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Escher-Parkette
oder
Regelmaßige Flachenaufteilungen
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Parkette
Parkettstein:
zunachst beliebige Teilmenge der Ebene, die sich durch um-
kehrbare und stetige Deformation aus einer abgeschlossenen
Kreisscheibe herstellen laßt.
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Parkett:
luckenlose und uberlappungsfreie Uberdeckung der Ebene
mit Parkettsteinen, so daß
• das entstehende Muster in mindestens zwei verschiede-
nen Richtungen periodisch ist,
• sich jeder Parkettstein im Muster durch eine Deckab-
bildung des gesamten Musters auf jeden anderen Par-
kettstein abbilden laßt.
Konsequenz:
In jedem Parkett tritt jeweils nur eine Art von Parkettstein
auf. Sonst spricht man von Kachelungen oder Mosaiken.
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Deckabbildungen der Ebene
• Translationen T
• Spiegelungen S
• Gleitspiegelungen G
• Punktspiegelungen P
• Drehungen C
Wegen der Periodizitat eines Parkettes konnen nur die fol-
genden elementaren Drehungen auftreten
• um 60o (C6),
• um 90o (C4),
• um 120o (C3),
• um 180o (P).
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Escher-Parkette
“Leblose Gegenstande, die als ein bestimmtes, bekann-
tes Ding zu erkennen sind, gehoren fast immer zu der
Kategorie der von Menschen hergestellten Gebrauchsge-
genstande. Ihr Schattenbild wird meistens durch eine Li-
nie begrenzt, die zu simpel, zu gerade oder zu einfachge-
bogen, zu wenig bizarr ist. Auch sind sie ofters zweiseitig
symmetrisch.”
(M. C. Escher, “Regelmatige vlakverdeling”, 1958)
Escher-Parkett:
Parkett, bei dem der Parkettstein keine Kante besitzt, die
eine gerade Linie ist, und bei dem sich jeder Parkettstein
durch genau eine Deckabbildung auf jeden anderen abbilden
laßt.
Konsequenz: Hierdurch werden genau die Spiegelungen
als Deckabbildungen ausgeschlossen.
Der Begriff wurde 1994 von Quaisser in seinem Buch “Diskrete Geo-
metrie” gepragt.
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Klassifikation der Parkette
Knupfmuster:
Sequenz der Wertigkeiten der Ecken des Parkettsteins
hier: (3,3,3,3,3,3)
Ergebnis:
Es gibt fur beliebige Parkette genau 11 verschiedene Knupf-
muster. Bei Escher-Parketten bleiben hiervon 10.
(3,3,3,3,3,3) (3,3,3,3,6) (3,3,3,4,4) (3,3,4,3,4)
(3,4,6,4) (3,6,3,6) (3,12,12) (4,4,4,4) (4,8,8)
(4,6,12) (kein Escher-Parkett) (6,6,6)
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Symmetrieabbildungen:
Sequenz der charakteristischen Symmetrieabbildungen der
Kanten eines Parkettsteins.
hier: (C31, C3−11 , C32, C3−1
2 , C33, C3−13 )
Ergebnis:
Es gibt fur beliebige Parkette genau 81 verschiedene solcher
Sequenzen. Bei Escher-Parketten bleiben hiervon 28.
Im Werk Eschers finden sich zwar nicht alle, aber ca. 25 verschiedene
derartige Parkettklassen realisiert!
Diese 28 Klassen von Escher-Parketten wurden bereits 1932 von
Heesch entdeckt und 1963 allgemein veroffentlicht.
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1 Knupfmuster (3,3,3,3,3,3)
EP1: (T1, T2, T3, T−11 , T−1
2 , T−13 )
Die Ecken bilden ein zentralsymmetrisches Sechseck.
EP2: (T,G1, G−11 , T−1, G2, G
−12 )
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EP3: (T,G1, G2, T−1, G−1
2 , G−11 )
EP4: (T, P1, P2, T−1, P3, P4)
Der auf A2 folgende Punkt ist keine Ecke sondern ein Dreh-
zentrum!
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EP5: (T,G,G−1, T−1, P1, P2)
EP6: (P1, G1, P2, G2, G−11 , G−1
2 )
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EP7: (C31, C3−11 , C32, C3−1
2 , C33, C3−13 )
2 Knupfmuster (3,3,3,3,6)
EP8: (P,C3, C3−1, C6, C6−1)
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3 Knupfmuster (3,3,3,4,4)
EP9: (T, P1, P2, T−1, P3)
EP10: (T,G,G−1, T−1, P )
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4 Knupfmuster (3,3,4,3,4)
EP11: (G1, G2, G−11 , G−1
2 , P )
EP12: (P,C41, C4−11 , C42, C4−1
2 )
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5 Knupfmuster (3,4,6,4)
EP13: (C6, C6−1, C3, C3−1)
Die Ecken bilden ein Drachenviereck mit Gegenwinkeln von
60o und 120o und damit zwei rechten Winkeln.
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6 Knupfmuster (3,6,3,6)
EP14: (C31, C3−11 , C32, C3−1
2 )
Die Ecken bilden eine Raute mit einem Innenwinkel von 60o.
7 Knupfmuster (3,12,12)
EP15: (P,C3, C3−1)
Die Ecken bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit einem
Winkel von 120o.
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8 Knupfmuster (4,4,4,4)
EP16: (T1, T2, T−11 , T−1
2 )
Die Ecken bilden ein Parallelogramm.
EP17: (T,G, T−1, G−1)
Die Ecken bilden ein Parallelogramm.
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EP18: (G1, G2, G−12 , G−1
1 )
Die Ecken bilden einen symmetrischen Drachen.
EP19: (P1, P2, P3, P4)
Die Mittelpunkte der vier Kanten bilden ein Parallelo-
gramm. (Satz von Varignon)
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EP20: (T, P1, T−1, P2)
Die Ecken bilden ein Parallelogramm.
EP21: (P1, G, P2, G−1)
Die Ecken bilden ein gleichschenkliges Trapez.
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EP22: (G1, G2, G−11 , G−1
2 )
Die Ecken bilden ein beliebiges Rechteck.
EP23: (P1, G,G−1, P2)
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EP24: (C41, C4−11 , C42, C4−1
2 )
Die Ecken bilden ein Quadrat.
9 Knupfmuster (4,8,8)
EP25: (P,C4, C4−1)
Die Ecken bilden ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.
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10 Knupfmuster (6,6,6)
EP26: (P1, P2, P3)
Die Ecken konnen ein beliebiges Dreieck bilden.
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EP27: (P,G,G−1)
Die Ecken konnen ein beliebiges gleichschenkliges Dreieck
bilden.
EP28: (P,C6, C6−1)
Die Ecken bilden ein gleichseitiges Dreieck. (90o ist ein Tipp-
fehler!)
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Unberucksichtigte Aspekte
Farbsymmetrien
Kachelungen mit mehr als einem Baustein
Nicht-euklidische Ebenen