VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 13: ESPACIO MTRICO

1.- ngulos en el espacio

2.- Distancias en el espacio.

3.- Otros problemas mtricos.

Introduccin.

En este ltimo de tema de Geometra vamos a estudiar lo relativo a la mtrica, es decir, a la medida. Si en el tema anterior hemos estudiado, por ejemplo, la posicin relativa de distintos objetos geomtricos, aqu afinaremos un poco ms y veremos el ngulo que forman entre ellos; tambin estudiaremos la distancia entre dos de esos objetos (puntos, rectas, planos), as como distintos problemas geomtricos de aplicacin de lo visto. No obstante, debemos tener claro que en este tema no habr ningn concepto nuevo sino que todo ser a partir de las herramientas ya vistas.1.- ngulos en el espacio

En este apartado nos vamos a preguntar cmo podemos calcular el ngulo que forman los diferentes elementos del espacio, es decir, las rectas y los planos (es obvio que los puntos no forman ngulos). As, analizaremos las siguientes situaciones:

ngulo que forman dos rectas

ngulo que forman dos planos

ngulo que forman recta y plano.

Debemos tener siempre presente, al calcular los siguientes ngulos, que el ngulo que forman dos objetos geomtricos no es nico, habiendo un ngulo corto (agudo) y otro largo (obtuso), a menos que formen un ngulo recto. Teniendo en cuenta que la eleccin de vectores es aleatoria, pudiendo ser vector director de una recta por ejemplo un vector y su opuesto, debemos tener presente que podemos tomar siempre el ngulo agudo si se nos antoja, como por otro lado se suele hacer (lo que correspondera con tomar siempre el coseno positivo aunque nos salga negativo).

Antes de comenzar a analizar cada una de las situaciones anteriores vamos a repasar el concepto de:

ngulo que forman dos vectores. Dados dos vectores

= (x1, y1, z1) y = (x2, y2, z2), la definicin de producto escalar nos dice que:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 =

A partir de la definicin de producto escalar podamos despejar el coseno:

De ah tenemos que:

ngulo que forman y = = arcos

Esto es algo que ya habamos visto en el tema de vectores. Ejemplo:Halla el ngulo que forman los vectores y

;

.

Buscando con la calculadora el ngulo cuyo coseno es , se obtiene

Una vez visto esto, estamos en condiciones de comenzar.

ngulo que forman dos rectas. Si tenemos dos rectas r y s, y tomamos vectores directores de cada una de ellas entonces el ngulo que forman dichas rectas ser el ngulo que forman sus vectores directores.

Es decir,

Por tanto, todo se reduce al calcular el ngulo formado por dos vectores, que ya s sabemos hacerlo.

De la definicin de producto escalar, se obtiene:

(Nota: Tomamos el valor absoluto a fin de obtener el menor de los ngulos que forman las rectas.

Ejemplo:

Calcula el ngulo que formado por r y s siendo:

Los vectores de direccin de las respectivas rectas son y , por tanto,

( ( = 71,68

ngulo que forman dos planos.

Dados dos planos , el ngulo que forman dichos planos slo tiene sentido calcularlo cuando stos se corten, pues en caso contrario el ngulo ser 0. Siendo ese el caso, el ngulo formado por dos planos es igual al que forman sus vectores normales.

Dos planos y , consideremos sus vectores normales , tal y como vemos en la figura:

EjemploCalcula el ngulo que forman los planos ;

Los vectores perpendiculares a cada uno de los planos son: y .

, que es el ngulo formado por

ngulo que forman recta y plano. Igual que en el caso anterior vamos a considerar una recta r y un plano ( que se corten, pues en otro caso el ngulo que forman es 0. Si consideramos entonces un vector director de la recta y un vector normal del plano , como en la figura:

Tenemos que si es el ngulo que forman la recta y el plano, entonces ser el ngulo que forman el vector director de la recta, , y el vector normal del plano . Hay que indicar que ( y ( son complementariosAs pues:

Por tanto, a partir de y de , lo primero que haramos sera hallar (:

A continuacin, hallaramos ( teniendo en cuenta que .

No obstante, al ser ( y ( complementarios, se verifica que por lo que:

y calculamos el ngulo formado por la recta y el plano directamente

Ejemplo:

Calcula el ngulo que forma la recta con el plano de ecuacin

Vector perpendicular al plano: = (1, 3, 1)

Vector director de la recta = (1, 2, -1)

; ( = 47,6

2.- Distancias en el espacio.

En este apartado nos plantearemos cmo calcular distancias entre puntos, rectas y planos. Concretamente, resolveremos las siguientes situaciones:

Distancia entre dos puntos

Distancia de un punto a una recta

Distancia de un punto a un plano

Distancia entre dos rectas: paralelas o que se crucen

Distancia de una recta a un plano

Distancia entre dos planosDistancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos A y B es el mdulo del vector que une dichos puntos.

Si las coordenadas de los puntos son y

y entonces,

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos A(1, 3, 0) y B((1, 2, 3)

Distancia de un punto a una recta. Sea una recta r, definida por un vector director y un punto A(x0, y0, z0), y un punto exterior a la recta P = (x1, y1, z1), consideramos la siguiente figura:

En el anterior paralelogramo, el rea vendr dado, segn consideremos, por:

rea = o tambin:rea =

De ah, como la distancia entre el punto y la recta es precisamente la altura de ese paralelogramo, tenemos que:

Ejemplo:

Halla la distancia del punto P(1, (2, 2) a la recta dada por las siguientes ecuaciones paramtricas:

Un punto de la recta es A(2, 1, (1) y el vector director de la recta es = ((1, 2, (1),

Si hacemos y posteriormente el producto vectorial con

;

Distancia de un punto a un plano.Dado el plano y un punto que no est en el plano, nos plantemos cmo hallar la distancia entre ambos.

Del plano podemos extraer el vector , que es perpendicular al plano, y un punto . Adems, si llamamos Q a la proyeccin de P sobre el plano, est claro que

Pero como el tringulo es rectngulo, como se observa en la figura, tenemos que:

.

pero teniendo en cuenta la definicin de producto escalar, , luego,

Si utilizamos las coordenadas de R, P y resulta:

; y entonces,

pero como , cumple su ecuacin, es decir, , o lo que es lo mismo

Si sustituimos en la expresin anterior nos queda:

Ejemplo:

Calcula la distancia del punto P(1, 2, (1) al plano

Distancia entre dos rectas paralelas.

Sean r y s dos rectas paralelas, entonces basta tomar un punto cualquiera de una de ellas, por ejemplo Py calcular la distancia de P a s:

Ejemplo:

Halla la distancia de la recta r: a la recta s:

Antes de nada, habra que estudiar la posicin relativa de r y s.

Est claro que de r y s podemos sacar un punto y un vector

Puede observarse que los vectores son idnticos por lo que hay paralelismo o coincidencia, pero como el punto A no pertenece a r, tendremos asegurado el paralelismo.As pues es decir, tenemos que calcular la distancia entre

Recordemos que vena dada por la frmula:

Si hacemos y posteriormente el producto vectorial con

;

(Mnima) Distancia entre dos rectas que se cruzan.

Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan podemos proceder de dos formas:

1 Forma:

Dndonos cuenta que, a partir de dos rectas que se cruzan, podemos obtener un paraleleppedo definido por los vectores siendo dun punto y un vector director de cada una de las rectas.

r: ; s:

Est claro que, en dicho paraleleppedo se cumple:

Volumen = rea de la base = Altura = y como sabemos que:

Volumen del paraleleppedo = rea de la base x altura Sustituyendo por sus correspondientes expresiones, tenemos:

de donde tenemos:

2 Forma:

Construiremos el plano ( que contiene a s y es paralelo a r. A continuacin, calculamos la distancia de un punto de la recta r al plano (

As, si r y s son dos rectas que se cruzan, siendo sus ecuaciones

r:; s:

para hallar la distancia entre dichas rectas procedemos de la forma siguiente:

a. Hallamos la ecuacin del plano ( que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. Para ello, utilizaremos el punto Q y los vectores de las dos rectas:

(:

b. Despus hallamos la distancia del punto de r al plano (Ejemplo:Dadas la rectas y , estudia su posicin relativa comprobando que se cruzan y halla la mnima distancia entre ellas.

Un punto de r es P(5, (1, 8) y un vector = (1, 0, 2)

Un punto de s es Q(2, 2, (1) y un vector = (3, (1, 4)

Vector

, por tanto, las rectas se cruzan.

1 Forma de hallar la distancia entre ambas rectas:

Teniendo en cuenta que = y que de donde

Tendremos entonces:

2 Forma de hallar la distancia entre ambas rectas:

Calculamos el plano que contiene a la recta s y es paralelo a r:

; (: 2x + 2y (z + 9 = 0

Ahora hallamos la distancia del punto (5, (1, 8) (que est en r) al plano hallado:

Distancia de una recta a un plano.

Si r y ( son una recta y un plano paralelos entre s (en los dems casos la distancia es 0), para calcular la distancia entre ambos basta tomar un punto cualquiera de la recta, P(r, y calcular la distancia de dicho punto al plano:

(Nota: Acabamos de hacer un ejemplo en el apartado anterior)

Distancia entre dos planos. Al igual que antes, si tenemos dos planos paralelos, basta tomar un punto de uno de ellos y calcular la distancia de ese punto al otro plano.

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los planos (: 2x + 2y (z + 9 = 0 (: 4x + 4y (2z + 8 = 0

Antes de nada, nos aseguramos que son paralelos al comprobar que tienen vectores normales proporcionales pero no son planos coincidentes

Elegimos un punto P de (, por ejemplo: P(0,0,4)

Ahora hallamos la distancia del punto P al plano (

3.- Otros problemas mtricosEn este apartado trataremos de resolver los problemas sobre:

Punto medio de un segmento.

Proyecciones

Simetras

reas y volmenes

Punto medio de un segmento. Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), entonces las coordenadas del punto medio del segmento AB vienen dadas por:

MAB

Ejemplo:

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(2,5,-3) y B(-2,5,9)

Las coordenadas del punto medio sern: MAB

Proyecciones.Proyeccin de un punto sobre una recta.Si r es una recta y P un punto cualquiera que no pertenezca a esa recta, un problema que nos podemos plantear es el de encontrar la proyeccin Q de ese punto P sobre la recta r.

Para resolver el problema debemos hallar el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto P (un vector director de la recta ser un vector normal del plano). Una vez hallado, el punto proyeccin ser la interseccin de y r.Ejemplo:Halla la proyeccin del punto P(2,0,1) respecto de la recta

Solucin:

1 Hallamos el plano que es perpendicular a la recta y pasa por P:

Ser de la forma

(ya que el vector director de la recta se convierte en el vector

normal del plano)

Como dicho plano contiene al punto P(2,0,1) entonces:

( D = -5

El plano tiene de ecuacin

2 Hallamos el punto Q, que ser la interseccin de la recta con el plano calculado

Para ello, ponemos la recta en forma paramtrica:

( y teniendo en cuenta que el plano es

La interseccin de la recta y el plano nos da: (

Llevando ( a la recta obtenemos

Proyeccin de un punto sobre un plano.Dado ahora un plano y un punto P exterior al plano, el problema es hallar la proyeccin de dicho punto sobre el plano, como vemos en la figura.

La resolucin ser similar a lo visto anteriormente. Ahora debemos calcular la recta perpendicular al plano (un vector normal del plano nos servir como director de la recta) que pase por el punto P. La proyeccin buscada ser, una vez ms, la interseccin del plano y la recta.Ejemplo:

Halla la proyeccin del punto P(4,-2,3) sobre el plano

Solucin:

1 Hallamos la recta perpendicular al plano y que pasa por P(4,-2,3)

En este caso, el vector director de la recta ser el vector normal del plano

Por tanto, la recta perpendicular ser:

2 El punto buscado ser la interseccin de esa recta con el plano:

( y llevando ( a la recta obtenemos

Proyeccin de una recta sobre un plano.An siendo ste un problema que es bastante improbable que se nos presente, daremos unas indicaciones. Una forma sera proyectar dos puntos de la recta sobre el plano como hemos visto antes y despus unirlos en la recta proyeccin. Pero es ms sencillo hallar el plano perpendicular al plano dado que contiene a la recta (cualquier vector perpendicular al plano dado, junto con un vector director y un punto de la recta nos sirven para hallarlo) y hallar la interseccin de los planos, es decir, que esas dos ecuaciones seran las implcitas de la recta buscada.

Simtricos. El clculo de puntos simtricos respecto a punto, recta y plano est directamente relacionado con los apartados anteriores. Simtrico de un punto respecto a otro dado.Para calcular el punto simtrico de un punto A respecto a otro P, basta tener en cuenta que el punto P sera en ese caso el punto medio del segmento AA, y resolver las tres ecuaciones de primer grado que resultaran.Ejemplo

Calcula el simtrico de A(2,0,1) respecto del punto P(4,2,3)

Como P es el punto medio de A(2,0,1) y (x,y,z), si aplicamos las frmulas del punto medio, resulta:

(

(

(

Las coordenadas del simtrico de A son:

Simtrico de un punto respecto a una recta.Para calcular el simtrico (P) de un punto P respecto a una recta r, calcularamos la proyeccin de P sobre r, P0, y despus resolveramos como en el caso anterior.(Ver como ejemplo el ejercicio 6 de los ejercicios resueltos)Simtrico de un punto respecto a un plano.En este caso actuaramos igual que antes, calculando la proyeccin del punto sobre el plano, y despus resolver de nuevo como en el caso del simtrico de un punto respecto a otro.(Ver como ejemplo el ejercicio 5 de los ejercicios resueltos)reas y volmenes.

Todo lo que vamos a ver ahora est ya visto con anterioridad en el tema de Vectores en el espacio, pero lo volvemos a resaltar aqu por estar relacionado con la mtrica en el espacio.

rea de un paralelogramo.Dados dos vectores y , podemos considerar el paralelogramo formado por esos dos vectores (si nos dan los vrtices, slo tendremos que formar los vectores):

En ese caso, el rea de dicho paralelogramo viene dada por: A =

rea de un tringulo.Para calcular el rea de un tringulo slo debemos tener en cuenta que el rea de un tringulo es la mitad del rea del paralelogramo. As, el rea del tringulo formado por dos vectores y ser:

A =

EMBED Equation.3 Volumen de un paraleppedo.Dados tres vectores , y , podemos formar el paraleleppedo determinado por ellos:Ya vimos que el volumen de ese paraleleppedo viene dado por:V =

Volumen de un tetraedro.Si consideramos los mismos vectores que en el apartado anterior, podemos formar un tetraedro con ellos, en cuyo caso el rea vendr dado por:

V =

Ejercicios resueltos

1.- Halla la distancia del punto P(12,-1,1) a la recta r que pasa por A(1,1,1) y tiene como vector de direccin al vector v = (3,4,0)

Solucin:

Ecuacin de la recta r:

G es un punto genrico de la recta.

es un vector variable y nos interesa el que sea perpendicular a la recta. Entonces se ha de cumplir que ( (producto escalar nulo)

y se obtiene ( = 1

El vector perpendicular a la recta ser, por tanto, y la distancia buscada es el mdulo del vector :

Otra manera:

Se aplica la frmula:

donde A(1,1,1), P(12,-1,1) y v = (3,4,0)

2.- Determina las ecuaciones vectorial, paramtricas y general del plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(2,-1,2) y C(5,-1,1). Halla la distancia del punto P(2,7,3) al plano hallado.

Solucin:

Elegimos, por ejemplo, el punto A(1,0,0) y formamos los vectores y

Ecuacin vectorial:

Ecuaciones paramtricas:

Ecuacin general:

Desarrollando el determinante se obtiene

La distancia del punto P(2,7,3) al plano hallado, se obtiene aplicando la frmula

3.- Determina un punto P de la recta que equidiste de los planos y

Solucin:

Expresamos el plano en forma cartesiana:

( :

Pasando a paramtricas la recta, obtenemos un punto genrico:

Como resulta:

con lo que se obtiene , es decir, (

De la primera ecuacin obtenemos y de la segunda

Llevando los valores de ( al punto genrico obtenemos dos puntos que equidistan de los planos dados: y

4.- Dado el plano ( de ecuacin la recta r de ecuacin y el punto P(2,1,1), calcula:

a) Ecuacin de la recta que pasa por P y es perpendicular a (b) Ecuacin del plano que pasa por P y es perpendicular a r

Solucin:

a) El vector normal del plano es un vector director de la recta, es decir,

Y teniendo en cuenta que la recta pasa por P(2,1,1),

b) En la recta r, hacemos y queda de la siguiente forma:

El vector director de la recta es un vector caracterstico del plano buscado.

Como el plano contiene al punto P(2,1,1), ( D = -6

Ecuacin del plano que pasa por P y es perpendicular a r:

5.- Halla el simtrico del punto A(0,1,-2) respecto al plano de ecuacin

Solucin:

Si la ecuacin del plano es

, el vector

caracterstico del plano

ser vector director de la recta que

pasa por A y , por tanto,

Y en paramtricas:

La interseccin de la recta y el plano nos da las coordenadas del punto M:

(

Sustituyendo ( en la ecuacin de la recta obtenemos el punto

El punto M es el punto medio del segmento

(

(

(

Coordenadas del punto simtrico de A:

6.- Halla el simtrico de A(2,0,1) respecto de la recta

Solucin:

Plano perpendicular a la recta

que pasa por A:

Como dicho plano contiene al

punto A,

( D = -5

El plano tiene de ecuacin

Ecuacin de la recta dada en paramtricas:

(

La interseccin de la recta y el plano nos da el punto M:

(

Llevando ( a la recta obtenemos

Como M es el punto medio de A y , si aplicamos las frmulas del punto medio, resulta:

(

(

(

Las coordenadas del simtrico de A son:

7.- Determina el ngulo que forman el plano y la recta

Solucin:

Aplicamos la frmula donde y

En primer lugar ponemos la recta en paramtricas:

( haciendo

En la 2 ecuacin: (

La recta r queda de la siguiente forma: donde

Y como

(

8.- Dos vrtices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide:

a) Las coordenadas de los otros dos vrtices.

b) Ecuacin del plano que contiene al paralelogramo

c) rea del paralelogramo.

Solucin:

a) Aplicando las frmulas de las coordenadas del punto medio de un segmento,

( ( (

Las coordenadas de C son:

Del mismo modo obtenemos

b) Ecuacin del plano:

Con el punto O y los vectores y podemos escribir su ecuacin:

(

d) El rea del paralelogramo podemos calcularla de la forma siguiente:

9.- Halla la ecuacin del plano ( que es perpendicular a y contiene a la recta interseccin de y

Solucin:

Ecuacin general de

(

que pasamos a paramtricas resolviendo el sistema:

Sumando se obtiene

Sustituyendo en una de las dos ecuaciones resulta y haciendo

Un punto del plano buscado puede ser el de la recta interseccin: (1,0,-2)

Los dos vectores que necesitamos sern:

El vector director de la recta interseccin:

El vector caracterstico del plano

Ecuacin del plano :

(

(Despus de desarrollar el determinante y simplificar el resultado)

10.- Halla la ecuacin del plano ( que es perpendicular a los planos y sabiendo que pasa por el punto A(4,1,2).

Solucin:

Para determinar un plano necesitamos:

Un punto

Dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre s.

El punto lo tenemos.

Los vectores caractersticos de y y son paralelos al plano y no paralelos entre s. Por tanto,

Desarrollando el determinante, es decir,

11.- Determina una constante a, para que el plano de ecuacin forme un ngulo de radianes con el plano z = 0

Solucin:

Un vector caracterstico del plano

es

Un vector caracterstico del plano

z = 0, es

Aplicando la frmula resulta:

( (

Elevando al cuadrado, (

12.- dadas las rectas

a) Halla la distancia entre las dos rectas

b) Determina la ecuacin de la perpendicular comn a las dos rectas.

Solucin:

a) Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r:

(zona sombreada)

(

Un punto de la recta r es P(2,1,0)

Ahora calculamos la distancia del punto P

al plano hallado:

b) la perpendicular comn podemos expresarla por la interseccin de los dos planos que contienen a cada una de las dos caras sombreadas:

es un vector

director de r

es un vector

director de s

El vector es perpendicular

a cada uno de los vectores dados:

Plano ; Plano

Ejercicios propuestos

1.- Estudia si las rectas

se cruzan en el espacio. Encuentra la distancia entre ellas.

Solucin:

Escogemos un punto y un vector de cada recta.

Como el determinante formado por el vector que uno los puntos de ambas rectas y los vectores directores es distinto de cero, las rectas se cruzan.

Distancia entre r y s:

2.- Se dan las rectas

a) Investiga si son paralelas.

b) En caso afirmativo, halla la ecuacin del plano que las contiene

Solucin:

Hacemos y las expresamos en paramtricas.

a) Las rectas son paralelas porque los vectores directores son proporcionales.

b) Escogemos un punto de cada recta y formamos el vector que une ambos puntos.

Con dicho vector, un vector director de una de ellas y uno de los dos puntos que conocemos, escribimos la ecuacin del plano:

3.- Determina las coordenadas del punto simtrico de A(-3,1,-7), respecto de la recta

Solucin:

Hallamos un plano perpendicular a la recta que pasa por A.

A continuacin buscamos la interseccin de la recta y el plano. El punto de interseccin es el punto medio de A y su simtrico

4.- Las rectas y se cruzan en el espacio. Calcula la distancia entre ellas y la ecuacin de la recta perpendicular comn a ambas rectas.

Solucin:

Recta perpendicular comn:

5.- Halla la distancia entre las rectas

Solucin:

6.- Comprueba que la recta es paralela al plano

y halla la distancia de la recta al plano.

Solucin:

El producto escalar del vector director de la recta y del vector caracterstico del plano ha de ser nulo. (Condicin de paralelismo de recta y plano)

7.- Halla la recta que pasa por A(1,0,2) y es paralela a los planos

y

Solucin:

8.- Las rectas se cruzan en el espacio.

Escribe las ecuaciones paramtricas de ambas rectas.

Halla un punto de r y otro punto de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro, sea perpendicular a ambas rectas.

Solucin:

a)

a) Tomamos un punto genrico de r y un punto genrico de s:

El vector ha de ser perpendicular a cada uno de los vectores directores de las rectas dadas. (Producto escalar nulo)

Resolviendo el sistema se obtiene valores que llevados a P y Q nos dan los puntos

y

9.- Considera el punto P(5,-2,9) y la recta

a) Calcula la ecuacin de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P.

b) Halla el punto de corte de las dos rectas.

Solucin:

a) Expresamos r en paramtricas y tomamos un punto genrico de la misma:

Como el producto escalar de

y v ha de ser nulo, obtenemos ( = 1

Obtenido la ecuacin de la recta s

ser:

b) Punto de corte:

10.- Sea el plano y el punto P(2,-1,1)

a) Calcula la distancia d entre el plano ( y el punto P.

b) Halla la ecuacin de un plano paralelo a ( y distinto del mismo, que tambin diste de P la misma distancia d.

c) Calcula el volumen de la figura limitada por el plano ( y los tres planos coordenados.

Solucin:

a)

b)

c) La coordenadas de los vrtices

A(12,0,0), B(0,-6,0) y C(0,0,3)

P

r

s

d

r

s

d

P

Q

Q

P

d

s

r

u

v

v = (2,-1,1)

Q

A

A(

M

B

A

EMBED SmartDraw.2

EMBED SmartDraw.2

EMBED SmartDraw.2

EMBED SmartDraw.2

EMBED SmartDraw.2

EMBED SmartDraw.2

EMBED SmartDraw.2

P

(

2

,

0

,

1

)

EMBED SmartDraw.2

P

Q

P

r(

(

r

(

Q

P

r

P

P

d

Q

P

d

r

PAGE 16

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