische Figur vergrößert werden kann.

Impuls UG

FU / Kreis

Tafel C- und D- Tangram

9.35 Uhr

Arbeits-phase I

S. vergrößern geometrische Figur durch die jeweilige Verdopplung des Flächeninhaltes unter Zuhilfe-nahme des kleinen Dreiecks. Dabei beachten sie, dass die Anzahl der kleinen Dreiecke begrenzt ist.

Sg

EA Tangram

DIN A4

Filzstifte

9.42 Uhr

Arbeits-phase II

Arbeitsauftrag: Präsentiert und vergleicht eure Ergebnisse! Diskutiert, wie hat sich die geometrische Figur vergrößert! Begründet euer Ergebnis! S. stellen ihre Ergebnisse hinsichtlich der Vergrößerung des Quadrates vor, vergleichen diese miteinander, indem sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede hinsichtlich der Vergrößerung benennen, stellen Vermutungen hinsichtlich der Vergrößerung über den Flächeninhalt auf, dokumentieren ihre Ergebnisse auf einem Plakat, indem sie die Resultate aufkleben und eine Begründung notieren.

Sg GA Tangram

DIN A2

Filzstifte

Legende:

LAA – Lehramtsanwärterin FU – Frontalunterricht U – Meth. – Unterrichtsmethoden SF – Sozialform S. – SchülerInnen EA – Einzelarbeit SV – Schülervortrag AF – Arbeitsform GA – Gruppenarbeit UG – Unterrichtsgespräch Sg – Schülerübung

10 Uhr

Schluss-phase Präsentation der Ergeb-nisse / Reflexion

LAA: „Wie hat sich die geometrische Figur vergrößert?“ S. präsentieren ihre Ergebnisse mit Hilfe der Plakate, indem sie Begründungen zur Vergrößerung der jeweiligen geometrischen Figuren aufstellen: • die Vergrößerung von einer zur anderen geometrischen Figur erfolgt durch die Verdopplung des

Flächeninhaltes • bei jedem zweiten Quadrat verdoppelt sich die Seitenlänge und der Flächeninhalt vervierfacht sich � Wenn sich die Seitenlänge einer ebenen Figur verdoppelt, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt.

Impuls SV UG

FU/ Halbkreis

Tafel Plakate Tangram

Alle im Tangram enthaltenen Dreiecke sind ähnlich zueinander. Denn die Hypotenuse eines

kleinen Dreiecks wird nun zur Kathete des großen Dreiecks. Geht man von der

Einheitskathetenlänge 1 aus, lässt sich mit dem Satz des Pythagoras errechnen, dass die

Hypotenuse eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks √2 beträgt. Das neue Dreieck

hat konsequenterweise nun zwei Katheten der Länge √2 und eine Hypotenuse der Länge 2.

Seiten ( k) Seiten ( m) Seiten ( g)

Seiten ( k) Seiten ( g)

Fläche ( k) Fläche (….m)

Fläche ( k) Fläche (….g)

Die Ähnlichkeit der Dreiecke besteht dann, wenn die entsprechenden Winkel gleich groß

sind. Dabei stehen die Seiten im gleichen Verhältnis.

Wenn sich eine ebene Figur in der Länge verdoppelt, dann vervierfacht sich die Fläche.

Dies ‚vererbt‘ sich auf die Ähnlichkeitsabbildungen des Tan-Quadrats (TQ).

Seite (TQ aus 2 k) Seiten (TQ aus 2 m) Seiten (TQ aus 2 g)

Seiten (TQ aus 2 k) Seiten (TQ aus 2 g)

Fläche (TQ aus 2 k) Fläche (TQ aus 2….m) Fläche (TQ aus 2….g)

Fläche (TQ aus 2 k) Fläche (TQ aus 2….g)

· √2 · √2

· 2

· 4

· 2

· √2 · √2

· 2

· 2 · 2

· 4

Ergebnis der zweiten Stunde

Ergebnis der dritten Stunde

Ergebnis der dritte Stunde

Ergebnis der vierten Stunde

Ergebnis der vierten Stund