CORSO DI TOPOGRAFIA A - A.A. 2006-2007 ESERCITAZIONI - 09.05.06

ESERCIZI DI GEODESIA ESERCIZIO 1 Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali nel Polo Nord dell' ellissoide di Hayford. 1) Sezioni Normali Principali dell'ellissoide: MERIDIANO e PRIMO VERTICALE 2) Raggio di curvatura del meridiano : ρ (da valutare al Polo Nord). e2

hayford = 0,00672267002233 ahayford = 6378388 m e2 = e2

hayford; a = ahayford;

ϕ221 seneW ⋅−=

( )3

21W

ea −⋅=ρ

Al polo: ϕ = 90°

996633,0=poloNordW

mpoloNord 608,6399936=ρ

Al polo, ρpolo nord = 6399936.608 m

Esso coincide con il raggio di curvatura polare, definito come c

a 2

,

infatti:

( )

( ) ca

eaa

ea

e

eapoloNord

2

2

2

232

2

111

1=

−⋅=

−=

−

−⋅=ρ

3) Raggio di curvatura del primo verticale : Gran Normale N (da valutare al Polo Nord).

m 86399936,60==WaN

Al polo,ρ polo nord = Npolo nord= 6399936.608 m.

ESERCIZIO 2 Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali in un punto situato sull'equatore dell'ellissoide WGS84. Per l'ellissoide WGS84 si hanno i seguenti parametri : e2

WGS84 = 0,006694379990 aWGS84 = 6378137 m

( )( )

msene

ea

WGS

WGSWGSWGS 327,6335439

1

13

2284

28484

84 =⋅−

−⋅=

ϕρ

msene

aN

WGS

WGSWGS 6378137

1 2284

8484 =

⋅−=

ϕ

All'equatore WGS84, ρequatore = 6335439,327 m e Nequatore = 6378137 m = aequatore.

ESERCIZIO 3 Sull’ellissoide di Hayford, in un punto P di latitudine ϕ = 43°8’34,653” N, calcolare: - il raggio di curvatura del meridiano - la gran normale - il raggio del parallelo - il raggio della sfera locale - il raggio di curvatura di una geodetica uscente da P con azimut aP = 335°14’45,6” 1) Latitudine di P: ϕP = 43°8’34,653” N (gradi sessagesimali: Degrees

Minutes Seconds, DMS)

In gradi sessadecimali (Decimal Degrees, DEG)? In radianti (Radiants, RAD)? ϕPdeg = 43 + 8/60 + 34.653/3600 = 43.1429592

ϕP = 43.1429592 DEG

πϕ

ϕ ⋅= °180 Pdeg

Prad

ϕP = 0.752986687 RAD 2) Raggio di curvatura del meridiano ρP :

pP seneW ϕ221 ⋅−=

( ) mW

ea

PP 442,63655001

3

2

=−⋅

=ρ

Nel punto P, ρP = 6365500,442 m.

3) Gran Normale NP :

mWaN

PP 236,6388437==

Nel punto P, NP = 6388437,236 m. 4) Il raggio del parallelo rP :

mNr PP 742,4661321cos =⋅= ϕ Nel punto P, rP = 4661321.742 m. 5) Il raggio della sfera locale RP :

mNR PPP 527,6376958=⋅= ρ Nel punto P, RP = 6376958.527 m. 6) Il raggio di curvatura Rα di una geodetica uscente da P con azimut αP = 335°14’45,6”:

mN

senRPP

014,6369510cos122

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−α

ρα

α

ESERCIZIO 4 Una geodetica sull’ellissoide WGS84 presenta un azimut αQ = 56°18’33” in un punto Q avente latitudine ϕQ = 35°58’14.8” N. Determinare l’azimut α̂ che assume la geodetica quando attraversa il parallelo alla latitudine ϕ̂ = 40°. Applichiamo il teorema di Clairaut, r sen α = cost. quindi r1 sen α1 = r2 sen α2

αα ˆˆ senrsenr QQ ⋅=⋅

rQ è il raggio del parallelo in Q:

QQ seneW ϕ221 ⋅−=

mWaN

QQ 271,6385515==

mNr QQQ 979,5167903cos =⋅= ϕ

r̂ è il raggio del parallelo in ϕ̂ :

ϕ̂1ˆ 22 seneW ⋅−=

mWaN 166,6386976ˆ

ˆ ==

mNr 600,4892707ˆcosˆˆ =⋅= ϕ

Pertanto:

Nr

senrarcsen QQ "8276,10'306150300765,61

ˆˆ °==

⋅=

αα

ESERCIZIO 5 Le coordinate geodetiche di un punto T situato a Torino, riferite all’ellissoide WGS84, sono: ϕ = 45° 03’ 48”,1186 λ = 7° 39’ 40”,6046 h = 310,764 m I parametri dell’ellissoide WGS84 sono: a = 6378137 m a = 1/298,257223563 schiacciamento = (a-c)/a e2 = 0,006694379990 eccentricità = (a2-c2)/a2

1) Determinare le coordinate cartesiane geocentriche. Le coordinate cartesiane geocentriche sono espresse dalle equazioni parametriche dell'ellissoide, ottenute a loro volta dalla proiezione sugli assi X e Y dell'equazione parametrica dell'ellisse meridiana in r, e dall'equazione parametrica in Z, tutte opportunamente corrette della quota ellissoidica h. Esse valgono:

( )( )

( )( ) ( )( ) ϕϕ

λϕλλϕλ

senheNW

senheaZ

senhNsenrYhNrX

⋅+−⋅=⋅+−⋅

=

⋅⋅+=⋅=⋅⋅+=⋅=

22

11cos

coscoscos

Nel caso del punto T :

msene

aN

TWGS

WGST 020,6388862

1 2284

84 =⋅−

=ϕ

( )( )

( )( ) msenheNZ

msenhNYmhNX

TTTTT

TTTTT

TTTTT

119,44925451

185,601634cos488,4472544coscos

2 =⋅+−⋅=

=⋅⋅+==⋅⋅+=

ϕ

λϕλϕ

2) Partendo dalle coordinate cartesiane calcolate al punto precedente, rideterminare le coordinate geografiche mediante il procedimento di Bencini:

2T

2T YXR += = (distanza dell'asse polare)

2

T0

e1R

Zarctan

−⋅=ϑ (valore di prima approssimazione della latitudine

ridotta)

02

02

0022T

cose)tan(1aR

tanaRsenee1

aZ

ϑϑ

ϑϑϑδ

⋅−+⋅

⋅−⋅+−⋅= (correzione da apportare al valore ϑ0)

ϑ ϑ δ ϑ= +0 (valore corretto di seconda approssimazione della latitudine ridotta) Prima Iterazione R = 4512828,148 m

0ϑ = 0,784825057 rad

ϑδ = -1,6390157 E-07 rad

ϑ ϑ δ ϑ= +0 = 0,784824893 rad Seconda Iterazione R = 4512828,148 m

ϑϑ =0 = 0,784824893 rad

ϑδ = -2,695298 E-14 rad ϑ ϑ δ ϑ= +0 = 0,784824893 rad Il procedimento termina in quanto il valore di ϑ si è stabilizzato.

Determinato ϑ possiamo ora calcolare le coordinate geografiche:

T

T

YXarctan=λ = 1,437081782 rad = 45,06336628 DEG = 45° 03’

48”,1186 DMS

ϕ ϑ=

−arctan tan

1 e2= 0,786504114 rad = 7,661279056 DEG = 7° 39’

40”,6046 DMS

( )2T e1NsenZ

h −⋅−=ϕ

= 310,764 m

2) Il vertice IGM del 1° ordine “SUPERGA” (asse cupola) ha le seguenti coordinate geografiche (riferiteall’ellissoide internazionale): ϕSuperga = 45° 04’ 48”.308 λSuperga = - 4° 41’ 03”.307 Calcolare nel vertice IGM:

• i raggi principali di curvatura ( ρ N) • il raggio R della sfera locale • il raggio del parallelo

I parametri dell’ellissoide internazionale di Hayford sono: a = 6378388 m e2 = 0,006722670022

msene

aN

ergaHayford

Hayforderga 17,6389165

1 sup22sup =

⋅−=

ϕ

( )

( )m

sene

ea

ergaHayford

HayfordHayforderga 65,6367676

1

13

sup22

2

sup =⋅−

−⋅=

ϕρ

mNR ergaergaerga 861,6378411supsupsup =⋅= ρ

mNr ergaergaerga 791,4511502cos supsupsup =⋅= ϕ