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Escuela de Verano de Macroeconomía

José L. Torres

Universidad de Málaga

21-25 junio 2010

José L. Torres (Universidad de Málaga) Escuela de Verano de Macroeconomía 21-25 junio 2010 1 / 45

Programa del curso

1 Introducción a la Macroeconomía Dinámica y Computacional. Ellenguaje MatLab

2 El modelo básico de equilibrio general dinámico.3 Equilibrio general computable: El algoritmo de Newton-Raphson.4 El pre-procesador Dynare para MatLab.5 Cuanti�cación de los efectos del IVA en España.


3.1. Equilibrio general computable

Modelos macroeconómicos actuales: Modelos de equilibrio generalcomputables.

Sólo bajo supuesos muy restrictivos tienen soluciones explícitas.

Tienen que ser resueltos en un ordenador.

Dos métodos para calcular los parámetros:

Econometría (Máxima-verosimilitud y Bayesiana).Calibración.



Los modelos EGDE tienen parámetros constantes y perturbacioens demedia cero.

Cambios esperados da lugar a respuestas anticipadoras por parte delos agentes.

Los cambios estructurales se representan como una variable exógenadeterminista.

Cambios no anticipados simplemente alteran el comportamiento delas variables pero no entran en las expectativas.

Cambios anticipados forman parte del conjunto de información enfunción del cual se toman las decisiones.



El procedimiento para resolver estos modelos contiene los siguientespasos:

Calcular las condiciones de primer orden, que junto con las condicionesde factibilidad nos van a caracterizar el equilibrio (este paso hay queresolverlo con papel y lápiz, por ahora).Calibrar los parámetros y calcular el Estado Estacionario.Log-linearizar las ecuaciones que caracterizan el equilibrio, con el objetode hacer estas ecuaciones aproximadamente lineales en términos de sulog-desviación respecto al Estado Estacionario.Resolver buscando los ceros.



Diferentes procedimientos para resolver numéricamente el sistema deecuaciones no lineales:

Algoritmo de Newton-Raphson.Programación dinámica: Método de la iteración de la función de valor.Aproximación lineal-cuadrática en torno al estado estacionario.Método de la perturbación.Método de la proyección.Método de las aproximaciones sucesivas.



Neesidad de utilizar algún tipo de lenguaje de programación:

GaussFortranMatlabOctave


3.2. Equilibrio general computable en MatLab

Ejercicio 1: Cálculo del estado estacionario en MatLab: FicherosEE1.m, EE2.m, EE.m

Uso de la función "fsolve".



El modelo básico sin ocio con función de utilidad logarítmica vienedeterminado por las siguientes dos ecuaciones:

Ct = β�αK α�1

t + 1� δ�Ct�1

Kt+1 = (1� δ)Kt +K αt � Ct



Otra opción es convertirlo en una única ecuación despando elconsumo de la ecuación dinámica del capital y sustituyendo en laecuación dinámica del consumo. Tendríamos:

Ct = Kt+1 � (1� δ)Kt �K αt

Ct�1 = Kt � (1� δ)Kt�1 �K αt�1

y sustituyendo:

Kt+1 � (1� δ)Kt �K αt = β

�αK α�1

t + 1� δ�(Kt � (1� δ)Kt�1 �K α

t�1)


3.2 Equilibrio general computable en MatLab

Ejercicio 2: Modelo básico en MatLab: Ficheros model1.m,model1cpo.m

Cálculo de una única ecuación dinámica de segundo grado para elcapital.

Función de utilidad logarítmica sin empleo.





Cálculo de dos ecuaciones dinámicas de primer grado para el capital yel consumo.

Función de utilidad logarítmica sin empleo.




Podemos computar el modelo completo, incluyendo las condicionesdinámicas de primer grado para el capital y el consumo y la condiciónestática para la oferta de trabajo.

Función de utilidad con empleo.

La condición estática para el empleo sería:

1� γ

γ

CtNtH � Lt

= (1� α)K αt L�αt




Cálculo de dos ecuaciones dinámicas de primer grado para el capital yel consumo y una ecuación estática para el empleo.

Función de utilidad con empleo.



3.3. El algoritmo de Newton-Raphson

Al resolver el modelo otenemos un sistema de ecuaciones compuestopor las condiciones de primer orden y por las restricciones defactibilidad.

Tendremos n ecuaciones con n incógnitas: F : Rn �! Rn.

El problema consiste en encontrar un vector x̂ = (x̂1, ..., x̂n) de Rn talque su imagen por F : Rn �! Rn sea F (x̂) = 0.



Necesitamos una solución inicial, x0. A esto se le llama la "semilla".Se debe usar la información que tengamos sobre F .

Debemos establecer un criterio de tolerancia. Valor mínimo demargen de error que consideramos aceptable.



El objetivo que se persigue es encontrar una solución, x , tal que F (x)sea igual a cero. Para ello partimos de desarrollar la serie de Taylor dela función para un determinado valor inicial xn:

F (x) = F (xn) + F 0(xn)(x � xn) +F 00(xn)2!

(x � xn)2 + ...

El procedimiento es iterativo y consiste en ir calculando la anteriorexpresión para las distintas aproximaciones resultantes. Esta expresiónla evaluaríamos para diferentes valores tal que:

F (xn+1) = F (xn) + F 0(xn)(xn+1 � xn) +F 00(xn)2!

(xn+1 � xn)2 + ...



La solución vendría dada por el valor que hace que la expansión deTaylor sea igual a cero:

F (xn) + F 0(xn)(xn+1 � xn) +F 00(xn)2!

(xn+1 � xn)2 + ... = 0



Si truncamos la expansión de Taylor a partir del término de grado 2,obtenemos que:

F (xn) + F 0(xn)(xn+1 � xn) ' 0

La aproximación anterior es más exacta cuanto más cerca estemos dela solución. Despejando la solución obtenida resulta:

xn+1 = xn �F (xn)F 0(xn)

que es a lo que se denomina la fórmula de Newton-Raphson.



El algoritmo sería el siguiente. Comenzamos por un valor incicial dex0. La solución que obtendríamos de aplicar el algoritmo deNewton-Rapshon sería.

x1 = x0 �F (x0)F 0(x0)

Si F (x1) es cero el proceso �naliza.

Si F (x1) es diferente de cero entonces procedemos a una segundaiteración calculando:

x2 = x1 �F (x1)F 0(x1)



De nuevo, si F (x2) es diferente de cero entonces procedemos a unatercera iteración calculando:

x3 = x2 �F (x2)F 0(x2)

y así, hasta que encontremos una solución tal que el valor de lafunción sea cero.



Criterio de tolerancia. Este criterio determina en cuanto se puededesviar la solución del cero absoluto. En cada iteración podemoscalcular una aproximación al error relativo absoluto, que lo de�nomiscomo:

jεaj =�xn+1 � xn

xn

�� 100

Si jεaj es mayor que un valor �jado a priori, ε (la tolerancia), entoncesel algoritmo procede a realizar una nueva iteración. En el caso en elque el error relativo absoluto sea inferior al criterio de tolerancia, elalgoritmo �naliza, dado la última iteración la solución al mismo.



Ejemplo: En el caso en que la ecuación que queramos resolver sealineal, el algoritmo de Newton-Rapson encuentra la solución de formadirecta, ya que el error que comete es cero. Supongamos quequeremos encontrar el cero para la siguiente función lineal:

F (x) = x � 2

Oviamente la solución a la anterior función es x = 2. Imaginemos queno lo sabemos y creemos que su valor debe ser 5, (x0 = 5). Siaplicamos el algoritmo de Newton-Rapshon entonces tendríamos que:

x1 = 5� 3 = 2

Evaluando la función para dicha solución resulta:

F (x0) = x0 �21= 2� 2 = 0



Ejemplo: Resolver la raiz cuadrada de un número y . Dado quex =

py , también podemos escribirlo como x2 = y . Esto signi�ca que

podemos resolver y encontrar los ceros para la siguiente función:

F (x) = x2 � y

Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson otenemos que:

xi+1 = xi �x2i � y2xi

=2x2i � x2i + y

2xi=12

�xi +

yxi

�



Por ejemplo suponamos que y = 20. Entonces resulta quex =

p20 = 4, 47. Supongamos que no lo sabemos y hacemos una

apuesta inicial de que x0 = 3.

Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson otenemos que:

x1 = x0 �x20 � y2x0

=12

�x0 +

yx0

�=12

�3+

203

�= 4, 83

En la siguiente iteración tenemos:

x2 =12

�x1 +

yx1

�=12

�4, 83+

204, 83

�= 4, 48



Normalmente nos vamos a encontrar con sistemas de ecuaciones.

Aproximación de la función a través de la primera expansión de Taylora la función F :

F (x) � F (x) + J(x)(x � x)donde J(x) es la matriz jacobiana de F evaluada en x :

J(x) =

2664F11(x) F12(x) ... F1n(x)F21(x) F22(x) ... F2n(x)... ... ... ...

Fn1(x) Fn1(x) ... Fnn(x)

3775donde Fij (x) =

∂Fi (x )∂xj

.



Teorema de Taylor: Conforme x se acerca al valor x , los términos deorden mayor tienden a cero. Dado que estamos buscanco un cero dela ecuación F (x), la expresión anterior podemos evaluarla en x̂ yescribirla como:

x̂ � x � J(x)�1F (x)



El algoritmo de Newton-Raphson funciona de la siguiente forma:

1. A partir de la semilla propuesta, x0, evaluamos la función F (x0) yJ�1(x0), para calcular:

x1 = x0 � J(x0)�1F (x0) (1)

2. Dado el nivel de tolerancia �jado, ε, calculamos la distancia entre x0 yx1. Si la distancia es inferior a ε, entonces nos quedamos con x0 comola solución. En caso contrario, volvemos a repetir el paso 1 pero conel valor x1, evaluando F (x1) y J�1(x1), para calcular:

x2 = x1 � J(x1)�1F (x1) (2)

3. Repetir el paso 2. Si la distancia es inferior al nivel de toleranciarepetir el paso 1, con el valor x2, evaluando F (x2) y J�1(x2), paracalcular:

x3 = x2 � J(x2)�1F (x2) (3)



El algoritmo de Newton-Raphson tiene algunos problemas:

1 Si la semilla no es buena puede que no exista convergencia o queobtengamos otra solución, en el caso en que existan solucionesmúltiples.

2 Necesidad de disponer de expresiones analíticas de todas las derivadasparciales de F .



Ejemplo: Encontrar los ceros de la siguiente función:

F (x) = (x � 2)(x + 2)

Fácil: directamente x = 2 y x = �2.



% Ejemplo 1% Este programa resuelve la ecuación F(x)=(x-2)(x+2)clear all% Semillax(1)=-10;% Toleranciacrit=1e-20;% Número máximo de iteracionesmaxit=1000;for i=1:maxitJ(i) = 2*x(i);x(i+1) = x(i)-J(i)^(-1)*(x(i)-2)*(x(i)+2);if abs(x(i+1)-x(i))<crit; break; endendif i>=maxitsprintf(�Atención: Número máximo de %g iteracionesalcanzado�, maxit)endsprintf(�La solución es %g�, x(i))



Como podemos comprobar si comenzamos con una semilla negativa lasolución es x = �2, pero si ponemos una semilla positiva la soluciónes x = 2.

Por otra parte, construir el Jacobiano era muy fácil. Pero si tenemosuna función con un número de variables muy grande, construir elJacobiano es una tarea complicada. Para resolver este problemapodemos computar derivadas numéricas. A esto es lo que sedenomina el método de la secante.



Vamos a ver como podemos obtener una aproximación numérica a lamatriz Jacobiana J(x).

De�nimos J(x) = [ J1(x) J2(x) � � � Jn(x) ] siendo Ji (x) elvector columna de las n derivadas parciales de la función F conrespecto a xi .

Sea h un valor muy pequeño. Entonces podemos usar la expansión deTaylor:

F (x1 + h1, x2, ..., xn) � F (x) + J1(x)h1F (x1, x2 + h2, ..., xn) � F (x) + J2(x)h2

...

F (x1, x2, ..., xn + hn) � F (x) + Jn(x)hn



Según la de�ción de derivada:

J1(x) = limh1�!o

F (x)� F (x1 + h1, x2, ..., xn)h1

J2(x) = limh1�!o

F (x)� F (x1, x2 + h2, ..., xn)h2

...

Jn(x) = limhn�!o

F (x)� F (x1, x2, ..., xn + hn)hn

donde Ji (x) es el vector columna con las n derivadas parciales conrespecto a xi .



Podemos aproximar en un ordenador derivadas parciales, �jando unincremento h lo su�cientemente pequeño (por el lado izquierdo) comopara escribir:

J1(x) � F (x)� F (x1 � h1, x2, ..., xn)h1

J2(x) � F (x)� F (x1, x2 � h2, ..., xn)h2

...

Jn(x) � F (x)� F (x1, x2, ..., xn � hn)hn



También podemos aproximar numéricamente la matriz Jabobianausando la derivada por el lado derecho:

J1(x) � F (x1 + h1, x2, ..., xn)� F (x)h1

J2(x) � F (x1, x2 + h2, ..., xn)� F (x)h2

...

Jn(x) � F (x1, x2, ..., xn + hn)� F (x)hn



De forma más precisa, podemos calcular la derivada tomando x comoel punto medio:

J1(x) � F (x1 + h1, x2, ..., xn)� F (x1 � h1, x2, ..., xn)2h1

J2(x) � F (x1, x2 + h2, ..., xn)� F (x1, x2 � h2, ..., xn)2h2

...

Jn(x) � F (x1, x2, ..., xn + hn)� F (x1, x2, ..., xn � hn)2hn



% Ejemplo 2% Este programa resuelve la ecuación F(x)=(x-2)(x+2)perocon aproximaciones numéricasclear all% Semillax(1)=-10;% Toleranciacrit=1e-20;% Incrementoh=1e-8;% Número máximo de iteracionesmaxit=1000;for i=1:maxitJ(i) = 1/2*h*((x(i)+h-2)*(x(i)+h+2)-(x(i)-h-2)*(x(i)-h+2));x(i+1) = x(i)-J(i)^(-1)*(x(i)-2)*(x(i)+2);if abs(x(i+1)-x(i))<crit; break; endendif i>=maxitsprintf(�Atención: Número máximo de %g iteracionesalcanzado�, maxit)endsprintf(�La solución es %g�, x(i))



Volvamos a nuestro modelo teórico. En su versión más simpletenemos que resolver:

Ψ(Kt ,Kt+1,Kt+2) = 0

Podemos usar dos métodos:

Método del ShootingMétodo de Gauss-Seidel.



Método del Shooting:Suponemos que la economía alcanza el estado estadionario en unnúmero �nito de T periodos, �jado arbitrariamente.Suponemos un valor inicial para K1, que denotamos K 01 e iniciamos laiteración inicial s = 0.Datos K0 y K s1 , calculamos K

s2 resolviendo:

Ψ(K0,K s1 ,Ks2 ) = 0

Continuamos calculando K s3 ,Ks4 , ...,K

sT resolviendo recursivamente:

Ψ(K s1 ,Ks2 ,K

s3 ) = 0

Ψ(K s2 ,Ks3 ,K

s4 ) = 0

...

Ψ(K sT�2,KsT�1,K

sT ) = 0

Evaluamos��K sT �K ��. Si esta distancia es mayor que el criterio de

tolerancia �jado repetimos el proceso con s = s + 1, �jando un nuevovalor para K1 (K

s+11 ). En caso contrario �naliza el proceso.



Método de Gauss-Seidel:Suponemos que la economía alcanza el estado estadionario en unnúmero �nito de T periodos, �jado arbitrariamente.Suponemos una senda inicial para la secuencia K 02 , ...K

0T e iniciamos la

iteración inicial s = 0.Datos K0 y K s2 , calculamos K

s+11 resolviendo:

Ψ(K0,K s+11 ,K s2 ) = 0

Continuamos calculando K s+12 ,K s+13 , ...,K s+1T resolviendorecursivamente:

Ψ(K s+11 ,K s+12 ,K s3 ) = 0

Ψ(K s+12 ,K s+13 ,K s4 ) = 0

...

Ψ(K s+1T�2,Ks+1T�1,K

sT ) = 0

Evaluamos��K sT �K ��. Si esta distancia es mayor que el criterio de

tolerancia �jado repetimos el proceso con s = s + 1, �jando un nuevovalor para K1 (K

s+11 ). En caso contrario �naliza el proceso.



El algoritmo de Newton-Raphson o cualquier otro método iterativosimple tiene ciertas limitaciones para su aplicación práctica:

1 El proceso puede ser lento e ine�ciente cuando hay muchas variables,ya que habría que realizar una gran cantidad de iteraciones. Esteproblema cada vez tiene menos importancia por la mayor capacidad yvelocidad de los ordenadores.

2 Sólo pueden ser aplicados a modelos determinísticos. Para resolvermodelos estocásticos se necesitan otros métodos más complejos.

3 Las funciones objetivo tienen que ser continuas y diferenciales (no sepueden aplicar a decisiones discretas).



El programa secant.m

function x=secant(func, x0, param, crit, maxit)del=diag(max(abs(x0)*1e-4, 1e-8));n=length(x0);for i=1:maxitf=feval(func,x0,param);for j=1:nJ(:,j)=(f-feval(func,x0-del(:,j),param))/del(j,j);endx=x0-inv(J)*f;if norm(x-x0)<crit; breakendnorm(x-x0);x0=x;endif i>=maxitsprintf(�Advertencia máximo número de %g iteracionesalcanzado�, maxit)end


3.4. Programación dinámica: El método de iteración de lafunción de valor

De�nición del equilibrio en términos recursivos.

1 Ecuación de Belman:

v(x) = maxyfF (x , y) + βv(y)g

s.t. y 2 Γ(x)

2 Dada la función de valor, podemos de�nir la regla de decisión óptimag : X ! X como:

g(x) = argmaxyfF (x , y) + βv(y)g

s.t. y 2 Γ(x)

lo que da lugar a:

v(x) = F (x , g(x)) + βv(g(x))


3.5. El método de la aproximación lineal-cuadrática entorno al estado estacionario

Resolución del siguiente problema de optimización dinámica:

maxytE0

∞

∑t=0

βt [xTt Rxt + 2yTt Wxt + y

Tt Qyt ]

s.t. xt+1 = Axt + Byt + εt+1


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