MATEMATIKA EKONOMI

Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi

Turunan PertamaTurunan pertama darisuatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menarik dan bagian yang menurun.Contoh: f(x) = 3x2+ 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x)merupakan fungsi yang menaik dan untuk setiap x < 0,f(x) merupakan fungsi yang menurun

Turunan PertamaFungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif.Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan PertamaSetiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-titik maksimum atau minimum dengan cara:Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f(x) = 0.Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f(x) dari (+) ke (-) menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f(x) berubah dari (-) ke (+)menunjukkan titik minimum lokal. Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a,maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi y =2x3 + 3x2 36x + 4. y = 6x2 + 6x 36 = 0 :6 y = x2 + x6 = 0 (x + 3)(x2) = 0 x1= -3 dan x2= 2Untuk setiap x < -3 nilai y > 0 (+) dan untuk setiap-3

Turunan KeduaTurunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari turunan pertama suatu fungsi.Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah.Jika untuk x = a, turunan kedua f(x) nilainya positif, maka y = f(x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d2y / dx2 ) > 0Jika untuk x = a, turunan kedua f(x) nilainya negatif, maka y = f(x) merupakan fungsi yang menurun di x = a dan kurva y =f(x) lengkung ke bawah.

Turunan KeduaTurunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimumBila f(x) dan f(x) kontinu pada x = a danf(a) = 0, maka:-Titik x = a maksimum bila f(a) < 0-Titik x = a minimum bila f(a) > 0-Tes tidak dapat dilakukan bila f(a) = 0

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari y= 1/3x3 2x2 5x +2 y = x2 4x 5 = 0 (x5)(x + 1) = 0 x1 = 5 dan x2 = -1Untuk x = -1 y < 0 maksimum pada x = -1Untuk x = 5 y > 0 minimum pada x = 5

Keuntungan ProdusenKeuntungan merupakan selisih antara seluruh penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: = TRTCKeuntungan yang diperoleh akan maksimum apabila d/dQ= 0 dan d2/dQ2 < 0 atau MR = MC dan dMR/dQ < dMC/dQUntuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.

Contoh SoalBila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR 100Q4Q2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yangmaksimum. = TRTC = 100Q 4Q2 50 20Q = 80Q 4Q2 50 akan maksimum bila: d/dQ = 0 808Q = 0 Q = 10 d2/dQ2< 0 -8 < 0 syarat terpenuhi Atau MR = MC MR = turunan TR = 100-8Q MC = turunan TC = 20 1008Q = 20 Q = 10 dMR/dQ < dMC/dQ -8 < 0 syarat terpenuhi

Contoh SoalBiaya rata-rata yang dikeluarkan olehprodusen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q2 25Q + 500 + 600/Q. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bilaharga barang per unitnya adalah P = 100? AC = 1/3 Q225Q + 500 + 600/Q TC = AC . Q = 1/3 Q325Q2+ 500Q + 600 MC = turunan dari TC = Q250Q + 500 MR = P = 100Keuntungan maksimum didapat apabila: MR = MC 100 = Q2 50Q + 500 Q250Q + 400 = 0 (Q10)(Q40) = 0 Q1 = 40 dan Q2 = 10 dMR/dQ < dMC/dQ untuk Q = 40 dMR/dQ < dMC/dQ untuk Q = 10 dMR/dQ > dMC/dQ tidak memenuhi syarat TR=40x100=4000 TC=1/3(40)325(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3 = TRTC = 2066 2/3