esercizio pagina 307 numero 24

March 25, 2012

Nel trapezio ABCD rettangolo in A e in D, la base maggiore AB misura6√

3 cm e le diagonali si tagliano perpendicolarmente nel punto P. Sapendo cheBP = 6

√2 cm determinate la distanza del punto P dal lato AD, l’area del

trapezio ABCD ed il perimetro del triangolo ABC.

dati e relazioniBD ⊥ ACAB = 6

√3 cm

BP = 6√

2 cmrichiesteA(ABCD) = ? 2p(ABC) = ? PH = ?

poniamo PD = x allora BD = PB + PD = 6√

2 + x e per il teorema dipitagora applicato al triangolo DPA

AD2

= DB2 −AB

2= (6√

2 + x)2 − 108

per il teorema di Pitagora applicato al triangolo APB

AP =

√AB

2 − PB2

=√

108− 72 =√

36 = 6 cmInfine, applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo APD

AP2

+ PD2

= AD2

da cui

36 + x2 = (6√

2 + x)2 − 108

1

da cui36 + x2 = 72 + x2 + 12

√2x− 108

ovvero12√

2x− 36 = 36

e quindi12√

2x = 72

e quindi

PD = x =6√2

= 3√

2

e quindi BD = 6√

2 + 3√

2 = 9√

2da cui

AD2

= (9√

2)2 − 108 = 162− 108 = 54

quindiAD =

√54 = 3

√6

e , dal secondo teorema di Euclde applicato al triangolo ADC, otteniamo cheAP:PD = PD :PC da cui6 : 3√

2 = 3√

2 : PCe quindiPC = 18

6 = 3 cme quindiAC = AP + PC = 6 + 3 = 9 cmda cui per il teorema di Pitagora applicato al triangolo ACD

DC2

=

√AC

2 −AD2

=√

92 − 54 =√

27 = 3√

3

a questo punto

A(ABCD) =(AB + CD) ·AD

2=

(6√

3 + 3√

3) · 3√

6

2=

9√

3 · 3√

6

2

=81√

2

2= 40, 5

√2

Per il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo APD, AD:PD = PD :DH da cui

2√

6 : PH = PH :√

6

da cuiPH =

√12 = 2

√3

Per il calcolo del perimetro di ABC , calcoliamoKB = AB − CD = 6

√3− 3

√3 = 3

√3

CK = AD = 3√

6

BC =

√KB

2+ CK

2=√

27 + 54 =√

81 = 9 cm

da cui

2p(ABC) = AB + BC + AC = 6√

3 + 9 + 9 = 18 +√

3 = 6(3 +√

3)

2