Alejandro Cassini

El juego de los principios

Una introducción al método axiomático

Prólogo de Gregorio Klimovsky

editora ES

Lista de símbolos

Lógica Conjuntos

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Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional Cuantificador Cuantlficador Identidad Diferencia Deducibilidad Consecuencia

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Abstracción de conjuntos Pertenencia No pertenencia Conjunto vacío Clase universal Inclusión Unión Intersección Complemento Conjunto potencia Par ordenado

Las definiciones van precedidas por el símbolo 0, y los metateoremas por el sím­bolo •. El final de una demostración se indica con el símbolo •.

Cuando se yuxtaponen varios cuantificadores del mismo tipo escribo de manera abreviada V (xyz...) en vez de \/x Vv Vi..., y 3 <¿yz..) en vez de 3ar 3y 3z...

Otras variantes de la notación y definiciones de los principales conceptos de la lógica y la teoría de conjuntos pueden encontrarse en el breve diccionario de De-tlefsen, McCarty y Bacon (1999). La obra de Mosterín y Torrera' (2002) es más am­plia y también incluye conceptos matemáticos. Todos'los términos matemáticos o ló­gicos empleados en este übro también se hallan definidos, de manera breve pero precisa, en el diccionario de matemáticas de Borowski y Borwein (1991).

Prólogo

Los antiguos filósofos y matemáticos griegos advirtieron que en la mate­mática había algo especial que la diferenciaba de las demás ciencias. En tanto estas últimas se fundamentaban en la experiencia y brindaban un

conocimiento aproximado y cambiante, la matemática ofrecía información nítida, eterna y absoluta. Uno de los primeros resultados de la investigación matemáti­ca (obtenido por Tales de Mileto a comienzos del siglo VI A.C.) establecía que un diámetro divide a un círculo en dos partes iguales. Si el método matemático fuera igual al de las demás ciencias, lo que en realidad se habría establecido es que "tomando un objeto lo más circular posible y un trazo lo más aproximado que se pudiera a un diámetro, el objeto quedaría dividido en dos partes casi iguales". Pero eso no era lo que afirmaba el matemático, que mencionaba círcu­los perfectos, diámetros exactos y partes nítidamente iguales, con la idea de que sobre eso no podría haber cambios y su validez sería eterna.

¿Cuál era la razón por la que el matemático poseía esa perfección? ¿Qué mé­todo permitía obtener conocimiento con tales características óptimas? Las res­puestas fueron muchas y muy diversas, dependiendo de las convicciones filosó­ficas de cada pensador que reflexionara sobre esta cuestión.

Para Aristóteles (siglo IV A.C.) existían dos fuentes para la obtención de es­te tipo de conocimiento. La primera era de naturaleza lógica y relacionada con la idea de deducción. Como se sabe, un razonamiento es un salto que va de ciertas premisas a una conclusión. Si el razonamiento es correcto, su estructu­ra es tal que garantiza la transmisión de la verdad de las premisas a la conclu­sión. Dicho de otro modo, debe quedar garantizado que si todas los premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Adviértase que no se afirma que las premisas sean verdaderas, sino que si lo son, la conclusión debe serlo tam­bién. Un razonamiento correcto suele denominarse una deducción (de las pre­misas a la conclusión). De acuerdo con esto, una manera de obtener una ver­dad matemática es deduciéndola de verdades ya obtenidas. Esta es una metodo­logía típica de la matemática, y es por ello que se dice que ésta es una ciencia deductiva.

Sin embargo, esto no basta para obtener todas las verdades matemáticas. Aristóteles percibió claramente que si dispusiéramos únicamente de la deduc­ción, se produciría un regreso al infinito. Pues tendríamos el problema de saber que las premisas son verdaderas, para lo cual deberíamos haberlas deducido de otras premisas ya conocidadas como verdaderas, y así repetidamente. Para que

EL JUEGO DE LOS ITUNCIPIOS

no se produzca este regreso al infinito, deberían existir premisas cuya verdad se conociera de manera no deductiva. Y esta es la segunda fuente del conoci­miento matemático. Se trataría encontrar afirmaciones que por su simplicidad y obviedad pudieran considerarse evidentes. Estas son las que tomaríamos al co­mienzo. A partir de ellas, por medio de diferentes etapas deductivas, obtendría­mos las restantes verdades matemáticas.

La metodología pertinente, según Aristóteles, consiste, entonces, en partir de los principios (las afirmaciones evidentes) y luego deducir las demás afirmacio­nes, que serían los teoremas. El razonamiento complejo que lleva de los princi­pios a los teoremas se llama una demostración. Aristóteles cree, además, que esta metodología es válida para cualquier ciencia, la que estructurada de este modo se llama "ciencia demostrativa". Actualmente, diríamos que estamos ante un "sistema axiomático clásico" y el método en cuestión sería el "método axio­mático clásico". Cuando se habla de este modo es porque la costumbre nos ha habituado a llamar axiomas a los principios (Aristóteles no usa 'axioma" en es­te sentido general).

El método aristotélico se consideró paradigmático durante más de dos mile­nios. Pero ya durante el siglo XLX se hizo claro que este procedimiento no ga­rantizaba la obtención de conocimiento científico. La dificultad estaba en la con­dición de "evidencia" para aceptar los principios. La evidencia es un fenómeno psicológico que no asegura la verdad y puede con frecuencia llevar al error. Un cambio prudente fue que para los principios se exigiera únicamente que fueran buenas hipótesis. De este modo, al menos para las ciencias fácticas o empíricas, el método se transformó en "hipotético-deductivo", y los "sistemas axiomáticos clásicos" cedieron su lugar a los "sistemas hipotético-deductivos".

Pero si bien esta estrategia fue muy oportuna para la física, la química y, en general, para las ciencias naturales, era claro que no podía utilizarse en el cam­po de la matemática, donde las afirmaciones (principios y teoremas) no pueden ser hipótesis. En la primera mitad del siglo XIX, cuando se descubrieron las geometrías no euclídeas, la aparición de la noción de "sistema axiomático for­mal" proporcionó una nueva visión de la naturaleza del lenguaje matemático y de la metodología correspondiente. Se trata de entidades pertenecientes a la ló­gica aplicada cuyas aplicaciones a las investigaciones contemporáneas son tan importantes que justifican el esfuerzo de examinar con detalle su compleja es­tructura y sus múltiples usos.

No abundan en lengua española los libros dedicados al análisis y discusión del método axiomático formal. Alejandro Cassini ha querido proporcionarnos un libro de texto sistemático que sirva, a la vez, como introducción a la historia de esta metodología. Nos ofrece numerosos ejemplos de sistemas de este tipo, pa-

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PROLOGO

ra que se pueda apreciar su utilidad en la matemática moderna, y, además, la discusión de diversas cuestiones lógicas y epistemológicas planteadas por este método.

Tenemos que agradecer a Cassini haber logrado una exposición de muy alta caüdad y de aíto valor informalivo acerca de ía estructura y de Jas propiedades de los sistemas axiomáticos formales. Su lectura ubicará al lector de un modo claro y completo en el espíritu del estado actual de la ciencia. No cabe duda de que este libro se transformará en poco tiempo en un clásico sobre el tema.

Gregorio Klimovsky Profesor Emérito de la Universidad de Buenos Aires

Introducción

E ste libro es el producto de una necesidad pedagógica. Hay muy pocos libros específicos dedicados al. método axiomático, no sólo en español, sino en cualquier otra lengua, que traten el tema a un nivel relativamen­

te introductorio, pero de manera completa y detallada. Resulta difícil, por consi­guiente, encontrar un texto adecuado para un curso dirigido a estudiantes uni­versitarios que se encuentran en los primeros años de su carrera. He escrito es­te trabajo pensando especialmente en estudiantes de filosofía y de humanidades que asisten a cursos o seminarios de lógica, de epistemología o de filosofía de la ciencia. He presupuesto por parte del potencial lector un conocimiento ele­mental del lenguaje de la lógica de primer orden y de la teoría intuitiva de con­juntos. No obstante, todos los temas tratados se explican desde el principio, por lo que cualquier persona interesada con alguna aptitud para el pensamiento for­mal podrá seguir el núcleo de la exposición sin mayores obstáculos. He mante­nido de manera deliberada algunas repeticiones con el fin de facilitar la asimi­lación de ciertas ideas claves. Esta obra no se propone reemplazar a ningún tra­tado o manual de lógica, sino complementar los libros de texto usuales, que ge­neralmente dedican poco espacio al método axiomático. También puede utilizar­se como texto principal o secundario en un curso de filosofía de la matemática. Espero, además, que resulte interesante para todos aquellos que gustan de la matemática y de las ciencias en general.

En la presentación de los temas he tratado de lograr un balance entre los elementos históricos, la formulación de sistemas formales lógico-matemáticos y las reflexiones filosóficas o epistemológicas sobre el método axiomático. Tam­bién he procurado equilibrar el rigor formal con la exposición informal, pero no me propuse alcanzar el grado de precisión propio del lógico o el matemático profesional. He comentado con cierta extensión las propiedades metateóricas de los sistemas formales axiomatizados, pero no he brindado las correspondientes demostraciones, que en general son extensas o difíciles y caen fuera de los ob­jetivos de un libro introductorio como éste. En cambio, he ofrecido numerosos ejemplos de sistemas axiomáticos, casi siempre, aunque no exclusivamente, de primer orden; entre otros, de lógica preposicional y cuantificacional, teoría de grupos y anillos, álgebra de Boole, aritmética de los números naturales, geome­tría euclídea, teoría de la probabilidad, teoría de conjuntos y muchos otros. También he dado varios ejemplos de demostraciones de teoremas en algunos de estos sistemas. Por último, he traducido numerosos sistemas axiomáticos

EL JUEGO DE LOS PRINCIPIOS

que tienen interés histórico como representativos de las diversas etapas en el desarrollo del método axiomático. Al final de cada capitulo he incluido breves comentarios sobre lecturas ulteriores que remiten a la bibliografía final. En di­cha bibliografía, que ya es bastante extensa, sólo presento obras generales y co­lecciones de artículos, pero, salvo excepciones, no incluyo artículos especializa­dos ni fuentes históricas anteriores al siglo XX. Muchos de los libros allí cita­dos tienen un carácter más avanzado que el de esta obra. En ellos pueden en­contrarse otras referencias bibliográficas más especializadas. He tratado de to­mar en cuenta la bibliografía sobre el tema escrita originalmente en lengua es­pañola. Sólo he incluido referencias a traducciones en los casos en los que las he utilizado. Las citas de las fuentes traducidas en el Capítulo 1 y en el Apén­dice 2 se indican de manera completa en el lugar correspondiente. •

Los contenidos del libro son los siguientes. En el Capítulo 1 hago una bre­ve síntesis de la historia del método axiomático, necesariamente esquemática y simplificada, que se complementa con los textos presentados en el Apéndice 2. En el Capitulo 2 analizo la estructura sintáctica de los sistemas axiomáticos for­males y presento varios ejemplos de sistemas de primer orden y de demostra­ciones de teoremas dentro de estos sistemas. En el Capitulo 3 introduzco los elementos esenciales de la semántica de los sistemas formales y los ejemplifi­co con sistemas axiomáticos de álgebra elemental. El parágrafo final de este ca­pítulo contiene algunas nociones más precisas de teoría de modelos, pero esta exposición dista mucho de ser exhaustiva y no pretende reemplazar a un texto de esta disciplina. En el Capítulo 4 analizo las propiedades metateóricas de los sistemas axiomáticos y enuncio las principales relaciones que existen entre es­tas propiedades. La presentación de este tema es fundamentalmente informal y no desarrolla cada una de las pruebas metateóricas. En el Capítulo 5 presento cuatro teorías matemáticas axiomatizadas y las analizo con mayor detalle que los ejemplos de los capítulos anteriores. Estas son la teoría de conjuntos, la to­pología general, la teoría de la probabilidad y la teoría de la medición. Este ca­pítulo tiene un carácter un poco más técnico que los restantes del libro y, en una primera lectura, puede omitirse sin pérdida de continuidad. Finalmente, en el Capítulo 6 ofrezco algunas reflexiones epistemológicas sobre las ventajas y desventajas del método axiomático en las ciencias formales, sobre sus posibles aplicaciones al campo de las ciencias empíricas y sobre los límites del pensa­miento axiomático en general. En el Apéndice 1 analizo con algún detalle el te­ma de las pruebas de consistencia, aunque no brindo ejemplos completos de es­ta clase de pruebas, que deben buscarse en obras más especializadas. En el Apéndice 2 traduzco las bases axiomáticas de varios sistemas antiguos y moder­nos que tienen interés histórico. En el Apéndice 3 caracterizo el concepto de función, que es el único concepto matemático presupuesto en el texto. En su

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INTRODUCCIÓN

conjunto, estos capítulos y apéndices ofrecen una síntesis histórica y sistemáti­ca sobre el método axiomático. El lector que sólo esté interesado en los aspec­tos históricos puede leer el Capítulo 1 y el Apéndice 2. El que desee entrar di­rectamente en la axiomática formal moderna puede empezar por el Capítulo 2 y continuar hasta el Apéndice 1.

Al escribir este texto he contraído numerosas deudas intelectuales. La ma­yor es con Gregorio Klimovsky, de quien aprendí mucho sobre el método axio­mático, aunque probablemente él no suscribiría todas mis afirmaciones. Estoy especialmente agradecido a Roberto Torretti, que leyó una versión anterior de este libro y me envió por escrito extensos comentarios críticos. Sus observacio­nes me permitieron no sólo corregir varios errores o imprecisiones conceptua­les, sino también mejorar la presentación de diversos temas. Por su parte, el propio Klimovsky leyó la versión final del manuscrito y me ayudó a corregir de­talles técnicos y eliminar imprecisiones en algunas definiciones. Por ello tam­bién le estoy muy agradecido. El profesor Edward Grant, de la Universidad de Indiana, respondió amablemente a mi pedido de informaciones sobre los textos de Jordano de Nemora que traduzco en el Apéndice 2. Newton C. A. Da Costa y Jesús Mosterin colaboraron involuntariamente con esta obra enviándome, a lo largo de los años, muchos de sus trabajos. También me he beneficiado de con­versaciones sostenidas en diferentes momentos de la preparación de este libro con mis colegas de la Universidad de Buenos Aires Javier Legris y Alberto Mo-retti. Varias estadías en la Universidad de Columbia en Nueva York, entre los años 1999 y 2001, me permitieron el acceso a gran parte de la bibliografía aquí empleada y me proporcionaron el tiempo libre y la tranquilidad necesaria para redactar una buena porción de este trabajo. Desde entonces lo he revisado va­rias veces agregándole nuevos ejemplos y referencias actualizadas. Durante to­do ese tiempo tuve el respaldo decisivo del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas de la Argentina, sin el cual difícilmente podría haber con­cluido este libro. A Eleonora Cresto le debo no sólo la discusión de muchos de­talles técnicos, sino también el apoyo necesario para llevar a cabo toda la tarea que demandó esta obra desde sus modestos orígenes como borrador. Finalmen­te, quiero agradecer a Eduardo Barrio que me alentó a publicarlo. Por supues­to, yo soy el único responsable de los errores que haya en el texto. En todo, momento tuve presente que quería escribir el tipo de libro sobre el método axiomático que me hubiera gustado leer y nunca pude encontrar. Espero que los lectores disfruten al leerlo.

Buenos Aires Julio de 200?

Breve historia del método axiomático

1.1 Introducción

La historia del método axiomático se extiende desde la antigua Grecia del siglo IV A.C. hasta nuestros días. El relato de este largo proceso, que presenta rupturas significativas pero también continuidades sorprendentes,

constituye el tema de todo un libro. Aquí sólo ofreceremos una introducción his­tórica con el ñn de señalar las principales etapas que llevaron a la construcción del método axiomático formal tal como se practica en la actualidad. La exposi­ción es deliberadamente retrospectiva y nos servirá para introducir de manera informal los componentes de un sistema axiomático, que luego se estudian con más detalle en los capítulos posteriores.

1.2 La axiomática antigua

Aristóteles

Las ideas esenciales del método axiomático surgieron en el seno de la civi­lización griega, asociadas a los problemas suscitados por el concepto de demos­tración, especialmente en las ciencias matemáticas. Desde los tiempos de los an­tiguos griegos se consideró que el conocimiento demostrado era el saber más seguro. Pero, ¿qué es una demostración? Esta es una pregunta para la cual to­davía no tenemos una respuesta unánime y definitiva. Los griegos tuvieron el mérito de planteársela por primera vez y de sugerir una respuesta que reinó en el pensamiento occidental por más de dos milenios. La demostración de un enunciado o proposición consiste en deducirlo de otros enunciados cuya verdad se conoce previamente. Dado que las inferencias deductivas preservan la verdad de las premisas y la transmiten a la conclusión, las proposiciones deducidas de proposiciones verdaderas, si han sido correctamente deducidas, necesariamente resultarán también verdaderas. Esta idea de demostración tuvo su origen en la matemática griega, especialmente en la práctica de las pruebas geométricas, pero fue Aristóteles, en el siglo IV A.C., el primero en expresarla claramente y pre­sentarla de un modo sistemático. Aristóteles descubrió, además, el hecho funda­mental de que las inferencias deductivas correctas preservan la verdad de las

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

premisas en razón de la mera forma o estructura de la inferencia. Con ello ini­ció el estudio de la lógica formal.

El primer problema que plantea la idea griega de demostración es, sin du­da, el de distinguir entre las inferencias deductivas correctas e incorrectas. Pla­tón y su escuela se ocuparon de analizar diferentes tipos de argumentos y cla­sificarlos según su corrección o incorrección. Pero sólo Aristóteles construyó la primera teoría general de las inferencias formalmente válidas. En su obra Pri­meros analíticos (aproximadamente 340 A.C.) estudió detenidamente una clase de inferencias deductivas, que hoy llamamos silogismos, y consiguió determinar claramente la forma de las inferencias que preservaban la verdad de las premi­sas. Además, mostró cuáles eran las formas inválidas de silogismos mediante el método de los contraejemplos. Este consistía en probar que una forma de silo­gismo era inválida construyendo un ejemplo de esa forma que tuviera premisas verdaderas y conclusión falsa. De esta manera, se descartan una a una las for­mas de silogismo que no garantizan la transmisión de la vwdad de las premi­sas a la conclusión. Las formas aceptadas son aquellas que no tienen contrae­jemplos, es decir, aquellas para las cuales no es posible construir un razona­miento que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. ¿Pero cómo podemos saber que esas reglas de inferencia realmente no tienen contraejemplos o no los tendrán en el futuro? En sentido estricto, no lo sabemos y Aristóteles nada di­ce al respecto. Este es también un problema pendiente de solución en nuestros propios días.

La segunda dificultad de la idea griega de demostración aparece cuando se pretende que todo conocimiento sea demostrado. En su obra Segundos analíti­cos (aproximadamente 330 A.C.) Aristóteles se ocupó con todo detalle de este problema, que perturbaba a sus antecesores y contemporáneos. Como vimos, la demostración de un enunciado consiste en deducirlo de otros enunciados pre­viamente conocidos como verdaderos, que operan como premisas de la demos­tración. Sin embargo, también se puede pedir una demostración de esas premi­sas, para lo cual será necesario deducirlas de otros enunciados. Es evidente, pensaba Aristóteles, que este procedimiento no puede seguir indefinidamente, pues nos conduce a una regresión al infinito en las demostraciones, formándo­se una cadena deductiva que no tiene comienzo. Esta situación le pareció ina­ceptable porque dejaba a toda la secuencia de demostraciones sin un fundamen­to último y seguro. Pero hay otras posibilidades. Una de ellas consiste en de­mostrar todos los enunciados deduciéndolos de sí mismos. Aristóteles la llama demostración recíproca y la descarta rápidamente porque la considera trivial. Por cierto, no es objetable desde un punto de vista puramente lógico (por el contrario, actualmente consideramos que el hecho de que todo enunciado se deduce de sí mismo es una propiedad esencia! de la relación de consecuencia lógica). Pero sí es epistemológicamente trivial, porque una demostración exige

I-A AXIOMÁTICA ANTIGUA: ARISTÓTELES

partir de premisas conocidas como verdaderas, de modo que para probar de­ductivamente la verdad de cada enunciado ya deberíamos conocerla de antema­no. La tercera posibilidad consiste en aceptar demostraciones circulares (pero no recíprocas), donde las premisas de ciertas demostraciones aparecen como conclusiones de otras y viceversa. Se forman así cadenas deductivas finitas pe­ro cerradas. Aristóteles considera que esto implica un círculo vicioso inadmisi­ble, que nuevamente dejaría sin fundamento, y por tanto sin una razón, a toda la secuencia de demostraciones.

La última posibilidad que Aristóteles analiza es la que dará origen a la idea de pensamiento axiomático. Aristóteles pensó que era posible evitar el escepti­cismo respecto de la demostración aceptando que no todo conocimiento es de­mostrativo. Toda secuencia de demostraciones debe ser finita y terminar en al­gún momento en un conjunto de enunciados fundamentales que no se conocen por medio de demostración. Aristóteles los llamó principios, o mejor primeros principios, y los consideró no meramente como enunciados no demostrados, si­no en si mismos indemostrables. Los concibió como verdades necesarias que no pueden ser demostradas. Nunca afirmó explícitamente que fueran verdades evidentes, pero ya los comentadores griegos tardíos lo interpretaron de esa ma­nera, y la idea de que los principios son evidentes se convirtió en un lugar co­mún del aristotelismo medieval y así pasó a la Modernidad. Aristóteles no re­solvió claramente el problema de cómo se conocen los principios indemostra­bles, pero dejó indicaciones muy escuetas de que se trata de un proceso en el que intervienen tanto la inducción como la intuición intelectual. Los principios son verdades que naturalmente se conocen por si mismas y, como tales, son el objeto de una forma de conocimiento superior a la ciencia, que Aristóteles lla­mó nous o intuición intelectual. A partir de estas ideas se forjó la concepción tradicional según la cual los principios de un sistema axiomático son verdades autoevidentes.

Se puede considerar a Aristóteles como el padre fundador del método axio­mático porque fue él quien presentó por primera vez la idea de sistematización deductiva de una teoría tomando como punto de partida un conjunto reducido de principios, de los cuales se infieren los restantes enunciados de la teoría. Los Segundos analíticos contienen un análisis verdaderamente detallado, aunque no siempre claro, del concepto aristotélico de demostración científica y de las con­diciones requeridas para la organización deductiva de una teoría. Aristóteles no llamó axiomas a todos los principios de una teoría, sino únicamente a aquellos que son comunes a todas las ciencias, como los principios lógicos de no contra­dicción y de tercero excluido, o el principio que afirma que "si de iguales se sustraen iguales, los restos son iguales" (Véase el Apéndice 2.1). A los princi­pios específicos de cada ciencia particular los denominó principios propios, y los concibió como definiciones reales o esenciales acerca de las entidades que

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BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

cada ciencia toma como objeto de estudio. Cada ciencia particular se refiere, en efecto, a un determinado género de entidades reales. Actualmente no hacemos esta distinción y llamamos genéricamente axiomas a todos los enunciados que se aceptan sin demostración y constituyen el punto de partida de las demostra­ciones en una teoría determinada.

Una teoría científica, según Aristóteles, es una estructura ordenada deducti­vamente formada por los principios o verdades indemostrables y por todos los enunciados deducidos válidamente de tales principios. Esto último supone que se han codificado las reglas de inferencia que permiten realizar deducciones vá­lidas a partir de los principios. Aristóteles creó para ello su teoría del silogismo, que constituye un fragmento pequeño, pero perfectamente válido, de la parte de la lógica formal básica que hoy denominamos lógica cuantificacional. Conse­cuentemente, exigió que todas las demostraciones científicas tuvieran la forma lógica de un silogismo, más precisamente de uno de la primera figura, el llama­do Barbara, al que consideraba el silogismo más perfecto. Desde el punto de vista actual, esta idea constituye una seria limitación, ya que la teoría silogísti­ca resulta insuficiente como herramienta lógica para construir un sistema axio­mático. Dejando de lado este defecto, podemos-advertir que el modelo ideal de ciencia que Aristóteles propone contiene tres elementos esenciales del método axiomático, que hoy denominamos, respectivamente, axiomas, teoremas, y reglas de transformación. Los axiomas corresponden a los primeros principios aristoté­licos, que él concibió como enunciados necesariamente verdaderos y en sí mis­mos indemostrables. Los teoremas, por su parte, corresponden a los enuncia­dos demostrados mediante deducciones que toman a los principios como premi­sas. Finalmente, la teoría del silogismo proporciona las reglas de transforma­ción, es decir, las reglas de inferencia que permiten deducir los teoremas de los axiomas.

Como veremos más adelante, hay otros elementos esenciales de un sistema axiomático que no aparecen en el modelo aristotélico de ciencia, por lo que no puede decirse que Aristóteles haya presentado de modo completo una teoría del método axiomático. No obstante, Aristóteles también tuvo la intuición, aunque no la formuló precisamente, de otra idea fundamental del pensamiento axiomá­tico. Este es el concepto de clausura deductiva de una teoría, según el cual, en una teoría axiomática todos los enunciados deducibles de los axiomas pertene­cen a la teoría. Adviértase, sin embargo, que si definimos a una teoría axiomá­tica como el conjunto de todos los enunciados deducibles de los axiomas, esto excluye a los propios axiomas de la teoría dentro del modelo aristotélico. La ra­zón de ello se encuentra en la teoría del silogismo, ya que silogísticamente no es posible deducir un enunciado de sí mismo (en un silogismo ningún enuncia­do puede aparecer a la vez como premisa y como conclusión). Por consiguien­te, ningún axioma se deduce de sí mismo. Esta es una de las limitaciones del

LA AXIOMÁTICA ANTIGUA: EUCUDES

silogismo como herramienta lógica para un sistema deductivo. Para ser más precisos, debemos caracterizar a una ciencia aristotélica como la unión de dos conjuntos de enunciados: el de los principios y el de todas las consecuencias ló­gicas que mediante un silogismo en Barbara se obtienen de los principios.

Euclides

Aristóteles representa el comienzo del pensamiento axiomático porque pro­porciona una teoría de la ciencia que contiene algunos de los elementos esen­ciales del método axiomático. Con todo, él mismo no construyó ningún sistema axiomático, ni aplicó consecuentemente su teoría de la ciencia en sus investiga­ciones científicas concretas, por ejemplo, en sus lecciones de física o en sus tra­tados biológicos. La primera realización del método axiomático corresponde a Euclides, quien en su obra Elementos (aproximadamente 300 A.C.) axiomatizó la geometría de manera más o menos completa y acabada. Esta fue la primera teo­ría axiomatizada y durante muchos siglos el único ejemplo de una axiomatiza-ción verdaderamente satisfactoria. La relación entre los modelos deductivos de Aristóteles y Euclides ha sido muy discutida. Existen al respecto dos hipótesis interpretativas tradicionales que ya no tienen consenso entre los especialistas. La primera es la que afirma que la obra de Euclides es una aplicación de la teo­ría aristotélica de la ciencia. La segunda sostiene que, a la inversa, la teoría aris­totélica está inspirada por la práctica de los geómetras, de la cual la obra de Eu­clides sería una síntesis. Ambas hipótesis presuponen que las teorías del méto­do axiomático de Aristóteles y Euclides son esencialmente semejantes, pero los estudiosos del tema han revelado diferencias importantes, que aquí sólo pode­mos indicar someramente. En suma, ninguna de estas dos hipótesis resulta ac­tualmente sostenible y sólo pueden aceptarse ambas como parcialmente verda­deras. Es muy probable que no exista una relación simple y directa entre la teo­ría aristotélica y la realización euclídea, pero carecemos de las fuentes históri­cas necesarias como para precisarla.

En la obra de Euclides encontramos otro componente esencial de un siste­ma axiomático, las definiciones nominales de los términos técnicos del sistema, que no estaba explícito en el modelo aristotélico. Euclides comienza sus Ele~ mentos introduciendo numerosas definiciones de diversos términos técnicos de la geometría, tales como los de "punto", "superficie", "recta", "figura", "diáme­tro" y muchos otros. Reconoce de esta manera que toda teoría científica, y en particular un sistema axiomático, tiene un vocabulario especifico que debe ser cuidadosamente explicitado. Nuevamente se presenta aquí una dificultad, ya que si intentamos definir todos los términos del lenguaje de una teoría nos veríamos envueltos, como en el caso de la demostración, en un círculo lógico, o bien en la necesidad de introducir cada vez más términos llegando así a una regresión

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

al infinito en las definiciones. La solución de este problema consiste en distin­guir dos clases de términos específicos del vocabulario de una teoría axiomáti­ca: los términos primitivos o no definidos, que se aceptan sin definición ni expli­cación aclaratoria alguna, y los términos definidos, que se definen explícitamen­te por medio de los términos primitivos (empleando además ciertos signos lógi­cos y de puntuación). Es fácil advertir la analogía que existe entre axiomas y teoremas por un lado, y términos primitivos y definidos por el otro. Aristóteles y Euclides tuvieron clara conciencia de la primera de estas distinciones entre dos tipos de enunciados de la teoría, pero respecto de los términos se expresa­ron de manera más confusa. En particular, no reconocieron la necesidad de brindar una lista exhaustiva de términos primitivos de cada teoría, algo que es una exigencia indispensable del método axiomático. En los Elementos, Euclides ofrece 132 definiciones de términos geométricos, pero no proporciona una enu­meración siquiera parcial de los términos primitivos. Probablemente tomara co­mo no definidos a ciertos términos de su propio lenguaje natural, el griego, cu­yo significado considerara suficientemente claro para todo lector de su obra. Ejemplos de sus definiciones son las siguientes: 1. "Punto es lo que no tiene partes"; 2. "Línea es una longitud sin anchura"; y 5. "Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura" (véase el Apéndice 2.2 para una lista completa).

Para construir el lenguaje de un sistema axiomático formalizado no basta con especificar los términos que componen el vocabulario, sino que es necesa­rio precisar cómo se han de formar los enunciados que se considerarán bien construidos en el sistema. Este papel lo desempeñan las reglas de formación, que nos indican la manera correcta de construir enunciados con los términos del vocabulario del sistema. Ni Aristóteles ni Euclides incluyeron en sus obras este componente de los sistemas axiomáticos. La razón de esta ausencia es fá­cilmente explicable. Las teorías axiomáticas de los griegos no eran sistemas for­malizados, es decir, no se expresaban en un lenguaje artificial desprovisto de significado y estrictamente regimentado. Empleaban, en cambio, el lenguaje na­tural que hablaban sus autores, complementado con algunos términos técnicos definidos. El papel de las reglas de formación lo desempeñaban, de manera im­plícita, las reglas gramaticales de la lengua griega, más precisamente, las reglas sintácticas que indicaban cómo formar oraciones combinando las palabras co­rrectamente. Las reglas de formación de un sistema axiomático formalizado son, en efecto, semejantes a las reglas sintácticas de una lengua natural. La formali-zación no es un requisito esencial de un sistema axiomático en general. Aunque a veces sea conveniente, no es siempre necesario formular el sistema en un len­guaje artificial regimentado. La geometría de Euclides es a la vez un ejemplo de un sistema axiomático no formalizado y no abstracto o formal, sino concreto o material. Más adelante, cuando estudiemos el surgimiento de la axiomática for­mal contemporánea, aclararemos estas distinciones.

LA AXIOMÁTICA ANTIGUA: EUCLIDES

Euclides, a diferencia de Aristóteles, no hizo explícitas las reglas de transfor­mación o de inferencia que podían emplearse en su sistema para realizar las de­mostraciones geométricas. No utilizó el silogismo aristotélico, pero sus demos­traciones muestran una variedad muy amplia de procedimientos inferenciales que presuponen reglas de tipo preposicional. El método de prueba más famoso de Euclides, quien seguramente lo tomó de la práctica de los geómetras de va­rias generaciones anteriores, es la demostración por el absurdo, que consiste en partir de la negación del enunciado que se quiere probar, deducir de allí una contradicción, y concluir, entonces, con la afirmación del enunciado original­mente negado. La regla de reducción al absurdo es la que permite esta clase de razonamiento: (-• % -» (-41 & -. y) / x> donde % V V s o n dos proposiciones cualesquiera). Aquí encontramos una diferencia importante con las reglas de in­ferencia aceptadas por Aristóteles, quien sostuvo enfáticamente que toda demos­tración debía ser afirmativa y directa, y rechazó las pruebas indirectas y negati­vas como las que emplean la reducción al absurdo.

Euclides incluyó en su sistema tres clases de principios: las definiciones, los postulados y los axiomas. La distinción entre postulado y axioma se correspon­de, de manera bastante imperfecta, con la distinción aristotélica entre principios propios y principios comunes o axiomas. El criterio de la distinción euclídea es poco claro y ha sido muy discutido. Los postulados son enunciados que se re­fieren a la construcción de rectas y círculos mediante regla y compás con el ob­jetivo aparente de garantizar la existencia de los correspondientes objetos geo­métricos. Euclides enuncia cinco postulados, de los cuales citaremos el prime­ro: 'Trazar una linea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto", y el célebre quinto, o postulado de las paralelas: "Si una recta que cae sobre otras dos rectas hace a los ángulos interiores de un mismo lado menores que dos rectos, entonces, si las dos rectas se prolongan indefinidamente, se encuentran de! lado en el que los ángulos son menores que dos rectos". El cuarto postula­do es diferente de los restantes porque no se refiere a construcciones (véase el Apéndice 2.2). Los axiomas, por su parte, son enunciados muy generales aplica­bles a diversas disciplinas matemáticas, no sólo a la geometría. Euclides no lis­ta todos sus axiomas al comienzo de su obra, por lo que el número total de ellos ha sido discutido. Hoy se acepta generalmente que los axiomas son seis, de los cuales citaremos los cinco primeros, que aparecen en la lista con que empiezan los Elementos: 1. "Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre si"; 2. "Si ¡guales se añaden a iguales, los totales son iguales"; 3. "Si iguales se sustraen de iguales, los restos son iguales"; 4. "Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí"; 5. "El todo es mayor que la parte".

Los Elementos contienen 465 demostraciones. Euclides divide a las proposicio­nes demostradas en dos clases: problemas y teoremas. Ambos se demuestran a partir de los primeros principios, pero los problemas se refieren a la construcción

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BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

de .figuras geométricas, mientras que los teoremas establecen las propiedades esenciales de dichas figuras. Por esta razón, los problemas se deducen funda­mentalmente de los postulados, mientras que los teoremas se deducen de las definiciones y los axiomas. En la axiomática contemporánea, no se ha manteni­do la distinción euclidea entre postulados y axiomas, ni entre problemas y teo­remas. Actualmente llamamos simplemente axiomas a los enunciados que se aceptan sin demostración y teoremas a los enunciados demostrados tomando a los axiomas como premisas.

Euclides pensó, al igual que Aristóteles, que los axiomas y postulados eran enunciados verdaderos que no necesitaban demostración. La tradición matemática griega también atribuyó el carácter de evidentes a los principios de la geometría eucb'dea, e inició un largo debate acerca del quinto postulado, cuestionado preci­samente por su falta de evidencia. Los restantes principios euclídeos se conside­raron como enunciados necesarios que proporcionaban verdades evidentes acerca del espacio físico real. Los teoremas, por su parte, representaban una descripción de las propiedades necesarias del espacio físico. La geometría euclidea fue duran­te más de dos milenios un ejemplo de conocimiento necesario acerca del mundo real. La creencia de que tal conocimiento era posible se apoyó en la obra de Eu­clides e influyó decisivamente en los filósofos racionalistas de la Modernidad.

El- tratado de Euclides fue de hecho la más importante realización concreta del método axiomático legada por la Antigüedad. A la vez, fue la teoría científi­ca más exacta y rigurosa hasta el siglo XLX, constituyendo un canon pedagógi­co empleado hasta principios del siglo XX. La axiomática euclidea tiene, sin em­bargo, algunos defectos importantes cuando se la analiza desde el punto de vis­ta actual. En muchos aspectos es incompleta y sus demostraciones no son sufi­cientemente rigurosas. Euclides no ofrece términos primitivos en sentido estric­to, sino que intenta definir todos los términos geométricos fundamentales, como "punto", "recta" y "plano". Los comentadores de los Elementos han advertido que no se las puede tomar como definiciones precisas, porque como tales se­rian defectuosas, sino como elucidaciones parciales del significado de estos tér­minos. Por otra parte, hay definiciones explícitas que se enuncian a¡ comienzo de la obra, pero luego no se usan en ninguna demostración. A la inversa, hay demostraciones que emplean como premisas ciertos enunciados no demostrados que no se encuentran en la lista de principios, lo cual constituye un defecto más grave. Finalmente, no hay una caracterización de qué es una demostración ni de cómo reconocerla. Si se suma a ello el hecho de que Euclides no hace explícitas las reglas de inferencia de su sistema, se obtiene la consecuencia de que las pruebas euclideas resultan casi siempre bastante informales, mucho más que lo admisible en la matemática actual.

Cualesquiera sean los defectos de la axiomática antigua, no cabe duda de que Aristóteles y Euclides deben considerarse como los fundadores del método

LA AXIOMÁTICA ANTIGUA: DE ARISTARCO A PROCLO

axiomático. Ambos reconocieron la característica esencial de este método que consiste en postular ciertos enunciados que se aceptan sin demostración y de­ducir de ellos los restantes enunciados que componen una teoría. Será necesa­rio que pasen muchos siglos para que las realizaciones de los griegos sean per­feccionadas y extendidas a otros dominios.

De Aristarco a Proclo

El método axiomático tuvo su mayor logro en el campo de la geometría griega, y la identificación entre ambos llegó hasta tal punto que desde la época helenística se llamó estilo o modo geométrico a la presentación axiomática de cualquier teoría. El método axiomático surgió entre los griegos como una forma de obtener certeza en el conocimiento. Esencialmente fue el resultado de un es­fuerzo por encontrar una forma de argumentación rigurosa que pudiera oponer­se al discurso meramente persuasivo de la retórica y de la sofística. Visto de es­ta manera, el método axiomático resulta característico del conocimiento científi­co en general y lo distingue de otras formas de conocimiento. Que los griegos lo entendieron de esta manera lo prueba el hecho de que intentaron extender la aplicación de este método más allá del campo de la geometría. Ya Aristóte­les, por cierto, lo había considerado como el método apropiado para toda cien­cia empírica, aunque de hecho no construyera ningún sistema axiomático con­creto en ninguna ciencia en particular. Euclides, en cambio, es autor de un bre­ve tratado de óptica escrito al modo axiomático. La Óptica de Euclides emplea 7 postulados y prueba 58 proposiciones. Los postulados aparecen bajo el título de "definiciones", pero es evidente que no son definiciones. No aparecen lista­dos axiomas ni auténticas definiciones. Se trata, en suma, de una obra mucho menos lograda que los Elementos, pero notable por el hecho de aplicar el mé­todo axiomáticu a cuestiones de óptica que exceden el campo de la pura geo­metría.

Aristarco de Sanios nos es conocido principalmente por haber concebido un sistema planetario heliocéntrico precursor del de Copérnico. Sin embargo, la única obra de Aristarco que se ha conservado, el breve tratado Sobre los tama­ños y las distancias del Sol y la Luna (escrito probablemente en el primer tercio del siglo III A.C.), consiste en una aplicación del método axiomático a la astro­nomía. Ello no es inesperado dado que en la antigüedad la astronomía se con­cebía como una parte de la matemática. Aristarco se propuso demostrar riguro­samente algunas proposiciones acerca de las distancias relativas del Sol, la Lu­na y la Tierra, tales como, por ejemplo, la siguiente: "La distancia del Sol a la Tierra es mayor que 18 veces, pero menor que 20 veces, la distancia de la Lu­na <a la Tierra>". Para ello apeló al estilo geométrico enunciando 6 axiomas, a los que llama hipótesis, y demostrando 18 teoremas a partir de tales axiomas

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

(véase el Apéndice 2.3). Los resultados de Aristarco son groseramente erróneos desde nuestra perspectiva actual (por ejemplo, la distancia entre la Tierra y el Sol es, según nuestras mediciones, aproximadamente 390 veces mayor que la distancia entre la Tierra y la Luna). Sin embargo, todavía nos resulta sorpren­dente la audacia de su intención de emplear el método axiomático en un domi­nio en el que todavía hoy no hemos conseguido aplicarlo.

Después de Euclides los mayores aportes al método axiomático los realizó Arquímedes. Arquímedes nació y murió en Siracusa en el siglo II A.C., pero es­tudió matemáticas en Alejandría, donde evidentemente se formó en la tradición euclídea. En la Antigüedad, y hasta los tiempos modernos, las ciencias matemá­ticas incluían a la física y a la astronomía, y estos temas se estudiaban conjun­tamente. Exceptuando la astronomía, Arquímedes realizó contribuciones impor­tantes en todas las ramas de la matemática de su tiempo. En una serie de tra­tados, como Sobre la es/era y el cilindro, Sobre la medida del circulo, o Sobre co­noides y esferoides, demostró una amplia variedad de teoremas acerca de ¡as su­perficies y volúmenes de figuras y cuerpos limitados por líneas y superficies curvas. Entre otros, el teorema según el cual "La superficie de una esfera es igual a cuatro veces la de! círculo máximo en ella" (que es equivalente a la for­mulación actual como S - TI r2).

Hasta donde sabemos, Arquímedes fue el primero en aplicar el método axio­mático, incluyendo los métodos geométricos de demostración, a la estática y a la hidrostática. Con todo, es posible que haya tenido anónimos predecesores en el estudio de la mecánica, cuyas obras no nos han llegado. las obras de Arquí­medes Sobre el equilibrio de los planos y Sobre los cuerpos flotantes intentan una presentación axiomática de estas partes de la mecánica general (véase el Apén­dice 2.4). El rigor alcanzado en las demostraciones es todavía imperfecto y los axiomas enunciados no resultan suficientes para probar todos los pretendidos teoremas. No obstante, el simple hecho de aplicar la demostración geométrica a problemas de mecánica hace de Arquímedes un precursor de la física mate­mática moderna.

La extensión del método axiomático fuera del dominio de las ciencias mate­máticas fue siempre un ideal regulativo del pensamiento griego. En el siglo II D.C., el médico Galeno, que también fue un lógico consumado, recomendó rei­teradamente la aplicación del método axiomático (al que llama simplemente "pruebas de estilo geométrico") a la anatomía y a la medicina. En un opúsculo autobiográfico llamado Mis propios libros, expresó esta idea de una manera que revela cuál era en ese momento el campo de aplicación usual de la axiomática: "He observado la verdad indiscutible que se manifiesta (y no sólo a mí mismo) en las predicciones de los eclipses, en la construcción de relojes de agua y en toda clase de cálculos realizados en el contexto de la arquitectura, y he deci­dido que este tipo geométrico de prueba es el mejor que ha de emplearse".

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LA AXIOMÁTICA MODERNA: APORTES MEDIEVALES

Galeno se explayó largamente en su obra Las afecciones y errores del alma acer­ca de cómo aplicar el método axiomático a cuestiones empíricas, pero, hasta donde sabemos, nadie consiguió axiomatizar una teoría médica.

El prestigio del método axiomático y su carácter de modelo para la exposi­ción rigurosa de todo conocimiento científico se mantuvieron hasta el final de la Antigüedad. Todavía Proclo, en el siglo V D.C., insiste en su comentario al Ti-meo de Platón sobre la necesidad de emplear pruebas de estilo geométrico en el dominio de la cosmología, aunque, nuevamente, no sabemos que se haya axiomatizado nunca una teoría cosmológica.

1.3 La axiomática moderna

Aportes medievales

Durante la Edad Media, a partir del siglo XII, se inicia el proceso de traduc­ción y asimilación en Occidente de las grandes obras de la ciencia griega. Pe­ro el papel desempeñado por los medievales no se limita al comentario de los textos de Aristóteles, Euclides y Arquímedes, sino que incluye desarrollos origi­nales, entre ellos, nuevas aplicaciones del método axiomático a la aritmética y la mecánica.

Las obras de Aristóteles, Euclides y Arquímedes fueron bien conocidas y co­mentadas por los árabes, que aportaron, entre otras cosas, nuevos intentos de demostración del quinto postulado euclídeo. En Occidente su difusión fue más tardía y dependió de un lento proceso de traducción al latín, que se inicia en el siglo XII con las obras de Aristóteles. No podemos dar aquí un relato detallado del complejo itinerario de los textos griegos en el mundo medieval. Señalemos simplemente algunos hitos en la transmisión de los tratados lógicos de Aristó­teles, los Elementos de Euclides y las obras de Arquímedes.

La primera traducción latina completa de las obras lógicas de Aristóteles la realizó Boecio a principios del siglo VI D.C., pero no se conservó en el Occiden­te medieval. A comienzos del siglo XII comienzan a traducirse nuevamente. En­tre 1130 y 1140 un grupo anónimo de traductores italianos vierte del-griego los Segundos analíticos; y alrededor de 1150 se traducen los Primeros analíticos. Unos años después, Gerardo de Cremona traduce del árabe numerosas obras, entre ellas los Segundos analíticos. Pero la traducción de mayor importancia es la Guillermo de Moerbecke, quien, desde la década de 1240 aproximadamente, virtió del griego casi toda la obra de Aristóteles, incluyendo todos los tratados lógicos. Esta traducción fue la que utilizaron Tomás de Aquino y muchos otros escolásticos como base para sus detallados comentarios. Hacia fines del siglo XIII todas las obras de Aristóteles estaban disponibles en latín, junto con nume­rosas copias, glosas y comentarios. Cuando se publicó en Venecia la primera

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BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

edición impresa del texto griego, la célebre edición Aldina de 1495-1498, el pen­samiento de Aristóteles había sido asimilado desde mucho tiempo atrás, y el aristotelismo medieval ya estaba en decadencia.

La primera traducción latina de los Elementos se atribuye a Boecio. Era una traducción parcial realizada probablemente a comienzos del siglo VI D.C., pero no se ha conservado. Las primeras traducciones medievales de los Elementos proceden del árabe y no son del todo precisas. Tales son la de Adelardo de Bath en 1142, que tuvo escasa difusión, la más conocida de Gerardo de Cremo-na hacia 1160 y la más cuidada de Campano de Novara, de alrededor de 1290. Esta última tuvo buena difusión y fue también la primera versión impresa en 1482. En 1505 B. Zamberti publicó una nueva traducción latina hecha sobre el texto griego. La primera edición impresa del texto griego la publicó S. Gryna-ceus en Basilea en el año 1533. En 1572 F. Commandino realizó la mejor tra­ducción directa del griego de los Elementos. En 1574 el matemático alemán C. Claváis publicó una nueva y autorizada traducción (más bien una paráfrasis del texto) que resultó sumamente exitosa y contribuyó a difundir los estudios de la geometría axiomática. Hacia esa época, los Elementos ya formaban parte de la cultura europea.

El texto griego de las obras de Arquímedes se conservó en la cultura bizan­tina, .mientras que parte de su obra se tradujo al árabe. Las primeras traduccio­nes latinas del siglo XII también proceden del árabe. La primera se atribuye a Platón de Tívoli y se considera poco acertada. Mucho más importante fue la tra­ducción de Gerardo de Cremona, después de 1150, de algunas obras matemáti­cas, que tuvo amplia difusión. En 1269 Guillermo de Moerbecke, tal vez el ma­yor traductor de la Edad Media, tradujo del griego, utilizando los manuscritos bizantinos, todas las obras conservadas de Arquímedes. La traducción latina de Gerardo alcanzó una sorprendente difusión, pese a la crónica escasez de manus­critos. La primera versión impresa de esta traducción apareció recién en 1503, y luego siguieron otras ediciones, entre ellas, la de N. Tartaglia en 1543.

El aporte medieval al método axiomático no se reduce, sin embargo, al me­ro comentario de los clásicos de la ciencia griega. Podemos mencionar al me­nos tres desarrollos originales de los matemáticos de la Edad Media.

L. Fibonacci (o Leonardo de Pisa) es bien conocido por sus contribuciones a la teoría de los números, entre ellas, el descubrimiento de la famosa secuen­cia de Fibonacci. En 1220 Leonardo escribió un tratado axiomático titulado La práctica de la geometría, en el que expone muchos de los resultados ya alcan­zados por Euclides. Ofrece, no obstante, algunas demostraciones novedosas de teoremas ya conocidos. Además, extiende la clasificación euclídea de los núme­ros irracionales, mostrando que era incompleta. También prueba resultados de Arquímedes, como la determinación del número n. En todas sus demostracio­nes exhibe un notable rigor deductivo y elegancia.

LA AXIOMÁTICA MODERNA; LA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA

Hacia mediados del siglo XIII, Jordano de Nemora (Jordanus Nemorarius), de quien tenemos pocos datos biográficos, realiza el mayor aporte medieval a la axiomática. En su obra Sobre la teoría del peso utiliza 7 postulados para demos­trar 45 teoremas (véase el Apéndice 2.5). Por ejemplo, su primer teorema afir­ma que "Entre cuerpos pesados cualesquiera, las fuerzas son proporcionales a los pesos"; mientras que el quinto sostiene que "Si los brazos de una balanza son desiguales, entonces, si pesos iguales se colocan en sus extremos, la balan­za descenderá del lado del brazo más largo". Esta obra representa un induda­ble avance sobre la estática de Arquimedes, y entre otras cosas, introduce nue­vos dispositivos experimentales para el estudio del equilibrio de los cuerpos. Pe­ro su obra más importante es la Aritmética, escrita alrededor de 1250. Es esta la primera obra en formato axiomático dedicada integramente a la aritmética, y sin duda, la obra cumbre de la matemática medieval (véase el Apéndice 2.6). El modelo de sus demostraciones, que frecuentemente son de tipo geométrico, lo proporcionan los libros aritméticos de los Elementos. Jordano utiliza 14 definicio­nes, 3 postulados y 8 axiomas, y mediante ellos demuestra más de 400 teore­mas. Ejemplo de las proposiciones demostradas son el sexto teorema, que dice; "Si la unidad se multiplica por cualquier número, o el mismo número se multi­plica por la unidad, se produce a si mismo" (es decir, a x 1 - l x a - a ) ; y e l octavo teorema, que dice: "Si se hace una multiplicación alternada de dos núme­ros, el mismo número resulta en cada caso" (o sea, axb-bxa-c). Este tra­tado axiomático fue sumamente exitoso y se lo adoptó durante mucho tiempo como texto para la enseñanza de la aritmética. Su lenguaje, sin embargo, es bastante oscuro y no se ha conservado en la matemática moderna.

Por último, mencionemos la obra de T. Bradwardine, que utilizó el método axiomático no sólo en la matemática y la física, sino también en la teología. En su Tratado sobre las proporciones de las velocidades en los movimientos, publica­do en 1328, el método axiomático se aplica por primera vez a la cinemática, el estudio de los cuerpos en movimiento, cosa que, hasta donde sabemos, no ha­bía sido realizada en la antigüedad. Este tratado tendrá profunda influencia so­bre los mecánicos italianos, influencia que puede detectarse hasta en Galileo. En el Tratado sobre el continuo, escrito hacia 1335, Bradwardine utilizó 24 definicio­nes y 10 postulados para demostrar 151 teoremas acerca de las magnitudes con­tinuas en matemática y física. Y en su obra teológica, Sobre la causa de dios, ha­cia 1340, intentó incluso dar un formato axiomático a las pruebas de la existen­cia y propiedades de Dios, camino que después seguirían Descartes y Spinoza.

La revolución científica

Durante la llamada "revolución científica" el método axiomático se extendió de manera exitosa mucho más allá de las ciencias matemáticas, concretamente,

BREVE HISTORIA DEL MCTODO AXIOMÁTICO

a la física en su conjunto y a la filosofía. En todos los casos, como hemos vis­to, había importantes antecedentes antiguos y medievales, pero en esta época el formato axiomático pasó a ser un ideal para todas las ciencias. Incluso se con­cibió por primera vez el sueño de un único sistema axiomático unificado que abarcara todo el conocimiento, una idea que nunca se había presentado en el pensamiento griego.

La aplicación del método axiomático a las teorías físicas resurge con los me­cánicos italianos del siglo XVI, que estudiaron y comentaron las obras de Arqui-medes y de Jordano de Memora. De esta manera se establece una tradición más o menos discontinua, pero nunca extinta, que conecta a autores antiguos medievales y modernos. A los problemas tradicionales de la estática, los mecá­nicos italianos agregaron otros derivados de la ingeniería y las artes militares. N. Tartaglia presentó en su Ciencia nueva, publicada en Venecia en 1537, un tratamiento axiomático de la mecánica que empleaba una amplia variedad de de­finiciones, postulados y axiomas. Por ejemplo, sólo en el primer libro de su obra, Tartaglia usó 15 definiciones, 5 postulados y 4 axiomas para demostrar so­lamente 6 proposiciones o teoremas. Sus demostraciones no sólo apelan a esta base axiomática, sino que frecuentemente recurren a resultados ya establecidos por Euclides. Consecuentemente, el sistema de Tartaglia no resulta demasiado económico.

Guidobaldo dal Monte en su Libro de las mecánicas, publicado en Pesara en 1577, intentó una axiomadzación mucho más simple, basada en 1 definición, 3 postulados y 3 axiomas. A partir de ese reducido conjunto de principios, Guido-baldo consiguió demostrar un elevado número de teoremas (algunos de los cua­les son problemas) acerca de balanzas, palancas, poleas, ruedas y engranajes. El número de proposiciones demostradas alcanza un total de 53. Esta obra se con­sideró por mucho tiempo como el mejor tratado de estática. Guidobaldo sostu­vo la tesis de que la estática y la dinámica son ciencias que no admiten un tra­tamiento unificado mediante el mismo conjunto de principios. La obra de Gali-leo, que fue su discípulo, puede verse como un intento por superar esa posición y construir una mecánica unificada y completa. Ese proyecto de unificación es el que culmina en la obra de Newton.

En 1638 aparece la obra cumbre de Galileo, sus Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos ciencias nuevas. La tercera parte de este libro (la 'Tercera Jornada") contiene el tratado denominado Sobre el movimiento local, que es en realidad una obra independiente del resto del libro. En ella Galileo establece los fundamentos de aquella parte de la mecánica que hoy conocemos como cinemática. Por cierto, Galileo tuvo numerosos precursores medievales que escribieron extensamente sobre el movimiento de los cuerpos terrestres y anticiparon algunos de sus resultados. Como hemos visto, no faltaron en la Edad Media escritos sobre mecánica presentados al modo axiomático. Casi con

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LA AXIOMÁTICA MODERNA: tA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA

seguridad Galileo conoció algunos de ellos. Todas estas obras reflejan la in­fluencia de Euclides y Arquimedes, ya ampliamente conocidos y comentados en el siglo XVI. Con todo, la influencia más importante es la obra de su maestro Guidobaldo dal Monte. Galileo comienza su obra con definiciones como la si­guiente: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aquel en el que los espa­cios recorridos por un móvil en tiempos iguales cualesquiera son iguales entre si." Y luego enuncia axiomas como el primero: "En el mismo movimiento uni­forme, el espacio recorrido en un tiempo más largo es mayor que el espacio re­corrido en un tiempo más breve" (véase el Apéndice 2.7). Finalmente procede a demostrar un total de 44 proposiciones, entre las que diferencia, igual que Eu­clides, entre teoremas y problemas.

Esta obra de Galileo, que influyó decisivamente sobre Newton, tiene los mis­mos defectos que la de Euclides (carencia de términos primitivos y de reglas de transformación) y resulta mucho menos acabada y completa que los Elemen­tos. Sin embargo, representa un logro considerable, porque avanza en la aplica­ción del método axiomático a una ciencia empírica como la mecánica. Galileo suponía, siguiendo la concepción tradicional, que los axiomas eran enunciados verdaderos, pero no los considera necesariamente evidentes. Trata incluso de ofrecer ejemplos experimentales que confirmen la verdad de sus axiomas. Afir­ma explícitamente que las consecuencias que se deducen de los axiomas deben ser verificadas por medio de la experiencia, lo cual aportará una conSrmación ulterior de los axiomas. Mediante esta concepción Galileo llega a vislumbrar la idea esencial del método hipotético-deductivo, según el cual los axiomas de una teoría empírica son hipótesis que pueden confirmarse experimentalmence me­diante las proposiciones deducidas de ellos. La justificación de los axiomas de un sistema físico ya no se encuentra en su pura evidencia, sino en la verifica­ción de sus consecuencias por medio de la experiencia.

La otra novedad importante del siglo XVII es el ensayo de presentar axiomá­ticamente las teorías metafísicas, en una suerte de intento de hacer de la filoso­fía una ciencia tan exacta como la geometría. El racionalismo filosófico, desde Descartes a Leibniz, pensó que el método axiomático constituía un ideal de rigor y precisión que era deseable, y posible, extender a todo el conocimiento huma­no. La aplicación de este método a la filosofía primera, la ontología y la teología, representaba también la esperanza de terminar con las permanentes disputas filosóficas sobre los problemas fundamentales.

Descartes hizo el primer ensayo de axiomatización de la metafísica. En sus Respuestas a las segundas objeciones a las Meditaciones Metafísicas, publicadas en 1641, presentó en forma axiomática su demostración de la existencia de Dios, que en las Meditaciones Metafísicas había dado de manera bastante in­formal. La sección axiomática llevaba por titulo "Razones que prueban la exis­tencia de Dios y la distinción que existe entre el espíritu y el cuerpo humano

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

dispuestas de un modo geométrico". La expresión "modo geométrico" es en es­ta época, y desde hace siglos, sinónima de "método axiomático", y la encontra­mos repetida por muchos autores. Descartes empleó 10 definiciones y 10 axio­mas para demostrar sólo 4 proposiciones. Por ejemplo, su primera proposición demostrada afirma que "La existencia de Dios se conoce a partir de la sola con­sideración de su naturaleza", mientras que la última es que "La mente y el cuer­po se distinguen realmente". Un ejemplo característico de sus axiomas es el cuarto: 'Toda la realidad o perfección que existe en una cosa se encuentra for­malmente, o eminentemente, en su causa primera y total". Descartes intenta atenerse al estilo euclídeo de demostración, pero el rigor deductivo logrado es evidentemente menor. Por otra parte, sus axiomas no parecen en modo alguno verdades evidentes.

Inspirado por el ejemplo cartesiano, Spinoza se propuso reconstruir de ma­nera axiomática toda la filosofía de Descartes. Lo hizo en 1663 en su obra Prin­cipios de la filosofía de Descartes, demostrados al modo geométrico, que dejó in­conclusa. Evidentemente este fue un ensayo previo a la axiomatización de su propia filosofía, que expuso de manera completa en la Etica, demostrada según el orden geométrico, de 1677. Allí se ofrece un sistema completo de metafísica, deducido de una multitud de axiomas y definiciones. Spinoza enuncia 26 defini­ciones y 17 axiomas como principios, pero además emplea otros lemas, axiomas y definiciones auxiliares. El resultado es el más importante de los sistemas me-tafísicos de la historia escrito en forma axiomática. Sin embargo, sus demostra­ciones no suscitaron el consenso unánime de la geometría euclídea. La razón de ello no se encuentra tanto en la imperfección de sus demostraciones, sino en la naturaleza de sus principios. Spinoza postuló como axiomas enunciados metafí-sicos como los siguientes: I. rv "El conocimiento del efecto depende del cono­cimiento de la causa y lo implica"; y I. VI "La idea verdadera debe concordar con lo ideado por ella". Sus axiomas están lejos de ser claros y precisos, y es verdaderamente difícil sostener que son verdades evidentes. No resultaron cla­ros ni evidentes para los propios contemporáneos de Spinoza. Por otra parte, tampoco son enunciados que tengan consecuencias empíricas, como los axio­mas de la física, y que puedan confirmarse por medio de la experiencia.

La Etica de Spinoza representa la cumbre y a la vez el último de los gran­des intentos de hacer metafísica al modo axiomático. En lo sucesivo, todos los supuestos axiomas metafísicos resultan cuestionados por su falta de precisión y de evidencia. Con toda seguridad, hay un obstáculo en la naturaleza misma del tema que impide aplicar satisfactoriamente el método axiomático a las cuestio­nes filosóficas. Parece claro que no se puede exigir la misma precisión y rigor demostrativo en todos los temas. Después de Spinoza el método axiomático pro­ducirá éxitos significativos en las ciencias físicas y matemáücas, pero nada ver­daderamente importante en el campo de la filosofía.

LA AXIOMÁTICA MODERNA: LA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA

Esto es algo que sólo nos resulta claro retrospectivamente. Durante el siglo XVII los racionalistas mantuvieron una confianza total en la universalidad del método axiomático, es decir, en su aplicabilidad a todas las ciencias y a todo co­nocimiento en general. En su opúsculo Sobre el espíritu geométrico, escrito alre­dedor de 1656, Pascal elogiaba sin reservas la perfección del método demostra­tivo de los geómetras considerándolo infalible. En esta obra Pascal advierte que no es posible definir todos los términos del vocabulario de un sistema axiomá­tico, y consiguientemente reconoce la necesidad de introducir términos primiti­vos. Aquí aparece por primera vez una distinción clara y explícita entre térmi­nos definidos y no definidos de un sistema. Pascal concibe a los términos pri­mitivos, en analogía con los axiomas, como incapaces des ser definidos en ra­zón de su extrema evidencia. Así como la verdad de los axiomas se capta inme­diatamente, el significado de los términos primitivos se comprende por sí mis­mo, sin necesidad de ulterior aclaración. En ambos casos sólo se requiere el ejercicio de la luz natural de la razón. Con base en estos supuestos, enunció una serie de reglas metodológicas que resumió de la siguiente manera:

Reglas necesarias para las definiciones: No admitir ninguno de los términos un po­co oscuros o equívocos sin definición. No emplear en las definiciones más que términos perfectamente conocidos o ya explicados.

Reglas necesarias para los axiomas: No pedir en los axiomas más que cosas per­fectamente evidentes.

Reglas necesarias para las demostraciones: Probar todas las proposiciones, sin em­plear en sus pruebas más que axiomas muy evidentes por si mismos o proposi­ciones ya demostradas o aceptadas. [De l'esprit géometrique, París, Flammarion, 1985, p. 91)

En 1662, A. Arnauld y P. Nicole, en el muy difundido tratado La logique ou. Vari de penser (la llamada Lógica de Port-Royat), repitieron estas reglas casi al pie de la letra Desde entonces, esta concepción racionalista del método axiomá­tico gozó de amplia aceptación.

En la década de 1670, Leibniz alumbra la idea de una lengua universal, a la que llamó característica universal, y realiza una serie de intentos nunca conclui­dos de precisar la estructura de ese lenguaje. Su objetivo es disponer de una herramienta simple y exacta para emplear en la formulación de cualquier siste­ma deductivo de modo tal que las demostraciones resulten claras y fáciles. La meta última del sueño racionalista, bien expresada por Leibniz, es la construc­ción, jamás intentada siquiera, de un saber universal o mathesis universalis. Es­te consistiría en un único y gigantesco sistema axiomático, en el cual a partir

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

de unos pocos principios evidentes se demostraran todos los conocimientos hu­manos. En otras palabras, puede decirse que se trataba de un proyecto de uni­ficación de todas las ciencias en un solo sistema deductivo completo y acabado. El ideal de la mathesis universalis excedía lo que Aristóteles y Euclides habían pensado y, además, contenía un aspecto antiaristotélico. Para Aristóteles, en efecto, cada ciencia poseía sus principios propios e indispensables, de modo que no era posible unificar ciencias diferentes. La diversidad de las ciencias es para Aristóteles irreductible porque refleja la multiplicidad de los géneros en que se dividen las entidades del mundo real. Para los racionalistas, en cambio, la frag­mentación del saber en diferentes ciencias y disciplinas es meramente transito­ria y simple reflejo de la imperfección de nuestro conocimiento.

Leibniz, siguiendo ideas ya bastante antiguas de R. Lulio y T. Hobbes, desa­rrolla también la idea de un método general para mecanizar cualquier razona­miento. Mediante esta ars combinatoria, seria posible realizar automáticamente todas las demostraciones de un sistema axiomático, sin apelar a la intuición o a algún proceso creativo. El proyecto de Leibniz incluía la representación de los términos del lenguaje del sistema mediante números y la realización de opera­ciones entre números para producir demostraciones. Mediante estas ideas visio­narias, nunca concretadas, Leibniz anticipa ¡deas contemporáneas como la de aritmetización de los lenguajes y la posibilidad de un algoritmo general capaz de resolver cualquier problema matemático. La investigación de los sistemas axiomáticos contemporáneos mostrará, como veremos más adelante, que hay lí­mites insuperables para la realización de ese proyecto.

En 1687 se publica la obra cumbre de la ciencia moderna, los Principios ma­temáticos de la filosofía natural, de I. Newton, que para muchos intérpretes constituye el verdadero final de la imagen antiguo-medieval del cosmos y el co­mienzo de la imagen moderna. Newton produce por primera vez la unificación de la física terrestre y la física celeste en una teoría simple y poderosa, que transformó profundamente nuestra imagen del universo. Esta obra monumental esta organizada al modo axiomático, siguiendo de cerca el modelo de Euclides. Es evidente, además, que Newton recibió la influencia de los ensayos axiomáti­cos de Galileo y Descartes. Comienza con 8 definiciones y 3 axiomas, que son seguramente los más conocidos en toda la historia de la ciencia (véase el Apén­dice 2.8). También distingue, entre las proposiciones demostradas, entre probie-

• mas y teoremas. Las demostraciones ascienden a un total de 193. Newton em­plea, además de sus axiomas, un conjunto muy amplio de lemas, hipótesis y da­tos auxiliares para la realización de sus demostraciones. En conjunto la obra im­presiona a primera vista como menos rigurosa que los Elementos euclídeos. Sin embargo, los mejores especialistas contemporáneos han señalado que todas las pruebas de los Principia son concluyentes y difícilmente mejorables con las he­rramientas matemáticas que Newton tenia a su disposición.

LA AXIOMÁTICA ABSTRACTA O FORMAL

Newton llama leyes a sus axiomas ("axiomas o leyes del movimiento"), y es­te nombre es síntoma de un cambio en la concepción de los axiomas de una teoría física, cambio ya insinuado en ¡a obra de Galileo. El primero de los axio­mas es la ley de inercia, ya vislumbrada por Galileo y enunciada precisamente por Descartes a mediados de la década de 1630. La versión newtoniana dice: "Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea compelido a cambiar ese estado por fuerzas impre­sas". Difícilmente se podría tomar a este principio como una verdad evidente. Por otra parte, tampoco se !o puede verificar directamente por la experiencia, porque ello supondría observar e! movimiento uniforme de todos los cuerpos en todo momento y lugar, cosa manifiestamente imposible. Newton se oponía a lla­mar "hipótesis" a sus principios, pero desde nuestro punto de vista éstos deben considerarse como hipótesis empíricas que son confirmables o refutables por medio de sus consecuencias observacionales (o, más bien, de las consecuencias observacionales de todo el sistema). Aparece así la idea, todavía implícita, de que la naturaleza de los axiomas de un sistema físico es diferente de la de un sistema puramente matemático.

En la Óptica, publicada en 1704, Newton también adoptó el formato axiomáti­co. Presentó 8 definiciones, que explicaban términos tales como "rayo de luz", "reflexión", "refracción", "ángulo de incidencia", "ángulo de reflexión", y otros. El concepto fundamental de su teoría era el de rayo de luz, al que definió de la si­guiente manera: "Por rayos de luz entiendo sus partes mínimas, tanto las sucesi­vas en la misma línea como las contemporáneas en diversas líneas". Luego enun­ció 8 axiomas, de los cuales transcribiremos aquí solamente los dos primeros: "Los ángulos de reflexión y refracción están en uno y el mismo plano que el án­gulo de incidencia."; "El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia" (véase el Apéndice 2.9 para una presentación completa). Newton mantiene la di­visión euclidea de las proposiciones demostradas en teoremas y problemas. Pro­cede, entonces, a demostrar 39 proposiciones, pero en tales demostraciones no emplea generalmente sus axiomas y definiciones. Muchas de las demostraciones son de tipo experimental y se fundan en observaciones y experimentos detallada­mente descriptos por Newton, pero no deducibles de sus axiomas.

La axiomática abstracta o formal

Desde Aristóteles hasta Newton los sistemas axiomáticos fueron concebidos como teorías verdaderas acerca del mundo real. La geometría euclidea, por ejemplo, se consideraba como una descripción verdadera de las propiedades del espacio físico, mientras que la teoría de Newton, por su parte, se tenía por una descripción igualmente verdadera del movimiento de los cuerpos celestes y te­rrestres. A veces se denomina axiomática material a esta concepción tradicional

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

de los sistemas axiomáticos. Durante el siglo XIX surge y se desarrolla una con­cepción diferente de la naturaleza de los sistemas axiomáticos. Según esta idea, que denominamos axiomática abstracta o formal, un sistema axiomático es una teoría puramente formal que no se refiere a ningún objeto o entidad real y, por consiguiente, no es por sí misma verdadera ni falsa. En un sistema axiomático formal los términos primitivos no tienen referencia, es decir no nombran o de­notan objetos o propiedades determinadas. Por consiguiente, los axiomas de un sistema formal no son verdaderos o falsos hasta que no se asigne un significa­do o referencia a sus términos primitivos. Lo que hace abstracto a un sistema de esta clase es el hecho de que es posible asignar diferentes significados a los primitivos del sistema. Esto tiene la consecuencia de que el mismo sistema de axiomas puede ser verdadero respecto de determinados conjuntos de objetos y falso respecto de otros.

Un sistema axiomático formal o abstracto se diferencia de un sistema axio­mático material por el hecho de que no se refiere a un conjunto determinado de objetos, de los cuales se asume que el sistema es verdadero. Un sistema for­mal no necesita estar formalizado. Un sistema axiomático formalizado es aquel que se formula en un lenguaje artificial (como, por ejemplo, el de la lógica de primer orden) en el cual la formación de expresiones está estrictamente regi­mentada. Un sistema formalizado es un sistema puramente sintáctico, en el que todos sus términos y expresiones carecen de significado. Todo sistema formali­zado es obviamente formal, pero no a la inversa. Un sistema formal no formali­zado se formula en una lengua natural enriquecida con algunos términos técni­cos primitivos y definidos. La geometría de Hilbert y la teoría de conjuntos de Zermelo son ejemplos de sistemas axiomáticos formales pero no formalizados (véanse los Apéndices 2.12 y 2.14). La lógica de primer orden, tal como se pre­senta en los textos usuales, es un ejemplo de sistema formalizado (véase el Ca­pítulo 2.5). Todos los sistemas axiomáticos tradicionales, desde Euclides hasta Newton, son sistemas materiales, que, por supuesto, no son formales ni forma­lizados (véanse los Apéndices 2.2 a 2.9).

Más adelante estudiaremos con detalle los componentes de un sistema axio­mático formal y la manera en que tales sistemas se interpretan o adquieren sig­nificado. Ahora veremos cómo se llegó a esta concebir a los sistemas axiomáti­cos de esta manera.

La axiomática formal alcanza su realización en la segunda mitad del siglo XLX. Influyen decisivamente en este hecho el surgimiento de las geometrías no euclídeas, de la lógica matemática y de la teoría de conjuntos. Este es un pro­ceso histórico rico y complejo, que aquí ni siquiera podemos esbozar, y del que apenas mencionaremos algunas etapas significativas.

La primera de estas etapas es la invención de sistemas geométricos diferen­tes del de Euclides, que por muchos siglos se tuvo por la única geometría posi-

LA AXIOMÁTICA ABSTRACTA O FORMAL

ble. Algunas de estas nuevas geometrías no rechazan los principios del sistema de Euclides presentado en los Elementos, pero sus teoremas tienen consecuen­cias antiintuitivas, ya que no son visuaüzables y no admiten representación grá­fica por medio de diagramas y figuras. Un ejemplo importante es el de la geome­tría proyectiva, que tiene antecedentes desde el Renacimiento, pero que J. Pon-celet expuso por primera vez en su Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras, de 1822. La geometría proyectiva no implica la negación de ninguno de los postulados de Euclides, y por ello se consideró compatible con la geome­tría euclídea. Sin embargo, los axiomas y postulados de Euclides no son suficien­tes para axiomatizar a la totalidad de la geometría euclídea, como se verá más adelante. Cuando se considera una axiomatización más satisfactoria, como la de Hilbert, resulta que la geometría proyectiva es incompatible con la euclídea.

Las llamadas geometrías no euclídeas, en cambio, son manifiestamente incom­patibles con la de Euclides porque toman como punto de partida la negación de alguno de sus cinco postulados. El primer postulado que se rechazó fue, como era de esperar, el quinto, ya cuestionado desde la Antigüedad. Una versión equivalente a este postulado, formulada por J. Playfair en 1795, dice que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta. Muchos matemáticos destacados de todas las épocas intentaron demostrar este postula­do deduciéndolo de los otros cuatro. El intento más notable fue el del italiano G. Saccheri en su obra Euclides vindicado de toda mancha, escrita en 1733. Sac-cheri se propuso probar que el quinto postulado se deducía de los restantes mostrando que si la negación del quinto postulado se agregaba como axioma a los otros cuatro, se obtenía como resultado una contradicción. El método de Saccheri era correcto porque es evidente que si en un sistema axiomático un enunciado x se deduce de un conjunto de axiomas p, y a {5 se le agrega como axioma el enunciado - x, se producirá una contradicción porque ese sistema contendrá a la vez los enunciados x y - X- Saccheri dedujo rigurosamente una serie de teoremas no euclídeos, hasta que creyó, erróneamente, encontrar una contradicción. Concluyó, entonces, que el quinto postulado de Euclides era de-ducible de los otros cuatro, cuando en realidad había demostrado que dicho postulado era lógicamente independiente de los restantes. Saccheri construyó la primera geometría no euclídea, pero no logró reconocer que lo había hecho.

Un siglo después, N. Lobachevsky en 1829 y J. Bolyai en 1832 construyeron de manera independiente el sistema de geometría que Saccheri había anticipa­do y que C. F. Gauss ya había desarrollado antes de 1824. Esta es la llamada geometría hiperbólica, que tomaba como axiomas a los cuatro primeros postula­dos euclídeos más el axioma según el cual por un punto exterior a una recta pasan al menos dos paralelas a dicha recta (una manera de negar el quinto pos­tulado euclideo). Los teoremas que se deducen de este conjunto de axiomas son claramente inconsistentes con la geometría de Euclides. Entre otras cosas,

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

se deduce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor que 180 grados; que dicha suma no es invariable sino que decrece cuan­do el área del triángulo aumenta y que se aproxima a 180 grados cuando el área del triángulo tiende a cero. En la geometría hiperbólica, a diferencia de la euclídea, no existen figuras semejantes, es decir, figuras que tengan la misma forma pero diferente tamaño. Ni Lobachevsky ni Bolyai encontraron contradic­ción alguna entre los enunciados de este nuevo sistema geométrico. Incluso Lo­bachevsky consiguió mostrar que su sistema era consistente, dando una prueba relativa de la consistencia de su geometría respecto de la trigonometría esférica euclídea (véase el Apéndice 1). Demostró que si la geometría euclídea es con­sistente (esto es, está libre de contradicciones), también la geometría hiperbóli­ca es consistente; o, lo que es equivalente, que si la geometría hiperbólica es contradictoria, también la geometría euclídea necesariamente debe serlo. Me­diante esta prueba notable, Lobachevsky puso a ambas geometrías en un mis­mo nivel de legitimidad desde el punto de vista lógico.

Poco tiempo después se produjo la extensión del campo de la geometría a espacios de más de tres dimensiones. En 1844 H. Grassmann publicó su obra Teoría de la extensión lineal, en la cual introducía la idea de espacios vectoria­les de n número de dimensiones. En 1854 B. Riemann pronunció su conferen­cia de habilitación en la universidad de Go tinga, "Sobre las hipótesis que yacen en los fundamentos de la geometría", donde realizó una extensión notable del dominio de la geometría. Riemann generalizó la teoría de las superficies curvas de Gauss extendiéndola a espacios de n dimensiones. Mostró cómo definir la curvatura intrínseca de un espacio de n dimensiones y cómo medir la distancia entre puntos de cualquiera de estos espacios. El resultado de ello fue una ge­neralización de la geometría a una teoría de muy amplio alcance, conocida co­mo de los espacios de Riemann, que contiene como casos especiales a la geo­metría euclídea y a diversas geometrías no euclídeas. En general, los espacios de Riemann son espacios «-dimensionales de curvatura variable, donde la curva­tura K del espacio es diferente de un punto a otro. La geometría euclídea y la hiperbólica de Lobachevsky, entre otras geometrías no euclídeas, son casos es­peciales de espacios de Riemann en los cuales la curvatura es constante, es de­cir, la misma en todo punto. La geometría hiperbólica constituye el caso en el que la curvatura es constante y negativa (K < 0). Otras geometrías no euclídeas, como la elíptica, son casos de un espacio de Riemann con curvatura constante y positiva (K > 0). Finalmente, la geometría euclídea es el caso más especial en el que la curvatura del espacio es nula en todo punto (K = 0). El alcance de la teoría de Riemann sólo se comprendió después de la publicación postuma de su trabajo en 1867.

En 1868 E. Beltrami descubrió un modelo euclídeo de una parte de la geo­metría hiperbólica de Lobachevsky. El modelo permitía representar en el espa-

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CÍO euclídeo diversos teoremas de esta geometría no euclidea. Posteriormente, F. Klein en 1871 y H. Poincaré en 1881 encontraron otros modelos euclideos para la totalidad de la geometría hiperbólica. La existencia de estos modelos proporcionó una prueba de consistencia relativa de la geometría hiperbólica res­pecto de la geometría euclidea (véase el Apéndice 1). Además, demostró que la geometría hiperbólica era traducible a la geometría euclidea, en el sentido de que a todo teorema de la geometría hiperbólica le corresponde un teorema de la geometría euclidea, que representa la traducción de ese teorema en términos euclideos.

La creación de las geometrías no euclídeas y su generalización a espacios n-dimensionales tuvo muchas consecuencias importantes. En primer lugar, surgió la idea de que los diferentes espacios caracterizados por las diferentes geome­trías eran entidades puramente abstractas sin relación directa con el espacio fí­sico real. Además, se tuvo conciencia de que la evidencia de los axiomas no era un criterio adecuado para la elección de un sistema axiomático. Los hechos mostraban que era perfectamente posible elaborar una geometría consistente partiendo de axiomas que no son evidentes. Había ahora múltiples sistemas de geometría incompatibles entre si, pero todos ellos aparentemente libres de con­tradicciones internas. Esta situación sugirió que la determinación de la estructu­ra geométrica del espacio físico no era una cuestión puramente matemática que pudiera decidirse a priori, sino un problema empírico que en principio podría resolverse experimentalmente. La tradición atribuye a C. F. Gauss el origen de esta idea, que luego se encuentra explícita en Bolyai, Lobachevsky y Riemann. Lobachevsky señaló correctamente que la estructura geométrica del espacio fí­sico debería determinarse mediante mediciones astronómicas, e incluso realizó él mismo tal clase de mediciones. Por otra parte, la existencia de geometrías de cualquier número de dimensiones introdujo un concepto abstracto de espacio, desligado del espacio físico real. Con ello estaban dadas las bases para la dis­tinción entre geometría matemática y geometría física, que llevará a concebir a la primera como un sistema puramente formal que no describe la estructura del mundo real. Ya en 1844 H. Grassmann, en su obra Teoría de la extensión lineal, señalaba que la geometría no es una descripción del espacio físico, sino una teoría de la matemática pura, una "doctrina de las formas".

En 1870 H. Von Helmoltz escribió un breve trabajo titulado Sobre el origen y significado de los axiomas geométricos, que puede considerarse como el primer manifiesto de la geometría como ciencia formal. Helmoltz concluía su trabajo se­ñalando que los axiomas de la geometría no representan relaciones entre cosas reales, sino que son como un molde vacío en el que se puede encajar cualquier contenido empírico. Esto vale tanto para los axiomas euclideos como para los de todas las geometrías no euclídeas. I,a geometría matemática o formal no es, en­tonces, un sistema de enunciados o proposiciones capaces de ser verdaderos o

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falsos respecto del mundo real. Únicamente cuando se hace corresponder a los axiomas ciertos principios físicos (por ejemplo, relativos al comportamiento de los cuerpos rígidos) se obtiene un sistema de proposiciones significativas, una geometría física, cuyos enunciados tienen valor de verdad y se pueden verificar o refutar por la experiencia. Helmoltz anticipaba de este modo la noción de in­terpretación de un sistema formal, que más adelante estudiaremos con detalle.

La situación planteada por la existencia de geometrías alternativas a la de Euclides tuvo también como efecto la revisión más rigurosa del propio sistema euclídeo. A la vez, se planteó la necesidad de axiomatizar las nuevas teorías geométricas. El primer sistema axiomático de una geometría diferente de la de Euclides lo elaboró M. Pasch en su obra Lecciones de geometría moderna, publi­cada en 1882, donde axiomatizó la geometría proyectiva. Allí ofreció una lista completa de los términos primitivos y de los axiomas que empleaba en su sis­tema. Pasch, sin embargo, no renunciaba todavía a la idea tradicional según la cual la fuente de la que se obtienen los axiomas de la geometría es la intuición, o incluso la experiencia. Siguiendo esta inclinación empirista, afirmó que los tér­minos primitivos de un sistema geométrico se refieren a la forma, el tamaño y la posición recíproca de los cuerpos. El significado de estos términos no nece­sita ser definido porque se hace evidente mediante la simple ostensión de los objetos físicos apropiados. Los axiomas, por su parte, enuncian aquello que se ha observado en las figuras más simples. Una vez determinados los axiomas, la intuición no interviene en el proceso de prueba, según Pasch, porque todo el sistema geométrico debe desarrollarse mediante puras inferencias deductivas, independientemente del sentido de los conceptos geométricos del sistema.

Algunos años después, en 1899, M. Pieri y D. Hilbert construyeron, de ma­nera independiente uno del otro, dos axiomatizaciones diferentes de la geome­tría euclídea, en las que intentaban ofrecer una presentación más rigurosa que la de los Elementos de Euclides. Pieri adopta sólo 2 términos primitivos ("pun­to" y "movimiento") y 20 axiomas. Hilbert, por su parte, en su gran obra Fun­damentos de la geometría, se vale de 8 términos primitivos (entre ellos, "punto", "recta" y "plano") y 19 axiomas separados en 5 grupos (axiomas de conexión, orden, congruencia, paralelismo y continuidad). En la segunda edición de su li­bro, en 1900, Hilbert agrega un nuevo axioma, que eleva el total a 20. Todos los expertos en el tema coinciden en afirmar que la axiomatización de Hilbert es superior a la de Euclides en tanto resulta suficiente para deducir la totalidad de la geometría euclídea sin recurrir a supuestos no explicitados. De hecho, se convirtió enseguida en el paradigma de axiomatización de una teoría matemá­tica (véase el Apéndice 2.12). Pronto aparecieron otros sistemas axiomáticos de geometría euclídea, como el de O. Veblen en 1904 y el de E. V. Huntington en 1913, que utilizaban términos primitivos y axiomas muy diferentes de los de Hilbert. Con ello quedó claro que el mismo sistema formal se puede presentar

LA AXIOMÁTICA ABSTRACTA O FORMAL

mediante distintos conjuntos de axiomas, independientemente del hecho de que éstos sean evidentes o no. Simultáneamente, se produjeron rápidos avances en la axiomatización de otras teorías matemáticas. E. V. Huntington y, de manera independiente, E. H. Moore axiomatizaron en 1902 la teoría de grupos, teoría ya ampliamente desarrollada y utilizada desde mediados del siglo XLX. También la geometría no euclidea se axiomatizó siguiendo el paradigma de Hilbert, cuando G. Halsted en 1904 y G. Hessenberg en 1905 crearon sistemas axiomáticos pa­ra la geometría elíptica. En 1914 F. Hausdorff axiomatizó la parte básica de la topología, conocida como topología de conjuntos de puntos (véase el Apéndice 2.15). Durante esta época el método axiomático formal produjo resultados ver­daderamente alentadores, no sólo en geometría, sino en ramas muy diferentes de la matemática. El mismo Huntington, por ejemplo, axiomatizó en 1902 la teo­ría de las magnitudes continuas, base del análisis matemático, mediante 6 axio­mas muy simples (véase el Apéndice 2.13).

Hilbert no se limitó a presentar axiomáticamente la geometría euclidea cons­truyendo un sistema formal, aunque no formalizado. Además, analizó detallada­mente las propiedades de su sistema. Probó que es consistente, es decir libre de contradicciones, relativamente a la teoría de números reales; y demostró tam­bién que sus axiomas son independientes, o sea, que ninguno se deduce de los restantes (en el Capítulo 4 estas propiedades se definen con mayor precisión). De esta manera, inauguró la disciplina conocida como metamatemátir.a, que se ocupa del estudio de las propiedades de los sistemas formales.

La concepción que Hilbert tiene de los sistemas axiomáticos es esencialmen­te abstracta. Su idea principal es que los términos primitivos de una teoría axio­mática no se refieren a ningún tipo determinado de entidad concreta o abstrac­ta. Los términos "punto, "recta" o "plano" no denotan a algún objeto geométri­co en particular, sino a una clase no determinada de objetos cualesquiera. Una consecuencia importante de esta concepción formalista de Hilbert es que un mismo sistema axiomático puede ser verdadero respecto de sistemas de objetos muy diferentes y de distinta naturaleza, sean concretos o abstractos, dependien­do del significado que se asigne a sus términos primitivos. La misma teoría ma­temática (o el mismo formalismo lógico) admite múltiples realizaciones o mode­los (en el Capítulo 3 estudiaremos este punto más de cerca y veremos varios ejemplos).

P. Bernays, uno de los principales discípulos de Hilbert, en un artículo de 1922, "El significado de Hilbert para la filosofía de la matemática", resumía la concepción formal del método axiomático con las siguientes palabras:

De acuerdo con esta concepción, los axiomas no son en modo alguno juicios de los que se pueda decir que son verdaderos o falsos; sólo tienen sentido en el contexto de todo el sistema de axiomas. E incluso el sistema de axiomas como

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

un todo no constituye el enunciado de una verdad; más bien, la estructura lógi­ca de la geometría axiomática en el sentido de Hilbert, análogamente a la de la teoría abstracta de grupos, es puramente hipotética. Si hay en alguna parte de la realidad tres sistemas de objetos, así como determinadas relaciones entre esos objetos, tales que los axiomas valen respecto de ellos (esto significa que median­te una adecuada asignación de nombres a los objetos y relaciones, los axiomas se convierten en enunciados verdaderos), entonces, todos los teoremas de la geo­metría también valen respecto de esos objetos y relaciones. Por tanto, el sistema de axiomas mismo no expresa algo fáctico; más bien, presenta solamente una for­ma posible de un sistema de conexiones que debe investigarse matemáticamente de acuerdo con sus propiedades internas. (Mancosu 1998, p. 192)

De acuerdo con la concepción tradicional, los axiomas de la geometría euclí-dea son proposiciones autoevidentes que expresan verdades acerca del espacio físico, y, en general, los axiomas de un sistema axiomático son proposiciones verdaderas acerca de alguna clase de objetos concretos o abstractos. Para Hil­bert, en cambio, los axiomas de la geometría o de cualquier otro sistema axio­mático no son verdades evidentes acerca de ninguna especie de objetos o enti­dades determinadas. Un sistema de axiomas, si es consistente, caracteriza a un cierto tipo de estructura abstracta que puede tener múltiples realizaciones o mo­delos, es decir, que puede ser verdadera respecto de diferentes sistemas de ob­jetos o entidades determinadas. Los axiomas de la geometría euclidea, por ejem­plo, caracterizan la estructura que llamamos espacio euclideo. El espacio físico real puede ser uno de los modelos de esta estructura, pero los axiomas de la geometría formal no se refieren a este espacio concreto, ni a ningún otro obje­to o entidad. En la concepción formalista de Hilbert, la totalidad de los axiomas de un sistema axiomático puede considerarse como una definición explícita del término que se refiere o nombra a una estructura abstracta. Así, por ejemplo, los axiomas de Hilbert para la geometría euch'dea definen el término "espacio euclideo". Igualmente, los axiomas de la teoría de grupos definen el término "grupo", el que a su vez se refiere a la estructura abstracta de grupo. Y lo mis­mo vale para otras estructuras matemáticas caracterizadas axiomáticamente, ta­les como las de como espacio vectorial, espacio topológico, y muchas otras.

Una consecuencia fundamental de la concepción abstracta del método axio­mático consistió en el abandono de la evidencia como criterio de elección y jus­tificación de los axiomas de un sistema. U>s axiomas de un sistema formal no son enunciados verdaderos y, por consiguiente, no puede decirse que sean ver­dades evidentes. Todavía en 1902, Huntingtun distinguía entre postulados y axiomas, considerando que estos últimos eran verdades autoevidentes. Sin em­bargo, en pocos años esta distinción fue definitivamente abandonada, y la con­cepción formalista de los axiomas se impuso de manera casi unánime.

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El éxito que Hilbert obtuvo con su axiomatización de la geometría euclídea lo llevó a recomendar la aplicación del método axiomático mas allá del campo de la matemática. En el congreso internacional de matemáticos celebrado en Pa­rís en 1900, Hilbert leyó una célebre comunicación, titulada "Problemas mate­máticos", en la cual presentó una lista de 22 problemas que ejercería una nota­ble influencia en el desarrollo de la investigación matemática. El sexto de esos problemas consistía en ofrecer un "tratamiento matemático de los axiomas de la física", en primer lugar, sostenía allí Hilbert, "de la teoría de la probabilidad y de la mecánica".. Significativamente, ambas teorías serían axiomatizadas en los años subsiguientes, aunque no de manera inmediata. En 1909 G. Hamel publi­có un trabajo notable llamado "Sobre los fundamentos de la mecánica", en el que daba la primera axiomatización precisa de toda la mecánica clásica. Hamel siguió evidentemente el ejemplo de Hilbert y presentó sus axiomas divididos en grupos: axiomas sobre el espacio y el tiempo, los sistemas materiales, el movi­miento, las fuerzas externas e internas y otros. En total empleó 16 axiomas di­vididos en 7 grupos. Después de deducir de sus axiomas algunas de las leyes fundamentales de la mecánica, procedió a demostrar la consistencia de su siste­ma axiomático y la independencia de todos sus axiomas. Ese mismo año C. Ca-rathéodory publicó su trabajo "Sobre los fundamentos de la termodinámica", en el que axiomatizó la termodinámica clásica empleando solamente 2 axiomas. La teoría de la probabilidad, por su parte, recién fue axiomatizada por A. Kolmogo-rov en 1933 (véase el Apéndice 2.17) luego de varios intentos anteriores, no muy satisfactorios, por parte de otros matemáticos.

Durante la segunda mitad del siglo XIX se produce otro desarrollo importan­te relacionado con el método axiomático: la creación de la lógica matemática. Este es un proceso que comienza con la obra de G. Boole El análisis matemá­tico de la lógica, de 1847, y alcanza un primer estadio axiomático en la Concep-tografia de G. Frege, publicada en 1979. Esta obra, subtitulada Un lenguaje for­mal del pensamiento puro copiado del aritmético, introducía el primer lenguaje formalizado para la lógica formal. Frege fue también el primero en presentar un sistema de lógica de manera axiomática. Su sistema era de lógica de segundo orden, pero incluía un conjunto de axiomas suficientes para deducir todas las verdades de la lógica de primer orden con identidad (véase el Apéndice 2.10). La lógica de primer orden de Frege se deducía de 9 axiomas sumamente sim­ples, pero expresados en una notación simbólica difícil de leer, que pronto ca­yó en desuso. Frege era ya bien consciente de que la elección de los axiomas involucraba aspectos convencionales y de que sería posible construir otro siste­ma de lógica equivalente al suyo empleando otros axiomas. En su propia selec­ción se guió por el principio heurístico de que era más natural partir de enun­ciados simples como axiomas y deducir luego los más complicados como teo­remas. No obstante, Frege seguía aferrado a la concepción tradicional de los

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axiomas, y los concebía como enunciados verdaderos que no necesitan demos­tración porque son autoevidentes. Un sistema axiomático es para él un conjun­to de enunciados verdaderos y no un mero formalismo sin interpretar. Por con­siguiente, no es necesario probar la consistencia de un sistema axiomático, puesto que ésta ya se encuentra asegurada por la verdad de los axiomas. Fre-ge polemizó sin éxito contra la concepción formalista de Hilbert, que en poco tiempo se ¡ba a imponer sobre la suya, de carácter más tradicional.

La obra de Frege contenía otro logro destacable, como ya indicamos, la for-malización completa del lenguaje en el que se presentaba el sistema. Construía por primera vez un lenguaje completamente formalizado, que él llamó "escritu­ra conceptual", y que estaba dirigido a reemplazar a los lenguajes naturales en la formulación precisa de las teorías científicas. Frege se propuso caracterizar cuidadosamente todos los símbolos y reglas de este lenguaje: términos primiti­vos y definidos, reglas de formación y de transformación. Mediante este lengua­je se podía también definir de manera precisa en qué consiste una prueba o de­mostración de un teorema del sistema. La propiedad esencial de este lenguaje artificial es que posee reglas explícitas que, en un número finito de pasos, per­miten determinar lo siguiente: a) si un símbolo es o no un término primitivo de ese lenguaje; b) si un símbolo es o no un término definido; c) si un conjunto de símbolos es o no un enunciado o fórmula de ese lenguaje; y, por último, d) si una secuencia de enunciados o fórmulas es o no una prueba de una fórmula de ese lenguaje. Un lenguaje que tiene estas características es un lenguaje for­malizado, y una teoría axiomática expresada por medio de éste es un sistema axiomático formalizado.

La Conceptografia de Frege es el primer sistema axiomático formalizado, y, aunque no tuvo influencia alguna hasta dos décadas después de su publicación, sirvió como modelo para otros sistemas posteriores, como la obra monumental de A. N. Whitehead y B. Russell, Principia mathematica, publicada en tres vo­lúmenes entre 1910 y 1913.

Mientras tanto, Frege concibió un ambicioso programa de fundamentación de la matemática, luego conocido como logicismo. La tesis fundamental del logi-cismo de Frege es, según sus propias palabras, que "la aritmética es una rama de la lógica". De acuerdo con esta idea, todos los conceptos de la aritmética son definibles mediante conceptos puramente lógicos y todas las verdades de la aritmética, que son proposiciones analíticas, son deducibles exclusivamente de leyes lógicas. En su libro Los fundamentos de la aritmética, publicado en 1884, Frege expuso con todo detalle la justificación de su programa logicista (que no extendió a la geometría) y consiguió dar una definición satisfactoria del concep­to de número natural en función de términos lógicos. La siguiente etapa del programa consistía en deducir los teoremas fundamentales de la aritmética de un conjunto de axiomas puramente lógicos. Frege dedicó veinte años de su vi-

LA AXIOMÁTICA ABSTRACTA O FORMAL

da a esta empresa, que finalmente resultó un fracaso. En 1893 publicó el primer volumen de Las leyes fundamentales de la aritmética, donde construía un siste­ma axiomático de lógica de orden superior del cual deducía los principales teo­remas de la aritmética de los números naturales. El segundo volumen, publica­do en 1903, hacía lo propio con la teoría de los números reales. Sin embargo, para consternación de Frege, B. Russell había descubierto que el sistema era in­consistente. La célebre paradoja de Russell (que comentamos más adelante en este capítulo) mostró que la lógica de Frege implicaba contradicciones. Frege no consiguió encontrar una solución a esa. paradoja y en los últimos años de su vida terminó por renunciar a la tesis logicista.

Desde fines del siglo XIX hasta la primera mitad del siglo XX se produjeron los mayores progresos en la aplicación del método axiomático, así como en la investigación metateórica de las propiedades de los sistemas axiomáticos. En 1889 G. Peano, adaptando resultados ya obtenidos por R. Dedekind, publicó la primera axiomatización formal de la aritmética elemental, que perfeccionó en 1895, utilizando sólo 5 axiomas específicos (véase el Apéndice 2.11). El sistema resultante era notoriamente simple y brindaba una base axiomática clara y pre­cisa para la aritmética de los números naturales, que durante siglos se había usado de manera puramente intuitiva. Peano introdujo, además, una notación simbólica para el lenguaje formal mucho más clara y sencilla que la de Frege. Con leves variantes, la notación de Peano se impuso rápidamente y es la que todavía está en uso en la mayoría de los textos de lógica.

El mayor logro del método axiomático contemporáneo ha sido, probablemen­te, la axiomatización de la teoría de conjuntos, que es la parte más básica y fun­damental de la matemática. El desarrollo histórico de esta teoría es algo com­plicado, por lo que aquí mencionaremos someramente sus tres etapas funda­mentales. La primera es la creación de la teoría intuitiva (o "ingenua") de con­juntos por G. Cantor; la segunda es el descubrimiento de las llamadas antino­mias, esto es, el hecho de que la teoría de Cantor implica contradicciones; y la tercera y última es la axiomatización de la teoría con el fin de eliminar las an­tinomias.

Entre los años 1874 y 1897 G. Cantor publicó de manera progresiva todos los principales resultados de la teoría de conjuntos. La exposición de Cantor no seguía el modelo axiomático ni estaba expuesta en un lenguaje formalizado. Por estas razones se la conoce como teoría intuitiva o informal de los conjuntos. Su obra suscitó al comienzo notable oposición entre los matemáticos porque Can­tor no sólo introducía los conjuntos infinitos (que contienen un número infinito de elementos) como actualmente existentes, sino que postulaba una jerarquía infinita de conjuntos infinitos de diferente tamaño. Era necesario aceptar que había infinitos mayores que otros infinitos. Esta ¡dea resultó bastante extraña, pero nadie logró al principio probar que fuera contradictoria o implicara contra-

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

dicción. Sin embargo, poco antes de fines del siglo XIX, se descubrió que la teoría de Cantor conducía a auténticas contradicciones o antinomias. La prime­ra paradoja se produjo con el conjunto de todos los números ordinales, llamado Q, puesto que se demostró que Q + 1 es mayor que Q y, a la vez, que Q + 1 no es mayor que £2. Esta es la llamada paradoja de Burali-Forti, quien fue el pri­mero en publicarla en 1897. Sin embargo, hoy sabemos que Cantor ya la había descubierto en 1895 y se la había comunicado a Hilbert en una carta del año 1896.

El propio Cantor encontró en 1899 otra contradicción en su teoría, conocida como paradoja de Cantor, que afecta al conjunto de todos los conjuntos o clase universal U. Previamente, Cantor había demostrado un célebre teorema (luego conocido como teorema de Cantor) según el cual el conjunto de todos los sub-conjuntos de un conjunto dado A (llamado pA o partes de /l) es mayor que A mismo, es decir, pA es un conjunto que tiene más elementos que A (si A tie­ne n elementos, pA tiene 2" elementos). De este teorema se puede deducir tanto que U es mayor que el conjunto de todos los subconjuntos de U y a la vez que no es mayor (o sea, U> p U y U s pU, lo cual es contradictorio). En efecto, por el teorema de Cantor p U > U, pero dado que U es el conjunto que contiene como elementos a todos los conjuntos, también debe contener a p U, a todos los subconjuntos de p l l , y a una infinidad de otros conjuntos diferen­tes. Por consiguiente, U no puede ser menor que pU. El teorema de Cantor tiene, pues, consecuencias contradictorias.

Finalmente, en 1902 B. Russell halló una paradoja fundamental que involu­craba a los conceptos de conjunto y pertenencia de un elemento a un conjunto (que simbolizamos como e). La paradoja de Russell afectaba tanto a la teoría de conjuntos de Cantor como a la lógica general de orden superior que Frege había elaborado en su obra Las leyes fundamentales de la aritmética. Russell le comunicó su descubrimiento a Frege en una carta, que éste hizo pública en un apéndice del segundo volumen de Las leyes fundamentales de la aritmética, pu­blicado en 1903. E. Zermelo, por su parte, ya la había descubierto independien­temente en 1901, pero no la había publicado. El contenido de la paradoja de Russell se puede resumir así: hay conjuntos que son elementos de sí mismos (como el conjunto de todos los conjuntos) y otros que no son elementos de si mismos (por ejemplo, el conjunto de todos los animales no es un animal y, por tanto, no pertenece a sí mismo). Si designamos como x al conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, podemos deducir la siguiente equivalencia: (x E x -» x & x). Es decir, el conjunto x pertenece a si mismo si y sólo si no pertenece a sí mismo. La explicación de este resultado paradójico es simple, pero no siempre intuitiva. Se sigue simplemente de la definición de x como conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Si x es elemento de si mismo, por definición no debe serlo; si x no es elemento

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de sí mismo, por la misma definición debe serlo. Veamos cómo la paradoja se produce en la teoría de conjuntos de Cantor.

Cantor había considerado como conjunto a cualquier reunión en un todo de determinados objetos bien distinguidos de nuestra intuición o pensamiento. Po­demos suponer, entonces, que dada una propiedad cualquiera cp, existe el con­junto correspondiente formado por todas ¡os objetos que tienen esa propiedad, es decir, por la extensión de cp. Esta afirmación se conoce como principio de comprensión, y podemos formalizarlo de la siguiente manera: 3j Vj (i 6 > <-> cp*). Este principio es la fuente de las paradojas, pues, si elegimos cp - "el con­junto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos", arribamos a la paradoja de Russell. La deducción es muy simple: sea cp - x £ x; reemplazan­do en el principio de comprensión obtenemos: ( i E ) *•» x £ x); pero x > y, por­que se trata de conjuntos que son elementos de sí mismos, luego, reemplazan­do y por x en la expresión anterior llegamos a la siguiente contradicción: (x e x » i í i ) , Sobre este punto es necesario mencionar que Cantor no suscribió el principio de comprensión de manera irrestricta, ya que no aceptó como con­juntos a las totalidades de objetos que no pudieran concebirse sin contradicción como existentes. Este es el caso del conjunto de Russell y de otros a los que Cantor llamó, en una carta a R. Dedekind de 1899, "pluralidades absolutamente infinitas o inconsistentes". Cantor considera conjuntos sólo a las pluralidades consistentes, por consiguiente, el conjunto de Russell no es un conjunto en el sentido cantoriano del término. La propiedad cp - x $ x no determina un conjun­to, contra lo que afirma el principio de comprensión.

En cualquier caso, la paradoja de Russell alcanzaba a la teoría general de las clases y a la lógica de orden superior. Una vez conocida la paradoja de Russell la teoría intuitiva de conjuntos entró en crisis, y esta crisis afectó también a los fundamentos de la matemática en general, puesto que de la teoría de conjuntos se deducen muchas partes básicas de la matemática, como la teoría de los nú­meros cardinales y ordinales, los números reales e imaginarios, las funciones y otras. En el año 1908 se propusieron de manera casi simultánea tres intentos de solución para las antinomias de la teoría de conjuntos: la teoría de los tipos de B. Russell, la lógica intuicionista de L. Brouwer, y la. teoría axiomática de conjuntos de E. Zermelo. Aquí nos ocuparemos especialmente de esta última solución, que desde el punto de vista histórico fue la que tuvo mayor importancia. Respecto de las otras dos haremos simplemente algunas observaciones generales.

La solución propuesta por la teoría de los tipos consiste en estratificar el len­guaje en diferentes niveles. Las reglas de este lenguaje estratificado impiden afir­mar proposiciones tales como x & x, las cuales resultan simplemente fórmulas mal formadas. Russell empleó esta solución a las paradojas para proseguir el pro­grama logicista de deducir la aritmética a partir de una lógica libre de contradic­ciones. En la inmensa Principia mathematica Whitehead y Russell consiguieron

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BKEVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

demostrar un enorme conjunto de teoremas matemáticos. Pero el costo de esta empresa fue alto porque el sistema lógico del cual se deducía la aritmética era mucho más complicado que el de Frege y las correspondientes demostraciones mucho más laboriosas. Además, fue necesario introducir dos axiomas especiales, el de infinitud y el de reducibilidad, que no parecían ser leyes puramente lógi­cas y que muchos matemáticos encontraron inaceptables. Debido a su compleji­dad y a sus dificultades de aplicación, los matemáticos profesionales nunca adop­taron la teoría de los tipos. Desde entonces, el programa logicista ha quedado in­concluso, aunque sus ideas esenciales todavía tienen adeptos. La teoría de los ti­pos tampoco ha perdido su interés filosófico, a pesar de haberse revelado como un instrumento matemático de escasa utilidad.

El intuicionismo de Brouwer intenta resolver las paradojas mediante la op­ción radical de un cambio de lógica. De este modo, la lógica intuicionista recha­za la validez de ciertas leyes lógicas clásicas, tales como la de tercero excluido (x v -• x) y la de doble negación (-•-•x ~* x)> 1 u e están presupuestas en la de­ducción de las paradojas. La lógica intuicionista resulta así un sistema más dé­bil que la lógica clásica, puesto que no hay ningún teorema de la lógica intui­cionista que no tenga su contrapartida en la lógica clásica, pero hay muchos teoremas clásicos que no son válidos en la lógica intuicionista. En 1930 A. Hey-ting, discípulo de Brouwer, consiguió axiomatizar la lógica proposicional intui­cionista mediante un sistema de axiomas simples e intuitivos (véase el. Apéndi­ce 2.16). Sí se reemplaza a la lógica clásica por la intuicionista, se logra efecti­vamente evitar la deducción de contradicciones en la matemática sin complicar la lógica subyacente. Pero el costo de esta maniobra es extremadamente alto porque la propia matemática resulta debilitada. En efecto, mediante los recursos demostrativos del intuicionismo no es posible probar muchos teoremas- funda­mentales de la matemática clásica, por ejemplo, del análisis matemático. La ló­gica intuicionista obliga a abandonar el uso generalizado de las demostraciones por el absurdo, que es práctica usual de los matemáticos desde los tiempos de Euclides. En el intuicionismo la regla del absurdo sólo puede usarse para pro­bar conclusiones negativas, es decir, para refutar proposiciones (la regla adop­ta, entonces, la forma x -» (if & - H1) / "• x)- No resulta aceptable, en cambio, para establecer conclusiones positivas, puesto que en ese caso hace uso de le­yes clásicas rechazadas por los intuicionistas (en efecto, la regla -• x ~* (*V & - \|>) / x asume la ley de doble negación -•- x ~* "/)• ^ lógica intuicionista parece más segura e intuitiva que la lógica clásica, pero es evidentemente me­nos fértil. Los matemáticos profesionales, por su parte, no se han mostrado dis­puestos a aceptar las mutilaciones de la matemática clásica que se siguen de la adopción de la lógica intuicionista. Por otra parte, la matemática intuicionista in­cluye teoremas que son incompatibles con la matemática clásica. Finalmente, la deducción de las partes clásicas de la matemática es a menudo más complicada

LA AXIOMÁTICA ABSTRACTA O FORMAL

mediante la lógica intuicionista que mediante la lógica clásica. Por todas estas razones, la matemática intuicionista no ha tenido grandes desarrollos ni ha sus­citado demasiadas adhesiones. El intuicionismo ha mantenido, sin embargo, su interés filosófico y sus aplicaciones en el campo de la teoría de la demostración y la metateoría de los sistemas formales.

La solución a las paradojas aportada por la teoría axiomática de conjuntos es la que goza de mayor aceptación porque es la que combina la mayor simplici­dad con la mayor fertilidad y facilidad de aplicación. Zermelo se propuso refor-mular rigurosamente la teoría de conjuntas de modo tal que no se produjeran paradojas y a la vez se conservara la mayor parte posible de la teoría intuitiva de Cantor. Para ello presentó un sistema de 7 axiomas, que se reveló insuficien­te para deducir ciertas partes de la aritmética de los números ordinales. En 1922 A. Fraenkel completó el sistema de Zermelo con un nuevo axioma, llama­do axioma de reemplazo, que es un esquema de axioma (véanse los Capítulos 2.3 y 5.2). Ese mismo año, Th. Skolem propuso, de manera independiente, el mismo axioma. En 1930 Zermelo presentó una nueva versión de su sistema en la que modificaba uno de sus 7 axiomas originales, excluía otro, adoptaba el axioma de reemplazo de Fraenkel e introducía un nuevo axioma (el de funda­ción o regularidad). El sistema completo de 9 axiomas (Zermelo-Fraenkel o ZF) resultó adecuado y sin contradicciones aparentes. A partir de dicho sistema, to­dos los resultados fundamentales de la matemática clásica se pueden deducir con relativa facilidad (véase el Apéndice 2.14 para la formulación original de Zermelo y el Capítulo 5.2 para mayores detalles sobre el sistema ZF).

Este sistema utilizaba sólo 2 términos primitivos: el predicado monádico "conjunto" y el predicado diádico "pertenece" (61). Zermelo empleó como primer axioma un principio ya utilizado por Cantor, según el cual dos conjuntos son idénticos cuando tienen todos sus elementos en común. Este se conoce como axioma de cxtensionalidad y tiene la siguiente forma: V(xy) (Vz (z e x *» z £ y) -» x - y). Luego, postuló como axioma (el tercero en su lista) a una versión mo­dificada del principio de comprensión. Se lo denomina axioma de separación (o de subconjuntos) y se lo escribe así: 3y Vx (x e y •» (i 6 z & cpx)). La idea fundamental de este axioma (en realidad, un esquema de axioma) es limitar la formación de conjuntos, de manera tal que no ocurra que para toda propiedad exista un conjunto que es su extensión. La restricción de Zermelo consiste en requerir que el nuevo conjunto determinado por la propiedad cp sea un subcon-junto de un conjunto ya dado. Esto se expresa en el axioma mediante la condi­ción de que todos los elementos del conjunto y, determinado por la propiedad cp, sean elementos de otro conjunto previamente existente z. Esta condición im­pide que puedan formarse conjuntos "demasiado grandes", que son los que ori­ginan paradojas. Los restantes axiomas son, a su vez, modificaciones del axio­ma de comprensión que limitan la formación de conjuntos, pero permiten tratar

PREVÉ HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

con conjuntos infinitos. En el sistema de Zermelo-Fraenkel no existen, por ejem­plo, ni la clase universal U, ni conjuntos que sean elementos de sí mismos. Por consiguiente, no se producen las paradojas de Cantor y de Russell.

Posteriormente se construyeron diversos sistemas axiomáticos de la teoría de conjuntos diferentes del de Zermelo-Fraenkel. En 1925 J. Von Neumann pre­sentó, bajo la forma de una teoría de las funciones, otra teoría axiomádca de conjuntos, que luego fue perfeccionada por P. Bemays y por K. Gódel, y se co­noce como Von Neumann-Bernays-Gódel (VNBG). En 1937, W. Quine propuso un sistema muy sencillo, conocido como NF (New Foundations), que empleaba sólo 2 axiomas. En 1955 A. Morse creó otra aromatización diferente de las an­teriores. Las relaciones entre estos diferentes sistemas axiomáticos han sido es­tudiadas con detalle, pero no pueden exponerse aquí. Digamos simplemente que no son sistemas equivalentes (en el sentido preciso que se define en el Ca­pítulo 2.4). Además, el concepto de conjunto que se emplea en cada uno de ellos es en parte diferente, y los conjuntos construibles en cada sistema no son los mismos (por ejemplo, en los sistemas de Von Neumann-Bernays-Gódel, de Quine y de Morse existe la clase universal, pero no en el de Zermelo-Fraenkel). Por último todos los sistemas axiomáticos de teoría de conjuntos tienen en co­mún el hecho de que no se ha demostrado la consistencia absoluta de ninguno de ellos. Hasta el momento no se han presentado contradicciones en estos sis­temas, pero no hay garantía de que en el futuro no aparezcan antinomias (para más detalles véase el Capítulo 5.2).

Los éxitos obtenidos por la axiomatización de teorías matemáticas a comien­zos del siglo XX hicieron crecer el optimismo sobre la aplicabilidad del método axiomático. En su artículo "Pensamiento axiomático", publicado en 1918, Hilbert consideraba que toda la matemática debía axiomatizarse y que el método axio­mático podía extenderse también a las ciencias físicas, o al menos a todas las teorías de la física en las que la matemática desempeñara un papel importante. El llamado "programa de Hilbert" era el proyecto de axiomatizar todas las teo­rías de la matemática en un lenguaje completamente formalizado, y demostrar que los sistemas resultantes eran consistentes. Las pruebas de consistencia de­bían ser absolutas y realizadas por medios estrictamente finitarios (véase el Apéndice 1), esto es, que pudieran verificarse concluyentemente en un número finito de pasos. El ideal de Hilbert consistía en obtener para cada rama de la matemática un sistema axiomático formalizado que fuera a la vez consistente y completo.

El célebre teorema de incompletitud, descubierto por K. Gódel en 1931, de­mostró que este ideal era irrealizable. Gódel probó que cualquier sistema axio­mático formalizado que fuera lo suficientemente rico como para incluir a la arit­mética elemental, es necesariamente incompleto (e ¡ncompletable), dado el su­puesto de que es consistente. Como corolario de este resultado, demostró tam-

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NOTAS BIBLIOGRÁFICAS

bien que si un sistema axiomático de este tipo es consistente, su consistencia no puede ser probada dentro del propio sistema. Estos dos resultados afectaban severamente al programa de Hilbert, al menos en su formulación original, por­que mostraban que los sistemas axiomáticos formales tienen limitaciones inter­nas insuperables. No se sigue de ello, sin embargo, que el método axiomático sea inaplicable o carezca de utilidad. Por el contrario, el empleo de este méto­do mismo fue el que hizo posible el descubrimiento de sus propias limitaciones (véase el Capítulo 4 y especialmente el Apéndice 1, para mayores detalles y una exposición más matizada del tema). .

Con los teoremas de Gódel comienza una nueva etapa del método axiomáti­co, caracterizada por la investigación metateórica rigurosa de las propiedades de los sistemas formales, así como por el replanteo de los métodos de prueba ad­misibles en la metateoría de tales sistemas. Esta etapa llega hasta nuestros días,

•por lo que parece conveniente terminar en este punto nuestra breve historia del método axiomático.

Notas bibliográficas No se ha escrito todavía, hasta donde conozco, una obra dedicada exclusiva­

mente a la historia del método axiomático. Se pueden encontrar informaciones en las obras generales de historia de la lógica, sobre todo la de Kneale (1984), y de la matemática: Collette (1973-1979): Rey Pastor y Babini (1985); Dahan-Dalmedico y Peiffer (1986), Boyer y Merzbach (1989); Wussing (1989); Kline (1990), y Gratan-Guinness (1994) y (1997) son obras con enfoques muy diferen­tes, que no siempre reservan el espacio merecido al método axiomático. Tam­bién son útiles Bourbaki (1974), Kline (1980) y especialmente Eves (1990), que es la obra que más se aproxima a un esbozo de historia del método axiomático. La amplia obra filosófica de Suppes (2002) también contiene información históri­ca sobre la axiomática. Benacerraf y Putnam (1983) y Tymoczko (1998) son dos amplias antologías de trabajos originales sobre la filosofía de la matemática en el siglo XX. Shapiro (2000a) es una introducción histórica a la filosofía de la mate­mática que también incluye una exposición detallada de la situación actual.

Mueller (1981) es el estudio moderno más completo sobre los Elementos de Euclides. Beaney (1997) contiene una traducción de casi todos los escritos im­portantes de Frege. Ferreirós (2006) es una traducción comentada de trabajos y correspondencia de Cantor. Hilbert (1930) es la realización clásica de la axiomá­tica formal. Kolmogorov (1933) es otra obra clásica. Garciadiego (1992) es un es­tudio histórico detallado de la paradoja de Russell. La presentación original de la teoría de los tipos está contenida en Russell (1956). Los Principia de Whitehead y Russell (1910-1913) son posiblemente el tratado de lógica más extenso que se

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO AXIOMÁTICO

haya escrito, pero los primeros capítulos del primer volumen, que contienen la presentación axiomática de la lógica, todavía resultan muy legibles. Sobre la his­toria de la geometría no euclídea Gray (1989) presenta un esquema general y Torretti (1978) un tratamiento detallado del desarrollo axiomático. Bonola (1955) es una obra clásica, ya antvgua, pero todavía útil (la edición inglesa, pero no la española, contiene como apéndices traducciones de las memorias originales de Bolyai y Lobachevsky). Torretti (1998), Mosterin (2000) y Grattan-Guinness (2000) ofrecen mucha información sobre el desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos y la fundamentación de la matemática en los siglos XTX y XX. Sobre ese tema también son útiles Tiles (1989) y (1991) y Gray (2000). Van Heijenoort (1967), Ewald (1996) y Mancosu (1998) contienen numerosas traducciones de textos fundamentales de la historia de la lógica y la matemática.

La estructura de un sistema axiomático

2.1 ¿Qué es un sistema axiomático?

U n sistema axiomático es una teoría organizada axiomáticamente. Las teo­rías, por su parte, están formadas por enunciados o proposiciones (aquí tomaremos enunciado y proposición como sinónimos). Una teoría es, co­

mo primera aproximación, un conjunto de proposiciones organizadas sistemáti­camente. A veces se llama teoría, en un sentido un poco vago, a cualquier con­junto de proposiciones que tratan acerca de un tema o dominio determinado. Sin embargo, desde un punto de vista lógico, la característica esencial de una teoría consiste en que ésta es un conjunto de proposiciones cerradas respecto de la relación de consecuencia lógica, esto es, toda proposición que sea conse­cuencia lógica de una teoría también pertenece a esa teoría (en el parágrafo 2.6 de este capítulo trataremos con más detalle el concepto de teoría). Por cierto, no toda teoría es una teoría axiomática. Para obtener una teoría axiomática es necesario determinar un subconjunto A de las proposiciones de una teoría tal que todas las proposiciones de la teoría sean consecuencias lógicas de A El conjunto A es el conjunto de los axiomas de la teoría. Con estos elementos ya podemos dar una definición de sistema axiomático:

0 Un sistema axiomático S es un conjunto de proposiciones en el cual se dis­tingue un subconjunto A (los axiomas), tal que toda proposición que pertenece a S es consecuencia lógica de A, y toda proposición que es consecuencia lógi­ca de A pertenece a S.

Esta definición vale para cualquier sistema axiomático, como los Elementos de Euclides, que esté compuesto por proposiciones o aseveraciones, es decir, oraciones significativas que tienen valor de verdad y, por consiguiente, son ver­daderas o falsas. Sin embargo, aquí nos interesa tratar con sistemas axiomáticos formales, que no son conjuntos de proposiciones, sino de proposiciones forma­les. Una proposición formal es una expresión que contiene uno o más términos carentes de significado. Como consecuencia de ello, no tiene valor de verdad, no es verdadera ni falsa hasta que no se otorgue significado a dichos términos. Cuando se asigna un significado determinado a todos los términos de una pro­posición formal, ésta se convierte en una proposición. Así, por ejemplo, la expre­sión 1) "Hay al menos cuatro puntos que no están en un mismo plano", es una

ESTRUCTURA DE IJN SISTEMA AXIOMÁTICO

proposición (que además es verdadera respecto del espacio de Euclides). En cambio, la expresión 1') "Hay al menos cuatro F que no están en un mismo G" es una proposición formal, porque contiene los términos F y G, cuyo significa­do no está determinado. Por consiguiente, no es verdadera ni falsa. Si conveni­mos en que el término F signifique "punto" y el término G signifique "recta", la proposición formal 1') se transforma en la proposición 1). Por otra parte, si asig­namos otros significados a F y G, por ejemplo, "libro" y "biblioteca", 1') se con­vierte en la proposición 2) "Hay al menos cuatro libros que no están en la mis­ma biblioteca" (la cual es falsa respecto de la oficina de mi padre, que guarda todos sus libros en la misma biblioteca, pero verdadera respecto de mi departa­mento, que tiene varias bibliotecas, además de libros dispersos por todas par­tes). Un sistema axiomático formal es, entonces, una teoría axiomática compues­ta por proposiciones formales. Entre estas proposiciones formales no podemos establecer la relación semántica de consecuencia lógica, sino solamente la rela­ción sintáctica de deducibilidad.

0 Un sistema axiomático formal S es un conjunto de proposiciones formales en el cual se distingue un subconjunto A (los axiomas), tal que todas las pro­posiciones formales que pertenecen a 5 son deducibles de A, y toda proposición formal deducible de A pertenece a 5.

Un sistema formal puede formularse en una lengua natural no formalizada, como el español o el inglés, siempre que todos sus axiomas sean proposiciones formales, es decir, contengan al menos un término carente de significado. Es­tos términos sin un significado determinado pueden ser tanto palabras del len­guaje corriente a las que se ha despojado de todo sentido usual (como, por ejemplo, "punto", "recta" y "plano" en la axiomatización de Hilbert de la geome­tría euclídea expuesta en el Apéndice 2.12), como signos especiales introduci­dos en el lenguaje natural (por ejemplo, F, G y H en vez de "punto", "recta" y "plano"). Este último procedimiento es preferible porque evita las connotacio­nes significativas que puedan conservar los términos de las lenguas naturales. En un sistema formal no formalizado la construcción de proposiciones formales se encuentra implícitamente regulada por la gramática de la lengua natural en la cual se expresa ese sistema. Por otra parte, la manera de transformar unas proposiciones formales en otras (la deducción correcta de unas a partir de otras) no está determinada por reglas explícitas, sino que se realiza de un mo­do intuitivo.

Los sistemas formales formalizados se expresan en un lenguaje artificial, co­mo el de la lógica, la matemática o la computación. En un sistema formalizado los signos que lo componen se relacionan entre sí mediante reglas de tipo sin­táctico, pero no tienen significado alguno en el sentido preciso de que no se re­fieren a ningún objeto o entidad. En esta clase de sistemas la manera de com­binar los signos para construir proposiciones formales, y la manera de transíor-

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ELEMENTOS r>E UN SISTEMA AXIOMÁTICO

mar unas proposiciones formales en otras (la deducción correcta de unas a par­tir de otras) están especificadas explícitamente por reglas sintácticas (las reglas de formación y transformación, respectivamente).

A veces se emplea la expresión "sistema axiomático material" para caracteri­zar a los sistemas no formales constituidos por proposiciones significativas y di­ferenciarlos de los sistemas axiomáticos formales compuestos de proposiciones formales sin significado. En este trabajo preferiremos evitar esta terminología. Llamaremos simplemente sistemas axiomáticos no formales a los que están compuestos por proposiciones, y sistemas-axiomáticos formales a los que están compuestos por proposiciones formales. Los sistemas axiomáticos formales, a su vez, pueden ser formalizados o no formalizados, según se expresen en un len­guaje artificial regimentado o en una lengua natural enriquecida con algunos términos técnicos. De aquí en adelante nos ocuparemos de la estructura, inter­pretación y aplicación de los sistemas formales. En el Apéndice 2 incluimos la traducción de diversos sistemas axiomáticos no formales, desde Aristóteles has­ta Newton, así como de algunos de los primeros sistemas axiomáticos formales, que tienen especial importancia histórica.

Comenzaremos por analizar detenidamente cómo es la estructura de un sis­tema axiomático formal, esto es, cuáles son los elementos que lo componen y cómo se relacionan entre sí estos diferentes elementos.

2.2 Elementos de un sistema axiomático 0) Lógica subyacente. Es la lógica presupuesta por el sistema. En todo

sistema axiomático se emplea alguna clase de lógica como instrumento para rea­lizar las inferencias legítimas que permitirán obtener pruebas o demostraciones. La lógica subyacente puede estar meramente supuesta y no hacerse explícita dentro del sistema. Esto es lo que sucede en la mayoría de los sistemas axio­máticos de matemática. Por su parte, la lógica subyacente también puede estar axiomatizada, aunque generalmente se prefiere, por razones de simplicidad y utilidad, emplear una lógica no axiomatizada. Si el sistema axiomático que se construye es un sistema de lógica elemental, obviamente no tendrá una lógica subyacente, pues él mismo es un sistema de lógica. En los sistemas matemáti­cos, la lógica de primer orden constituye el requisito mínimo para una lógica subyacente. Hay, sin embargo, muchas teorías matemáticas que no se pueden axiomatizar mediante la lógica de primer orden porque requieren herramientas lógicas más potentes. En esos casos se emplea como lógica subyacente a la teo­ría de conjuntos o bien a una lógica de segundo orden o incluso de orden su­perior. Los matemáticos casi siempre prefieren a la teoría informal de conjuntos como lógica subyacente por su mayor simplicidad y facilidad de aplicación. Sin embargo, cuando se trabaja en temas de fundamentación de las teorías materna-

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

ticas la teoría axiomática de conjuntos resulta preferible, ya que minimiza los riesgos de que se produzcan paradojas, aunque no los elimina totalmente.

Puede decirse que, en cierto sentido, la lógica de primer orden es la lógica subyacente fundamental de todo sistema axiomático. En efecto las lógicas más potentes, como la teoría de conjuntos y las lógicas de orden superior se pueden presentar a su vez como sistemas axiomáticos que tienen a la lógica de primer orden como lógica subyacente. Por su parte, la lógica de primer orden también se puede emplear de manera axiomatizada, pero un sistema axiomático de lógi­ca de primer orden no tiene lógica subyacente.

1) Vocabulario. Es el conjunto de todos los símbolos mediante los cuales se construyen las cadenas y fórmulas que componen el lenguaje del sistema. El vocabulario de un sistema axiomático contiene diferentes clases y categorías de símbolos. Daremos aquí un esquema básico de clasificación con la advertencia explícita de que la terminología varia mucho de un autor a otro, sin que haya un consenso unánime entre los lógicos y matemáticos sobre cómo llamar a ca­da clase de símbolo.

la) Símbolos lógicos: son las conectivas lógicas, los cuantificadores y los signos de puntuación, como los paréntesis y corchetes. Se toman del lengua­je de la lógica subyacente al sistema. Ib) Símbolos no lógicos: genéricamente se los denomina términos o térmi­nos descriptivos. Son aquellos símbolos que pueden usarse para denotar in­dividuos, propiedades o relaciones y funciones. Pertenecen a esta clase las variables preposicionales y predicativas, asi como las constantes individuales y predicativas, los operadores y fimtores. En un sistema axiomático formal ninguno de estos términos tiene significado. Pero cada uno de ellos pertene­ce a una categoría gramatical bien determinada. Por ejemplo, las constantes predicativas (y variables, si las hubiera) se distinguen por su grado: predica­dos monádicos, diádícos, triádicos, etc., según se apliquen a uno, dos o tres individuos. En general, el número de símbolos no lógicos de un sistema axiomático es infinito.

Entre los términos descriptivos del sistema se eligen algunos que forman el vocabulario específico del sistema axiomático del que se trate. Estos son los términos técnicos del sistema, que se dividen en dos clases fundamentales:

lbl) Términos primitivos: son los términos no definidos que se introdu­cen especificando únicamente la categoría gramatical a la que pertene­cen. Por ejemplo, si las constantes predicativas P y Q son los primitivos de un sistema, es necesario indicar si son predicados monádicos, diádi-cos o del grado que fuere. La elección de los términos primitivos de un sistema axiomático es completamente convencional; se realiza sobre la

ELEMEOTOS DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

base de criterios de simplicidad, utilidad, o elegancia, estética. En princi­pio, se procura introducir la menor cantidad posible de primitivos o de clases de ellos, pero este criterio no es absoluto. Frecuentemente, por ra­zones de facilidad de uso, se prefiere introducir una mayor cantidad de primitivos que lo que sería estrictamente necesario. Ib2) Términos definidos: son los términos que se definen mediante los primitivos (junto con los símbolos lógicos que sean necesarios). Las de­finiciones son estrictamente nominales y tienen la forma: f - ¿e¡ f,-...í¿, donde t es un término definido y í,-..'.ffe es una lista finita de términos pri­mitivos (junto con símbolos lógicos). La presencia de términos definidos en un sistema axiomático no es imprescindible. Todas las expresiones del lenguaje del sistema pueden construirse empleando solamente térmi­nos primitivos y símbolos lógicos. Los términos definidos se introducen con el fin de simplificar el lenguaje del sistema y hacerlo más claro e in­teligible. No obstante, siempre se los puede eliminar reemplazándoselos por su correspondiente definición en función de los términos primitivos.

Las definiciones de un sistema formal deben satisfacer dos condiciones: i) eliminabilidad y ii) no creatividad. Las definiciones son eliminables cuando cualquier expresión de un sistema axiomático que contiene térmi­nos definidos se puede reemplazar por otra expresión equivalente que só­lo contiene términos primitivos y símbolos lógicos, pero ningún término definido. Por otra parte, las definiciones son no creativas cuando no per­miten probar como teoremas expresiones que no son demostrables ex­clusivamente a partir de los axiomas, cuando se han eliminado de ellas los términos definidos. Esto significa que si tenemos como teorema una expresión x que emplea el término definido í, y en la prueba de x se ha utilizado la definición de í, es posible demostrar sólo a partir de los axio­mas una expresión equivalente x' que no contiene términos definidos. Es­tas dos condiciones establecen que las definiciones son meras estipulacio­nes o abreviaciones terminológicas, y por consiguiente, no dan lugar a la demostración de nuevos teoremas. En caso contrario, tendrían el carácter de axiomas.

2) Reglas de formación. Son reglas de tipo sintáctico o gramatical que in­dican cómo combinar los símbolos del vocabulario de un sistema para obtener proposiciones formales bien construidas. Todo sistema axiomático requiere de un número finito de reglas de formación. Cualquier secuencia finita de símbo­los de un sistema es una cadena. En un sistema axiomático generalmente hay infinitas cadenas. Pero no todo elemento de este conjunto será aceptable como una proposición formal, porque no cualquier cadena se considerará como una fórmula bien construida. Llamamos fórmula bien formada {fbfl, o simplemente

ESTRUCTURA DE IJN SISTEMA AXIOMÁTICO

fórmula, a toda cadena obtenida mediante la aplicación de una o más reglas de formación del sistema a los símbolos del vocabulario. Las reglas de formación son las que permiten diferenciar dentro de un sistema las cadenas de símbolos que son fórmulas bien formadas de aquellas que no lo son. El conjunto de las fbf de un sistema generalmente también es infinito. Las fbf de un sistema axio­mático formal son meras proposiciones formales que no tienen significado, y, por consiguiente, carecen de valor de verdad. No son verdaderas ni falsas has­ta tanto no demos una interpretación de ese sistema.

3) Reglas de transformación. Son reglas lógicas que indican cómo obte­ner una fbf a partir de otra u otras fbf Más precisamente, establecen que una fbf es inmediatamente deducible como conclusión a partir de un conjunto finito de fbf tomadas como premisas. Son, en suma, las reglas de inferencia proporcio­nadas por la lógica subyacente del sistema. Generalmente se acostumbra a enunciarlas aparte de manera explícita, aunque ya estén implícitas en la lógica subyacente. La elección de las reglas de transformación también es convencio­nal y se guía por criterios pragmáticos. Todo sistema axiomático necesita al me­nos una regla de transformación, pero no hay un limite superior para el núme­ro de reglas con tal de que éste sea finito. Una sola regla resulta suficiente (por ejemplo, la regla de separación o modus ponens, que se formula en el Capítulo 2.3), pero generalmente se emplea más de una con el fin de hacer que las de­mostraciones sean más simples y breves.

Todas las reglas de transformación deben satisfacer el requisito de correc­ción, que consiste en la conservación de la verdad de las premisas a las que se aplican. Esto es, una regla de inferencia es correcta cuando a partir de proposi­ciones verdaderas sólo permite inferir proposiciones verdaderas. Una regla de inferencia correcta garantiza, en razón de la mera forma lógica de la inferencia, la transmisión de la verdad de las premisas a la conclusión. En i^eneral, un sis­tema axiomático es correcto cuando todas las fórmulas deducidas de los axio­mas son también consecuencia lógica de los axiomas, es decir, si A es el con­junto de los axiomas y x es una fórmula cualquiera, entonces, si A i- x, enton­ces, A <- x- La corrección de las reglas de transformación de un sistema axio­mático nos asegura que, cuando interpretemos ese sistema, si los axiomas re­sultan verdaderos, también los teoremas serán verdaderos.

4) Axiomas. Constituyen un subconjunto de las fbf de un sistema axiomáti­co. Son las proposiciones formales no demostradas que se adoptan sin prueba o justificación alguna. También se eligen convencionalmente, pero no seria ade­cuado decir que su elección es totalmente arbitraria. Los axiomas deben ser lo suficientemente fructíferos como para poder deducir de ellos todas las fórmulas que constituyen el sistema en cuestión. Por ejemplo, no cualquier conjunto de

fiO

ELEMENTOS DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

fbf de la lógica proposicional es adecuado como base axiomática para un siste­ma de lógica de este tipo, porque no cualquier conjunto de fbf permite deducir todas las tautologías de la lógica proposicional. Existe, con todo, una amplia li­bertad de elección para los axiomas de un sistema. Por esta razón es posible construir, como veremos más adelante, sistemas equivalentes a partir de dife­rentes conjuntos de axiomas. Por ejemplo, hay muchos sistemas equivalentes de lógica proposicional tales que ciertas fbf que aparecen como axiomas en un sis­tema, son teoremas en otro sistema y viceversa. Esto nos muestra la relatividad de la noción de axioma. Una determinada, proposición formal sólo es axioma respecto de un detenninado sistema axiomático, pero puede no ser axioma, y generalmente no lo es, en otro sistema equivalente (o no) al primero.

Los axiomas, como cualquier otra fbf de un sistema formal, no tienen signi­ficado ni valor de verdad. En particular, no son enunciados verdaderos y, por tanto, no se los elige por su evidencia, por el hecho de que sean verdades au-toevidentes. Son meras proposiciones formales de las cuales se deducen otras proposiciones formales mediante la aplicación de las reglas de transformación del sistema.

El conjunto de los axiomas de un sistema axiomático no necesariamente de­be ser finito. Como veremos luego, hay teorías que no son axiomatizables me­diante un número finito de axiomas y requieren un número infinito de ellos. Si el número de axiomas es finito se los puede presentar mediante una lista, una secuencia numerada de ellos. En cambio, si un sistema tiene infinitos axiomas, evidentemente no es posible dar una lista de ellos. En ese caso debe proporcio­narse un medio efectivo para identificar si una fbf cualquiera del sistema es o no un axioma. Un sistema de este tipo se presenta mediante esquemas de axio­ma, formulados con metavariables, cada uno de los cuales comprende como ca­sos a infinitos axiomas. Por ejemplo, si A —• A se toma como axioma esquema, p -» p; (p v q) ->• (p v q); y otras infinitas fbf de la misma forma lógica serán casos de sustitución de ese esquema. Toda fbf que tenga la misma forma lógi­ca que un esquema de axioma será, entonces, un axioma del sistema. Por su­puesto, el número de esquemas de axioma debe ser finito.

Idealmente, en la construcción de un sistema axiomático se tiende a reducir el número de axiomas o de esquemas de axioma al mínimo posible. Pero éste tampoco es un requisito irrevocable. Con frecuencia se emplean más axiomas que los estrictamente necesarios con el fin de que éstos resulten más breves y sencillos y ias demostraciones a partir de ellos sean más fáciles. Más adelante nos encontraremos con ejemplos de esta situación.

5) Teoremas. Son las/ft/de un sistema que se deducen de los axiomas me­diante la aplicación de alguna regla de transformación.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

Los axiomas se consideran fbf deducibles de sí mismas, (pues la reflexividad es una propiedad esencial de la relación de deducibilidad: toda fórmula se de­duce de sí misma). Luego, todo axioma es también teorema. Asi, el conjunto de los axiomas de un sistema está incluido en el de los teoremas; y a su vez el conjunto de los teoremas está incluido en el conjunto de las jbf de ese sistema. Casi siempre el conjunto de los teoremas de un sistema axiomático es infinito. Por supuesto, en la práctica no podemos conocerlos a todos, sino que nos limi­tamos siempre a un conjunto finito de teoremas efectivamente demostrados.

Una vez que hemos descripto todos los elementos que componen un siste­ma axiomádco podemos caracterizar las nociones de demostración formal y de deducción en un sistema axiomático.

0 Una demostración formal en un sistema axiomático S es una secuencia fi­nita de fbf de S, tales que cada una de ellas o bien es un axioma, o bien es una fbf inmediatamente deducible de algunas de las fbf que la preceden en la se­cuencia. En una demostración formal toda fórmula deducida de los axiomas de­be obtenerse por medio de la aplicación de alguna regla de transformación del sistema a los axiomas. La última fbf de la secuencia es ia conclusión o teorema demostrado.

0 Una deducción a partir del conjunto G de premisas en un sistema axiomá­tico S es una secuencia finita de fbf, tales que cada una de ellas es un axioma, o un miembro de G, o es una fbf inmediatamente deducible de algunas de las fbf que la preceden en la secuencia. La última fbf de la secuencia se denomina teorema deducible del conjunto de premisas G.

De estas dos definiciones la segunda es más general y abarca a la primera. En efecto, una demostración formal es un caso particular de deducción: es una deducción en la que el conjunto G de premisas es vacío.

2.3 Ejemplo de un sistema axiomático Veremos ahora cómo se construye un sistema axiomático simple y daremos

algunos ejemplos de demostración de teoremas dentro de ese sistema. Con ello se aclararán muchos de los conceptos que acabamos de caracterizar de una ma­nera abstracta. Presentaremos, en una versión ligeramente modernizada, un sis­tema axiomático de lógica proposicional que fue creado por el lógico polaco J. Lukasiewicz en 1929 (traducido en Lukasiewicz 1963). Introduciremos uno por uno los diferentes elementos y los iremos comentando.

EJEMPLO DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

Los sistemas axiomáticos de lógica fundamental representan un caso ligera­mente atipico dentro de los sistemas axiomáticos formales. Ante todo, esta cla­se de sistemas no tiene una lógica subyacente presupuesta que sea diferente del sistema mismo. Dado que se trata sistemas de lógica básica, la lógica sub­yacente está dada por el propio sistema, el cual puede usarse a su vez como ló­gica subyacente para otras teorías axiomáticas. Sin embargo, la mayoría de los sistemas axiomáticos formales tiene una lógica subyacente que no está axioma-tizada. El ejemplo de la lógica proposicional es particularmente simple y, ade­más, nos resulta útil para introducir la estructura de un lenguaje formalizado y para conocer la manera en que se demuestran teoremas dentro de un sistema formal. Más adelante (en el Capitulo 2.6) presentaremos otros ejemplos de sis­temas axiomáticos formalizados, la aritmética de Peano y la geometría elemen­tal de Tarski, que representan casos más típicos de empleo del método axiomá­tico en las ciencias formales.

Lógica proposicional (Lukasiewicz 1929)

1) Términos primitivos

a) Símbolos lógicos Constantes lógicas: -> , -» Signos de puntuación: ( )

b) Símbolos no lógicos Símbolos proposicionales: p, q, r, ...p¡, q¡, r¡ ...

2) Reglas de formación Las letras mayúsculas A, B, C..., que emplearemos en las reglas de forma­

ción y transformación, son en realidad metavariables que representan a cual­quier fórmula del sistema. Así, por ejemplo, A puede representar a un símbolo proposicional p, pero también a la fórmula (p -* q) o a cualquier otra de cual­quier extensión.

RF1. Todo símbolo proposicional es una fórmula bien formada {fifí. RF2. Si A es una Jbf, entonces - A es una fbf. RF3. Si A y B son fbf, entonces A -» B es una fbf. RF4. Si A y B son fbf, entonces - (A) y (A — B) son fbf

Ninguna otra fórmula es una Jbf.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

Todas las reglas se enuncian en un nivel metalingúístico. Estas reglas nos permiten construir fórmulas bien formadas de cualquier extensión. Por ejemplo, A, y B, son fbf por RF1; A — B es una fbf por RF3; - (A — B) es una fbf por RF2 y RF4; (- (A — B)) — (- (A — B)) es una fbf vor RF3 y RF4, y así su­cesivamente. La oración final es una cláusula de cierre, que se emplea para ex­cluir la posibilidad de que se agreguen nuevas reglas de formación o se las su­ponga tácitamente.

Para simplificar la notación y eliminar e! uso de paréntesis adoptaremos la convención de suprimir los paréntesis extemos de cada fórmula. De este modo, escribiremos A-» B en vez de (A -* B); y (A — B) -» C en vez de ((A —• B) -» C). También escribiremos -. A en vez de -• (A) cuando la fórmula A no con­tenga otras constantes lógicas.

3) Términos definidos Definición de "v": A v B >def - A — B. Definición de "&": A & B -d e f - (A — -. B). Definición de "—": A *- B -def - ((A — B) — (- (B — A)).

Los términos definidos no son necesarios dentro del sistema, ya que todas las fbf de la lógica proposicional pueden escribirse solamente con las conectivas de negación y condicional. Se los introduce por razones prácticas para simplifi­car la escritura y para traducir al lenguaje del sistema otras formulaciones de la lógica proposicional.

4) Reglas de transformación KTl. Dadas las fbf A y (A — B), la fbf B se deduce inmediatamente de

ambas. RT2. Dado un teorema A, se deduce inmediatamente otro teorema B sus­

tituyendo en A una cualquiera de sus variables, en todas sus apari­ciones, por una fbf cualquiera.

Estas son todas las reglas de transformación del sistema.

La regla RTl es la regla de separación o modus ponens: A, (A —• B) / B, co­nocida ya por los antiguos griegos. La regla RT2 es la regla de sustitución uni­forme de variables, que en este sistema se aplica sólo a los símbolos preposi­cionales. A veces, para simplificar las demostraciones, se introducen reglas de­rivadas de inferencia, pero aquí no lo haremos.

64

EJEMPLO DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

5) Axiomas

Axl. fe - 9) - ((9 - r) -* fe - r)).

Ax2. (- p — p) - p.

Ax3. />—(- /> — 9).

Ninguna otra fórmula es un axioma.

Por razones de elegancia, casi siempre se prefiere utilizar sólo términos pri­mitivos en la formulación de los axiomas, como ocurre en este caso, aunque ello no es indispensable.

6) Teoremas

T I . (((? - r) - fe - r)) - s) - (fe - q) - . 5).

Demostración:

1. fe -• 9) — ((9 - r) - fe — r)) [Axioma 1]

2. (fe - 9) -> ((í - r) - fe - r))) - ((((9 - r) - (/> - . r)) - s) -(fe — q) —• J)) [De 1 por RT2, sustituyendo p por (¿> — 5);

9 por (9 — r) —• (p —• r); y r por s]

3. (((9 - r) - fe - r)) - s) - (fe - ?) - s)[De 1 y 2 Por RTl]

Todo teorema demostrado se puede usar a su vez como axioma de las si­guientes demostraciones.

T2. fe - (9 - i)) - ((y -» 9) - fe -> (í - r))).

Demostración:

1. (((9 -* r) — fe - tf) - s) - (fe — ?) - s) [Teorema 1]

2. ((((9 - r) -* fe - r)) - s) - (fe - 9) - s)) - (((5 ~ q) -* fe - (s - r)))) - (fe - (9 - s)) - ((s - 9) - fe - fr - '))))

[De 1 por RT2, sustituyendo 17 por (<? -« r); r por (s — r); y 5 por ((s — ?) — fe — (s •— r)))]

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

3. (((<? - r ) - (p-~r))-~s) -* ({p -*?) - s ) ) -* (((*-*?)-*(/>-(<: -* r))) [De 1 por KT2, sustituyendo p por s; y s por/> — (s — r)]

4. {p - (<? - s)) - (Cs — 9) - Ü> - (s - r))) [De 2 y 3 por RTl] •

Estos dos teoremas se deducen del Axioma 1 exclusivamente. Veamos aho­ra una demostración que emplea los tres axiomas conjuntamente.

T3 . p -* p

Demostración:

1. (p — q) -* ((? - r) — (p — r)) [Axioma 1]

2. «P - (-< P - ?)) - (((- j> - <?) - r) - (í> - r)) [De 1 por RT2, sustituyendo q por (-• p -• ?)]

3. />—•(- p —• ?) [Axioma 3]

4. ( ( - />—?) — #0 — (J> — r) [De 2 y 3 por RTl]

5. ((- p — P) —• p) — (P -* P) [De 4 por RT2, sustituyendo q por />; y r por /i]

6. (- P — í) -* í [Axioma 2]

7. p — p [De 5 y 6 por RTl]

Observemos que cada una de estas secuencias de fórmulas es una demostra­ción porque satisface las condiciones enunciadas antes: cada línea es un axioma o una fórmula que se deduce de alguna línea precedente por medio de la apli­cación de una regla de transformación. La clave para encontrar una prueba de un teorema cualquiera está en hallar la sustitución adecuada para cada uno de los símbolos preposicionales p, q y r, que aparecen en los axiomas. La única res­tricción para este procedimiento es que la sustitución debe ser uniforme en ca­da línea, o sea, que si, por ejemplo, en el Axioma 2 el símbolo p se reemplaza por la fórmula (r -» q), todas las apariciones de p en ese axioma deben reem­plazarse por (r -» q). Ello no impide que en otra línea de la demostración p sea remplazada uniformemente, en cualquier axioma, por otra fórmula cualquiera.

ElEMPLO DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

Actualmente se prefiere formular los sistemas axiomáticos de lógica median­te esquemas de axiomas. El número de axiomas del sistema se vuelve, enton­ces, infinito, porque cada esquema representa a un número infinito de axiomas. Este hecho no constituye un problema porque comparando la forma lógica de los esquemas de axiomas con la forma lógica de cualquier fbf, podemos deter­minar si esa fbf es o no es un axioma. Por otra parte, este procedimiento tiene varias ventajas: se puede prescindir de la regla de sustitución, las demostracio­nes se vuelven más simples y los resultados obtenidos son más generales. La idea de emplear esquemas de axiomas la introdujo J. Von Neumann en 1927, pero el procedimiento sólo se generalizó años más tarde. Un ejemplo de esta clase de formulación es el sistema de lógica proposicional que A. Church pre­sentó en 1956, inspirado en el de J. Lukasiewicz que acabamos de exponer. El sistema emplea los mismos términos primitivos, reglas de formación y términos definidos; una sola regla de transformación, el modus ponens (KTl), y los si­guientes axiomas:

5') Axiomas

Axl. A - (B - A).

Ax2. (A - (B - O) - ((A - B) - (A - Q) .

Ax3. (- A - - B) - (B - A).

Ninguna otra fórmula es un axioma.

Estos axiomas son en realidad esquemas de axiomas formulados con rae-tavariables. Las letras A, B, C,..., representan fórmulas cualesquiera, no ne­cesariamente distintas entre si. Cada esquema de axioma tiene un número infinito de casos de sustitución, por lo que cada uno de ellos representa a in­finitos axiomas. Así, por ejemplo, las tres siguientes fórmulas: p -* (q -* P); (P —• fl) -* (? -* (P — l))'< y - P ~* ("• P ~* - P)< s o n todos axiomas ob­tenidos por sustitución del esquema de axioma Axl.

Veamos dos ejemplos de demostración en este sistema.

6') Teoremas

T I . A - A

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

Demostración:

1. A — ((A - A) — A) [Axioma 1]

2. A - ((A - A) - A)) - (((A - (A — A)) - (A - A)) [Axioma 2)

3. (A - (A - A)) - (A — A) [De 1 y 2 por RT1]

4. A — (A — A) [Axioma 1]

5. A - A [De 3 y 4 por RT1] •

Hemos probado un teorema de la lógica proposicional que puede identificar­se con el clásico principio de identidad. Pero, puesto que hemos usado esque­mas de axiomas, hemos demostrado en realidad un esquema de proposición for­mal que representa a infinitos teoremas de la misma forma, por ejemplo: p -*• p\ q -» g; ip — q) — (P — ?); etc.

T2. - A - (A — B).

Demostración:

1. (- B — - A) — (A — B) [Axioma 3]

2. ((^ B - - A) - (A -* B» -

(- A — ((- B - - A) — (A — B))) [Axioma 1]

3. - A - ((- B - - A) — (A -* B)) [De 1 y 2 por RT1]

4. (- A - ((- B - - A) - (A - B))) -

((- A — ((- B - - A)) - (- A - (A - B)))) [Axioma 2]

5. (- A -» (- B . A)) -* (- A — (A - B)) [De 3 y 4 por RT1]

6. - A — (- B — - A) [Axioma 1]

7. - A — (A — B) [De 5 y 6 por RT1] •

SISTEMAS EQUIVALENTES

2 . 4 S i s t e m a s e q u i v a l e n t e s

Se dice que dos sistemas axiomáticos son equivalentes (o equipolentes) cuando permiten demostrar el mismo conjunto de teoremas. Por ejemplo, dos sistemas de lógica proposicional serán equivalentes si en ambos se prueban co­mo teoremas todas las tautologías de la lógica proposicional. La equivalencia en­tre dos sistemas axiomáticos se determina definiendo los términos primitivos de uno mediante los del otro, y demostrando que los axiomas de cada uno son teo­remas en el otro sistema. Más precisamente, los sistemas S, y S2 son equiva­lentes si y sólo si, i) los términos primitivos de S¡ son términos definidos en S2

y los primitivos de S¡ son definidos en S¡; y ii) los axiomas de S¡ son teoremas en Sz y los axiomas de 52 son teoremas en Sj. Cuando se cumplen estas dos condiciones decimos que S, y S2 no son dos teorías diferentes, sino dos formu­laciones diferentes de la misma teoría.

Existen numerosos sistemas axiomáticos de lógica proposicional que son equivalentes entre si. Por ejemplo, el sistema elaborado por D. Hilbert y W. Ac-kermann en 1928 emplea como términos primitivos a las conectivas lógicas de disyunción (v) y condicional (-»), como regla de transformación al modus po-nens, y como axiomas a las siguientes fórmulas:

Axl. (A v A) — A.

Ax2. A — (B v A).

Ax3. CA v B) - (B v A).

Ax4. (A — B) — ((C v A) - (C v B)).

Este sistema es equivalente al de J. Lukasiewicz de 1929, que expusimos an­tes. Para probarlo hay que proceder en dos pasos. Primero traducimos los axio­mas de Hilbert y Ackermann al lenguaje del sistema de Lukasiewicz, reempla­zando de manera uniforme el término lógico "v" por su definición mediante "—" y "->". El primer axioma se traduce, entonces, como; (-• A -» A) -» A. Los res­tantes axiomas puede reescribirlos el lector. Luego se demuestra cada uno de los cuatro axiomas traducidos a partir de los tres axiomas del sistema de Luka­siewicz. Las pruebas correspondientes también quedan como ejercicio para el lector. Con ello se ha probado que el sistema de Lukasiewicz implica al de Hil­bert y Ackermann, pero para probar la equivalencia entre ambos sistemas hay que demostrar que la implicación se da en sentido inverso. Ahora es necesario traducir los axiomas de Lukasiewicz al lenguaje del sistema de Hilbert y Acker­mann y luego deducirlos de los cuatro axiomas de este sistema.

Cuando dos sistemas axiomáticos emplean reglas de inferencia diferentes la deducción de los axiomas debe hacerse empleando las reglas propias de cada

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

uno. Por ejemplo, el sistema de lógica preposicional que H. Reichenbach cons­truyó en 1953 emplea como términos primitivos a las conectivas de negación (-0 y disyunción (v); pero en vez del modus ponens usa como regla de inferen­cia la regla del silogismo disyuntivo: A v B, -• A / B. Los axiomas de ese sis­tema son los siguientes:

Axl. - - (A v (- A v B)).

Ax2. H , ( , ( A V B ) V ( - { - B » A ) V A)).

Ax3. - - (- (A v B) v (- (- B v C) v (A v C))).

Ax4. - A v A.

Ax5. - (A v B) v (A v - - B).

Para probar la equivalencia de este sistema con cualquiera de los dos ante­riores es necesario traducir los axiomas de éstos al lenguaje del sistema de Rei­chenbach y luego demostrarlos a partir de sus cinco axiomas empleando sólo la regla del silogismo disyuntivo. Después hay que traducir los axiomas de Rei­chenbach a los lenguajes de cada uno de los otros dos sistemas y demostrarlos a partir de los axiomas de cada uno de ellos usando sólo la regla del modus po­nens. Aquí tiene el lector un ejercicio más largo y complicado que le demanda­rá algunas horas de trabajo.

2.5 Lógica de primer orden

El sistema axiomático de lógica proposicional que presentamos antes se pue­de ampliar hasta obtener un sistema completo de lógica de primer orden con identidad. Para ello es necesario incorporar nuevos términos primitivos y defini­dos, reglas de formación y de transformación, y una serie de nuevos axiomas. El sistema que expondremos es, con variantes de detalle, el que A. Church construyó en 1956, uno de los más conocidos y utilizados en los subsiguientes tratados de lógica. Su estructura es la siguiente:

Lógica de primer orden con identidad (Church 1956).

1) Términos primitivos

a) Símbolos lógicos Conectivas lógicas: -. ; -» Cuantificador universal: V Símbolo de identidad: =• Signos de puntuación: ( )

LÓGICA DEL PRIMER ORDEN

b) Símbolos no lógicos Símbolos preposicionales: p, q, r, ...p¡, q¡, r¡ ...

Constantes predicativas: P¡, Q¡, R¡, ...

P& Qí ^2' —

Pn. Qn, R«, .• (el número indica el grado del predicado).

Funtores: f¡, / ; , f ' ¡ , ... Í2, f¡, f'z, —

fn, /», /'«, ••• (el número indica el grado del funtor).

Constantes individuales: a, b, c, ...

Variables individuales: x, y, z, ...

El vocabulario incluye un número infinito contable de símbolos proposiciona--les, predicados, funtores, constantes individuales, variables individuales y signos de puntuación.

2) Reglas de formación

Definición de término: i) una constante individual es un término; ii) una va­riable individual es un término; iii) un funtor n-ádico seguido de «-términos es un término; iv) ninguna otra fórmula es un término.

Variables libres y ligadas: una variable individual se llama ligada cuando cae bajo el alcance de un cuantificador. Una variable no 'cuantiíicada se llama libre. Así, en la fórmula V* (Fxy), x está ligada, pero y está libre.

RF1. Cualquier símbolo proposicional es una fbf.

RF2. Si Pn es una constante predicativa n-ádica y í;...ín son términos, entonces P„ t¡...t„ es una fbf.

RF3. Si A es una fbf y u es una variable individual, entonces, VM A es una fbf.

RF4. Si A es una fbf, entonces -• A es una fbf.

RF5. Si A y B son fbf. entonces A -* B es una fbf-

RF6. Si A y B son fbf. entonces - (A) y (A — B) son fbf-

RF7. Si ij y t2 son términos, entonces f, - t2 es una fbf.

Ningún otro símbolo o cadena de símbolos es una fbf-

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

3) Términos definidos

Definición de "v": A v B =def -. A -» B.

Definición de "&": A & B -def - (A • B).

Definición de "~": A ~ B -def -. ((A - B) — (- (B - A))).

Definición de "3": 3u A ~iel -. Vu -> A.

Un lenguaje L construido mediante e) vocabulario y las reglas de formación que acabamos de enunciar es un lenguaje de primer orden.

4) Reglas de transformación

RT1. A, (A — B) / B [Modus ponens].

RT2. A — Pu I A -* V« PU («no aparece libre en A.) [Generalización universal!.

5) Axiomas

Axl. A — (B - A).

Ax2. (A - (B — O) - ((A - B) — (A - O) .

Ax3. (- A — - B) — (B — A).

Ax4. (A — Pa) —• (A — («) Pu) la no aparece libre en A].

Ax5: V« (Pu — Pa).

Ax6: VK (U - u).

Ax7: Vu Vw ((« - ID) — (Pu -> Pw)).

6) Teoremas

Entre otras, son teoremas las siguientes fórmulas:

TI. - (A & - A).

T2. (A & - A) - B.

T3. A v - A.

T4. A — -, -, A.

T5. ( A - B ) - ( - A v B).

TEORÍAS DE PRIMER ORDEN

T6. (A v B) «- - (- A & - B).

17. (A &. B) ~ -, (-, A v - B).

T8. (- A — B) - (-. B — A).

T9. ((A — B) — A) — A.

TÍO. Vu A — - 3u - A.

Ti l . 3w A *» - VK -. A.

No daremos la demostración de estos teoremas, que el lector puede intentar por sí mismo. Todos estos teoremas son característicos de la lógica clásica. Los tres primeros son, respectivamente, el principio de no contradicción, el principio fuerte de Pseudo Escoto y el principio de tercero excluido. El hecho de que es­tas tres fórmulas sean demostrables nos asegura que e! sistema no es una lógi­ca no clásica de tipo paraconsistente o paracompleta, en las cuales algunas de estas fórmulas, o todas ellas, no son teoremas. El cuarto teorema es la ley fuer­te de doble negación, cuya demostrabilidad asegura que el sistema en cuestión no es una lógica no clásica disminuida, como la lógica minimal o la intuicionis-ta. Tampoco T3, el tercero excluido, es demostrable en ninguna de estas dos ló­gicas; mientras que T2, el principio fuerte de Pseudo Escoto, es demostrable en la lógica intuicionista, pero no en la minimal. Los restantes teoremas T5 - Ti l , expresan leyes clásicas de tipo fuerte que no son teoremas en la lógica minimal ni en la intuicionista.

2.6 Teorías de primer orden El sistema axiomático de lógica de primer orden que hemos expuesto, o

cualquier otro equivalente, es apto para emplearse como lógica subyacente de una amplia variedad de teorías matemáticas. Toda teoría se formula en un de­terminado lenguaje L. Cualquier teoría formulada en el lenguaje de la lógica de primer orden con identidad se llama en general teoría de primer orden. Aquí nos interesa caracterizar en particular a las teorías axiomáticas de primer orden. Antes de poder hacerlo es necesario definir las nociones de teoría y de teoría axiomatizable.

Ante todo, caracterizaremos la noción de procedimiento efectivo, que será empleada en las deñniciones. Un procedimiento efectivo es una receta o conjun­to de instrucciones que provee un método mecánico para obtener en un núme­ro finito de pasos la respuesta a una pregunta de tipo determinado. En ningu­no de los pasos deben aparecer procedimientos aleatorios o azarosos de deci­sión, tales como arrojar una moneda o cualquier otro de este tipo. Las tablas de verdad en la lógica preposicional, por ejemplo, constituyen un método efectivo

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

para responder si una fórmula bien formada cualquiera del lenguaje preposicio­nal es una tautología o no lo es. La respuesta concluyente, por sí o por no, se puede obtener siempre en- un número finito de pasos, esto es, realizando un nú­mero finito de operaciones. En principio, una máquina adecuadamente progra­mada siempre puede ejecutar las operaciones indicadas en un procedimiento efectivo.

Al comienzo de este capítulo caracterizamos a una teoría como un conjunto de proposiciones cerrado respecto de la relación de consecuencia lógica. Ahora tenemos que precisar esta' idea.

En primer lugar, dado un lenguaje formal L, decimos que una teoría formula­da en ese lenguaje es una L-teoría. Llamamos (Prop)L al conjunto de todas las proposiciones de L (es decir, Jbf que no contienen variables libres). Luego defini­mos la clausura lógica de un conjunto de proposiciones de la siguiente manera; si G es un conjunto cualquiera de proposiciones de L (es decir, G C (Prop)L), llamamos clausura lógica de G al conjunto de todas las proposiciones de L que son consecuencia lógica de G. Esto es: (Cn)G -def lx £ (Prop)Z. : G f» yX

Ahora podemos dar la siguiente definición de teoría:

0 Sea L un lenguaje formal. T es una L-teoría si y sólo si T C (Prop)L y pa­ra toda proposición x S (Prop)L, se cumple que x £ T si y sólo si T (• x-

Utilizando la noción de clausura lógica podemos dar otra definición equiva­lente: una L-teoría es un conjunto T £ (Prop)L tal que T - (Cn)T. En ambas definiciones expresamos la idea de que una teoría es un conjunto de proposicio­nes cerrado respecto de la relación de consecuencia lógica.

Nos interesa ahora definir una cierta clase de teorías, las teorías axiomatiza-bles:

0 Una teoría T es axiomatizable si y sólo si cumple con las siguientes con­diciones:

1. Hay un subconjunto A de axiomas que está incluido en T {A Q T). 2. El conjunto de las consecuencias lógicas de A es igual a T (,{Cn)A - T). 3. A es decidible.

La teoría se dice finitamente axiomatizable, si el conjunto A es finito. De lo contrario, decimos que es infinitamente axiomatizable. En este caso, se debe ga­rantizar independientemente que A sea decidible, es decir, que sea posible deter-

TEORÍAS DE PRIMER ORDEN

minar si una fbf cualquiera x es o no es un axioma de la teoría T (véase el Ca­pítulo 4-1 para una caracterización más precisa de la decidibilidad). Tal garantía no es necesaria en el primer caso, puesto que siempre se puede decidir en un número finito de pasos si una cierta fbfx e s t ¿ incluida o no en una lista finita A.

S. Kleene probó en 1952 que las teorías de primer orden siempre son finita­mente axiomatizables, si se enriquece adecuadamente su vocabulario original. No obstante, por razones de simplicidad y utilidad, se prefiere con frecuencia presentar a los sistemas axiomáticos de primer orden mediante esquemas de axiomas, o sea, de una manera no finitamente axiomatizable. Ya lo hemos he­cho al exponer la lógica de primer orden. En general, si el conjunto de esque­mas de axiomas es reducido, no presenta ninguna desventaja respecto de una axiomatización finita de la misma teoría.

Una teoría axiomática de primer orden se compone de un número infinito de fórmulas, cada una de las cuales es una secuencia finita de símbolos. Los símbolos y fórmulas de esta clase de teorías deben satisfacer cuatro condicio­nes de efectividad:

a) La noción de símbolo es efectiva, o sea, hay un procedimiento efectivo para decidir sí un símbolo cualquiera es o no es un símbolo del lengua­je de la teoría.

b) La noción de fórmula bien formada es efectiva, o sea, hay un procedi­miento efectivo para decidir si una secuencia finita cualquiera de símbo­los es o no una fórmula bien formada.

c) La noción de axioma es efectiva, o sea, hay un procedimiento efectivo pa­ra decidir si una fórmula cualquiera es o no un axioma.

d) La noción de inferencia es efectiva, o sea, hay un procedimiento efectivo para decidir, dada una secuencia finita cualquiera de fórmulas, si cada miembro de la secuencia se puede inferir o no de los precedentes.

Para decidir si un símbolo pertenece al lenguaje de una teoría determinada, debemos recurrir a la lista de símbolos que especifica el vocabulario de la teo­ría y comprobar si ese símbolo pertenece o no a la lista. Para decidir si una se­cuencia finita de símbolos del lenguaje de la teoría es o no una fórmula bien formada de la teoría, debemos apelar a las reglas de transformación y verificar que esa secuencia de símbolos se puede construir aplicando exclusivamente di­chas reglas. Para decidir si una fórmula bien formada de la teoría es un axio­ma de esa teoría debemos consultar la lista de los axiomas y comprobar si di­cha fórmula tiene la misma forma lógica que alguno de los axiomas o esquemas de axiomas. Consultando esta lista podemos decidir siempre si una fórmula bien formada es o no un axioma del sistema. Finalmente, las reglas de transforma­ción proporcionan un método efectivo para las inferencias (deducciones o de-

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

mostraciones en el sistema). Dada cualquier secuencia de fórmulas bien forma­das siempre es posible decidir si una fórmula se infiere de las precedentes, y, por tanto, si la secuencia constituye una deducción o una demostración de la úl­tima fórmula. Todos estos procedimientos se pueden realizar en un número fi­nito de pasos no azarosos y, por tanto, proporcionan métodos efectivos para de­cidir acerca de los signos, fórmulas, axiomas y teoremas de la teoría.

En la práctica usual de los matemáticos la formulación de un sistema axio­mático formal en la mayoría de los casos no se hace en un lenguaje formaliza­do. Cuando el lenguaje es efectivamente formalizado, generalmente no se hace explícito todo su vocabulario y sus reglas de formación, sino que se las presu­pone conocidas. La parte explícita del sistema axiomático consiste fundamental­mente en una lista de términos primitivos descriptivos específicos del sistema, junto con una lista de axiomas o esquemas de axiomas.

Como primer ejemplo de una teoría axiomática de primer orden presentare­mos la aritmética de los números naturales de Peano en una versión ligeramen­te modificada (para la presentación del sistema original, que no incluye el nú­mero 0, véase el Apéndice 2.11).

La aritmética elemental (Peano 1889).

El lenguaje en que se formaliza la teoría es el de la lógica de primer orden con identidad. La lógica subyacente del sistema es la teoría intuitiva de conjun­tos. Los términos primitivos específicos son: la constante individual 0 (cero), el predicado monádico N (número natural), y el funtor unario x' (sucesor de x). Los axiomas del sistema son los .siguientes:

Axl. W(0). [Cero es un número natural],

Ax2. V* (N(x) - NOC)). [El sucesor de un número natural es un número natural].

Ax3. i i r (NOc) & 0 - x"). [Cero no es el sucesor de un número natural].

Ax4. V(.ry) ((N(x) & N(y) & x' - y) — x = y). [Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, entonces, son ¡guales].

TEORÍAS DE PRIMER ORDEN

Ax5. (cp(0) & V* (<p(x) — cpCO) — VJC cpO). [Axioma de inducción matemática: Si cero tiene una propiedad cualquiera cp, y, para todo numero natural, si un número natu­ral tiene esa propiedad, entonces, su sucesor también la tiene, entonces, todo número natural tiene la propiedad cp].

Adviértase que este último axioma es un esquema de axioma. Por consi­guiente, la aritmética de Peano no es finitamente axiomatizable cuando se la for­mula como teoría de primer orden. Si se'quiere obtener una axiomatización fi­nita de esta teoría es necesario formularla en un lenguaje de segundo orden, donde se cuantifica el predicado cp. El último axioma debe, entonces, reempla­zarse por el siguiente:

Ax5'. (Vcp (cp(0) & Vx (tp(r) — cpM) — V* tpl».

La aritmética de Peano es, así, finitamente axiomatizable cuando se la formu­la como una teoría de segundo orden (Axl-Ax5'), pero no lo es cuando se la formula como teoría de primer orden (Axl-Ax5).

Tomaremos como segundo ejemplo de teoría axiomática de primer orden a la teoría de la geometría elemental axiomatizada por A. Tarski en 1959 y pre­sentada en su artículo "¿Qué es la geometría elemental?" (en Henkin, Suppes y Tarski 1959). Se trata de un sistema axiomático simple y elegante que permite deducir un fragmento de la geometría euclídea tradicionalmente identificado co­mo geometría elemental. Tarski considera elementa] a aquella parte de la geo­metría euclídea que puede formalizarse y desarrollarse sin apelar a recursos de la teoría de conjuntos.

La geometría elemental (Tarski 1959)

La lógica subyacente del sistema es la lógica de predicados de primer orden con identidad. Las variables individuales del sistema, x, y, z,... recorren elemen­tos de un conjunto fijo, el espacio, que se denominan puntos. Los términos pri­mitivos específicos de la teoría, las constantes descriptivas, son dos predicados relaciónales: el predicado triádico p que denota la relación de 'estar entre', y el predicado tetrádico 6 que denota la relación de equidistancia entre puntos. Em­pleando estos símbolos son fórmulas bien formadas del sistema $(xyz), que se lee como 'y está entre x y z', y bixyuz), que se lee como 'x es tan distante de y como u de ¿. Los axiomas del sistema son los siguientes:

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

Axl. Axioma de identidad para estar entre:

VOoO (Pto*) - C* - y)).

Ax2. Axioma de transitividad para estar entre:

VOtyzK) (Pforc) & P(yz«) — p(ryz)).

Ax3. Axioma de conectividad para estar entre:

V0cy2u) CP(x>2) & P(xy") &. (x * y) -~ $(xzu) v p(?n«)).

Ax4. Axioma de reflexividad para la equidistancia:

VCo») (C6(x»«)).

Ax5. Axioma de identidad para la equidistancia:

VUyz) i.b(xyzz) - (x - y)).

Ax6. Axioma de transitividad para la equidistancia:

VOtyziíiw) (6CxyzK) & b(¿yvw) -+ b(zuvw)).

Ax7. Axioma de Pasch:

V(fccyzw) 3(u) (p(rí«) & p(yuz) — p(rty) & P(zít/)).

Ax8. Axioma de Euclides;

V(iryzií) 3(vw) (P(»í) & $(yuz) & (x - «) — p(xzu) & PCiyw) & P(tifu/)).

Ax9. Axioma de los cinco segmentos:

VCXZ'.W'ZZ'KW) (&C9*>') & bfyzy'z') & bfrux'u) & btyuy'u') & p(xyz) & PCt'/z1) & ix * y) — SCZMÍU)).

AxlO. Axioma de construcción del segmento:

Víxyuv) 3(z) (p(iyz) & 6CVZMÜ)).

Axil. Axioma de la dimensión inferior:

3(xyz) (-P0r>z) & -p(yzx) & -PCzxy)).

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TEORÍAS DE PRIMER ORDEN

Axl2. Axioma de la dimensión superior.

VCtysuv) (6(x«'.w) & ?>(yuyv) & b{zuzv) & (u w «) -* PC*)*) v PO8») v PC0?))-

Axl3. Axioma esquema de continuidad elemental:

V(«»...) 0Cz) Vfcy) (X & V - P(2*y)) - 3(M) V(ry) fo & H> - PCruy))).

[Donde x representa una fórmula cualquiera en la cual las variables x, v, tu,... aparecen libres, pero y, z, v no aparecen libres; y lo mismo para r|>, con x e y intercambiadas.]

En el trabajo donde expone estos axiomas, Tarski también demuestra que su sistema de geometría elemental es consistente, completo y decidible, pero no finitamente axiomatizable, puesto que emplea un esquema de axioma.

Existen muchas teorías matemáticas importantes que se pueden axiomatizar en el lenguaje de la lógica de primer orden. En principio, toda teoría se puede axiomatizar, aunque sea de manera trivial colocando a todos sus teorema1! co­mo axiomas. Hay que tener en cuenta, sin embargo, dos limitaciones importan­tes del proceso de axiomutización:

1. No toda teoría matemática axiomatizable se puede axiomatizar mediante la lógica de primer orden, algunas requieren el uso de lógica de segundo orden o de órdenes superiores.

2. No toda teoría axiomatizable en primer orden es finitamente axiomatiza­ble, algunas teorías de primer orden sólo se pueden axiomatizar mediante es­quemas de axiomas, es decir, empleando un número infinito de axiomas.

Toda teoría contiene un número infinico de proposiciones (en particular, to­da teoría contiene a todas las tautologías de la lógica de primer orden, que son deducibles del conjunto vacio de axiomas). La definición de teoría axiomatizable que hemos ofrecido admite el caso en el cual A - T, esto es, el conjunto de los axiomas de la teoría contiene a todas las proposiciones de dicha teoría, es de­cir, a todos sus teoremas. Pero esta forma de axiomatización es trivial. Las úni­cas axiomatizaciones interesantes de una teoría son aquellas en las que A * T. De las teorías axiomatizables son especialmente interesantes aquellas en las que A es finito, y más aun, aquellas en las que A consta de un número muy redu­cido de proposiciones. En el caso ideal, A contiene un único axioma que es sim­ple y fácilmente intuible. Un conjunto finito y reducido de axiomas simples y su­ficientes para axiomatizar a una teoría proporciona la máxima economía de pen­samiento en un sistema axiomático. Pero, como hemos de ver, sabemos que es-

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