Esa sensación de hundimiento. a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de una masa m que se hunde en el agua, que le da una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el principio de Arquímedes. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo.

b) resuelva la ecuación diferencial del inciso a

c) determine la velocidad limitante o terminal de la masa hundida.

20. Evaporación. Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es R=10 pies, que el agua se bombea a una rapidez de π pies3/minuto y que al inicio el tanque está vacío. Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es K = 0.01.

a) La rapidez de cambio dV/dt del volumen de agua al tiempo t es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua que se muestra en la figura es V= πRh2 – 1/3 πh3, donde R = 10. Exprese el área de la superficie del agua A= πr2 en términos de h.

b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la gráfica de la solución.

c) Si no hubiera evaporación. ¿cuánto tardaría en llenarse el tanque?

d) con evaporación. ¿cuál es la profundidad del agua en el tiempo que se determinó en el inciso c)?, ¿alguna vez se llenará el tanque? Demuestre su afirmación.