Prova Scritta di

GEOMETRIA II

- Appello del 03.02.2011 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -

1. Sia A = R,C e sia L : A2 ! A2 lapplicazione lineare definita dallalegge L(x, y) = (x+2y,x y). Provare che L non ammette autovettori nelcaso A = R. Determinare invece gli autovettori di L per A = C e nel casodiagonalizzarla.

2. In R3 si consideri la base E = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Determinareil prodotto scalare su R3 rispetto al quale E e` una base ortonormale.Calcolare il prodotto (2,1, 1) (1, 0,3).Poniamo v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1). Poiche` essi formano unabase ortonormale rispetto a , si deve avere:- v1 v2 = v1 v3 = v2 v3 = 0,- v1 v1 = v2 v2 = v3 v3 = 1.se u,w sono due vettori di R3 e

u = x1v1 + x2v2 + x3v3,

w = y1v1 + y2v2 + y3v3,

si ha di conseguenza:

u w = x1y1 + x2y2 + x3y3.Si ha poi:

(2,1, 1) = 0v1 + 2v2 1v3

1

(1, 0,3) = 4v1 3v2 4v3pertanto (2,1, 1) (1, 0,3) = 6 + 4 = 2.

3. Considerate le permutazioni , 2 S7 = (13)(467), = (257)(46),

determinare < > \ < >. Mostrare inoltre che le due permutazioni sonoconiugate.E` facile verificare che < > \ < >= id.Consideriamo poi la permutazione

= (14)(36)(42)(65) = (124)(356)

con1 = (142)(365).

Allora segue 1 = .

4. [Facoltativo] Provare che non esistono permutazioni 2 S7 tali che1 (1356) = (231).

E` facile provare che se : G ! G e` un automorfismo di gruppi, allora, perogni g 2 G si ha ord(g) = ord((g)). Cio` dipende dal fatto che (gm) =(g)m. Essendo il coniugio 1 () : S6 ! S6 un automorfismo, segueche 1 (1356) deve avere ordine ( o periodo) 4.

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Prova Scritta di

GEOMETRIA II

- Appello del 16.06.2011 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -

1. Discutere la diagonalizzabilita` della matrice

M =

1 11 1

.

Detto un autovalore di M e v un autovettore relativo, verificare che

Mv = v.

2. Considerata la permutazione

= (156)(24)(16) 2 S6,calcolare 8 e 1. Dire se e` coniugata a = (123).

3. Considerato GF (9), determinare un generatore del suo gruppo molti-plicativo.

1

Prova Scritta di

GEOMETRIA II

- Appello del 11.07.2011 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -

1. Mostrare che la matrice

M =

0@ 1 1 00 1 01 2 3

1A .non e` diagonalizzabile. Se possibile triangolarizzarla.

2. Sia A una matrice quadrata reale o complessa e sia tA la sua trasposta.Mostrare che A ed tA hanno gli stessi autovalori. Mostrare poi con un con-troesempio che esse non hanno in generale gli stessi autovettori.

3. A partire dalla base {(1, 0, 1), (1, 0, 0), (2, 1, 0)} costruire una baseortonormale di R3.

4. Considerata la permutazione

=

1 2 3 4 5 6 7 8 92 3 4 1 6 5 8 9 7

,

determinarne il segno ed il periodo.

1

Prova Scritta di

GEOMETRIA II

- Appello del 31.08.2011 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -

1. Verificare che la matrice

M =

0@ 1 0 00 1 01 0 3

1A .e` diagonalizzabile in R e determinare la matrice diagonalizzante.

2. In R4 sia V il sottospazio generato dai vettori

v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1).

Determinare una base ortonormale per V .

3. Sia F la forma bilineare su R3 associata alla matrice

M =

0@ 2 0 11 0 11 0 1

1A .Determinare la forma quadratica associata ad F .

4. Considerate la permutazioni di S8

=

1 2 3 4 5 6 7 82 4 1 3 7 5 6 8

, =

1 2 3 4 5 6 7 88 2 4 1 3 7 6 6

determinarne la struttura in cicli, il periodo ed il segno di e .

1

Prova Scritta di

GEOMETRIA II

- 15.12.2011 -

- Corso di Laurea Ingegneria Informatica ed Elettronica -

1. Sia L : R3 ! R3 lendomorfismo definito dalle seguenti relazioni:L(1, 1, 1) = (2, 1, 0),

L(2, 0,1) = (1, 0, 3),L(1, 2, 3) = (4, 2,2).Mostrare che L e` unapplicazione simmetrica e determinare una base ortonor-male di R3 costituita da autovettori di di L.

2. Verificare se lelemento (1, 0, 1, 1) e` un generatore del gruppo molti-plicativo GF (24).

3. Considerate la permutazioni di S8

=

1 2 3 4 5 6 7 82 5 6 7 3 4 8 1

, =

1 2 3 4 5 6 7 84 3 7 1 6 5 2 8

,

determinare

1. la struttura in cicli, il periodo ed il segno di , e ,2. 1,3. se esiste 2 S8 tale che 1 = .

1