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Espaces vectoriels
Cours de mathématiques
1er cycle, 1re année
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Sommaire
1 Structure d'espace vectoriel
Dé�nition et exemples
Quelques propriétés immédiates
Exemples fondamentaux
2 Sous-espaces vectoriels
Dé�nition et caractérisation
Sous-espace vectoriel engendré par une partie
Somme de sous-espaces vectoriels
Sous-espaces supplémentaires
3 Dimension d'un espace vectoriel
Familles libres, liées, génératrices, bases
Dimension �nie
Sous-espace vectoriel en dimension �nie
Supplémentarité en dimension �nie
Rang d'une famille de vecteurs
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Sommaire
1 Structure d'espace vectoriel
Dé�nition et exemples
Quelques propriétés immédiates
Exemples fondamentaux
2 Sous-espaces vectoriels
3 Dimension d'un espace vectoriel
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel a) Dé�nition et exemples
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
Dé�nition 1.1 (Axiomes)
Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K, e.v. enabrégé) lorsqu'il est muni d'une loi interne + et d'une loi externe · telles que :
1 ∀~u, ~v , ~w ∈ E, (~u + ~v)+ ~w = ~u + (~v + ~w) (loi + associative)
2 ∀~u, ~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u (loi + commutative)
3 ∃~0 ∈ E, ∀~u ∈ E, ~u +~0 = ~0+ ~u = ~u (existence d'un élément neutre pour laloi + appelé vecteur nul)
4 ∀~u ∈ E, ∃~v ∈ E, ~u + ~v = ~v + ~u = ~0 (existence d'un symétrique, noté −~u,pour tout élément ~u de E)
5 ∀~u ∈ E, 1K · ~u = ~u
6 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, λ · (µ · ~u) = (λµ) · ~u
7 ∀λ, µ ∈ K, ∀~u ∈ E, (λ+ µ) · ~u = λ · ~u + µ · ~u
8 ∀λ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ E, λ · (~u + ~v) = λ · ~u + λ · ~v
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
2
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1. Structure d'espace vectoriel b) Quelques propriétés immédiates
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K sont appelés desscalaires. Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on peut écrire les vecteurs de Esans les surmonter d'une �èche.Quand les lois + et · sont évidentes, on ne les précise pas.On écrit, par exemple, � le K-e.v. K[X ] � au lieu de (K[X ],+, ·)
Proposition 1.2 (Propriétés immédiates)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v.
1 ∀λ1, . . . , λn ∈ K, ∀~u ∈ E,
n∑i=1
λi · ~u =
(n∑
i=1
λi
)· ~u
En particulier : ∀ n ∈ N, ∀~u ∈ E , ~u + . . .+ ~u︸ ︷︷ ︸n fois
= n~u
2 ∀~u1, . . . , ~un ∈ E, ∀λ ∈ K,
n∑i=1
λ · ~ui = λ ·n∑
i=1
~ui
3 ∀~u ∈ E, 0 · ~u = ~0 et ∀λ ∈ K, λ ·~0 = ~0
4 ∀~u ∈ E, (−1) · ~u = −~u
5 ∀~u ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · ~u = ~0⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0
2
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1. Structure d'espace vectoriel c) Exemples fondamentaux
Exemple 1.3 (Exemples fondamentaux)
1 Dé�nissons sur l'ensemble Kn les deux opérations + et · par∀((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)
)∈ Kn ×Kn, ∀λ ∈ K,{
(x1, . . . , xn)+ (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)
Alors (Kn,+, ·) est un K-e.v.
2 L'ensemble K[X ] des polynômes à coe�cients dans K muni des opérations +et · est un K-e.v.
3 Dé�nissons sur l'ensemble A(E ,K) des applications dé�nies sur un ensemble Eà valeurs dans K les opérations + et · par∀ (f , g) ∈ A(E ,K)2, ∀λ ∈ K,
∀x ∈ E ,
{(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λ · f )(x) = λf (x)
Alors (A(E ,K),+, ·) est un K-e.v.
3
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1. Structure d'espace vectoriel c) Exemples fondamentaux
Exemple 1.3 (Exemples fondamentaux)
1 Dé�nissons sur l'ensemble Kn les deux opérations + et · par∀((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)
)∈ Kn ×Kn, ∀λ ∈ K,{
(x1, . . . , xn)+ (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)
Alors (Kn,+, ·) est un K-e.v.
2 L'ensemble K[X ] des polynômes à coe�cients dans K muni des opérations +et · est un K-e.v.
3 Dé�nissons sur l'ensemble A(E ,K) des applications dé�nies sur un ensemble Eà valeurs dans K les opérations + et · par∀ (f , g) ∈ A(E ,K)2, ∀λ ∈ K,
∀x ∈ E ,
{(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λ · f )(x) = λf (x)
Alors (A(E ,K),+, ·) est un K-e.v.
3
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1. Structure d'espace vectoriel c) Exemples fondamentaux
Exemple 1.3 (Exemples fondamentaux)
1 Dé�nissons sur l'ensemble Kn les deux opérations + et · par∀((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)
)∈ Kn ×Kn, ∀λ ∈ K,{
(x1, . . . , xn)+ (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)
Alors (Kn,+, ·) est un K-e.v.
2 L'ensemble K[X ] des polynômes à coe�cients dans K muni des opérations +et · est un K-e.v.
3 Dé�nissons sur l'ensemble A(E ,K) des applications dé�nies sur un ensemble Eà valeurs dans K les opérations + et · par∀ (f , g) ∈ A(E ,K)2, ∀λ ∈ K,
∀x ∈ E ,
{(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λ · f )(x) = λf (x)
Alors (A(E ,K),+, ·) est un K-e.v.
3
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Sommaire
1 Structure d'espace vectoriel
2 Sous-espaces vectoriels
Dé�nition et caractérisation
Sous-espace vectoriel engendré par une partie
Somme de sous-espaces vectoriels
Sous-espaces supplémentaires
3 Dimension d'un espace vectoriel
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Dé�nition 2.1 (Sous-espace vectoriel)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v. et F une partie de E.On dit que F est un sous-espace vectoriel de E (s.e.v. en abrégé) si (F ,+, ·) est unK-e.v.
En général, on démontre qu'un ensemble est un K-e.v. en établissant que c'est uns.e.v. d'un K-e.v. connu :
Proposition 2.2 (Stabilité par combinaison linéaire)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v. et F une partie de E.
F est un s.e.v de E ⇐⇒
F 6= ∅ (un s.e.v contient toujours le vecteur ~0)
et∀ (λ, µ) ∈ K2, ∀ (~u, ~v) ∈ F 2, λ · ~u + µ · ~v ∈ F
(F est stable par combinaison linéaire)
Par la suite, on notera la combinaison linéaire λ ·~u+ µ ·~v plus simplement λ~u+ µ~v .
Proposition 2.3 (Intersection de deux s.e.v)
L'intersection de deux s.e.v est encore un s.e.v. C'est faux pour la réunion.
4
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Dé�nition 2.1 (Sous-espace vectoriel)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v. et F une partie de E.On dit que F est un sous-espace vectoriel de E (s.e.v. en abrégé) si (F ,+, ·) est unK-e.v.
En général, on démontre qu'un ensemble est un K-e.v. en établissant que c'est uns.e.v. d'un K-e.v. connu :
Proposition 2.2 (Stabilité par combinaison linéaire)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v. et F une partie de E.
F est un s.e.v de E ⇐⇒
F 6= ∅ (un s.e.v contient toujours le vecteur ~0)
et∀ (λ, µ) ∈ K2, ∀ (~u, ~v) ∈ F 2, λ · ~u + µ · ~v ∈ F
(F est stable par combinaison linéaire)
Par la suite, on notera la combinaison linéaire λ ·~u+ µ ·~v plus simplement λ~u+ µ~v .
Proposition 2.3 (Intersection de deux s.e.v)
L'intersection de deux s.e.v est encore un s.e.v. C'est faux pour la réunion.
4
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Dé�nition 2.1 (Sous-espace vectoriel)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v. et F une partie de E.On dit que F est un sous-espace vectoriel de E (s.e.v. en abrégé) si (F ,+, ·) est unK-e.v.
En général, on démontre qu'un ensemble est un K-e.v. en établissant que c'est uns.e.v. d'un K-e.v. connu :
Proposition 2.2 (Stabilité par combinaison linéaire)
Soit (E ,+, ·) un K-e.v. et F une partie de E.
F est un s.e.v de E ⇐⇒
F 6= ∅ (un s.e.v contient toujours le vecteur ~0)
et∀ (λ, µ) ∈ K2, ∀ (~u, ~v) ∈ F 2, λ · ~u + µ · ~v ∈ F
(F est stable par combinaison linéaire)
Par la suite, on notera la combinaison linéaire λ ·~u+ µ ·~v plus simplement λ~u+ µ~v .
Proposition 2.3 (Intersection de deux s.e.v)
L'intersection de deux s.e.v est encore un s.e.v. C'est faux pour la réunion.
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Exemple 2.4
1 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn. Dans le K-e.v. Kn, l'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un s.e.v.
2 L'ensemble des solutions d'un système linéaire de p équations à n inconnues dela forme
a11x1 + · · ·+ a1jxj+ · · ·+ a1nxn = 0...
ai1x1 + · · ·+ aijxj+ · · ·+ ainxn = 0...
ap1x1 + · · ·+ apjxj+ · · ·+ apnxn = 0
est un s.e.v. de Kn.
3 Dans le R-e.v. des fonctions de R dans R, les sous-ensembles des fonctionspaires, impaires, continues, dérivables, de classe Cp sont des s.e.v.
4 Soit α∈K. Dans le K-e.v. K[X ], l'ensemble {P∈K[X ] : P(α)=0} est un s.e.v.
5 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivablesde I dans C, les ensembles des solutions des équations di�érentiellesu′(t) + au(t) = 0 et u′′(t) + au′(t) + bu(t) = 0, t ∈ I , sont des s.e.v.
5
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Exemple 2.4
1 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn. Dans le K-e.v. Kn, l'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un s.e.v.
2 L'ensemble des solutions d'un système linéaire de p équations à n inconnues dela forme
a11x1 + · · ·+ a1jxj+ · · ·+ a1nxn = 0...
ai1x1 + · · ·+ aijxj+ · · ·+ ainxn = 0...
ap1x1 + · · ·+ apjxj+ · · ·+ apnxn = 0
est un s.e.v. de Kn.
3 Dans le R-e.v. des fonctions de R dans R, les sous-ensembles des fonctionspaires, impaires, continues, dérivables, de classe Cp sont des s.e.v.
4 Soit α∈K. Dans le K-e.v. K[X ], l'ensemble {P∈K[X ] : P(α)=0} est un s.e.v.
5 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivablesde I dans C, les ensembles des solutions des équations di�érentiellesu′(t) + au(t) = 0 et u′′(t) + au′(t) + bu(t) = 0, t ∈ I , sont des s.e.v.
5
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Exemple 2.4
1 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn. Dans le K-e.v. Kn, l'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un s.e.v.
2 L'ensemble des solutions d'un système linéaire de p équations à n inconnues dela forme
a11x1 + · · ·+ a1jxj+ · · ·+ a1nxn = 0...
ai1x1 + · · ·+ aijxj+ · · ·+ ainxn = 0...
ap1x1 + · · ·+ apjxj+ · · ·+ apnxn = 0
est un s.e.v. de Kn.
3 Dans le R-e.v. des fonctions de R dans R, les sous-ensembles des fonctionspaires, impaires, continues, dérivables, de classe Cp sont des s.e.v.
4 Soit α∈K. Dans le K-e.v. K[X ], l'ensemble {P∈K[X ] : P(α)=0} est un s.e.v.
5 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivablesde I dans C, les ensembles des solutions des équations di�érentiellesu′(t) + au(t) = 0 et u′′(t) + au′(t) + bu(t) = 0, t ∈ I , sont des s.e.v.
5
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Exemple 2.4
1 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn. Dans le K-e.v. Kn, l'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un s.e.v.
2 L'ensemble des solutions d'un système linéaire de p équations à n inconnues dela forme
a11x1 + · · ·+ a1jxj+ · · ·+ a1nxn = 0...
ai1x1 + · · ·+ aijxj+ · · ·+ ainxn = 0...
ap1x1 + · · ·+ apjxj+ · · ·+ apnxn = 0
est un s.e.v. de Kn.
3 Dans le R-e.v. des fonctions de R dans R, les sous-ensembles des fonctionspaires, impaires, continues, dérivables, de classe Cp sont des s.e.v.
4 Soit α∈K. Dans le K-e.v. K[X ], l'ensemble {P∈K[X ] : P(α)=0} est un s.e.v.
5 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivablesde I dans C, les ensembles des solutions des équations di�érentiellesu′(t) + au(t) = 0 et u′′(t) + au′(t) + bu(t) = 0, t ∈ I , sont des s.e.v.
5
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2. Sous-espaces vectoriels a) Dé�nition et caractérisation
Exemple 2.4
1 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn. Dans le K-e.v. Kn, l'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un s.e.v.
2 L'ensemble des solutions d'un système linéaire de p équations à n inconnues dela forme
a11x1 + · · ·+ a1jxj+ · · ·+ a1nxn = 0...
ai1x1 + · · ·+ aijxj+ · · ·+ ainxn = 0...
ap1x1 + · · ·+ apjxj+ · · ·+ apnxn = 0
est un s.e.v. de Kn.
3 Dans le R-e.v. des fonctions de R dans R, les sous-ensembles des fonctionspaires, impaires, continues, dérivables, de classe Cp sont des s.e.v.
4 Soit α∈K. Dans le K-e.v. K[X ], l'ensemble {P∈K[X ] : P(α)=0} est un s.e.v.
5 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivablesde I dans C, les ensembles des solutions des équations di�érentiellesu′(t) + au(t) = 0 et u′′(t) + au′(t) + bu(t) = 0, t ∈ I , sont des s.e.v.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Dé�nition 2.5 (S.e.v. engendré par une partie)
Soit (E ,+, ·) un e.v. et A une partie non vide de E.On appelle sous-espace vectoriel engendré par A, noté Vect(A), le plus petit s.e.v.de E contenant A.Par convention, on pose Vect(∅) = {~0}.
Proposition 2.6 (Ensemble de combinaisons linéaires)
Soit A une partie non vide d'un e.v E.
Vect(A) est le s.e.v. de E constitué de toutes les combinaisons linéaires des vecteursde A.
En particulier, si A est une famille �nie de vecteurs (~v1, . . . , ~vp), alors :
Vect(~v1, . . . , ~vp) = {λ1~v1 + · · ·+ λp~vp, (λ1, λ2, . . . , λp) ∈ Kn}
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Dé�nition 2.5 (S.e.v. engendré par une partie)
Soit (E ,+, ·) un e.v. et A une partie non vide de E.On appelle sous-espace vectoriel engendré par A, noté Vect(A), le plus petit s.e.v.de E contenant A.Par convention, on pose Vect(∅) = {~0}.
Proposition 2.6 (Ensemble de combinaisons linéaires)
Soit A une partie non vide d'un e.v E.
Vect(A) est le s.e.v. de E constitué de toutes les combinaisons linéaires des vecteursde A.
En particulier, si A est une famille �nie de vecteurs (~v1, . . . , ~vp), alors :
Vect(~v1, . . . , ~vp) = {λ1~v1 + · · ·+ λp~vp, (λ1, λ2, . . . , λp) ∈ Kn}
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
7
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels b) Sous-espace engendré par une partie
Proposition 2.7
Soit (~v1, · · · , ~vp) une famille �nie de vecteurs d'un K-e.v. E .
1 Le s.e.v Vect(~v1, . . . , ~vp) est inchangé si on change l'ordre des vecteurs.
2 Vect(~v1, . . . , ~vp,~0) = Vect(~v1, . . . , ~vp)
3 ∀λ ∈ K∗, Vect(~v1, . . . , λ~vi , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
4 ∀ (λj )16j6p ∈ Kp avec λi 6= 0,
Vect(~v1, . . . ,p∑
j=1
λj~vj , . . . , ~vp) = Vect(~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vp)
Exemple 2.8 (Droites et plans vectoriels)
1 Soit ~u un vecteur non nul d'un K-e.v. E .Le s.e.v. Vect(~u) = {λ~u, λ ∈ K}, noté aussi K~u, est une droite vectorielle.
2 Soit ~v et ~w deux vecteurs non colinéaires d'un K-e.v. E (i.e. ~w ne coïncide avecaucun λ~v et ~v ne coïncide avec aucun µ~w).Le s.e.v. Vect(~v , ~w) = {λ~v + µ~w , (λ, µ) ∈ K2} est un plan vectoriel.
3 L'ensemble des réels R est une droite vectorielle dans le R-e.v. des complexes C.
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2. Sous-espaces vectoriels c) Somme de sous-espaces vectoriels
Dé�nition 2.9 (Somme de deux s.e.v.)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 On appelle somme de F et G, l'ensemble noté F + G dé�ni par
F + G = {~w ∈ E : ∃~u ∈ F , ∃~v ∈ G , ~w = ~u + ~v} = {~u + ~v , (~u, ~v) ∈ F × G}.
2 On dit que la somme F + G est directe et on la note F ⊕ G lorsque ladécomposition de tout vecteur ~w de F + G en ~u + ~v avec (~u, ~v) ∈ F × G estunique.
Proposition 2.10 (Somme et réunion)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 La somme F +G est un s.e.v. de E contenant F et G et c'est le plus petit s.e.vde E contenant F ∪ G, autrement dit : F + G = Vect(F ∪ G).
2 La somme F + G est directe ssi F ∩ G = {~0}.
8
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2. Sous-espaces vectoriels c) Somme de sous-espaces vectoriels
Dé�nition 2.9 (Somme de deux s.e.v.)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 On appelle somme de F et G, l'ensemble noté F + G dé�ni par
F + G = {~w ∈ E : ∃~u ∈ F , ∃~v ∈ G , ~w = ~u + ~v} = {~u + ~v , (~u, ~v) ∈ F × G}.
2 On dit que la somme F + G est directe et on la note F ⊕ G lorsque ladécomposition de tout vecteur ~w de F + G en ~u + ~v avec (~u, ~v) ∈ F × G estunique.
Proposition 2.10 (Somme et réunion)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 La somme F +G est un s.e.v. de E contenant F et G et c'est le plus petit s.e.vde E contenant F ∪ G, autrement dit : F + G = Vect(F ∪ G).
2 La somme F + G est directe ssi F ∩ G = {~0}.
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2. Sous-espaces vectoriels c) Somme de sous-espaces vectoriels
Dé�nition 2.9 (Somme de deux s.e.v.)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 On appelle somme de F et G, l'ensemble noté F + G dé�ni par
F + G = {~w ∈ E : ∃~u ∈ F , ∃~v ∈ G , ~w = ~u + ~v} = {~u + ~v , (~u, ~v) ∈ F × G}.
2 On dit que la somme F + G est directe et on la note F ⊕ G lorsque ladécomposition de tout vecteur ~w de F + G en ~u + ~v avec (~u, ~v) ∈ F × G estunique.
Proposition 2.10 (Somme et réunion)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 La somme F +G est un s.e.v. de E contenant F et G et c'est le plus petit s.e.vde E contenant F ∪ G, autrement dit : F + G = Vect(F ∪ G).
2 La somme F + G est directe ssi F ∩ G = {~0}.
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2. Sous-espaces vectoriels c) Somme de sous-espaces vectoriels
Dé�nition 2.9 (Somme de deux s.e.v.)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 On appelle somme de F et G, l'ensemble noté F + G dé�ni par
F + G = {~w ∈ E : ∃~u ∈ F , ∃~v ∈ G , ~w = ~u + ~v} = {~u + ~v , (~u, ~v) ∈ F × G}.
2 On dit que la somme F + G est directe et on la note F ⊕ G lorsque ladécomposition de tout vecteur ~w de F + G en ~u + ~v avec (~u, ~v) ∈ F × G estunique.
Proposition 2.10 (Somme et réunion)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
1 La somme F +G est un s.e.v. de E contenant F et G et c'est le plus petit s.e.vde E contenant F ∪ G, autrement dit : F + G = Vect(F ∪ G).
2 La somme F + G est directe ssi F ∩ G = {~0}.
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2. Sous-espaces vectoriels d) Sous-espaces supplémentaires
Dé�nition 2.11 (S.e.v. supplémentaires)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
On dit que F et G sont supplémentaires dans E lorsque :
F ∩ G = {~0}et
F + G = E
On note alors E = F ⊕ G et on dit que E est la somme directe de F et de G.
Théorème 2.12 (Caractérisation)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E . On a
E = F ⊕ G ⇐⇒ ∀ ~w ∈ E ,∃! (~u, ~v) ∈ F × G , ~w = ~u + ~v .
Ainsi, F et G sont supplémentaires dans E ssi tout vecteur de E peut s'écrire demanière unique comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G.
Exemple 2.13 (Fonctions paires/impaires)
Les s.e.v. des fonctions paires et impaires sont supplémentaires dans F(K,K).
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2. Sous-espaces vectoriels d) Sous-espaces supplémentaires
Dé�nition 2.11 (S.e.v. supplémentaires)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
On dit que F et G sont supplémentaires dans E lorsque :
F ∩ G = {~0}et
F + G = E
On note alors E = F ⊕ G et on dit que E est la somme directe de F et de G.
Théorème 2.12 (Caractérisation)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E . On a
E = F ⊕ G ⇐⇒ ∀ ~w ∈ E ,∃! (~u, ~v) ∈ F × G , ~w = ~u + ~v .
Ainsi, F et G sont supplémentaires dans E ssi tout vecteur de E peut s'écrire demanière unique comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G.
Exemple 2.13 (Fonctions paires/impaires)
Les s.e.v. des fonctions paires et impaires sont supplémentaires dans F(K,K).
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2. Sous-espaces vectoriels d) Sous-espaces supplémentaires
Dé�nition 2.11 (S.e.v. supplémentaires)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E .
On dit que F et G sont supplémentaires dans E lorsque :
F ∩ G = {~0}et
F + G = E
On note alors E = F ⊕ G et on dit que E est la somme directe de F et de G.
Théorème 2.12 (Caractérisation)
Soit F et G deux s.e.v d'un e.v. E . On a
E = F ⊕ G ⇐⇒ ∀ ~w ∈ E ,∃! (~u, ~v) ∈ F × G , ~w = ~u + ~v .
Ainsi, F et G sont supplémentaires dans E ssi tout vecteur de E peut s'écrire demanière unique comme la somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G.
Exemple 2.13 (Fonctions paires/impaires)
Les s.e.v. des fonctions paires et impaires sont supplémentaires dans F(K,K).
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Sommaire
1 Structure d'espace vectoriel
2 Sous-espaces vectoriels
3 Dimension d'un espace vectoriel
Familles libres, liées, génératrices, bases
Dimension �nie
Sous-espace vectoriel en dimension �nie
Supplémentarité en dimension �nie
Rang d'une famille de vecteurs
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.1 (Indépendance linéaire)
Soit E un K-e.v.
1 On dit qu'une famille de p vecteurs (~v1, . . . , ~vp) de E est libre lorsque :∀ (λ1, . . . , λp) ∈ Kp,
λ1~v1 + · · ·+ λp~vp = ~0 =⇒ λ1 = · · · = λp = 0.
On dit aussi que les vecteurs ~v1, . . . , ~vp sont linéairement indépendants.
2 On dit que la famille (~v1, . . . , ~vp) est liée lorsqu'elle n'est pas libre, c'est-à-dire
∃ (λ1, . . . , λp) 6= (0, . . . , 0) tel que λ1~v1 + · · ·+ λp~vp = ~0.
On dit aussi que les vecteurs ~v1, . . . , ~vp sont linéairement dépendants.
Exemple 3.2 (Vecteurs colinéaires, coplanaires)
1 Deux vecteurs formant une famille liée sont dits colinéaires.
2 Trois vecteurs formant une famille liée sont dits coplanaires.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.1 (Indépendance linéaire)
Soit E un K-e.v.
1 On dit qu'une famille de p vecteurs (~v1, . . . , ~vp) de E est libre lorsque :∀ (λ1, . . . , λp) ∈ Kp,
λ1~v1 + · · ·+ λp~vp = ~0 =⇒ λ1 = · · · = λp = 0.
On dit aussi que les vecteurs ~v1, . . . , ~vp sont linéairement indépendants.
2 On dit que la famille (~v1, . . . , ~vp) est liée lorsqu'elle n'est pas libre, c'est-à-dire
∃ (λ1, . . . , λp) 6= (0, . . . , 0) tel que λ1~v1 + · · ·+ λp~vp = ~0.
On dit aussi que les vecteurs ~v1, . . . , ~vp sont linéairement dépendants.
Exemple 3.2 (Vecteurs colinéaires, coplanaires)
1 Deux vecteurs formant une famille liée sont dits colinéaires.
2 Trois vecteurs formant une famille liée sont dits coplanaires.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.1 (Indépendance linéaire)
Soit E un K-e.v.
1 On dit qu'une famille de p vecteurs (~v1, . . . , ~vp) de E est libre lorsque :∀ (λ1, . . . , λp) ∈ Kp,
λ1~v1 + · · ·+ λp~vp = ~0 =⇒ λ1 = · · · = λp = 0.
On dit aussi que les vecteurs ~v1, . . . , ~vp sont linéairement indépendants.
2 On dit que la famille (~v1, . . . , ~vp) est liée lorsqu'elle n'est pas libre, c'est-à-dire
∃ (λ1, . . . , λp) 6= (0, . . . , 0) tel que λ1~v1 + · · ·+ λp~vp = ~0.
On dit aussi que les vecteurs ~v1, . . . , ~vp sont linéairement dépendants.
Exemple 3.2 (Vecteurs colinéaires, coplanaires)
1 Deux vecteurs formant une famille liée sont dits colinéaires.
2 Trois vecteurs formant une famille liée sont dits coplanaires.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Proposition 3.3 (Propriétés immédiates)
1 Une famille de vecteurs est liée ssi l'un des vecteurs est combinaison linéaire
des autres.
2 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3 Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
4 Toute famille contenant une famille liée est liée.
Proposition 3.4 (Extension d'une famille libre)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille libre de vecteurs d'un e.v. E .Soit ~v ∈ E. Alors :
(~v1, . . . , ~vp, ~v) est libre⇐⇒ ~v 6∈ Vect(~v1, . . . , ~vp).
Autrement dit, on peut augmenter la taille d'une famille libre de vecteurs en luiajoutant un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Proposition 3.3 (Propriétés immédiates)
1 Une famille de vecteurs est liée ssi l'un des vecteurs est combinaison linéaire
des autres.
2 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3 Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
4 Toute famille contenant une famille liée est liée.
Proposition 3.4 (Extension d'une famille libre)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille libre de vecteurs d'un e.v. E .Soit ~v ∈ E. Alors :
(~v1, . . . , ~vp, ~v) est libre⇐⇒ ~v 6∈ Vect(~v1, . . . , ~vp).
Autrement dit, on peut augmenter la taille d'une famille libre de vecteurs en luiajoutant un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Proposition 3.3 (Propriétés immédiates)
1 Une famille de vecteurs est liée ssi l'un des vecteurs est combinaison linéaire
des autres.
2 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3 Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
4 Toute famille contenant une famille liée est liée.
Proposition 3.4 (Extension d'une famille libre)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille libre de vecteurs d'un e.v. E .Soit ~v ∈ E. Alors :
(~v1, . . . , ~vp, ~v) est libre⇐⇒ ~v 6∈ Vect(~v1, . . . , ~vp).
Autrement dit, on peut augmenter la taille d'une famille libre de vecteurs en luiajoutant un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Proposition 3.3 (Propriétés immédiates)
1 Une famille de vecteurs est liée ssi l'un des vecteurs est combinaison linéaire
des autres.
2 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3 Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
4 Toute famille contenant une famille liée est liée.
Proposition 3.4 (Extension d'une famille libre)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille libre de vecteurs d'un e.v. E .Soit ~v ∈ E. Alors :
(~v1, . . . , ~vp, ~v) est libre⇐⇒ ~v 6∈ Vect(~v1, . . . , ~vp).
Autrement dit, on peut augmenter la taille d'une famille libre de vecteurs en luiajoutant un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Proposition 3.3 (Propriétés immédiates)
1 Une famille de vecteurs est liée ssi l'un des vecteurs est combinaison linéaire
des autres.
2 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3 Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
4 Toute famille contenant une famille liée est liée.
Proposition 3.4 (Extension d'une famille libre)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille libre de vecteurs d'un e.v. E .Soit ~v ∈ E. Alors :
(~v1, . . . , ~vp, ~v) est libre⇐⇒ ~v 6∈ Vect(~v1, . . . , ~vp).
Autrement dit, on peut augmenter la taille d'une famille libre de vecteurs en luiajoutant un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Proposition 3.3 (Propriétés immédiates)
1 Une famille de vecteurs est liée ssi l'un des vecteurs est combinaison linéaire
des autres.
2 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3 Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
4 Toute famille contenant une famille liée est liée.
Proposition 3.4 (Extension d'une famille libre)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille libre de vecteurs d'un e.v. E .Soit ~v ∈ E. Alors :
(~v1, . . . , ~vp, ~v) est libre⇐⇒ ~v 6∈ Vect(~v1, . . . , ~vp).
Autrement dit, on peut augmenter la taille d'une famille libre de vecteurs en luiajoutant un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.5 (Familles génératrices, bases)
1 Une famille de vecteurs (~v1, . . . , ~vp) d'un e.v. E est dite génératrice si toutvecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de ~v1, . . . , ~vp.
2 Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E.
Proposition 3.6 (Coordonnées)
La famille B = (~v1, . . . , ~vn) est une base d'un K-e.v. E ssi tout vecteur de E s'écritde manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs ~v1, . . . , ~vn.
Pour tout vecteur ~v ∈ E, il existe donc un unique n-uplet (x1, . . . , xn) ∈ Kn tel que~v = x1~v1 + · · ·+ xn~vn.
Les scalaires x1, . . . , xn de cette décomposition sont appelés les coordonnées de ~vdans la base B.
Exemple 3.7 (Base canonique)
Dans le R-e.v. Rn, la famille de vecteurs (~e1, . . . ,~en) où ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)(le 1 étant à la i-ème position), est une base de Rn appelée base canonique de Rn.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.5 (Familles génératrices, bases)
1 Une famille de vecteurs (~v1, . . . , ~vp) d'un e.v. E est dite génératrice si toutvecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de ~v1, . . . , ~vp.
2 Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E.
Proposition 3.6 (Coordonnées)
La famille B = (~v1, . . . , ~vn) est une base d'un K-e.v. E ssi tout vecteur de E s'écritde manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs ~v1, . . . , ~vn.
Pour tout vecteur ~v ∈ E, il existe donc un unique n-uplet (x1, . . . , xn) ∈ Kn tel que~v = x1~v1 + · · ·+ xn~vn.
Les scalaires x1, . . . , xn de cette décomposition sont appelés les coordonnées de ~vdans la base B.
Exemple 3.7 (Base canonique)
Dans le R-e.v. Rn, la famille de vecteurs (~e1, . . . ,~en) où ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)(le 1 étant à la i-ème position), est une base de Rn appelée base canonique de Rn.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.5 (Familles génératrices, bases)
1 Une famille de vecteurs (~v1, . . . , ~vp) d'un e.v. E est dite génératrice si toutvecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de ~v1, . . . , ~vp.
2 Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E.
Proposition 3.6 (Coordonnées)
La famille B = (~v1, . . . , ~vn) est une base d'un K-e.v. E ssi tout vecteur de E s'écritde manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs ~v1, . . . , ~vn.
Pour tout vecteur ~v ∈ E, il existe donc un unique n-uplet (x1, . . . , xn) ∈ Kn tel que~v = x1~v1 + · · ·+ xn~vn.
Les scalaires x1, . . . , xn de cette décomposition sont appelés les coordonnées de ~vdans la base B.
Exemple 3.7 (Base canonique)
Dans le R-e.v. Rn, la famille de vecteurs (~e1, . . . ,~en) où ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)(le 1 étant à la i-ème position), est une base de Rn appelée base canonique de Rn.
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3. Dimension d'un espace vectoriel a) Familles libres, génératrices, bases
Dé�nition 3.5 (Familles génératrices, bases)
1 Une famille de vecteurs (~v1, . . . , ~vp) d'un e.v. E est dite génératrice si toutvecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de ~v1, . . . , ~vp.
2 Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E.
Proposition 3.6 (Coordonnées)
La famille B = (~v1, . . . , ~vn) est une base d'un K-e.v. E ssi tout vecteur de E s'écritde manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs ~v1, . . . , ~vn.
Pour tout vecteur ~v ∈ E, il existe donc un unique n-uplet (x1, . . . , xn) ∈ Kn tel que~v = x1~v1 + · · ·+ xn~vn.
Les scalaires x1, . . . , xn de cette décomposition sont appelés les coordonnées de ~vdans la base B.
Exemple 3.7 (Base canonique)
Dans le R-e.v. Rn, la famille de vecteurs (~e1, . . . ,~en) où ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)(le 1 étant à la i-ème position), est une base de Rn appelée base canonique de Rn.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Dimension �nie
Dé�nition 3.8 (E.v. de dimension �nie)
On dit qu'un e.v. E est de dimension �nie s'il existe une famille �nie de vecteursgénératrice de E. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension in�nie et l'onnote par convention dimE = +∞.
Théorème 3.9 (dit de la base incomplète)
Soit E un e.v. de dimension �nie. Si L est une famille libre de E et G une famillegénératrice de E, alors on peut former une base de E en complétant L par desvecteurs bien choisis de G.
Corollaire 3.10
Dans un e.v. de dimension �nie :
1 toute famille libre peut être complétée en une base ;
2 de toute famille génératrice, on peut extraire une base.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Dimension �nie
Dé�nition 3.8 (E.v. de dimension �nie)
On dit qu'un e.v. E est de dimension �nie s'il existe une famille �nie de vecteursgénératrice de E. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension in�nie et l'onnote par convention dimE = +∞.
Théorème 3.9 (dit de la base incomplète)
Soit E un e.v. de dimension �nie. Si L est une famille libre de E et G une famillegénératrice de E, alors on peut former une base de E en complétant L par desvecteurs bien choisis de G.
Corollaire 3.10
Dans un e.v. de dimension �nie :
1 toute famille libre peut être complétée en une base ;
2 de toute famille génératrice, on peut extraire une base.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Dimension �nie
Dé�nition 3.8 (E.v. de dimension �nie)
On dit qu'un e.v. E est de dimension �nie s'il existe une famille �nie de vecteursgénératrice de E. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension in�nie et l'onnote par convention dimE = +∞.
Théorème 3.9 (dit de la base incomplète)
Soit E un e.v. de dimension �nie. Si L est une famille libre de E et G une famillegénératrice de E, alors on peut former une base de E en complétant L par desvecteurs bien choisis de G.
Corollaire 3.10
Dans un e.v. de dimension �nie :
1 toute famille libre peut être complétée en une base ;
2 de toute famille génératrice, on peut extraire une base.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
14
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
14
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
14
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
14
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Corollaire 3.11 (Existence de bases)
Tout e.v. de dimension �nie admet une base (�nie).
Théorème-dé�nition 3.12 (Dimension)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n appelé la dimension
de E . Ce nombre est noté dimE.
2 Toute famille libre de E contient au plus n éléments.
3 Toute famille génératrice de E contient au moins n éléments.
4 Toute famille libre de n éléments de E est une base.
5 Toute famille génératrice de n éléments de E est une base.
Par convention, on pose dim {~0} = 0.
Corollaire 3.13 (Dimension in�nie)
Si un e.v. possède des familles libres de cardinal arbitrairement grand, alors il est dedimension in�nie.
14
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Exemple 3.14
1 Un e.v. de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite vectorielle (resp. plan vectoriel).
2 Le K-e.v. Kn est de dimension n. C'est le K-e.v. canonique de dimension n.
3 L'ensemble Kn[X ] des polynômes de K[X ] de degré au plus n est un K-e.v. dedimension n + 1. La famille de polynômes (X k)06k6n en est une base appeléebase canonique.
4 Le K-e.v. K[X ] est de dimension in�nie puisque la famille de polynômes(X k)06k6n y est libre pour n arbitrairement grand.
5 L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R est un R-e.v. de dimension in�nie
puisque la famille des fonctions (x 7→ ekx)16k6n y est libre pour n arbitrairementgrand.
6 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivables deI dans C,
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′(t) + au(t) = 0, t ∈ I ,est une droite vectorielle ;
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′′(t)+au′(t)+bu(t)=0,t ∈ I , est un plan vectoriel.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Exemple 3.14
1 Un e.v. de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite vectorielle (resp. plan vectoriel).
2 Le K-e.v. Kn est de dimension n. C'est le K-e.v. canonique de dimension n.
3 L'ensemble Kn[X ] des polynômes de K[X ] de degré au plus n est un K-e.v. dedimension n + 1. La famille de polynômes (X k)06k6n en est une base appeléebase canonique.
4 Le K-e.v. K[X ] est de dimension in�nie puisque la famille de polynômes(X k)06k6n y est libre pour n arbitrairement grand.
5 L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R est un R-e.v. de dimension in�nie
puisque la famille des fonctions (x 7→ ekx)16k6n y est libre pour n arbitrairementgrand.
6 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivables deI dans C,
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′(t) + au(t) = 0, t ∈ I ,est une droite vectorielle ;
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′′(t)+au′(t)+bu(t)=0,t ∈ I , est un plan vectoriel.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Exemple 3.14
1 Un e.v. de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite vectorielle (resp. plan vectoriel).
2 Le K-e.v. Kn est de dimension n. C'est le K-e.v. canonique de dimension n.
3 L'ensemble Kn[X ] des polynômes de K[X ] de degré au plus n est un K-e.v. dedimension n + 1. La famille de polynômes (X k)06k6n en est une base appeléebase canonique.
4 Le K-e.v. K[X ] est de dimension in�nie puisque la famille de polynômes(X k)06k6n y est libre pour n arbitrairement grand.
5 L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R est un R-e.v. de dimension in�nie
puisque la famille des fonctions (x 7→ ekx)16k6n y est libre pour n arbitrairementgrand.
6 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivables deI dans C,
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′(t) + au(t) = 0, t ∈ I ,est une droite vectorielle ;
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′′(t)+au′(t)+bu(t)=0,t ∈ I , est un plan vectoriel.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Exemple 3.14
1 Un e.v. de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite vectorielle (resp. plan vectoriel).
2 Le K-e.v. Kn est de dimension n. C'est le K-e.v. canonique de dimension n.
3 L'ensemble Kn[X ] des polynômes de K[X ] de degré au plus n est un K-e.v. dedimension n + 1. La famille de polynômes (X k)06k6n en est une base appeléebase canonique.
4 Le K-e.v. K[X ] est de dimension in�nie puisque la famille de polynômes(X k)06k6n y est libre pour n arbitrairement grand.
5 L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R est un R-e.v. de dimension in�nie
puisque la famille des fonctions (x 7→ ekx)16k6n y est libre pour n arbitrairementgrand.
6 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivables deI dans C,
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′(t) + au(t) = 0, t ∈ I ,est une droite vectorielle ;
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′′(t)+au′(t)+bu(t)=0,t ∈ I , est un plan vectoriel.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Exemple 3.14
1 Un e.v. de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite vectorielle (resp. plan vectoriel).
2 Le K-e.v. Kn est de dimension n. C'est le K-e.v. canonique de dimension n.
3 L'ensemble Kn[X ] des polynômes de K[X ] de degré au plus n est un K-e.v. dedimension n + 1. La famille de polynômes (X k)06k6n en est une base appeléebase canonique.
4 Le K-e.v. K[X ] est de dimension in�nie puisque la famille de polynômes(X k)06k6n y est libre pour n arbitrairement grand.
5 L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R est un R-e.v. de dimension in�nie
puisque la famille des fonctions (x 7→ ekx)16k6n y est libre pour n arbitrairementgrand.
6 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivables deI dans C,
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′(t) + au(t) = 0, t ∈ I ,est une droite vectorielle ;
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′′(t)+au′(t)+bu(t)=0,t ∈ I , est un plan vectoriel.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Exemple 3.14
1 Un e.v. de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite vectorielle (resp. plan vectoriel).
2 Le K-e.v. Kn est de dimension n. C'est le K-e.v. canonique de dimension n.
3 L'ensemble Kn[X ] des polynômes de K[X ] de degré au plus n est un K-e.v. dedimension n + 1. La famille de polynômes (X k)06k6n en est une base appeléebase canonique.
4 Le K-e.v. K[X ] est de dimension in�nie puisque la famille de polynômes(X k)06k6n y est libre pour n arbitrairement grand.
5 L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R est un R-e.v. de dimension in�nie
puisque la famille des fonctions (x 7→ ekx)16k6n y est libre pour n arbitrairementgrand.
6 Soit a, b ∈ C et I un intervalle de R. Dans le C-e.v. des applications dérivables deI dans C,
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′(t) + au(t) = 0, t ∈ I ,est une droite vectorielle ;
• l'ensemble des solutions de l'équation di�érentielle u′′(t)+au′(t)+bu(t)=0,t ∈ I , est un plan vectoriel.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Dé�nition 3.15 (Vecteurs échelonnés)
Soit E un e.v. de dimension �nie et soit B une base de E.Une famille de vecteurs (v1, . . . , vp) de E est dite échelonnée relativement à la base
B lorsque, pour tout k ∈ {1, . . . , p − 1}, l'écriture des coordonnées de vk+1 dans labase B commence par un nombre de zéros strictement plus grand que celui de vk ,sauf si vk = vk+1 = 0.
Proposition 3.16
Toute famille de vecteurs non nuls échelonnée relativement à une base estnécessairement libre.
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3. Dimension d'un espace vectoriel b) Propriétés en dimension �nie
Dé�nition 3.15 (Vecteurs échelonnés)
Soit E un e.v. de dimension �nie et soit B une base de E.Une famille de vecteurs (v1, . . . , vp) de E est dite échelonnée relativement à la base
B lorsque, pour tout k ∈ {1, . . . , p − 1}, l'écriture des coordonnées de vk+1 dans labase B commence par un nombre de zéros strictement plus grand que celui de vk ,sauf si vk = vk+1 = 0.
Proposition 3.16
Toute famille de vecteurs non nuls échelonnée relativement à une base estnécessairement libre.
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3. Dimension d'un espace vectoriel c) Sous-espace en dimension �nie
Théorème 3.17 (Dimension d'un s.e.v.)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Soit F un s.e.v. de E.Alors F est de dimension �nie et dimF 6 dimE.Si de plus dimF = dimE alors F = E.
2 Soit F et G deux s.e.v. de E.• dim (F + G) = dimF + dimG − dim (F ∩ G) (formule de Grassmann).
• Si F ⊂ G et dimF = dimG alors F = G.
Corollaire 3.18
Soit E un e.v. de dimension �nie, F et G deux s.e.v. de E tels quedimF + dimG > dimE. Alors F ∩ G 6= {0}.
Exemple 3.19
1 Un s.e.v. de dim. n − 1 d'un e.v. de dim. n est appelé hyperplan vectoriel.
2 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn\{(0, . . . , 0)}. L'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un hyperplan vectoriel de Kn.
3 Soit α ∈ K. L'ensemble {P ∈ Kn[X ] : P(α) = 0} est un hyperplan de Kn[X ].
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3. Dimension d'un espace vectoriel c) Sous-espace en dimension �nie
Théorème 3.17 (Dimension d'un s.e.v.)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Soit F un s.e.v. de E.Alors F est de dimension �nie et dimF 6 dimE.Si de plus dimF = dimE alors F = E.
2 Soit F et G deux s.e.v. de E.• dim (F + G) = dimF + dimG − dim (F ∩ G) (formule de Grassmann).
• Si F ⊂ G et dimF = dimG alors F = G.
Corollaire 3.18
Soit E un e.v. de dimension �nie, F et G deux s.e.v. de E tels quedimF + dimG > dimE. Alors F ∩ G 6= {0}.
Exemple 3.19
1 Un s.e.v. de dim. n − 1 d'un e.v. de dim. n est appelé hyperplan vectoriel.
2 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn\{(0, . . . , 0)}. L'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un hyperplan vectoriel de Kn.
3 Soit α ∈ K. L'ensemble {P ∈ Kn[X ] : P(α) = 0} est un hyperplan de Kn[X ].
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3. Dimension d'un espace vectoriel c) Sous-espace en dimension �nie
Théorème 3.17 (Dimension d'un s.e.v.)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Soit F un s.e.v. de E.Alors F est de dimension �nie et dimF 6 dimE.Si de plus dimF = dimE alors F = E.
2 Soit F et G deux s.e.v. de E.• dim (F + G) = dimF + dimG − dim (F ∩ G) (formule de Grassmann).
• Si F ⊂ G et dimF = dimG alors F = G.
Corollaire 3.18
Soit E un e.v. de dimension �nie, F et G deux s.e.v. de E tels quedimF + dimG > dimE. Alors F ∩ G 6= {0}.
Exemple 3.19
1 Un s.e.v. de dim. n − 1 d'un e.v. de dim. n est appelé hyperplan vectoriel.
2 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn\{(0, . . . , 0)}. L'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un hyperplan vectoriel de Kn.
3 Soit α ∈ K. L'ensemble {P ∈ Kn[X ] : P(α) = 0} est un hyperplan de Kn[X ].
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3. Dimension d'un espace vectoriel c) Sous-espace en dimension �nie
Théorème 3.17 (Dimension d'un s.e.v.)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Soit F un s.e.v. de E.Alors F est de dimension �nie et dimF 6 dimE.Si de plus dimF = dimE alors F = E.
2 Soit F et G deux s.e.v. de E.• dim (F + G) = dimF + dimG − dim (F ∩ G) (formule de Grassmann).
• Si F ⊂ G et dimF = dimG alors F = G.
Corollaire 3.18
Soit E un e.v. de dimension �nie, F et G deux s.e.v. de E tels quedimF + dimG > dimE. Alors F ∩ G 6= {0}.
Exemple 3.19
1 Un s.e.v. de dim. n − 1 d'un e.v. de dim. n est appelé hyperplan vectoriel.
2 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn\{(0, . . . , 0)}. L'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un hyperplan vectoriel de Kn.
3 Soit α ∈ K. L'ensemble {P ∈ Kn[X ] : P(α) = 0} est un hyperplan de Kn[X ].
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3. Dimension d'un espace vectoriel c) Sous-espace en dimension �nie
Théorème 3.17 (Dimension d'un s.e.v.)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Soit F un s.e.v. de E.Alors F est de dimension �nie et dimF 6 dimE.Si de plus dimF = dimE alors F = E.
2 Soit F et G deux s.e.v. de E.• dim (F + G) = dimF + dimG − dim (F ∩ G) (formule de Grassmann).
• Si F ⊂ G et dimF = dimG alors F = G.
Corollaire 3.18
Soit E un e.v. de dimension �nie, F et G deux s.e.v. de E tels quedimF + dimG > dimE. Alors F ∩ G 6= {0}.
Exemple 3.19
1 Un s.e.v. de dim. n − 1 d'un e.v. de dim. n est appelé hyperplan vectoriel.
2 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn\{(0, . . . , 0)}. L'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un hyperplan vectoriel de Kn.
3 Soit α ∈ K. L'ensemble {P ∈ Kn[X ] : P(α) = 0} est un hyperplan de Kn[X ].
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3. Dimension d'un espace vectoriel c) Sous-espace en dimension �nie
Théorème 3.17 (Dimension d'un s.e.v.)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
1 Soit F un s.e.v. de E.Alors F est de dimension �nie et dimF 6 dimE.Si de plus dimF = dimE alors F = E.
2 Soit F et G deux s.e.v. de E.• dim (F + G) = dimF + dimG − dim (F ∩ G) (formule de Grassmann).
• Si F ⊂ G et dimF = dimG alors F = G.
Corollaire 3.18
Soit E un e.v. de dimension �nie, F et G deux s.e.v. de E tels quedimF + dimG > dimE. Alors F ∩ G 6= {0}.
Exemple 3.19
1 Un s.e.v. de dim. n − 1 d'un e.v. de dim. n est appelé hyperplan vectoriel.
2 Soit (a1, . . . , an) ∈ Kn\{(0, . . . , 0)}. L'ensemble{(x1, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + · · ·+ anxn = 0} est un hyperplan vectoriel de Kn.
3 Soit α ∈ K. L'ensemble {P ∈ Kn[X ] : P(α) = 0} est un hyperplan de Kn[X ].
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3. Dimension d'un espace vectoriel d) Supplémentarité en dimension �nie
Proposition 3.20 (Supplémentarité et dimension)
Soit F et G deux s.e.v. d'un e.v. E de dimension �nie.
E = F ⊕ G ⇐⇒ F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE
⇐⇒ E = F + G et dimF + dimG = dimE
Proposition 3.21
Deux s.e.v. F et G d'un e.v. E de dimension �nie sont supplémentaires ssi on peutformer une base BE de E en accolant une base BF de F et une base BG de G :BE = BF ∪ BG et alors dimE = dimF + dimG.
Une telle base de E obtenue en accolant une base de F et une base de G est diteadaptée à la supplémentarité de F et G.
Théorème 3.22 (Existence de s.e.v. supplémentaires)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
Tout s.e.v. de E possède au moins un supplémentaire dans E.
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3. Dimension d'un espace vectoriel d) Supplémentarité en dimension �nie
Proposition 3.20 (Supplémentarité et dimension)
Soit F et G deux s.e.v. d'un e.v. E de dimension �nie.
E = F ⊕ G ⇐⇒ F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE
⇐⇒ E = F + G et dimF + dimG = dimE
Proposition 3.21
Deux s.e.v. F et G d'un e.v. E de dimension �nie sont supplémentaires ssi on peutformer une base BE de E en accolant une base BF de F et une base BG de G :BE = BF ∪ BG et alors dimE = dimF + dimG.
Une telle base de E obtenue en accolant une base de F et une base de G est diteadaptée à la supplémentarité de F et G.
Théorème 3.22 (Existence de s.e.v. supplémentaires)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
Tout s.e.v. de E possède au moins un supplémentaire dans E.
18
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3. Dimension d'un espace vectoriel d) Supplémentarité en dimension �nie
Proposition 3.20 (Supplémentarité et dimension)
Soit F et G deux s.e.v. d'un e.v. E de dimension �nie.
E = F ⊕ G ⇐⇒ F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE
⇐⇒ E = F + G et dimF + dimG = dimE
Proposition 3.21
Deux s.e.v. F et G d'un e.v. E de dimension �nie sont supplémentaires ssi on peutformer une base BE de E en accolant une base BF de F et une base BG de G :BE = BF ∪ BG et alors dimE = dimF + dimG.
Une telle base de E obtenue en accolant une base de F et une base de G est diteadaptée à la supplémentarité de F et G.
Théorème 3.22 (Existence de s.e.v. supplémentaires)
Soit E un e.v. de dimension �nie.
Tout s.e.v. de E possède au moins un supplémentaire dans E.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Rang d'une famille de vecteurs
Dé�nition 3.23 (Rang d'une famille de vecteurs)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v.On appelle rang de la famille (~v1, . . . , ~vp), et on note rg(~v1, . . . , ~vp), la dimension dus.e.v. Vect(~v1, . . . , ~vp).
Proposition 3.24
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v. E .
1 rg(~v1, . . . , ~vp) 6 p avec égalité ssi la famille est libre.
2 Si E est de dimension �nie,
• rg(~v1, . . . , ~vp) 6 dimE avec égalité ssi la famille est génératrice ;• rg(~v1, . . . , ~vp) = p = dimE ssi (~v1, . . . , ~vp) est une base de E.
Proposition 3.25
On ne modi�e pas le rang d'une famille de vecteurs lorsque :
• on change l'ordre des vecteurs de la famille ;
• on multiplie un vecteur par un scalaire non nul ;
• on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Rang d'une famille de vecteurs
Dé�nition 3.23 (Rang d'une famille de vecteurs)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v.On appelle rang de la famille (~v1, . . . , ~vp), et on note rg(~v1, . . . , ~vp), la dimension dus.e.v. Vect(~v1, . . . , ~vp).
Proposition 3.24
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v. E .
1 rg(~v1, . . . , ~vp) 6 p avec égalité ssi la famille est libre.
2 Si E est de dimension �nie,
• rg(~v1, . . . , ~vp) 6 dimE avec égalité ssi la famille est génératrice ;• rg(~v1, . . . , ~vp) = p = dimE ssi (~v1, . . . , ~vp) est une base de E.
Proposition 3.25
On ne modi�e pas le rang d'une famille de vecteurs lorsque :
• on change l'ordre des vecteurs de la famille ;
• on multiplie un vecteur par un scalaire non nul ;
• on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Rang d'une famille de vecteurs
Dé�nition 3.23 (Rang d'une famille de vecteurs)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v.On appelle rang de la famille (~v1, . . . , ~vp), et on note rg(~v1, . . . , ~vp), la dimension dus.e.v. Vect(~v1, . . . , ~vp).
Proposition 3.24
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v. E .
1 rg(~v1, . . . , ~vp) 6 p avec égalité ssi la famille est libre.
2 Si E est de dimension �nie,
• rg(~v1, . . . , ~vp) 6 dimE avec égalité ssi la famille est génératrice ;• rg(~v1, . . . , ~vp) = p = dimE ssi (~v1, . . . , ~vp) est une base de E.
Proposition 3.25
On ne modi�e pas le rang d'une famille de vecteurs lorsque :
• on change l'ordre des vecteurs de la famille ;
• on multiplie un vecteur par un scalaire non nul ;
• on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Rang d'une famille de vecteurs
Dé�nition 3.23 (Rang d'une famille de vecteurs)
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v.On appelle rang de la famille (~v1, . . . , ~vp), et on note rg(~v1, . . . , ~vp), la dimension dus.e.v. Vect(~v1, . . . , ~vp).
Proposition 3.24
Soit (~v1, . . . , ~vp) une famille de vecteurs d'un e.v. E .
1 rg(~v1, . . . , ~vp) 6 p avec égalité ssi la famille est libre.
2 Si E est de dimension �nie,
• rg(~v1, . . . , ~vp) 6 dimE avec égalité ssi la famille est génératrice ;• rg(~v1, . . . , ~vp) = p = dimE ssi (~v1, . . . , ~vp) est une base de E.
Proposition 3.25
On ne modi�e pas le rang d'une famille de vecteurs lorsque :
• on change l'ordre des vecteurs de la famille ;
• on multiplie un vecteur par un scalaire non nul ;
• on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Rang d'une famille de vecteurs
Remarque 3.26 (Rang d'un système linéaire)
Si (S) est un système linéaire de n équations à p inconnues de la forme :
a11x1 + · · ·+ a1jxj+ · · ·+ a1pxp = b1...
ai1x1 + · · ·+ aijxj+ · · ·+ aipxp = bi...
an1x1 + · · ·+ anjxj+ · · ·+ anpxp = bn
Alors le rang du système (S) est égal au rang de la famille de vecteurs (~v1, . . . , ~vp)où ~vj est le vecteur de Kn de coordonnées (a1j , . . . , anj ) dans la base canoniquede Kn.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
1 Faisons apparaître des zéros sur la première ligne à partir de la deuxième colonne :
~u′1 ~u′2 ~u′3 ~u′4 ~u′51 0 0 0 01 −3 −3 −1 −40 2 2 1 35 −14 −14 −5 −19
~e1~e2~e3~e4
avec ~u′1 = ~u1, ~u′2 = ~u2 − 2~u1, ~u
′3 = ~u3 − 4~u1, ~u
′4 = ~u4 − ~u1, ~u′5 = ~u5 − 4~u1.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
2 Faisons apparaître des zéros sur la deuxième ligne à partir de la troisième colonne :
~u′′1 ~u′′2 ~u′′3 ~u′′4 ~u′′51 0 0 0 01 −3 0 0 00 2 0 1 15 −14 0 −1 −1
~e1~e2~e3~e4
avec ~u′′1 = ~u′1, ~u′′2 = ~u′2, ~u
′′3 = ~u′3 − ~u′2, ~u′′4 = 3~u′4 − ~u′2, ~u′′5 = 3~u′5 − 4~u′2.
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
3 Le terme apparaissant à l'intersection des troisième ligne et troisième colonneétant nul, on permute par exemple les vecteurs ~u′′3 et ~u′′5 :
~u′′1 ~u′′2 ~u′′5 ~u′′4 ~u′′31 0 0 0 01 −3 0 0 00 2 1 1 05 −14 −1 −1 0
~e1~e2~e3~e4
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
4 Faisons apparaître des zéros sur la troisième ligne à partir de la quatrième colonne :
~u′′′1 ~u′′′2 ~u′′′3 ~u′′′4 ~u′′′51 0 0 0 01 −3 0 0 00 2 1 0 05 −14 −1 0 0
~e1~e2~e3~e4
avec ~u′′′1 = ~u′′1 , ~u′′′2 = ~u′′2 , ~u
′′′3 = ~u′′5 , ~u
′′′4 = ~u′′4 − ~u′′5 , ~u′′′5 = ~u′′3 .
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3. Dimension d'un espace vectoriel e) Méthode des zéros échelonnés
Exemple 3.27 (Méthode des zéros échelonnés)
Dans le K-espace vectoriel E = K4 rapporté à sa base canonique (~e1,~e2,~e3,~e4), onconsidère la famille de vecteurs S = (~u1, ~u2, ~u3, ~u4, ~u5) où
~u1 = (1, 1, 0, 5), ~u2 = (2,−1, 2,−4), ~u3 = (4, 1, 2, 6), ~u4 = (1, 0, 1, 0), ~u5 = (4, 0, 3, 1).
On remarque que card(S) = 5 > 4 = dim(E), le système S est donc lié.
Pour déterminer le rang de S, on dispose ses vecteurs sous forme d'un tableau :
~u1 ~u2 ~u3 ~u4 ~u51 2 4 1 41 −1 1 0 00 2 2 1 35 −4 6 0 1
~e1~e2~e3~e4
5 Ainsi,
Vect(S) = Vect(~u′′′1 , ~u′′′2 , ~u
′′′3 ) = Vect(~u1, ~u2 − 2~u1, 3~u5 − 4~u2 − 4~u1).
La famille((1, 1, 0, 5), (0,−3, 2,−14), (0, 0, 1,−1)
)est une base de Vect(S) et
alorsrang(S) = 3.
De plus les égalités ~u′′′4 =~u′′′5 =~0 conduisent progressivement à ~u′′4 −~u′′5 =~u′′3 =~0,puis ~u′2 + ~u′4 − ~u′5 = ~u′3 − ~u′2 = ~0 et en�n
~u3 = 2~u1 + ~u2 et ~u5 = ~u1 + ~u2 + ~u4.21