espacios de señalespdsfich.wdfiles.com/local--files/clases-de-teoria/teoria... · 2012-09-17 ·...
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de
Señ
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Espacios de Señales
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2
Unidad II - Señales
Señal, ruido y relación señal ruido. Definiciones. Clasificación de las
señales. Caracterización de señales estocásticas. Señales y teoría de la información. Señales de tiempo discreto. Transformaciones de la
variable independiente y del rango. Procesamiento de señales.
Operaciones básicas de procesamiento. Cuantización e interpolación.
Espacios de señales. Interpretación geométrica. Espacios normados.
Norma-p. Producto interno de señales: concepto, aplicaciones. Bases y transformaciones lineales.
Temas a tratar
• Señales y vectores.
• La relación entre álgebra lineal y señales.
• Espacios vectoriales y espacios de señales.
• Bases y transformaciones lineales.
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5
Introducción
• En general asociamos a las señales con “elementos aislados”.
• Ahora vamos a incorporar a las señales en “marcos estructurados” como los espacios vectoriales.
• Considerando a las señales como vectores de unespacio n-dimensional, podemos:
– aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de los espacios vectoriales.
– interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectiva geométrica.
– con un abordaje conceptual sencillo e intuitivo…
Pro
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6
Experimento conceptual
3
T1
T2
2
2
3
m
T
21
•Medimos la temperatura ambiente a intervalos de 1 minuto...
•Representamos en una gráfica en donde el eje de las
ordenadas indica el tiempo y el de las abscisas la magnitud de
la temperatura.
2
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7
Señales y vectores...
•Si volvemos a medir luego de 1 minuto y vemos que la
temperatura es 1 º C …
3
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8
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Señales y vectores...
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5
2
2.5
3
m
T
60En 1 hora ...
Para señales continuas...
Ya no puedo representarlo
gráficamente como un “vector”
en el espacio “tradicional”,
pero el concepto es el mismo ...
Es un solo
elemento,
vector o punto
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9
Señales y vectores...
• Definimos una señal x discreta en RN como:
• Definimos una señal x continua en R∞ como:
Pro
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10
Ahora con varios elementos...
• No nos interesa un elemento aislado…
• Sino c/u en “relación” al resto:
– Conjuntos de señales
– Espacios de señales
– Espacios lineales o vectoriales
– Espacios normados
……
…
…
…
……
…
…
……
Pro
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11
Un conjunto de
“puntos”+
un conjunto de
relaciones que lo
estructuran.
Espacio
( , )i jd x x
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12
Relaciones geométricas:
distancias, tamaños, formas,
alineaciones, ángulos, conexidad.
Otras relaciones definen
otros tipos de estructuras.
El caso más interesante es cuando
distintas estructuras interactúan
en un mismo espacio.
Espacios
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13
Métricos, topológicos, vectoriales,
afines, euclídeos, de medida,
de probabilidad, de distribuciones, ...
De Hilbert, de Banach, de Krein,
de Orlicz, de Sobolev,
de Schwartz, de Lebesgue,
...
Tipos de espacios
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Analogías entre Señales y Vectores
Normas
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Norma
• Nos proporciona información acerca del “tamaño” de
una señal o vector x:
– Es un número real no negativo:
– Es homogénea con respecto a la escala:
– Satisface la desigualdad triangular:
• Hay diferentes normas pero la más empleada es la
denominada norma-p.
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16
Norma - p
• Secuencias temporales:
• Señales continuas:
1/
1/
( )
pp
npn
pp
p
x
x t dt
x
x
1 p
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17
Cuando p es infinito
sup
sup ( )
nn
t
x
x t
x
x
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Señ
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18
2
2
1
x
x
x
Se denomina amplitud de la señal x
Se conoce como energía de la señal x
Suele llamarse acción de la señal x
Otros nombres...
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19
Ejemplo: amplitud y energía
x1
E(x)1/2
A(x)
x2
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20
¿ Y cuando p es = 0 ?
0 0
0
lim
# : 0
p
pp
nn x
x x
x
Medida de “dispersión”
Pro
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21
¿La norma-p es la única?
• Existen muchas normas, pero esta es la más
utilizada porque permite diferentes
comportamientos variando p.
Pro
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de
Señ
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22
¿Qué ocurre cuando varío p?
Superficie de
||x||p para
x = [x1, x2]
-10
0
10
-10
0
100
50
100
x1
p = 2
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
20
40
x1
p = 1.5
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
10
20
x1
p = 1
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
5
10
x1
p = 0.5
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
5
10
x1
p = 0.25
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
10
20
x1
p = 0.1
x2
||x|
| p
Pro
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24
¿La norma-p es la única?
• Otros ejemplos:
– Norma del Volumen Mínimo (similar a ||x||0)
– Norma de Cauchy
– Norma Varimax
– Otras dependiendo de la aplicación...
Pro
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de
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25
Otras medidas útiles:
2
2
1
2
1( )
2
N
nn N
T
T
P xN
P x t dtT
x
x
Potencia media de una señal
Pro
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26
2
2
1lim
2
1lim ( )
2
N
nn N
T
T
P xN N
P x t dtT T
x
x
Otras medidas útiles:
Potencia media TOTAL de una señal
Pro
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27
Px
Otras medidas útiles:
Valor cuadrático medio (RMS):
Otras: Valor medio …
Pro
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Conjuntos de Señales
El matemático alemán
George Cantor introdujo
la Teoría de Conjuntos en
siglo XIX. Pro
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29
Para ello debo primero definir un conjunto:
O el conjunto de las x, tal que p sea cierto, op es cierto, implica que x pertenece a .
Otra forma es como solución de la ecuación diferencial:
{ ; ( ) Re[ exp( )]}
=2 - , ,
x t j t
f t f
x
{ ; 0}dx xdt
x
Ejemplo: conjunto de las señales sinusoidales (1)
Una “señal” es un “punto” o elemento
de un conjunto
{ ; } p p x x
x1
x2
x4
x3
Pro
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30
{x; x(t) ≤ A1 v x(t) ≥ A2 }
{x; x(t) = 0, T1 > t v t > T2}
1 2 1 2
( ) ( )
; ( ) 0, ,
j tX x t e dt
X
x
T1 T2
Otros ejemplos...
Señales limitadas
temporalmente (2)
Señales limitadas en
amplitud (3) Señales de banda
limitada (4)( ) X
x(t)
x(t)A1
A2
tA1
A2
t
Pro
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31
Sin embargo, ...
• Un espacio es un conjunto de elementos
x que satisfacen una condición p, pero además...
– Se requieren otra/s propiedad/es para poder llamar al conjunto “espacio”...
– En particular, se debe dotar al conjunto de (al menos una):
• Estructura geométrica (espacio de señales).
• Estructura algebraica (espacio vectorial).
• …
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Estructura Geométrica
Pro
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33
Espacio de Señales
• Si al conjunto de señales definido anteriormente le
agregamos una métrica d
entonces se convierte en un espacio de señales .
• Los espacios de señales
son espacios métricos
cuyos elementos son
señales.
;d
Pro
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34
Espacio de señales
Conjunto de señales
+
Estructura geométrica
Distancia / Norma
;d
Pro
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35
Espacio de señales
Distancia / Norma
( , )i jd x x
Pro
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36
Espacio de señales
Distancia / Norma
( , )i jd x x Pro
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37
¿A qué distancia está ....
… la Catedral …
… del Edificio del Libertador?
¿402 metros?
¿o 565 metros?
¿Es igual
caminando
que en auto?
Pro
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Señ
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38
Distancia en Internet
• ¿Cómo medirían
las distancias de
comunicación
por Internet?
• ¿Es razonable
medirlas en
Kms?
Pro
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de
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39
Distancia en Internet
• Mapa parcial de Internet (30%, Enero 2005, opte.org).
• Cada línea se dibuja entre dos nodos (direcciones IP).
• La longitud indica el retardo entre nodos.
• Los colores corresponden a los dominios:
– Azul: net, ca, us
– Verde: com, org
– Rojo: mil, gov, edu
– Amarillo: jp, cn, tw, au, de
– Magenta: uk, it, pl, fr
– Oro: br, kr, nl
– Blanco: desconocido
Pro
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de
Señ
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40
Distancia en Internet
• El mundo visto desde Internet: ¿Qué pasa si modificamos las
distancias teniendo en cuenta la cantidad de conexiones?
Pro
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de
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41
Distancia en habla ruidosa
• La SNR no es una buena medida de la inteligibilidad del
habla, ¿Cómo la medimos entonces?
Pro
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de
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42
Distancia en habla ruidosa
• LAR
– Diferencia entre los espectros limpio y ruidoso:
• PESQ
– Modelo de percepción auditiva:
Leandro Di Persia, Diego Milone, Hugo Leonardo Rufiner, Masuzo Yanagida, “Perceptual
evaluation of blind source separation for robust speech recognition”, Signal Processing 88 (2008) 2578– 2583.
Pro
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de
Señ
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44
Entonces …
• Diferentes relaciones, diferentes maneras
de medir distancias, estructuran el
espacio de diferentes formas.
Pro
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Dig
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de
Señ
ales
45
Ejemplo: Espacios señales “equidistantes”
A, B, C, D, F{ } = E
d(P,Q)=0, si P es igual a Q,
d(P,Q)=1, si P es distinto de Q.
Definimos:
Pro
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mie
nto
Dig
ital
de
Señ
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46
Algunos bytes, señales, puntos
0000000 0111100
0001111 1011010
0110011 1100110
1010101 1101001
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
47
¿En cuántas posiciones difieren?
1011010
1010101
0001111
Difieren todos exactamente en
cuatro posiciones equidistantes
Pro
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mie
nto
Dig
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de
Señ
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48
La distancia de
Hamming (1915-1998)
entre dos “palabras” es
el número de posiciones
en que difieren.
Distancia de Hamming
Pro
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mie
nto
Dig
ital
de
Señ
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49
Aplicación: Codificación señales “binarias”
100 0001111
010 0110011
001 1010101
Ocho “puntos”para codificar las
“señales”
de 3 bits
000 100
010 001
110 101
011 111
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
50
Codificación
100 0001111
010 0110011
001 1010101
000 0000000
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
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51
Codificación
100 0001111 110 0111100
010 0110011
001 1010101
000 0000000 Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
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52
Codificación
100 0001111 110 0111100
010 0110011 101 1011010
001 1010101 011 1100110
000 0000000 111 1101001
Pro
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53
Corrección de errores y borrones
100 - 0001111
010 - 0110011
001 - 1010101
000 - 0000000
¿1X00010?
110 - 0111100
101 - 1011010
011 - 1100110
111 - 1101001
1100110
011
Pro
cesa
mie
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Dig
ital
de
Señ
ales
54
Distancia
• La distancia es un concepto muy importante
asociado a un espacio.
• Nos permite dar sentido geométrico al espacio
a través de una “métrica”.
• Significados: “error” o “diferencia”,
“disimilitud” o “grado de aproximación”
entre dos señales.
Pro
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mie
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Dig
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de
Señ
ales
55
Distancia vs Norma
• Una métrica puede derivarse a partir de una norma:
• La norma se refiere a un solo elemento, mientras
que la distancia a dos ( norma ≡ distancia al origen ).
Pueden existir métricas que
no deriven de normas( , )d x y x y
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
56
yxyxdyxd 0),(0),(
),(),( xydyxd
),(),(),( zydyxdzxd
2) Es simétrica:
3) Cumple con la desigualdad del triángulo:
Distancia: Propiedades
1) Es una función de dos puntos x, y con valor real positivo:
?
Pro
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mie
nto
Dig
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de
Señ
ales
58
Distancias definida por la norma-p
• Como vimos una métrica se puede definir a partir de una
norma, por ejemplo la norma-p: ( , )p
d x y x y
Pro
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mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
60
¿Qué ocurre cuando varío p?
x1
x 2
p= 2
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p= 1
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x
0x
0 0( , )p
d x x xx
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
62
Otras distancias…
Distancia de Levenshtein (distancia de edición)
• Distancia entre palabras:
– Número mínimo de operaciones requeridas para transformar una
cadena de caracteres en otra.
– Operaciones: inserción, eliminación o sustitución de un carácter.
• Es útil en programas que determinan cuán
similares son dos cadenas de caracteres, como
es el caso de los correctores de ortografía.
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
63
Otras distancias…
Distancia de Levenshtein (distancia de edición)
• Ejemplo: la distancia de Levenshtein entre "kitten" y "sitting" es de 3 porque se necesitan al menos tres ediciones elementales para cambiar una en la otra:– kitten → sitten (sustitución de 'k' por 's')
– sitten → sittin (sustitución de 'e' por 'i')
– sittin → sitting (inserción de 'g' al final)
• Generalización de la distancia de Hamming, que
se usa para cadenas de la misma longitud y solo
considera como operación la substitución.Vladimir
Levenshtein,
Rusia 1965.
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
64
Otras distancias…
Distancia de Mahalanobis:
1( , ) ( ) ( )Td x y x y C x y
matriz de covarianza
Toma en cuenta la estadística de los datos
Prasanta
Chandra
Mahalanobis,
India 1936.
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
65
Otras distancias…
Distancia de Mahalanobis:
• Ejemplo: – Un pescador quiere medir la similitud entre salmones para vender los
grandes más caros.
– Para cada salmón mide su anchura y su longitud x = [x1, x2] (diferencias de escala).
– Si usa la distancia Euclídea el ancho casi no cuenta.
– Entonces debe incorporar la estadística de los datos: las variables con menos varianza tendrán más importancia que las de mayor varianza (σ11 y σ22 en C).
– Y debe tener en cuenta también que la longitud y anchura no son independientes (σ12 y σ21 en C).
1( , ) ( ) ( )Td x y x y C x y
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
66
Otras distancias…
• Distancia de Minkowski con pesos.
• Distancia de Hamming (ya vista).
• ….
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
67
Ejemplos de espacios de señales
• Espacio de secuencias temporales reales:
• Espacio de señales de tiempo continuo reales:
– Ambos suelen usar la métrica euclideana:
{ [ ]}; ; [ ] ; 1x n n x n n N
{ ( )}; ; ( ) ; -x t t x t t
2( , )d x y x y
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
Analogías entre Señales y Vectores
Producto Interno
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
69
Producto interno
Otra medida de
similitudentre señales
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
70
Componente de un vector en otro
• Proyección de v1 sobre v2
• Menor error de modo que:
v1 = c12 v2 + ve
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
71
Pero no cumplen la condición de error mínimo
Otras alternativas podrían ser
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
72
¿Cómo calculamos c12?
c12 |v2| = |v1| cos(q)
La componente de la componente de v1 a lo largo de
v2 será:
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
73
Además, sabemos que:
¿Cómo calculamos c12?
c12 |v2| = |v1| cos(q)
La componente de la componente de v1 a lo largo de
v2 será:
< v1 , v2 > = |v1| |v2| cos(q)
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
74
¿Cómo calculamos c12?
Ahora podemos escribir:
22
2112
,
,
vv
vvc
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
75
c12 mide el parecido entre v1 y v2
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
76
c12 mide el parecido entre v1 y v2
Si v2 tiene norma unitaria:
2112 , vvc
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
77
Producto interno en
¿señales continuas?
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
78
• El concepto de proyección y ortogonalidad
de vectores se puede extender a las señales.
• Se considerarán dos señales f1(t) y f2(t)
donde se se desea aproximar f1(t) en
términos de f2(t) en un cierto intervalo (t1, t2)
Producto interno …
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
79
Se desea aproximar f1 mediante f2
f1(t) ≈ C12 f2(t) en (t1 < t < t2).
Se define la función error fe(t):
fe(t) = f1(t) - C12 f2(t).
Debemos encontrar un valor de C12 que
minimice el error entre las dos funciones
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
80
2
1121 2
2 1
( ) ( )t
t t dttEM
t t
f fC
2
1
2
2 1
( )e
tt dt
tECMt t
f
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
81
2
1 2112 2 2
21
( ) ( )
( ( ))
t
tt
t
f t f t dt
Cf t dt
120
ECMC
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
82
2
1 2112 2
2 21
( ) ( )
( ) ( )
t
tt
t
f t f t dt
Cf t f t dt
120
ECMC
Si nuestra señal puede tomar valores complejos
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
83
2
1
( ) ( ) 01 2tf t f t dt
t
Ortogonalidad de Funciones
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
84
Iguales
Ortogonales
Opuestas
Vectores Señales Produto Producto
interno
x, y > 0
x, y = 0
x, y < 0
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
85
0
( ) ( ) stX s x t e dt
( ) ( ) j tX x t e dt
( ) ( ). n
n
X z x n z
Transformaciones lineales...
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
86
( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d
( ) ( ) ( )xyR t x y t d
Otras operaciones lineales...
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
Estructura Algebraica
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
88
¿Qué pasa si sumo dos señales de ?
{ ; ( ) Re[ exp( )]}
=2 - , ,
x x t j t
f t f
+ =
……
…
…
…
……
…
…
……
?
Conjunto de las señales
sinusoidales (1)
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
89
Campo Escalar
• K es un campo escalar (un conjunto)
– Adición + : K x KK– Producto . : K x KK
– Neutro aditivo: 0
– Neutro multiplicativo: 1
• Ejemplos: Z, R, C
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
90
Espacio Lineal
• Conjunto para el que están definidas las
operaciones binarias (cerradas) de:
– Multiplicación de cualquier elemento por un escalar
– Adición entre cualesquiera de sus elementos
• Estas operaciones son conmutativas, asociativas y
distributivas.
• Poseen elemento neutro y cancelativo.
; ; ;
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
92
(1) no es
un
espacio
vectorial.
Espacio Lineal
• A los elementos de los espacios lineales
los llamamos vectores y podemos
referirnos al espacio como espacio
vectorial.
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
93
Espacios Normados
• Son aquellos espacios vectoriales en los que
todos sus elementos poseen norma finita.
• Ejemplos:
– Los subconjuntos de señales que poseen energía
finita o acción finita son espacios normados:
2 ( )L1( )L 2 ( )1( )
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
94
Espacios Normados
• Ejemplos:
1( ) ; ( ) ; ; ( ) ,L x x t dt t x t t
2
2 ( ) ; ( ) ; ; ( ) ;L x x t dt t x t t
1( ) ; [ ] ; ; [ ] ;n
x x n n x n n
2
2 ( ) ; [ ] ; ; [ ] ;n
x x n n x n n
(pueden definirse también en C o Z):
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
95
Espacios con Producto Interno
• Debido a la importancia del producto interno
para comparar señales aparece este tipo
particular de espacios.
• Un espacio con producto interno:
I(x , y) = < x , y >,
es un espacio vectorial con un producto interno
definido en él. Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
96
Espacios con Producto Interno
• Al definir el producto interno se obtiene
también una norma y una métrica para el
espacio:
2
2,x x x
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
97
Espacio Euclídeo
• Es el espacio matemático n-dimensional usual,
una generalización de los espacios de 2 y 3
dimensiones estudiados por Euclides.
• Estructuralmente es:
– un espacio vectorial normado de
dimensión finita sobre los reales
– la norma es la asociada al producto
escalar ordinario (norma 2).
• Se denota como: RNEuclides
(300 a.C, Grecia)
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
98
Espacios de Hilbert
• H es un espacio de Hilbert si es completo con
respecto a la norma generada por < x , x >.
• Completo significa que no tiene “agujeros”.
• Constituye una generalización
del concepto de espacio euclídeo.
• Permite extender nociones
de espacios de dimensión
finita a los de dimensión
infinita. David Hilbert
(1862-1943, Alemania)
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
99
Conjuntos, espacios y señales …
Conjuntos de señales
Espacios métricos
Espacios vectoriales
Espacios |normados|
Espacios con producto <.,.>
Señales
aisladas
Hilbert 2 ( )L
1( )1( )L
RN
Pro
cesa
mie
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Dig
ital
de
Señ
ales
Bases y transformaciones
Próxima clase ….
Pro
cesa
mie
nto
Dig
ital
de
Señ
ales
116
Bibliografía
• Mertins, “Signal Analysis”, John Wiley & Sons
• Franks, “Teoría de la señal”, Reverté.
• De Coulon, “Signal Theory and Processing”, Artech-
House.
• Lathi, “Modern Digital and Analog Communication
Systems”, Holt, Rinehart & Winston.
• Citas completas y repaso en:
– Milone, Rufiner, Acevedo, Di Persia, Torres,
“Introducción a las señales y los sistemas discretos”,
EDUNER (Cap. 2).