esercizi di algebra (2)

Prova scritta di GEOMETRIA II

- 16.01.2013 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -

Vedi i commenti al problema n.1.

1. Provare che la matrice

A =

0@ 1 3 k0 1 00 k 1

1Anon e` diagonalizzabile per alcun valore del parametro reale k. Se possibile,triangolarizzarla quando k6= 0.

2. Diagonalizzare la matrice

A =

0@ 0 0 10 2 01 0 0

1Aper mezzo di una matrice ortogonale.

3. In GF (32) determinare linverso moltiplicativo dellelemento (1, 2).

4. Sia M 2Mnn(K) una matrice simmetrica. Provare che:(a) M2 e` anchessa simmetrica.(b) supposto che M sia invertibile, allora anche M1 e` simmetrica.(c) (facoltativo) In M22(K) fornire una condizione necessaria e su-

ciente anche` il prodotto di due matrici simmetriche sia una matrice sim-metrica.

1

La matrice data, per k 6= 0, ha autovalore = 1, di molteplicita` 3con autospazio di dimensione 1 generato, ad es., da (1, 0, 0). Se si es-tende tale autovettore ad una base B di C3, prendendo ad esempio B ={(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}, e` facile rendersi conto che la matrice MCB nontriangolarizza la matrice A. Cio` dipende dal fatto che la base B non e` aventaglio per lapplicazione lineare indotta da A, cos` come presritto dalTeorema di riferimento. Si deve allora trovare una base a ventaglio conte-nente lautovettore.Notiamo quanto segue:

- se abbiamo una matrice di ordine 2 che ammette autospazio di dimen-sione 1 generato da un autovettore, allora aggiungendo a caso un secondovettore indipendente da questo, si ottiene sempre una base a ventaglio.

- se abbiamo una matrice di ordine 3 che ammette autospazio di dimen-sione 2 generato, ad es., da due autovettori linearmente indipendenti, alloraaggiungendo a caso un terzo vettore indipendente da questi, si ottiene sempreuna base a ventaglio.

- se abbiamo una matrice di ordine 4 che ammette autospazio di dimen-sione 3 generato da tre autovettori linearmente indipendenti, allora aggiun-gendo a caso un quarto xvettore indipendente da questi, si ottiene sempreuna base a ventaglio.

- etc.In questi casi quindi si procede come detto allinizio della nota.Poniamoci ora nel caso di una matrice di ordine 3 con autovalore , dimolteplicita` 3 con autospazio relativo V =< v1 > . Questo e` il caso delproblema 1:

- si consideri una qualunque base B = {v1, v2, v3} di C3 e sia M = MCB .In generale la matrice M1AM non e` triangolare superiore. E` facile vedereche si ha

M1AM = A =

0@ a12 a130 a22 a230 a32 a33

1APoniamo B = (M1AM)11 cio e` la matrice ottenuta da M1AM soppri-mendo la prima riga e la prima colonna.Proprieta` di B : essa ammette ancora lautovalore con molteplicita` 2 edautospazio di dimensione 1 generato, ad es., da w1 2 C2. Si consideri unabase B0 = {w1, w2} di C2. Posto N =MCB0 , per quanto sopra detto si ottieneche la matrice N1BN = T1 e` triangolare superiore (B0 e` base a ventaglio).

2

Consideriamo la matrice

C =

0@ 0 00 0

1Aove

= N

Allora, posto D=MC, questa e` la matrice che triangolarizza A : D1AD = Te` triangolare superiore. Da notare che T11 = T1.

Risolviamo il Problema 1, nel caso k = 1. La matrice da studiare e` allora

A =

0@ 1 3 10 1 00 1 1

1A .Questa ha autovalore = 1 d molteplicita` 3 con autospazio V =< (1, 0, 0) >.Consideriamo la base B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} di C3. Si ha

M =MBC =

0@ 1 0 10 1 10 1 0

1A M1 =MCB =0@ 1 1 10 0 1

0 1 1

1Ae poi

M1AM =

0@ 1 5 40 2 10 1 0

1A .Allora

B = (M1AM)11 =

2 11 0

.

Questultima matrice ha ancora come autovalore 1 con autospazio relativoV =< (1,1) >. Condsiderata la base B0 = {(1,1), (1, 0)}, si ha

N =MB0

C =

1 11 0

.

3

Allora

C =

0@ 1 0 00 1 10 1 0

1A ,mentre

D =MC =

0@ 1 1 00 0 10 1 1

1Ae

D1 =

0@ 1 1 10 1 10 1 o

1A .Infine

D1AD =

0@ 1 1 50 1 10 0 1

1A .

4


- 04.03.2013 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -Vedsi commenti al Problema 4

1. Diagonalizzare, se possibile, la matrice

A =

0@ 1 0 30 3 03 0 1

1Amediante una matrice unitaria.

2. Considerati il campo di Galois GF (9), scrivere le sue tavole di molti-plicazione e determinare un generatore del suo gruppo moltiplicativo.

3. Si consideri la permutazione di S8

=

1 2 3 4 5 6 7 84 3 1 2 7 5 8 6

.

Determinarne la parita`. Individuare poi una permutazione 2 S8 coniugatacon , esibendo la permutazione coniugante.

4. (facoltativo) Si consideri lapplicazione lineare

T :M22(R)!M22(R)definita da T (A) = AM NA, essendo

M =

2 11 2

, N =

0 00 1

.

Determinare gli autovalori di T e dire se essa e` diagonalizzabile.

1

Posto

A =

a11 a12a21 a22

si ha

T (A) =

2a11 + a12 a11 + 2a12a21 + a22 a21 + a22

Si consideri la base

B = {E11, E12, E21, E22}di M22(R). La matrice di T rispetto a questa base si ottiene come segue

- T (E11) = 2E11 + 1E12 + 0E21 + 0E22

- T (E12) = 1E11 + 1E12 + 0E21 + 0E22

- T (E21) = 0E11 + 0E12 + 1E21 + 1E22

- T (E22) = 0E11 + 0E12 + 1E21 + 1E22

Allora

MB(T ) =

0BB@2 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 1

1CCATale matrice ha autovalori 0, 1, 2, con lautovalore 2 di molteplicita pari a 2ed autospazio relativo di dimensine pari a 1. Allora lapplicazione T non ediagonalizzabile.

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- 12.04.2013 -


1. Determinare autovalori ed autospazi della matrice complessa

A =

0BB@0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1CCAe studiarne leventuale diagonalizzabil ta`.

2. Nel gruppo simmetrico S3 considerare il sottogruppo ciclico gene-rato dalla permutazione (123) e provare che esso e` normale. Descriverelintersezione A3\ < (123) > .

3. In GF (34) determinare linverso moltiplicativo dellelemento (2, 0, 0, 0)ed il prodotto

(2, 0, 0, 1) (0, 1, 0, 1).

Commenti:Es.1 : La matrice ammette 4 autovalori distinti di cui due reali e due com-plessi. Segue che essa non e` diagonalizzabile sul campo reale, ma lo e` sulcampo complesso. Il resto e` routine.

Es.2 : S3 ha ordine 3! = 6. E` abbastanza evidente che A3, che ha la meta`degli elementi di S3, coincide con < (123) >, essendo (123) permutazionepari.

Es.3 : lelemento (2, 0, 0, 0) corrisponde al polinomio costante 2 di Z3[t].Poiche` 2 2 = 1 in Z3, segue che (2, 0, 0, 0) (2, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0).

1

Si deve individuare un polinomio irriducibile di grado 4 di Z3[t]: quindi unpolinomio che non ammetta radici e che non sia il prodotto di due polinomiirriducibili di grado 2. Non e` molto laborioso scrivere tutti i polinomi disecondo grado di Z3[t] che non ammettono radici. Ad es.: considerato at2 +bt+ c, si puo` avere a = 1 oppure a = 2, lo stesso per b e c . . .

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- 13.06.2013 -


(Vedi commenti di seguito)

1. Determinare una base ortonormale del sottospazio V di R4 generatodai vettori

(1, 1, 1, 0), (4, 5, 1, 2), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1).

2. Nel campo di Galois GF (16), stabilire se lelemento (1, 0, 1, 0) e` ungeneratore del suo gruppo moltiplicativo.

3. In S7 si considerino le permutazioni

= (24)(76)(135) = (37)(65)(421).

Determinare la permutazione che le coniuga. Determinare < > \ < > .

-

ES.1. Da notare che V ha dimensione 3 e che il vettore (4, 5, 1, 2)dipende linearmente dagli altri tre. Si richiedeva di costruire solouna base ortonormale di V , non di R4.

ES.2. Con pochi conti si verifica che lunico polinomio irriducibiledi grado 2 su Z2[t] e` f(t) = t2 + t + 1 e che f(t)2 = t4 + t2 + 1.

1

Allora per trovare un polinomio irriducibile di grado 4 su Z2[t]basta prenderne uno privo di radici e diverso da quello sopra, ades., t4 + t+ 1.GF (16) ha ordine 15, quindi un suo elemento non identico puo`avere ordine 3 oppure 5 oppure essere un generatore. Nel caso inesame... Anche in questo caso i conti sono molto contenuti.

2


- 01.07.2013 -


1. Considerate le matrici

A =

0@ 3 1 01 3 01 1 2

1A , B =0@ 5 3 03 1 2

3 3 2

1A ,provare che esse non sono simili.

2. Considerato lo spazio C3 con il prodotto Hermitiano canonico, deter-minare una sua base ortonormale a partire dai vettori (1, 0, i), (i,2i, 1).

3. Si consideri le permutazion1 di S7

=

1 2 3 4 5 6 73 5 7 1 4 2 6

, =

1 2 3 4 5 6 72 3 6 1 7 4 5

,

calcolare 1 1 ed 2 3. Determinarne ordine e segno. Determinare poiil sottogruppo generato da

= 1 1 2 3.

1

Test di GEOMETRIA II

- 02.09.2013 -

- Corso di Laurea: Ingegneria Informatica ed Elettronica -

1. Considerata la matrice

A =

0@ 4 i ii 4 1i 1 4

1Adeterminare una matrice unitaria U 2M33(C) ed una matrice diagonale

D 2M33(R) tali che A = UDU1.

2. In S8 determinare il sottospazio T generato da , essendo

=

1 2 3 4 5 6 7 82 4 5 1 3 8 7 6

, =

1 2 3 4 5 6 7 87 3 8 5 6 4 1 2

Determinare ( )1 e verificare se T e` normale in S8.

4. Determinare un polinomio irriducibile di grado 5 in Z2[t]. Calcolare ilprodotto (0, 0, 1, 1, 1) (0, 1, 0, 1, 0) in GF (25).

1

Appello di GEOMETRIA II

- 16.09.2013 -


1. Diagonalizzare la matrice

A =

0@ 3 1 01 3 01 1 2

1Aesibendo la matrice diagonalizzante.

2. Considerato il sottospazio

V = {(x+ y + z, x+ z, x+ y, y + z) : x, y, z 2 R}di R4, determinarne una base ortonormale.

3. In GF (33) determinare lordine dellelemento (1, 2, 1).

1

Test di GEOMETRIA II

- 19.12.2013 -


1. Considerata la matrice

A =

0@p32 0

12

0 i 012 0

p32

1AProvare che essa e` unitaria, che i suoi autovalori hanno modulo unitario e chei suoi autovettori costituiscono una base ortogonale di C3. Diagonalizzarlaper mezzo di una matrice unitaria.

2. In S8 siano date le permutazioni

=

1 2 3 4 5 6 7 81 6 2 5 7 8 4 3

, =

1 2 3 4 5 6 7 84 3 6 5 7 2 1 8

.

Dopo aver verificato che esse sono coniugate, determinare la permutazioneconiugante. Determinare inoltre il sottogruppo generate da ( )1.

3. Determinare in GF (24) il periodo di (1, 0, 1, 0). Calcolare inoltre ilprodotto (1, 0, 1, 0)(1,0,1,1).

4. In R3 si consideri il vettore v = (2,1, 3). Si calcoli < v >? e se nedetermini una base ortonormale.

1

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