Esercizi svolti di Teoria dei Segnali

Enrico Magli, Letizia Lo Presti, Gabriella Olmo, Gabriella Povero

Versione 1.0

Prefazione

A partire dall’anno accademico 2005/2006 viene fornita agli studenti deicorsi di Teoria dei Segnali del Politecnico di Torino questa dispensa peraiutarli nella preparazione dell’esame. La dispensa contiene un campionariodi esercizi svolti che coprono la maggior parte del programma, e contengonoalcuni dei metodi di soluzione piu tipici per diverse classi di esercizi.

Come in ogni raccolta di esercizi svolti, dato l’elevato numero di formulee inevitabile che siano presenti degli errori. Al fine di migliorare la qualitadelle edizioni successive di questa dispensa, si prega di segnalare eventualierrori inviando un’e-mail a enrico.magli@polito.it.

Gli autori ringraziano Pietro Macchi per l’aiuto nella stesura della ver-sione preliminare di questa dispensa.

Sommario

Unita 1 21.1 Calcolo di energia e potenza media di un segnale . . . . . . . 21.2 Sviluppi in serie di Fourier e trasformate di Fourier . . . . . . 5

Unita 2 112.1 Studio di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Dimostrazione di linearita e invarianza temporale . . . . . . . 14

Unita 3 163.1 Segnali a potenza media finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Filtraggio di segnali periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Unita 4 234.1 Densita di probabilita, valore atteso e funzione di autocorre-

lazione di processi casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Processi casuali filtrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

Unita 1

1.1 Calcolo di energia e potenza media di un seg-nale

Esercizio 1

Calcolare l’energia del segnale

x(t) = e−Kt cos(2πf0t)u(t)

con K > 0.

SoluzioneCome in molti altri casi, anche in questo semplice esercizio la soluzione si

puo trovare calcolando l’energia sia nel dominio del tempo che nel dominiodella frequenza. Procediamo per esempio nel dominio del tempo:

Ex =∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt

Ex =∫ +∞

0

∣∣e−Kt cos(2πf0t)∣∣2 dt =

∫ +∞

0e−2Kt cos2(2πf0t)dt

Ricordando la formula di duplicazione del coseno si ottiene

Ex =12

∫ +∞

0e−2Ktdt +

12

∫ +∞

0e−2Kt cos(4πf0t)dt

Al secondo termine conviene applicare la formula di Eulero ed esprimere ilcoseno come somma di esponenziali complessi:

Ex = − 14K

e−2Kt∣∣∞0

+12

∫ +∞

0e−2Kt

(ej4πf0t + e−j4πf0t

2

)dt

2

Ex =1

4K+

14

∫ +∞

0e−2(K−j2πf0)tdt +

14

∫ +∞

0e−2(K+j2πf0)tdt

Ex =1

4K+

14

[( −12(K − j2πfo)

e−2(K−j2πf0)tdt

∣∣∣∣∞

0

+( −1

2(K + j2πfo)e−2(K+j2πf0)tdt

∣∣∣∣∞

0

]

Ex =1

4K+

14

[1

2(K − j2πf0)+

12(K + j2πfo)

]=

14K

+14

2K

2(K2 + 4π2f20 )

Ex =1

4K

[1 +

K2

K2 + 4π2f20

]

3

Esercizio 2

Calcolare la potenza media del segnale

x(t) =∞∑

n=−∞p(t− nT )

dove p(t) e riportato in Fig. 1.1.

A

-A

0 T t

p(t)

2

T

Figura 1.1

Soluzionex(t) e periodico di periodo T . Quindi, indicando con Ep l’energia del

segnale p(t) in un periodo, si ottiene

Px =Ep

T=

1T

∫ T

0|p(t)|2 dt

Px =1T

∫ T

0A2dt = A2

4

1.2 Sviluppi in serie di Fourier e trasformate diFourier

Esercizio 3

Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier del segnale, definito nell’intervallo[−T2 , T

2

]

x(t) ={

Ae2πτ

t t ∈ [− τ2 , τ

2

]0 altrove

SoluzioneE necessario calcolare i coefficienti µn dello sviluppo in serie di Fourier

applicando la definizione. Si ottiene

µn =1T

∫ T2

−T2

x(t)ej 2πT

nT dt =A

T

∫ T2

−T2

ej2π( tτ− n

T )tdt

µn =A

T

1j2π

(1τ − n

T

)[ej2π( t

τ− n

T ) τ2 − e−j2π ( t

τ− n

T ) τ2

]

=A

T

sin[πτ

(1τ − n

T

)]

π(

1τ − n

T

) =Aτ

T

sin[πτ

(1τ − n

T

)]

πτ(

1τ − n

T

)

µn =Aτ

T

sin[π

(1− nτ

T

)]

π(1− nτ

T

) =Aτ

Tsinc

(1− nτ

T

)

Si noti che, per certi valori di τ , alcuni dei coefficienti µn potrebberodiventare nulli. Per esempio, prendendo τ = T/2, si ottiene

µn =Aτ

Tsinc

(1− n

2

)

e quindi µn = 0 per n pari e diverso da 2.

5

Esercizio 4

Determinare lo spettro del segnale x(t) rappresentato in Fig. 1.2, usandoopportunamente le proprieta della trasformata di Fourier.

x(t)

tτ+Tτ

A

A/2

τ+(3/2)T

Figura 1.2

SoluzionePossiamo scrivere il segnale x(t) come somma di due contributi:

x(t) = x1(t) + x2(t)

La scomposizione si puo fare in modi diversi, si veda p.es. la Fig. 1.3. Nelseguito scriviamo il segnale seguendo l’esempio B come

x(t) = ApT (t− (T + τ/2)) +A

2pT/2 (t− (τ + 5T/4))

Quindi per linearita si ottiene la trasformata di Fourier

X(f) = X1(f) + X2(f)

X1(f) = Asin (πfT )

πfe−j2πf(T

2+τ)

X2(f) =A

2sin

(πf T

2

)

πfe−j2πf( 5

4T+τ)

Utilizzando alcune proprieta trigonometriche si puo scrivere X(f) in modopiu elegante:

X(f) = Asin (πfT )

πfe−jπfT e−j2πfτ +

A

2sin

(πf T

2

)

πfe−jπf 5

2T e−j2πfτ =

=AT

πfTe−j2πfτ

{2 sin

(πf

T

2

)cos

(πf

T

2

)e−jπfT +

12

sin(

πfT

2

)e−jπf 5

2T

}=

=AT

2πf T2

e−j2πfτ sin(

πfT

2

){2 cos

(πf

T

2

)e−jπfT +

12e−jπf 5

2T

}

6

B

A

A/2

A

A/2

A

A/2

A

t

t

t

x1(t) x1(t)

x2(t)x2(t)

τ

τ

ττ+Τ

τ+3/2Τ

τ+Τ

τ+Τ τ+3/2Τ t

A

A/2

Figura 1.3

X(f) =AT

2sin

(πf T

2

)

πf T2

e−j2πf(τ+T2 )

{2 cos

(πf

T

2

)+

12e−jπf 3

2T

}

7

Esercizio 5

Si considerino i due segnali

x(t) = e−ktu(t)

y(t) = x(t) ∗ sin(θt)πt

dove “∗” denota il prodotto di convoluzione. Si determini la relazione chedeve intercorrere tra le costanti k e θ affinche l’energia di y(t) sia pari allameta dell’energia di x(t).

Soluzione

x(t) = e−ktu(t)

L’energia di x(t) si puo calcolare facilmente nel dominio del tempo:

Ex =∫ ∞

0

∣∣∣e−kt∣∣∣2dt =

∫ ∞

0e−2ktdt =

12k

Per calcolare l’energia di y(t) e opportuno lavorare nel dominio della fre-quenza, dove il prodotto di convoluzione viene trasformato in un prodottosemplice. (Per semplicita indichiamo con F la trasformazione di Fourier diuna funzione del tempo).

y(t) = x(t) ∗ sin(θt)πt

Y (f) = X(f)F{

sin(θt)πt

}=

1k + j2πf

p θπ(f)

dove per il calcolo di F{

sin(θt)πt

}si e utilizzata la proprieta di dualita.

Ey =∫ +∞

−∞|Y (f)|2 df =

∫ θ2π

− θ2π

∣∣∣∣1

k + j2πf

∣∣∣∣2

df

= 2∫ θ

2π

0

1k2 + 4π2f2

df

=2

k2πarctan

(2π

kf

)∣∣∣∣θ2π

0

Imponiamo ora la condizione richiesta dall’esercizio.

Ey =1kπ

arctanθ

k

8

Ey =12Ex

1kπ

arctan(

θ

k

)=

12

12k

→ arctanθ

k=

π

4→ θ

k= tan

π

4= 1

Quindi la soluzione e

θ = k k 6= 0

9

Esercizio 6

Si consideri il segnale

x(t) = a(t− T )ej2πf0t

dove

a(t) =sin πt

T

πt

e f0 = kT con k una costante strettamente positiva.

• Calcolare lo spettro di ampiezza di x(t)

• Calcolare l’energia di x(t)

SoluzioneIl segnale x(t) si puo scrivere come

x(t) = a(t− T )ej2πf0t = y(t)ej2πf0t

dove si e posto y(t) = a(t− T ). Per la proprieta di traslazione in frequenzala X(f) vale

X(f) = Y (f − f0)

A sua volta, per la proprieta di traslazione nel tempo, la Y (f) vale

Y (f) = A(f)e−j2πfT

e quindi lo spettro del segnale x(t) si puo scrivere come

X(f) = A(f − f0)e−j2πfT ej2πf0T

Ponendo f0 = kT si ottiene

X(f) = A(f − f0)e−j2πfT ej2πk = A(f − f0)e−j2πfT

Inoltre la trasformata di Fourier di a(t) si puo calcolare facilmente graziealla proprieta di dualita, che permette di stabilire che la trasformata di unafunzione di tipo sinc e una porta:

A(f) = p 1T(f)

A questo punto e banale calcolare l’energia di x(t) nel dominio della fre-quenza sfruttando l’uguaglianza di Parseval, ricordando che il modulo quadrodi un esponenziale complesso vale sempre 1:

Ex =∫ +∞

−∞|X(f)|2 df =

1T

10

Unita 2

2.1 Studio di sistemi LTI

Esercizio 7

Un sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) rettangolare, causale, diampiezza unitaria e durata T . L’ingresso vale

x(t) = sin (2πf0t)

Si denoti come y(t) l’uscita del sistema. Determinare per quali valori di f0

l’uscita e identicamente nulla: y(t) = 0 ∀t.

SoluzioneLa risposta all’impulso del sistema si puo scrivere come h(t) = pT (t −

T/2), dove pT (t) e una porta di ampiezza unitaria e durata T , con supportonell’intervallo

(−T2 , T

2

). La trasformata di Fourier di h(t) e molto facile da

calcolare; inoltre la trasformata di x(t) sara formata da delta di Dirac, dalmomento che x(t) e periodico. Queste considerazioni ci fanno propendereper una soluzione nel dominio della frequenza. In particolare la funzione ditrasferimento vale

H(f) =sin(πft)

πfe−jπf

X(f) =12j

[δ (f − f0)− δ (f + f0)]

Y (f) = X(f)H(f)

La condizione Y (f) = 0 e verificata se le delta di Dirac nello spettro di X(f)cadono in corrispondenza degli zeri di H(f), cioe per f0 = k

T k = 1, 2...

11

Esercizio 8

Si consideri lo schema in Fig. 2.1, dove φ e f0 sono costanti, e x(t) e unsegnale strettamente limitato in banda: X(f) = 0 per |f | > B.

Xx(t) cos(2πf0t)

cos(2πf0t+φ)

f-B B

1

0

H(f)y(t)z(t)

Figura 2.1

Si supponga f0 = 10B.

• Ricavare un’espressione analitica per y(t).

• E’ possibile trovare un valore di φ affinche y(t) = 0 ∀t ?

SoluzioneScriviamo esplicitamente il segnale z(t), applichiamo le formule di Werner,

e quindi quelle di Eulero:

z(t) = x(t) cos (2πf0t) cos (2πf0t + φ)

=12x(t) [cos(φ) + cos (4πf0t + φ)]

=12x(t) cos(φ) +

14x(t)ej(4πf0t+φ) +

14x(t)e−j(4πf0t+φ)

A questo punto si puo calcolare facilmente la sua trasformata di Fourier.

Z(f) =12

cosφX(f) +14ejφX (f − 2fo) +

14e−jφX (f + 2fo)

Come si puo notare, questa trasformata contiene tre termini, ovvero lo spet-tro originale X(f) e due sue versioni traslate. Ci chiediamo come questospettro venga modificato passando attraverso il sistema LTI, ed in partico-lare se alcuni di questi termini vengano cancellati. Cio si puo determinarepiu facilmente per via grafica, facendo un disegno qualitativo, come in Fig.2.2, della trasformata di Fourier Z(f) e della funzione di trasferimento H(f),e disegnando quindi lo spettro del segnale di uscita Y (f).

12

~ X(f)

f

f

f

Z(f)

H(f)

Y(f)

~ X(f)

−B B 2f0−2f0

−B B

Figura 2.2

In particolare, si noti che per f0 = 10B non si ha sovrapposizione infrequenza dei tre termini; inoltre il filtro passabasso ideale cancella le duerepliche intorno alle frequenze ±f0. Quindi lo spettro del segnale di uscitavale Y (f) = Z(f)H(f) = 1

2 cosφX(f), e il segnale nel dominio del tempo sipuo scrivere come

y(t) =12

cos(φ)x(t)

Cerchiamo i valori di φ tali per cui y(t) = 0 ∀t. La condizione da imporree quindi cos(φ) = 0, che a sua volta implica φ = (2k + 1)π

2 .

13

2.2 Dimostrazione di linearita e invarianza tempo-rale

Esercizio 9

L’uscita di un sistema e legata all’ingresso x(t) dalla relazione:

y(t) =∫ t

t−1x(τ)dτ + x(t− 2)

• Dimostrare che il sistema e lineare e tempo-invariante.

• Calcolare la risposta all’impulso e la funzione di trasferimento.

SoluzionePer la linearita dobbiamo verificare che l’uscita z1(t), quando l’ingresso

e una combinazione lineare di segnali, e pari alla combinazione lineare delleuscite ai singoli segnali:

z1(t) =∫ t

t−1[a1x1(τ) + a2x2(τ)] dτ + a1x1(t− 2) + a2x2(t− 2) =

= a1

[∫ t

t−1x1 (τ) dτ + x1(t− 2)

]+ a2

[∫ t

t−1x2 (τ) dτ + x2(t− 2)

]=

= a1y1(t) + a2y2(t)

Per la tempo-invarianza dobbiamo verificare che l’uscita z2(t) ad un in-gresso ritardato sia pari all’uscita, ritardata della stessa quantita, corrispon-dente all’ingresso non ritardato:

y(t− T ) =∫ t−T

t−T−1x(τ)dτ + x(t− T − 2)

z2(t) =∫ t

t−1x(τ − T )dτ + x(t− T − 2)

Ponendo τ − T = θ

z2(t) =∫ t−T

t−T−1x(θ)d(θ) + x(t− T − 2) = y(t− T )

Quindi si puo osservare che il sistema e lineare e tempo-invariante.La risposta all’impulso si ottiene imponento che l’ingresso sia una delta di

Dirac, x(t) = δ(t), e calcolando l’uscita. Questo calcolo e spesso abbastanzasemplice, perche si possono sfruttare le proprieta delle delta sotto l’operatore

14

di integrale. In questo caso specifico si noti che l’integrale non e tra −∞e ∞, quindi occorre renderlo tale moltiplicando la funzione integranda peruna porta.

h(t) =∫ t

t−1δ(θ)dθ + δ(t− 2) =

∫ +∞

−∞δ(θ)p1

[θ −

(t− 1

2

)]dθ + δ(t− 2) =

= p1

(t− 1

2

)+ δ(t− 2)

A questo punto e semplice ricavare la funzione di trasferimento:

H(f) = F {h(t)} =sin

(2πf 1

2

)

πfe−j2πf 1

2 + e−j2πf2 =sin(πf)

πfe−jπf + e−j4πf

15

Unita 3

3.1 Segnali a potenza media finita

Esercizio 10

Un impulso ideale δ(t) e inviato all’ingresso del sistema rappresentato inFig. 3.1.

• Calcolare l’energia e la potenza media di y1(t) e y2(t).

• Calcolare (se esistono) gli spettri di energia di y1(t) e y2(t).

• Dire se il sistema racchiuso nel riquadro tratteggiato e lineare e/otempo-invariante.

δ(t) 11+j2πf

ej2πft

A ej2πft

y1(t)

y2(t)

Figura 3.1

SoluzioneDalle tavole della trasformate di Fourier si ottiene che

H(f) =1

1 + j2πf−→ h(t) = u(t)e−t

16

Quindi il segnale x1(t) si ottiene come

x1(t) = δ(t) ∗ h(t) = u(t)e−t

A loro volta y1(t) e y2(t) valgono

y1(t) = u(t)e−tej2πfot

y2(t) =[A + u(t)e−t

]ej2πfot

L’energia di y1(t) si calcola facilmente usando la definizione nel dominio deltempo. y1(t) e quindi un segnale ad energia finita.

Ey1 =∫ +∞

−∞|y1(t)|2 dt =

∫ ∞

0

∣∣∣e−tej2πf0t∣∣∣2dt =

∫ ∞

0e−2tdt =

∣∣∣∣−12e−2t

∣∣∣∣∞

0

=12

Il calcolo dell’energia di y2(t) mostra che l’integrale diverge, quindi il segnalee ad energia infinita. Per questo segnale non ha quindi senso calcolare unospettro di energia.

Ey2 =∫ +∞

−∞|y2(t)|2 dt =

∫ +∞

−∞

[A + u(t)e−t

]2dt −→∞

Il calcolo della potenza media di y1(t) da zero. Questo era prevedibile, dalmomento che un segnale a energia finita ha necessariamente potenza medianulla.

Calcoliamo quindi la potenza media di y2(t). L’integrale si puo calcolareindifferentemente negli intervalli [−T/2, T/2] e [0, T ].

Py2 = limt→∞

1T

∫ T

0|y2(t)|2 dt

= limt→∞

1T

∫ T

0

[A + u(t)e−t

]2dt

= limt→∞

1T

∫ T

0

[A2 + 2Au(t)e−t + u(t)e−2t

]dt

= limt→∞

{A2 +

2A

T

∫ T

0e−tdt +

1T

∫ T

0e−2tdt

}

= limt→∞

{A2 +

2A

T

(1− e−T

)+

1T

(1− e−2T

)}= A2

Lo spettro di energia di y1(t) vale

Sy1(f) = |Y1(f)|2 =∣∣∣∣

11 + j2π (f − f0)

∣∣∣∣2

=1

1 + 4π2 (f − f0)2

17

Verifichiamo la linearita e tempo invarianza del sistema nel riquadro.Applichiamo la notazione compatta L[x] per indicare l’uscita del sistemaquando il segnale di ingresso e X(t). Per quanto riguarda la linearita:

L {a1x1 + a2x2} = A + [a1x1(t) + a2x2(t)] ej2πf0t

L {x1} = [A + x1(t)] ej2πf0t

L {x2} = [A + x2(t)] ej2πf0t

L {a1x1 + a2x2} 6= a1L {x1}+ a2L {x2}Quindi il sistema non e lineare. Per la tempo-invarianza:

L {x(t− θ)} = [A + x(t− θ)] ej2πf0t

y (t− θ) = [A + x(t− θ)] ej2πf0(t−θ)

Pertanto il sistema non e neanche tempo-invariante.

18

3.2 Filtraggio di segnali periodici

Esercizio 11

Si consideri il segnale periodico x(t) rappresentato in Fig. 3.2. Tale seg-nale viene filtrato con un filtro la cui risposta all’impulso h(t) e rettangolare,causale, di ampiezza unitaria e durata T .

x(t)

t-T

1

T TT2

32

T2

- 0

Figura 3.2

Calcolare:

• Lo spettro di potenza del segnale filtrato y(t).

• La potenza media del segnale filtrato y(t).

• Una espressione analitica per y(t).

Soluzionex(t) e periodico, quindi il suo spettro di potenza e Gx(f) =

∑+∞n=−∞ |µ2

n|δ(f−n/T ). I coefficienti µn, che determinano univocamente lo spettro di potenza,si possono ottenere dalla trasformata di Fourier del segnale XT (t) consider-ato nel periodo fondamentale, ovvero xT (t) = pT/2

(t− T

4

).

Qx(f) =+∞∑

n=−∞

∣∣∣∣1T

XT

( n

T

)∣∣∣∣2

δ(f − n

T

)

XT (f) =sin

(πf T

2

)

πfe−j2πf T

4

=T

2sin

(π2 fT

)π2 fT

e−jπf T2

µn =1T

XT

( n

T

)=

12

sin(nπ

2

)

nπ2

e−jn π2

=

12 per n = 00 per n parivd. seguito perndispari

19

µ2n+1 =12

sin((2n + 1)π

2

)

(2n + 1) π2

[cos

((2n + 1)

π

2

)− j sin

((2n + 1)

π

2

)]=

= −j12

sin2 (2n + 1) π2

(2n + 1) π2

=1

jπ (2n + 1)

µn =

12 per n = 00 per n pari

1jπn per n dispari

µ2n =

14 per n = 00 per n pari

1π2n2 per ndispari

Lo spettro di potenza del segnale all’uscita del filtro si ottiene come

Gy(f) = Gx(f) |H(f)|2 = |µ0|2T 2δ(f) =T 2

4δ(f)

Infatti tutte le altre delta di Dirac nello spettro di potenza Gy(f) vengonoposte a zero dagli zeri di |H(f)|2 (di cui abbiamo omesso il calcolo). Il calcolodella potenza risulta quindi banale:

Py =T 2

4Il calcolo di un espressione per il segnale y(t) e abbastanza semplice. Vistoche il segnale di ingresso e periodico, il segnale di uscita y(t) deve essereanch’esso periodico (eventualmente una costante, o pari a zero). La densitaspettrale di potenza Gy(f) ci dice che y(t) e una costante diversa da zero,in quanto il contributo alla frequenza zero e non nullo. Ci rimane da sta-bilire il segno (si ricordi che i coefficienti nello spettro di potenza sono inmodulo quadro, quindi y(t) potrebbe anche essere una costante negativa).Guardando la Fig. 3.2 e evidente che il valore medio di x(t) e positivo, eanche la H(0) e positiva, da cui si deduce che y(t) =

√T 2/4 = +T/2

20

3.3 Campionamento

Esercizio 12

Il segnale

x(t) = 20 + 20 sin(500t +

π

6

)

deve essere campionato e ricostruito esattamente dai suoi campioni

• quale e il massimo intervallo ammissibile tra due campioni?

• quale e il numero minimo di campioni necessari per ricostruire 1 s disegnale?

SoluzioneCome quasi sempre avviene, gli esercizi sul campionamento richiedono

di lavorare nel dominio della frequenza per calcolare la banda unilatera delsegnale da campionare. Lo spettro di x(t) vale

X(f) = 20δ(f) +10j

[ej π

6 δ(f − f0) + e−j π6 δ(f + f0)

]

con la sostituzione f0 = 500/(2π), e quindi f0 = 79.6 Hz. Poiche f0 eanche chiaramente la banda unilatera del segnale x(t) si ha che la minimafrequenza di campionamento vale

fc min = 2f0 = 159.15Hz

e quindi il massimo intervallo tra due campioni risulta

Tc max =1

fc min' 6ms

La minima frequenza di campionamento corrisponde a 159.15, quindi adalmeno 160 campioni di segnale in un secondo.

21

Esercizio 13

Si consideri il segnale

y(t) = x(t) + x1(t) + x2(t)

con:

x1(t) = x(t) cos(2πf0t) x2(t) = x(t) cos(N2πf0t)

e x(t) strettamente limitato in banda a B = 1 KHz. y(t) deve esserecampionato in modo tale da poter essere ricostruito a partire dai suoi cam-pioni. La frequenza di campionamento e fc = 10 Khz. Determinare i valoridi f0 e N affinche:

• i segnali di ingresso siano spettralmente separati

• si abbia perfetta ricostruzione di y(t)

• N sia massimo

SoluzioneIl segnale da campionare si puo scrivere come segue:

y(t) = x(t) [1 + cos(2πf0t) + cos(N2πf0t) ]

Ne calcoliamo lo spettro Y (f) al fine di valutare la banda unilatera,necessaria per calcolare la minima frequenza di campionamento secondo ilteorema di Nyquist.

Y (f) = X(f) ∗[δ(f) +

12δ(f − f0) +

12δ(f + f0) +

12δ(f −Nf0) +

12δ(f + Nf0)

]

= X (f) +12X(f − f0) +

12X(f + f0) +

12X(f −Nf0) +

12X(f + Nf0)

Si hanno spettri separati se f0 ≥ 2B, quindi f0 ≥ 2 KHz.Si ha perfetta ricostruzione se fc ≥ 2By = 2 (Nf0 + B).La massimizzazione di N deve quindi rispettare le condizioni:

{f0 ≥ 2 KHz

Nf0 + B ≤ fc

2

La seconda condizione diventa N ≤ fc

2f0− B

f0= 4

f0. Quindi il massimo di

N si ottiene in corrispondenza del minimo di f0, ovvero 2 KHz. Questo daNmax = 2.

22

Unita 4

4.1 Densita di probabilita, valore atteso e funzionedi autocorrelazione di processi casuali

Esercizio 14

Si consideri lo schema di Fig. 4.1, dove x(t) = A cos(2πf0t + θ) e θe una costante. Si consideri il parametro A come una variabile casualeuniformemente distribuita tra 0 e 2. Calcolare la media di insieme di y(t) evalutare per quali istanti di tempo tale media e massima.

x(t)

y(t)

x

y

45o

Figura 4.1

SoluzioneIl processo y(t) si puo scrivere come prodotto di x(t) per una funzione

q(t) che assume valore 0 o 1 a seconda del segno di x(t):

y(t) ={

0 x(t) < 0x(t) x(t) ≥ 0

= x(t)q(t)

q(t) ={

0 x(t) < 01 x(t) ≥ 0

Si noti che, mentre il valore di x(t) dipende dalla variabile casuale A, il suosegno e deterministico, dal momento che A non puo diventare negativa e

23

quindi cambiare il segno della funzione coseno. Pertanto la media di y(t) sipuo scrivere come

E {y(t)} = E {x(t)q(t)} = q(t)E {x(t)} = E [A] cos (2πf0t + ϑ) q(t)

Poiche la media di A vale 1, si ottiene che E{y(t)} = cos (2πf0t + ϑ) q(t).Il massimo dell’attesa si ottiene quindi per cos (2πf0t + ϑ) = 1, che implica2πf0t+ϑ = 2kπ. Quindi gli istanti di tempo in cui la media e massima sonotm = k

f0− ϑ

2πf0

24

Esercizio 15

Si consideri il segnale

y(t) = x(t) cos(ω0t)− z(t) sin(ω0t)

dove x(t) e z(t) sono processi casuali a media nulla, indipendenti e conla stessa autocorrelazione Rx (t1, t2) = Rz (t1, t2).

Determinare Ry (t1, t2) e verificare che se Rx (t1, t2) = Rx (t1 − t2) alloraRy (t1, t2) = Ry (t1 − t2).

SoluzioneIl calcolo della funzione di autocorrelazione di y(t) segue i seguenti passi:

Ry (t1, t2) = E {y(t1)y(t2)} =E {[x(t1) cos(ω0t1)− z(t1) sin(ω0t1)] [x(t2) cos(ω0t2)− z(t2) sin(ω0t2)]} =E {x(t1)x(t2)} cos(ω0t1) cos(ω0t2) + E {z(t1)z(t2)} sin(ω0t1) sin(ω0t2) +−E {x(t1)z(t2)} cos(ω0t1) sin(ω0t2)− E {x(t2)z(t1)} cos(ω0t2) sin(ω0t1)

A questo punto si nota che E {z(t1)z(t2)} = Rz(t1, t2):

Ry (t1, t2) = Rz (t1, t2) [cos(ω0t1) cos(ω0t2) + sin(ω0t1) sin(ω0t2)] =

= Rz (t1, t2) cos [ω0 (t1 − t2)] = Rx (t1, t2) cos [ω0 (t1 − t2)]

Se Rx (t1, t2) = Rx (t1 − t2) allora Ry (t1, t2) = Rx (t1 − t2) cos [ω0 (t1 − t2)]e si vede chiaramente che la funzione di autocorrelazione Ry (t1, t2) dipendesolo da t1 − t2 e non separatamente da t1 e t2.

25

Esercizio 16

Si consideri un processo casuale x(t) stazionario con autocorrelazionenulla per |τ | > T e positiva per |τ | < T . Si costruisca un processo casualey(t) = x(t)+x(t−T0) e da questo si estraggano due campioni nei due istantit1 e t1 + A .

Trovare il minimo valore di A tale per cui il coefficiente di correlazionedelle variabili casuali cosı ottenuto sia nullo.

SoluzioneUsando la notazione y1 = y(t1) e y2 = y(t1 + A), imporre che il coeffi-

ciente di correlazione sia nullo significa risolvere la seguente equazione:

ρy1,y2 =E {y1y2} − E {y1}E {y2}

σy1σy2

= 0

E {y1y2} − E {y1}E {y2} = 0

Dal momento che x(t) e stazionario si puo scrivere

E {y1} = E {x(t1) + x(t1 − T0)} = E {x(t1)}+ E {x(t1 − T0)} = 2µx

Dal momento che l’autocorrelazione di x(t) tende a zero per τ → ∞,si puo assumere che il processo x(t) sia a media nulla. Questo implicaovviamente che anche y(t) sia a media nulla, e quindi le variabili casuali y1

e y2 sono a media nulla:

E {y2} = E {x(t2) + x(t2 − T0)} = 2µx

µ2x = lim

τ→∞Rx(τ) = 0 ⇒ E {y1} = E {y2} = 0

Il coefficiente di correlazione cercato vale quindi

E {y1y2} = E {y(t1)y(t1 + A)} == E {[x(t1) + x(t1 − T0)] [x(t1 + A) + x(t1 + A− T0)]}= E {x(t1)x(t1 + A)}+ E {x(t1)x(t1 + A− T0)}

+E {x(t1 − T0)x(t1 + A)}+ E {x(t1 − T0)x(t1 + A− T0)}= Rx(A) + Rx(A− T0) + Rx(A + T0) + Rx(A)= 2Rx(A) + Rx(A− T0) + Rx(A + T0)

Bisogna quindi trovare il minimo valore di A tale per cui questo coef-ficiente di correlazione vale zero. Si noti che il coefficiente di correlazione,visto in funzione di A, contiene tre termini: uno centrato intorno all’origine

26

(2Rx(A)) e due repliche intorno a ±T0. Dal momento che Rx(A) e a sup-porto limitato in (−T, T ), si danno due casi. Se T0−T > T (quindi T0 > 2T )il valore minimo e A = T perche le repliche sono separate da 2Rx(A); al-trimenti il valore minimo e A = T0 + T . I due casi sono mostrati in Fig.4.2.

E[y1y2]A

A

T

T T0+T−T0−T −T

−T

E[y1y2]

Figura 4.2

27

Esercizio 17

Un processo casuale x(t) gaussiano stazionario a media nulla viene molti-plicato per un’onda quadra r(t) che assume alternativamente i valori +1 e−1 ogni T secondi. Calcolare:

• La densita di probabilita del segnale y(t) cosı ottenuto

• La probabilita P {y(t) > y(t + a)} nei due casi a = T e a = T2

• Si definisca il processo z(t) = y(t) − y(t− T

2

)e si verifichi se z(t) e

stazionario del primo ordine.

SoluzioneIn ogni istante di tempo la variabile casuale estratta da x(t) e una vari-

abile gaussiana moltiplicata per +1 o -1. Quindi questa variabile e ancoragaussiana. Il suo valor medio e varianza valgono

E [y(t)] = E [r(t)x(t)] = r(t)E [x(t)] = 0

σ2y = E

[y2(t)

]= r2(t)E

[x2(t)

]= σ2

x

Questi parametri quindi specificano completamente la densita di probabilitadel processo y(t). La probabilita richiesta vale

P {y(t) > y(t + a)} = P {y(t)− y(t + a) > 0} = P {za(t) > 0}con za(t) = y(t)−y(t+a). Poiche za(t) e ancora gaussiano a valor medio

nullo si ha che

P {za(t) > 0} =12∀a

Definiamo ora il processo z(t) = y(t) − y(t − T/2). Per la stazionarietadel primo ordine si ha che E {z(t)} = 0. La varianza vale

σ2z = E

{z2(t)

}= E

{y2(t)

}+ E

{y2(t− T/2)

}− 2E {y(t)y(t− T/2)}= 2σ2

y − 2E {y(t)y(t− T/2)}

E {y(t)y(t− T/2)}= E {r(t)r(t− T/2)x(t)x(t− T/2)}= E {x(t)x(t− T/2)} r(t)r(t− T/2) = r(t)r(t− T/2)RX(T/2)

28

Chiaramente la varianza dipende dal tempo, quindi z(t) non e un pro-cesso stazionario del primo ordine.

29

4.2 Processi casuali filtrati

Esercizio 18

Sia dato un processo casuale x(t) = mx + n(t) dove mx e una costante en(t) e un processo gaussiano stazionario bianco a valor medio nullo e densitaspettrale di potenza N0

2 . In questo contesto x(t) rappresenta la tensione aicapi di un bipolo. Se ne vuole stimare il valor medio mx usando un voltmetrola cui risposta all’impulso vale h(t) = u(t) 1

τ e−tτ . La lettura dello strumento

vale pertanto v(t) = x(t) ∗ h(t), dove il simbolo ‘∗’ significa ‘convoluzione’.Calcolare:

• valor medio, valor quadratico medio e varianza di v(t)

• la probabilita che v(t) sia compresa nell’intervallo [0.9mx, 1.1mx].

SoluzioneIl valore atteso di v(t) si calcola ricordando che il valore atteso di un

processo all’uscita di un sistema LTI e dato dal valore atteso dell’ingressomoltiplicato per la funzione di trasferimento valutata alla frequenza zero:

E {v(t)} = E {x(t) ∗ h(t)} = E {x(t)}H(0) = E {x(t)} =

= E {mx + n(t)} = E {n(t)}+ mx = mx

in quanto

H(f) =1a

11a + j2πf

→ H(0) = 1

Per calcolare il valore quadratico medio la strada piu semplice e di passareattraverso la funzione di autocorrelazione, che si puo calcolare come anti-trasformata di Fourier della densita spettrale di potenza Gv(f) del processodi uscita v(t). L’operatore di antitrasformata di FOurier sara anche indi-cato con la notazione F−1. A sua volta, la Gv(f) si calcola utilizzando ladensita spettrale di potenza dell’ingresso e la funzione di trasferimento delfiltro LTI.

E{v2(t)

}= Rv(0) = F−1 {Gv(f)}

Gv(f) = Gx(f) |H(f)|2

Per calcolare la densita spettrale di potenza di x(t) si passa attraverso lasua funzione di autocorrelazione.

30

Rx(τ) = E {x(t)x(t + τ)} = E {[mx + n(t)] [mx + n(t + τ)]} =

= E {n(t)n(t + τ)}+ m2x = Rn(τ) + m2

x

da cui si ottiene che

Gx(f) = F {Rx (τ)} = Gn(f) + m2xδ(f) =

N0

2+ m2

xδ(f)

Quindi la densita spettrale di potenza di v(t) vale

Gv(f) =(

N0

2+ m2

xδ(f))|H(f)|2 =

N0

2|H(f)|2 + m2

xδ(f)

e il valore quadratico medio

E{v2(t)

}=

∫ +∞

−∞Gv(f)df = m2

x +N0

2

∫ +∞

−∞|H(f)|2df

dove l’ultimo integrale si risolve con l’ausilio delle tavole degli integrali.Per quanto riguarda il calcolo della probabilita p = P (0.9mx < v(t) <

1.1mx) e necessario conoscere la densita di probabilita del processo v(t).Si noti che x(t) e un processo gaussiano stazionario; poiche v(t) e ottenutofiltrando x(t) attraverso un sistema LTI, v(t) a ancora gaussiano stazionario.La sua densita di probabilita e quindi gaussiana e non dipende dal tempo;essa e completamente determinata dal valor medio E[v(t)] = mx e dallavarianza σ2

v = E[v2(t)]− E[v(t)]2. La probabilita p vale quindi

p =∫ 1.1mx

0.9mx

1√2πσv

e− (x−mv)2

2σ2v dx

e si puo esprimere tramite le funzioni di errore erf e erfc.

31

Esercizio 19

Un rumore gaussiano n(t) con densita spettrale di potenza Gn(f) = N02

per |f | < B e nulla altrove passa attraverso un sistema lineare con rispostaall’impulso h(t) = δ(t)+0.5δ(t−T ). Il segnale in uscita passa attraverso unsistema non lineare che ne fa il quadrato. Calcolare il valor medio dell’uscitanel caso di B = 3

4T .

Soluzione

x(t) = n(t) ∗ h(t) = n(t) +12n(t− T )

z(t) = x2(t) = n2(t) +14n2(t− T ) + n(t)n(t− T )

Il valore atteso di z(t) vale

E [z(t)] = E

[n2(t) +

14n2(t− T ) + n(t)(t− T )

]= σ2

n+14σ2

n+Rn(T ) =54σ2

n+Rn(T )

La funzione di autocorrelazione di n(t) e pari all’antitrasformata di Fourierdi Gn(f). Dai dati dell’esercizio sappiamo che Gn(f) = N0

2 p2B(f), quindi

Rn(τ) = F−1 {Gn(f)} =sin(2πBτ)

πτ

N0

2= N0B

sin(2πBτ)2πτB

σ2n = Rn(0) = N0B = N0

34T

Rn(T ) = N0Bsin(2πBT )

2πBT=

N0

2πTsin

(2π

34T

T

)= − N0

2πT

E [z(t)] =54

34

N0

T− N0

2πT=

N0

2T

(158− 1

π

)

32

Esercizio 20

Un processo casuale n(t) stazionario ha una densita di probabilita delprimo ordine uniforme nell’intervallo (−A,+A), e spettro di potenza

Sn ={

N02 per |f | ≤ B

20 altrove

Questo processo passa attraverso un sistema LTI con funzione di trasfer-imento

H(f) = 1 + e−j2πfT

Il processo in uscita da tale sistema viene quindi elevato al quadrato. Siam(t) il risultato di tale operazione.

• Determinare il valore di A

• Calcolare la media di m(t) nel caso in cui B = 1T

SoluzionePossiamo determinare il valore di A imponendo che la varianza calcolata

utilizzando la densita di probabilita del processo sia uguale a quella calcolataintegrando la densita spettrale di potenza (si noti che il processo n(t) e amedia nulla).

σ2n =

+∞∫

−∞n2fn(n)dn =

12A

+A∫

−A

n2dn =1

6An3

∣∣∣∣A

−A

=A2

3

σ2n =

∫ +∞∫

−∞Gn(f)df =

N0

2B

da cui A =√

32N0B. Per trovare un’espressione per y(t) conviene la-

vorare nel dominio del tempo, notando che l’antitrasformata di Fourier diH(f) contiene solo delle delta di Dirac.

h(t) = F−1 {H(f)} = δ(t) + δ(t− T )

y(t) = n(t) ∗ h(t) = n(t) + n(t− T )

Da cui il valore atteso cercato e

33

E {m(t)} = E{y2(t)

}= E

{n2(t)

}+ E

{n2(t− T )

}+ 2E {n(t)n(t− T )}

= 2E{n2(t)

}+ 2E {n(t)n(t− T )}

E {n(t)} = 0

E{n2(t)

}= σ2

n =N0

2B

E {n(t)n(t− T )} = Rn(T ) = F−1 {Gn(f)}τ=T =N0

2B

sin(πBT )πBT

Per B = 1T si ottiene

Rn(T ) =N0

2T

sin(π)π

= 0

E {m(t)} = 2σ2n = N0B

34

Esercizio 21

Un processo di rumore gaussiano bianco n(t), con densita spettrale dipotenza costante e pari a N0

2 , passa attraverso un sistema lineare e tempo-invariante con funzione di trasferimento

H(f) =1

1 + j2πf

Sia z(t) il processo all’uscita di tale sistema. Determinare:

• la densita di probabilita di z(t)

• La probabilita P [z(t) > 0.5]

• la funzione di autocorrelazione di z(t), Rz(τ)

Soluzionez(t) e ancora gaussiano, in quanto e ottenuto tramite trasformazione

lineare di un processo gaussiano. Pertanto per determinarne la densita diprobabilita dobbiamo calcolarne valore medio e varianza.

E {z(t)} = E {n(t)}H(0) = 0

σ2z = E

{z2(t)

}− E {z(t)}2 = E{z2(t)

}= Rz(0) = F−1 {Gz(f)}τ=0

Gz(f) = Gn(f) |H(f)|2 =N0

21

1 + (2πf)2

Rz(τ) =N0

4e−|τ |

σ2z = Rz(0) =

N0

4

P [z(t) > 0.5] =12erf

(1

2√

2σz

)=

12erf

(1√2N0

)

35