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ESERCIZI DELL’UNITÀ

1 Proprietà generali dei quadrilateri1 Vero o falso? Indica con una crocetta se le seguenti affermazioni sono vere o false e correggi

quelle false.a. Esistono quadrilateri concavi. V F

b. Due lati di un quadrilatero sono opposti quando hanno un vertice in comune. V F

c. I quadrilateri hanno due diagonali. V F

d. La somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360°. V F

e. È sempre possibile costruire un quadrilatero con quattro segmenti di lunghezza qualsiasi. V F

2 MONDO REALE Patchwork Alessia ha creato una tovaglia in patchwork. Osservala e ripassa in rosso il bordo dei quadrilateri.

3 Riconosci Osserva il quadrilatero della figura e completa le frasi seguenti.

C

BA

D

βα

γδ

• I lati del quadrilatero sono

• Gli angoli adiacenti al lato AB sono

• Il lato opposto a BC è

• L’angolo opposto a δ è

• I lati consecutivi ad AD sono

4 Caccia all’errore L’insegnante ha chiesto di indicare con una crocetta i quadrilateri della figura che sono concavi. Mia ha svolto l’esercizio, ma ha commesso degli errori. Individuali e correggili.

no no

5 MONDO REALE Completa Osserva le seguenti immagini e associa a ciascuna il nome del quadrilatero rappresentato.

due lati opposti non hanno vertici in comune

in ogni quadrilatero ogni lato deve essere minore della somma degli altri tre lati

AB, BC, CD, AD

α, β

AD

β

AB, CD

deltoide rombo parallelogramma trapezio isoscele rettangolo

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I quadrilateriUNITÀ

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287286G GTeoria a pag. G262

INVALSI

Una figura ha: due lati uguali, una sola coppia di lati paralleli e due angoli ottusi. Quale può essere tra le seguenti figure?A. Triangolo ottusangolo. C. Trapezio rettangolo.

B. Trapezio isoscele. D. Parallelogramma. (INVALSI 2005-2006)

6

7 Spiega È possibile costruire un quadrilatero con i lati lunghi 5 cm, 7 cm, 8 cm e 20 cm? Perché?

8 Possibile o impossibile? Verifica se è possibile costruire i quadrilateri che abbiano le seguenti misure dei lati. Completa la tabella scrivendo sì o no. Se non è possibile spiega perché.

Misure dei lati (in cm) È possibile?

5, 10, 20, 30 sì

8, 16, 10, 35 no, perché 35 > 8 + 16 + 10

12, 15, 20, 40 sì

13, 13, 13, 39 no, perché 39 = 13 + 13 + 13

20, 37, 40, 45 sì

9 L’intruso Un quadrilatero ha tre lati lunghi rispettivamente 12 cm, 9 cm, 16 cm. Quale delle seguenti non può essere la misura del quarto lato del quadrilatero?

10 cm 25 cm 38 cm 8 cm

10 Chi ha ragione? L’insegnante ha scritto alla lavagna alcune quaterne di angoli e chiede quali possono rappresentare le misure degli angoli di un quadrilatero.

32°, 123°, 21°, 184° 90°, 135°, 45°, 90° 78°, 76°, 100°, 116°

Tre studenti danno le seguenti risposte.Lorenzo: «Tutte le quaterne possono rappresentare le misure degli angoli di un quadrilatero».Nancy: «Solo la prima e la seconda vanno bene. La terza no perché la somma degli angoli è maggiore di 360°».Giacomo: «Solo la seconda e la terza vanno bene. La prima no perché un angolo è maggiore di 180°».Chi ha ragione? Indicalo con una crocetta.

Lorenzo Nancy Giacomo

Rappresenta Disegna sul tuo quaderno gli elementi richiesti e rispondi alle domande.

11 Disegna un quadrilatero ABCD con il lato AD opposto al lato BC e l’angolo B ̂ C D oppostoall’angolo B ̂ A D .

12 Disegna un quadrilatero con due angoli ottusi. Come sono gli altri due angoli? acuti

13 Disegna un quadrilatero con due angoli retti. Come sono gli altri due angoli?

14 Disegna un quadrilatero con due lati consecutivi congruenti.

15 Disegna un quadrilatero con due lati opposti congruenti.

16 Disegna un quadrilatero con due angoli retti e un angolo ottuso.

17 Disegna un quadrilatero che ha una diagonale doppia dell’altra.

18 Disegna un quadrilatero con tre lati lunghi 2 cm,3cm,4cm.Misuralalunghezzadelquarto lato. Perché il quarto lato non può misurare 9 cm?

no, perché il lato di 20 cm non è minore della somma degli altri tre lati

Lorenzo

Nancy

Giacomo

complementari

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Esercizi dell’unità G6E

Quadrilateri nel piano cartesiano Disegna nel piano cartesiano i quadrilateri ABCD di vertici dati. Indica se il quadrilatero è concavo o convesso e di quale quadrilatero si tratta.

19 A (0; 3) , B (4; 3) , C (4; 6) , D (1; 6) convesso; trapezio

20 A (3; 2) , B (6; 3) , C (3; 4) , D (1; 3) concavo; deltoide

21 A (1; 1) , B (5; 1) , C (5; 4) , D (1; 4) convesso; rettangolo

22 A (2; 1) , B (5; 2) , C (4; 4) , D (1; 3) convesso; parallelogramma

23 A (1; 0) , B (2; 1) , C (4; 1) , D (3; 3) concavo; quadrilatero generico

Angolo incognito In ciascuno dei seguenti quadrilateri calcola la misura dell’angolo x.

24

x90°

87°

93°

x =

25

x120°

106°

70°

x =

26 x

97° 68°

83°

x =

27 C

BA

D

x

135°63° 15′

110° 45′

x =

28 C

B

A

Dx

67° 30′

100°148°

x =

29

C

B

A

D

x

26° 21′

206° 24′

12° 24′

x =

INVALSI

In un quadrilatero due angoli misurano 115° ciascuno. Se un terzo angolo misura 70°, quanto misura il quarto angolo?

A. 60°

B. 70°

C. 130°

D. 140°

E. Nessuna delle precedenti (INVALSI 2001-2002)

30

90°

64°

112°

51°

44° 30′

114° 51′

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Teoria a pag. G262

31 Tutti acuti o tutti ottusi? a. È possibile disegnare un quadrilatero con tutti gli angoli acuti? Motiva la tua risposta. b. È possibile disegnare un quadrilatero con tutti gli angoli ottusi? Motiva la tua risposta.

Somma di angoli Nelle seguenti figure calcola la misura della somma degli angoli α e β .

32

CAB

β

α

D

35° 43°

282°

33

C

A

B

β

α

D

31°

85°

154°

34 240°

35 231°

Problemi sugli angoli di un quadrilatero Risolvi i seguenti problemi.

36 Un quadrilatero ha tre angoli retti. Calcola l’ampiezza del quarto angolo. 90°

37 Tre angoli di un quadrilatero misurano 53°, 112° e 90°. Calcola l’ampiezza del quarto angolo. 105°

38 Un quadrilatero ha un angolo di 78° e gli altri tre angoli congruenti. Calcola la misura degli angoli incogniti. 94°

39 Un quadrilatero ha due angoli congruenti che misurano 75°. Gli altri due angoli sono uno il doppio dell’altro. Calcola la misura degli angoli incogniti. [70°; 140°]

La somma degli angoli incogniti è 3 volte il minore ed è uguale alla differenza...

40 Il quadrilatero ABCD della figura è scomposto dalla diagonale BD in un triangolo rettangolo BCD e in un triangolo equilatero ABD. L’angolo acuto D ̂ B C del triangolo rettangolo misura 44°. Calcola l’ampiezzadiciascunodegliangolidel quadrilatero ABCD. [60°; 104°; 90°; 106°]

B

D

A C

44°

no, perché la loro somma sarebbe minore di 360°

no, perché la loro somma sarebbe maggiore di 360°

AC

H

E

D

GF

B

βα

40° 20°

A

C

H

E

D G

F

B

βα

34°

84°

23°

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Esercizi dell’unità G6E

ESERCIZIO GUIDA

Il quadrilatero ABCD ha l’angolo α chemisura56°,l’angoloγ doppiodiα el’angoloβ doppio di δ.Calcolalemisuredeitreangoliincognitidelquadrilatero.

Calcoliamo la misura dell’angolo γ : γ = 56° ⋅ 2 = 112°

Calcoliamo la somma degli angoli β + δ , ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°:

β + δ = 360° ‒ (56° + 112°) = 360° ‒ 168° = 192°

Poiché β è doppio di δ, per calcolare la misura di δ dividiamo per 3 la somma appena trovata:

δ = 192° : 3 = 64°

Moltiplicando per 2 otteniamo la misura del terzo angolo incognito:

β = 64° ⋅ 2 = 128°

C

A B

βα

γ

δ

D

41

42 Calcola la misura degli angoli incogniti x, y e z del quadrilatero ABCD utilizzando i dati forniti.

C

A

B

α

D

x

z

y

α = 72°x = 2αy = z + 26° [x = 144°; y = 85°; z = 59°]

Perimetro dei quadrilateri43 Diretto e indiretto Considera un quadrilatero ABCD di lati AB, BC, CD e AD. Completa la seguente

tabella.

‾ AB ‾ BC ‾ CD ‾ AD Perimetro

19 cm 14 cm 26 cm 19 cm 78 cm

22 cm ‾ BC = ‾ CD 31 cm 18 cm 102 cm

43 cm 14 cm 38 cm 50 cm 145 cm

50 cm 48 cm 26 cm ‾ AD = ‾ AB = 174 cm

Problemi sul perimetro di un quadrilatero Risolvi i seguenti problemi.

44 Calcolailperimetrodiunquadrilateroicuilatimisurano31,4cm,43cm,27,6cme29,2 cm. 131,2 cm

45 In un quadrilatero ABCD il lato AB misura 45 cm, il lato BC misura 24 cm e i lati CD e AD sono il doppio del lato BC. Calcola il perimetro di ABCD. 165 cm

46 In un quadrilatero ABCD il lato AB misura 24 cm, il lato BC misura 16 cm, il lato CD è i 5 __ 4

di BC e AD supera CD di 10 cm. Calcola il perimetro di ABCD. [90 cm]

ESERCIZIO GUIDA

In un quadrilatero ABCDilperimetroè111dm.IllatoABèdoppiodiBC,illatoBC misura17 dme il lato CDsuperaBCdi14dm.QuantomisuraillatoAD?

Calcoliamo la misura dei lati AB e CD:

‾ AB = 2 ‾ BC = 2 ⋅ 17 = 34 dm

‾ CD = ‾ BC + 14 = (17 + 14) dm = 31 dm

Calcoliamo la misura del lato AD, sottraendo dal perimetro la misura della somma dei lati noti:

‾ AD = 111 ‒ (17 + 34 + 31) = 111 ‒ 82 = 29 dm

47

50 cm

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Teoria a pag. G266

48 In un quadrilatero ABCD il perimetro è 134 cm.IllatoAB misura 36 cm, il lato BC è

i 4 __ 9

di AB e il lato CD è doppio di BC. Quanto

misura il lato AD? [50 cm]

49 In un quadrilatero ABCD il perimetro è 154 cm.IllatoAB supera il lato BC di 11 cm, il lato BC è metà di CD e il lato CD misura 48 cm.QuantomisuraillatoAD? [47 cm]

50 Un quadrilatero ha il perimetro di 127 cm e due lati che misurano 23 cm e 32 cm. Calcola la misura degli altri due lati, sapendo che uno è un terzo dell’altro. [18 cm; 54 cm]

51 Perimetro e angoli Il quadrilatero ABCD della figura è diviso dalla diagonale BD in due triangoli ABD e BCD isosceli. Utilizzando i dati riportati in figura, calcola il perimetro del quadrilatero e la misura degli altri due angoli incogniti. [80 cm; 70°]

‾ AB = 24 cm

‾ BC = 16 cm

A

C

B D

108°

112°

52 MONDO REALE Pannello Elisa deve costruire un pannello per una mostra unendo due pezzi di truciolato uguali, a forma di triangolo isoscele, come mostrato in figura. Per tenere insieme i due pezzi in modo che non si stacchino, deve mettere del nastro adesivo sul bordo esterno del pannello.Sa che il perimetro di ciascuno dei pezzi triangolari è 1,5 m e che il lato obliquo è il doppio della base. Quanti metri di nastro adesivo dovrà usare se vuole fare due “giri” completi del pannello? [3,6 m]

2 I parallelogrammi53 Vero o falso? Indica con una crocetta se le seguenti affermazioni sono vere o false e correggi

quelle false.

a. I lati opposti di un parallelogramma sono congruenti. V F

b. In un parallelogramma gli angoli opposti sono supplementari. V F

c. Le diagonali di un parallelogramma si dividono a metà. V F

d. Gli angoli adiacenti a ciascun lato di un parallelogramma sono congruenti. V F

54 MONDO REALE Pavimentazione Osserva l’immagine. Individua i parallelogrammi completi e ripassali in colore.

gli angoli opposti sono congruenti

gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari

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