espa4122 matematika ekonomi modul 6.ppt
TRANSCRIPT
![Page 1: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 5
Penggunaan Fungsi Non-Linear dalam Ekonomi
Wahyono
UT Korea Spring 2014
![Page 2: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/2.jpg)
Fungsi Permintaan dan Penawaran• Kurva permintaan dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk
parabola atau hiperbola.• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk
parabola.
![Page 3: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/3.jpg)
Fungsi Permintaan
Kurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun horizontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas, bawah, kiri, maupun kanan.
![Page 4: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/4.jpg)
Fungsi Permintaan• Kurva a, parabola terbuka ke bawah p < 0, titik vertex
(h,k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P sehingga h ≤ 0 dan k > 0
• Kurva b, parabola terbuka ke atas p > 0, titik vertex (h,k) terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q sehingga h > 0 dan k ≤ 0
![Page 5: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi Permintaan• Kurva c dan d adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q dan bentuk umumnya adalah:
(P – k)2 = 4p(Q – h)• Kurva c, parabola terbuka ke kiri p < 0, titik vertex terletak di kuadran keempat sehingga h > 0 dan k < 0
• Kurva d, parabola terbuka ke kanan p > 0, titik vertex terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P, sehingga h ≤ 0 dan k > 0
![Page 6: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh SoalGambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh
persamaan:P = 1 Q2 – 4Q + 20
5Q2 – 20Q + 100 = 5P(Q – 10)2 = 4.5(P – 0)
4
Jadi, p = 5/4, h = 10, dan k= 0. Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 P = 20Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0 Q = 10
![Page 7: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/7.jpg)
Fungsi PermintaanKurva permintaan dapat merupakan bagian dari hiperbola
yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu vertikal.
Dalam hiperbola yang bentuk umumnya
(x – h)2 − (y – k)2 = 1 a2 b2
atau(y – k)2 − (x – h)2 = 1 b2 a2
Apabila a = b, maka asimtot berpotongan tegak lurus, sehingga (x – h)(y – k) = c
![Page 8: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh Soal
Gambarkankurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan
QP + 2P = 20
Persamaan ini dapat dirubah menjadi
(Q + 2)(P – 0) = 20
Sehingga (h,k) = (-2,0)
Dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2.
![Page 9: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/9.jpg)
Fungsi Penawaran• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola dan
parabola tersebut sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal.
![Page 10: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh SoalGambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan
P = Q2 + 2Q + 14
P = Q2 + 2Q + 1
44P = Q2 + 2Q + 14(P – 0) = (Q + 1)2
Titik vertex (-1,0)
![Page 11: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/11.jpg)
Titik KeseimbanganKurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan
membentuk harga dan jumlah keseimbangan.
Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua. Persamaan ini timbul karena:
• Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat dua
• Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk fungsi permintaan
• Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan fungsi derajat dari harga
![Page 12: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh SoalHitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva
penawaran dan permintaan berikut:Qs = P2 + P – 2 Qd = -2P + 16Keseimbangan dapat terjadi jika Qs = QdQs = QdP2 + P – 2 = -2P + 16P2 + 3P – 18 = 0(P – 3)(P + 6) = 0P = 3 atau P = -6 (karena negatif maka tidak dipakai)Jadi harga keseimbangan = P = 3Jumlah keseimbangan Q = 10
![Page 13: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/13.jpg)
Kurva Indifference
Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu.
Sifat-sifat kurva indifference:- Merupakan kurva yang menurun- Cembung terhadap titik origin- Tidak saling berpotongan- Semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi
![Page 14: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/14.jpg)
Kurva Indifference• Sumbu horisontal digunakan untuk
menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y.
• Kurva indifference merupakan kurva yang menurun karena untuk menambah jumlah barang x yang di konsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.
• Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola, dan parabola.
![Page 15: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/15.jpg)
Kurva Indifference• Pada kurva indifference yang ditunjukkan dengan
lingkaran, persamaannya:(x – a)2 + (y – a)2 = a2
• Dalam kurva indifference hanya seperempat lingkaran yang digunakan yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y, sehingga persamaanya menjadi:
x + y - √2xy = a
![Page 16: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh SoalBila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh
persamaan x + y - √(2xy) = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit dan agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan?
X = 3, a = 15Jadi 3 + y - √(2.3.y) = 15
y – 12 = √(6y) y2 – 24y – 144 = 6y
y2 – 30y – 144 = 0 (y – 24)(y – 6) = 0
Jadi y1 = 6 dan y2 = 24
![Page 17: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/17.jpg)
Kurva Indifference• Untuk kurva indifference yang memakai bentuk hiperbola,
persamaannya adalah:
(x + h)(y + k) = a
Dengan asimtot x = -h, dan y = -k
Titik potong dengan sumbu x = a/k – h
Titik potong dengan sumbu y = a/h - k
![Page 18: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh SoalSeorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y
kepuasannya ditunjukkan oleh persamaan xy + y + 6x = a – 6Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum
barang x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?
a = 30xy + y + 6x + 6 = 30y(x + 1) + 6(x + 1) = 30(x + 1)(y + 6) = 30Titik pusat = (-1,-6)Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila tidak
ada barang y yang dikonsumsi (y = 0)(x +1)6 = 30x + 1 = 5x = 4
![Page 19: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/19.jpg)
Kurva Indifference• Untuk kurva indifference yang memakai bentuk parabola,
ditunjukkan dengan:
(x – h)2 = 4p(y – k)
Dengan titik puncak (h,k)
• Nilai p di sini diabaikan.
![Page 20: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh SoalKurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan x - √(y + 1)
= a. Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap sebesar 4 satuan.
a = 4x - √(y + 1) = 4x – 4 = √(y + 1)(x – 4)2 = y + 1Puncak parabola (-4,1)Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0 y = 15Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0 (x – 4)2
= 1 x1 = 5 dan x2 = 3
Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Sehingga jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.
![Page 21: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/21.jpg)
Garis Anggaran• Apabila dengan uang sebanyak M digunakan untuk membeli barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py.
• Garis ini disebut garis anggaran atau budget line.• Tingkat kepuasan yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.
![Page 22: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh SoalHimpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan
xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah 2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi olehnya:
Persamaan indifference: xy = aPersamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100 y = 20 – 2/5 xxy = ax(20 – 2/5 x) = a2/5 x2 – 20x + a = 0x2 – 50x +5/2 a = 0Untuk mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran dan kurva
indifference maka dapat memakai rumus B2 – 4AC = 0Dimana A = 1, B = 50, C = 5/2 a. sehingga a = 250Jadi x2 – 50x +5/2.250 = 0 x = 25Untuk x – 25, maka y = 10Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi adalah 25 unit dan barang y sebanyak
10 unit.
![Page 23: ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 6.ppt](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012306/55cf98e1550346d0339a34ec/html5/thumbnails/23.jpg)
Tugas 21. Buat sketsa grafik: 24x2 – 10xy – 4y2 = 0
2. Tentukan vertex dari persamaan berikut:
a. (x – 3)2 = -8(y + 4)
b. 9(x – 4)2 – 4(y + 8)2 = 36
3. Diketahui pasangan persamaan:
a. Q = 16 − 2P
b. 4Q = 4P+P2
Tentukan dari pesamaan a dan b yang mana fungsi permintaan dan yang mana fungsi penawaran dan jumlah keseimbangan.
4. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan 5x2 + 6y2 − xy = a dan garis anggarannya x + 2y = 24.