Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A)

Cognome: Nome:

Nr.matricola: Corso di laurea:

Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k ∈ R, i piani:

π1 : x− 2y + 2z = 2,π2 : z = 5,π3 : kx− y = 3.

1. Determinare i valori di k per cui π1 ∩ π2 ∩ π3 6= ∅.2. Determinare, se possibile, una retta passate per l’origine e ortogonale a π1 e π2.

Svolgimento:

Esercizio 2. Siano

A1 =(

1 2 30 0 0

), A2 =

(0 1 01 0 0

), A3 =

(2 2 20 1 1

).

1. E possibile scrivere ogni matrice in M2×3(R) come combinazione lineare di A1, A2, A3?Giustificare la risposta.

2. Stabilire se A1, A2, A3 sono linearmente indipendenti.

Svolgimento:

Esercizio 3. Siano B ={(

32π

),

(0−1

) }e B′ =

{(π0

),

(01

) }due basi ordinate di R2.

Sia L : R2 −→ R2 l’applicazione lineare definita da

L

(xy

)=

(πx

2x− y

).

1. Determinare MB,B′ e MB′,B.

2. Determinare MB,B(L) e MB′,B′(L).

Svolgimento:

Esercizio 4. Si consideri la matrice

A =

0 −1 01 0 −√20

√2 0

∈ M3×3(K), (K = R, o K = C).

1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilita o meno di diagonalizzare A. Incaso affermativo, diagonalizzare la matrice A.

2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispettoal prodotto scalare standard di R3.

Svolgimento:

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - B)

Cognome: Nome:

Nr.matricola: Corso di laurea:

Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k ∈ R, i piani:

π1 : z = 5,π2 : x− 2y + 2z = 2,π3 : kx− y = 3.

1. Determinare i valori di k per cui π1 ∩ π2 ∩ π3 6= ∅.2. Determinare, se possibile, una retta passate per l’origine e ortogonale a π1 e π2.

Svolgimento:

Esercizio 2. Siano

A1 =(

3 2 10 0 0

), A2 =

(0 1 01 0 0

), A3 =

(1 1 10 2 2

).

1. E possibile scrivere ogni matrice in M2×3(R) come combinazione lineare di A1, A2, A3?Giustificare la risposta.

2. Stabilire se A1, A2, A3 sono linearmente indipendenti.

Svolgimento:

Esercizio 3. Siano B ={(

32π

),

(0−1

) }e B′ =

{(π0

),

(01

) }due basi ordinate di R2.

Sia L : R2 −→ R2 l’applicazione lineare definita da

L

(xy

)=

(πx

2x + y

).

1. Determinare MB,B′ e MB′,B.

2. Determinare MB,B(L) e MB′,B′(L).

Svolgimento:

Esercizio 4. Si consideri la matrice

A =

0 −1 01 0 −√20

√2 0

∈ M3×3(K), (K = R, o K = C).

1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilita o meno di diagonalizzare A. Incaso affermativo, diagonalizzare la matrice A.

2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispettoal prodotto scalare standard di R3.

Svolgimento:

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio 2012 - A)

Cognome: Nome:

Nr.matricola: Corso di laurea:

Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni{

x− y + z = 2,x− 4 = 0.

1. Determinare un’equazione cartesiana per il piano π contenente r e P .

2. Determinare un’equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r.

Svolgimento:

Esercizio 2. Siano dati i sottospazi

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5)T ∈ R5 |x1 = 0, 3x2 + 2x3 − 3x4 − 3x5 = 0} ,

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5)T ∈ R5 |x1 − x2 + 6x3 − 9x4 − 9x5 = 0} .

1. Determinare una base e la dimensione di W1 ∩W2.

2. Determinare una base e la dimensione di W1 + W2.

Svolgimento:

Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R2, rappresentato dalla matrice

A =(

4 22 2

)

rispetto alla base canonica di R2.

1. Calcolare g

((10

),

(0−3

)).

2. Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x1, x2)T ∈ R2 | 3x1 = 2x2},rispetto al prodotto scalare g.

Svolgimento:

Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 che e rappresentata dalla matrice

1 0 02 5 03 7 k

, k ∈ R,

rispetto alla base canonica di R3, presa come base di partenza e di arrivo.

1. Determinare, al variare del parametro k ∈ R, una base per ogni autospazio di L.

2. Stabilire per quali valori di k ∈ R l’applicazione L e diagonalizzabile.

Svolgimento:

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio 2012 - B)

Cognome: Nome:

Nr.matricola: Corso di laurea:

Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni{

y − z = 2,x− 4 = 0.

1. Determinare un’equazione cartesiana per il piano π contenente r e P .

2. Determinare un’equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r.

Svolgimento:

Esercizio 2. Siano dati i sottospazi

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5)T ∈ R5 |x1 − x2 + 6x3 − 9x4 − 9x5 = 0} ,

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5)T ∈ R5 |x1 = 0, 3x2 + 2x3 − 3x4 − 3x5 = 0} .

1. Determinare una base e la dimensione di W1 ∩W2.

2. Determinare una base e la dimensione di W1 + W2.

Svolgimento:

Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R2, rappresentato dalla matrice

A =(

4 22 2

)

rispetto alla base canonica di R2.

1. Calcolare g

((0−1

),

(30

)).

2. Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x1, x2)T ∈ R2 | 3x1 = 2x2},rispetto al prodotto scalare g.

Svolgimento:

Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 che e rappresentata dalla matrice

1 0 02 5 03 7 k

, k ∈ R,

rispetto alla base canonica di R3, presa come base di partenza e di arrivo.

1. Determinare, al variare del parametro k ∈ R, una base per ogni autospazio di L.

2. Stabilire per quali valori di k ∈ R l’applicazione L e diagonalizzabile.

Svolgimento:

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 17 settembre 2012 - A)

Cognome: Nome:

Nr.matricola: Corso di laurea:

Esercizio 1. Nello spazio R3, si considerino le rette

s1 :

x = 1− ty = 1z = 3t

, s2 :

x = 0y = t′

z = 0.

1. Specificare la posizione rispettiva delle due rette.

2. Determinare equazioni cartesiane della retta r passante per P = (0, 1, 2) e incidente s1 e s2.

Svolgimento:

Esercizio 2. In R4, si considerino i vettori

w1 = (2, 1, 0, 1)T , w2 = (−1, 2, 1, 3)T , w3 = (−4, 3, 2, 5)T .

1. Scrivere un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio W generato da w1, w2, w3.

2. Trovare una base per lo spazio ortogonale a W , rispetto al prodotto scalare standard di R4.

Svolgimento:

Esercizio 3. Sia data la matrice

A =

5 0 −40 3 04 0 −5

,

1. Stabilire se la matrice A e diagonalizzabile su R e in tal caso trovare una matriceinvertibile P e una matrice diagonale D, tali che A = PDP−1.

2. Calcolare la potenza A17.

Svolgimento:

Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 definita da

L

x1

x2

x3

=

x1 − x2 + x3

x1 + x2 + x3

2x1 + 2x3

.

1. Determinare una base per il nucleo e una base per l’immagine di L.

2. Stabilire se il vettore (1, 0, 2)T appartiene all’immagine di L.

3. Calcolare la controimmagine tramite L del vettore (0, 2, 2)T .

Svolgimento: