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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL 'FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRIC
ESPECIAL1ZACION POTENCIA
TESIS DE GRADO
"TRANSITORIOS EN LA RECOWE^IOW VE MOTORES
Rom n
PE INDUCCIÓN"
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE
INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACION
DE POTENCIA
Quito - Julio - 1981
Certifico que el presente trabarjo fue
realisado en su totalidad por e'l Sr.
Ángel.G. Bonilla R. bajo mi direeción
A MIS PADRES
Y HERMANOS
A - G - R A D-E-C-I M - I - E - N T
Al Sr. Ing. Milton Toapante. por su- acertada
dirección y a todos mis amigos y profesores
que de una u otra 'manera colaboraron en la
realización de este trabajo.
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN
CAPITULO I
LA MAQUINA DE INDUCCIÓN
1.1. Principips básicos para el análisis. . .
1.2. Ecuaciones de la Máquina de Inducción
en los ejes a, b y c..^ ,
1.2.1. Ecuaciones de voltaje ....,...,
1.2.2. Ecuaciones de las concatenaciones
de flujo , „
1.2.3. Ecuaciones de la Máquina de Inc(uc_
ción Referidas al Estator ...
1.2.4. Ecuación del Torque electromagné-
tico
1.3. Ecuaciones de la máquina de inducción en
los ejes q, d y o
1.3.1. Ecuaciones de las concatenaciones
de flujo
1.3.2. Ecuaciones de voltaje
1.3.3. Ecuaciones del Torque Electromag-
nético .
1.3.4. Ecuaciones del Torque electromecá_
nico
v
Página
1
14
17
19
21
28
31
37
39
1.4. Estado Estable de la Máquina de Induc-
ción *
1.4.1. Ecuaciones de voltaje en Estado
Estable
1.4.2. Análisis del Circuito equivalen
te ....,..,
1.4.3. Característica torque-desliza -
miento
1.5 Estudio de la Kecone-^ión a la misma -
fuente
1.6 Estudio del Frenado por Inversión de
Fases
1.7 Estudio del Frenado Dinámico . t
Pag.No
PRUEBAS EXPERIMENTALES
2.1 Parámetros de la Máquina de Inducción
2.1.1. Cálculo del Momento de Inercia
a) Método físico del movimiento
de Rotación
ta) Método Electromecánico....
b.l) Prueba de vacío desacoplado
b.2) Prueba de desaceleración
2.2 Oscilogramas de los Transitorios en la
. vi .
40
45
47
51
58
60
61
65
68
68
74
75
77
Recone^ión a la misma fuente
2.3 Oscilogramas de los transitorios en el
frenado por Inversión de Fases......
2.4 Oscilogramas de los transitorios en el
Frenado Dinámico
CAPITULO III '
REPRESENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
3.1 Consideraciones básicas . . .. « . . . .
3.2 Ecuaciones del Modelo Matemático .... *
3.3 Ecuaciones del Modelo Matemático en
por unidad ............ ...»
3.4 Método de Runge-Kutta para la integra
ción numérica
3.5 • Descripción del Método de Solución Nú
mérica c . . . .
3.6 Diagrama de flujo .y Programa Di
gital
3.6.1. Diagrama de flujo simplificado
3.6.2. Programa digital
3.7 Ejemplos de Aplicación y Resultados..
3.7.1. Ejemplos de aplicación
3.7.2. Resultados ,
Pag ."
89
94
102
110
112
118
124
127
138
138
138
145
145
146
Pag.No,
CAPITULO IV
ANÁLISIS-DE LOS RESULTADOS
4.1' Comparación de los Resultados Medidos
y Calculados
4.1.1. Resultados de Recone xrión a la
misma fuente
4.1.2. Resultados del Frenado por In-
'•'•ersión de Fases
4.1.3. Resultados del Frenado Dinámi-
co
4 . 2 Restricciones
4.3 Conclusiones y'Recomendaciones
4.3.1. Conclusiones
4.3.2. Recomendaciones
Apéndices y Bibliografía"
Apéndice A «,
Descripción del Método de Eliminación
de Gauss . , . D
Apéndice B ,
Diagramas de Flujo . . . *
Apéndice -C .-
Listado del Programa Digital
167
168
171
173
176
179
179
181
183
184
188
189
215
216
VIH.
Páq.No
Apéndice D •*..-"<
Manual del Programa Digital
Apéndice E
Características del Equipo utilizado
Bibliografía
231
232
238
239
246
"iir-áif rV- -
I-N-T R o D u c c-
Los motores de inducción son máquinas asincróni^
cas, que por ser técnica y económicamente ventajosos,. tie_
nen una gran variedad de aplicaciones, especialmente en -
la industria, luego es necesario conocer su comportamien-
to 'bajo cualquier condición de operación, para emplearlos
eficientemente.
Los problemas transitorios más importantes y co_
muñes que se presentan en los motores de inducción, se re
lacionan principalmente con la puesta en marcha y paro de
los mismos, así como en su.aptitud para seguir prestando
servicio durante las perturbaciones del sistema de sumi
nistro y operaciones de conedóión rápida requeridas en al-
gunos procesos de producción.
Cuando se producen cambios en las
perativas existentes, las correspondientes
la energía magnética almacenada, no ocarren instantánea -
mente, sino que la situación tiende a estabilizarse en
las nuevas condiciones impuestas, después de un cierto pe
condiciones o
variaciones en
ríodo transitorio.
Pueden ocurrir diversos fenómenos transitorios,
en los cuales tanto la velocidad como las corrientes es
tan cambiando. En la industria, sin embargo
inducción es a menudo desconectado de la fu
tación y reconectado a la misma o a una dif
, el motor de
snte de aliiuen
érente», antes
que las corrientes del rotor decaigan por completo. Bajo
estas condiciones, el comportamiento .transitorio con flu-
jo en el entrehierro, es mucho más severo que cuando to -
das las corrientes iniciales son iguales a cero.
El objetivo de'este trabajo, es investigar los
transitorios producidos en este tipo de operaciones de co
ne>6.,i6n rápida (recone ~x-ion a la misma fuente, frenado -
por inversión de fases y frenado dinámico) del motor de -
inducción, que bien pueden ser llamadas "OPERACIONES DE
RECONE3CION" (*) . Para lo cual se ha desarrollado un mo-
delo matemático, representativo de la máquina real, tal
como lo exigen los propósitos de este análisis.
La teoría de las máquinas gira toarlas, considera
*) Referencia 1 *
. 3
los siguientes pasost para el estudio del comportamiento
dinámico de las máquinas (**).
1.FORMULAR LAS ECUACIONES DIFERENCIALES BÁSICAS, MEDIANTE
LA APLICACIÓN DE LAS LEYES DE LA FÍSICA
comportamiento
re
una maquina
las ecuacio -
de
stricciones -
En el primer capítulo, se considera
simétrica trifásica ideal, para desarrollar
nes diferenciales que representan el
una máquina de inducción, con las debidas
del caso.
2. DETERMINACIÓN DE LOS P.ARAMETROS DE LA MAQUINA
En el segundo capítulo, se hacen (Las diferentes
pruebas de laboratorio, para determinar los parámetros de
la máquina y además, se obtienen los oscilogramas de los
^transitorios en las siguientes operaciones de reconección
Recone-^oLón a la misma fuente
Frenado por inversión de fases; o, contra
Frenado dinámico.
3. MEDIANTE PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ADECUADOS RESOLVER
(**) Referencia 2.
:orrienter y
.4.
LAS ECUACIONES DIFERENCIALES; DE TAL MANERA'QUE SE OB -
TENGA UNA INFORMACIÓN ÚTIL
Las ecuaciones diferenciales del
no son lineales, al representar el estado transitorio pues
las corrientes en todos los circuidos del motor dejan de -
ser sinusoidales y de amplitud constante por consiguiente
tampoco lo serán las ondas de la componente de fuerza mag-
netomotriz y del flujo en el espacio/ consecuentemente la
primer capítulo
velocidad rotacional también varía, por lo
•ción analítica útil no es posible, sin embargo, en el ter-
cer capítulo, se desarrolla un modelo matemático que permi
te una solución numérica, con la ayuda del
tal.
Finalmente, en el cuarto capítulo, se- comparan
las mediciones experimentales obtenidas en
tanto, -una solu
computador digi
el laboratorio,
con los resultados calculados en el computador digital y
si el resultado, de esta comparación es aceptable, se puede
llegar a la conclusión de que el modelo propuesto para el
análisis de una máquina de inducción es satisfactorio.
accionamientosLa automatización de los
eos y de los procesos de producción, debidos
científico y tecnológico, permite que los
conductores de potencia desplacen a los
eléctri-
al avance -
elementos semi-
s electromeequipos
c'ánicos y electromagnéticos de las áreas de
ción, emergencia y control automático de las modernas ins_
talaciones industriales. Por lo tanto, este
mando, regula
tipo de dis -
turbios de ciclo intermitente, cuyas frecuentes paradas y
arranques provocan repetidas y elevadas corrientes que ex
ceden en varias veces a la corriente nominal del motor de
inducción, deben ser tomadas muy en cuenta al seleccionar
los equipos de protección, los elementos semiconductores
de potencia y al diseñar los diferentes circuitos del sis
tema.
C - A - P i T U'L-O r
LA MAQUINA DE INDUCDION
C - - A - P - T T U
LA MAQUINA DE INDUCCIÓN
1,1, PRINCIPIOS BÁSICOS PARA EL ANALISI$(*)
Para el análisis matemático del motor de inducción
trifásico, se ha considerado una máquina simétrica ideal don
de se pueden asumir las siguientes suposiciones:
1. El entrehierro es uniforme
2. La saturación magnética, histéresis y cor
se desprecian
3. Los devanados tanto del estator como del
eos, distribuidos y simétricos de tal modo
das de fuerza magnetomotriz y de densidad
soidales, reduciendo al mínimo el contenido
Cada bobinado tiene su propia autoinducción
ciÓn mutua con los otros bobinados.
4. Las autoinducciones y las inducciones
de bobinados situados en el mismo lado
son constcintes bajo el supuesto de que el
uniforme y la saturación magnética despreciable
del
" Referencias 1, 3, 4 y 5
rientes de Eddy
rotor son identi_
que generen on
de flujo sinu -
de armónicas.
y su induc -
entre pares
entrehierro ,
entrehierro es
5. Pero las inducciones mutuas entre bobinados situados
a uno y otro lado del entrehierro varían con el cose_
no del ángulo formado per sus respectivos ejes magne_
ticos*
6. El valor de la resistencia varía muy poco debido a
los cambios de temperatura y frecuencia, por lo tan
to, se asume que es constante.
1,2, ECUACIONES DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN EN LOS EJES A,
B, Y C, (*)
puede
anteriores f
conside -
acoplados -
ecuacione 3 -
Tomando en cuenta las suposiciones
una máquina simétrica ideal de dos polos
rarse como un conjunto de circuitos lineales
(figura 1 y 2), donde es fácil formular las
generales de la máquina.
1.2.1. Ecuaciones de Voltaje
En cada una de las fases de la figura 2, se
puede aplicar la siguiente relación de voltaje:
v ™ r. i
(*) Referencias 3 y 5
V
i
. 9
Donde:
i? es el voltaje por fase
: es la corriente por fase
: son las concatenaciones de flujo totales de una bobi-
. na particular
r
P
: es la resistencia total por fase de un
: d/dt, es un operador .
Luego los voltajes fase-neutro d si estator y del
rotor son:
v = r . i + p Xas s as ^ as
bs s* bs p . bs
v = r . i + p Xes s es c es
v = r . i + p Xar r ar ^ ar
v, = r . i. -i- p X,br r br * br
v = r . i + p X /cr r cr c cr /
Los subíndices afb y c representan
la máquina y los subíndices s y r denotan
el rotor respectivamente.
bobinado, y
(1-2)
las fases de
el estator y
. 10
eje bs
eje br
W.
es
ESTATOR
bs
eje es
eje cr
FIGURA 1
ESQUEMA DE LA.MAQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
DE DOS POLOS
. 11
ESTATOR
FIGURA 2
CIRCUITO DE LA MAQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
DE DOS POLOS
. 12
Estas mismas ecuaciones expresadas en forma ma-
tricial son:
v
abes
vabcr
Desarrollando queda:
"abcsj
"abcr01! Nibes
abcr
Si en la ecuación matricial anterior
rrolla cada una de las submatrices, se tiene
vabes
vas
vbs
ves
V iabcrj
var
v.br
vcr
(1-3)
(1-4)
'r se desa
que:
(1-5)
(1-6)
co II H
O H I H
•-Í I H.
CN H 1 H
O
OO
O
tnM
.
O
O
OO
O
O
U)
ti(ti
¿
•H
-H
M ttíM ü
tn (tiM
M
fd
XI
U,r
Q rti
M üW
;
ü
. 14 .
1.2.2. Ecuaciones de las concatenaciones de flujo
Por definición:
X = L i (1-13)
Expresando esta ecuación en forma matricial, se
tiene:
X = L i
Desarrollando queda:
abes
abcr
L,
L
'abes
"abcr
T significa transpuesta de una matriz
Las submatrices de inductancias propias del esta
tor y rotor son:
(1-14)
(1-15)
L O Os
O L Os
O O L
(1-16)
L
L O O
Lr O
Don.de
L = L- + Ls Is ms
L = Ln + Lr Ir mr
. 15 .
(1-17)
(1-18)
(1-19)
L., y L, : son las inductancias de dispersión del estatorIs * Ir c
y del rotor; yf
L y L : son las inductancias de magnetización del estams J mr ^
tor y del rotor respectivamente
La submatriz de iuductancias mutuas entre los bo
binados del estator y del rotor se obtiene
luego :
L^_ = LSR sr
?TTcos e eos ce + —) eos (
2ir o.+
(e j-
de la figura 1,
(1-20)
. 16 .
Y, la transpuesta de esta submatriz es:
LSR
T= Lsr
Cos & Cos (B 27rr 3
TT ."
• 2irCos (9 +—) Cos 6r 3 r
O,
Cos
Cos
«r 3
r 3
Donde:
L : es la amplitud máxima de la inductansr ^
(1-21)
-.ia mutua entre
los bobinados del estator y del rotorf y
: es el desplazamiento angular entre 1
tor y del estator.
Si la ecuación matricial (1-15) ,
en la (1-4) y agrupando términos, se tiene:
os ejes del ro-
abes
[ abcrj
=
Fr ~] + p [" L "j ' p r L-JL S.J L SJ i L 0RJ
u i T ' r i j. ÍL 1_ P [ V ] Ipr] + p [ r j
abes
f i ~ ~ Tabcr
L J
(1-22)
Esta ecuación matricial de voltajes contiene las
ecuaciones diferenciales básicas que determinan el compor-
tamiento del motor de inducción.
17 .
1.2.3. Ecuaciones de la máquina de Inducción referirías al
estator
Generalmente, los parámetros de las máquinas, •-
son medidos con respecto a los bobinados del estator, por
lo tanto, es conveniente referir todos los
rotor y sus variables al estator.
parámetros del
La ecuación matricial (1-22) al ser referida al
estator se transforma en la siguiente expresión matricial
abesU
K-abcr
r .-
Donde, las submatrices de voltaj
inductancias mutuas, inductancias propias
del rotor referidas al estator se dan a
(1-23
es, corrientes,
y resistencias
continuación
i -abcr J
"abcrl
N
N
vabcr
r iN.
"abcr
(1-24
(1-25)
NMS L
SR
I/ L
Nc
N r J
Y N : es el número de espiras del
peetivamente.
Cl-26)
(1-27
(1-28)
estator y rotor res-
Las primas (') indican que los parámetros y las
variables del rotor están referidas al estator*
Y al desarrollar la matriz (1-23]
de las fases, se tiene:
v = r i + p Xas s as ^ as
v. = r i, + p X,bs s bs L bs
v = r i + p ,es s es ^ Xcs
. 18
para cada una
V 1ar
br -
r' i" + p X"r ar ^ ar
" 'ir + p Arr br ^ br
v' = r" i" + p X"cr r cr ^ cr
. 19 ,
(1-29)
1,2.4. Ecuación del torque electromagnético (*)
Para el desarrollo de la ecuación del torque e-
lectroraagnético, se partirá de la ecuación de la energía
instantánea almacenada en el campo magnético, que es:
Wm = l
Donde:
,TL i
'abes | ' " abcr
"abes
'ab6r
* ) Referencia 6
(1-30)
(1-31)
(1-32)
L =L L
MS
TLMS
El torque electromagnético esta dado por la si-
guiente expresión:
eWm
. 20 .
(1-33)
(1-34)
Al sustituir la ecuación (1-30) en la ecuación
anterior, se tiene:
T - 1 'Pe ~ 2
Donde:
M ±1T[9 ' -M G i
G = 39
Desarrollando la ecuación (1-35)
siguiente expresión del torque electromagnético:
T —er£L2 ms -as ar 2
1 -.2 e:
_
2
n -
(1-36)
f se llega a
+ i (i" - - i" - i i" ) sen &es cr 2 br 2 ar J r
- i - u , ( i - i *~ Í } ~f~ Í, (Í X )2 L as br cr bs cr - ar
. 21
+ i (i" - ir ) Cos ees ar br J r
Siendo P el número de polos
1.3, ECUACIONES DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN
d y O (*)
Debido a la variación sinusoidal
tancias mutuas (entre bobinados situados a
do del entrehierro) con respecto al ángulo
'(1-37)
EN LOS EJES q.
de las induc -
uno y otro la-
de desplaza -
miento 9 , aparecen en las ecuaciones de voltaje, coefi -
cientes que varian con el tiempo. Afortunadamente, esta -
característica indeseable, puede ser eliminada por un a-
propiado cambio de variables, medianfee un
rencia arbitrario, donde las ecuaciones de
son expresiones que no implican interpretación física al-
guna y están escritas en función de las relaciones trigo-
nométricas existentes entre los grupos de
sistema de refe
transformación
ejes del esta -
tor y rotor con el grupo de ejes ortogonales del sistema
(*) Referencias 3S 5 y 7
de referencia arbitrario.
La figura 3 muestra la relación
ejes del estator y rotor de una máquina
ca con un tercer grupo de ejes ortogonales
ran a una velocidad angular arbitraria de
estator están fijos mientras que los del
la velocidad rotacional W .r
. 22 .
angular de los
trif ási_
(g, d) que gi~
, los ejes del
giran a
simétrica
W
rotor
Se puede asumir que cuando el tiempo es igual a
cero, los ejes qr a y a coinciden.s r
Con ayuda de la figura 3 se
tes ecuaciones de transformación.
En el estator:
f =* 4 r f c°s e + fv, eos o - ±± )• +gs 3 as bs 3
formulan los siguien
*?irf, • = ~l f ^ sen 0 + f, sen (9 -4 ) + fds 3 L as bs 3 es
f = ± ( f + f - + fos 3 as bs es
En el rotor:
f eos (& -f —)es J
(1-38)
eje bs
e;je es
23 .
eje d
F'IGURA 3
EJES DE UNA MAQUINA SIMÉTRICA
' DE DOS POLOS
TRIFÁSICA
-gr f " eos g+ar br COS (3 —:
dr 3 L arsen /i + f." sen (£ -— ) + fcf
f = — f -F" + f""- 4- f '-1_ •-L \- I -L- . I -1-or 3 x ar br cr
fres una variable que puede representar voltajes, corrien
tes o concatenaciones de flujo,,
9;es el ángulo de desplazamiento del sistema de referen -
cía arbitrario y vale:
sen (3
(1-39)
6 = / W dt + 6 (o)
Además:
Y también:
er = f wr dt -f er(o)
Para este análisis se utiliza
trica trifásica, por lo tanto, f - f"-Oc os or •
tor,2/3 se introduce debido al cambio del
co al bifásico para mantener invariante la
una
(1-40)
(1-41)
(1-42)
maquina sime-
además el fac -
sistema trifás:L
potencia B
. 25
Ahora, expresando las ecuaciones de transforma-
ción en forma matricial se tiene;
f = I T I I f•*- -i X _L ,gdosr I I I abcsr
T es la matriz de transformación,
Desarrollando (1-43) queda:
"qdos
"gcLor
mQ
0
[° ]¡[T, 1I L J .
Ff 1abes
[Tabcr J
Donde:
^ 1= i.sj 3
2ireos 9 eos ( 9 - -=— ) eos (<
sen 9 sen ( 2ir
1/2 1/2
) sen (e
1/2
Icos b eos2fT
n / n 2TT ,sen p sen (3 ~ ^— )
1/2 1/2
eos (3 -i
sen (3 +
1/2
211 )
(1-43)
(1-44)
(1-45)
(1-46)
001952
Y finalmente se tiene
. 26
pfe- i-
1ptíÉ"
gs
f'
f os
qr
%'r
or
23
^
Q f n ^^^ <'na-^7 r lCOSu COS (t í _ J COS 1x7*1 -^ )3 . 3
2TT, 2TT,
'"SV Mf¿VSen 3 3
1/2 1/2 1/2
0 0 0
'^'^tr o o
0 0 0
También. :
. : . - . . - • , • • * . v .----.r^r.. f T • ñl r 1•' ' v • • " • " - ' '•'.-.'*'.' S;-:. - ;-.-.•'•-•;[ raílafcsrl L J L gdosrj
0 0
0 0
0 0
cos^ eos (3~:
0
• o.
0
.
> T Í , 27I\ ' ^^^ x M ' 3
,,, 2 7 T ^ ^ ^ ^ ^ D j . ^ T T ^
1/2 I/:
-
T "] es la inversa de la matriz de transforinac:
5 ; 0^11 v p i -i ' /5 J)
> • 1 / 2
(1-48)
ion .
as
b
es
ar
r
cr
Desarrollando (1-48) queda:
. 27 .
abes
L abcr j
Donde:
[ =
r<]1 =
Entonces
'f as
fbs
es
ar
fv/- br
f"cr
^^^^m^H
r
YT' i -1 i r o lS J 1 L J«-i •* *- -j
i. .r i r • 1-1r o i r Tr M-L J 1 L -M
ff ^ Vqdos
|_ qdor J
eos 6 sen 0
o
c
/o 2 7T, ,/-» i-" f U. — I (-• i"i-vi /(J o ^ Í7 -^ J otrjl V
2T7os i y~i _ j sen t3
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27K
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1
1
1
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1
1
•
se tiene:
cosO
eos
eos
0
0
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sen 9 1 ¡ 0
2TT, . 2ir.3 } SBn((j 3 J
2ir ir,\n (0" f~2 )3 "5
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10 0 | eos 3
!0 0 i eos
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0 O í eos (B+-
~~
Í T T ,
i
(1-49)
(1-50)
'
(1-51)
•
0 d|[f
0 0 f
0 0 f
sen3 1 f
CT m n 1 K — , 1 T "rot¿Jl ^ p ~ ^ J_ J-
Qon f po.^^ 1 i -Fo t ü l V p i - 5 / -L J-
,ds
os
qr
(1
or
1.3.1. -Ecuaciones de las Concatenaciones de Flujo
28 «
Si la ecuación raatricial (1-14) ,es referida al
estator y multiplicada por la"matriz de t ansformación di-
recta, se tiene:
T X T L (1-53
También es igual a:
T -X T L T i (1-54)
Donde:
T X[Ts ] [Xabcs]
1* 1 íx ; 1L r j |_ abcrj
=1 gdo s j
L qdorj
T L-1
Lgdo(1-56)
Desarrollando:
Lgdo
T L rT ~I I TLMSj i
L
Finalmente, se tiene:
L O O
LqdoO
O
M
O
O
L Os
O L.
O O
M O
O O
M
O
O
L'
O
O
O
M
O
O
L"r
O L'
Con esto se demuestra que introduciendo el
co, la submatriz de inductancias mutuas,, s
una expresión simple, independiente del ti
. 29 .
(1-57)
(1-58)
sistema Jjif asi
transforma en
empo y diagonal
ácimas las suhmatrices de inductancias propias mantienen su
formayvalores originales.
M = ~ L2 ms(1-59)
De las ecuaciones (1-20) y (1-26) , se concluye.
que:
N.sLL• • ms N sr
1Nr
En una -máquina trifásicaf se tiene:
(1-60)
Ls = Lls + M
Y, como:
T — Tms ™ mr
También:
Ir + M
(1-61)
(1-62)
(1-63)
Lr.. ecuación matricial (1-58) escrita en forma más
compacta es:
Jgdo
Además:
L
T M i =1 J. | —
m
T i"abes
"abcrj
"qdos
"qdór
= i i~qdo
(1-64)
(1-65)
Por lo tanto, después de haber demostrado las e-
cuaciones (1-55), (1-56) y (1-65)f se obtiene:
qdolJ
qdo
Desarrollando:
(1-66)
[Aqdos]
j\dor]
Finalmente/
Xqs
Xds
X os
X"qr
Xdr
x-
=
or
S | TU
—
E -iT i r_ ^ i>] !M,queda :
Ls 0 0
0
0
M
Q
0
L 0s
0 Ls
0 0
M . 0
0 0
i
1
11
|
1I
qdos
[ •"* 1^qdorj^
M 0 0
0 M 0
0 0 0
L' 0 0r
o L; o
o o L;:
i
i
i
i
i
i
1.3.2. Ecuaciones de voltaje
qs
ds
os
rqr
dr
-or.
. 31 .
(1-67)
(1-68)
Si la ecuación matricial (1-3) una vez referida
al estator es multiplicada por la matriz de transformación,
se tiene:
(1-69)
65), se obtienen:
T V T r i + T p
De las ecuaciones matriciales (1-55) y (1-
j I a * l T i" I iabe | | ] | q d q
Reemplazajldo estas ecuaciones en la anterior, queda:
32
(1-70)
(1-71)
T V T -1"*"
Como :
,gdo
Derivando la ecuación (1-66), se obtiene:
L , p i
;í[ d-72]
Vo I (1~7"
(1-74
Reemplzando (1-73) y (1-74) .en (1-72) y agrupando térmi-
nos , se tiene:
- , =' ír l+i L * |P + I T |p|T p I L ^ li l i ,qdoj L J L qdoj1 L J^L J L qdoj L qdo
donde:
(1-75
p
O .p& O ¡ O O O!
-p0 O O | O' O OI
O O O | O O O
I~* ~* 1
O O O ¡ O p(3 O
0 0 0 i-pe O O1
O O O i O O O
matricial
arbitrara
Desarrollando la ecuación
tiene la siguiente matriz de las ecuaciones
voltaje, en el sistema de referencia
bles q-d. Estas ecuaciones constituyen las
cas de voltajer que describen el
na de inducción.
comportamiento
V
vds
V "qr
vdr
(r +L p) L ra6 |Mp Mp9v G QÍ- ' G£T t i - irs f
[
Mp Mp3 1 -(r'+Llp ) L"pB
-Mpg Mp | -L^p3 (r^+IÍP),
"iqs
'¿ds
i"qr
xdr
Donde:
p9 = W,- es la velocidad angular del sistema de referencia
arbitrario, y,
(1-76)
(1-75)r se ob
generales de
io y-en varia-
relaciones bási-
de la máqui
(1-77)
p$ = W-W , es la velocidad relativa que res
•34
ultag de la di-
ferencia entre las velocidades del sistema de -
referencia arbitrario y del rotos.
La matriz anterior se ha determinado mediante un
sistema de referencia arbitrario que gira a una velocidad
W, también arbitrariar pero es conveniente
ma de referencia adecuado, para propósitos
fijar un siste-
de análisis del
comportamiento de las máquinas de inducción. Los sistemas
más comunes son: '
- Sistema de referencia fijo en el estator
- Sistema de referencia fijo en el rotor
- Sistema de referencia girando a velocidad angular elec -
trica (W- W )
Para el estudio de-los transitorios de reconec
ción del motor de inducción, se selecciona^ al sistema de
referencia fijo en el estatorF con el fin de llegar a un -
análisis más directo y debido a que allí ocurren, las opera
ciones de conección rápida que producen la situación anor-
mal transitoria investigada r entonces.:
p@ = O (1-78)
(1-79)
Introduciendo estas condiciones
matricial (1-77), se obtiene la siguiente
ecuaciones de voltaje del ¿aotor de inducción,- en el sis-
tema de referencia escogido y en variables g-d.
en la ecuación
matriz de las
Vgs
vds
V,*
<*.
"(r +L p) 0 iMp 0ii
0 . (r -i-L p) 10 MpS S ii
J
Mp -Mp& \. P)-L"p@r! :"
Mp0 Mp f L^pBr (r ^4-L^p)L ^ r ^ r^ r r1 ^
"í
i
-9
ÍS
Is
JÍ¿
Desarrollando:
v + p (L igs ^ s gs grqs
v-, = r i, + p (L i- ,ds s ds ^ s ds dr
v. = r iqr r gr
dr r dr
+ p (i/;i" +MÍ ) -^ r r sgr gs
4-r dr ds
j^ij + Mi " } p&r dr ds ^ r
/li**- -h Mi )p0-r qr qs r r
(1-80)
Las ecuaciones de voltaje también pueden ser es-
critas en función de las concatenaciones dje flujo totales,
así:
vgsi + p Xqs c qs
r n = r i, + p X,ds s ds ^ ds
" - r" i" + p X^ - X" p0gr r qr qr dr c r
" = r" i' + p X" + X" p&dr r dr ^ dr gr r
Donde:
p8' = W » es la velocidad del rotor
X" p9 Y X^ p9 : son voltajes de velocidadr yqr r * dr r J a
pX ,, Y pX C : son voltajes de transformación.^ qds ^ qdr
X = L i + M i-gs s qs qr
X., ' = L i, + M iCds s ds dr
cqr = L" i" + M i^ r gr qs
X" - L" i' + M i,dr r dr ds
(1-82)
(1-83)
Reemplazando las ecuaciones (1-61) y (1-63) en
la anterior, se tiene:
X = L, i + M (i + i"* )qs Is qs qs qr
X-, = L., i-, + M (i_ + iC ]ds Is ds - ds ar'
^ = L" i" + Mqr Ir qr
=dr Ir dr +
+ ias)<3S
" + i, )dr ds
Las ecuaciones diferenciales dad,as
(1-84) sugieren les siguientes circuitos
se indican en la figura 4» Estas ecuaciones
relaciones básicas de voltaje y
que describen el comportamiento del motor
cuando el sistema de referencia está fijo
aquí
concatenaciones
1.3.3. Ecuaciones del torque electromagnético.
37
(1-84)
en (1-82) y -
ivalentes que
s constituyen las
de flujo,
de inducción -
.n el estator.
Reemplazando la ecuación matricial (1-71) en (1-35)
se tiene:
Desarrollando queda
(1-85)
.' 38
V
Vds
,Is Ir
M
CIRCUITO DEL EJE 'g
L-Is Ir X" p0r -
udsM
-qr
CIRCUITO DEL EJE d/
FIGURA 4
CIRCUITOS EQUIVALENTES DE UNA MAQUINA SÍMETRICA
TRIFÁSICA EN EL SISTEMA DE REFERENCIA FIJO EN EL
ESTATOR
'dr
Vdr
Desarrollando queda:
M (1-86)
Una expresión equivalente para el torque electro
magnético instantáneo puede escribirse en
concatenaciones de flujor esta relación que es positiva pa
ra el motor accionado es la siguiente:
T = {) () (X " . i;e v 2 2 qr dr
m: es el numero de fases
dr . i" )
función de las
(1-87)
1.3.4. Ecuaciones del torque electromecánico (*)
El comportamiento electromecánico del motor de in
ducción viene dado por la siguiente ecuación:
T- + T - JpW + DWe m ^ r r
Llamando a:
- y J-L m
Luego, queda:
T = JpV7^ + DW + Tre ^ r r L
(*.) Referencia 6
(1-88)
(1-89
(1-90)
J:
D:
DW
T
T :m
40
es el momento de inercia del motor
es el coeficiente angular de fricción viscosa
es el torque de'aceleración
es el torque de amortiguamiento
es el torque electromagnético
es torque mecánico
es torque de carga
1,4 ESTADO ESTABLE DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN (*)
En una operación balanceada, las corrientes del
estator del motor de inducción generan un campo magnético
que gira alrededor del entrehierro a una velocidad angu -
lar eléctrica W . Debido a que el rotor gira a una veloci
dad angular diferente de W ' se induce en los bobinados -
del rotor un sistema de corrientes que varían con una fre
cuencia correspondiente a la diferencia e:itre W y W -
las cuales también 'generan un campo magnético que gira a
una velocidad de W - W con respecto al totor ó a W cone r e
respecto al estator. Por lo tanto los campos magnéticos -
del estator y rotor giran a una velocidad
pecto a un observador estacionario. El torque es produci-
do por la interacción de estos dos sistem
ratorios.
is magnéticos gi
(*) Referencia 4, 5 y
de W con res -
" 41
En estado estable todas las variables del estator
varían con la frecuencia de la fuente (W ' , mientras todas
las variables del rotor lo hacen con una frecuencia deWe
W
Cuando las variables del estator son transforma -
das al sistema de referencia arbitrario que gira a una velo
cidad W con respecto al estator, ellas varían con una fre -
cuencia de W -- W* De modo similar transformando las varia_
bles del rotor al sistema de referencia arbitrario que gira
a una velocidad de W - W con respecto al
que las variables del rotor también están
cuencia de:
we - wr ) - (w.- wr>
Entonces se puede concluir que durante la opera -i*
ción balanceada de estado estable las variables qds y qdr
rotor, se tiene -
girando a una fre
aparecen como cantidades sinusoidales que varían con una
frecuencia correspondiente a W - W, en todos los sistemas
de referencia excepto en el que gira a velocidad sincrónica
donde las variables en estado estable son:
tantes.
magnitudes cons
En una operación balanceada de
de los voltajes y las corrientes aparecen
estado estable don-
orno cantidades si
nusoidales el análisis fasorial es muy usado
en forma general las variables en estado
tor y del rotor pueden formularse mediante
relaciones:
f = Re'{ Eas -as
- = P / F PJ A >-i —- £\ JJ-, C G (bs e í- -bs j
f = R / F e3 ees e t -es
/ *"í íar e l ar
= = R í F "br e l -br
= R fcr e \ e
-e
• • 42 •
, por lo que,
stáble del esta-
las siguientes
(1~92>
F ; representa un fqsor de voltaje o corriente
En la máquina simétrica trifásica (Fig.l), las bp_
binas correspondientes a cada una. de las fases tanto del es_
tator como del rotor están desplazadas entre s£ 120 grados
eléctricos y distribuidas uniformemente alrededor del entre_
hierro, por lo tanto, tomando como referencia las variables
correspondientes a la fase "a" y considerando que "abe" es
la secuencia de fases positiva, se tienen
laciones:
las siguientes re
-bsa 2F-as
= .a F
:br
= a F'-ar
Donde los operadores usados son
a = 1 120
a =.27Í
j = 1 [90°
-j - 1 -90
.7T
- -JL- e :2
Expresando las ecuaciones de
das por (1.38) y (1-39) en forma compleja
r!
'ds 3
271"
f Reas "b£ Re íej(6"3
+ f Rees
.43 ;
(1-93)
(1-94)
transf o:rmacion da-
f se tiene:
7T
f " = —qr 3
dr
ar
ar
cr
Re brRe{e + cr{Re
. 44
JÍP
Re í ejl br
22- - 5- ) ^3 • T^ } }
Reemplazando las ecuaciones (1-93)
tas en (1-95) y desarrollando, se obtiene:
f = Re {Fgs -as
f = Reqr- 0)
ar
Tomando en cuenta que las variables/
y del rotor en estado estable son cantidades
que varían con una frecuencia correspondiente
dos los sistemas de referencia excepto en el
locidad sincrónica las ecuaciones anteriores
birse directamente como sigue:
(1-95)
en (1-92) y es
(1-96)
del estator
sinusoidales
a W -W en to_
que gira a ve_
pueden escri-
f = Ke /Fqs u ~c
1 (9e -j
f _ - Re í F, eds t~ds
., i(9e - e)-
qr
j (Ge:^ = Re J" F" e"dr 1-dr
De las ecuaciones (1-96) y (1-97)
relación entre fasores es simple y directa,
los siguientes resultados:
qs
F, = j F-ds J -as
F" - F --qr -ar
F ar
. 45
(1-97)
se ve que la
llegándose a
(1-98)
1.4.11 Ecuaciones del voltaje en estado estable
Las ecuaciones de voltaje en estado estable pue-
den obtenerse de las ecuaciones de voltaje v y vqs -*
determinadasf considerando el sistema de referencia fijo en
el estator y dadas en (1-81) donde se introducen los si-
guientes reemplazos:
- Sustituir los valores equivalentes dados por (1-S8) en
las ecuaciones v y v "qs •*• qr
- Reemplazar el operador "p" por jW
. 46 .
- Reemplazar "p9 " por W , y
- Considerar las ecuaciones (1-61) y (1-
lasLuego de operar se obtienen
ciones de voltaje que representan el
tado estable de la máquina da inducción.
comportamiento
Yas = (rs
TTV
(as
r
63
siguientes ecua_
en es
(1-99)
Donde:
X.. y X, p : son las reactancias de dispersión del estator
y del rotor respectivamente.
X : es la reactancia mutua, y,
s : es el deslizamiento y está dado por
W - We rW,
(1-100)
. 47
Las ecuaciones.obtenidas en (1-99) sugieren el
circuito equivalente mostrado en la figura 5.a, y también
r""el circuito dado en la figura 5.br donde laresistencia r
s
ha sido separada en dos términos, siendo el primero r'' y
el segundo 1-s )
Estos circuitos equivalentes que representan una
fase de la máquina son muy usados en el análisis del fun -
cionamiento del motor de inducción en estado estable.
1.4.2. Análisis del circuito eauivalente
Analizando los circuitos equivalentes de la fi-
gura 5, es fácil deducir las variaciones de corriente, vol
taje, potencia, pérdidas, torque de arranque y torgue máxi_
mo de estado estable.
Por consiguiente, la potencia total por fase, trans_
ferida por el estator a través del entrehierro es:
= ( I" ) . r"gs ~ar r (1-101)
V
V
r X_ xr r ,s Is Ir r/s
_ ,^ l ( J_. 1 . . . N>*
íaS X cm e
- ' u ' ' N
I
?
(a)
r 'X. X" r"s Is Ir r
I-as
s . ra
V \
I'
p
(b)
FIGURA 5
r— •+ar
^-ar/s
•
.r
CIRCUITOS EQUIVALENTES DE UNA MAQUINA DÉ INDUCCIÓN
SIMÉTRICA TRIFÁSICA PARA ESTADO ESTABLE
El término r£ representa las pérdidas
del rotor, por lo tanto, las pérdidas totales
cobre del rotor es:
cur ar
.49.
en el cobre
por fase en el
(1-102)
El otro término r^ (1-s ) corresponde a la poten-s
cia eléctrica transformada en potencia mecánica, luego es e-
vidente que la potencia mecánica interna total por fase sea
P ={•!"'ra v ¿ar1 (1-s )
Reemplazando (1-101) en (1-103),
(1-104)
De la potencia total entregada al rotor, la frac
(1-103)
se tiene
ción "s" se disipa en el cobre del rotor y la fracción (1-s)
se transforma en potencia mecánica, de esto se puede con
cluir que una máquina operando a bajos deslizamientos , es
un dispositivo eficiente.
Por definición:
P = W Tm r e
Donde:
W- - (1-s) Wc
. 50 .
(1-105)
(1-106)
Entonces el torque electromagnético por fase co
rrespondient-e a la potencia mecánica interna es:
T = me (l-s)W, (1-107)
Sustituyendo la ecuación (1-103) en la anterior,
se obtiene:
-ar
Donde
TT - ^ 7T fw = —^—S P
Considerando (1-101), también
p
e w "'
(1-108)
(1-109)
(1-110)
. 51 .
1.4.3. Característica torque -.deslizamiento
Para obtener estas caracterlstiqas
ecuación de torque (1-107) debe estar en
los parámetros del circuito equivalente y
se arreglan las ecuaciones (1-99), además
ta que v" = v^ = O, se tiene:^ -gr dr
V = (r + jXG) I + JX I"~as s J s ^as J m ~ar
de diseño, la
función de todos
para lograr esto
tomando'en cuen-
,r
s r -ar
Resolviendo estas ecuaciones para !"_f se obtiene:
Vas m
— + (x2s m x x")s ry .x +r xs s r
El valor absoluto de la ecuación anterior
arV X-as m
i / - , r - < : - > r v - \-+ (X -X X ) H- rm s r' vx
Reemplazando el valor absoluto anterior en la ecua
(1-111)
(1-112:
es :
1/2
(1-113)
ción (1—108) y operando, seobtiene:
rn —1 —e
r'. X2.r m V-as2.s
^ • 2 2W j[r r" + s (X -X X')| + |r"Xo + srs 1 s r m s r ^ l I r s s
•Donde V
maquina son constantes.
. 52 .
(1-114)
X'
, W y todos los parámetros de las
Mediante esta ecuación se determina la caracte -
rística torque-deslizamiento mostrada en la figura 6 f donde
además se considera la potencia mecánica al eje como función
del deslizamiento. A continuación se analiza esta importante
característica del motor de inducción»
a) Cuando s = O significa que W = W ; por lo tanto no se in_
ducen f.e.m. alguna, ni corriente en los bobinados del ro
tor; la potencia mecánica interna y el
.netico son cero. Afortunadamente el motor de inducción no
está capacitado para alcanzar la velocidad de sincronismo.
torque electromag
b) Cuando s = 1 significa que W ~0; por
igual
tá en reposo y se inducen f.e.rn. y con:
nados del rotor cuya frecuencia es
de la línea, la potencia mecánica es
que promedio de arranque (Tarr.) debido
lo tanto el rotor es~
cientes en los bobi-
a la frecuencia -
co y existe un tor-
a que las ondas de
cer
. 53
FIGURA 6
TORQUE Y. POTENCIA MECÁNICA AL EJE EN FüNQION DEL DESLI-
ZAMIENTO PARA EL FUNCIONAE^IIENTO DE LA MAQUINA DE INDUC-
CIÓN COMO MOTOR, GENERADOR Y FRENO.
las fmms. tanto del estator como del rotor
W , por lo cual son estacionarias entre sís' *
condición necesaria para la existencia del
. 54 .
están girando a
siendo esta una
Reemplazando s=l en la ecuación
torqne
(1-114), la si -
guíente relación de Tarr para el motor de- inducción, se ob-
tiene :
"arrr *r
2. X .m V-as
2
9 9[í- y-'* J, (y -' Y y*Yl 4-r-r*"Y -t- -r Y"*X . J L ~ LA. A. A / I i 1 X /). i I - Asr m s rj\s s r
2 •)
(1-115)
Sa puede ver en esta ecuación que incrementando el
valor de la resistencia r^ también se incrementa el T ^, en
tonces es posible mejorar este último en un motor de induc -
ción que tenga el rotor devanado conectando resistencias ex-
ternas en serie con cada fase del bobinado del rotor.
c) Cuando el deslizamiento toma valores mayores que cero y me_
por lo
tanto en este rango la máquina funciona como un motor de -
ñores que uno (O < s < 1) significa que W < W-L Í
inducción y la potencia mecánica y el
res positivos 0
:orque tienen valo
d) -Un deslizamiento negativo ( s< 0) significa que W >W , por
lo tanto la máquina funciona como un gBnerador de inducción
a velocidades superiores a la de sincron
con la ayuda de un primomotor externof
canica viene a ser negariva ya que a
síncronas el rotor no proporciona Pmec
consume y el torque también es negativo
„ 5ñ ,
ísmo obtenida G
la potencia met-
velocidades supec
sino que la
e) Un deslizamiento mayor que uno ( s >1)
do W. es negativa, esto es, cuando el
dirección opuesta a la del campo magnético giratorio .
Esta condición se presenta en un motor
fásico si se invierten silbitamente dos
ses, la potencia mecánica que el rotor
tiva y la toma de la.energía cinética
torias ya que no existe primomotor que
entonces el rotor se frena, después de
•la máquina funciona nuevamente como un
es posible cuan-
írotor gira en una
de inducción tri
de sus tres fa -
consume es
le las masas gira_
la suministre f -
llegar al reposo
motor de induc
ción normal acelerándose en la nueva dirección del cam-
po magnético giratoriof este rango de operación se conoce
como región de frenado.
En la tabla 1 se muestra un r
tudes de los deslizamientos y las formas
de funcionamiento de la máquina de induce
estimen de las magii.í-
norrespondientes
ion.
TABLA 1
. 56
DESLIZAMIENTO
Y VELOCIDAD
0 < s < 1
w > w > os r
s > 1
<x»W > 0
(Opuesto al C.M.G. )
s < 0
W > Wr s
FORMA DE
FUNCIONAMIENTO
MOTOR
FRENO
GENERADOR
C(
D:
E:
Mí
C:
E:
MI
e-
)NVERSION
3 ENERGÍA
.éctricaen
icánica
Lnéticaen
.ectrica
3CANICAen
.éctrica
Finalmente para determinar el torque máximo de la
máquina cuando funcione como motor o generador, es necesa -
rio obtener una expresión para el deslizamiento de torque -
máximo (s ¿ r] y esto se logra diferenciando la ecuación -
(1-114) con respecto al deslizamiento e igualando a ceror -
así:
Él T - n-i j- _ — uds e
La expresión final es
(1-116)
Tmáx
Donde:
Q =x 1/2s
L (xm x X")2 + (r x")2s r s r
La expresión (1-117) tiene dos
tivo para el caso motor y otro negativo
nerador.
. 57
(1-117)
(1-118)
calores uno posi-
para el caso de ge
Sustituyendo el valor del
que máximo en la ecuación (1-114), se
ecuación para el torque máximo.
T - = +•max —
deslizamiento
obtJiene
de tor -
la siguiente
ws írrs0 í 0
- 7Q . X ~ .m V
-as2
+ Q(Xm-XsXPf + rXs+Qrs* '121r \9
'Trnáx es directamente proporcional a la resisten-
cia del rotor, Q no es función de esta resistencia y el Tmax
es independiente de ella. Consecuentamente, si todos los pa-
rámetros de la máquina son constantesf se puede controlar la
velocidad a la que ocurre el torque máximo en estado estable,,
variando las resistencias externas conectadas al circuito dal
rotor, mientras la magnitud del Tmáx permanece constante, es-
. 58
ta ventaja es aprovechada para arrancar grandes motores de
inducción que tienen el rotor debanado y
lar la velocidad de funcionamiento. En la
también para regu
figura 7 3e puede
ver las características torque-deslizamiento de un motor de
inducción con rotor bobinado para diversos valores de r^
175, ESTUDIO DE LA RECONEJSION A LA MISMA FUENTE (*;
La recone-T^ión a la misma fuente, es una opera -
ción transitoria de conexión rápida, donde el motor de in
ducción, se desconecta de la fuente de alimentación y se -
reconecta a la misma, antes que las corrientes remanentes
del iotor debidas a la energía magnética almacenada en el
entrehierro decaigan por completo, en estas circunstancias
se produce el régimen transitorio de recone'X?.i6n que es co
mün en ciclos de trabajo intermitente requeridos para al -
gunos procesos de producción. Por las condiciones en que -/
se producen estos transitorios deben ser más severos que -
los de arranquef entonces tomarán valores
la corriente nominal«
de varias veces
La medieion experimental de los transitorios de la
recone^.ión se hará en el siguiente capítulo y su determina
ción se planteará en el capítulo posterior
(*) Referencia 1
en base a las e-
ma>
Larf 3
. 59
arr
arr..
FIGURA 7
CARACTERÍSTICAS TORQUE - DESLIZAMIENTO
BOBINADO PARA DIVERSOS VALORES DE
TORICA
DE UN MOTOR
RO -RESISTENCIA
"cuaciones diferenciales (1-81) de la sección 1.3.2
1.6, ESTUDIO DEL FRENADO POR INVERSIÓN DE FASES (*)
Frecuentemente, en la industria
re cambiar el sentido de giro o parar con
moderna se requie_
rapidez y exacti-
tud una máquina de inducción. En la mayoría de los casos la
versatilidad de los motores de inducción permiten realizar
este tipo de operaciones de alta velocidad
muchas veces inciden en la calidad del producto elaborado.
El régimen de frenado por inver^
y precisión que
ion de fases o
contracorriente se presenta al conmutar dos de las tres fa-
ses del estatort después de haber desconectado la fuente y
rábidamente rehacer la misma antes que la corrientes del
rotor decaigan completamente; esto implica el cambio den
sentido de rotación del campo magnético, frenándose el ro -
tor. Cuando la velocidad llegue a cero el
nectarse de la red de lo contrario empezar
sentido opuesto al anterior.
motor debe desco-
pueden
. Los transitorios que se'producer
ción de frenado por inversión de fases
severos que los anteriores pues además de
tica almacenada en el.entrehierro tienen
ses invertida,
(*} Referencia 9 y 10
á a girar en el
durante la opera-
ser mucho más
la energía magné-
secuencia de fala
61
El análisis teórico y la medición experimental -
de estos transitorios se realizará en los
guientes corno ya se indico ¿n la sección anterior.
1.7, E S T U D I O DEL F R E N A D O D I N Á M I C O (*:
Para pasar del régimen motor al
co se desconectan los terminales del motor
la red de corriente alterna e inmediatamente
dos de sus fases a una fuente de corriente
libre la tercera fase,.
La corriente continua al circular por dos de los
:apítulos subsi-
de frenado dináná
de inducción de
se reconecta -
continua dejando
bobinados del estator (conectados en' serie
inducción trifásico crea un campo magnético estacionario en
el entrehierro y como el motor está girando se inducen co
rrientes en el rotor , las que se interacoionan con el flu-
jo principal para producir un torque de frenado en el rotor
Estos transitorios son menos SQM
riores y su análisis teórico-experimental
próxjjnos .capítulos.
(*) Referencia 9 y 11
) de un motor de
eros que los ante-
se hace en los
. 63
FIGURA 8
ESQUEMA DE CONECCIONES DE LOS BOBINADOS DEL
ESTATOR DE UNA MAQUINA DÉ INDUCCIÓN PARA FRE
NADO DINÁMICO.
C - A - P - T T U t o ri
PRUEBAS EXPERIMENTA
c A P i T U . L - Q • • • ii
PRUEBAS EXPERIMENTALES
Las diferentes pruebas de laboratorio realizadas
y anotadas en este capítulo permiten determinar los paráme_
tros de la máquina de inducción y los oscilogramas corres-
pondientes a las operaciones transitorias
frenado por inversión de fases y frenado d
El motor de inducción seleccionado
vestigación es de rotor removible y tiene
tos de placa: 220/380 voltios, 7/4.04 amperios
nección A/Y,/4 polos y 60 Hz.f además dos
bobinado y jaula de ardillaf se usaron en
de reconección ,
inámico.
para esta in™
los siguientes da
, 3.5 H.P. co
tipos de rotores:
estas pruebas.
Todas las pruebas experimentales, se hacen utili-
zando el motor de inducción con rotor
de ardilla respectivamente.
bobinado y jaula -
2,1. PARÁMETROS DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN
]jos parámetros del motor de inducción, se determi^
nan tal como se indica en la referencia 12, mediante las
•pruebas normalizadas de vacio acoplado y de rotor bloque^,
do. El valor de la resistencia de cada fase del estator (
fue medido utilizando el puente deWheatstone, cuyo T"alor
es :
r = 1.61 ohm/fasew
Colocando el rotor bobinado en el motor de induc
ción escogido anteriormente, se realiza la prueba de vacio
acoplado con las bobinas del estator coneqtadas en delta y
se anotan las siguientes lecturas:
VT = 220- voltiosLi
I = 3.5 amperios
= 75. vatios
W = 1800 r.p.m.r L
Asi mismo de la prueba de rotor bloqueado, se a-
notan los siguientes datos:
VL =
P ^-1- m
W ~
55e7 voltios
7.O amperios
312„ vatios
O. rOp.me
obtielnen los siguien-
rotor bobinado:
Utilizando estos datos, se
tes parámetros del motor de inducción con
r" = 5.341 ohm/fase
X = 102,588 ohm/fase
X = X" = 6.112 ohm/fases r '
Ahora se coloca el rotor jaula ce ardilla en el
motor de inducción conectado en delta y se repiten las -
pruebas anteriores para tomar la lectura de los instrumen-
tos, entonces de las pruebas de:
Vacío acoplado :
XL "
T
W =
= 220. voltios
3.53 amperios
80. vatios
1800. r.p.m.
Rotor bloqueado:
VT = 51.5 voltiosJLJ
I = 7*0 amperiosL
P = 316. vatios
W = 0. r.p.r lm.
Con estos datos se obtienen los parámetros del
motor de inducción con rotor jaula de ardilla que a conti-
nuación se escriben:
r^ - 5.373 ohin/fase
X = 102=26 ohm/fasem /
X = X" = 5.496 ohm/fases r '
2.1.1. Cálculo del momento de inercia
El momento de inercia (J)f se
métodos experimentales para asegurar que
sean correctos y confiables,.
obtuvo mediante dos
líos valores medidos
a) Método físico del movimiento de rotaqión (*)
Para medir el momento de inercia
es necesario:
Suspender al eje del motor un peso (P)
de pescar o de nylon*
- Envolver el hilo hasta que P alcance ur^a cierta altura
•(H } „v n;
(*) Referencia 13
por este método
, mediante un hilo
Al descender P en calda libre él rotor eímpieza a girar en
el sentido que se desenvuelve el hilo.
Anotar el tiempo de caida libre de P,
al punto de inversión.
cuando este llega -
- Ahora P, asciende envolviendo el hilo er
rio pero el sentido de giro del motor de
- Anotar la altura máxima (H ,) a la que
el sentido de giro del rotor cambie.
Este método, se aplico a los dos
en el motor de inducción* Es conveniente repetir este proce
dimiento variando el numero de vueltas del hilo recogido so
bre'el eje del rotor para suspender el peso (P) a distintas
alturas (H ) y también con diferentes valores de peso (P) -
con el fin de obtener valores promedios más confiables.
sentido contra -
mantiene.
sube P, antes que
rotores usados
pruebLos datos obtenidos en esta
cular la aceleración angular, la fuerza de
momento de inercia de la máquina. Todos estos
dos y calculados se anotan en las tablas,
La aceleración angular (r), se
la s iguiente fórmula:
a sirven para cal
rozamiento y el
valores medi-
2F 3 y .4.
calcula aplicando
TABLA 2
Valores medidos y calculados con
.70
m - para obtener J..
mx = 2.5 kg PI = 24 ..45 ra >
Hn
m.
Bn+l
m.
Vi
m.
t
seg.
t
seg.
Fr
m kg
seg
T
rad2seg
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOí
0.820
0.663
0.42C
0.418
0.365
0.370
0.419
0.368
2,5
2.3
2,2
2.0
2.4
2.1
7.913
60996
8.726
8,548
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAUI
0.84
0 £R 9
.._
0.571
0.561
0.481
0.481
0.566
0.481
^ • B ^ ^ _
2.2"
2 .25
2.05
2.05
2.225
2.05
4. ,765
4.226
10. 15
8.971
o;g/seg
Ji
m Kg
a
rad
J-±
ra2Kg
INADO
0.046
0.049
STT
6-rr
0.048
A DE ARDILLA
0.047
0.055
STV-
67T
0.051
TABLA 3
Valores medidos y calculados con
m2 = 3 kg P2 = 29.34 m Kg/seg2
Hn
m.
H 0.1n-KL
m.
Vi
m .
t
seg*
t
seg .
Fr
m Kg2
seg
r
rad.2
seg
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOBINA
0 .82C
0.663
0.435
0.442
0.382
0.377
0.439
0.380
2,2
2.3
2.0
'2.10
2.25
2.05
8.879
7.961
9.928
8.97
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA
0.84
0.682
0.555
0.557
0.473
0.473
0.556
0,473
1.90
2.0
1.85
1.70
1.95
1.775
5.718
5.309
13.22
11.96
J2
m2Kg
cr
rad . .
J2
m2Kg
.DO
0.05
0.058
87F
6TT
3.054
DE ARDILLA
0.043
0.048
87T
6TT
0.045
. 71 .
para obtener Jr
TABLA 4
Valores medidos y calculados con m»
7 y J
.72
para obtener
m- = 3.5 kg P-, = 34.23 m Kg/seg
Hn ,,n+1 H _,-n+1 t ' t F
J0"
ra. m. ra. seg. seg.
mK
seg
rad_.2
segKg rad m^Xg m2Kg
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOBINADO
0.820
0,663
0.445
0.448
0.376
•0,376
0.447
0,376
1.80
2.0
1.70
1.80
1.90
1.75
10.07
9.455
13.92
12.31
0.041 8TT
048 6ir
0.045 e -e-4
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DE ARDILLA
0.840
0.682
J
0.527
0.5270.527
0.454
0.463 0.459
1.85
1.85
1.60
1.60
1.85
1.60
7.838
6.69
14,69
14.73
.043
4- J? -H J3) /3
87T
6ir
0.044
2 <T r ^ / 2irad./seg
t
Donde
cr = 2 irn rad.
cr : es un ángulo en radianes
n : es el número de vueltas, y,
t : es el tiempo de caida libre en segundos
La fuerza de rozamiento (Fr) / s& puede calcular
aplicando la siguiente relación:
. 73
(2-1)
(2-2)
H•n -F = PH + H ,1n n+1
-L.I rn+x * .._ , ¿) m Kg/ seg
Donde:
P: es el peso en kilogramos-fuerza
H : es la altura relativa inicial en metros; y,n ' ¿ r
(2r3)
H , : es la altura relativa máxima promedi
Finalmente el momento de inercia, se calcula por
medio de la siguiente fórmula:
J( P - F ) r
o en metros
(2-4)
Donde:
r : es el radio del eje del rotor en metro's
m : es la masa del peso (p) en kilogramos
. 74
r Y
masa
Los resultados obtenidos del momento de inercia
aplicando este método están dentro del rango previsto por
lo tanto son buenosr ver tablas 2, 3 y 4
b) Método electromecánico (*)
Si las fuerzas de rozamiento, fricción del aire
e inercia, fuese todo lo que está presente, la ecuación -
del funcionamiento es la siguiente:
JpW + AW = O*- r X'
Despejando J, se obtiene:
,2
pW,
m2 Kg
Donde:
AW" : es la fuerza del rozamiento y fricc]
pW _: es la pendiente de la parte lineal d|
saceleración.
(*) Referencia 8 y 14
(2-5)
(2-6)
ion del aire; y,
e la curva de de-
Como se puede ver en la ecuación (2-6)
75 .
para
calcular el momento de inercia de la' máquina por este méto_
2do, es necesario conocer los valores de AVf^ y pWrf esto se
logra mediante las pruebas de vacío desaccpiado y de desa-
celeración respectivamente.
b.l) Prueba de vacío desacoplado.
L'-is pérdidas mecánicas (P ) de la máquina pueden
ser separadas de las pérdidas del hierro del estator mi -
diendo la potencia de entrada (P ), la corriente de línea
y el voltaje de la fuente con la máquina girando sin carga.
En esta prueba la frecuencia de la fuente
constante y el voltaje nominal aplicado/ fue reducido gra -
dualmente por pasos hasta los 80 voltios y cada paso reduci_
do fue de 20 voltios. La velocidad de la náquina solo cae
ligeramente cuando el voltaje de la fuente se reduce,, do mo-
do gua lac pordidac de la fuente so reduce,, de modo que las
fue mantenida
perdidas mecánicas (P ) son aproximadamente constantes e in_
dependientes de la velocidad.
'La potencia de entrada (P ) , se corrige retirando
las pérdidas del cobre del estator del siguiente modo
P =: PC "" CUS
(2-7)
Donde la potencia de entrada (P
.las perdidas del.motor en vacio.
= p -f P 4 - T J - f Po cus *h+f F+V ferot.
o
Y las pérdidas en el cobre del
P = 3 (IT/ f? ) rcus I/ v 3
P, j.: son las pérdidas de histérisis y f o ¿cault
. 76
), es igual a
(2.8)
Bstator son
(2-9)
PH-V : son las pérdidas por fricción y ventilaciónf y
P.C ±.. s°n las perdidas en el hierro debidas a la ro-
tación»
En las tablas 5 y 6, se anotan los valores me-
didos y calculados de esta prueba realizada para el motor
de inducción con rotor bobinado y jaula de ardilla respec^
tivamente.
Los valores tabulados de la potencia corregida
de la fuente y
así se obtienen las curvas de los gráficos 1 y 2.
(P ) son dibujados en función del voltaje
Si estas curvas son extrapoladas
tercepten al eje y, entonces el voltaje s
hasta que in-
reduce a cero
y las pérdidas mecánicas (P ) o pérdidasj. x m
fricción del aire quedan determinadas pare
ducción.
Ahora se puede determinar la fuerza de rozamien
to y fricción del aire por medio de leí siguiente relación:
- 77
por rozamiento y
el motor de in
AW 'mW.r
r 2m Kg/seg'
Donde:
'WMí es la velocidad rotacional en rad/seg
b.2) Prueba de desaceleración.
Se acopla al motor de inducción
nerador de presición cuyo voltaje alterno
rectamente proporcional a la velocidad.
Esta señal alterna de salida pasa
cador de onda completa transformándose en
mada continua que va al osciloscopio a
sor de tensión como se ve en-, la figura 9
(2-10)
un tacómetro ge-
de salida es di-
por un rectifi_
una señal apróxi_
de un divi -través
TABLA 5
Valores medidos y calculados de la prueba devacío desacoplado
. 71
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOBI
VL
voltios
220
200
180
160
140
120
100
80
XL
Amp.
3.36
2.86
2.58
2,26
1.93
1.75
1.48
1.38
. wi/
Vatios
475
380
32-2
260
•205
170
130
116
f * ] P — WH - ' Wv ) J-T K-L «2
W2 •
Vatios
275
200
160
110
70
45
15
5
V*)
Vatios
200
180
• 162
150
135
125
115
111
Pc
Vat
18
13.
10.
8.
5.
4.
o_l *
3.
NADO
US
ios
.17
16
72
22
99
5353
06
P'c .
Vatios
182
167
151.5
142
129
120
115.5
108
WV
r .p.m.
JL7>0
1760
1755
1755
1740
1740
1735
1735
TABLA 6
Valores medidos y calculados de
vacío desacoplado
la prueba de
.80
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DE í
VL
voltios
220
200
180
160
140
120
100
80
XL
Amp „
3,43
3.0
2.61
2.26
1.91
1.70
1,40
1.20
Wl
Vatios
490
405
323
262
196
- 160
120
'85
(*} PT « v?1 - w2
w2
Vatios
320
255
190
144
90
63
30
0
v*>Vatios
170
150
133
118
106
97
90
. 85
PGIJ
Vat
19.
14.
10.
8,
5.
4,
3,
2
. .,_.. , —
RDILLA
s
ios
94
50
97
22
87
65
16
32
Pc
Vatios
151
135.5
122
110
100
92.5
87
82
W^
r Opem.
1760
1760
1755
1755
1750
1750
1745
1745
•
i ' . ' . i!'••••• . J
La máquina bajo prueba se acopl
es llevada hasta su máxima velocidad, y m
cuito de control de la figura 10, se interrumpe el sumi -
nistro de energíar entonces la velocidad
siendo esta señal captada y grabada en el
a al tacómetro y
ediante el cir -
decae lentamente
osciloscopior -
como se ve en las fotografías tomadas posteriormente
que sirven para calcular la pendiente de
de la curva de desaceleración por medio de la siguiente
relación de variación de la velocidad:
" w rad./seg
ylaparte lineal -
(2-1.1)
En las fotos 1 y 2 se puede observar que la ve-
locidad decrece casi linealmente con el tiempo tanto para
el motor de inducción con rotor bobinado
la de ardilla.
como para el jau
El momento de inercia del motor de inducción con
rotor bobinado ee calcula del siguiente modo:
Del gráfico 1, .se obtienen los
m 105 vatios
W = 1760 r.p.m.r L
datos de:
..83.
FIGURA 9
DIAGRAMA DE FUERZA DISEÑADO PARADE DESACELERACIÓN
R
LA PRUEBA
AL TRIGUER
FIGURA 10 .
DIAGRAMA DE CONTROL PARA EL CIRCUIlO DE FUERZA
Que son reemplazados en la ecuación (2-10) , para
obtener:
=0.57 m2Rg/seg2
De la foto 1, se obtienen los siguientes datos
W, = 36.862 rad./seg .-L J
W2 - 140.076-rad./seg.
t1 - 12.5 seg.
t« = 2c5 seg.2 "^J
Que al ser reemplazados en la ecuación (2-11)
se obtiene:
pWr =-10.321 rad./seg.
Finalmente reemplazando estos alores calcula-
dos en la ecuación (2-6)f se obtiene el momento de iner-
cia buscac'.o;
J = 0.0552 ra2Kgl
'85
FOTO 1
Prueba de. desaceleración del motor de inducción con
rotor bobinado, donde el voltaje es directamente pro_
porcional a la velocidad rotacional
Escala vertical: 2v./div.
Escala horizontal: 5 seg./div.
Wr = 1.760 r.p.m.
86
FOTO 2
inducciónPrueba de desaceleración del motor de i:
de ardilla, donde el voltaje es directamente
a la velocidad rotacional.
Escala vertical: 2v./div.
Escala horizontal: 5 seg,/div.
W = 1760 r.p.m.
en j aula
proporcional
Siguiendo el mismo procedimiento de cálculo, se
determina el momento de inercia del motor
rotor jaula de ardilla.
de inducción con
Del gráfico 2, se toman los siguientes datos:
iguientes datos
P =80 vatiosm
W = 1760 r.p.m.r *•
Entonces, se tiene:
AW2 = 0.434 m2Kg/seg.2
De la foto 2 f se obtienen los s
W-, = 55.293 rad./seg.
W0 = 136.389 rad./seg.
t- = 14 seg.
= 4 seg.
Entoncesr se tiene:
8fll rad./seg
Finalmente el momento de inercia buscado es:
J = 0 .0535 itTKg.
* nú
Las dos pruebas descr.itas con anterioridad pfna
determinar el momento de inercia, se hicieron con finea *.
d^ comparación e ilustrativos y como se puede ver en .]
ellos f lo que -
ambos pueden u-
tabla 7, no existe mayor diferencia entre
garantiza su confiabilidád, por lo tanto,
tilizarse en cálculos posteriores aunque agui se usaran
los resultados obtenidos del segundo método. Cabe-anotar
que no corresponde al presente trabajo el
semejanzas, diferencias y restricciones de los métodos
mencionados con anterioridad, por consiguiente se han. o-
mitido los comentarios al respecto.
TABLA 7
MOMENTOS DE INERCIA DEL MOTOR DE INDUCCIÓN
análisis de las
MOMENTO DE INERCIA (m2 Kg)
ROTOR
BOBINADO
JAULA DEARDILLA
Método físico
Oc0490
0.0468
Método
O.í
o.<
Electromecánico
)552
)535
Los parámetros de la máquina de
sistencias, reactancias y el momento de ii
hasta aquí evaluadosf serán utilizados
calcular los transitorios de reconacción,
versión de fases y frenado dinámico del
mediante un modelo matemático que se j
simulación digital en el próximo capítulo
. 89.
inducción (re -
inercia del rotor)
posteriormente para
frenado por in -
motor de inducción,
á'para laimplementara
2,2, OSCILOGRAMAS DE TRANSITORIOS EN LA RECQNE-XÍON A LA
MISMA FUENTE
El motor de inducción seleccionado
ba, se conecta a la red mediante el circuito
nado en la figura 11, y es controlado mediante
de la figura 10.
para esta p _
de fuerza cise-
el circuito
En la figura 11, se puede ver que la señal del
voltaje es llevada al osciloscopio a través de un divisor -
de tensión intercalado entre dos fases del estator y la se-
ñal de corriente, se lleva a otro canal del osciloscopio me_
diante una resistencia de un ohmio conectada en serie a la
fase del estator.
Las fotos 3 y 4, registran los
tos transitorios donde se vé claramente
ración de estado estable se desconecta la
oscilogramas de e
que durante la ope
fuente de alisen
R
VARIAC
v
C
SEÑAL DE V
PTO.COiyíUN
SEÑAL DE I
.90
>AL OSCILOSCOPIO
FIGURA 11
CIRCUITO DE FUERZA DISEÑADO
PARA LA RECONE'X-ION
. 91
tación y luego de un corto período de tiempo (ms .) se reco_
necta a la misma, produciéndose los transitorios de reco -
ne-x/ión correspondientes al motor de inducción con rotor -
bobinado y jaula de ardilla respectivamente.
Las cQxr-i-en-te-s—t ajis LtQ3£¿a=s=!ÉL recone.-oüiñn, tie-
nen un rápido amortiguamiento (ms), recuperando su forma es
table casi de inmediato, las corrientes del estator durante
la desconexión son iguales a cero como se puede apreciar
en los oscilogramas f otograf iados.
conexión no son cero sino que decaen sinusoidalmente debi
do a la energía almacenada en el' entrehierro pero antes y
después de la desconexión conservan su forma de estado es-
table. De los oscilogramas de voltaje se
los de desconexión (3 ) y "recone-^ión (
Csen la forma y magnitud del transitorio instantáneo de co
rriente.
A voltaje nominal la saturación magnética introdu_
ce efectos' no lineales en la máquina rea
obtienen los ángu-
<* ) que inciden -
y con el objeto
de evitarlos se trabaja en la parte lineal de la curva de -
magnetización y esto se logra con voltajes menores al nomi-
"nalr entonces los resultados medidos serán más cercanos a
los del modelo matemático usado y un análisis comparativo -
más exacto es posiblef debido a que algunas suposiciones con_
sideradas en la sección 1.1., al formular las ecuaciones di-
. 92
FOTO 3
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN LA
A LA MISMA FUENTE PARA EL MOTOR DE INDUCCIÓN
ROTOR BOBINADO.
CANAL 1
Escala, vertical: 10 v,/div.
Escala horizontal: 50 ms/div.
8 = 45°
RECONEQSLTON
CON
CANAL 2
5 .Amp./div,
50 ms./div.
= 270
. 93
FOTO 4
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN LA REGONEJX'ION A LA
MISMA FUENTE PARA EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA
DE ARDILLA
Escala vertical:
Escala horizontal
8 = 270°
CANAL 1
10 v./div.
50 ms./div.
CANAL 2
5 Amp./div,
50 ms./div.
= 270
. 94
ferenciales para una máquina simétrica ideal son tomadas -
en cuenta„
Por lo tanto, estas pruebas se realizan alimen -
tando al motor de inducción conectado en
2,3, OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO POR IN-
VERSIÓN DE FASES
Los circuitos de control y fuersc.
invertir el sentido de giro del motor de
estrella con vn/vrr
diseñados para
inducción utiliza
do en esta prueba se presentan a continuación en las figu-
ras 12 y 13 respectivamente. Las señales de:
rriente se llevan al osciloscopio como en
voltaje y co -
caso anterior,el
Las fotos 5 f 6, 7 y 8 registran los oscilogramas
de los transitorios de frenado por inversión de fases del
motor de inducción con rotor bobinado y jai:la de ardilla.
En las fotos 5 y 7 se ve con claridad: la última parte de
la operación de estado establef el instante en que se des-
conecta la fuente, el corto período cíe desconexión (ms),
el instante en que se reconéctala fuente con dos de sus fa_
ses invertidas y la parte inicial de este tlransitorio de
frenado, mientras que en las fotos 6 y 8 se
ración total de este período transitorio de
aprecia la du-
frenado y la
R
C-
AL
TRIGUÉR C-
FIGURA 12
CIRCUITO DE CONTROL PARA LA ^NVERSION
DE FASES
R
S
T
96
VARIAC
C-
\
>_/
R2
f
'
\L DE
PTO. COMÚN
SEÑAL DE I
OSCILOSCOPIO
FIGURA 13
CIRCUITO DE FUERZA DISEÑADO
PARA LA INVERSIÓN DE FASES
parte inicial del régimen estable alcanzado por el motor
que ahora gira en sentido contrario al anterior.
Las corrientes transitorias de
versión de fases tienen un pico instantáneo muy severo y
se amortiguan lentamente (seg.) frenando
frenado por in-
al rotor y si
no se desconecta la fuenter las corrientes recuperan su
estado estable y el rotor empieza a girar en sentido con
trario al que tenía.
En la desconexión las corrientes del estator
son cero y los voltajes remanentes decaen sinusoidalmen-
te como se observa en las fotos 5 y 7, donde también se
determina fácilmente en los oscilogramas
valores de los ángulos de desconexión (
ne-^ión ( K ) que inciden en la forma de
de esta corriente transitoria de frenado.
Por las mismas razones del 'caso
pruebas se realizan alimentando al motor d
nectado en estrella con V /n
de voltaje los
3 ) y de reco-
onda y magnitud
anterior, estas
e inducción co-
FOTO 5
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO POR INVER-
SIÓN DE FASES PARA EL MOTOR DE INDUCCIÓN GON ROTOR BOBINADO
CANAL 1
Escala vertical: 10 v./^iv-
Escala horizontal: 50 ms./div,
B = 180°
CANAL 2
1O Amp./div.
50 ms. /div,
- 270°
. 99 .
FOTO 6
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO POR INVER-
SIÓN DE FASES PARA EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOBINADO
Escala Vertical:
Escala horizontal:
CANAL 1
10 v./áiv.
O . 5 seg./div.
CANAL 2
10 Amp./div
0.5
. 100 .
FOTO 7
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO POR INVERSIÓN
DE FASES PARA EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DE ARDILLA
escala vertical:
escala horizontal:
9 = 120°
CANAL 1
10 v./div.
50 ms/div.
=315'
CANAL 2
10 amp./idv,
50 ms./div.
.101
FOTO 8
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO POR INVER-
SIÓN DE FASES PARA EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA
DE ARDILLA
Escala vertical:
Escala horizontal:
CANAL 1
10 v./div.
0.5 seg./div.
CANAL 2
10 Amp./div.
O.5 s&g./d±v.
. 102
2,4. OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSIT'ORÍOS EN EL FRENADO DINÁMICO
El motor de inducción seleccionado
ba inicialmente es conectado a una red de
una fuente de continua mediante el circuido
nado en la figura 14 y el diagrama de
la figura 12. Las señales se llevan al osc|iloscopio igual
que en los casos anteriores.
control
prese¡ntanLas fotos 9, 10, 11, y 12,
mas de frenado dinámico del motor de induc
binado y jaula de ardilla respectivamente.
muestran los períodos de estado estable,
parte inicial del transitorio de frenado
que las fotos 10 y 12 muestran el transitorio
nado dinámico y cuando el rotor se frena p
desconecta la fuente de continua.
Como en los casos anteriores el
ta normalmente de una red de alterna hasta
producirse la desconexión entonces las
tor son cero y los voltajes remanentes
mente, al reconectar se aplica corriente
seguir el frenado dinámico luego las
rias producidas alcanzan un valor constante
para esta
alterna y luego a
de fuerza dise-
es el dado en
los oscilogra_
ción con rotor bo-
Las fotos 9 y 11
dlescone^ión y la
d|iiiámico, mientras
total de fre-
por completo se
estator se aliraen
el momento de -
del esta^
sinusoidal-
continua para con-
transito -
y son mucho me~
corrienteí
decrecen
corrientes
> AL OSCILOSCOPIO
PARA EL FRENADO
observando
de
nos severas que las de recone
gramas de voltaje se determina' el ángulo
( 3 ) mientras que el ángulo de
ya que al reconectar se tiene tensión continua
recone-^ion
La tensión continua aplicada a dos fases del esta
tor es de 30 voltios.
. 104 .
los oscilo-
desconexión
c ) es cero
. 105 .
FOTO 9
CANAL 1
Escala vertical: 5 v./div.
Escala Horizontal: ' 50 ms./div,
3 = 180°
CANAL 2
2 Amp. /div,
50 ms./div.
ce =
,106.
FOTO 10
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO DINÁMICO PARA
EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOBINADO
CANAL 1
Escala vertical: 5 v.'/div.
Escala horizontal: 0.5 seg./div.
CANAL 2
2 Arap. /Div.
0.5
. 107 .
FOTO 11
OSCILOGRAMAS DE LOS TRANSITORIOS EN EL FRENADO DINÁMICO PARA
EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DE ARDILLA
Escala vertical:
Escala horizontal:
3 = 135'
CANAL 1
5 v./3iv.
50 ms./d.iv.
CANAL 2
2 Amp./div,
50 ms./div.
= 0°
. 108 .
FOTO 12
EL MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DE
Escala verticalt
Escala Horizontal:
CANAL 1
5 v. /div.
1 seg./div.
ARDILLA
CANAL 2
2 Amp./div,
1 seg./div,
C A P Í T U L O - III-
REPRESENTACIÓN DEL MODELO
MATEMÁTICO
C A P I T U ' L O I M
REPRESENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
En este capítulo, se analizan .gunas considera-
ciones básicas que permiten desarrollar un modelo matemáti_
co para calcular los transitorios anotados en las seccio -
nes 1.5, 1.6 y 1.7 y medidos en las secciones 2.2.,
2.3 y 204C A parti'r de las ecuaciones diferenciales de-
terminadas en la sección 1.3.2., se obtienen las ecuacio -
nes del modelo matemático que son referidas al sistema por
unidadr además a continuación se describe
ge - Kutta para la integración numérica y
el método de Run
se indica el pro
ceso general seguido para la solución digital, finalmente,/
se muestra este proceso en forma de diagrama de flujo sim-
plificado y se presentan los ejemplos- de aplicación,,
3.1, CONSIDERACIONES BÁSICAS
Para desarrollar el modelo matemático
cuenta los mismos principios básicos expuestos
lisis en la sección 1,1., estas suposiciones
,se toman en
para el aná-
linealizan al
sistema, pero como en la presente investí
siderar la variación de la velocidad del
visto el sistema desde este puntof tiene
no lineal.
Establecer las condiciones inic
te, voltaje,, concatenaciones de flujo, toi
es básico, importante y necesario.
Cuando la máquina opera en estac
, 111 .
tigación se debe con
motor, entonces
un comportamiento
iales de corrierr
que y velocidad ,
o estable, exis
ten corrientes que circulan por los bobinados del estator -
y del rotor antes de producirse la desconexión de la fuen-
te de alimentación, estas corrientes son calculadas utili -
zando el método-de eliminación de Gauss (*) para resolver las
ecuaciones complejas (1-111)- de estado estable. La solución
de estas ecuaciones requiere de los siguientes datos en por
unidadí voltaje de la fuente, deslizamiento, resistencias y
reactancias de la máquina.
Durante la desconexión las corrientes del esta -
tor son cero y las del rotor decaen sinusoidalmente debido
a la energía almacenada en el entrehierro f estas corrientes
remanentes se calculan integrando las ecuaciones diferencia_
*)• Apéndice A
* 112 .
les que simulan el decaimiento de las corrientes del rotor
y voltajes del estator siguientes a la desconexión (desa-
rrolladas más adelante) mediante el método
Las.condiciones iniciales requeridas para
se obtienen considerando las corrientes de
inicialesFinalmente las condiciones
para integrar las ecuaciones diferenciales
que describen el funcionamiento de la máqu
del tiempo se determinan a partir de las
nentes presentes en la desconexión.
necesarias
(3-26) y (3-34)
iría en función -
corrientes rema -
Tambiént .se debe tener en cuenta
tá cortocircuitado, de modo que v" = v.
quina opera sin carga conectada al eje, el
es cero (TL
que el rotor es-
= 0 y como la mil
torque de carga
O )r además el coeficiente angular de fric -
ción viscosa (D), se deprecia.
3,2, ECUACIONES DEL MODELO MATEMÁTICO (*)
.Si ambos miembros de las ecuaciones dadas en (1-84)
de Runge-Kutta.
asta integración
estado estable.
se les multiplica por la velocidad angular
rrespondiente a la frecuencia nominal, se
(*) Referencias 3 y 5
eléctrica W , co-
tiene:
. Í + X (i + i"ls gs m v gs gr
n ij "í- X (i -f- ils ds m v ds x
- 113
*gr = xír gs1
\b 1* ar r Cidr (3- 1)
Donde:
q3
x, w Le
M
r.T T- -*W • L,e Ir(3-2)
Y siendo:
VL = 2 TT f(3-;
f: es la frecuencia de la red
Asumiendo que;
= x (i + i" )mq m qs qr
) , = X (i, + i" ]ind . m v ds dr
Reemplazando (3-4) en (3-1)f se tiene
TÍ; = X, irqs Is qs
= X, i,ds Is ds
= xr i" + IDqr ir gr mq
dr Ir dr rmd
. 114
(3-4)
Si en las ecuaciones anteriores se despejan las
corrientesf se tiene:
•qs X
•ds X
-qr X
"dr X
1
Is
1
Is
1~y
Ir
1-3
Ir
qs mq
ds
qr rmq
(3-6)
. 115
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (3-4)
queda :
X (-mq-f
Is XIr
' ñ T*U-L
„A, TIs Ir
Donde :
x = x ,mq md =? i/ íi/xm + i/x. + i/xr )m ' Is Ir
Reemplazando las ecuaciones (3-7
considerando (3-8),se obtiene:
± = ( Xls" Xmg } , _ Xmg , ,qs v 9 qs x v^ q2
T -.ls
A-, *~ Als mq-
- Tls Ir
X
*
mq1
Tls
x - ^Ir mq
A -, "~XIr mq
ds • ^ rdrA- A ,ls Ir
xmq
A
XIr
*" -armqv ,XlsXlr
Las ecuaciones anteriores también pueden escri-
birse, así.:
(3-7)
(3-8)
) en (3-6) y
(3-9)
igs = BU) *qs - BÍ2)
- B(2)
" = B(3) ip" - B(2) i|; „qr qr rqs
; - B(3) 'K - B(2) iKdr rdr rds
Donde:
Bd) =
B(2) =
B(3) =
X, - Xls mq
X, 2ls
X_mqx^ xrls Ir
X** — vT AIr mqX-,Ir
.. 116
(3-10)
(3-11)
Reemplazando las ecuaciones (3-9} en (1-81)r ha-
ciendo p6 igual a W y multiplicando los dos miembros de
la ecuación por W , se obtiene:
Xw v
e ds
,ls Xmq•* —X, 2ls
) W * - r 2-} e vqs s X, _Xls Ir
W if + p e rgr ^ rqs
V —V
- f Xls Xmg , w's . X, 2 ' e
ls
mqX, X^ls Ir
we+ p ds
We gr r -
X *r ~" A X, Ir mq . _ _ , > . ^ rnqr_ _—3_ i w uí r —-V-X/ 2 e rqr- r X, XIr ^ Is Ir
•f p íD"* - V 7 TÍ)'^ rqr r /dr
W v^ = r1 (e dr r
V* — VA - AIr mqX
W mqre rdr r X Is
ít + W llí^ar r Yqr
Si en las ecuaciones anteriores,
P *gdsr Y reemplaza v" =
. 117
W.e rqs
je rds
(3-12)
se despeja
= O por estar el rotor cor_
tocircuitado^ quedan las siguientes ecuaciones diferencia
les :
pe - W• Yqs e
P = w.
X_ -Xv +r Is- X
) * (,+rA,Is sxlsxír
X
lslr
P* "= W,mq . . ,,
r r~V- J +rr X-, X, qs rIs Ir ^
mqy
+Ir
X V? X
dr
X
nIs Ir X,-ir dr (3-13)
Donde:
*b e2 (3-14)
Multiplicando y dividiendo la ecuación (1-87) por
. 118
W se obtiene:
Siendo W la velocidad sincrónica del campo mag-
nético giratorio.
Si en la ecuación (1-90) se reemplaza TT= O y
D=0, se obtiene:
(3-15)
T = JpWTe ^ i (3-16)
3,3, ECUACIONES DEL MODELO MATEMÁTICO EN POR UNIDAD •(*)
Con el objeto de facilitar el cálculo, se escoje
el sistema normalizado llamado "por unidad"f donde las mag-
nitudes se expresan como fracciones de valores nominales y"
son adimensloríales, para esto es necesario seleccionar va-
lores base de potencia, voltaje y frecuencia que pueden ser
los de la placa del motor de inducción escogido.
(*) Referencia 5
. 119 .
Estas magnitudes tomadas como valores base son:
Sh i es la potencia aparente base en volt-
V, '. es el voltaje base en voltios por fas
f, * es la frecuencia base en Herts.
imperios por fase
y
Una vez seleccionados estos valores baser se pue-
de obtener otras cantidades base*
La corriente base en amperios es
b v.b
La impedancia base en ohmios por fase es
(3-17
(3-18)
La velocidad angular eléctrica base es
TP72") (3-19)
La inductancia base en henr,J.os por fase es:
Z,bb W (3-20)
. 120
Las concatenaciones del flujo base son:
Xb - Lb '
Multiplicando ambos miembros de la ecuación ante-
rior por W r se obtiene:'r e'
, = X, . I,b b b
siendo
X, = W . L, = Z,b e b b
resulta ser
b b
(3-21;
(3-22
(3-23)
(3-24)
Un valor en por unidad viene dado por la siguien
te relación:
Valor pu Valor real
Valor base
anterioresAplicando las relaciones
ciones (3-13) , se puede fácilmente expreaajrlas
(3-25)
a las ecua -
en por uni-
dad y su valor no se altera al reemplazar
nales por los equivalentes en por unidad
ciar a continuación en las siguientes
. 121 .
los valores origi^
como se puede apre
p ib - W^ rqs e
p ilí-j -- W^ rds e
p iK = Wqr e
*dr e
vqs
A(2)qr
vds+ A(1) ^ds + A(2) *dr
A(3) qs qr4-
'dr
A(3) i}j, - A(5)ilJ *" 4- A(4)Yds rar
Los coeficientes A(i) son arregí
ecuaciones :
pu
pu
pu
(3-26;
os expresados en
por unidad y equivalentes a sus valores originales.
X - X-
X, 2ls
XA(2) - r.
A(3) = r;
AT X,ls Ir
x
X
A(4) =
WA(5) - —
r'b
,ls Ir
X - X"mq Ir.
X ' 7
pu (3-27)
Cabe anotar que:
A. ~ A -,mq md
La ecuación de" torque base está dada por la si
guíente expresión:
. 122
T.bV1 • *Ub b
, A ,(} b
Dividiendo la ecuación (3-15) pa
terior, se obtiene:
T = t|> ' * "iC - *K - i "e rqr dr dr qr pu^
(3-28)
ra la ecuación an
(3-29)
La unidad de torque, en el sistema por- unidad, es
definida como el torque producido por una
cia a la velocidad nominal W .
unidad de poten-
El momento de inercia.de la máquina, en el sis te-
ma por unidad f se expresa por la constante de inerciar
tada con la letra H, y definida por la siguiente fórmula
H= Energía almacenada a W^ en KW. seg.&•-Potencia aparente nominal en KVA.
(3-30)
o también por:
5.48 J n in-6H = s 10 seg
n
J es el momento de inercia del motor de
.123.
(3-31!
inducción en m Kg
n : es la velocidad sincrónica del motor de inducción ens
r. p. m. , y
S : es la potencia aparente nominal del mqtor de inducción
en KVA.
La constante de inercia, se calcula a partir del
momento de inercia y de la velocidad en unidades normales f
tiene la dimensión del tiempo y su valor está dado en según
dos. En el sistema por unidadf la unidad de energía está da
da por la unidad de potencia actuando en un segundof y por
lo tanto la constante de inercia (H) es mujmericamente igual
a la energía almacenada en por unidad (*).
Si la máquina fuera acelerada uniformemente del -
gfondo el torgue se_
producida por la
potencia correspondiente a este torgue a la velocidad media
reposo a la velocidad nominal W en un se
ría igual a JW . La energía almacenada es
(*)• Referencia 7
W /2, por lo tanto, con lo arriba definido
que, la energía almacenada será igual a JW
ti^ne:
. 124 .
de unidad de tor
/2, entonces, se
H = i- JW2 s
Despejando Jf queda;
J 2HW
Reemplazando la ecuación anterior
tiene la siguiente ecuación diferencial de
12H e pu
Las ecuaciones diferenciales (3-
(3-32)
(3-33)
en (3-16), se -
velocidad.,
(3-34)
26) y la anterior
como se verá más "adelante sirven para el aiálisis transito-
rio r ya que describen el comportamiento de
una función del-tiempo.
.4. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA(*
La integración numérica de las e
(*) Referencia 15
la máquina como
:uaciones diferencia
* 125 .
calcular corrieri -
torque y velocidad
ion de la máquina.
En general un sistema de n ecuaciones diferencia-
les ordinarias y simultáneas de primer orden pueden ser re
presentadas así:
les realizada por este método sirve para
tes, voltajesr concatenaciones de flujor
en el período de desconexión y
P Y, = f Y- , Y
P _L n ' J_ •"% \ f J- -i f -L f
TI Y ~ f ("y Y Y Y \ n n ' 1' 2f " * ' * ' * ' n'
Las condiciones iniciales dadas para un punto co-
mún (X ) r sonlas siguientes :
i,oY1
= Y-1-
Y (X } = Yn o nf o
'3-35)
(3-36)
. 126 .
Para un sistema de n ecuaciones como el dado, el
paso de integración a través del i-ésimo intervalo de tiem-
po es representado por:
y. . _ = Y..+ ~ (K.,+ 2K.0+ 2K.-3 + K.JJ 31 6 Di ]2 33 34'
f fv Y Y V i-1- -; v-^--- /• -'•T -• r -1-o-,• f • - * • / •*-„-• '3 x li 2i ni
Y*. = -Y. . + — h K .31 31 2 3
f f Y - 4 - _ h Y V4-. ^ ¿v. i „ li. r J. - . r Xi 2 lif
. . - ~31 2
K._ = f . (X. + ~ hr Y. . , Y ',33 3 ^ 1 2 r lif 2i
Y . . = Y . . + hK ..,31 31 33
-i.V IJ. . Ini
Y .)ni
f . (X. -¡-h, Y* r Y*.3 1 li 2i
Y* » » JL .ni
Donde:
j = 1, 2, . . . ,n
(3-37)
x.
h
n
Y . .
127 .
es el valor de la variable .independiente
es el péiso de integración
es el número de ecuaciones diferenciajles de primer or
denr y,
es el valor de la solución para n ecuaciones diferen-
ciales .
Estas relaciones son aplicables paralelamente en
cada punto del algoritmo a todas las n ecuaciones* En sin
tesis el método de Runge - Kutta de cuartc
en evaluar cuatro diferentes incrementos c e variables en -
cada pase de integración y se obtiene de ellos un áetentii-
orden consiste
nado incremento promedio en cada intervalo
El paso de integración usado es
bido a que permite evaluar las ecuaciones
una aproximación razonable y-facilita su
fica adecuada.
de 1 m seg. de-
diferenciales con
representación grá
3,5, DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN NUMÉRICO
A continuación se expone el procedimiento a se
de tiempo„
guxr :
. 128
1. Leer la información de entrada y escribir la de salida
2. Calcular las corrientes de fase de estado estable.
eliminaciónAplicando el método de
para resolver las ecuaciones complejas (1
as .as s
ar
de Gauss (*}
-111) , se obtiene
Í3-38)
I el'* : son las corrientes de la fase "a" del estator-as -ar
y del rotor"
e l " : son valores máximos de lasas • ar corrientes de la fa
se "a" del estator y del rotor, y,-
y o y $ - son ángulos de fase de las corrientes del esta
tor y del rotorw
3. Calcular las condiciones iniciales de corriente
Las corrientes instantáneas de
(*) Apéndice A
fase del estator y
. 129
del rotor están dadas por las siguientes ecuaciones :
as
"bs
I eos (0 +as .e
I eos (0 H- 9+ yas e s2ir
i - I eos (9 + B-f $ + - -cs as e s 3
ar
Lbr
I" eosar
I" eosar
+ +
> + 3 + j2f + 9 -~-e ^r r 3
i" = I" eos (B + 3+ 01cr ar e ^
Donde:
0 = W te e •
er =
-I- 9r 3
es el ángulo de desconexión
Las corrientes anterioresf se pueden reducir fá
Gilmente-a un sistema bifásico, aplicando
(3-39)
(3-40)
las ecuaciones de
transformación de la sección 1.3. y considerando al sistema
. 130
de referencia fijo en el estator, se obtiene
= 1 eos (0 + 8 + 0gs as e s
i, = -I sen(9 + 9 + 0ds as e s
i = Oos
" = i" eos (e + 9 + y + e )qr ar - e 'r r'
C - -I" sen (0rt + 3+ ff + e,Jdr ar e 'r r'
or (3-41)
3.a. Ecuaciones para determinar el decaimiento de las co
rrientes del rotor y voltajes del estator siguien
tes a la desconexión.
Con el rotor cortocircuitado v' = Of y cuanqjr dr
do el motor de inducción se desconecta de' la red, las co -
rrientes del estator caen normalmente a aero en un tiempo
extremadamente corto que depende de las características clel
conmutador, por esto,, aquí se asume que astas son iguales a
cero.
. 131 .
Reemplazando las condiciones anteriores en la e-
cuación matricial de voltaje (1-80) y desarrollando se ob -
tiene :
v = M p i"qs ^ qr
V-. = M p i"ds ^ dr
O = r' i" + L" p i" - L"p B i"r gr r ^ qr r^ r dr
O = r i" -f L p i" + L p & ir dr r L dr r L r qr
Si ambos miembros de las ecuaciones anteriores son
multiplicadas por W. , y p9 se reemplaza por
y despejando vgds y pi * , además exj
en por unidad, se tiene:
presando las ecuaciones
Xv = —— pi"qs Wo * gr
Xm • •>• ' „v-, = n— p o.-, puds W ^ dr L
pi" - W I- A ( 6 ) i" + A ( 5 ) i- í pu1 qr e | qr dr' ^
pi" = W - A ( 5 ) i" - A ( 6 ) i" I pu^ dr e crr dr ' ^
(3-42)
W , resolviendo
(3 -43)
Donde:
A(5) =
A(6)
W__iw.
x:
pu
v y V-. : son voltajes remanentes debidosqs •* ds ^
nética almacenada en el entrehierro
. 132
(3-44)
a la energía mag_
r Y
pi^ y pi^ : son ecuaciones diferenciales que pueden ser in-
tegradas mediante el método de Runge-Kutta de
cuarto orden para obtener el decaimiento de las
corrientes remanentes del rotor una vez que se
ha desconectado la red.
Antes de empezar la integración de las ecuaciones
(3-43) , es necesario conocer las corrientes iniciales del ro_
tor (i" e iC ) inmediatamente después de la desconexión.gr dr
Ya que el flujo de la máquina no puede cambiar instantánea-
mente r el cambio en las corrientes del estator debe estar a
compañado por un cambio correspondiente en
rotor para mantener las concatenaciones del flujo constantes
antes y después de la desceñe-> ion, entonces las condiciones
iniciales al desconectar la fuente vienen dadas por;
las corrientes del
grl
dr
1 y 2 son sufijos que denotan corrientes
de la desconexión respectivamente
4, Calcular las condiciones iniciales de
de flujo
133
(3-45)
antes y después
concatenaciones
Durante la desceñe.~X+ ion las corrientes del esta-
tor son cero y los valores de las corrientes remanentes del
rotor son determinados en. cada paso de integración, enton-
ces al instante de reconectar se tienen los últimos valores
integrados de las corrientes remanentes cue vienen a ser -
los valores iniciales necesarios para calcular, a su vez las
condiciones iniciales de concatenaciones
en el siguiente proceso de integración.
De la ecuación (3-1), se tiene:
= x i"qs m qr
;> " X i"ds m dr
de flujo requeridas
" = X" i."qr r qr
- X" i"dr r dr
. 134 .
(3-46)
5. Calcular los valores iniciales de voltaje al reconectar
la fuente»
5.a. Voltajes en la reconeo^ión a la misma fuente.
Los voltajes instantáneos de fase del estator vie
nen dados por:
v = v eos (© -fas as e
v. = v eos (9 + ce --bs as e 3
ves .v eos (0
as 'e2-=3
V : es el valor máximo del voltaje de laas
: es el ángulo de reconeo^ión; y
9 : está dado por la ecuación (3-40)e
(3-47)
fuente
135
Los voltajes del rotor cortocircuitado son cero
en todos los casos.
Los voltajes anteriores, se reducen a cantidades
bifásicas equivalentes mediante las ecuaciones de transfor
mación de la sección 1.3. y con el sistema
fijo en el estatorr se tiene:
v = V eos (6 +qs as e
V, =-V sen (eds as e
Vos = O . (3-48)
5.b. Voltajes en el frenado por inversión de fases.
Los voltajes instantáneos de fase del estator son
de referencia
V = V eos (9 + « )as as e
V, = V eos (0 + °= +bs as e 3
V = V eos ($ + « -ies as e 3
2 ir
(3-49)
Como en el caso anterior reducie
nes a cantidades bifásicas equivalentes",
V = V eos (& +qs as e
V, = V sen (9 + <* )'ds as 'e
V = Oos
. 136 .
ndo estas ecuacio_
e tiene:
5.c. Voltajes en el frenado dinámico
Los voltajes de fase en el estator son
(3-50)
V = Vas D.C.
V, = V = 0bs - e s (3-51!
Reduciéndolos a cantidades bifásicas equivalentes,
se tiene:
\TV
~qs 3
V, = Ods
v = — vos 3 D.C. (3-52)
137 . .
6. Integrar las ecuaciones diferenciales d,el modelo materna-¡
tico r
Una vez conocidos los valores iniciales de las con
catenaciones de flujo y de los voltajes se determinan los va_
lores de las derivadas de las ecuaciones diferenciales (3-26}
y se inicia el proceso de integración de las ecuaciones ante-
de cuarto orden*rieres aplicando el método de Runge-Kutta
7 . Cálculo de otros valores
Los valores de las concatenaciones de flujo obteni-
das en cada paso de integración de las ecuaciones diferencia-
les del modelo matemático durante el período transitorio si -
guiente a la reconexión sirven para calcular: las corrientes
transitorias mediante las ecuaciones (3-1®) expresadas en por
unidad, el torque electromagnético con la ecuación (3-29),
los voltajes usando las ecuaciones dadas en (3-48)f (3-50) y
(3-52) según el caso requerido y la velocidad rotacional me -
diante la ecuación diferencial (3-34).
8. Finalmente se verifica si el tiempo especificado ha sido
cubierto.
3,6, DIAGRAMA DE FLUJO Y PROGRAMA DIGITAL.
3.6.1. Diagrama de flujo simplificado
El método general seguido en la
. 13!
sección 3.5. para
la solución digital, se muestra en forma 'de diagrama de flu
jo simplificado en la figura 15. En el a éndice B se desa-
rrolla una descripción gráfica más detallada que ilustra la
lógica del procedimiento.
3 . 6 .2. Programa Digital
El programa digital diseñado para la solución de
los transitorios que se investigan en el presente trabajo,
fue escrito en lenguaje Fortran IV con doble presiciónr a-
demás fue compilado y ejecutado en el computador IBM 370 /
125 de la Escuela Politécnica Nacional.
/
El programa digital consta de un programa princi
pal/- de siete bloques y seis subrutinas-que a continuación
se comenta:
1. PROGRAMA PRINCIPAL
El programa principal realiza las siguientes ope
. 139 .
raciones:
. Imprime títulosr suministra datos de entrada al
computador y los resultados al usuario, calcula los dife-
rentes coeficientes usados en el proceso de computación,,
establece las condiciones iniciales requeridas para la in_
tegración de las diferentes ecuaciones diferenciales de
los modelos matemáticos que representan la
la recone;xiónf además tabula o gráfica resultados, llama
a las subrutinas, contiene los formatos, en fin coordina
la operación de los diferentes bloques y
2. BLOQUES
2.a. Bloque A
desconexión y
En el bloque Ar se leen e imprim
nerales de la máquina y se calculan los-
cientes de las ecuaciones diferenciales,
car un nuevo grupo de datos y de no existi]r
el programa.
2.b. Bloque B (*)
Este_bloque resuelve un sistema
(*)Referencia 5 .
subrutinas.
en los datos ge-
diferentes coefi -
Además ordena bus_
este, termina
de dos ecuaciones
. 140 ,
complejas por el método de eliminación de CBauss (Ver apéndi-
ce A) para determinar los valores de las corrientes de esta_
do estable del estator y del rotor en componentes de fase y
los ángulos de estas con respecto al voltajje, estas corrien
tes sirven para calcular las condiciones iniciales previas
a la desconexión. Ademas de imprimir los resultados obte-
nidos , si la matriz p (irj) que contiene los coeficientes -
de las incógnitasr es singular, se transfiere el control al
bloque A.
2.c. Bloque C.
Este bloque calcula las condiciones iniciales ne-
cesarias para integrar las ecuaciones diferenciales que si-
mu! an el período de desconexión por el método de Runge-Ku-
tta de cuarto orden y cuyos resultados tabula o gráfica.
Los resultados del último paso integrado dle concatenaciones
de flujo, torque y velocidad son las condi
existentes antes de reconectar, Además cal
iniciales del voltaje al instante de reconectar.
2.d. Bloque D
Corrige las variables de corrientes, torquer ve
:iones iniciales
:ula los valores
loc'idad y voltajes que el método de Runge Kutta exige des-
141
pues de la segunda, tercera y cuarta llamada dentro de cada
paso de integración.
2.e. Bloque E (*)
Calcula las derivadas de las ecuaciones diferen -
cíales y llama a la subrutina Runge-Kutta de cuarto orden -
para la integración de las ecuaciones diferenciales de la -
máquinar esta subrutina es llamada cinco veces por cada paso
de integración.
2.f. Bloque F.
Este bloque calcula las variables de corrientes,
torque, velocidad y voltajes en cada paso integrado y las im
prime o almacena.
2.g. Bloque G.
Este bloque llama a la subrutina
car los resultados almacenados y transfiere
bloque A.
i*) Referencia 5
Plot para grafi-
el control al
3. SUBRUTINAS
3.a. Subrutina R Kutta (*)•
Esta subrutina es llamada en el
tegrar las ecuaciones diferenciales (3-43
',,ión y también es llamada en el Bloque E
. 142
bloque C para in-
de la desconex--
para integrar las
ecuaciones diferenciales (3-26) de la machina.
3.b. Subrutina Plot (*)
Mediante esta subrutina se g^raf
dos almacenados de corrientes, voltajes,
ican los resulta •-
torque y velocidad
puede grafizar -de una a cinco variables simultáneamente re-
presentadas por las letras A, Bf C, D' y S respectivamente.
La escala de las ordenadas puede ajustarse para -
cualquier rango que contenga 100 unidades, además puede ser
multiplicada o dividida por un factor constante según los -
requerimientos dimensionales del dibujo Si los resultados
almacenados sobrepasan el límite superior o inferior de la
escala de ordenadas aparece un símbolo "
cedido6
?" en el límite ex-
(*•) Referencia 5
.143
Inicio
A
Lectura de Datos
Calcular los coeficientes
Calcular las corrientes de estadométodo de eliminación de Gauss
estable por el
Calcular las condiciones iniciales al desconectar
Corregir las variables en la recone(%,i6n
Derivar e integrar las ecuaciones diferenciales dela desconexión por el método de ¡Runge-Kutta decuarto orden
Calcular las variables en cada paso integrado
Calcular las condiciones iniciales al reconectar
Corregir las variables en la reconeXi-ión
Derivar e integrar las ecuacionesde la máquina por el método de Ru
diferencialesnge-Kutta de
ICalcular las variables eri cada paso integrado
t - tf
Tabular o Graficar
FIGURA 15DIAGRAMA DE FLUJO SIMPLIFICADO
La escala de las abscisas también puede ser ajus
tada para cualquier número de puntos.
3.c. Subrutinas Trans 1 y Trans 4
Estas subrutinas transforman corrientes bifási -
cas a corrientes trifásicas utilizando las
transformación inversa de la sección 1.3 y
sistema de referencia fijo en el estator,
ecuaciones de -
considerando al
cuando se tienen
los casos de recone¡.X-iónf frenado por inversión de fases y
frenado dinámico.
3.d. Subrutinas Trans 2 y Trans 3
Estas subrutinas transforman v©3
bifásico al trifásico con ayuda de las
formación inversa de la sección 1.3 y
ma de referencia fijo en el estatorr en
, frenado por inversión de fases y
tajes del sistema
de trans-
al siste_
casos de reco -
frenado dinámico.
ecuaciones
considerando
los
En el apéndice C se adjunta un listado completo -
del programa digital y en el apéndice D se presenta el ma
nual de uso del programa.
3,7. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Y RESULTADOS
3.7.1. Ejemplos de aplicación
El programa digital diseñado en
. 145 .
las secciones an-
teriores de este capítulo, se aplica al estudio de la máqui
na de inducción con el objeto de obtener resultados calcula^
dos mediante el computador digitalr para los transitorios -
de la recone.j ió'n a la misma fuente, frenado por inversión
de fases y frenado dinámico, que en el próximo capítulo se-
rán comparados con los resultados obtenidos de las pruebas
realizadas en las secciones 2 »2., 2,3 y 2 respectivamente.
En la' ejecución del programa digital se requieren
los parámetros de la máquina determinados
pero expresados en por unidad, para esto fue necesario se -
leccionar adecuadamente, considerando los
en la sección 2.1
datos de placa del
motor de inducción utilizado,, los siguientes valores base:
Sb = 886,34 V.A./fase
V. = 220 voltios fase-neutrob
f.= 60 Hertz
. 146 .
Mediante las ecuaciones dadas en (3-17), (3-18) y
(3-19) se obtienen:
I, = 4.04 amperios
Z,= 54.3 ohmios/fase
W, = 188.49 rad./seg.
Aplicando las ecuaciones (3-25! y (3-31) se obtuvie
ron los siguientes valores''de los parámetros del motor de in
ducción en por unidad anotados en la tabla 80 Además se re-
quiere de datos adicionales disponibles en los terminales de
la máquina o tomados de los oscilogramas del capitulo ante -
rior, estos son dados en la tabla 9.
3.1.2. Resultados
El programa digital está diseñado para calcular
los transitorios de recone;?t,'i6"n a la misma fuente, frenado
por inversión de fases y frenado dinámica > Los resultados ob
tenidos del computador digital están expresados en por uni -
dad y vienen tabulados o en forma gráfica r aquí se prefiere
esta última forma debido a que es más fácil analizar resul-
tados gráficos.
'Para todos los casos transitorios aquí, estudiados
se imprimen
- Los parámetros de la máquina
- Las corrientes de estado estable con sus
. 147
gulos de fase.
- Los gráficos de las corrientes y voltajes transitorios
del estator en variables de fase, el torque electromag-
nético y la velocidad rotacional.
respectivos án
En las siguientes páginas se adjuntan los
tados gráficos de cada uno de los transitorios propuestos
en esta investigaciónr para un motor de inducción de -rotor
bobinado, conectado en estrella y alimentado con voltaje
reducido.
TABLA 8
Parámetros del motor de inducción
Parámetros en
por unidad
r *s
r **s
r"r
xls"xír
xm
xs==xí
s
r'/sr'
H fseg]
r ~íW rad/seg
M.I. con
rotor bobinado
0.048063
0.09944
0.098354
0.112552
1-.889143
2.001695
0.022222
4.425974
0.368587
184.306
* r + RiV* «ZS S 1
Mcl.con jaula
de ardilla
0.040063
0.09944
0.098943
0.101208
1.883103
1-984316
0.022222
4.4SÍ4ÍV
0.357235
184.306
, 148
„ (en la recone-.^ión y el frenado por Inver-b sión de fases)
- ?T *4-?R -fRS i 3r**= -^ (solo para frenado dinámico)
O íLJ.
TABLA 9
Datos adicionales del motor de.
,149
inducción
Régimen Transitorio M. I. con rotorbobinado
VOLTAJES EN POR UNIDAD
Recone.->/ión
Frenado por contraco-rriente
Frenado dinámico
0.578947
0.578947
0.136741 •
TIEMPO DE DESCONE'XION EN SEGUNDOS
Reconevx;:ión
Frenado por contraco-rriente
Frenado dinámico
0.142
0.159
0.154
M. I „ jaula deardilla
0.578947
0.578947
0.136741
0.140
0.180
o;i60
ÁNGULO DE DESCONEXIÓN (9 ) EN GRADOS ELÉCTRICOS
Recone^-- ion
Frenado por contraco-rriente
Frenado dinámico
45
180
180
ÁNGULO DE RECONE-*XMON ( ce) EN GRADOS
Recone-}^ ion
Frenado por contraco-rriente
Frenado dinámico
270
270
0
270
120
135
ELÉCTRICOS
270
315
0
15
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A I - - o - i - . n i . . . i . .d--v-o-
C-A-P I - T - U - L o- iv
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Una vez obtenidos los resultados
calados (en los capítulos II y III respectivamente) de
las operaciones transitorias de
fuente, frenado por inversión de fases y f
de la máquina de inducción, se realiza en'
pltulo un análisis comparativo de estos re
medidos y cal-
n a la misma
renado dinámico
propósito de concluir y demostrar, si.el
el presente ca-
sultados con el
odelo matemáti-
co usado para esta investigación es aceptable o no
COMPARACIÓN LOS RESULTADOS MEDIDOS Y CALCULADOS
La simulación digital permite ot
na perturbación todas las variables de la
tener durante u
máquina. Pero -
en las pruebas experimentales realizadas únicamente fue
posible determinar los oscilogramas de los transitorios -
de corriente y voltaje del estator del motor de inducción
debido a las limitaciones del Laboratorio de Máquinas
Eléctricas, por este motivo y por razones
para a continuación en todos los casos estudiados solamen-
te la corriente de la fase "a" del estato*
ficiente para los fines propuestos. Adema:
facilidad y rapidez con que se procesa el
.168.
prácticas se com
, siendo esta su
aprovechando la
programa en el -
computador digital,se realiza un estudio del comportamien-
to transitorio en las operaciones de recor.evT^ión del motor
de inducción asumiendo diferentes condiciones arbitrarias
que bien pueden darse en. la realidad, entonces diferentes
ángulos de desconexión ( ) y recone^ión ( ** ) serán pro
bados a voltaje nominal (V ) y a voltaje Deducido
(V /,/T1 ) para establecer las variacionesn/ V 3 '
y del torque en los casos investigados *
4.1.1. Resultados de la Recone^lón a la misma Fuente
La comparación de los resultados medidos (osci-
lograma de la foto 3) y calculados (gráfico 3) se mués
tran en el gráfico 15, donde se observa la gran similitud
que existe tanto en la frecuencia como en
de la corriente
la amplitud de
las ondas d.e corriente comparadas, obviamente se tiene una
mínima diferencia entre estos resultados que es plenamen-
te justificable. Est© permite concluir que la simulación
digital representa satisfactoriamente el
torio real.
fenómeno trans i-
.169
amperios
H;H!$NH§iHHP^^
resultado
c'ioñ can x'c
170
En la tabla 10, se muestran los valores máximos
de las corrientes (de la fase "as") y torgues transito
rios calculados en la reconet^ión a la misma fuente pro -
bando diferentes ángulos y voltajes donde se puede obser-
var lo siguiente:
a) La amplitud y forma de onda de estas variables dependen
de los ángulos de desconexión y recone-^.ión, asi como
.de los voltajes aplicado.s.
b) Las magnitudes de las corrientes y
exceden en varias veces a los x^alores
torques transitorios
nominales, así r
- A voltaje reducido la corriente alcanza valores de
2 o 8753 veces la nominal y el torque llega a valer
-1.2989 veces el nominal.
- -A voltaje nominal la corriente llega
veces la nominal y el torque alcanza
-3.8643 veces el nominal.
3. valer 4.9624
/alores de
c) El torque es negativo cuando se produce
sitorio de la recone-T^ión a la misma fu
el régimen tran
jnte
TABLA 10
Régimen Transitorio en la Reconeó&;:iFuente del Motor de Inducción con
170 A
ion a la mismaRotor Bobinado
B
(grados
eléctrieos)
0°
30°
60°
90°
180°
270°
0°
0°
0°
0°
0°
ce
(grados
eléctrieos)
0°
0°
0°
0°
0°
0°
30°
60.°
90°
180°
270°
Vn / r=-i•-773 pu
Imáx pu
0.5246
2.3028
2.171
1.7098
1.9061
1.7098
1.0139
-1*5256
-2.0535
-1.7098
2,8753
Te máx pu
-0.9348
-1.2611
-1.2372
-0.9507
-0.9348
-0.9507
-0.7340
-0.6129
-0.5910-
-0.9507
-1,2999
\ má
3 . 2
3.9
3.7
2'. 9
3.2
2.9
1.7
-2.6
-3.5
-2.9
4.9
Ti PU
LK pU
922
766
494
532
322
532
513
344
468
532
524
Te máx pu
-2.7804
-3,7507
-3.6802
i-2.8279
-2.7804
-2.8279
-2.1838
-1.8240
-Io7589
-2.8279
-3.8643
,
. 171
4.1.2» Resultados del Frenado por Inversión de Fases
En el gráfico 16, se comparan lo
didos del oscilograma de la foto 5 con los
s resultados me-
calculados en
el gráfico 7, donde se ve que las variables comparadas
coinciden en la frecuencia y amplitud, tambiéi existe una
diferencia mínima que es justificable. Este resultado acep
tatale se debe a que la simulación digital adoptada para la
solución numérica del fenómeno transitorio
cuada.
Como en el caso anterior, en la tabla 11 , se
muestran los valores máximos de corrientes
real es la ade-
y torques tran-
sitorios calculados en el frenado por inversión de fases -
con diferentes ángulos y voltajes donde se
lo siguiente:
puede apreciar
a) La frecuencia y la amplitud de estas variables depen
den de los ángulos de desconexión y recone;7Ción, así
como de los voltajes aplicados.
b) Las magnitudes de las corrientes y torgu transitorios
superan varias veces a los valoréis nominales, así:
TABLA 11
.172. A
Régimen Transitorio en.el Frenado por Inversión deFases del Motor de Inducción con Rotor Bobinado
5
(gradoseléctrieos) ~
0°
30°
' 60°
90°
180°
270°
0°
0°
0° '
0°
0°
ot
(gradoselectrieos)
0°
0°
0°
0°
0°
0°
30°
60°
90°
180°
270°
Vn/^puv •-*
Imáx pu
1.6848
2.0742
2.0382
1.6127
1.6848
1.6127
0.8707
-3.2728
-3.2214
-1.6127
4,0008
TQmáx pu
-1.1645
-0.6912
-0.7381
-1,0957
-1.1645
-1,0957
-0.9274
-0.6912
-0,6326
-1.0957
-1.4900
Vn
Imáx
2
3.5S
-3.5S
2.7E
2.91
2-7É
1.5C
-5.65
-5.56
-2.78
6.90
pu
pu
91
122
;04
56
00
56 '38
30
38
56
64
.Te máx pu
-3.4777
-2,0637
-2.0251
-3.2705
-3.4777
-3.2705
-2.7684
-2.0637
-1.8882
-3.2705
-4.4488
- A voltaje reducido la corriente llega a
. 17:
valer 4.0008 ve-
ces la nominal y si torque -1.49 veces el nominal
A voltaje nominal la corriente alcanza
veces la nominal y el torque -4.4488
c) El torque es negativo cuando se produce
valores de 6.9064
veces el nominal.
el régimen tran-
sitorio de frenado por inversión de fases.
4.1.3» Resultados del frenado dinámico
Los resultados medidos en el osctLlograrna de la fo
to 9 son comparados con los calculados en
muestran en el gráfico 17, donde se puede
si gráfico 11 y se
apreciar que las
variables comparadas son aproximadamente iguales y la mínima
diferencia- existente se puede justificar a
tos resultados se prueba una vez más la bondad de la simula-
ción digital para representar el fenómeno
plenitud, con es-
transitorio real.
Como en los casos anteriores, la tabla 12 muestra
los valores máximos de las corrientes y tcrgues transitorios
calculados en\l frenado dinámico con diferentes ángulos de
desooneX/ión y\voltajes reducidos de D.C.
175
TABLA 12
RÉGIMEN TRANSITORIO DE FRENADO DINÁMICO DEL
MOTOR DE INDUCCIÓN CON ROTOR BOBINADO
\
(gradoselectri^eos) -
0°
30°
60°
90°
180°
270°
oí
(gradoseléc -trieos)
0°
0°
0°
0°
0C T
0°
Vr= 0.136741 p.u.
Imáx pu t
1.0915
0 . 9 9 9 2
0.9380
0 , 9 7 2 8
1.0915
0.9728
TernáxPu*
-0.1478
-0.1171
-0.083
-0 .0966
-0.1478
-0.0966
2V^= 0.273482 p.u
Imá>
2.1¡
1.8£
1.9C
1 9'
2.1
1.9
cpu.
Í54
73185
715
'.54
715
Temgx pu.
-0.5236
-0 .3902
-0.3426
-0.3926
-0.5236
-0.3926
En esta tabla se puede apreciar que tanto la
nitud de la corriente como del torque varían con los angu-
las de desconexión y voltajes probados, los valores máxi-
mos de corriente cuando más llegan a 2,1254 veces la nomi^
nal mientras que los de torque alcanzan hasta 1.0915 ve -
ees la nominal y son negativos
4.2, RESTRICCIONES
Este programa digital que calcúlalas variables
. 176
transitorias del motor de inducción en las operaciones de
reconeOc/ión tiene las siguientes restricciones.
Iv Fue dir-eñado para investigar el comportamiento ..tran-
sitorio de las operaciones de recone^ión de una má -
guiña de inducción trifásica.
2, El sistema de referencia arbitrario se
tator de la máquina„
•• 3. Todos los parámetros y variables de la
referidos al estator y en por unidad.
fijo en el es-
máquina están
4. En todos los casos analizados se considera que el ro-
tor esta cortocircuitádo.
5. Para esta investigación se considera a la máquina
randq en vacío (sin carga conectada al eje) *
. 177 .
6, La velocidad-rotacional de la máquina es variable duranN
[/ ] te la operación transitoria.
7. El programa digital realiza los cálculos en variables
octogonales (q/d) y presenta los resul
de fase (ar b,c).
:ados en variables
o oo i — ,•
o :s m co
4,3, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4 o 3.1. CONCLUSIONES
Al finalizar la presente investigación es conve
179 .
niente hacer las siguientes conclusiones er
dio realizado en las secciones 4 „! ,1r 4.1.
1. Las corrientes y torques del frer
sión de fases son los más severos
nado dinámico los menos severos*
base al estu-
2. y 4.1.3.
ado por inver-
y los del fre-
C
Los transitorios de la reconectan a la misma
fuente se atenúan rápidamente y los del frenado
por inversión de fases lo hacen lentamente.
El sentido del torgue es negativo en todos los -
casos que se han considerado.
La diferencia que existe entre lo medido y calcu_
lado se debe a posibles errores cometidos en la
medición de los parámetros de la
consideraciones hechas al idealizar el modelo
que representa a la máquina real
máquina o a las
9.
10
OlíLos transitorios de la reconeQG;i
te, frenado por inversión de fase
mico se calcularon utilizando el
mático desarrollado pero cambiand,o
iniciales en cada caso.
. 180 .
a la misma fuen
s y frenado dina-
mismo modelo máte-
las condiciones
Los resultados obtenidos en los ejemplos de aplica-
ción mediante la solución numérica son aceptables
como se ha demostrado al comparadlos con los medi
dos experimentalmente.
Es posible determinar todas las
quina a partir de sus parámetros
ción digital.
variables de la rná-
mediante la simula
Se ha demostrado también que el
ideal usado en la teoría para la
es satisfactorio y se ajusta bieip.
lo tanto su validez está comprob
modelo matemático -
simulación digital
a la realidad por
aaa
Para la simulación dig'ital la máquina en todos ios
casos fue conectada en estrella.
La simulación digital como se ha comprobado con an-
terioridad permite realizar una evaluación cabal
del funcionamiento de la máquina
ci'l, rápida y confiable, de este
conseguir una información útil para seleccionar e_
quipos de protección, diseñar circuitos de control
y aún más para mejorar algunos diseños de los com-
ponentes eléctricos y mecánicos de la máquina.
. 181 .
de una manera
modo se puede
4.3.2. RECOMENDACIONES
Muchas inquietudes han surgido al concluir este -
trabajo de las que se pueden recomendar las siguientes:
1. Utilizando este programa digital
sitorios de las operaciones de
tando el motor de inducción de
delta, además aprovechando los
logramas determinados en el
un análisis similar al de la
do el motor de inducción jaula de:
lia y en delta, establecer
cias.
recone
rotor
capítulo
sección
semejanzas
2. Introducir él efecto de la saturación a partir del
calcular los tran
conec -
bobinado en
parámetros y osci -
II realizar -
4.1. conectan_
ardilla en estre^
y diferen -
. 182
3.
4.
5.
c
modelo matemático ya desarrollado.
..Adaptar este modelo matemático para estudiar el
• comportamiento transitorio en las operaciones de
\n del motor de inducción trifásico con
^ carga conectada al eje.
Adaptar el modelo matemático para
los transitorios en la recone^ión
fásicos y monofásicos.
el estudio de
de motores bi
Estudiar la posibilidad de controlar el disparo
de los ángulos de desconexión y recone^ción me-
diante elementos semiconductores de potencia con
el fin de evitar los transitorios más severos.
A P E N D I C'E ' A
DESCRIPCIÓN DEL METOD'O DE ELDE GAUSS
IMINACION
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ELI
DE GAUSS (*)
El método cíe eliminación de Gau
ecuaciones complejas (1-111) de estado es
184
INACIÓN
s resuelve las
able*
En general un sistema de n ecuaciones lineales
simultáneas es representado por :
n
p. . X . = b.L
Donde
, 2, ...., n
La forma más común de representar este sistema
para la computación es :
(A-l)
p . . X . = p . ^^13 3 i, n+1
'.*) Referencia 16
(A-2)
Donde:
i ~~ JL f ^ f • » • n f
La idea básica de este método es transformar la
matriz p. . en una matriz tria.ngular superior, mediante u~
na serie de operaciones en las filas y colimnasr luego to_
dos los elementos bajo la diagonal son iguales a cero,
por lo tanto la última ecuación tendrá una
(X ) que puede ser fácilmente obtenida, lan
tiene tan solo 2 incógnitas (X y X ,), sustituyendo lan n _L
primera incógnita (X ) que ya es conocidan
n-1, se obtiene la otra incógnita (X ,) yn
estantes.se puede determinar todas las incógnitas r
Los nuevos valores p.. de la matriz triangular•'-J
sola incógnita
ecuación n-1
la ecuación
asi sucesivamente
superior son
k
k-1p
Pk-1
kjPkk
Donde:
K = 1, 2, .„. n-1
r n
(A-3)
. 186 .
Los nuevos valores b. de los términos independieni —
tes son:
k-1
k-1Pkk
Donde:
K, — -í-f " f « • • / 1 i~"JL
i? j = k -t- lf .. . f n
bk-1k (A-4)
Finalmente, los valores de las incógnitas vienen
dados por;
n
x, - -T-T ( b-i i—_LP
Donde;
p X.)D
i = n, n~l, n~2, ..* r 1
X. ; representa las incógnitas de las corrientes
de fase.
(A-5)
% 187
p. . ; son los coeficientes dados por los parámetros cíe la má13
quina, y,
b. : son términos independientes que representan voltajes
Este método es aplicable cuando la matriz que con
tiene los coeficientes p.. de las incógnit s, no es una ma-13
triz singular.
A P ' E N D ' I C E E'
DIAGRAMAS DE FLUJO
B.l
BLOQUE AInicio
Lectura de los datos
.189.
Pare Fin
Calcular: VVXrrrXmg' A( i )yB (i)
Imprimir los datos
BLOQUE B
Calcular las corrientes de estado estable porel método de eliminación de Gaussj,
Imprimir "La Matrizp (ifj)es singular"
• Imprimir :ías corrientesde estadoángulos de defasaje.
BLOQUE C
Calcular las condiciones inicialtar. ,
es al desconec
Corregir las variables en la desconexión
Derivar e integrar las ecuaciones diferencia -les de la desconexión por el método de Range-Kutta de cuarto orden
Calcular las variables en cada
1paso integrado
Imprimir a almacenar los resultados
unt ~ td
Calcular las condiciones iniciales para reconéctar«
continuación
BLOQUE D
r
.190
1_Corregir las variables en la
BLOQUE _E_
Derivar e integrar las ecuaciones diforencíales de la máquina por el método de RurTge Kutta de cuarto orden.
BLOQUE F
Calcular las variables en cada paso inte-grado
Imprimir o almacenar los resaltados
IBLOQUE G
_J
J1
SUBRUTINA PLOT
Graf icar : corrien_tes y torque
KLMJ¿¿
SUBRUTINA PLOT
Graficar: voltajey velocidad
B.l DIAGRAMA DE FLUJO PRINCIÍAI
B.2. BLOQUE A
Imprimir títulos
Leer los parámetros P(i,j) de lamatriz compleja en por unidad
Leer los ángulos de desconexióny de recone^Ción en grados eléctrieos y número de polos.
Leer el paso de integración , tiempo final y constantes de multipli-cación.
.X"Leer los indicadores del programa,
Leer el número de variables y fac -tores .de escala de las abscisas yordenadas.
Calcular W y W,
. 191
/fLeer los parámetros y datos generales de la máquina en por unidad
Pare Fin
continuación
Al
, 192
Calcular : X'* y X - X ., en porrr -1 mq rad K
Calcular los coeficientes A(i) y Bpor unidad
unidad
(i) en
Imprimir los parámetros y datos generalesde la máquina en por unidad*
Imprimir los parámetros P(i,j) de La matrizcompleja en por unidad.
Imprimir los ángulos de desconerlXáon y re-cone^dón en grados eléctricos y e|l numerode polos. .s—
Imprimiré! paso de integración r tiempo fi-nal y constantes de multiplicación.
Imprimir los indicadores del programa.
Imorimir el número de variables y factoresde escala de las abscisas y ordenadas
B.3. BLOQUE B
Sum (O.r 1J
m = n + 1
Do 15 i = 2fn
Do 15 j = i,n
mb = n-i +1
Do 18 l=i,n
§0
193
... continuación
o
Do 21 Kl = K.m
\o Temp = P(1,K1)
me = mc+1
•
P (K,K1
_^ »
P(KfKl)
3
Q = PC3 /i-1)/ P(i-l, i-1)
ii = i - 1
Do 15 K2 = ii, m >
P(j,K2) - P(j-rK2) - Q*P(i-lfK2)
19
0^
continuación
"La Matriz: P(ir j)es singular" ^ m2= n-j+1
P(m2rm) = P(m2,m)-Q*P
Do 25 i = l,n
JsLXX = P(irra)/P (i,
(m2fk)
i)
Rest = XX 'Suru
* 195
continuación
Are == XX
Aira = -Rest
PT ( T} —x_. ,I~ \- / XX
= Datan 2 (Aimr Are)
TT (I) = 57.2958* 0
Do 300- i = 1,2
CI (I)f rf (I)
Títulos para ladesconexión
. 196
• 197
B.4 . BLOQUE C
TI = O
iK = 0
KL =0
T r ( l ) / 5 7 . 2 9 5 87 T ( 2 ) / 5 7 . 2 9 5 8
31=
Y2 =
3/57.2958
31 + FI1
91 + FI2 '
"qsl
-dsl. ^"qrl
- CKDcosCY^
= -CI{l)sen(Y1)
= C I ( 2 ) c o s ( Y 2 )
= - C I ( 2 ) s e n ( Y 2 )
V
"qr2
"dr2
— j. -,-- Tqsl qrl
qs
Jds
v i* * •Xm 1qr2
X i^ om dr2v" -f "A X -^r qr2
x" i^ or dr2
.continuación
i - B < 1 )qs
ds
iqr = B ( 3 >
i^r = B ( 3 )
\¡) - B ( 2 )
*ds " B ( 2 )
^ ~ B ( 2 )
*/ - B ( 2 )rdr
,,¥qr
^ dr
*q/s
^ds
í - i íqr dr Tar qr
A (5.)
RSI(l) :
RSI(2) = i
-qr
dr
qs
^ds
= X RSI(l)m := X RSI(2)
= X'RSI(l)
= X"RSI(2)
<—
V
qsc
i,dsc
qrc
: - B(3)f;drc dr
198
continuación
-ec gr drc rdr qrc
J¿LWre = W , - Hx(T -T }rl ec e
A (5) =
TSI(l) = W * { - A ( 6 ) R S I ( l ) + A ( 5 ) R S I ( 2 )
TSI(2) = W " { -A(5)RSI(1) -A(6)RSI(2)
SÜBRÜTINA RKUTTA
Integra las ecuaciones diferencialesde la desconeX^n
*gsU) _d,s
^^ygrü^,rdr
= Xm~ x
m- X"r= X"r
RSI
RSI
RST
RSI
(1)
(2)
(1)
(2)
Mr
" - B ( 2 ) | Jgr rgs" - B(2) i ( ; ,
r
. 19!
.„. continuación
T .el Tqr drrdr qr
W 0 = W T • -Hx(T --Tr2 rl el e
1
A(5) = W.r2
Vds = Xm *SI(2)/We
. 200
Resultados de ladescone- 6.i6n
Almacenarde corrieila desconí
los resultadosite y torque deiOC-ión
Almacenar los resultadosde voltaj s y velocidadde la desconexión
continuación
v = v, H- 2 vqs 1 -^ m
v ~ vds 2
v = v /3os m
. 201
« = /S7.29
CALL TRANS 2
^Kl
1= ( +60}/5
^7 . 2 9
^
«^ 757.29
v =v^+V eosgs 1 m
V-, + V COS («-. )1 m 1
1
(N O CN
03 IO»
CQ
.. 203 *B.6. BLOQUE E
P*
P*
qs
ds
Wel{
wel{ vds+
P^qr
P*dr
- W el{
A(2) *¿r }
r +A(5)*dr}
1.
SUBRUTINA RKUTTA .
Integra las ecuacig^
nes diferenciales de
la máquina. ______
1=1 1=2
I ^
/^
1
u¿
i
w
Cb to
i!
3^ tn tt> 3 Si
H
^< W
II O o to •£t
H
O
Cben
en
U !i
.g< °
LO
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UJ]
tO
3
<
<Q
j (O
m
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~ni
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<
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O
2
W
? "
5^
^t--
"*¡L
Sí
HU £,_
co H
* H T fito
tu -4
ro o
continuación
Te2
A(5)'
no
Resultados dela recone--:?ción
Tei
W - = W .r3 ri
Wr3
KL =
205
+ 1
Almacenar lode corrientela reconeOci
3 resultadosy torque de5n .
Almacenar los resultadosde voltaje y velocidad dela reconeixapn
B.8. BLOQUE G
A
no
no
Leer e imprimir títul
SUBRÜTINA PLOT
Dibujar: Corrien-tes y Torgue
Do Jx = 1,3
i
ps
Leer e imprimir títulos
SUBRÜTINA PLOT
Dibujar: voltajesy velocidad
. 206
207
B.9 SüBRÜTIWA RKÜTTA
Suforutina RKutta
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Do 6 j = 1, nn
2-08 .
Z(j) = DSI(j)Y(j) = PSI(j)PSI(j) - Y(j)+ Si DSI(j
2
Do 8 j = 1, nn
PSI(j)2 DSI(j)+ HI DSlCj)
2
Paso 4
Paso 5
"X.9 j = 1, nn
Z(j) = Z(j) + 2 DSI(j)PSI(j)=Y(j) + HI*DSI(j)
Hx= KI/2H
Do 9 j =,1, nn
. 209
PSI(j) - Y(j) +' {Z(j)+ DSI(-\HIine~
Hx = HI/2H
Retorne
Pin.
.210
Subrutina Plot B.10 SUBRUTINA
Do 99 i= 1,101
Line(i)= Jblanc
Do 101 i<L,ll
10i-110+ns
múltiplo de
o 130 i= 11,101,1o/
Do 120 -} = 1,9
Line (nd) = JN
continuación
"
Line (101) == JJ? :
211
Do 160 i=
Vxns ™ ns
JA= Y(ifn)H-101f49999-xns
Line(JA)=JL(i)
continuación
Do 190 i= 1,101
212
213 .
B.ll Subrutina Trans 1
Subrutina Trans 1
V
as qsL, =-0.5i - 0.866 i-bs qs dsL =<-0.5i -f 0.866 i,es qs ds
Retorne
Fin
B.12 Sub- rutina Trans 2
Subrutina Trans 2
v = v + vas qs os
i/v"bses
Retorne
Fin
B.13 Subrutina Trans 3
. 214
Subrutina Trans 3
v = vas qs
v, =-0.5v - 0.866 v,.bs qs asv =-0.5v + 0.866 v,es qs as
Retorne
Fin
B.14 Subrutlna Trans 4
Subrutina Trans 4
asX,
i~cs
X
O
O
Retorne
Fin
A P É N D I C E . C
LISTADO DEL PROGRAMA DÍGI
216
iJn•r.í.itu-ffr-u
-15*;tK'•t;r•Kt;ftv•íeX
t*-
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Ir4'fi«
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< O> U. U '- V-
»-• O U 7L. Z ~2 ;:•r> u; c.' uj -o r> t: r ?tf u. i- L- < yc r> u z iui- < i >- c r-- 5 c: - d
ÍÍÍ 0 _I L í?u* *- uj in r.-i s o L-.- r- c< r u. >-H -r o n o-_) .J U " ~! <C i- U \'J D> ^ ¥ ^ t-' <. ~¡ "Z
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.- - u K •- v - - r a e— . < j" £V 21 i- - " -t! •$o . i./ L ir r» .1 •. ir 2 a0 -^ •-.- 1- XI ~- - « U' JP-*: o K K o - t; r — i. K *•
r. t^- ft o - c ~ « 7 fiin . . u r _• ' - — f. c ft- C X t 11 « t. X - . ÍÍ«tJr r. r . ; r.-; r • • : " > -r- 1 > J-!U C* - L1 O 7 <- -1 r •« U ** O X f? < X t .1 tí S *-
- - i r . - < t- i;j x x ~ X c; íi • r<í r».' _ >- r r • * x -- — R " Jf o.
>- O y ( • 5 Ll O * •« . C - S C !o c.' - — f. • - r tibí* H
Q • « 7 i- O - — K C>* •c- u a ;y i'!f — « -.- ít i* cr
• — 'i -íu-í i-r»f. - - • » - • « « : <t- r O r ? f; . *r «• - i * X w" O O — U - '\ X - * — -ü "' • (Tí \f: *í. f ; >". «• « x I . — íf T3 •*;• *•L'- •- f J L1 Üf -' '• J C — — - fi O •« S£1 L". «• " i-- (~! - í." -.' -* . -. lf t' -K >• -.. C* 7 K x 1 ' x • — - H S - V -
— >. í-- u Ci s s a — - •. j f * nt\ • y • L <• « N - - ' r *• -t •« e•-- — ° i - v - » t - • í . j f r *" r.1 tf t •- , 1 x * -" - •- T* tT •*!- lrT — - (~ J r v, i í —<.-.- * u j * ' r rr. i-xo r.tJ — - IT. ^ •- -t O
« Ü; >í L" f lJ . i -x í l - . ; -U » S^-i-*rj i. i <i v. * x u — «• tn «• x
« .-. . O - ^ . . f; x x- f- ._ - P U. *
i — ft. 0 f • i,' x r x • f- x - t i ^ i) _C U — 5. < I. *.* I-', !- ! v - „ - )( ££ Ü X
r -•.*••"/..- f i' v > s -v. »- : • *« ^ 7 «• ir1 "*. *t i- .•» i< . tt i . \1 — tf i 7 Jí í; iii K< -- t — O «-,**« * '. •• • — - *"• -¿ • * O li- K»-""•"*. ir l i ^ *< i — N ¡ * * — — _IV K i; "E • O TJ « I) " íi • — « )- . -* f* íl 'Jl K C¿ "- t J ' •} X X s Tí 1 ti 1 - — 'J a ,"" ^ f< tt n tr Í.J C v- •- .* i !• ) - t tf - S «I -1 • >- j.. X «• 1- F !!
v-rñ" i-cj J« 1 i- v- >• "C i— * -T. r ,-. . *ña 7fi' í ' í í -X U ' t S f «I ' ^ ^ . f f ' r f ^ . f a * * ti
r * ">7 « » t í a " " •- • '•"• i i s t- — ni,"»v» r. - t » r ** i-j -í i- — » * "• -' * -i - - ' t — •* n » rJ— - O >t líi - ^ TI tí « 1 » "". - -1 x v. - 7 — .- d j; _J |¡. Ju--^'.ijuz "o " •-"' •" • ' -•»•<• r i- HI * » -í~:'-ij ü c ^ f !< y « T < s í - -* y — - « ÍT- Í -Jj ii * .-. rf- < * i t u , j * i- 1 •- x i • •' * ,1 v: Y- tu i oft :> /. * r- 1- -t- ,1; « * v. " -• j - " - y - v"' r «i « ni u •(•
— n t- u *~ o t i« « " * w i - i - ' . • > • < — — x * " y íf
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frO fr ^i» Z 3 •*•«•> * -ttí r * *a - -a *a \.i í nIr "-i S S* if -»S-TO •* ¡ft i/1 A t¡S .1 sjt-fi rt •«jí ;T¡ s B3: "3 *• ;ÍV O á *-« " -¡t it» n :t c«•>>}• &« S vi SS- Oí tí I.a — "< ' •*i- > &-í B -'t B5 It -Uíl '1* S
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-i-•ü -tíP] i(" "•'! Wv-rtZ. tí
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C K--1 >•" ír •*m !íM :tI' »í' t6 -Ho *
« ~ * ií 3-ji r" » ."i »t3 > ¡í -*M f" H-n 'j¡ a *t ~¿f. « » rí •! ir~ H á ñ n
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W — f"-•, \•X X "íX -i -•(J1 IM r~" -~ "í
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•JM*- O O ) -1 ¡ «1 í- -^TiJ —
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"* " U' -"-U f- Ti II *^ L¿ •' •*• -J"- . J
„ ;, - ,,, „ „ (-, - o - 3 X v ; * *í ü IIX í- X Lí .7 > - X — .J X — X — — —» -. ~x.o'Ti- -ITJI^. M*
•i u r~ - T o ~j « . i x r~ ™ "-.,* • ',1 ü w u. -,i -* íí • • - •> • • "-*
¡ -i -• d • c íí '3* * "u A > r * -• -fií> ~-<r íí -i c n * i " r - •
- • o > y» ir. t 'i -i •' • t~' XPI * s?:^ :i s> > --1J .2 - T OÍ 4 'íí "» "O II E -' • z '- ' ~¿ •-> •<: u -- r- u • -v w r < s . r «. •:<:-• -u .in- -- u-
t ;> ^ x - > x -l- u _ - s o H . — .t- 3 x .1 "> "' * PJA .-: . -• N o -. - rr .11 • — u^:.;
-.1 n - « sII ¿ 1 ,t 1! C) .
O s ; " * J- tn — •• - p. ^. r 11 N n j o -
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' 5 Nfl.TÍ ^."'.' J- v '•" ,T .'1 " •*" N (-j n j, .3 N — oo r •o une -n TU -j K í* "•
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MANUAL DEL PROGRAMA DIGl 7\
MANUAL DEL PROGRAMA DIGITAL
,232
D,l, NOMENCLATURA
En el desarrollo del programa digital se ha
empleado la siguiente nomenclatura:
1. VARIABLES DE ENTRADA
SÍMBOLO
XLS
XLR
XZ í
RS
RR
VM
H
WR
TD
FB
P(IrJ)
DELTA
DESCRIPCIÓN
Reactancia de dispersión del estator en
pu.
Reactancia de dispersión del rotor en p.u
Reactancia mutua en p.u
Resistencia del estator en p.u
Resistencia del rotor en p.u
Voltaje máximo de la fuente en p.u.
Constante de inercia en
Velocidad rotacional en
Tiempo de desconexión
Frecuencia de la red en
Parámetros del circuito
estado estable en p.u.
Ángulo de
eos.
segundos
rad ./seg.
;n seg
Hz.
equivalente de
en grados
SÍMBOLO
ALFA
POLOS
HI
TF
CMC
CMT
CMWCMV
IJK
JKL
KLM
LMN
. 233.
DESCRIPCIÓN
Ángulo de recone£X£LÓn en grados eléctricos
Número da -Polos de la máquina
Paso de integración en segundos
Tiempo final en segundos
Constantes de multiplicación
los resultados de corrientes
jes de fase, torgue y velocid
Indicador: calcula las condi
para graficar
de fase, volta-
ad rotacional
:iones inicia -
les, corrige variables y. determina en cada
paso integrado las variables
la recone>^crl6n a la misma fuente si es cero
(0) en el Frenado por inversilón de fases si
es (1) y en el Frenado dinámi
Indicador: si es (0) imprime
en forma de tablas y si es C
gráfica los resultados.
Indicador: si es (0) almacene
de voltajes en
co si es (-1)
los resultados
almacena y
y gráfica las
variables de corrientes, torque, voltajes y
velocidad rotacional y si es
gráfica solo las variables de corrientes y
torgue.
Indicador: En el frenado por
ses conecta la máquina en estrella si KLM = O
y en delta si KLM- = 1.
(1) almacena y
inversión de fa
SÍMBOLO
NVCNWNVT•NVW
MXC
MXV
MXT
MXW
LYC
LYV
LYT
LYW
N
NN
.234
DESCRIPCIÓN
Número de variables de corrientes de fase
voltajes de fase, torgue y velocidad rota
cional a graficarse simultáneamente.
Factores que controlan la escala
de abscisas de las variables
de fase, voltajes de fase, topcque y veloci
dad rotacional
Factores que controlan la ubi
ro en el eje de las ordenadas
:acion'del ce-
de las varia-
de corrientes dejase, voltajes de fa-
se, torque y velocidad rotacional.
Número de ecuaciones complejas del estado es_
table y 'ecuaciones diferenciales de la des -
Número de ecuaciones diferenciales de la má
quina,
2. VARIABLES DE SALIDA:
Corrientes de fase de estado
tor y del rotor en p.u.
de corrientes
estable del esta
SÍMBOLO
PHI(I)
TI
CÍASCIBScíesVASVBSVCS
TE1TE 2WR2WR3
esV
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DESCRIPCIÓN
Ángulos de fase de las corrie
estable en grados eléctricos
Tiempo en segundos,
Resultados de las corrientes
fase del estator en. por unic
.235.
ites de estado
r voltajes de
ad que son im-
presos en forma de tablas durante la desco-
neQt;ion y recone¡">6i6n.
Resultados de torque y velocidad rotacional
en por unidad que son tabu.lao.os durante la
desconexión y reconer^ión.
Arreglos bidimens loríales parla almacenar corrientes y voltajes d'e fase,
cidad rotacional en por unidjad para luego
grafizarlos.
torque y velo-
D , 2 , FORMA DE P R O P O R C I O N A R LOS DATOS AL PROGRAMA D I G I T A L
Todos los datos están en por unidad a excepción
de la constante de inercia, tiempo de desconexión, tiempo
final y paso de integración que están en segundos la fre -
cuencia se da en Hertz, la velocidad rotacional en rad.
y. los ángulos de desconexión y
dos eléctricos . La forma en que están suministrados los
611 se dan en ara"
tos se muestra en el esquema D.2.1. y D.
continuación.
2.2. presentado
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CARACTERÍSTICAS DEL EQUIPO UTILIZADO
.239.
CARACTERÍSTICAS DEL EQUIPOUTILIZADO
Las características del equipo utilizado en las di
ferentes pruebas de laboratorio realizadas
pltulo se dan. a continuación:
1. Motor de Inducción Trifásico de
Marca: CETEL BRUXELLES
Tipo: S611
Numero: 17
Coneccións A/Y
Voltaje: 220/380..voltios
Corriente : 7./4.04 amperios
Potencia: 3.5 H.P
Frecuencia: 60 Hz/
Número de Polos: 4 polos
Rotores -.Bobinado y jaula de ard
1 Motor' D.C.: Conectado en paralel
Marca: CETEL BRUXELLES
Tipo: 3611
Número: 4 ,
el segundo ca~
otor removible
lia
240
Voltaje: 110 voltios
Corriente: 22.7 amperios
Potencia: 3 HP
Número de polos: 4 polos
1
Variac Trifásico
Marea: Powerstat
Tipo: 136B-3
Voltaje de entrada: 240 voltios
Voltaje de salida: 0-280 voltios
Corriente; 22 amperios
Frecuencia: 50 Hertz
Potencia: 10.7 KVA
Puente de Wheatstone
Marca: YEW
Tipo: L3
Rango: 1 m Q - 10 M ñ
Estroboscopio
Marca: General Radio Company
Tipo: 1531
Rango: 110-25000 R.P.M.
Tacómetro Generador A.C.
. 241
Marca: YEW
Tipo: 2611
Osciloscopio
Marca; TEKTRONIC
Tipo: 564B Storage oscilloscopo
with auto-erase
Numero éte canales: 2 canales
Cámara Fotográfica
Marca: TEKTRONIC
Tipo: C12 Polaroid
Fotografía empleada: Polaroid 107
Vatímetros de bajó factor de potencia
Marca: YEW •
Tipo: 2041
Factor de' potencia: 0.2
Rango de voltaje: 120-240 voltios
Rango de corriente: 5-25 amperio
Clase: 0.5
Transformadores de corriente
Marca: Norma
Rango: 50 - 25 ~ 10 - 5 amperios
Voltímetro de hierro móvil de A.C
Marca: Norma
Rango: 65-130-260 voltios
Clase: 0.5
Amperímetro de hierro móvil de A.
Marca: AEG
Rango: 0 . 6 - 1 . 2 - 3 - 6 amperios
Clase: 0.5
Contactores:
Marca: AEG
SErie: LS36/L44 TKS
Tensión nominal de accionamiento:
60 Hertz
. 242
. y D.C,
y D.C,
•20 voltios,
Pulzantes:
Marca: KLOCKNER - MOELLER
Tipo:' AC 11
Rango de voltaje: 220 - 380 - 500 voltios
Rango de corriente: 10-8-5 amperios
Voltaje de aislamiento: 600 voltios
Corriente nominal térmica: 10 amperios
11
Reostatos de 3.3^ calibrados en 3
, 243.
ti para llevar
la señal de corriente al oscilosaopio
Reostato' de 4,050 ti para llevar
taje al osciloscopio
Reostato de 10 ti para controlar
tinua en el frenado dinámico.
Puente Rectificador de onda
construido con:
la señal de vol
la corriente con
completa
Diodos de silicio de 5 amperios ¡y 1000 voltios
Capacitor de 10 uF, y
Reostato de 25 K ti
Calibrador
Marca: Cenco/
Capacidad: 150 mm
Apreciación: 0..10 mm
Cronómetro
Marca: Omega
Capacidad: 30 segundos
Apreciación: 0.10 segundos
. 244
Regla con índice corredizo
Capacidad : 100 cm
Apreciación: 0.5 mm
Juego de Pesas
Marca: OHVS
Hilo de nylon o de Pescar
B I B L I O G R A F I A
.246.
B I B L I O G R A F Í A
SMITH, I,R, and S.Sriharan; "Induction- Motor Res-
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