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Esercitazioni cap. 5-c Correnti alternate

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

B

J

ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedicaAnno Accademico 2020/2021

2

Esempio 10Determinare le correnti di ramo, P e Q erogate dai generatori nel circuitodi figura.

SoluzioneMetodo nodale: Potenziale dei nodi di non-riferimen-to nel dominio della frequenza: V1 e V2.

Dalla LKC ai nodi di non riferimento 1 e 2 si ottiene:

I3

Ix

I2I1. .

I1 - I2 - Ix = 0I2 - I3 + 2Ix = 0

I1 = (20 – V1)/10 I2 = (V1 – V2)/(j4) I3 = V2/(j2)Ix = V1/-(j2,5)


3


I3

Ix

I2I1. .


4


I3

Ix

I2I1. .

Si ottengono i seguenti determinanti:

5


V1 = - 15V2/11- 15 (1+j1,5)V2/11 + j2,5V2 = 20 V2 (-15 + j5) = 220

I3

Ix

I2I1. .

V2 = − 220

(15−j5) = − 220 (15+j5)(15−j5)(15+j5) =

− 220 (15+j5)152+52 = -

220250 (15+j5) = - 13,2 - j4,4

V1 = -1511V2 = 18 + j6

- 13,2

- 4,4

Re

Imq2

18

6 Re

Im

q1

q1 = tan-16

18 q1 = p + tan-1 4,413,2

V2 = -13,2 - j4,4 = V2 ejq2 = 13,91 ej3,463 = 13,91 198,44°V1 = 18 + j6 = V1 ejq1 = 18,97 ej0,322 = 18,97 18,43°

per risolvere il sistema, in alter-nativa per un sistema con poche equa-

zioni si può utilizza il metodo che segue.

6


I3

Ix

I2I1. .

V2 = -13,2 - j4,4 = V2 ejq2 = 13,91 ej3,463 = 13,91 198,44°V1 = 18 + j6 = V1 ejq1 = 18,97 ej0,322 = 18,97 18,43°

- 2,2

6,6

Re

Im

q3

q1 = tan-10,60,2

q3 = p − tan−16,62,2

I1 = (20 - V1)/10 = 0,2 - j0,6 = 0,632 -71,57°I2 = (V1 -V2)/j4 = 2,6 - j7,8 = 8,222 -71,57°I3= V2/j2 = - 2,2 + j6,6 = 6,957 108,44°Ix = - V1/j2,5 = - 2,4 + j7,2 = 7,589 108,44°

P = VeIe cos(qV-qI) = R Ie2 ; Q = VeIe sin(qV-qI) = X Ie2 ; N = VeIe ; N = VeIe*

P = ⁄! " R1I12 = R1I1,e2 = 5 x 0,4 = 2 WQ = - ⁄! " 2,5 x Ix2 + ⁄! " 4 x I22 + ⁄! " 2 x I32 = - 2,5 x Ix,e2 + 4 x I2,e2 + 2 x I3,e2 = 111,5 VAR

I3

Ix

I2I1. .


7

Esempio 10SoluzioneMetodo degli anelli: Correnti d’anello per glianeli del circuito nel Dominio della frequenza:I1 , I2 , I3

I1 = I1I2 = I2 I3 = I3 Ix = I1 - I2

I3

Ix

I2I11


I1 I3I2

Al ramo x:2 Ix = I3 - I2 → 2 (I1 - I2) = I3 - I2

→ I3 = 2 I1 - I2→ I3 = 2 I1 - I2

LKT all’anello 1 ed al superanello:

20 - 10 I1 + j 2.5 Ix = 0 (LKT all’anello 1)- j 2.5 Ix – j 4 I2 – j 2 I3 = 0 (LKT al superanello)

8

Esempio 10SoluzioneMetodo degli anelli: Correnti d’anello per glianeli del circuito nel Dominio della frequenza:I1 , I2 , I3

I3

Ix

I2I11

I1 I3I2

I3 = 2 I1 - I220 - 10 I1 + j 2.5 (I1 - I2 ) = 0 - j 2.5 (I1 - I2 ) – j 4 I2 – j 2 I3 = 0 20 - 10 I1 + j 2.5 (I1 - I2 ) = 0

- j 2.5 (I1 - I2 ) – j 4 I2 – j 2(2 I1 - I2 ) = 0I2 = 13 I1I1 = 0.2 – j 0.6 → I1 = I1 = 0.632 - 71.57°

I2 = 13 I1 → I2 = I2 = 2.6 – j 7.8 = 8.22 -71.57°I3 = I3 = 2 I1 - I2 = -2.2 + j 6.6 = 6.96 108.43°

0.2

- 0.6

ReIm

q1I1

-2.2

6.6

Re

Im

q3I3

9

Esempio 11Determinare le correnti di Ramo, P e Q fornite dai ge-neratori nel circuito di figu-ra risolto con l’analisi nodale.

SoluzioneIl circuito presenta un supernodo. La LKC applicata al supernodo è:

I1 - I2 - I3 - I4 = 0 I2

I1 I3I4

I1 = 3I2 = V1/(-j3)I3 = V2/(j6)I4 = V2/12

VS =

IS =

V1 – V2 = VS

j4V1 + (1– j2) V2 = 36 VS = 10 45° =

= 10 cos 45° + j10 sin 45° == 7,071 + j7,071

10

Esempio 11Determinare le correnti di ramo nel circuito di figu-ra risolto con l’analisi nodale.

I2I1 I3

I4

I1 = 3I2 = V1/(-j3)I3 = V2/(j6)I4 = V2/12

VS =

IS =

V1 – V2 = VS

j4V1 + (1– j2) V2 = 36

VS = 10 45° == 10cos45°+ j10sin45°== 7,071 + j7,071

V1 = V2 + 7,071 + j7,071j4V2 + j28,284 – 28,284 + V2 – j2V2= 36V2 = (64,284 – j28,284)/(1+j2) V2 = (64,284 – j28,284)(1-j2)/5 V2 = 1,54 – j31,37 = 31,41 -87,18°V1 = 8,61 – j24,30 = 25,78 -70,48°

11

Esempio 11Determinare le correnti di ramo nel circuito di figu-ra risolto con l’analisi nodale.

I1 = 3I2 = V1/(-j3)I3 = V2/(j6)I4 = V2/12

I6 = I2 + I5 - I1 I5 = (V1 - V2)/4

V1 = 8,61 – j24,30 = 25,78 -70,48°V2 = 1,54 – j31,37 = 31,41 -87,18°

I1 = 3I2 = V1/(-j3)I3 = V2/(j6)I4 = V2/12I5 = (V1 - V2)/4I6 = jV1/3 + (V1 - V2)/4 - 3

VS =

IS = I2I1 I3 I4

I5

I6

12


VS =

IS = I2I1 I3 I4

I5

I1 = 3I2 = V1/(-j3)I3 = V2/(j6)I4 = V2/12I5 = (V1 - V2)/4I6 = jV1/3 + (V1 - V2)/4 - 3

I1 = 3I2 = 8,10 + j2,87 = 8,59 19,51°I3 = - 5,23 – j0,257= 5,24 182,81°I4 = 0,128 - j2,61 = 2,61 - 87,19°I5 = 1,77 + j1,77 = 2,50 45°I6 = 6,87 + j4,64 = 8,29 34,04°

V1 = 8,61 – j24,30 = 25,78 -70,48°V2 = 1,54 – j31,37 = 31,41 -87,18°

I6

13


VS =

IS = I2I1 I3 I4

I5

I1 = 3I2 = 8,10 + j2,87 = 8,59 19,51°I3 = - 5,23 – j0,257= 5,24 182,81°I4 = 0,128 - j2,61 = 2,61 - 87,19°I5 = 1,77 + j1,77 = 2,50 45°I6 = 6,87 + j4,64 = 8,29 34,04°

V1 = 8,61 – j24,30 = 25,78 -70,48°V2 = 1,54 – j31,37 = 31,41 -87,18°

P = VeIe cos(qV-qI) = R Ie2 ; Q = VeIe sin(qV-qI) = X Ie2 ;

P = ⁄! " 3 x 25,78 cos(-70,48) + ⁄! "10 x 8,29 cos(45 - 34,04) = 12,92 + 40,63 = = ⁄! " 4 I52 + ⁄! " 12 I42 = 12,5 + 40,87 = 53,46 W

Q = ⁄! " 3 x 25,78 sin(-70,48) + ⁄! "10 x 8,29 sin(10,96) = -36,45 + 7,88 == - ⁄! " 3 I22 + ⁄! " 6 I32 = - 110,7 + 82,37 = -28,33 VAR

I6

VS =

IS = I2I1 I3 I4

I5

I6

14

Esempio 12Determinare il circuito equiva-Lente di Thévenin del circuito nella figura in alto.SoluzioneÈ necessario trovare la tensione equivalente VTh e l’impedenza equivalente ZTh del circuito di Thévenin.Ricerca di VTh: VTh è la tensione fra a e b qualora a-b non siano in circuito aperto (non connessi a un’impedenza di caricio):

ZThb

a+-

•

•

VTh

Circuito di Thévenin

15

Esempio 12Determinare il circuito equiva-Lente di Thévenin del circuito nella figura in alto.SoluzioneÈ necessario trovare la tensione equivalente VTh e l’impedenza equivalente ZTh del circuito di Thévenin.Ricerca di ZTh: Si elimina dal circuito il generatore indipendente e si utilizza un generatore IS.L’impedenza ZTh è:

ZThb

a+-

•

•

VTh


ZTh = VS/IS ove IS è la tensione fra a e b.

16

Esempio 12Determinare il circuito equiva-Lente di Thévenin del circuito nella figura in alto.SoluzioneÈ necessario trovare la tensione equivalente VTh e l’impedenza equivalente ZTh del circuito di Thévenin.Il circuito di Thévenin, equivalente al circuito dato (figura in alto) è costituito dalla serie del generatore di tensione VTh e l’impedenza ZTh, dove:

ZThb

a+-

•

•

VTh


ZTh = 4 – 0,6667 W

VTh = -j55 = 55 -90° V

17

Esempio 13Determinare il circuito equiva-lente di Nerton del circuito della figura per la porta a-b.

SoluzioneÈ necessario trovare la corrente equivalente VN e l’impedenza equivalente ZN del circuito di di Norton.Ricerca di ZN: ZN è la resistenza che vede il carico ZL= 20 + j15 dalla porta a-b vede qualora a-b siano spenti tutti i generatori indipendenti nel circuito. Poiché nel circuito non vi sono generatori dipendenti (che non possono essere spenti, vedi figura di fianco) appare conveniente utilizzare le regole della serie ed il parallelo:

ZN = 5 + Z// = 5 WPoiché Z// è il parallelo di Z = 18 + j2 con un cortocircuito.

18

Esempio 13Determinare il circuito equiva-lente di Nerton del circuito della figura per la porta a-b. Ricerca di IN: IN è la corrente di cortocircuito della porta a-b (vedi seconda figura). Si considera il nodo b come nodo di riferimento, il nodo a coincidente col nodo b poiché in cortocircuito ed il nodo c-b un supernodo:

nodo d: I1 + I4 - 3 = 0nodo c: Vc = j40

xcv

xcv

xcvVdVc

Va3

!

!

!

!

I1

I4

I1 = Vc - Vd = (j40 – Vd)/(8-j2)I2 = Vc - Va = j40/5 I4 = – Vd/(10+j4)

(j40 – Vd)/(8-j2) – Vd/(10+j4) - 3 = 0Vd = -10 + j22,44

IN = I2 + 3 = 3 + j8

19

Esempio 13Determinare il circuito equiva-lente di Nerton del circuito della figura per la porta a-b. Circuito di Norton: IN è la corrente di cortocircuito della porta a-b (vedi Circuito di Norton che simula il circuito dato è costituito dal parallelo di IN eZN con:

IN = (3 + j8) A e ZN = 5 W

ZL = (20 + j15) WI1 + I0 = IN = 3 + j85 I1 = (20 + j15) I0 (tensione sul resistore di 5W)

I0(20 + j15)/5 + I0 = 3 + j8I0 = (3 + j8)/(5 + j3) = 1,147 + j0,912

= 1,465 38,49°

Nel dominio dal tempo il fasore I0 diviene: i0(t) = 1,465 cos(wt + 0,672)

I1

20

Esempio 14Trovare la corrente i4 attraversol’impedenza di carico ZL = RL + jwLL del ramo con Thévenin.

Dati:vS = 10 cos(50t + p/4); iS = 3 cos 50tC = 5 mF, L1 = 40 mH, LL = 120 mH, R2 = RL = 10 WSoluzionePer trovare la corrente i4 che alimenta il carico ZL, si utilizza il circuito di Thévenin, equivalente al circuito visto dalla porta a-b. Il circuito di Thévenin definito dalla serie dell’impedenza equivalente ZTh col generatore di tensione equivalente VTh.

Ricerca di ZThPer trovare ZTh tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito e si ricava la resistenza equivalente del circuito visto dalla porta a-b.

R2

a

bC

L1

i1

i2i3

i4

a

b

10 W

jwL1=j2W

-j/(wC) = -j4W

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C

21

Dati:vS = 10 cos(50t + p/4); iS = 3 cos 50tC = 5 mF, L1 = 40 mH, LL = 120 mH, R2 = RL = 10 WSoluzioneRicerca di ZThPer questo si spengono tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito e si ricava la resistenza equivalente della porzione del circuito visto dalla porta a-b.

ZTh= -j40/(10 – j4) = -j40(10 + j4)/(102 + 42) = 1,38 – j3,45

a

b

10 W

jwL1=j2W

-j/(wC) = -j4W

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C


22

Esempio 14Trovare la corrente i4 attraverso l’impedenza di carico ZL = RL + jwLL del ramo con Thévenin.

Dati:vS = 10 cos(50t + p/4); iS = 3 cos 50tC = 5 mF, L1 = 40 mH, LL = 120 mH, R2 = RL = 10 W

Ricerca di VThLa tensione del generatore equivalente di Thénenin è la tensione dalla porta a-b lasciata in circuito aperto (vedi circuito a fianco).Si risolve con l’analisi nodale. Vi sono tre nodi e preso il nodo sotto come nodo di rife-rimento si hanno i due nodi 1 e 2 con U1 ed U2 come nodi di non riferimento. Il nodo 1 ed il nodo di riferimento sono uin supernodo. La tensione di nodo U2 è la anche tensione della porta a-b, tensione equivalente VTh.

IS

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C

a

b

10 W

j2W -j4WVS +-

U1 U2

23


Ricerca di VTh

a

b

10 W

j2W -j4WVS +-

IS

U1 U2I2 + I3 = ISU1 = VS

I1

I2I3IS = 3

I1 = U1/(j2)I2 = (U2-U1)/10I3 = U2/(-j4)U1 = VS = 10[cos(p/4)+jsen(p/4)] =

= 7,07 + j7,07

(U2-U1)/10 + U2/(-j4) = 3

(U2 -7,07 - j7,07)/10 - U2/(j4) = 3 U2 = 7,55 – j11,81

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C


24

Dati:vS = 10 cos(50t + p/4); iS = 3 cos 50tC = 5 mF, L1 = 40 mH, LL = 120 mH, R2 = RL = 10 WRicerca di i4(t) con fasore I:VTh = U2 = 7,55 – j11,81

ZTh = 1,38 – j3,45 I = VTh/(ZTh + ZL) =

= 7,55 – j11,811,38 – j3,45 + 10 + j6 = 7,55 – j11,8111,38 + j2,55 =

= (7,55 – j11,81)(11,38 – j2,55)

11,382 + 2,552 = 0,411 – j1,128

= 1,20 - 69,98° → i4(t) = 1,20 cos(50t – 1,22)

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C


69,98° = 1,22 rad

ZTh

b

a+-

•

•

VTh ZL =RL+ jwLL= 10 + j6

I

25

Esempio 14Trovare la corrente i4 attraverso l’impedenza di carico ZL = RL + jwLL del ramo con Norton.

Dati:vS = 10 cos(50t + p/4); iS = 3 cos 50tC = 5 mF, L1 = 40 mH, LL = 120 mH, R2 = RL = 10 WSoluzioneÈ necessario trovare il generatore equivalente di corrente IN e l’impedenza e equivalente ZTh

Ricerca di ZNPer questo si spengono tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito e si ricava la resistenza equivalente della porzione del circuito visto dalla porta a-b. Per cui si ha:

ZN = ZTh = 1,38 – j3,45

R2

a

bC

L1

i1

i2i3

i4

a

b

10 W

jwL1=j2W

-j/(wC) = -j4W

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C

26

Esempio 14Trovare la corrente i4 attraversol’impedenza di carico ZL = RL + jwLL del ramo con Norton.


Ricerca di INLa corrente del generatore equivalente di Norton è la tensione dalla porta a-b posta in circuito chiuso (vedi circuito a fianco).

IN = IS – I2 – I3 = 0I3 = 0; I2 = - VS/10 = - 0.707 – j0,707IS = 3 IN = 3,707 + j0,707 (= - VTh/ZTh)

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C

a

b

10 W

j2W -j4WVS +-

IS

U1 U2I1

I2I3

IN

27

Esempio 14Trovare la corrente i4 attraverso l’impedenza di carico ZL = RL + jwLL del ramo con Norton.


Ricerca di I4ZN = 1,38 – j3,45; IN = 3,707 + j0,707ZL = 10 + j6

IN = IZN + I4ZN IZN = ZL I4

I4 = ZN

ZN+ZLIN

I4 = 0,41 – j1,13= 1,20 - 70,06° i4(t) = 1,20 cos(50t – 1,22)

vS +-

RLR2

iS

a

b

L1LL

i1

i2i3

i4

C

ZN

b

a•

•

IN

I

ZL

I4IZN

28

Esempio 15Trovare la corrente ix nel dominio del tempo, corrente attraverso l’impedenza Zx= Rx + jwLx del ramo con Thévenin.

Dati:VS = 10 cos (50t) VR = Rx = 10 W, a = 2L = Lx = 60 mH, C1 = C2 = 5 mF

vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

VS+-

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2 Ix

a

b

R

ZR

ZC

Z2 Zx

VS = 10 ZR = 10 W, ZL = jwL = j3 W, ZC = -j/(wC1) = -j4 WZ2 = R – j/(wC2) = (10 – j4) W,Zx = Rx + jwLx = (10 + j3) W

29

Esempio 15Trovare la corrente ix(t) nel dominio del tempo, corrente attraverso l’impedenza Zx= Rx + jwLx del ramo con Thévenin.

Dati:VS = 10, w = 50, a = 2ZR = 10 W, ZL = jwL = j3 W, ZC = -j/(wC1) = -j4 WZ2 = R – j(wC2) = (10 – j4) W,Zx = Rx + jwLx = (10 + j3) W

vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

VS+-

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2

SoluzionePer trovare la corrente ix che alimenta il carico Zx, si utilizza il circuito di Thévenin, equivalente al circuito visto dalla porta a-b. Il circuito di Thévenindefinito dalla serie dell’impedenza equivalente ZTh col generatore di tensione equivalente VTh. ì

30



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di ZThPer trovare ZTh tutti i generatori indipendenti presenti nel circuito (VS corto circ., IS circ. aperto) e si ricava la resistenza equivalente del circuito visto dalla porta a-b.

ZTh

b

a+-

•

•

VThZx

Ix

VS+-

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2

31



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di ZThDefinito il generatore V0, l’iimpedenzaequivalente del circuito di Thévenin del circuito in basso è data da:

ZTh = V0/(-Ix) Con l’analisi nodale si definisce U1, U2 ed il no-do di riferimento. Il nodo 2 è un supernodo col nodo di riferimento:

U2 = V0 = 1

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2 +- V0= 1

U2

U1

Ix

32


Dati:VS = 10, w = 50, a = 2 ZR = 10 W, ZL = jwL = j3 W, ZC = -j/(wC1) = -j4 WZ2 = R – j(wC2) = (10 – j4) W,Zx = Rx + jwLx = (10 + j3) W

vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di ZThLa LKC al nodo 1 diviene:

IL + I1 – IC = 0

con:

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2 +- V0= 1

U2

U1

Ix

IL = (U2 – U1)/ZL = (1 – U1)/(j3) == j 0,333(U1–1)

I1 = - U1/ZR = - 0,1U1IC = U1/ZC = j 0,25 U1

33



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di ZThLa LKC al nodo 1 diviene:

IL + I1 – IC = 0j0,333(U1 - 1) - 0,1U1 - j 0,25 U1 = 0

U1 = 1,636 - j1,972

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2 +- V0= 1

U2

U1

Ix

34



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di ZThU1 = 1,636 - j1,972; U2 = V0 = 1

LKC al nodo 2: 2Ix– IL – I2 – Ix = 0Ix= IL + I2 [I2 = U2/Z2 = 1/(10 – j4)]

Ix= (1 – U1)/(j3) + U2 /(10 – j4) == 0,7429 + j0,2462

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2 +- V0= 1

U2

U1

Ix

ZTh = -V0/Ix= 1/(0,743 + j0,247) = -1,2129 + j0,4019

35



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di VThVTh è la tensione della porta a-b in circuito aperto (tolto l’impe-denza Zx).

ZTh

b

a+-

•

•

VThZx

Ix

VS+-

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2

36



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

R

Ricerca di VThCon l’analisi nodale si definisce U1, U2 ed U3il nodo di riferimento. Il nodo 3 è un supernodo col nodo di riferimento:

U3 = VS = 10Inoltre latensione della porta a-b è: VTh = U2La LKC ai nodi 1 e 2 è data da:

IL + I1 – IC = 02Ix– IL – I2 = 0 dove Ix= 0

b

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2

U2

U1U3

+-VS

37



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

R

Ricerca di VThIx= 0IL = (U2 – U1)/ZLIC = U1/ZCI1 = (U3 - U1)/ZRI2 = U2/Z2U3 = 10

b

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2

U2

U1U3

+-VS

IL + I1 – IC = 0IL + I2 = 0

(U2 – U1)/(j3) + (10 - U1)/10 – U1/(-j4) = 0(U2 – U1)/(j3) = - U2/(10 – j4)

38



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

R

Ricerca di VTh(U2 – U1)/ZL + (10 - U1)/ZR – U1/ZC= 0(U2 – U1)/ZL – U2/Z2 = 0

(U2 – U1)/(j3) + (10 - U1)/10 – U1/(-j4) = 0(U2 – U1 )/(j3) + U2/ (10 – j4) = 0

U1= (0,8965+j0,2589)U2U2 = VTh = 1.1910 – j3,0498

b

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2

U2

U1U3

+-VS

39



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

Ricerca di ix(t) Il circuito equivalente di Thévenin è definito da:

VTh = 1.1910 – j3,0498 V ZTh = -1,2129 + j0,4019 W

Ix = VTh/(ZTh + Zx) =

= 0,001 - j0,347 = 0,347 -89,3°

ix(t) = 0,347 cos(50 t + 1,568)

ZTh

b

a+-

•

•

VThZx

Ix

40

Esempio 15Trovare la corrente ix(t) nel dominio del tempo, corrente attraverso l’impedenza Zx= Rx + jwLx del ramo con Norton.


vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

SoluzioneSi ha:

VTh = 1.1910 – j3,0498 VZN= ZTh = -1,2129 + j0,4019 WIN = VTh/ZTh = -1,637 + j1,971 A

ZN

b

a•

•

IN

I

Zx

IxIZN

41



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

SoluzioneLa corrente del generatore di corrente equi-valente di Norton IN è la corrente di corto-circuito della porta a-b. quando i generatori indipendenti del circuito sono spenti.Per la ricerca della corrente si utilizza l’ana-lisi nodale. I nodi sono tre: il nodo di riferi-mento ed i nodi 1 e 2.

b

ZR

ZL

aIx

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2U1

IN

U2

+-VS

42



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

SoluzioneDalla sostituzione nella LKC al nodo 1 delle espressioni delle correnti si ottiene.

IL + I1 – IC = 0 (I2 = 0 – nodo corto circ.)- U1/(j3) + (10 - U1)/10 – U1/(-j4) = 0

U1 = 5,921 + j4,914LKC al nodo con aIN, IL, I2 ed IN, dove I2 = 0 poiché il ramo è cortocircuitato:

aIN - IL - I2 - IN = 0 IN = IL = - U1/(j3) =

b

ZR

ZL

aIN

IL

ICI1

I2

a

b

ZR

ZC

Z2U1

IN

U2

+-VS

-1,638+ j1,974

43



vs+-

RR

L

C1

aix

C2

Rx

Lx

iL

iCi1

i2 ix

a

b

R

SoluzioneSi ha: ZN= -1,2129 + j0,4019 W

IN = -1,639 + j1,968 ADa circuito di Norton:

IN = Ix + IZNZNIZN = ZxIx

Ix = ZN

ZN + ZxIN = = 0,001 - j0,347 ix(t) = 0,347 cos(50 t + 1,568)

ZN

b

a•

•

IN

I

Zx

IxIZN

www.unibo.it

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna


ElettrotecnicaCorso dei CdL

in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedica

esercitazioni cap. 5-c correnti alternate · 2020. 11. 24. · esercitazioni cap. 5-c correnti...

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