espacios vectoriales topológicos

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Espacios Vectoriales

Topologicos y Espacios

Funcionales

Luis Bernal Gonzalez

Tomas Domnguez Benavides

Departamento de Analisis Matematico

Lugar y A~no: Sevilla, 2012

Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/

Indice general

Prologo 3

1. Espacios de Banach y de Hilbert 7

1.1. Espacios normados y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. El teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Espacios vectoriales topologicos 31

2.1. Topologas compatibles con la estructura lineal . . . . . . . . . 31

2.2. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3. Ejemplos de espacios vectoriales topologicos . . . . . . . . . . 39

2.4. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5. Espacios de dimension nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6. Seminormas y convexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7. Espacios normables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8. Espacios metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3. Espacios funcionales 63

3.1. Teorema de aproximacion de Weierstrass . . . . . . . . . . . . 63

3.2. Familias relativamente compactas . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1

2 Luis Bernal y Tomas Domnguez

3.3. Dual de los espacios de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4. Dual de C(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5. Teorema de aproximacion de Runge . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6. Redes en espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. Dualidad y Teoremas de Hahn{Banach 83

4.1. Aplicaciones lineales reales y complejas . . . . . . . . . . . . . 83

4.2. Teoremas de Hahn{Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3. Teoremas de Hahn{Banach y convexidad . . . . . . . . . . . . 87

4.4. Forma geometrica del teorema de Hahn{Banach . . . . . . . . 89

4.5. Topologa debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6. Topologa debil- de un espacio dual . . . . . . . . . . . . . . 994.7. Bidual de un espacio normado. Reexividad . . . . . . . . . . 104

4.8. Trasposicion de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5. Aplicaciones de la completitud y la convexidad 115

5.1. Equicontinuidad. Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . 115

5.2. Teorema de la Aplicacion Abierta . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3. Teorema del Grafo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4. Teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.5. Puntos extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.6. Teorema de Krein{Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.7. Teorema de Stone{Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Bibliografa 137

Lista de smbolos y abreviaturas 139

Indice alfabetico 142

Prologo

Bajo el estmulo de la amplia experiencia docente de los autores, estas

notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que pretenda pro-

fundizar en los contenidos de analisis funcional que generalmente se imparten

en los estudios del Grado en Matematicas.

As pues, como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra,

se presupone al lector cierta familiaridad con nociones y resultados basicos

de analisis funcional, tales como espacios normados, de Banach y de Hilbert,

aplicaciones lineales y continuas entre ellos, espacio dual, teoremas de la

proyeccion y de representacion de Riesz en espacios de Hilbert, y teoremas de

Hahn{Banach, de la acotacion uniforme, de la aplicacion abierta y del grafo

cerrado en el contexto de los espacios normados. Asimismo, se asume que el

estudiante posee conocimientos basicos de algebra lineal, topologa general,

integracion de Riemann y de Lebesgue, teora de la medida, diferenciacion

de funciones de una y varias variables reales, y fundamentos de analisis de

variable compleja. No obstante, y con objeto de hacer estas notas lo mas

autocontenidas posible, se han incorporado, como recordatorio para el lector,

algunos conceptos y resultados adicionales.

El texto se ha dividido en cinco captulos. En el Captulo 1 se recopilan

los rudimentos de analisis funcional en espacios normados y de Hilbert, que

probablemente seran conocidos por el estudiante. Ademas, se introduce el

3


concepto de base de Schauder y se aplica el teorema de Riesz en espacios de

Hilbert para obtener el teorema de Radon{Nikodym.

Los principales objetos a estudiar son los espacios vectoriales topologicos

(y las aplicaciones, en especial las lineales y continuas, entre ellos), los cuales

constituyen una generalizacion de los espacios normados y prehilbertianos,

y a ellos se puede extender gran parte de los mas importantes teoremas

conocidos en estos. Introducimos los espacios vectoriales topologicos y sus

propiedades basicas en el Captulo 2.

Los ejemplos mas relevantes en los que se desarrolla la teora dada son

los espacios de funciones reales o complejas, incluyendo los espacios de suce-

siones. Un catalogo de estos espacios y algunas de sus propiedades de den-

sidad y dualidad se exponen en el Captulo 3. Como apendice, se expone

un resumen de la teora de redes en espacios topologicos. Se ha preferido el

concepto de red al concepto paralelo de ltro, por ser aquel mas sugestivo

que este.

En el Captulo 4 se desarrolla la teora de la dualidad, fundamentalmente

en espacios localmente convexos. Se estudia el teorema de Hahn{Banach en

sus diversas formas, as como sus consecuencias. Se introducen la topologa

debil en el espacio original y la -debil en el dual de un espacio normado, yse presenta la aplicacion traspuesta de una dada.

Algunas aplicaciones de la completitud en F-espacios (como el principio

de la acotacion uniforme y otras consecuencias del teorema de Baire, y el

teorema de Schauder sobre aplicaciones compactas) y de la convexidad (como

los teoremas de Krein{Milman y de Stone{Weierstrass) se desarrollan en el

Captulo 5.

La obra contiene ejemplos que ilustran los conceptos y resultados que van

surgiendo. Ademas, al nal de cada captulo se propone una variada lista de

PROLOGO 5

ejercicios, en los que la teora dada o bien se aplica o bien se completa. En

algunos de ellos se adjuntan indicaciones o sugerencias utiles. Recomendamos

al estudiante que intente la resolucion de dichos ejercicios, pues ello constituye

un buen indicador del grado de asimilacion de la materia. Al nal del texto

se ofrece una bibliografa para que el lector interesado efectue consultas y

ample conocimientos. Para una mayor comodidad de lectura, se incluye una

lista de abreviaturas y smbolos. El ndice alfabetico esta organizado de modo

que se indica la pagina o paginas donde aparece por primera vez la denicion

de un concepto o la formulacion de un resultado.

Para concluir, conamos en que estas notas sean de utilidad y provecho

tanto para el estudiante como para el profesor que imparta los contenidos de

las mismas.

Los autores

Captulo 1

Espacios de Banach y de

Hilbert

Comenzamos con una recapitulacion de los teoremas fundamentales del

analisis funcional en espacios normados, en especial en espacios de Banach y

de Hilbert. Dichos teoremas se imparten en cualquier curso elemental sobre

la materia, por lo que probablemente el lector ya tiene conocimiento de ellos.

Estos resultados son, en esencia, los siguientes: teorema de Hahn-Banach,

principio de acotacion uniforme, teorema de la aplicacion abierta, teorema

del grafo cerrado y, ya en el ambito especial de los espacios de Hilbert, teo-

rema de la proyeccion y teorema de representacion de Riesz. De este ultimo

surgira el teorema de Radon-Nikodym, que caracteriza las medidas absolu-

tamente continuas. En la seccion nal introduciremos y caracterizaremos el

concepto de base de Schauder de un espacio de Banach.

1.1. Espacios normados y de Banach

Como es usual, denotaremos por N el conjunto f1; 2; : : : g de los enterospositivos, por R el cuerpo de los numeros reales, y por C el cuerpo de los

7


numeros complejos. Repasemos el concepto de norma sobre un espacio vec-

torial. Siempre supondremos que el cuerpo base K del espacio vectorial es R

o C. A partir de ahora, abreviaremos las expresiones \espacio vectorial" y

\espacio topologico" mediante sus iniciales EV y ET, respectivamente. Otras

expresiones que vayan apareciendo en estas notas tambien seran abreviadas.

Denicion 1.1.1. Sea X un EV. Decimos que una funcion k k : X ![0;+1) es una norma sobre X si verica, para todos los vectores x; y 2 X ytodo escalar 2 K, las siguientes propiedades:(a) kxk = 0 si y solo si x = 0.(b) [Homogeneidad] kxk = jjkxk.(c) [Desigualdad triangular] kx+ yk kxk+ kyk.Llamaremos espacio normado (EN) a un EV dotado de una norma.

Todo EN es un espacio metrico: en efecto, la aplicacion d : X X ![0;+1) dada por d(x; y) = kx yk es una distancia o metrica sobre X. Yaque cada espacio metrico puede ser dotado de estructura de ET, obtenemos

que todo EN es un ET. Una base para su topologa viene dada por la familia

de bolas abiertas B(a; r) := fx 2 X : kx ak < rg (a 2 X; r > 0). Conrespecto a dicha topologa, es facil ver que las aplicaciones suma (x; y) 2XX 7! x+y 2 X y producto (; x) 2 KX 7! x 2 X son continuas. EnX X y en KX se han considerado las topologas producto respectivas.

Recordemos que un espacio metrico (X; d) es completo cuando cada suce-

sion (xn) X de Cauchy converge a algun punto de X.

Denicion 1.1.2. Se llama espacio de Banach a un EN que es completo

para la distancia inducida por su norma.

Por ejemplo, para cada p 2 [1;+1) y cada N 2 N, el EV KN dotado dela norma kxkp =

PNi=1 jxijp

1=p[donde x = (x1; : : : ; xN)] es un espacio de

ESPACIOS DE BANACH Y DE HILBERT 9

Banach. Lo mismo ocurre si se le dota de la norma kxk1 = maxfjxij : 1 i Ng. Asimismo, son espacios de Banach:

El EV c0 de las sucesiones (xn) KN tales que xn ! 0, dotado de lanorma k(xn)k1 = supn1 jxnj.

Los espacios vectoriales c y `1 de las sucesiones convergentes y de lassucesiones acotadas, respectivamente, dotados de la misma norma.

El EV `p (1 p < +1) de las sucesiones (xn) KN tales queP1n=1 jxnjp < +1, dotado de la norma k(xn)kp =

P1n=1 jxnjp

1=p.

El EV Lp() = Lp(;) (1 p < +1) de las funciones medi-bles f : ! K tales que R

jf jp d < +1, dotado de la norma

kfkp = R

jf jp d1=p. Aqu es una medida denida sobre un espacio

medible (;M). Identicamos dos funciones medibles, f = g, cuandoson iguales -en casi todo , es decir, cuando (fx 2 : f(x) 6=g(x)g) = 0.

Sin embargo, el EV c00 := fx = (xn) : 9N = N(x) 2 N tal que xn = 0 8n >Ng de las sucesiones casi nulas, dotado de la norma del supremo, es un ENque no es de Banach.

La caracterizacion de la continuidad de una aplicacion lineal entre dos

espacios normados X e Y es bien simple. Mientras no haya confusion, k kdenotara por igual la norma de X y la de Y . A veces usaremos la palabra

\operador" como sinonimo de \aplicacion lineal".

Teorema 1.1.3. Sean X e Y espacios normados y T : X ! Y una apli-cacion lineal. Las siguientes armaciones son equivalentes:

(a) T es continua en algun punto x0 2 X.(b) T es continua.

(c) T es uniformemente continua.

(d) Existe M 2 (0;+1) tal que kTxk Mkxk para todo x 2 X.


Simbolizaremos por L(X;Y ) el EV de las aplicaciones lineales y continuas

de X en Y . El siguiente teorema muestra que este espacio puede normarse.

Teorema 1.1.4. Sean X e Y dos espacios normados. Para cada T 2L(X; Y ), se dene kTk = sup fkTxk=kxk : x 2 X n f0gg = supfkTxk :kxk = 1g. Entonces k k es una norma sobre L(E;F ).

En el caso Y = K, a los elementos de L(X;K) se les denomina \for-

mas" (o \funcionales") lineales y continuas. Denotaremos X = L(X;K) y

lo llamaremos el espacio dual de X. Por otra parte, si M es un subespacio

vectorial de un EN (X; kk), entoncesM es tambien un EN cuando es dotadode la misma norma k k. Enunciamos a continuacion una de las formas delTeorema de Hahn{Banach.

Teorema 1.1.5. Sean X un EN, M un subespacio de X y f 2M. Entoncesf admite una extension lineal sobre X que conserva la norma, es decir, existe

g 2 X tal que gjM = f y kgk = kfk.

Corolario 1.1.6. (a) Sean X un EN, M un subespacio de X y x0 2 M .Entonces x0 2M si y solo si toda f 2M con f jM 0 cumple f(x0) = 0.(b) Sean X un EN y x0 2 X n f0g. Entonces existe f 2 X con kfk = 1 talque f(x0) = kx0k.

Si X e Y son dos espacios normados, de modo que Y es de Banach,

entonces L(X;Y ) es un espacio de Banach. En particular, se tiene que X

es siempre un espacio de Banach. Por el corolario anterior, X 6= f0g paracualquier espacio normado X 6= f0g. De hecho, X separa puntos de X, estoes, dados x1; x2 2 X con x1 6= x2, existe 2 X tales que (x1) 6= (x2)[tomar x0 = x1 x2 en la parte (b) del corolario].

El EN X puede considerarse como un subespacio del bidual X := (X)

de X mediante la inclusion canonica ' : X ! X dada por '(x)() = (x).


Decimos que X es reexivo si ' es biyectiva. Una condicion necesaria de

reexividad es que X sea un espacio de Banach. Si ' es biyectiva, es facil

ver que es una isometra, y por tanto X X [ denota isomorsmo entreespacios normados].

Por ejemplo, si 1 < p < +1 y q es su exponente conjugado, es decir,1=p+ 1=q = 1, entonces `p `q, luego `p es reexivo. Sin embargo, c0 `1 y`1 `1; como c0 es separable y `1 no lo es, se tiene que c0 no es reexivo.

Recordemos que un subconjunto A de un ET X se dice que es de primera

categora cuando es union numerable de subconjuntos cuya clausura tiene in-

terior vaco, que es de segunda categora cuando no es de primera categora, y

que es residual cuando su complemento es de primera categora. Recordemos

que un ETX se dice que es de Baire cuando la interseccion de una familia nu-

merable de abiertos densos en X es densa en X o, equivalentemente, cuando

todo abierto no vaco es de segunda categora. El Teorema de Baire asegura

que todo espacio metrico completo es de Baire. Es un teorema sumamente

util en analisis funcional, sobre todo para probar resultados de existencia. De

el se deduce el siguiente Teorema de Banach{Steinhaus, conocido tambien

como Principio de acotacion uniforme.

Teorema 1.1.7. Supongamos que X e Y son espacios normados y que A L(X; Y ). Consideremos las siguientes propiedades:

(a) La familia A es puntualmente acotada, es decir, sup2A k(x)k < +1para cada x 2 X.

(b) El conjunto fx 2 X : sup2A k(x)k < +1g es de segunda categora.(c) La familia A esta uniformemente acotada, esto es, sup2A kk < +1.Entonces (b) implica (c), y (c) implica (a). Si, ademas, X es un espacio de

Banach, entonces las tres propiedades (a), (b) y (c) son equivalentes.

Corolario 1.1.8. Sean X e Y dos espacios normados, de modo que X es


de Banach. Sea n : X ! Y (n 2 N) una sucesion de aplicaciones linealesy continuas de modo que, para cada x 2 X, la sucesion (n(x)) converge.Entonces la aplicacion : X ! Y dada por (x) := lmn!1 n(x) es linealy continua.

A partir del teorema anterior se deducen el Teorema de la Aplicacion

Abierta o del Homomorsmo (Teorema 1.1.9) y el Teorema del Grafo Cerrado

(Teorema 1.1.11).

Teorema 1.1.9. Sean X e Y espacios de Banach y T : X ! Y una apli-cacion lineal, continua y sobreyectiva. Entonces T es abierta, es decir, para

cada abierto U de X, el conjunto T (U) es abierto en Y .

Corolario 1.1.10. Sean X e Y espacios de Banach y T : X ! Y lineal,continua y biyectiva. Entonces T1 es continua. En otras palabras, T es un

isomorsmo topologico.

Teorema 1.1.11. Supongamos que X e Y son espacios de Banach y que

T : X ! Y es una aplicacion lineal cuyo grafo f(x; Tx) : x 2 Xg escerrado en X Y . Entonces T es continua.

Terminamos esta seccion recordando un importante resultado, debido a

Riesz, que caracteriza los espacios normados de dimension nita.

Teorema 1.1.12. Sea X un EN y B := fx : kxk 1g su bola unidadcerrada. Entonces B es compacta si y solo si dim(X) < +1.

1.2. Espacios de Hilbert

Algunos espacios presentan una estructura geometrica mas rica que los

espacios normados.


Denicion 1.2.1. Sea H un EV sobre K. Llamamos producto escalar sobre

H a una aplicacion (j) : H H ! K que cumple, para todos los vectoresx; y 2 H y todo escalar 2 K, las siguientes propiedades:(1) (xjy) = (yjx).(2) (xjy + z) = (xjy) + (xjz).(3) (xjy) = (xjy).(4) (xjx) 0.(5) (xjx) = 0 si y solo si x = 0.Un EV H dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbertiano

o espacio eucldeo.

Un producto escalar sobre un EV H induce una norma, a saber, kxk :=(xjx)1=2. Se conoce como norma cuadratica. Una propiedad notable es ladesigualdad de Cauchy-Schwarz: j(xjy)j kxk kyk para todo x; y 2 H. Si Xes un EV y k k es una norma sobre el, se verica que k k es inducida porun producto escalar si y solo si k k verica la identidad del paralelogramo:

kx+ yk2 + kx yk2 = 2(kxk2 + kyk2) 8x; y 2 X.

As que todo espacio prehilbertiano es normado, y por tanto es metrico y

topologico. Se llama espacio de Hilbert a un espacio prehilbertiano tal que la

metrica cuadratica inducida d(x; y) := kxyk hace de el un espacio metricocompleto. Por tanto todo espacio de Hilbert es de Banach.

Por ejemplo, el espacio de las sucesiones de cuadrado sumable `2 :=

f(xn) 2 KN :P1

n=1 jxnj2 < +1g y el espacio L2([0; 1]) de las funcionesmedibles-Lebesgue f : [0; 1]! K de cuadrado integrable [con la identicacionf = g si f(x) = g(x) {en casi todo, donde es la medida de Lebesgue]

son espacios de Hilbert con los productos escalares respectivos ((xn)j(yn)) =P1n=1 xnyn, (f jg) =

R 10f(x)g(x) dx. Con el ultimo producto escalar, el espacio

C([0; 1]) = ff : [0; 1]! K continuasg es prehilbertiano, pero no es completo.


Recordemos que un subconjunto C de un EV es convexo si, para todo par

de puntos x; y 2 C y todo escalar 2 [0; 1], se tiene que x+ (1 )y 2 C.

En espacios de Hilbert se tiene el siguiente importante resultado de exis-

tencia y unicidad, conocido como el Teorema del vector minimizante.

Teorema 1.2.2. Sea C un subconjunto convexo y cerrado de un espacio de

Hilbert H. Entonces C contiene un unico elemento de norma mnima. Como

consecuencia, para cada x 2 H existe un unico y 2 C que da la distanciamnima, es decir, tal que kx yk kx zk para todo z 2 C.

Decimos que dos vectores x e y de un espacio prehilbertiano H son or-

togonales si (xjy) = 0. Si A H, el conjunto ortogonal de A se dene comoA? := fy 2 H : (xjy) = 0 8x 2 Ag. El conjunto A? es siempre un subespaciovectorial cerrado de H. Enunciemos el Teorema de la Proyeccion.

Teorema 1.2.3. Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H.

Entonces existe un unico par de aplicaciones P : H !M; Q : H !M? talesque x = Px + Qx para todo x 2 H. Estas aplicaciones tienen las siguientespropiedades:

(a) Si x 2M entonces Px = x y Qx = 0. Si x 2M? entonces Px = 0y Qx = x.

(b) kx Pxk = inffkx yk : y 2Mg para todo x 2 H.(c) kxk2 = kPxk2 + kQxk2 para todo x 2 H.(d) P y Q son lineales.

Las aplicaciones P y Q son las llamadas proyecciones ortogonales de H sobre

M y M?, respectivamente.

El siguiente teorema de representacion de Riesz establece una identi-

cacion isometrica entre un espacio de Hilbert y su dual. En particular, todo

espacio de Hilbert es reexivo.


Teorema 1.2.4. Supongamos que H es un espacio de Hilbert. Entonces para

cada T 2 H existe un unico vector y 2 H tal que Tx = (xjy) para todox 2 H.

Notemos que la identicacion H H dada por y 7! T en el teoremaanterior es lineal en el caso K = R y conjugada lineal en el caso K = C.

Denicion 1.2.5. Diremos que un conjunto de vectores fug2A de un es-pacio prehilbertiano H constituye un sistema ortogonal cuando (uju) = 0para todo par ; 2 A con 6= , y que forman un ortonormal (SON) si,ademas, kuk = 1 para todo 2 A. Si fug2A es un SON y x 2 H, a losnumeros (xju) se les llama coecientes de Fourier de x respecto del sistemafug2A. Si A = N y fungn1 es un SON, la serie

P1n=1(xjun)un se denomi-

na serie de Fourier asociada a x respecto de dicho SON. Un SON fungn1se dice que es completo cuando cada vector es la suma de su serie de Fourier,

es decir,P1

n=1(xjun)un = x para todo x 2 H.

La ultima expresion quiere decir que kSn xk ! 0 (n ! 1), dondeSn =

Pnk=1(xjuk)uk. En el caso de un espacio de Hilbert, existen varias

caracterizaciones de la completitud de un SON.

Teorema 1.2.6. Supongamos que fungn1 es un SON en un espacio deHilbert H. Son equivalentes las siguientes propiedades:

(a) El sistema fungn1 es completo.(b) El sistema fungn1, es total, es decir, spanfungn1 = H.(c) Se cumple la \identidad de Parseval":

kxk2 =P1n=1 j(xjun)j2 para todo x 2 H.(d) fung?n1 = f0g.(e) El sistema fungn1 es maximal, es decir, no esta contenido estrictamente

en ningun otro SON.


Un SON numerable fungn1 en un espacio de Hilbert H se dice que es unabase ortonormal (BON) de H cuando cumple cualquiera de las propiedades

equivalentes (a){(e) del teorema anterior. Puesto que los vectores de un SON

son linealmente independientes, de (b) se deduce que si un espacio de Hilbert

posee una BON, entonces es separable e innito-dimensional. El proximo

teorema nos garantiza que el recproco es tambien cierto.

Teorema 1.2.7. Sea H un espacio de Hilbert separable con dim (H) = 1.Entonces H admite una BON y es isometricamente isomorfo a `2. De hecho,

si (un) es una BON en H, entonces la aplicacion

: x 2 H 7! f(xjun)gn1 2 `2es lineal, biyectiva y cumple k(x)k = kxk para todo x 2 H.

1.3. El teorema de Radon-Nikodym

Recordemos que, si es una medida (positiva) denida sobre un espacio

medible (X;M), decimos que es nita si (X) < +1, y que es -nitasi existen Xn 2 M (n = 1; 2; : : : ) tales que (Xn) < +1 y X =

S1n=1Xn.

Si y son dos medidas sobre un mismo espacio medible (X;M), se diceque es absolutamente continua respecto de cuando:

A 2M y (A) = 0 =) (A) = 0.El siguiente resultado, de gran importancia en muchas ramas de la Ma-

tematica y conocido como Teorema de Radon-Nikodym, caracteriza las me-

didas absolutamente continuas. Aqu ofrecemos una prueba que es debida a

von Neumann y que resulta ser una bonita aplicacion del teorema de repre-

sentacion de Riesz en espacios de Hilbert.

Teorema 1.3.1. Sean y dos medidas sobre un mismo espacio medible

(X;M), de modo que es -nita y es nita. Entonces son equivalenteslas siguientes propiedades:


(a) es absolutamente continua respecto de .

(b) Existe F 2 L1() tal que (A) = RAF d para todo A 2M.

En tal caso ReF e ImF son no negativas -en casi todo, y F es unica

como elemento de L1().

Bajo las condiciones del teorema anterior, la funcion F obtenida, que

esta unvocamente determinada, se denomina la derivada de Radon-Nikodym

(o bien la funcion de densidad ) de respecto de , y se representa F =

d=d.

Demostracion del Teorema 1.3.1. Un razonamiento directo, considerando

ReF e ImF , muestra que podemos restringirnos al caso K = R. Probe-

mos primero la unicidad de F , suponiendo que exista. Si hubiese un par de

funciones F;G 2 L1() que satisfacen (b), tendramos RA(FG) d = 0 para

todo A 2 M. Sustituyendo sucesivamente A por fx 2 X : F (x) G(x)g yfx 2 X : F (x) < G(x)g y restando, obtenemos R

XjF Gj d = 0, de donde

jF Gj = 0 -ect, as que F = G como elementos de L1().La implicacion (b) ) (a) es trivial, as que se ha de demostrar (a) )

(b). Para ello, podemos suponer que es nita, ya que podemos escribir

X =S1

n=1Xn con (Xn) < +1 (n 1) y losXn disjuntos entre s. Tras ello,se consideraran los espacios medibles (Xn;MjXn) y las medidas jXn ; jXn ,y se aplicara el resultado probado para el caso en que es nita. Al nal,

se \pegaran" las funciones obtenidas Fn en una sola funcion F .

As pues, partimos de (a) con y nitas. Llamemos ' := + , que

es una medida nita sobre (X;M). Consideremos el espacio de Hilbert H =L2('). Como ' , se obtiene por la desigualdad de Cauchy-Schwarz que

ZX

f d Z

X

jf j d ZX

jf j d' =ZX

jf j 1 d'

ZX

jf j2 d'1=2('(X))1=2 < +1


para cada f 2 L2('). Por tanto, la funcion : f 2 L2(') 7! RXf d 2 R

esta bien denida y 2 L2('). Por el teorema de representacion de Riesz,existe g 2 L2(') tal que (f) = (f jg) en L2('), es decir,Z

X

f d =

ZX

fg d' (8f 2 L2(')): (1)

Probemos que 0 g(x) 1 '-ect x 2 X. Si no fuese as, existira algunintervalo I = [ r; + r] R n [0; 1] tal que '(E) > 0, donde E := g1(I).Eligiendo f = E (la funcion caracterstica de E), resulta (E) =

REg d', y

como 0 ', tenemos 1'(E)

REg d' 2 [0; 1]. Pero entonces

1'(E)

ZE

g d' = 1'(E)

ZE

(g ) d' 1'(E)

ZE

jg j d' r;

luego 1'(E)

REg d' 2 [ r; + r] R n [0; 1], lo que es una contradiccion.

Podemos suponer pues que 0 g 1 en todo X sin que esto afecte a (1)[ya que si '(A) = 0 entonces (A) = 0]. Reescribimos (1) comoZ

X

(1 g)f d =ZX

fg d (8f 2 L2(')): (2)

Llamemos B := fx 2 X : g(x) = 1g. Haciendo f = B en (2) resulta que(B) = 0, as que g(x) 2 [0; 1) -ect x 2 X (luego tambien -ect x 2 X).Llamemos F :=

g

1 g , que es una funcion medible no negativa. FijemosA 2M, n 2 N y f := (1 + g + + gn) A. Gracias a (2), obtenemosZ

A

(1 gn+1) d =ZA

g(1 + g + + gn) d:

Como 1gn+1(x)!n1 y g(x)(1+g(x)+ +gn(x))!

nF (x) en casi todo x 2

X (con respecto a y ) y en ambos casos de manera creciente, del teorema

de la convergencia monotona se deduce que F 2 L1() y que (A) = RAF d

para todo A 2M. Esto prueba el teorema. 2


1.4. Bases de Schauder

La nocion de BON plantea el problema de si en cada espacio de Banach

separable de dimension innita se puede encontrar un sistema numerable

fungn1 de modo que cada vector x tenga una expresion x =P1

n=1 n(x)un,

con n(x) 2 K para todo n 2 N. Esto conduce al concepto de base deSchauder que estudiaremos a continuacion.

Sabemos que todo EV E tiene una base algebraica, llamada tambien base

de Hamel. Se denomina as a una familia de vectores fuigi2I E tal quecada x 2 E se puede escribir de manera unica como combinacion lineal nitax =

PN(x)k=1 ik(x)uik =

Pi2I i(x)ui de modo que, salvo para un numero

nito de ndices i, se tiene que i(x) = 0. Sin embargo, en el caso de que

E posea alguna topologa (por ejemplo, si E es un espacio de Banach), esta

base algebraica tiene poco que ver con la topologa del espacio. En efecto, si

xn!nx en E, con xn =

Pi2I

(n)i ui y x =

Pi2I iui, no tiene que vericarse

en general (n)i !

ni para todo i 2 I, o sea, la convergencia coordenada a

coordenada como sucede en KN . En el caso de un espacio de Hilbert separable

H con dim(H) =1, vimos que existe una familia feng11 tal que cada x 2 Hpuede expresarse en la forma x =

P1n=1(xjen)en. En este caso s es cierto

que (xkjen)!k(xjen) para todo n 2 N si xk!

kx, gracias a la continuidad del

producto escalar. Abstraigamos este concepto al ambito de los espacios de

Banach.

Denicion 1.4.1. Sea E un espacio de Banach. Una sucesion fxng11 sedenomina base de Schauder de E si para cada x 2 E existe una unica sucesionfng11 de escalares tal que x =

P1n=1 nxn. Los escalares son llamados las

coordenadas de x respecto de la base fxng11 . Se dice que la base es norma-lizada si kxnk = 1 para todo n 2 N. Una sucesion fxng11 E se denominasucesion basica si es base de Schauder de span(xn).


Por supuesto, cada BON en un espacio de Hilbert es una base de Schauder,

y cada SON es una sucesion basica. Si p 2 [1;1), `p es un espacio de Banach(que no es de Hilbert salvo en el caso p = 2) y en el el sistema fengn2N dadopor en = (0; 0; : : : ; 0; 1; 0; 0; : : : ) [con el \1" en el n-esimo lugar] es una base

de Schauder. En efecto, dado x = (n) 2 `p se tiene que x =P1

n=1 nen,

ya que kx Pnk=1 kekkp = P1k=n+1 jkjp!n 0 porque la serie P1n=1 jnjp esconvergente. Ademas, la expresion x =

P1n=1 nen es unica porque si fuese

x =P1

n=1 nen, existira N 2 N con N 6= N y k = k (k = 1; : : : ; N 1).Entonces para todo n > N tendramos jN N jp kx

Pnk=1 kekkp, que

contradice el hecho de que la ultima expresion ! 0 cuando n ! 1. Unrazonamiento parecido muestra que (en) es tambien una base de Schauder de

c0.

Es obvio que si (xn) es una base de Schauder de E, entonces (xn) es total,

es decir, E = span(xn). Pero el recproco es falso: por ejemplo, debido al

teorema de aproximacion de Weierstrass (ver Captulo 3), el sistema fx 7!xngn0 es total en C([0; 1]), pero no es una base de Schauder porque, silo fuese, toda funcion continua en [0; 1] sera analtica en (0; 1), lo que es

absurdo.

Por otra parte, es facil ver que si E es un espacio de Banach que ad-

mite una base de Schauder (xn) tiene dimension innita (pues los elementos

de la base son linealmente independientes) y es separable (porque las com-

binaciones lineales nitas de los vectores xn con coecientes en Q (el con-

junto de los numeros racionales) o en Q + iQ forman un conjunto denso

en E. El problema inverso, mucho mas complicado, de saber si cada espa-

cio de Banach separable innito-dimensional admite una base de Schauder,

permanecio abierto mucho tiempo, hasta que Eno dio nalmente un con-

traejemplo en 1974.

Vamos a probar ahora una condicion equivalente a que una sucesion sea


basica. Necesitaremos el siguiente lema.

Lema 1.4.2. Sea (xn) una sucesion en un espacio de Banach E, de modo

que xn 6= 0 para todo n 2 N. Sea F = f(an) 2 KN :P1

n=1 anxn convergegdotado de la norma

k(an)kF = supfkPN

n=1 anxnk : N 2 Ng.Entonces F es un espacio de Banach.

Demostracion. Probemos en primer lugar que k kF es una norma sobre F . Si(an) = (0), es obvio que k(an)kF = 0. Inversamente, si k(an)kF = 0, entonceska1x1k = 0, luego a1x1 = 0; como x1 6= 0, resulta a1 = 0. Por induccion, sellega a que an = 0 para todo n 2 N. La igualdad k(an)kF = jj k(an)kFresulta de la homogeneidad de kk, mientras que la desigualdad k(an+bn)kF k(an)kF+k(bn)kF se obtiene de la desigualdad triangular para kk y del hechode que, para cada par de conjuntos acotados figi2I ; figi2I R, se tieneque supfi + i : i 2 Ig supfi : i 2 Ig+ supfi : i 2 Ig.

Para ver que F es completo, jemos una sucesion f(a(k)n )gk1 de Cauchyen F y un " > 0. Existe k0 2 N tal que k(a(k)n ) (a(j)n )kF < " si k; j k0.Por tanto, para cada N 2 N, kPNn=1(a(k)n a(j)n )xnk < ". En particular, paraN = 1 obtenemos ja(k)1 a(j)1 j < "=kx1k, luego (a(k)1 ) es de Cauchy en K. Ypara m 2 tenemos que ka(k)m xm a(j)m xmk = k

Pmn=1 a

(k)n xn

Pmn=1 a

(j)n xn

(Pm1

n=1 a(k)n xn

Pm1n=1 a

(j)n xn)k < 2", de donde ja(k)m a(j)m j < 2"=kxmk si

k; j k0. As que cada sucesion (a(k)m )k1 es de Cauchy en K, luego convergea un escalar am (m 2 N).

Por otra parte, si en la desigualdad kPNn=1(a(k)n a(j)n )xnk < " tomamoslmites cuando j !1 resulta kPNn=1(a(k)n an)xnk " para todo N 2 N ytodo k k0. De aqu obtenemos:

kPmi=n aixik kPmi=n(a(k0)i ai)xik + kPmi=n a(k0)i xik 2" + " = 3"si m n N0(") para algun N0(") 2 N adecuado. Se ha usado la


desigualdad triangular en el primer sumando del segundo miembro,

mientras que en el segundo sumando hemos usado la convergencia deP1n=1 a

(k0)n xn.

Por la condicion de Cauchy de convergencia de series, tenemos queP1n=1 anxn converge, luego (an) 2 F . Para cada k k0, k(a(k)n )

(an)kF ". Por tanto, (a(k)n )n1!k(an)n1 en F . As que F es completo.

2

Ahora podemos establecer el siguiente Teorema de Nikolski de caracteri-

zacion de sucesiones basicas.

Teorema 1.4.3. Sea E un espacio de Banach. Una sucesion (xn) E n f0ges basica si y solo si existe una constante K 2 (0;+1) tal que, para cadapar p; q 2 N con p q y cada eleccion de escalares a1; a2; : : : ; aq, se tiene

kPpn=1 anxnk K kPqn=1 anxnk.La menor de las constantes K que verican esta condicion se llama la

constante basica de (xn). Si K = 1, la sucesion basica se dice monotona. Por

ejemplo, la base (en) en `p (1 p < +1) o c0 es monotona. Observemosque, en general, la condicion dada en el teorema de Nikolski signica que

las proyecciones Pp;q : span(x1; : : : ; xq) ! span(x1; : : : ; xp) tienen normasuniformemente acotadas por K.

Demostracion del Teorema 1.4.3. Supongamos que (xn) es una sucesion basica.

Sean E1 := span(xn) y F como en el Lema 1.4.2. Cada vector x 2 E1 tieneuna expresion unica en la forma x =

P1n=1 anxn. Denimos la aplicacion

T : (an) 2 F 7!1Xn=1

anxn 2 E1:

Claramente, T es lineal. Ademas es continua pues

k1Xn=1

anxnk = lmN!1

kNXn=1

anxnk supN2N

kNXn=1

anxnk = k(an)kF :


Por ser T sobreyectiva, del teorema de la aplicacion abierta se deduce que

T1 es continua, o sea, existe K 2 (0;+1) tal que supN2N kPN

n=1 anxnk K kP1n=1 anxnk. En particular, aplicandolo para a1; : : : ; ap; : : : ; aq; 0; 0; : : :con N = p se obtiene lo que se quera.

Recprocamente, supongamos que se verica la condicion del teorema, con

constante K. Fijemos x 2 E1. Existe una sucesion (yk) span (xn) tal queyk ! x. Cada yk se puede escribir en la forma yk =

PNkl=0

(k)l xl. Si

P1n=1 anxn

converge, llamemos Pp a la proyeccion Pp(P1

n=1 anxn) =Pp

n=1 anxn. Por la

condicion del teorema, sabemos que kPpk K. Por tanto, para cada p 2 Nse tiene kPp(yk yl)k Kkyk ylk (k; l 2 N). Puesto que (yk) es de Cauchy,obtenemos que cada sucesion (Pp yk)k1 es de Cauchy. Sea Xp el lmite de

(Pp yk)k1, el cual existe por ser E completo. Si en la desigualdad anterior

tomamos sucesivamente p = 1; 2; : : : vemos que cada sucesion de coecientes

((k)p )k1 es de Cauchy, luego

(k)p !

kp para ciertos p 2 K. Por tanto

Pp yk =

pXn=1

(k)n xn!k

pXn=1

nxn:

Por la unicidad del lmite, deducimos que Xp =Pp

n=1 nxn. Por otra parte,

de la continuidad de la norma,

kPpyk Xpk = kPpyk lmj!1

Ppyjk = lmj!1

kPp(yk yj)k

K lmj!1

kyk yjk = K kyk xk:

Fijemos " > 0 y elijamos k0 2 N tal que kyk0xk < ". Elijamos ahora p0 2 Nde modo que Ppyk0 = yk0 para todo p p0. Entonces

kXp xk kXp Ppyk0k+ kyk0 xk < (1 +K)"

para cada p p0. Por tanto Xp ! x (p ! 1). Pero Xp =Pp

n=1 nxn,

luego x =P1

n=1 nxn. La unicidad de esta expresion es evidente porque si


tambien fuese x =P1

n=1 nxn entoncesP1

n=1(n n)xn = 0, y debido a ladenicion de Pp resulta

Ppn=1(n n)xn = 0 para cada p 2 N. Concluimos

que j j = 0 para todo j 2 N, que era lo deseado. 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Fig. 1. Sistema de Haar: funciones h2; h3 y h4

Si (xn) es una base de Schauder de E, entonces cada \funcional de coor-

denada"

'n : x =1Xj=1

jxj 2 X 7! n 2 K (n = 1; 2; : : : )

no solo esta bien denida y es lineal, sino que es continua, es decir, se com-

porta bien respecto de la topologa de E. En otras palabras, 'n 2 E paratodo n 2 N. En efecto,

k'n(x)xnk = kPnx Pn1xk kPnxk+ kPn1xk 2Kkxk;


luego k'nk 2K=kxnk.Como ejemplo vamos a construir una base de Schauder en C([0; 1]). Tal

base va a ser una transformacion del as denominado \sistema de Haar"

(hn)n1 para el espacio L1([0; 1]) de las funciones [0; 1] ! R integrablesLebesgue. Estas funciones hn : [0; 1] ! R (ver Fig. 1) se denen comoh1(t) 1 y, para k = 0; 1; 2; : : : y l = 1; 2; : : : ; 2k,

h2k+l = [ 2l22k+1

; 2l12k+1

) [ 2l12k+1

; 2l2k+1

]:

As que son funciones que pueden toman los valores 0; 1;1 en cada subin-tervalo diadico de [0; 1]. Nuestra base de Schauder va a estar constituida por

las funciones gn : [0; 1] ! R (n 0) (ver Fig. 2) denidas por g0 1 ygn = un=kunk, donde un(x) :=

R x0hn(t) dt (n 1). En cada subintervalo

diadico, estas funciones valen 0 o 1, o bien son lineales anes con valores

extremos en f0; 1g. Observese que cada gn es una poligonal y que, si n > m,entonces gn es nula en todos los extremos de la poligonal correspondiente a

gm. Vamos a probar:

(a) spanfgn : n 0g = C([0; 1]).(b) (gn) es una sucesion basica con constante = 1.

(a) Fijemos " > 0 y f 2 C([0; 1]). Debido a la continuidad uniforme,existe N 2 N tal que:

ju vj 1=2N =) jf(u) f(v)j < ":

Por otra parte, cualquier combinacion lineal de las funciones gn es una fun-

cion continua lineal a trozos. Dividamos [0; 1] en 2N partes iguales mediante

los puntos xi = i=2N (i = 0; 1; 2; : : : ; 2N). Vamos a encontrar una combi-

nacion lineal g =P2N

i=0 igi tal que g(xi) = f(xi) para todo i = 0; 1; : : : ; 2N .

Para hacer esto, observemos que g0(0) = 1 y gn(0) = 0 para todo n 1.As que debe ser 0 = f(0). Ademas g0(1) = 1 = g1(1) y gn(1) = 0 para


todo n 2. Luego debe ser 0 + 1 = f(1), y por tanto 1 = f(1) f(0).As vamos determinando i (i = 0; 1; : : : ; 2

N). En cada punto t del intervalo

diadico [ i2N; i+12N

] se tiene que g(t) esta comprendido entre f( i2N) y f( i+1

2N).

Como jf(t) f( i2N)j < " y jf(t) f( i+1

2N)j < ", resulta jg(t) f(t)j < " en

cada subintervalo. En consecuencia, kg fk1 < " y obtenemos la densidad.

(b) Fijemos numeros p; q 2 N con p < q y escalares 0; 1; : : : ; q. En-tonces kPpi=0 igik1 es el valor jPpi=0 igi(x0)j para algun x0 diadico que esel extremo de un intervalo diadico de los que aparecen en la denicion de las

funciones gi (i = 0; 1; : : : ; p). Como las gi (i > p) son todas nulas en x0, se

tiene:

pX

i=0

igi

1 =

pXi=0

igi(x0) = qX

i=0

igi(x0)

qX

i=0

igi

1, lo cual

demuestra lo que queramos, sin mas que aplicar el Teorema 1.4.3.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 2. Funciones g2; g3 y g4

Ejercicios

1.- Sea c el espacio de Banach formado por las sucesiones (k) tales que existe

limk!1k =: 2 K, con la norma del supremo. Consideremos la aplicacion


T : c! c0 dada por

T (1; 2; : : : ) = (; 1 ; 2 ; : : : ):

Probar que T es un isomorsmo entre los espacios de Banach c y c0, y

calcular kTk y kT1k.

2.- Denotemos I = [0; 1] y supongamos que (fn) es una sucesion en Lp(I), donde

p 2 (1;+1). Probar que se cumplen las siguientes implicaciones, y que lasrecprocas son falsas: fn ! f uniformemente =) fn ! f en la norma k kp=) fn ! f en k k1.

3.- Sea : `2 ! R denida por (x) = 2x1 si x = (xn). Calcular la distanciadel vector x = (2n=2) al nucleo de .

4.- Consideremos el espacio c con la norma k k1. Para cada n 2 N, sea en lasucesion (0; 0; : : : ; 0; 1

[n]; 0; 0; : : : ). Probar que (en) es una sucesion basica en

c, pero no es base de Schauder de este espacio.

5.- Sea X un espacio de Banach de dimension innita y feigi2I una base alge-braica de X. Probar que solo puede existir un numero nito de ndices j 2 Itales que la aplicacion lineal fj : X ! K dada por fj(

Pi2I iei) = j sea

continua.

Indicacion: Proceder por reduccion al absurdo considerando los subconjun-

tos f1j (f0g) (j 2 J) y aplicar el teorema de Baire.

6.- Sea X un EN, Y un subespacio de X y x0 2 X.

(a) Si B(x0; ) \ Y = ;, probar que existe f 2 X tal que kfk 1=,f(x0) = 1 y f(y) = 0 para todo y 2 Y .Sugerencia: Aplicar el teorema de Hahn-Banach a una aplicacion ade-

cuada hY; x0i ! K, donde hY; x0i := span (Y [ fx0g).

(b) Probar que d(x0; Y ) = supfj(x0)j : 2 X; kk = 1; (y) = 0 paratodo y 2 Y g.


(c) Sea 2 X con kk = 1 y sea Y = Ker(), el nucleo de . Seaa 2 X n Y . Probar que cada vector x 2 X puede expresarse de maneraunica en la forma x = y + a con y 2 Y y 2 K. Sea 0 2 X tal que0(y) = 0 para todo y 2 Y . Probar que existe c 2 K tal que 0 = c.

(d) Sea 2 X con kk = 1 e Y = Ker(). Probar que para cada x 2 Xse tiene d(x; Y ) = j(x)j.

7.- (a) Sea X un espacio de Banach con base de Schauder (en). Supongamos

que Y es otro espacio de Banach, isomorfo a X, y que T : X ! Y esun isomorsmo. Probar que la sucesion (Ten) es una base de Schauder

de Y .

(b) Utilizar (a) y el Ejercicio 1 para construir una base de Schauder de c

y calcular su constante basica.

8.- (a) Sea X un espacio de Banach y F un subespacio cerrado de X. Decimos

que un subespacio G de X es un complemento topologico de F si X =

F + G, G es cerrado y F \ G = f0g. Probar que, en un espacio deHilbert, todo subespacio cerrado tiene un complemento topologico.

(b) Sea X un espacio de Banach y F; G subespacios cerrados de X, de

modo que F \ G = f0g y F + G es cerrado en X. Probar que existeC 2 (0;+1) tales que para cada par de vectores y 2 F; z 2 G se tienekyk Cky + zk y kzk Cky + zk.Sugerencia: Aplicar el teorema de la aplicacion abierta a una aplicacion

conveniente denida sobre F G.

9.- Sea X un espacio de Banach y (en) una base de Schauder de X. Decimos

que (en) es una base incondicional si existe una constante K 2 [1;+1) talque, si A y B son subconjuntos nitos de N con A B, entonces para cadasucesion de escalares (an) se verica k

Pn2A anenk K k

Pn2B anenk. La

menor constante K que verica esta propiedad se llama constante basica

incondicional.


(a) Probar que toda BON en un espacio de Hilbert es una base incondi-

cional y calcular su constante basica.

(b) Sea (un) la base de Schauder de c dada por u1 = (1; 1; 1; 1; : : : ),

un = (0; 0; : : : ; 0; 1[n1]

; 0; 0; : : : ) (n 2). Probar que es una base in-condicional y hallar su constante basica.

(c) Sea (en) una base incondicional de X. Probar que si la serieP1

n=1 anen

converge, entonces converge incondicionalmente, esto es, para toda per-

mutacion : N! N, la serieP1n=1 a(n)e(n) converge al mismo vectorsuma.

10.- (a) Sea X el espacio C([0; 1]), dotado de la norma del supremo. Demostrar

que A := ff 2 X : R 1=20 f(t) dt R 11=2 f(t) dt = 1g es un subconjuntoconvexo cerrado de X que carece de vectores de norma mnima.

(b) Demostrar que M := ff 2 L1([0; 1]) : R 10 f(t) dt = 1g es un subcon-junto convexo cerrado de L1([0; 1]) que contiene innitos vectores de

norma mnima.

11.- Sea (Tn) una sucesion de operadores continuos entre dos espacios de Banach

X e Y . Probar que son equivalentes:

(a) (Tn) converge puntualmente a un operador continuo T : X ! Y .(b) La sucesion (kTnk) esta acotada y converge puntualmente en un

subconjunto denso de X.

12.- (a) Probar que si un espacio metrico X contiene una coleccion no numer-

able de bolas disjuntas dos a dos, entonces X no es separable.

(b) Si [a; b] R es un intervalo cerrado, se dice que una funcion f : [a; b]!R es de variacion acotada si V (f) := supfPNi=1 jf(ti) f(ti1)j : a =t0 < t1 < < tN = b; N 2 Ng < +1. Es facil ver que la familia X delas funciones de variacion acotada en [a; b] es un EV y que la aplicacion

kfk := jf(a)j + V (f) es una norma sobre el. Demostrar que X no esseparable.


13.- Para cada sucesion a = (an) de numeros reales, se considera la aplicacion

\diagonal" Ta que asigna a cada x = (xn) 2 `2 la sucesion Ta(x) = (anxn).

(a) >Para que sucesiones a la aplicacion Ta dene un operador lineal y

continuo `2 ! `2?

(b) En tal caso, hallar kTak. >Se alcanza siempre dicha norma?

(c) En las condiciones de (a), >para que sucesiones a es Ta(`2) un subes-

pacio cerrado de `2?

14.- (a) Sea kk una norma en `1 que lo hace completo y tal que las aplicacionesn : `1 ! R dadas por n(x) = n, donde x = (n), son continuas.Probar que esta norma es equivalente a la norma del supremo.

Sugerencia: Demostrar que la aplicacion identidad (`1; k k1) !(`1; k k) tiene grafo cerrado.

(b) Sea jk kj la norma en `1 dada por jk(n)kj = sup jnj

n : n 2 N.

Probar que (`1; jk kj) no es un espacio de Banach.

15.- Sea X un espacio de Banach que admite una base de Schauder (xn), y

supongamos que A es un subconjunto de X. Denotemos por n : X ! K(n 1) las funcionales de coordenadas correspondientes a la base (xn).Probar que son equivalentes:

(a) A es compacto.

(b) A es cerrado, acotado y lmn!1 sup

1Xi=n+1

i(x)xn

: x 2 A = 0.

Indicacion: Deducir del Lema 1.4.2 que la aplicacion

T : (an) 2 F 7!1Xn=1

anxn 2 X

dada en el es un isomorsmo topologico, y usar este hecho para demostrar

a partir de (a) que el lmite de (b) es 0.

Captulo 2

Espacios vectoriales topologicos

Hemos visto que en cada EN (X; k k) se puede denir una distanciad(x; y) = kx yk, y por lo tanto X es EV y ET. Ademas su topologa escompatible con la estructura lineal en el sentido de que la suma (x; y) 2X X 7! x+ y 2 X y el producto por escalares (; x) 2 KX 7! x 2 Xson aplicaciones continuas. En este captulo vamos a estudiar otros tipos

de espacios vectoriales y topologicos en las que las operaciones de EV son

continuas para la topologa.

2.1. Topologas compatibles con la estructura

lineal

Antes de llevar a cabo el mencionado estudio, vamos a recordar un cono-

cido resultado topologico. En el se establece que podemos denir la topologa

a traves de una base de entornos de cada punto.

Teorema 2.1.1. Sea X un conjunto no vaco.

(1) Supongamos que para cada x0 2 X existe una familia Fx0 6= ; desubconjuntos de X que verica:

31


x0 2 U para todo U 2 Fx0, y Para cada U; V 2 Fx0 y cada x 2 U \ V , existe W 2 Fx tal queW U \ V .

Sea := fG X : para todo x 2 G existe U 2 Fx tal que x 2 U Gg.Entonces es una topologa en X y, para cada x0 2 X, la familia Fx0es una base de entornos de x0 formada por abiertos de dicha topologa.

(2) Supongamos que para cada x0 2 X existe una familia Sx0 6= ; desubconjuntos de X que verica:

x0 2 U para todo U 2 Sx0, y Para cada U 2 Sx0 y cada x 2 U , existe W 2 Sx tal que W U .Entonces existe una topologa sobre X tal que, para cada x0 2 X, lafamilia Fx0 := fintersecciones nitas de miembros de Sx0g es una basede entornos de x0 para formada por abiertos de dicha topologa.

Demos un ejemplo de topologizacion de un EV que no da lugar a un EN.

Sea C un abierto no vaco y consideremos el espacio vectorial

H() := ff : ! C : f es analtica en g:

Recordemos que una funcion f : ! C es analtica (es decir, desarrollable enserie de potencias en un entorno de cada punto de ) si y solo si es holomorfa

(esto es, C-diferenciable en cada punto de ). Para cada compacto K ,cada " > 0 y cada f 2 H(), consideremos el conjunto V (f; ";K) := fg 2H() : jg(z) f(z)j < " 8z 2 Kg. Entonces, para cada f 2 H(), la familiaFf := fV (f; ";K) : K compacto , " > 0g es una base de entornos def para una topologa sobre . En efecto: cada V (f; ";K) contiene a f

y, dada g 2 V (f; "1; K1) \ V (f; "2; K2), entonces, como inmediatamente severica, V (g; ";K1 \K2) V (f; "1; K1) \ V (f; "2; K2), donde " := mnf"1 maxK1 jg f j; "2 maxK2 jg f jg. Basta aplicar ahora el Teorema 2.1.1.

ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS 33

A se le llama la topologa de la convergencia uniforme en compactos

o, mas sencillamente, la topologa de la convergencia compacta. El nombre se

justica porque, como es inmediato comprobar, se tiene que fn!nf si y solo

si fn!nf uniformemente en cada compacto K .

Veamos que, enH(), la suma y el producto por escalares son aplicaciones

continuas. Para cada par de subconjuntos A; B de un espacio vectorial X,

cada vector x 2 X, cada escalar y cada subconjunto K, usamos lasnotaciones A+B := fx+ y : x 2 A; y 2 Bg, A := fx : x 2 Ag, x+A :=fx + u : u 2 Ag y A := fx : 2 ; x 2 Ag. La continuidad de lasoperaciones mencionadas quedan patentes gracias a las siguientes inclusiones,

faciles de vericar:

V (f; "=2; K) + V (g; "=2; K) V (f + g; ";K);

B(;"

2(1 + maxK jf j)) V (f;"

2(1 + jj) ; K) V (f; ";K):

Ademas H() es de dimension innita pues contiene todos los polinomios.

Finalmente, no proviene de una norma. En efecto, por reduccion al

absurdo, supongamos que hay una norma k k que dene la topologa deH(). Sea B := ff 2 H() : kfk 1g su bola unidad cerrada. Dado uncompacto K , consideremos el abierto V (0; 1; K), que es un entorno de lafuncion 0. Entonces debe existir > 0 tal que B V (0; 1; K). Esto signicaque jf(z)j 1= para todo z 2 K y para toda f 2 B. As que la familiaB esta uniformemente acotada en cada subconjunto compacto de . Por el

Teorema de Montel (ver Captulo 3), B es compacta, luego, por el Teorema

de Riesz, dim(H()) < +1, lo cual es una contradiccion.Por tanto, necesitamos unas estructuras mas generales que los espacios

normados. Para satisfacer esta laguna de modo satisfactorio se introduce el

concepto de espacio vectorial topologico, que se debe a Kolmogoro (1934).


Denicion 2.1.2. Sea X un EV que es tambien un ET separado. Decimos

que X es un espacio vectorial topologico (EVT) si la suma y el producto por

escalares son aplicaciones continuas.

Observemos que si X es un EVT entonces las traslaciones x 2 X 7!x + a 2 X (a 2 X) y las homotecias x 2 X 7! x 2 X ( 2 X) soncontinuas. Considerando x 7! x a y x 7! 1x, resulta que las traslacionesson homeomorsmos, y las homotecias lo son si 6= 0.

Corolario 2.1.3. Sea X un EVT y x0 2 X. Entonces un conjunto V Xes un entorno de x0 si y solo si V x0 es un entorno de 0. Por tanto losentornos de 0 denen la topologa de un EVT.

Denotaremos por E(x0) la familia de los entornos de un punto x0 2 X.

Denicion 2.1.4. Sea X un EV. Decimos que un conjunto A X es ab-sorbente si para cada x 2 X existe = (x) 2 K tal que x 2 A.

Proposicion 2.1.5. Sea X un EVT y V 2 E(0). Se tiene:(a) V es absorbente.

(b) Existe V1 2 E(0) tal que V1 + V1 V .(c) Existe V1 2 E(0) tal que V1 V .

Demostracion. (a) Fijemos x 2 V . Puesto que 0 x = 0 y la multiplicaciones continua, podemos encontrar > 0 tal que X 2 V si jj < . As quex 2 (2=)V .(b) Como 0 + 0 = 0 y la suma es continua, existen V2; V3 2 E(0) tales queV2 + V3 V . Basta tomar V1 := V2 \ V3.(c) Tomemos V1 como en (b), y sea x 2 V1. Ya que V1 2 E(0), se tieneque x V1 2 E(x), luego (x V1) \ V1 6= ;. Por tanto existen y; z 2 V1 conx y = z. As que x = y + z 2 V1 + V1 V . En resumen, V1 V .


Recordemos otro par de conceptos en los que no interviene la topologa

del espacio.

Denicion 2.1.6. Sea X un EV. Un conjunto C X es convexo si tC +(1 t)C C para todo t 2 [0; 1]. Se dice que C es equilibrado si C Cpara todo 2 K con jj 1.

Proposicion 2.1.7. Sea X un EVT. Se verica:

(a) Si G X es abierto, entonces G+ A es abierto para todo A X.

(b) Si A;B X y t 2 K, entonces A+B A+B y tA = tA.

(c) Si C es convexo, tambien lo son C0 y C.

(d) Si B X es equilibrado, tambien lo es B; si ademas 0 2 B0, entoncesB0 es equilibrado.

(e) Si Y X es un EV, tambien lo es Y .

(f) Si A X, entonces A = TV 2E(0)(A+ V ).Demostracion. (a) Tenemos que G + A =

Sx2A(G + x), que es abierto por

ser union de abiertos.

(b) Sean a 2 A, b 2 B y w 2 E(a+ b). Existen W1 2 E(a) y W2 2 E(b) talesque W1 +W2 W . Ahora bien, podemos tomar x 2 A \W1 e y 2 B \W2.Entonces x + y 2 (A + B) \ (W1 +W2), luego (A + B) \W 6= ;, de dondea+ b 2 A+B. As que A+B A+B.

En cuanto a la igualdad tA = tA, es trivialmente cierta si A = ;. Seapues A 6= ;. Si t = 0, hemos de probar que f0g = f0g, que es cierto porqueX es separado. Si t 6= 0, la igualdad se deduce del hecho de que la homoteciax 2 X 7! tx 2 X es un homeomorsmo.


(c) Partimos de que C es convexo. Para cada t 2 (0; 1) tenemos quetC + (1 t)C = tC + (1 t)C tC + (1 t)C C,

donde se ha usado (b) en la igualdad y en la primera inclusion. Por otra

parte, como C0 C y C es convexo, se deduce que tC0 + (1 t)C0 C.Pero por (a) el conjunto tC0 + (1 t)C0 es abierto, as que esta contenidoen C0.

(d) Supongamos que B es equilibrado y que jj 1. Debido a (b) y a queB B, tenemos B = B B. Luego B es equilibrado. Probemos queB0 tambien lo es si 0 2 B0. Sea 2 K con jj 1. Si 6= 0, tenemos queB0 es abierto y B0 B B, luego B0 B0. Si = 0, se tiene paradicho que B0 = f0g B0.(e) Este apartado es similar a (c) considerando el conjunto Y + Y con

; 2 K.(f) Usamos que los entornos de un punto x tienen la forma x+V con V 2 E(0),y que V 2 E(0) si y solo si V 2 E(0). Tenemos: x 2 A () 8V 2 E(0),A \ (x V ) 6= ; () 8V 2 E(0) 9a 2 A y 9v 2 V tal que a = x v ()8V 2 E(0) 9a 2 A y 9v 2 V tal que x = a + v () 8V 2 E(0), x 2 A + V() x 2 TV 2E(0)(A+ V ).

Con respecto al apartado (b) anterior, debe observarse que A + B no es

necesariamente cerrado, aunque lo sean A y B. Por ejemplo, sea X = R2 y

consideremos los subconjuntos A = f(y; 0) : y 0g y B = f(x; 1=x) : x >0g, que son cerrados. Entonces A + B = f(x + y; 1=x) : x > 0; y 0g, elcual no es cerrado porque (0; 0) 2 A+B n (A+B).Teorema 2.1.8. Sea X un EVT. Se verica:

(a) Todo entorno de 0 contiene un entorno equilibrado de 0.

(b) Todo entorno convexo de 0 contiene un entorno equilibrado y convexo

de 0.


Demostracion. (a) Sea U 2 E(0). Gracias a la continuidad de la multipli-cacion K X ! X en el origen, existen > 0 y V 2 E(0) que satisfacenf : jj < g V U , o lo que es lo mismo, V U si jj < . ElegirW :=

Sjj 0 tal que A tU para todo t > s.

Por ejemplo, en el caso de un espacio normado, es facil ver que un sub-

conjunto es acotado segun la denicion anterior si y solo si es acotado en

norma. No obstante, debe observarse que, en el caso de un EVT metrizable,

con una metrica d, la denicion de ser A acotado no es equivalente en general

a que A este contenido en una d-bola. En efecto, la denicion dada aqu solo

depende de la topologa mientras que, como es facil probar, toda metrica d

es equivalente a una metrica acotada, como por ejemplo d=(1 + d).


Trivialmente, todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado. Y es

facil ver que un conjunto nito y una union nita de conjuntos acotados son

asimismo acotados. Veamos que esta propiedad tambien se conserva al tomar

clausuras.

Proposicion 2.2.2. Sea X un EVT. Si A X es acotado, entonces A estambien acotado.

Demostracion. Sea V 2 E(0). Por la Proposicion 2.1.5(c), existe W 2 E(0)tal que W V . Como A es acotado, existe r > 0 tal que A tW para todot > r, luego A tW = tW tV para todo t > r.

Vamos a ver que en un EVT los conjuntos compactos son \peque~nos". De

hecho, tienen muchas propiedades en comun con los conjuntos nitos. Por

ejemplo, es facil probar que todo conjunto compacto de un ET separado es

cerrado.

Teorema 2.2.3. Todo subconjunto compacto de un EVT es acotado.

Demostracion. Fijemos un compacto K X, donde X es un EVT, as comoun V 2 E(0). Tomemos W 2 E(0) equilibrado tal que W U . Para cadax 2 K existe r(x) > 0 tal que x 2 tW para todo t r(x), pues W esabsorbente. Entonces K Sx2K r(x)W . Como W se puede elegir abierto,resulta que cada r(x)W es abierto. Ya que K es compacto, existe un numero

nito de vectores x1; : : : ; xN 2 K tal que K SN

i=1 r(xi)W . Como W es

equilibrado, resulta que W W si 0 < < . En consecuencia, K tWpara todo t > r0 := maxfr(xi) : 1 i Ng. Por tanto K tU para todot > r0. As que K es acotado.


2.3. Ejemplos de espacios vectoriales topo-

logicos

A continuacion, vamos a proporcionar algunos ejemplos de espacios

vectoriales topologicos que no son necesariamente normables, es decir, su

topologa no esta necesariamente denida por una norma. Comencemos con

el concepto de seminorma.

Denicion 2.3.1. Sea X un EV. Llamamos seminorma sobre X a una apli-

cacion p : X ! R que verica:

(1) es homogenea, es decir, p(x) = jjp(x) para todo par (; x) 2 KX,

(2) es subaditiva, es decir, cumple la propiedad triangular, esto es,

p(x+ y) p(x) + p(y) para todo x; y 2 X.

Dado cualquier x 2 X, se deduce que p(0) = p(0 x) = 0 p(x) = 0y 0 = p(0) = p(x + (x)) p(x) + p(x) = p(x) + p(x) = 2p(x), luegop(x) 0. En particular, toda norma es seminorma, pero no al reves; porejemplo, p(x1; x2) := jx1j es una seminorma sobre R2 pero no es norma.

Sea ahora P una familia de seminormas sobre un EV X. Se supone que P separa puntos, o es separante, es decir, dado x 2 X n f0g, existe p = px2 P tal que p(x) > 0.

P es ltrante, esto es, dadas p1; p2 2 P , existe p 2 P tal que pi p(i = 1; 2).

Para cada x0 2 X, cada " > 0 y cada p 2 P , denotamosV (x0; "; p) := fx 2 X : p(x x0) < "g.

Entonces las familias Fx0 := fV (x0; "; p) : " > 0; p 2 Pg (x0 2 X) denenuna topologa sobre X para la que cada Fx0 es una base de entornos dex0. En efecto, en primer lugar es evidente que x0 2 V (x0; "; p) para todos los


x0; "; p. Ademas, dados U = V (x0; "; p) y V = V (x0; ; q), y dado y0 2 U \V ,hemos de encontrar W 2 Fy0 tal que W U \V . Por ltrancia, existe r 2 Ptal que r p; q. Si := mnf" p(y0 x0); q(y0 x0)g, se ve usando ladesigualdad triangular que W U \ V , donde W := V (y0; ; r). De acuerdocon el Teorema 2.1.1, existe una topologa en las condiciones anteriores.

Esta topologa es separada. En efecto, supongamos que x 6= y. Entoncesx y 6= 0, luego existe p 2 P con p(x y) > 0. Si " := p(x y)=2, se obtieneque los abiertos A := V (x; "; p), B := V (y; "; p) cumplen x 2 A, y 2 B,A \B = ;.

Por ultimo, hace de X un EVT. Esto se deduce del hecho de que, de

modo parecido al ejemplo de H() del principio del captulo, se tiene que

V (x0; "=2; p) + V (y0; "=2; p) V (x0 + y0; "; p); y

B(0;"

2(1 + p(x0))) V (x0; "

2(1 + j0j) ; p) V (0x0; "; p);lo cual da, respectivamente, la continuidad de la suma (x; y) 7! x + y y delproducto por escalares (; x) 7! x.

Un caso particular del ejemplo anterior viene dado por el EV C() de

las funciones continuas f : ! K, donde es un abierto no vaco de RN ,dotado de la familia de seminormas P = fpK : K compacto g, siendopK(f) := maxfjf(x)j : x 2 Kg. En efecto, es facil ver que cada pK esuna seminorma. Ademas P separa puntos [dada f : ! K continua conf 6= 0, existe x0 2 tal que f(x0) 6= 0; entonces, si tomamos K = fx0g,resulta que pK(f) = jf(x0)j > 0] y es ltrante [dadas pK ; pL 2 P, se tienepS pK ; pL, donde S = K [ L]. La topologa (P) que dene P usando elprocedimiento anterior es la de la convergencia uniforme en compactos. Mas

adelante veremos que (C(); (P)) es metrizable.En el caso especial N = 2; K = C obtenemos que la restriccion de (P)

al subespacio H() es la topologa de la convergencia compacta en dicho


subespacio. Luego H() es tambien metrizable con esta topologa.

Sea de nuevo RN un abierto no vaco. Consideremos ahora el EVC1() de las funciones innitamente diferenciables sobre , es decir,

C1() = ff : ! K : 8 2 NN0 9Df en y es continuag.Aqu N0 = N [ f0g y los elementos = (1; 2; : : : ; N) 2 NN0 se llaman\multindices" o \N -tuplas". A cada multindice se le asocia el operador

diferencial D := (@=@x1)1 (@=@xN)N , cuyo orden es jj := 1+ +N .

Para cada f 2 C1(), cada " > 0, cada compacto K y cada k 2 N0,denimos V (f; ";K; k) := fg 2 C1() : jDf(x) Dg(x)j < " 8x 2K y 8 2 NN0 tal que jj kg.

Con argumentos similares a los anteriores, se ve que la familia

fV (f; ";K; k) : f 2 C1(); " > 0; K compacto ; k 2 N0ges una base para una topologa sobre C1(), que es la de la convergencia

uniforme en compactos de las funciones y sus derivadas. Si jamos f y hace-

mos variar "; K y k, obtenemos una base de entornos de f . Como antes, se

observa que dicha topologa es separada y de EVT.

Un subespacio destacado de C1() es D(K0), el EV de las funcionesf 2 C1() con soporte en K0, donde K0 es un subconjunto compacto de .Esto signica que f(x) = 0 para todo x 2 n K0. Se tiene que D(K0) esun subespacio cerrado de C1(). En efecto, sea f 2 D(K0) y x 2 n K0;entonces, para todo " > 0, D(K0) \ V (f; "; fxg; 0) 6= ;, luego existe g 2C1() tal que g(x) = 0 y jf(x) g(x)j < ", as que jf(x)j < " para todo" > 0; por tanto f(x) = 0 para todo x 2 n K0, o lo que es lo mismo,f 2 D(K0).

En el Captulo 1 recordabamos los espacios de Banach Lp, donde 1 p 0, (1) es equivalente a probar que (1+x)p 1+xp[hacer x = b=a]. Sea ' : [0;+1) ! R la funcion '(x) = 1 + xp (1 + x)p.Entonces '(0) = 0 y '0(x) = p(xp1 (1 + x)p1) 0 [porque 1 + x x yla exponencial de exponente negativo es decreciente]. Luego ' es creciente,

as que '(x) '(0) = 0 para todo x 0, que es justo lo que queremos.Entonces, si 2 R y f; g 2 Lp, resulta R 1

0jf + gjp R 1

0(jf j + jgj)p R 1

0(jf jp + jgjp) = R 1

0jf jp + R 1

0jgjp < +1 y R 1

0jf jp = R 1

0jf jp < +1. Se

deduce que Lp es un EV. Pero ademas, de la misma desigualdad (1) se deduce

que la expresion

d(f; g) =R 10jf(t) g(t)jp dt

dene una distancia sobre Lp. Las bolas B(f; ") = fg 2 Lp : d(f; g) < "ggeneran una topologa sobre Lp, que es separada.

Demostremos que es una topologa de EVT. Fijemos f0; g0 2 Lp y " > 0.Si d(f; f0) < "=2 y d(g; g0) < "=2, se tiene que

d(f + g; f0 + g0) =

Z 10

jf + g f0 g0jp Z 10

(jf f0jp + jg g0jp)

=

Z 10

jf f0jp +Z 10

jg g0jp = d(f; f0) + d(g; g0) < ";

de donde se deduce la continuidad de la suma. Para ver que el producto por

escalares es tambien continuo, usamos sucesiones. Fijemos 0 2 K y f0 2 Lp,as como dos sucesiones (n) K; (fn) Lp tales que n ! 0 y fn ! f0.Resulta que

d(nfn; 0f0) d(nfn; nf0) + d(nf0; 0f0)

= jnjpd(fn; f0) + jn 0jp Z 10

jf0jp !n!1

0


porque d(fn; f0) ! 0 y (n) esta acotada. Luego nfn ! 0f0, como serequera.

Vamos a demostrar que, en el caso 0 < p < 1, no existen abiertos convexos

en Lp distintos de ; y Lp. En efecto, sea V un abierto convexo no vaco enLp. Por una traslacion, podemos suponer que V 2 E(0). Luego existe r > 0tal que B(0; r) V . Sea f 2 Lp arbitraria. Como p < 1, existe n 2 N tal quenp1

R 10jf jp < r. Por otra parte, de la continuidad de la funcion x 2 [0; 1] 7!R x

0jf jp se inere la existencia de puntos x0 = 0 < x1 < x2 < < xn = 1

de modo queR xixi1

jf jp = 1n R 1

0jf jp (i = 1; : : : ; n). Para cada i, denimos

gi = nf [xi1;xi]. EntoncesR 10jgijp = np1

R 10jf jp < r, as que gi 2 V para

todo i = 1; : : : ; n. Como V es convexo, se tiene que f = g1++gnn

2 V . Enconsecuencia, V = Lp, como se quera demostrar.

Ya tenemos un surtido suciente de ejemplos para justicar la siguiente

denicion.

Denicion 2.3.2. Sea X un EVT con topologa . Decimos que X es:

(1) localmente convexo (ELC) si existe una base de entornos de 0 formada

por conjuntos convexos,

(2) localmente compacto si existe un entorno de 0 compacto,

(3) localmente acotado si existe un entorno de 0 acotado,

(4) metrizable si existe una metrica que induce ,

(5) normable si existe una norma que induce ,

(6) un F-espacio si existe una metrica d invariante por traslaciones [es

decir, d(x+ z; y + z) = d(x; y) para toda terna de vectores x; y; z 2 X]y completa que induce ,

(7) un espacio de Frechet si es un F-espacio localmente convexo.


Es evidente que todo espacio normable es metrizable, localmente acota-

do y localmente convexo, y que todo espacio de Banach es un espacio de

Frechet. Cada KN (N 2 N) es localmente compacto. La nocion de ELC fueintroducida por Von Neumann (1935).

Como ejemplo, volvamos al espacio C(), donde RN es un abiertono vaco. Fijemos una sucesion exhaustiva fKn : n 1g de subconjuntoscompactos de , es decir, cada Kn es compacto, Kn K0n+1 (n = 1; 2; : : : ) y

=

S1n=1Kn. Denimos pn(f) := maxfjf(z)j : z 2 Kng y

d(f; g) :=1Xn=1

1

2npn(f g)

1 + pn(f g)

para cada par f; g 2 C(). No es difcil probar que d es una distanciacompleta e invariante por traslaciones que induce la topologa de C()

[recordar que, en , una base de entornos de cada f esta constituida por los

conjuntos V (f; ";K) = fg 2 C() : jg(z) f(z)j < " 8z 2 Kg, con " > 0y K compacto]. Por otra parte, C() es localmente convexo porquecada V (0; ";K) es un entorno convexo de 0. As que C() es un espacio de

Frechet. Igual sucede, en el caso N = 2, K = C, con su subespacio cerrado

H(). Por otra parte, como cada conjunto V (0; ";K; k) es convexo, se tiene

que C1() es tambien localmente convexo. Mas adelante hablaremos sobre

su metrizabilidad.

Nota 2.3.3. Ya vimos que Lp([0; 1]) (0 < p < 1) es un EVT metrizable, de

modo que su topologa se dena a traves de la metrica d(f; g) =R 10jf gjp.

Como en el caso p 1, se prueba que dicha metrica es completa, por lo cualLp es un F-espacio. Sin embargo, Lp (0 < p < 1) no es un ELC (luego no es

un espacio de Frechet) pues vimos que en el no hay mas abiertos convexos

que ; y el propio Lp.


2.4. Aplicaciones lineales

Pasemos ahora a estudiar la continuidad de las aplicaciones lineales

entre espacios vectoriales topologicos. Vamos a ver que, analogamente a lo que

sucede entre espacios normados, la continuidad de una de estas aplicaciones

equivale a su continuidad en el origen.

Teorema 2.4.1. Sean X e Y dos espacios vectoriales topologicos y : X !Y una aplicacion lineal, de modo que es continua en el 0. Entonces es

continua en X. De hecho, es uniformemente continua en el sentido de

que, para cada entorno W de 0 en Y existe un entorno V de 0 en X con

la propiedad:

y x 2 V =) y x 2 W .

Demostracion. Fijemos W 2 E(0) en Y . Por continuidad en el 0, existeW 2 E(0) (en X) tal que (V ) W . Por linealidad, si x 2 X se tiene que(x+V ) = x+(V ) x+W , luego (x+V )x W . Si ahora x e yson vectores tales que yx 2 V , obtenemos y 2 x+V , as que yx 2 W ,c.q.d. 2

En el caso de ser Y = K, podemos obtener mas analogas con el compor-

tamiento en los espacios normados de las aplicaciones lineales y continuas.

Si X es un EVT, se llama espacio dual de X, y se denota por X, al EV

de las aplicaciones lineales y continuas X ! K. Para distinguirlo del dualalgebraico, a veces a X se le llama tambien el dual topologico de X.

Teorema 2.4.2. Sea : X ! K una forma lineal, donde X es un EVT.Las siguientes propiedades son equivalentes:

(a) 2 X.(b) Ker() es cerrado.

(c) = 0 o bien Ker() no es denso en X.

(d) es acotada en algun entorno de 0.


Demostracion. Las implicaciones (a) ) (b) ) (c) son obvias, ya queKer() = 1(f0g), con f0g cerrado, y un subconjunto denso y cerradodebe ser todo el espacio.

Veamos que (c) ) (d). Si 6= 0, como Ker() no es denso, existen x 2 Xy V 2 E(0) tales que (x + V ) \ Ker() = ;. Por el Teorema 2.1.8, podemossuponer que V es equilibrado. Entonces (V ) es acotado o (V ) = K. En

este ultimo caso existe y 2 V tal que y = x, luego x + y 2 Ker(), encontradiccion con ser (x+ V ) \Ker() = ;. As que (V ) es acotado.

En cuanto a la implicacion (d) ) (a), partimos de que existe V 2 E(0)tal que es acotada en el. Entonces existe M 2 (0;+1) con jxj < M paratodo x 2 V . Fijado " > 0, consideremos W := ("=M)V 2 E(0). Resulta quejxj < " para todo x 2 W , de donde se inere la continuidad de en el 0, ypor tanto en todo X.

Por ejemplo, sabemos (ver Captulo 3) que (L) = L si 1 < +1,donde es el exponente conjugado de . Sin embargo, en el caso 0 < p < 1,

vamos a demostrar que el dual de Lp es trivial, es decir, (Lp) = f0g. Enefecto, ya vimos que no existen abiertos convexos en Lp distintos de ; yLp. Observemos ahora que si : Lp ! K es lineal y continua, entonces1(B(0; ")) es un entorno de 0 abierto y convexo en Lp, luego 1(B(0; ")) =

Lp para todo " > 0. As jf j < " para toda f 2 Lp y todo " > 0. Por tanto 0, es decir, (Lp) = f0g.

Una propiedad de las aplicaciones lineales continuas entre espacios nor-

mados es la de transformar conjuntos acotados en conjuntos acotados. De

hecho, dicha propiedad caracteriza la continuidad en este caso. Veremos que,

en el caso general de los espacios vectoriales topologicos, todava existe algu-

na relacion entre la continuidad y la conservacion de la acotacion.

Denicion 2.4.3. Sean X e Y espacios vectoriales topologicos y : X !


Y lineal. Decimos que es acotada si transforma conjuntos acotados en

conjuntos acotados.

Teorema 2.4.4. Sean X e Y espacios vectoriales topologicos y : X ! Ylineal. Si es continua, entonces es acotada.

Demostracion. Sean E acotado y W un entorno de 0 en Y . Por continuidad,

existe un entorno V de 0 en X tal que (V ) W . Como E es acotado, exister > 0 tal que E tV para todo t > r, luego (E) (tV ) = t(V ) tWpara todo t > r, as que (E) es acotado. 2

Puede probarse que el recproco no es cierto en general, aunque s se

verica cuando X es metrizable.

2.5. Espacios de dimension nita

En las siguientes lneas vamos a probar que, al igual que sucede en los

espacios normados, dos espacios vectoriales topologicos de dimension nita,

de la misma dimension, son siempre homeomorfos, y que los espacios vectoria-

les topologicos localmente compactos son de dimension nita. Comenzamos

con un lema.

Lema 2.5.1. Sea Y un subespacio vectorial de un EVT X, de modo que Y

es localmente compacto. Entonces Y es un subespacio cerrado de X.

Demostracion. Por hipotesis, existe K 2 E(0) en Y tal que K es compacto.Ademas, existe U 2 E(0) en X tal que U \Y K. Tomemos V 2 E(0) en X,equilibrado, tal que V + V U . Veamos que, para cada x 2 X, el conjunto(x + V ) \ Y es compacto. Para ello, jemos y0 2 (x + V ) \ Y . Para caday 2 (x+ V ) \ Y se verica que y y0 = (y x) + (x y0) 2 V + V U y,por otra parte, y y0 2 Y ; luego (x+ V ) \ Y y0 +K. Como (x+ V ) \ Yes cerrado en Y e y0+K es compacto, resulta que (x+ V )\ Y es compacto.


Sea ahora x 2 Y . Para ver que Y es cerrado, se ha de probar que x 2 Y .Denotemos B = fW X : W es abierto, 0 2 W V g y asociemos acada W 2 B el conjunto EW := (x + W ) \ Y , que es cerrado en Y . Yaque EW (x + V ) \ Y , resulta que cada EW es compacto. Como x 2 Y ,tenemos EW 6= ;. Si jamos una familia nita fW1; : : : ;Wng B, se tiene queW1 \ \Wn 2 B, luego

Tni=1EWi EW1\\Wn 6= ;. Entonces fEWgW2B es

una familia de compactos con la propiedad de la interseccion nita, de donde

inferimos queT

W2B EW 6= ;. Sea z un vector que pertenezca a la ultimainterseccion. Entonces z 2 x + W para todo W 2 B. Pero B es una basede entornos de 0 en X, luego z 2 fxg = fxg, esto es, x = z. Como z 2 Y ,concluimos que x 2 Y , c.q.d. 2

Teorema 2.5.2. Sea X un EVT e Y un subespacio de dimension n < +1.Se verica:

(a) Todo isomorsmo algebraico de Y en Kn es un homeomorsmo.

(b) Y es cerrado.

Demostracion. El apartado (b) sigue de (a) y del Lemma 2.5.1, ya que Kn

es localmente compacto.

La prueba de (a) se hara por induccion sobre n. Para n = 1, sea : K! Ylineal y biyectiva. Pongamos (1) =: u 2 Y . Entonces () = u para todo 2 K. Por la continuidad del producto por escalares, es continua. Ademas,la inversa 1 : Y ! K cumple Ker(1) = f0g, el cual es cerrado, luego1 es continua gracias al Teorema 2.4.2.

Por induccion, supongamos que (a) es cierto para n1, y sea : Kn ! Yun isomorsmo algebraico, es decir, es lineal y biyectiva. Si fe1; : : : ; eng esuna base algebraica de Kn, denotemos uk := (ek) (k = 1; : : : ; n). Entonces

(1; : : : ; n) =Pn

k=1 kuk debido a la linealidad de . Por la continuidad de

las operaciones de suma y producto por escalares, resulta que es continua.


Ademas, fu1; : : : ; ung es una base de Y . Cada x 2 Y puede representarse demanera unica en la forma x = 1(x)u1+ +n(x)un, donde las i : Y ! K(i = 1; : : : ; n) son lineales. Ya que i 6= 0, resulta que cada Ker(i) es unsubespacio de dimension n 1. Por la hipotesis de induccion y por elhecho de que (b) deriva de (a), obtenemos que Ker(i) es cerrado. De nuevo

por el Teorema 2.4.2, tenemos que cada i es continua. Ahora bien, 1(x) =

(1(x); : : : ; n(x)), luego 1 es continua, c.q.d. 2

Corolario 2.5.3. Si X e Y son dos espacios vectoriales topologicos sobre el

mismo cuerpo K y dim(X) = dim(Y ) < +1, entonces son homeomorfos.De hecho, cada isomorsmo algebraico X ! Y es un isomorsmo topologico.

El siguiente teorema, debido a Riesz, nos dice que la compacidad local

restringe en gran medida la clase de los espacios vectoriales topologicos.

Teorema 2.5.4. Todo EVT localmente compacto tiene dimension nita.

Demostracion. Partimos de un EVT X localmente compacto, de modo que

existe V 2 E(0) compacto. Veamos que f2nV gn1 es una base de entornosde 0. Para ello, jemos W 2 E(0). Como V es acotado (Teorema 2.2.3),existe t0 > 0 tal que V sW para todo s > t0. Eligiendo n 2 N con 2n > t0,obtenemos 2nV W . As que (2nV ) es base de entornos de 0 en X.

Puesto que V es compacto, existen x1; : : : ; xm 2 X tales que V (x1 +12V ) [ [ (xm + 12V ). Sea Y := hx1; : : : ; xmi, es decir, la variedad lineal

generada por x1; : : : ; xm. Como dim(Y ) < +1, resulta que Y es cerrado(Teorema 2.5.2). Ya que V Y + 1

2V y Y = Y (si 6= 0), se tiene que

12V Y + 1

4V , y por tanto V Y + Y + 1

4V = Y + 1

4V . Continuando este

proceso, obtenemos, usando la Proposicion 2.1.7(f) y el hecho de que (2nV )

es una base de entornos del origen, que

V 1\n=1

(Y + 2nV ) = Y = Y;


de donde X =S1

n=1 nV S1

n=1 nY = Y . En resumidas cuentas, X = Y . En

consecuencia, dim(X) = dim(Y ) < +1. 2

Por ejemplo, como dim(H()) = +1, tenemos que H() no es local-mente compacto. De hecho, ni siquiera es localmente acotado. En efecto, si

fuera localmente acotado, existira V 2 E(0) acotado. Fijado un compactoK , el conjunto U := ff 2 H() : jf(z)j < 1 8z 2 Kg es un entornodel origen, luego existe > 0 tal que V U . Por tanto jf(z)j < paratodo z 2 K y toda f 2 V , es decir, V esta uniformemente acotado en ca-da compacto K . Por el Teorema de Montel (ver Teorema 3.2.3) V esrelativamente compacto, as que V es un entorno compacto de 0, lo que es

absurdo debido al Teorema 2.5.4.

2.6. Seminormas y convexidad local

En los siguientes parrafos, vamos a profundizar en el estudio de los

espacios vectoriales topologicos que mas analogas presentan con los espacios

normados, a saber, los espacios localmente convexos. La estructura de un

ELC esta ntimamente conectada con el concepto de seminorma. Recordemos

que una seminorma sobre un EV X es una aplicacion p : X ! R subaditiva yhomogenea, y que de la denicion se deduce que p(0) = 0 y p(X) [0;+1).

Notemos que si p es una seminorma sobre un EV X entonces cada p-bola

fx 2 X : p(x) < g es convexa, equilibrada y absorbente. Por otra parte,sea A X absorbente. Se dene el funcional de Minkowski de A por

A(x) = nfft > 0 : x 2 tAg (x 2 X):

Vemos que A(x) < +1 para todo x 2 A por ser A absorbente. Recordemos,por ultimo, que una familia separante de seminormas sobre un EV dene en

el una topologa de ELC.


Nuestro objetivo en esta seccion es doble, a saber:

{ Observar que las seminormas son exactamente los funcionales de Minkows-

ki de los conjuntos convexos, equilibrados y absorbentes.

{ Comprobar que, de hecho, en cada ELC puede encontrarse una familia

separante de seminormas que dene la topologa del espacio.

Proposicion 2.6.1. Sea p una seminorma sobre un EV X. Entonces:

(a) El conjunto fx 2 X : p(x) = 0g es un subespacio de X.(b) El conjunto B := fx 2 X : p(x) < 1g es convexo, equilibrado y

absorbente, y p = B.

Demostracion. (a) Si p(x) = 0 = p(y) y ; 2 K, se tiene que 0 p(x +y) jjp(x) + jjp(y) = 0, luego p(x+ y) = 0.(b) Sea 2 K con jj 1. Si x 2 B, tenemos que p(x) = jjp(x) < 1,luego x 2 B. As que B es equilibrado. Por otra parte, si x; y 2 B yt 2 (0; 1), se verica que p(tx + (1 t)y) tp(x) + (1 t)p(y) < 1, luegotx + (1 t)y 2 B. Por tanto, B es convexo. Ademas, si x 2 X y s > p(x),resulta que p(x=s) = (1=s)p(x) < 1, luego x=s 2 B, o bien x 2 sB. As queB es absorbente.

Por ultimo, observamos que B(x) = nfft > 0 : x 2 tBg = nfft > 0 :x=t 2 Bg = nfft > 0 : p(x=t) < 1g = nfft > 0 : p(x) < tg = p(x) paratodo x 2 X. 2

Proposicion 2.6.2. Sea A un subconjunto convexo y absorbente de un EV

X. Se verica:

(a) A(x+ y) A(x) + A(y) para todo x; y 2 X.(b) A(tx) = tA(x) para todo x 2 X y todo t 0.(c) Si A es equilibrado, entonces A es una seminorma.

(d) Si B = fx 2 X : A(x) < 1g y C = fx 2 X : A(x) 1g, entoncesB A C y A = B = C.


Demostracion. Hagamos una notacion previa. A cada subconjunto absorbente

D X y cada x 2 X, asociamos el conjunto HD(x) := ft > 0 : t1x 2 Dg.Observemos que D(x) = nfHD(x) para todo x 2 X.(a) Supongamos que s > t 2 HA(x). Como A es absorbente, tenemos 0 2 A,y puesto que A es convexo, resulta x

s= t

s xt+ (1 t

s) 0 2 A, luego

s 2 HA(x). Por tanto HA(x) es una semirrecta cuyo extremo izquierdo esA(x). Supongamos ahora que A(x) < s y A(y) < t. Entonces x=s 2 A ey=t 2 A, luego s

s+t xs+ t

s+t yt2 A, as que x+y

s+t2 A, de donde A(x+y) s+t.

Haciendo s! A(x) y t! A(y), se obtiene A(x+ y) A(x) + A(y).(b) Usando que tx=s 2 A , x=(s=t) 2 A y que s 2 HA(tx) , s=t 2 HA(x),deducimos que A(tx) = nfHA(tx) = nf(tHA(x)) = tnfHA(x) = tA(x).

(c) Supongamos ahora que A es equilibrado, convexo y absorbente. A la vista

de (a) y (b), basta probar que A(x) = jjA(x) si jj = 1. Pero esto esobvio, ya que, para s > 0, se tiene que x 2 sA si y solo si x 2 sA.(d) Si x 2 B entonces A(x) < 1, luego 1 2 HA(x) por ser este un intervaloinnito de extremo izquierdo A(x). As que x 2 A, luego B A. Si x 2 A,entonces 1 2 HA(x), de donde deducimos que A(x) = nfHA(x) 1, y portanto x 2 C. En resumen, B A C.

Ahora bien, las anteriores inclusiones implican HB(x) HA(x) HC(x),de donde C A B. Para probar la igualdad, supongamos C(x) 0 y nuestra familia separa puntos.

Probemos que V es continua. Si x 2 V 0, entonces tx 2 V 0 V paraalgun t > 1, porque la aplicacion t 7! tx es continua en t = 1 y V 0 es abierto.As V < 1 en V

0. Dado " > 0, si x y 2 "V 0, se tiene que

jV (x) V (y)j V (x y) < ":

De aqu se inere la continuidad de V . 2

Teorema 2.6.4. (A) Sea X un EV y P una familia separante de seminor-mas sobre el. Entonces P induce sobre X una topologa de EVT que hace deX un ELC, de modo que:

(a) Cada p 2 P es continua en dicha topologa.(b) Si E X, entonces E es acotado si y solo si cada p 2 P es acotada

sobre E.

(B) Recprocamente, si X es un ELC, existe una familia separante y ltrante

P de seminormas sobre X que induce la topologa de X.

Demostracion. (A) Ya vimos como una familia separante y ltrante P deseminormas generaba sobre X una estructura de ELC. Recordemos que una

base abierta de entornos de cada punto x0 2 X estaba constituida por losconjuntos V (x0; "; p) := fx 2 X : p(x x0) < "g (" > 0; p 2 P). Side P solo sabemos que es separante, una base abierta de entornos en cadax0 2 X estara constituida por las intersecciones nitas V (x0; "1; pN)\ \V (x0; "N ; pN) de conjuntos del tipo anterior, de acuerdo con el Teorema 2.1.1

[de hecho, el cambio anterior es equivalente a sustituir P por la familia ePcuyos elementos son de la forma maxfp1; : : : ; pNg (p1; : : : ; pN 2 P ; N 2 N);esta eP es separante y ltrante, ver Ejercicio 1].


Ademas, cada p 2 P es continua respecto de la topologa generada, graciasa la Proposicion 2.6.1 y al Teorema 2.6.3, ya que p = V donde V = V (0; 1; p).

Finalmente, supongamos que E X es acotado. Como V (0; 1; p) es unentorno del origen, existe 2 (0;+1) tal que E V (0; 1; p), luego p(x) < para todo x 2 E. Recprocamente, supongamos que E X es tal quecada p 2 P es acotada en E. Fijemos U 2 E(0). Entonces existe un abiertobasico V (0; "; p) con U V (0; "; p). Por hipotesis, existe 2 (0;+1) tal quep(x) < para todo x 2 E. Entonces para todo t > =" resulta que

E V (0; ; p) = "V (0; "; p) tV (0; "; p) tU:

As que E es acotado.

(B) Partimos ahora de un ELC X. Consideremos la familia P := fV : V 2Bg del enunciado del Teorema 2.6.3. Entonces P es una familia separantede seminormas que es ademas ltrante [porque si p; q 2 P , se tiene quep = V1 ; q = V2 con V1; V2 2 B; como V1 \ V2 2 E(0), existe V 2 B talque V V1 \ V2; as que V 2 P y V V1 ; V2 ]. La topologa generadapor P tiene en cada punto x0 2 X una base de entornos constituida por losconjuntos de la forma V (x0; "; V ) = fx 2 X : V (xx0) < "g, donde V 2 By " > 0. Notemos que V (x0; "; V ) = x0 + V (0; "; V ). Por la Proposicion

2.6.2(d), resulta que

x0 + V (0; "; V ) x0 + "V x0 + V (0; "0; V )

siempre que 0 < " < "0. De esta doble inclusion se inere que la topologa

generada por P coincide con la topologa original de X.

2.7. Espacios normables

Si podemos encontrar un entorno acotado y convexo del origen, la

topologa de un EVT puede denirse mediante una familia unitaria de semi-


normas.

Teorema 2.7.1. Un EVT X es normable si y solo si el origen tiene un

entorno convexo y acotado.

Demostracion. Si X es normable, la bola unidad es un entorno de 0 convexo

y acotado. Recprocamente, sea V 2 E(0) convexo y acotado. Por el Teorema2.1.8, podemos encontrar unW 2 E(0) convexo y equilibrado tal queW V .Por supuesto, W es tambien acotado. Fijemos un U 2 E(0). Existe entoncest > 0 con W tU , luego 1

tW U . As la familia frW : r > 0g es base de

entornos de 0. Si x 6= 0, existe r > 0 tal que x =2 rW , luego W (x=r) 1,as que W (x) r. Luego W (x) > 0 y W es una norma. Por la Proposicion2.6.2(c) y la prueba del Teorema 2.6.3 (tengase en cuenta que W puede

elegirse abierto) resulta que fx 2 X : W (x) < 1g = W . Luego la norma Wgenera la topologa del espacio, es decir, X es normable.

2.8. Espacios metrizables

Ya vimos que el ELC C() es metrizable, y que su topologa poda

denirse a traves de una familia numerable de seminormas, a saber, pn(f) :=

supKn jf j, donde (Kn) es una sucesion exhaustiva de subconjuntos compactosde .

Tambien vimos que C1() es un ELC. Ademas, es facil demostrar que

su topologa puede generarse, al igual que en el caso anterior, mediante una

familia numerable de seminormas, a saber,

pn(f) := maxfjDf(x)j : x 2 Kn; jj ng (n 2 N),donde (Kn) es como antes. En efecto, cada conjunto ff : pn(f) < "g esun entorno de 0 y, recprocamente, dado un entorno basico de 0, de la for-

ma V (0; ";K; k), basta elegir n 2 N con n > k y Kn K para obtenerV (0; ";K; k) ff : pn(f) < "g.


Observemos que, en los dos ejemplos anteriores, podemos obtener una

base local numerable de entornos del origen, a saber, B = fff : pn(f) 0 y se da la propiedad dada en el enunciado del teorema, podemos


encontrar V 2 E(0) tal que V B(0; "). Entonces existe n0 2 N con xmxn 2V B(0; ") para todo m;n n0, luego d(xm; xn) = d(xm xn; 0) < " paratales m;n, lo que nos dice que (xn) es de Cauchy para d.

Finalmente, vamos a proporcionar una util condicion suciente de metri-

zabilidad de espacios localmente convexos.

Teorema 2.8.2. Sea X un ELC cuya topologa viene denida por una fami-

lia numerable de seminormas. Entonces existe una distancia invariante por

traslaciones que dene su topologa.

Demostracion. Sea (pn) una sucesion separante de seminormas que genera la

topologa de X. Se dene

d(x; y) =1Xn=1

1

2n pn(x y)1 + pn(x y) (x; y 2 X):

Usando que (pn) es sepa

espacios vectoriales topológicos

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