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183 SEMINARIO CONTINUO DE FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS 2016I – GROTHENDIECK Febrero 3 Las estructuras universales detrás de Galois y Riemann: grandes conceptos y problemas Objetos centrales de la década 198090: espacios moduli : clases de espacios, módulo adecuadas equivalencias (jerarquización, clasificación de los espacios) caso particular: los espacios moduli de superficies de Riemann: clases Mg,n de superficies de Riemann de género g con n puntos distinguidos módulo isomorfismo analítico (conformidad) Algunos temas centrales de La longue marche à travers la théorie de Galois [1981]: (1) GEOMETRÍA ANABELIANA Dada X variedad algebraica, puede construirse (Grothendieck) su grupo étale fundamental ! () (= compleción profinita de grupos finitos de automorfismos en la categoría de cubrimientos étales de X) Programa de Grothendieck ¿qué tanto X está caracterizada por ! () ? En caso positivo, X será denominada anabeliana (y ! () estará lejos de ser abeliano) Mochizuki (1996) demuestra que toda curva algebraica proyectiva es anabeliana Conjetura Profunda: los Mg,n constituyen todas las variedades anabelianas sobre Q (2) TEORÍA DE TEICHMÜLLER Dados los Mg (=Mg,0) pueden construirse los espacios de Teichmüller Tg que incorporan, en objetos universales, las variaciones continuas de familias Mg Programa de Grothendieck ¿qué tanto el grupo de Galois absoluto Gal( : ) puede describirse mediante sus acciones sobre la torre de los Tg? Conjetura Profunda: existe un grupo universal GT (descrito mediante generadores y acciones sobre la torre de Teichmüller) tal que GT Gal( : ) Grothendieck estructuras profundas (I) Galois – Riemann

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  183  

SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I    –    GROTHENDIECK  

 Febrero  3  

Las  estructuras  universales  detrás  de  Galois  y  Riemann:    grandes  conceptos  y  problemas  

-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐      

Objetos  centrales  de  la  década  1980-­‐90:      

espacios  moduli  :  clases  de  espacios,  módulo  adecuadas  equivalencias  (jerarquización,  clasificación  de  los  espacios)  

 caso  particular:  los  espacios  moduli  de  superficies  de  Riemann:  

clases  Mg,n    de  superficies  de  Riemann  de  género  g  con  n  puntos  distinguidos  módulo  isomorfismo  analítico  (conformidad)  

 

Algunos  temas  centrales  de  La  longue  marche  à  travers  la  théorie  de  Galois  [1981]:    

(1)  GEOMETRÍA  ANABELIANA      

Dada  X  variedad  algebraica,  puede  construirse  (Grothendieck)  su  grupo  étale  fundamental  𝜋!(𝑋)  (=  compleción  profinita  de  grupos  finitos  de  automorfismos  en  la  categoría  de  cubrimientos  étales  de  X)  

 Programa  de  Grothendieck    

¿qué  tanto  X  está  caracterizada  por  𝜋!(𝑋)?  En  caso  positivo,  X  será  denominada  anabeliana  (y  𝜋!(𝑋)  estará  lejos  de  ser  abeliano)  

 Mochizuki  (1996)  demuestra  que  toda  curva  algebraica  proyectiva  es  anabeliana  

 Conjetura  Profunda:  los  Mg,n  constituyen  todas  las  variedades  anabelianas  sobre  Q  

 (2)  TEORÍA  DE  TEICHMÜLLER  

 Dados  los  Mg  (=Mg,0)  pueden  construirse  los  espacios  de  Teichmüller  Tg    

que  incorporan,  en  objetos  universales,  las  variaciones  continuas  de  familias  Mg  

 Programa  de  Grothendieck    

¿qué  tanto  el  grupo  de  Galois  absoluto  Gal(𝑄:  𝑄)    puede  describirse  mediante  sus  acciones  sobre  la  torre  de  los  Tg?  

 Conjetura  Profunda:  existe  un  grupo  universal  GT  (descrito  mediante    

generadores  y  acciones  sobre  la  torre  de  Teichmüller)  tal  que  GT  ≈  Gal(𝑄:  𝑄)          

Grothendieck      

estructuras  profundas  (I)  Galois    –    Riemann  

       

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  184  

   

Obstrucción  importante:  los  espacios  moduli  Mg,n  no  conforman  esquemas  en  general  (e.g.  existen  curvas  sin  automorfismos)  

 Pursuing  Stacks  (À  la  poursuite  des  champs)  [1983]:  

 en  cambio,  los  espacios  moduli  Mg,n  sí  conforman  STACKS  (=  "champs",  "gerbes",  pilas),  

es  decir,  funtores  fibrados  sobre  categorías  base  generales  con  topologías  de  Grothendieck  (generalización  de  haces,  cuya  categoría  base  es  Con)  

 caso  esencial:  M1,1  stack  de  curvas  elípticas  (Mumford-­‐Deligne)  

     

Concentrándose  en  "la  profundidad  insospechada  de    la  topología  de  superficies  o  la  geometría  de  superficies"  [1984]  

se  obtienen  nuevas  conexiones  entre  las  regiones  esenciales  grothendickianas:    

variable  compleja  /  álgebra  /  topología  /  teoría  de  números    

teoría  de  categorías          

Algunos  temas  centrales  en  Esquisse  d'un  programme  [1984]:    

(1)  TOPOLOGÍA  MODERADA    

Estudio  de  propiedades  de  suavidad  en  geometría  algebraica  real,  vía  "buenos"  subconjuntos:  semialgebraicos,  semianalíticos,  subanalíticos  (Hironaka),  etc.  

 Proyecto  recuperado  y  traducido  en  teoría  de  modelos:  O-­‐minimalidad  (van  den  Dries)  

   

(2)  DIBUJOS  DE  NIÑOS    

Estudio  de  inmersiones  de  grafos  conexos  bicolores  ("dibujos  de  niños")    en  variedades  topológicas  (compactas,  orientadas)  

 Los  dibujos  de  niños  resultan  invariantes  bajo  adecuadas  acciones  de  Gal(𝑄:  𝑄)  

 Todo  dibujo  de  niños  genera  en  la  variedad  donde  se  sumerge  una  superficie  de  Riemann  natural  

 

Las  superficies  de  Riemann  así  generadas  se  caracterizan  (Belyi)  como  las  curvas  algebraicas  suaves  sobre  𝑄          

Grothendieck      

estructuras  profundas  (II)  Galois    –    Riemann  

   

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SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I    –    GROTHENDIECK  

 Febrero  10  

Homología  y  homotopía  categóricas:    grandes  conceptos  y  problemas  

-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐          

YOGA  mediando  entre  formas  y  estructuras      

                                                                         uno                                                múltiple                                                                                  invariantes                  estructuras                                                                          forma                                            de  la  forma       (esquemas,  topos)             (cohomologías:                    étale,  l-­‐ádica,                            cristalina,  derivada...)             MOTIVOS  

 trabajos  de  Grothendieck  (IHES,  1964-­‐70)  –  Manin  (Moscú,  1967-­‐69)  

   

Standard  conjectures  on  algebraic  cycles  [1968]    

"Las  CONJETURAS  ESTÁNDAR  van  considerablemente  más  allá  que  las  conjeturas  de  Weil.  Forman  la  base  de  la  llamada  «teoría de motivos», es decir, una teoría sistemática

de «propiedades aritméticas» de la variación algebraica, encarnada en los grupos de clases de ciclos para equivalencia numérica"

   

                                                                                                       extensiones  universales      

                                                                     forma                                                                    motivos          cohomologías                                            arquetipos                                            tipos  

                                                                     número                              conjet.  estándar                                          ciclos  

                   

Grothendieck      

homología  categórica    

Poincaré        

   

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  186  

     

Pursuing  Stacks  (À  la  poursuite  des  champs)  [1983]    

estudio  de  todas  las  categorías  de  prehaces    cuyos  objetos  modelan  tipos  de  homotopía  

 •  aspectos  esquemáticos  y  topósicos  de  tipos  de  homotopía  

 X  espacio  topológico      

     

Sing(X)  complejo  singular  de  X    

       

∞-­‐categoría  (conjunto  simplicial  con  buenas  proyecciones  de  frontera)        

•  estructuras  emergentes:  ∞-­‐GRUPOIDES,  ∞-­‐CATEGORÍAS,  ∞-­‐TOPOS  estudian  tipos  de  homotopía  en  ambientes  axiomáticos  más  amplios  /  suaves  

     

Les  dérivateurs  [1990]    

                                             topología  algebraica           inversión                      "ÁLGEBRA  TOPOLÓGICA"  

 fundamentación  en  (subcategorías  de)  CATEGORÍAS  ACCESIBLES  

(idea  original,  1956-­‐57,  categorías  suaves  de  coeficientes  y  fracciones  en  "álgebra  cohomológica")    

problemas  generales  de  correlacionalidad,  variación  e  invarianza  entre  todas  las  categorías    

DERIVADOR  

D:        Diagop                                      CAT        2-­‐funtor    

con  propiedades  axiomáticas  que  capturan    (1)  "variación  de  coeficientes"  

(2)  "aspectos  intrínsecos  del  formalismo  homotópico-­‐homológico"    

variabilidad  a  su  vez  para  Diag:  puede  ser  Cat  (categorías  pequeñas),  CatFin  (categorías  finitas),    OrdFin  (categorías  asociadas  a  órdenes  finitos),  Top  (categoría  de  topos),  etc.      

paradigmas  Diag  =  Cat  ;  C  categoría  fija;  D(J)  =  funtores  de  J  en  C  (Yoneda)  

Diag  =  Top  ;  D(T)  =  categoría  derivada  de  K-­‐módulos  en  T  (K  anillo  arbitrario)          

Grothendieck      

homotopía  categórica    

Poincaré      

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SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Febrero  17  

Motivos  -­‐  Conjeturas  estándar  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

1963   Inicios  realizados  aparentemente  en  1963,  manuscrito  1964  [cf.  Récoltes  et  semailles  RS01,  P47;  RS2,  212].  196?   [196?]  "Motifs",  manuscrito  inédito.  1968   [1969]   "Standard   conjectures   on   algebraic   cycles",   en:   Algebraic   Geometry   (Tata   Institute,   Bombay     Colloquium  1968),  Oxford:  Oxford  University  Press,  1969,  pp.  193-­‐199.  1986   [1985-­‐86]  Récoltes  et  Semailles,  manuscrito  inédito.      

                       

[1985-­‐86]      

 

[RS01]  (enero  1986).  "Despejé,  hacia  el  año  1968,  una  versión  más  fuerte  y,  sobre  todo,  más  «geométrica»  de  las  conjeturas  de  Weil"  (P44).  "Desarrollé  esa  idea  (...)  bajo   el   nombre   de   «teoría   de  motivos»   o   «filosofía   (o   yoga)   de  motivos»   a   lo   largo   de   los   años   1963-­‐69"   (P47).   "El   espíritu  mismo   de   las  conjeturas   de   Weil   es   expresar   y   captar   lo   «aritmético»   (o   lo   «discreto»)   por   la   mediación   de   lo   «geométrico»   (o   lo   «continuo»)   (...)   Mi  reformulación  consistió  en  despejar  una  suerte  de  «quintaesencia»  (...)  que  llamé  «conjeturas  estándar»  (...)"  (P44).  "El  tema  más  profundo  que  he  introducido  en  matemáticas  es  el  de  los  motivos  (él  mismo  nacido  del  «tema  cohomológico  l-­‐ádico»),  corazón  o  alma,  la  parte  más  escondida  de  los  temas  de  esquemas  (...)  quintaesencia  última  (...)  «corazón  del  corazón»  de  la  nueva  geometría"  (P44-­‐45).  "(...)  «motivo  común»  (o  «razón  común»)  subyacente  a  la  multitud  de  invariantes  cohomológicos  diferentes  asociados  a  la  variedad  (...)  que  serían  como  desarrollos  temáticos  diferentes,  con  su  «tempo»,  «llave»  y  «modo»  («mayor»  o  «menor»),  a  partir  de  un  mismo  «motivo  de  base»  (llamado  «teoría  cohomológica  motívica»)"   (P46).   "El  motivo  me   parece   ser   el  más   profundo   «invariante   de   la   forma»   que   se   ha   podido   asociar   hasta   el  momento   a   una  variedad  algebraica,  aparte  de  su  «grupo  fundamental  motívico».  Ambos  invariantes  representan  para  mí  como  las  «sombras»  de  un  «tipo  de  homotopía  motívico»  que  faltaría  por  describir"  (P47).    [RS2]  (abril  1986).  "Los   motivos:   entierro   de   un   nacimiento"   (205)   (decepción   con   Deligne).   Producto   de   "años   de   gestación   de   una   visión,   fina   y   elusiva   al  comienzo,  que  se  enriquece  y  se  precisa  a  lo  largo  de  meses  y  años,  con  esfuerzos  obstinados",  emerge  el  "yoga  de  los  motivos,  como  aquel  de  mis  «huérfanos»  que  más  cercano  estaba  a  mi  corazón"  –  y  que  sus  sucesores  (Deligne  en  particuilar)  presentan  "como  salido  de  la  nada,  sin  alusión  de  paternidad"  (206).  Tres  grandes  sueños  que  impulsan  el  desarrollo  de  los  motivos:  (A)  "Intuición  de  Serre"  –  "misterio  a  sondear":  grupos  profinitos  discretos   como  base  de  un   sistema  proyectivo  de   grupos   analíticos   y   algebraicos   (206)   –   "como  amo   soñar   (...)   recuerdo  haber  entrado  en  ese  misterio  (...)  por  el  mero  hecho  de  la  presencia  de  una  categoría  de  motivos  «lisos»  sobre  un  esquema  (...)  con  estructuras  internas  similares  a   las  de   la  categoría  de  representaciones   lineales  de  un  pro-­‐grupo  algebraico"   (206-­‐207)  –"aproximación  a  una   teoría  de  Galois  motívica",  ligada  estrechamente  a  grupos  fundamentales  de  esquemas  y  al  manejo  de  cohomologías  como  fibras  y  secciones  –  "recuerdo  el   placer   y   la   maravilla"   (207).   (B)   Procesos   de   descubrimiento:   sueños,   impresiones   ("comentarios   de   Serre"),   adivinanzas,   coherencias,  trabajo  interior  (208)  –  "filtraciones",  "pesos"  y  comportamiento  de  las  "seis  operaciones"  en  la  explicitación  de  las  conjeturas  estándar  (209)  –  "nunca  tuve  la  impresión  de  inventar,  sino  siempre  de  descubrir"  (209).  (C)  "Matrimonio  de  los  sueños  precedentes"  (A,  B)  –  estudio  de  "las  diferentes  estructuras  suplementarias  que  posee  la  categoría  de  motivos",  "traduciendo"  hechos  sobre  las  representaciones  lineales  de  grupos  algebraicos  (209)  –  "polarización  de  un  motivo"  ligada  a  "la  idea  de  Serre  (¡siempre  él!)  de  un  análogo  «kahleriano»  de  las  conjeturas  de  Weil"  (209-­‐210).   Potencia   del   descubrimiento,   nacimiento   de   una   visión,   armonía,   realidad,   trabajo   (210-­‐211).   Paternidad   y   desarrollo   de   los  motivos:  Hilbert,  Riemann,  el  Soñador  (214),  Grothendieck  y  alumnos  (decepción  con  Deligne,  aprecio  de  Saavedra)  (211-­‐214).      

           

[1969]      

 

"Enunciamos  dos  conjeturas  sobre  ciclos  algebraicos  que  surgieron  de  un  intento  por  entender  las  conjeturas  de  Weil  (...)  trabajadas  hace  tres  años"   –   "La   primera   (...)   formalmente   análoga   al   teorema   de   estructura   de   Lefschetz   (...)   la   segunda   formalmente   análoga   a   las   famosas  desigualdades   de  Hodge"   (193).   Correlaciones   de   las   conjeturas   con   acciones   naturales   del   endomorfismo   de   Frobenius   (194).  Motivación  algebraico-­‐aritmética   y   forma   débil   C(X)   de   la   primera   conjetura   (194-­‐195).   Primera   conjetura:   A(X)   (isomorfismo   dual   entre   grupos   de  cohomología  de  una  variedad  X   suave  y  proyectiva  –  generaliza  prueba  de  Lefschetz  para  el   caso  de   los   complejos),  B(X)   (algebraicidad  de  adecuada   operación   en   la   teoría   de   Hodge),   prueba   de   la   equivalencia   entre   A(X)   y  B(X)   (196).   "Estabilidad"   de  B(X),   integralidad   de   los  coeficientes  de   la   función  Zeta  a  partir  de   la  conjetura  B  –  "Tengo  una   idea  para  una  posible  aproximación  a   la  conjetura  B"  (197).  Segunda  conjetura:   Hdg(X)   (adecuada   forma   bilineal   restringida   a   ciclos   algebraicos   es   definida   positiva)   –   indicación   de   prueba   de   que   "B(X)   y  Hdg(X×X)   implican,   por   ciertos   argumentos   de  Weil   y   Serre   (...)   todas   las   conjeturas   de  Weil"   (197).   "Conclusiones.   La   prueba   de   las   dos  conjeturas   estándar   produciría   resultados   bastante  más   allá   de   las   conjeturas   de  Weil.   Formarían   la   base   de   la   así   llamada   «teoría   de   los  motivos»,  es  decir  una  teoría  sistemática  de  las  «propiedades  aritméticas»  de  las  variedades  algebraicas,  encarnada  en  los  grupos  de  clases  de  ciclos  para  equivalencia  numérica.  Tenemos  por  el  momento  solo  una  muy  pequeña  parte  de  esa  teoría  en  dimensión  uno,  contenida  dentro  de  la  teoría  de  variedades  abelianas.  Al  lado  del  problema  de  la  resolución  de  singularidades,  la  prueba  de  las  conjeturas  estándar  me  parece  la  tarea  más  urgente  de  la  geometría  algebraica"  (198).    

     

[196?]    

 "Motivos  -­‐  no  distribuir  -­‐  do  not  distribute"  (1).  Combinación  de  estrategias  globales  y  locales  a  la  Grothendieck:  categoría  abeliana  de  "motivos  efectivos"  asociada  a  un  esquema  noetheriano   (1),   variación  de   la   categoría  de  motivos  de  acuerdo  con  variación  del   esquema   (2),   caso  de  variación   vía   límite   inductivo   (2),   comparabilidades   funtoriales   y   compatibilidades   (2),   casos   aritméticos   (3),   expansión   canónica   a   una  categoría  de  motivos  (3),  funtores  Hom  (4),  tipos  de  motivos  (4),  filtraciones  (5-­‐6),  anillos  de  motivos  (6-­‐8),  "interpretación  topológica  de  los  tipos  dimensionales"  (9),  "homomorfismo  fundamental"  entre  grupo  generado  por  esquemas  de  tipo  finito  y  motivos  (9-­‐10),  preguntas  sobre  superficies   (11),   caracterizaciones   "galoisianas"   –   "conjetura   de  Weil/Riemann"   –   "conjetura   de   Tate"   (12),   "promotivo   fundamental"   (13),  "cohomología  absoluta"  y  "teorema  de  dualidad  absoluto"  (13-­‐15)  [siguen  otras  7  páginas  de  cálculos  y  preguntas  cohomológicas].    

   

Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  corresponden  a  las  páginas  de  los  trabajos  en  cuestión.      

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  188  

   

 Motivos  de  los  MOTIVOS  

   

 CATEGORÍAS  DE  MOTIVOS  

 INTRODUCCIÓN  DE  LA  VARIACIÓN  CONTINUA  DENTRO  DE  LA  VARIACIÓN  ALGEBRAICA  (RS01,  P46)  

   

expansiones  y  compatibilidades  canónicas  descensos  y  filtraciones  (Galois)  anillos  y  topologías  (Riemann)  teoremas  de  representación  variaciones  e  invarianzas  

                               sistemas  proyectivos                                                                    grupos  algebraicos                                    geometría  kähleriana                                        pro-­‐grupos    

estudio  axiomático  de  categorías  (multiplicidad)  que  gobiernen  las  FORMAS  DE  LAS  ANALOGÍAS  FORMALES  

     

"QUINTAESENCIA"  –  "CORAZÓN  DEL  CORAZÓN"  "captar  lo  aritmético  (o  lo  discreto)  por  la  mediación  de  lo  geométrico  (o  lo  continuo)"  

     

   

CONJETURAS  ESTÁNDAR    

    primera  conjetura  (A,  B,  C)            segunda  conjetura  (Hdg)       (algebraicidad,  dualidad)           (bilinealidad,  positividad)          

      igualdades  tipo  Lefschetz           desigualdades  tipo  Hodge  

   

analogías  formales        

acciones  naturales  sobre  grupos  de  cohomología    

    B  +  Hdg  

Conjeturas  de  Weil  

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  189  

SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Febrero  24  

1970:  entornos  vital,  metodológico  y  biográfico    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

(A).  ENTORNO  VITAL      

(I)  El  péndulo  de  la  acción  y  la  elucubración    

SURVIVRE  ET  VIVRE  (1970-­‐75)  Re-­‐encuentro  con  la  herencia  vital  y  la  acción  alternativa  de  sus  padres  

• anarquismo,  contra-­‐cultura,  liberación,  vida  comunitaria    • dinámica  de  la  globalidad,  ecologismo  radical  

• labor  en  pro  de  la  humanidad      

(II)  El  péndulo  del  individuo  y  el  entorno    

Re-­‐traimiento  progresivo  del  individuo  e  inserción  introspectiva  • alejamiento  de  la  comunidad  matemática  "estándar"  

• acercamiento  a  jóvenes  de  provincia  • escape  hacia  la  oscuridad  

     

 (B).  ENTORNO  METODOLÓGICO      

(III)  El  péndulo  de  lo  concreto  y  lo  abstracto    

    moduli  de  superficies  de  Riemann       anabelianidad                                    Gal  (𝑄:𝑄)                      stacks                          dibujos  de  niños                                          derivadores    

 (IV)  El  péndulo  del  corazón  y  la  razón  

        descubrimiento                  invención                    co/razón  matemático(a)                                razón  categórica                      sueño                        vigilia  

 

                 

 ÉNFASIS  PENDULARES  DEL  PERIODO  1970-­‐1990  

LOS  BORDES  DE  LA  EXPERIENCIA  VITAL  E  INTELECTUAL  HACIA  LA  IZQUIERDA:  ACCIÓN  –  INDIVIDUO  –  CONCRECIÓN  –  CORAZÓN    

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  190  

 (C).  ENTORNO  BIOGRÁFICO  (3ª  parte:  1970-­‐1990)  

[referencias  fundamentales:  Scharlau,  Jackson]      

 1965-­‐70  

   

1970  

     

1970-­‐72                        

1973        

1973-­‐79        

1979-­‐91    

1973-­‐84            

1984-­‐88                  

1991      

1991-­‐2014  

 Viajes  humanitarios  

Argelia  (Noviembre-­‐Diciembre  1965)  –  Vietnam  (Noviembre  1967)  Rumania  (Marzo  1968,  Junio  1970)  

 Renuncia  al  IHES  (cartas  de  Mayo  25,  Junio  9)  

Escuela  de  verano  en  Montréal  –  Fundación  de  Survivre  (Julio  20)  

Polémica  en  el  ICM  (Niza,  Septiembre  1-­‐4)  

 "Fui  uno  de  los  actores  centrales  en  el  grupo  Survivre  et  vivre":  

organización,  escritura  de  boletines,  proselitismo    

Profesor  en  el  Collège  de  France  (1970-­‐72)  (candidatura  promovida  por  Serre)  

 Profesor  invitado  en  Kingston  (Enero-­‐Marzo  1971)  

Tour  de  veintena  (!)  de  universidades  (Marzo-­‐Abril  1971):  Stanford,  Berkeley,  UCLA,  Princeton,  etc.  

Profesor  invitado  en  Buffalo  (Mayo-­‐Julio  1972)  Encuentro  con  Justine  Skalba  

 Profesor  en  la  Universidad  de  Orsay  

Funda  la  comuna  Germinal  en  Châtenay-­‐Malabry    Nacimiento  (Octubre  28)  de  su  último  hijo  John  

   

Retiro  en  Villecun  Relaciones  estrechas  con  la  comuna  de  Olmet  

Última  conferencia  en  un  Coloquio  (París,  Diciembre  12  1975)    

Retiro  en  Mormoiron    

Profesor  en  la  Universidad  de  Montpellier  (cursos  de  topología,  geometría  de  superficies,  teoría  de  grupos,  etc.)  

Seminario  avanzado  y  últimos  tesistas  doctorales    (Sinh,  Hakim,  Ladegaillerie,  Contou-­‐Carrère)  

   

Director  de  investigación  en  el  CNRS  (candidatura  apoyada  por  Connes)  

 Recibe  (con  Deligne)  el  Premio  Crafoord  (1988)  y  lo  rechaza  

 Retiro  oficial  (Junio  10  1988)  

 -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

 Desaparición  definitiva  en  los  Pirineos  

   

Último  periodo  de  Grothendieck  (en  Lasserre)  Después  de  su  muerte  (Saint-­‐Girons,  Noviembre  13  2014)    la  comunidad  queda  a  la  espera  de  sus  cajas  de  manuscritos  

 

         

"Responsabilité  du  savant  dans  le  monde  d'aujourd'hui"  (Conferencias:  Orsay  Junio  26,  Montréal  Julio  8  1970  –  Manuscrito)  

Laudatio  de  Hironaka  -­‐  Panfletos  de  Survivre            

"Allons-­‐nous  continuer  la  recherche  scientifique?"  (Conferencia:  CERN  Enero  27  1972  –  Artículo  Survivre  #10)  

                                           

La  longue  marche  à  travers  la  théorie  de  Galois  [1981]    

Pursuing  stacks  [1983]        

Esquisse  d'un  programme  [1984]    

Récoltes  et  semailles  [1985-­‐86]  La  clef  des  songes  [1987]  

   

Les  dérivateurs  [1990]  

 

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SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Marzo  2  &  Marzo  9  

La  larga  marcha  a  través  de  la  teoría  de  Galois  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

1981     (Enero-­‐Junio)   La   longue   marche   à   travers   la   théorie   de   Galois,   manuscrito   inédito,   no   destinado   a     publicación,  c.  1600  pp.  +  1000  pp.  notas  y  addenda.    

Transcripciones  parciales:  • Tomo   1   §§1-­‐37:   La   longue  marche   à   travers   la   théorie   de   Galois:   transcription   d'un  manuscrit   inédit     (ed.  Jean  Malgoire),  Montpellier:  Université  de  Montpellier,  1995,  253  pp.  • Tabla  de  Contenidos  +  Tomo  1  §§26-­‐37  +  Tomo  2  §49:  pdfs  en  www.grothendieckcircle.org.  

 

Descripción  y  breve  estudio:  Leila  Schneps,  "Grothendieck's  «Long  March  through  Galois  Theory»",  en:  L.  Schneps,  P.  Lochak  (eds.),  Geometric  Galois  Actions.  Around  Grothendieck's  Esquisse  d'un  Programme,  London:  Cambridge  University  Press,  1997,  pp.  59-­‐66.    

Algunas  ideas  centrales  de  La  longue  marche  à  travers  la  théorie  de  Galois  se  integran  luego  dentro  de  Esquisse  d'un  programme  (1984).  Ver  más  adelante  en  el  Seminario,  Abril  20-­‐27.      

               

Tabla  de  Contenidos  

   

 

Primera   Parte   §§1-­‐37:   topos   multigaloisianos,   cubrimientos   de   topos,   variaciones   pro-­‐multigaloisianas,   "conjetura   anabeliana   fundamental",   ajustes   de   hipótesis,   analogía   topológica  ("donde  el  desorden  de  los  grupoides  puede  expresarse  completamente,  en  los  casos  anabelianos,  por   los   grupos   exteriores   de   lazos"),   caso   aritmético,   digresión   cohomológica,   cubrimiento   de  huecos,  torre  de  Teichmüller,  espacios  y  grupos  de  Teichmüller,  profinitud  y  discretización,  enlace  con   el   topos   modular   de   Teichmüller,   cambios   de   tipos,   relaciones   entre   los   espacios   de  Teichmüller  ("donde  se  reconstituye  todo  el  topos  étale  de  una  curva  algebraica  completa,  a  partir  del  π1  de  un  abierto  anabeliano"),  isomorfismo  entre  el  grupo  de  Galois  absoluto  y  T1,1,  módulos  de  curvas  elípticas  vía  Legendre.      Segunda  Parte  §§38-­‐53  ("carácter  aún  más  exploratorio  aún",  según  el  transcriptor):  relaciones  y  variados   cálculos   específicos   asociados   al   caso   (g,n)=(0,3),   grupos  Mg,n   generales,   esquemas   en  grupos,   "la   torre   de   Fermat",   aproximaciones   tipo   Lie   de   sistemas   Galois-­‐Teichmüller,   el   grupo  especial  de  Teichmüller  ST1,1.    Un  nuevo  estilo:  conjeturas,  reflexiones,  digresiones,  ajustes,  crítica,  heurística,  paráfrasis,  cambios  de  notación,  "peleas",  cálculos,  borradores...    

     

 

Manuscritos  de  Grothendieck  (Universidad  de  Montpellier):  textos  mecanografiados  y  textos  manuscritos    

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  192  

     

 estudio  de  variedad/esquema  (ALG  /  NUM  /  GALOIS)  

vía  grupo  fundamental  topológico/algebraico  (TOP  /  GEO  /  POINCARÉ)                                    

Dado  X  esquema  (automáticamente  espacio  topológico),  considere  el  grupo  fundamental  de  homotopía  (Poincaré)  𝜋 (𝑋, 𝑥)!!"#  para  algún  punto  𝑥 ∈ 𝑋  (si  X  es  arco-­‐conexo  podemos  olvidar  el  punto  base  x).  

La  compleción  profinita  de  𝜋 (𝑋)!!"#  es  por  definición  el  grupo  fundamental  algebraico  de  X  (Grothendieck):  

π  =  𝜋 (𝑋)!!"#  =  compl-­‐prof  (  𝜋 (𝑋)!

!"# ),  grupo  que  clasifica  lo  étale:  π-­‐órbitas  finitas  continuas    ↔    cubrimientos  étales  de  X.  

 Ejemplo  fundamental:  X  =  plano  proyectivo  excepto  tres  puntos    

El  grupo  de  Galois  absoluto  Gal  (𝑄:𝑄)  actúa  sobre  𝜋 (𝑋)!!"#  y  esconde  fondos  aritméticos  profundos  

(ver  más  adelante,  "dibujos  de  niños").    

Problema  central  del  álgebra  topológica  (inversión):  ¿cómo  detectar/describir  aquellas  variedades  X  completamente  caracterizadas  por  𝜋 (𝑋)!

!"# ?  Se  trata,  por  definición,  de  las  variedades  anabelianas  

(geometría  y  aritmética  codificadas  en  el  grupo  fundamental  algebraico).    Conjeturas  de  Grothendieck:  

(1)  los  espacios  moduli  Mg,n  deben  constituir  las  variedades  anabelianas  sobre  Q  (2)  caso  particular:  las  curvas  hiperbólicas  sobre  campos  de  números  son  anabelianas.      

 [Mochizuki  1996]  prueba  (2)  y  se  lanza  luego  a  su  programa  de  refundación  de  la  "geometría  aritmética".  

 GEOMETRÍA  ANABELIANA  

             

 estudio  del  grupo  de  Galois  absoluto  (ALG  /  NUM  /  GALOIS)  

vía  acciones  sobre  objetos  geométricos  (TOP  /  GEO  /  RIEMANN)                                    

                       curvas                            espacios  moduli                        arquetipo          Gal  (𝑸:𝑸)                                        grupos  fundamentales  (homotópico  /  algebraico)                                  tipos                            dibujos  de  niños                            combinatoria  (grupo  de  Grothendieck-­‐Teichmüller)      

TEORÍA  DE  GROTHENDIECK-­‐TEICHMÜLLER        

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  193  

   

       

Tomo  1  §§1-­‐37  

     

 

Primera  Parte  §§1-­‐37:  topos  multigaloisianos,  cubrimientos  de  topos,  variaciones  pro-­‐multigaloisianas,  "conjetura  anabeliana  fundamental",  ajuste  hipótesis,  analogía  topológica  ("donde  el  desorden  de  los  grupoides  puede  expresarse  completamente,  en  los  casos  anabelianos,  por  los  grupos  exteriores  de  caminos"),  caso  aritmético,  digresión  cohomológica,  cubrimiento  de  huecos,  torre  de  Teichmüller,  espacios  y  grupos  de  Teichmüller,  profinitud  y  discretización,  enlace  con  el  topos  modular  de  Teichmüller,  cambios  de  tipos,  relaciones  entre  los  espacios  de  Teichmüller   ("donde   se   reconstituye   todo   el   topos   étale   de   una   curva   algebraica   completa,   a   partir   del   π1   de   un   abierto   anabeliano"),  isomorfismo  entre  el  grupo  de  Galois  absoluto  y  T1,1,  "módulos  de  curvas  elípticas  vía  Legendre".      

Segunda   Parte   §§38-­‐53   ("carácter   aún   más   exploratorio   aún",   según   el   transcriptor):   relaciones   y   muy   variados   cálculos   específicos  asociados  al  caso  (g,n)=(0,3),  grupos  Mg,n  generales,  esquemas  en  grupos,  "la  torre  de  Fermat",  aproximaciones  tipo  Lie  de  sistemas  Galois-­‐Teichmüller,  el  grupo  especial  de  Teichmüller  ST1,1.    Un  nuevo  estilo:  conjeturas,  reflexiones,  digresiones,  ajustes,  crítica,  heurística,  paráfrasis,  cambios  de  notación,  "peleas",  cálculos,  borradores...    

 Tomo  2  §49    

 

         

Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  corresponden  a  las  páginas  de  las  transcripciones  disponibles  en  www.grothendieckcircle.org  .  

 

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!

! 193!

!Algunas!referencias!a!la!Longue#Marche!(y!a!la!Esquisse)!en!Récoltes#et#semailles!

!Dentro!de!los!"doce!temas!maestros!de!mi!obra":!!

"11.!Yoga!de!geometría!algebraica!anabeliana,!teoría!de!Galois7Teichmüller"![RS01,!P21,!Enero!1986]!!"Los!más!profundos!(a!mis!ojos)!de!esos!doce!temas,!son!el!de#los#motivos,#y#aquel#estrechamente#

ligado#de#geometría#algebraica#anabeliana#y#del#yoga#de#GaloisHTeichmüller"![RS01,!P22,!nota!23]!(cfr.![RS3,!639])!!

"He!recordado!la!reflexión!matemática!más!larga!que!he!perseguido!en!estos!últimos!catorce!años,!de!enero!a!junio!1981,!y!que!llamé!«La!larga!marcha!a!través!de!la!teoría!de!Galois».!De!hilo!en!hilo,!tomé!conciencia!de!que!el!sueño!despierto!que!esporádicamente!perseguía!desde!hace!algunos!años,!que!había!terminado!por!llamarse!«geometría!algebraica!anabeliana»,!no!era!más!que!una!continuación,!«una!consecución!última!de!la!teoría!de!Galois,!y!sin!duda!en!el!espíritu!de!Galois».!Cuando!se!me!reveló!esa!continuidad,!en!el!momento!de!escribir!el!pasaje!del!que!extraigo!la!línea!citada,!una!felicidad!me!atravesó,!que!no!se!ha!disipado.!Fue!una!de!las!recompensas!de!un!trabajo!realizado!en!una!soledad!completa."![RS1,!16,!Febrero!1984]!!

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!!!!!!!!!!!!

Tomo!1!§§26N37!

!!!

!

§26.!"Grupos!de!Teichmüller!profinitos!(discretificación!y!prediscretificación)"!(1710).!Grupo!profinito!a!lazos!(de!tipo!(g,ν)),!grupo!de!Teichmüller!extendido,! bases,! discretificaciones,! subgrupos! de! Teichmüller! geométricos,! grupos! Γ! !(vía! enlaces! con! automorfismos! exteriores!aritméticos),!"determinar! la! indeterminación! de! manera! precisa"! (5),! conjetura!Γ!!≈! Gal(!:!),! conjeturas! asociadas! a! la! descripción! del! grupo!absoluto!como!cociente.!§27.!"Cambios!de!tipo!(g,ν)"!(10717).!Cocientes,!bases,!normalizadores,!isomorfismos!canónicos!(en!la!red!de!los!!Γ!,!).!§28.!"Cambios!de!tipo!(g,ν)! (sigue)"!(17723).!Enlaces!entre!discretificaciones,!consecuencias!sobre! la!red!de! los!Γ!,!grupoides!asociados,!caso!del!grupoide!de!curvas!aritméticas!exteriores.!§29.!"Crítica!de!la!aproximación!anterior"!(24729).!"La!aproximación!de!los!parágrafos!anteriores!parece!finalmente!muy!brutal"!(24),!trabajo!con!subgrupos!más!pequeños,!estructura!simplicial!de!extensiones!sucesivas!(estructura!en!el!infinito!dentro!del!π1!de!multiplicidades!modulares!M!,!),!descripciones!estructurales!(cocientes,!transportes),!categoría!de!recubrimientos!universales!con!fibras!grupoides!(emergencia!de!los!stacks).!§30.!"Propiedades!de!los!!!,! !, Γ!,!"!(29733).!Acciones,!centralizadores,!subgrupos!finitos,!"conjeturas!estándar!topológicas"!(32).!§31.! "Digresión! sobre! los! elevamientos! de! una! acción! exterior! de! un! grupo! finito!G! sobre! un! grupo! profinito! a! lazos! π"! (33734).! Problema! de!extensión!de!los!desarrollos!anteriores!al!caso!profinito.!§32.! "Regreso! sobre! los! aspectos! aritméticos! del! llenar! huecos:! relaciones! entre!Γ!,! !!!Γ!,!!!"! (34750).! Límites! proyectivos! para! una! eventual!representación! fiel!de!Γ! ,! equivalencias!de! categorías! "aritméticas"! y! "algebraicas",! reconstrucciones!axiomáticas!de! las! redes! a!partir!de! "datos!puramente!grupoidales!y!topósicos"!(47),!conjeturas!provisorias,!dudas,!círculos!viciosos.!§33.! "Digresión! topológica:! anti7involuciones! de! superficies! orientadas! algebroides"! (50766).! Estudio! y! descenso! a! tierra! de! las! construcciones!anteriores,!al!mirar!casos!concretos:!discos,!esferas,!cilindros,!grupo!modular,!grupos!dihedrales,!etc.!§33bis.! "Estudio!de! recubrimientos! finitos!–! relación!entre! los!!!,! !y!Γ!,! !para!g! variable"! (66769).! "Se!desearía!ver! lo!que!en!el!yoga!anterior!es!independiente!de!toda!conjetura"!(67),!"creo!poder!mostrar,!gracias!al!resultado!del!ruso![Drinfeld]!que!me!señaló!Deligne,!que! !Γ!!→! !Γ!,!!es!un!isomorfismo"!(68),!"la!cuestión!esencial!es!caracterizar!Γ!,!!algebraicamente,!así!como!los!!!!,!"!(68)!§34.!"Descripción!heurística!profinita!de!la!categoría!de!curvas!algebraicas!definidas!sobre!subextensiones!finitas!K!de!C/Q"!(69772).!Estudio!de!los!puntos!algebraicos!de!una!variedad!modular!!!,! !con!grupos!fundamental!aritmético!y!geométrico!dados.!§35.!"La!inyectividad!de!Γ!→!Autextlac(!!,!)"!(72777).!Prueba!del!teorema!enunciado!vía!el!entendimiento!preciso!de!!!,!!(Belyi).!!§36.!"El!isomorfismo!Γ!!≈!Γ!,!"!(77789).!Acciones!naturales!fieles!de!Γ! ,!presentaciones!diversas!de!π0,3,!estudio!del!"topos!modular!!!,!!clasificador!de!las!curvas!elípticas"!(83).!§37.!"Teoría!de!módulos!de!curvas!elípticas!según!Legendre!(rigidifación!de!escala!2)"!(897110).!Esquemas! ligados!al! topos!modular,!enlace!con!Deligne7Mumford,!recubrimientos!galoisianos!universales,!"curva!de!Fermat"!(107).!!

!!!!!!!!

Tomo!2!§49!!

!

Un#nuevo#estilo#recorridos#explícitos#por#los#caminos#de#invención#/#descubrimiento#

7!multitud!de!cálculos!específicos!(e.g.!numeración!de!37!fórmulas!en!§49.I,!95!fórmulas!en!§49.I,!etc.)!7!incesante!vaivén!reflexivo!sobre!el!desarrollo!del!texto!(retomas,!rectificaciones,!llamados!de!atención,!etc.)!

7!modificación!progresiva!de!las!hipótesis!(inconvenientes,!obstrucciones,!generalizaciones,!deducciones!parciales,!etc.)!7!búsqueda!permanente!de!las!notaciones!más!sencillas!posibles!(lucha!entre!lo!particular!y!lo!general,!adecuaciones!locales,!etc.)!

!"Retomemos!la!situación!ab#ovo"!(7)!–!!"Para!una!rectificación!sistemática!de!las!notaciones!que!siguen!(...)"!(7)!–!"Atención"!(8,!83)!–!"Me!parece!que!la!introducción!(...)!no!era!muy!juiciosa!(...)"!(9)!–!"No!parece!a#priori!que!haya!inconvenientes!mayores!en!suponer!(...)"!(10)!–!"Debe!poder!sin!inconveniente!postularse!la!existencia!de!una!escisión!canónica!(...)"!(11)!–!"Tenemos!casi!(...)"!(11)!–!"Remordimiento.!Finalmente,!en!todos!estos!desarrollos,!no!se!ha!realmente!utilizado!la!denominada!«hipótesis!fundamental»!(...)"!(16)!–!"Habría!sido!mejor!(...)"!(19)!–!"Observación.!Al!escribir!las!relaciones,!resultaba!evidente!que!las!notaciones!utilizadas!en!toda!esta!sección!eran!inadecuadas!(...)!pues!me!había!inspirado!del!caso!modular!y!no!del!caso!universal!(...)"!(20)!–!"Me!parece!haber!visto!suficiente!para!poder!retomar!«a!mano!alzada»!las!construcciones!anteriores!y!acabarlas,!con!notaciones!más!adecuadas"!(36)!–!"Vamos!a!intentar!salvar!la!apuesta!(...)"!(62)!–!"Me!pregunto!si!(...)"!(63)!–!"Me!planteo!la!cuestión!si!(...)"!(69)!–!"Sería!tiempo!de!rectificar!la!confusión!(...)"!(79)!–!"Por!lo!tanto!habría!que!introducir!también,!que!lo!queramos!o!no!(...)"!(80)!–!"Me!doy!cuenta!de!que!estoy!diciendo!tonterías,!al!haber!perdido!un!poco!el!contacto!con!el!contenido!geométrico!de!mis!cálculos"!(89)!–!!"La!obstrucción,!como!se!debe!(...)"!(91)!–!"La!obstrucción!se!interpreta!(...)"!(91)!–!"Recapitulación,!refinamiento!(...)!habría!más!bien!que!parafrasear!(...)!dudo!en!introducir!notaciones!(...)"!(102)!–!"La!incomodidad!resulta!finalmente!del!hecho!de!que!es!demasiado!grande!(...)"!(114)!–!"Podemos!también!hacer!una!hipótesis!adicional!(...)"!(115)!–!"Tengo!buenas!razones!para!pensar!que!esa!condición!se!satisface!en!todos!los!casos!verdaderamente!útiles"!(115)!–!"¿Otra!manera!de!proceder?"!(116)!–!"Tal!vez!haya!aún!errores!de!orientación!bastante!groseros,!que!se!rectificarán!con!el!examen!de!casos!particulares"!(116)!–!"Este!deshielo!de!los!grupos!da!un!poco!de!mal!de!mar"!(117).!!!!!

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Las!referencias!numéricas!entre!paréntesis!corresponden!a!las!páginas!de!las!transcripciones!disponibles!en!www.grothendieckcircle.org!!

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SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Abril  13  

Pursuing  Stacks  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

1983     (Febrero-­‐Noviembre)   Pursuing   Stacks   (=   À   la   poursuite   des   champs,   Persiguiendo   campos),   manuscrito     inédito,  destinado  en  parte  a  publicación  (cfr.  p.  500).  Incluye:  

• Tres  Cartas  a  Larry  Breen  (5  Febrero  1975,  17  Febrero  1975,  s.f.),  37  pp.  • Carta  a  Daniel  Quillen  (Les  Aumettes,  19  Febrero  1983),  23  pp.  • Tabla  de  Contenidos  (25  Mayo  1983),  10  pp.  • Documento  Principal  (27  Febrero  1983  –  4  Noviembre  1983),  593  pp.  

 

Recuperación  de  los  textos,  divulgación,  transcripciones  y  digitalizaciones  realizadas  por  Ronnie  Brown  y  la  escuela  de  Bangor  (Gales).  Algunas  ideas  centrales  de  Pursuing  Stacks  se  integran  luego  dentro  de  Esquisse  d'un  programme  (1984).  Ver  más  adelante  en  el  Seminario,  Abril  20-­‐27.      

                     

Tabla  de  Contenidos  

       

 

"The  modelizing   story   (histoire  de  modèles)".   "I.  Take-­‐off".  §§1-­‐13.  De  espacios  a  ∞-­‐grupoides,  modelos   topológicos,  amalgamación  y  pegamiento,  reflexión  sobre  los  términos  "∞-­‐grupoide"  y  "stack".  "II.  Test  categories  and  test  functors".  §§14-­‐44.   Fallo   de   los   fundamentos   de   la   topología   para   expresar   la   intuición   topológica,   "stacks"   como   concepto  unificador  de  homotopía  y  cohomología,  categorías  como  modelos  de  tipos  de  homotopía,  categorías  modelo  y  sitios,  categorías   "test",   modelizadores   en   (Cat),   esfericidad,   categoría   de   símplices.   "III.   Homotopy   structures   and  contractibility   structures"   (="Grinding   my   way   towards   canonical   modelizers").   §§45-­‐66.   Nociones   abstractas   de  homotopía,   estructuras   contractibles,   categorías   "conectadas",   "un   tímido   comienzo   de   axiomatización   de  equivalencias  débiles  en  (Cat)",  revisiones  de  terminología  y  de  orientación.  "IV.  Aesphericity  structures  and  canonical  modelizers".  §§67-­‐86.  "Digresión  sobre  seis  semanas  de  esbozos:  derivadores",  esfericidad,  exactitud,   inyectividad.  "V.  Homology  and  cohomology  (abelianization  of  homotopy   types)".  §§87-­‐102.   Revisión   de   preguntas,   programas   a   corto  plazo,  topos  horizontales,  verticales,  proyectivos.    

 

"VI.  Homotopy  properties  of  (Cat)  and  A^  (closed  model  structures)".  "VII.  Derivators".  "VIII.  Back  to  topoi"  [estas   tres  últimas  partes  no  alcanzan   a   entrar   en   el   documento;   las   secciones   sobre   la   axiomatización   homotópica   de   (Cat),   los   derivadores   y   los   topos   se  desarrollarán  en  el  volumen  sobre  los  Dérivateurs,  1990].  

 

Revisión  del  programa  inicial.  "VI.  Schematization."  §§103-­‐132.  Pseudo-­‐topos,  equivalencia  débil,  abelianización  de  un  pseudo-­‐topos,   "soft   versus   hard"   (468),   haces,   dualidad,   "tratamiento   perfectamente   dual   de   cohomología   y  homología"   (426),   esquematización   y   linealización   de   tipos   de   homotopía,   fibraciones,   simetrías,   cambios   de   base,  conservatividad,  teoría  de  la  homotopía  at  large.  "VII.  Linearization  of  homotopy  types".  §§133-­‐140.  Grupoides  y  teoría  de   Teichmüller,   seis   operaciones   y   formalismo  homológico   en   (Cat),   suavidad   en   (Cat),   prefiguración   de  Récoltes  et  semailles  (592-­‐593).            

               

Carta  a  Quillen    

(=  I.  Take-­‐off)    

 

§1.  "Síntesis  de  álgebra  homotópica  y  homológica,  con  énfasis  especial  sobre  topos",  retrotraída  a  alrededores  de  1966-­‐67   (1);   necesidad   de   una   "topología   moderada"   (tame   topology)   de   la   misma   importancia   ("urgent   and  exciting")   de   los   esquemas   para   la   geometría   algebraica   (1).   §2.   "Intuición   básica":   el   estudio   de   los   n-­‐tipos   de  homotopía   equivale   al   de   los   n-­‐grupoides   (1'),   vía   la   asociación   de   grupoides   fundamentales   a   espacios  (generalizando  Poincaré);   la   relativización  de  un  n-­‐grupoide   sobre  un   topos  arbitrario   (=n-­‐stack)   abre   las  puertas   a  una   cohomología   no   conmutativa   (1');   "heurística   pura   por   el   momento"   (1');   "me   guío   sobre   todo   por   la  interpretación  topológica"  (2);  un  intento  de  axiomatizar  la  noción  de  ∞-­‐grupoide  (2-­‐2')  lleva  a  una  cadena  infinita  de  estructuras  (3),  que  requiere  el  "descubrimiento  de  un  simple  principio  guía"  (3).  §3.  "Presumiblemente,  la  categoría  de  ∞-­‐grupoides  es  una  «categoría  modelo»  para  la  categoría  homotópica  usual"  (3);  intento  de  finalización  de  la  carta   (3'),   pero   continuación   de   la  misma,   ya   que,   "después   de   todo,   la  motivación   topológica   sí   provee   el   «simple  principio   guía»   deseado".   §4.   Esquema   de   estructuración   de   un   ∞-­‐grupoide   (4-­‐4').   §5.   Descripción   vía   sucesión  canónica   C0  →   ...   Cn  →   Cn+1   ...   de   categorías   y   funtores   ["structure   species"   (6),   recordatorio   de   las   "espèces   de  structures"   de   Bourbaki],   determinando   en   cada   caso   construcciones   categóricas   requeridas   (productos,   productos  fibrados,   límites,   colímites)   (5-­‐5').   §6.   La   intuición   topológica   subyacente   es   la   de   "transponer"   operaciones   entre  células   de   un   complejo   a   operaciones   entre   objetos   homotópicos   (6).   §§7-­‐8.   Estructura   primitiva   en   los   complejos  celulares,  procesos  de  descomposición  y  amalgamación  (6'-­‐7');  categoría  C0  (8).  §§9-­‐10.  Paso   inductivo:  construcción  Cn  →  Cn+1  (8-­‐8');  "la  ambigüedad  está  en  la  naturaleza  de  las  cosas"  (8');  descripción  explícita  de  la  inducción  (9-­‐9').  §11.  Descripción  dual  de  un  ∞-­‐grupoide  vía  topología  (10).  §12.  Co-­‐∞-­‐grupoides  en  (Top)  (10');  "it's  getting  late  and  time   to  go   to  bed!"   (10').  §13.  Observaciones   terminológicas  sobre  n-­‐grupoides,  ∞-­‐grupoides,   "stacks"  –   referencia  a  "Mme.  Hoang  Xuan  Sinh"  (11);  stacks  como  "basic  coefficient  objects  in  non  commutative  homological  algebra,  as  well  as  a  convenient  description  of  homotopy  types";  "may  be  the  theory  is  going  to  take  off  after  all,  in  the  long  last!"  (12).      

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Algunos  pasajes  del  Documento  Principal  

                 

 

§14.  "Gruesa  inadecuación"  de  la  "transcripción"  usual  de  la  intuición  topológica  (1);  topos,  esquemas,  topología  étale  son  más  apropiados  para  el  desarrollo  de  una  "teoría  estructural  de  las  estratificaciones"  (1).    §15.   Explicación   de   las   limitantes   históricas   de   las   aproximaciones   lineales   para   el   entendimiento   de   los   espacios  topológicos  (2);  emergencia  de  los  stacks  ("champs  in  French")  para  unificar  y  estabilizar  la  situación  (3).    §16.  "La  noción  de  stack  aparece  aquí  como  el  concepto  unificador  para  una  síntesis  del  álgebra  homotópica  y  el  álgebra  cohomológica  no  conmutativa"  (6).  §16bis.   "El   hecho  de   que   las   categorías   son   objetos   cómodos   para   definir   tipos   de   homotopía   arbitrarios   es  bastante  notable  (...)  objetos  extremadamente  simples  y  familiares  (...)  Lo  que  resulta  más  sofisticado  es  el  proceso  de  localización  hacia  los  tipos  de  homotopía,  es  decir,  la  descripción  explícita  de  las  equivalencias  débiles"  (8).  §24.   "Las   reflexiones   anteriores   me   convencen   de   que   (1)   hay   en   efecto   topologías   en   (Cat),   adecuadas   para  describir   los   tipos   naturales   de   homotopía   de   los   objetos   de   (Cat),   es   decir   de   las   categorías,   y   (2)   no   existe  definitivamente  una  escogencia  privilegiada  para  una  tal  topología"  (23-­‐24);  consecuencia:  aparente  imposibilidad  de  reconstruir  la  "categoría  homotópica  usual  (Hot)"  a  partir  de  una  topología  "natural"  en  (Cat)  (24).    §25.  Pregunta  esencial   ("aún  bastante  vaga"):   "¿cuáles   especies   de   estructuras   algebraicas   son   adecuadas   para  expresar  los  tipos  de  homotopía?"  (25).    §29.   "El   modelizador   básico,   en   esta   aproximación   a   modelos   homotópicos,   no   es   de   ninguna  manera   la   categoría  (Semisimpliciales)   (por  más   cómoda)  o   la   categoría   (Espacios)   (por  más   cercana  de   la   intuición   topológica),   sino   la  categoría  (Cat)  de  «todas»  las  categorías  (pequeñas)"  (33).        

-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐    La  forma  y  el  estilo:  diario   creativo,   flujo  del  pensamiento,   rectificaciones,  manuscrito   tipografiado  y   corregido  a  mano,   cambios  de  rumbo,   ampliaciones...   (sigue   la  orientación  de  La  larga  marcha  a  través  de  la  teoría  Galois,   plástica  y   titubeante,   en   contraste   con   la  arquitectónica   rígida   de   EGA,   SGA,   cfr.   p.   445).   "Ímpetu   fresco   (...)  mirada   inocente   (...)"   (445),   "un   aire   de   la   variada   fragancia   del  mundo"  (592).  Trabajo/revelaciones  en  medio  de  la  muerte  (Ella,  491)  y  el  nacimiento  (Suleyman,  555)  de  sus  nietos.      

                     

Cartas  a    Breen  

(pre-­‐historia)      

 

(I).   5   Febrero   1975.   "Esos   animales   [2-­‐categorías   de   Picard,  n-­‐categorías   y   otra   fauna   de   ese   género]   son   del   todo  indispensables  para  hacer  matemáticas  serias"  (1);  "la  consideración  de  las  n-­‐categorías  (...)  me  parece  ser  la  llave  del  paso  del  álgebra  homológica  ordinaria  («conmutativa»)  a  un  álgebra  homológica  no  conmutativa,  gracias  a  que  provee  una   interpretación   geométrica   correcta   de   los   «complejos   truncados   al   orden  n»"   (3);   "el   contexto   «natural»   de   los  teoremas   de   cambio   de   base   en   cohomología   étale,   teoremas   de   tipo   Lefschetz   (...)   es   aquel   de   los   n-­‐campos   [n-­‐champs]"   (5);   "yoga:   una   «n-­‐categoría   módulo   n-­‐equivalencia»   es   esencialmente   la   misma   cosa   que   un  «conjunto  semi-­‐simplicial  módulo  homotopía»  (5);  "hay  que  relativizar  todo  el  yoga  encima  de  un  topos  arbitrario  X  (...)  poner  en  relación  el  álgebra  homológica  sobre  X  en  términos  de  haces,  con  el  álgebra  categórica  sobre  X  en   términos   de   n-­‐campos   en   grupoides"   (8);   "la   teoría   de   «álgebra   homológica   no   conmutativa»   que   intento  sugerir  podría  definirse,  vagamente,  como  el  estudio  paralelo  de  las  nociones  siguientes  y  sus  múltiples  relaciones:  (a)  espacios  topológicos,  topos,  (b)  conjuntos  semi-­‐simpliciales,  haces  semi-­‐simpliciales,  (c)  n-­‐categorías  (en  especial  n-­‐grupoides),  n-­‐campos  (en  especial,  n-­‐campos  en  grupoides)  etc.  (d)  complejos  de  grupos  abelianos,  haces  abelianos  etc.   (...)   Se   trata   por   tanto   de   álgebra,   con   la   presencia   constante   de   motivaciones   provenientes   de   la   intuición  topológica.  Si  una  tal  teoría  debiese  ver  el  día,  necesitaría  un  nombre,  me  pregunto  si  «álgebra  topológica»  no  sería  el  más  adecuado"  (9).                (II).   17   Febrero   1975.   "Las   construcciones   sobre   un   topos   X   que   se   pueden   hacer   en   términos   de   (n-­‐1)-­‐stacks  localmente   constantes  dependen  sólo  de  sus  «n-­‐truncados   tipos  de  homotopía»"   (1);   "puede  darse  explícitamente   la  cohomología  de  un  n-­‐grupoide"  (3);  "hay  esencialmente  tres  aproximaciones  distintas  para  construir  la  cohomología  de   un   topos:   (a)   punto   de   vista   de   complejos   de   haces,   resoluciones   inyectivas,   categorías   derivadas   (álgebra  homológica  conmutativa),  (b)  punto  de  vista  a  la  Cech  o  semi-­‐simplicial  (álgebra  homotópica),  (c)  punto  de  vista  de  los  n-­‐stacks   (álgebra   categórica,  o  álgebra  homológica  no  conmutativa).  En   (a)   se  «resuelven»   los   coeficientes,   en   (b)   se  resuelve  el  espacio  base,  en  (c)  no  se  resuelven  ni  el  uno,  ni  el  otro"  (5).        (III).  Sin  fecha  (1975).  "Mi  gran  ignorancia  de  la  topología  algebraica  y  la  homotopía"  (1);  "yoga  conjuntos  simpliciales  ↔  ∞-­‐grupoides"   (2);   "libro  de  Mme.   Sinh"   (2);   "yoga   según  el   cual   «el   carácter   trascendente  de  un  grupo   formal   se  concentra   esencialmente   en   el   grupo   conmutativo   formal»,   descubierto   al   parecer   por  Dieudonné"   (3);   "se   podrían  unir,  en  una  categoría  derivada  apropiada,  la  dualidad  de  Serre,  la  dualidad  de  Pontriagin  (...)  y  la  dualidad  de  Cartier"  (8);  "el  «tipo  fino  de  homotopía»  de  un  espacio  moderado  [dentro  de  la  «tame  topology»,  i.e.  "donde  se  eliminan  los  fenómenos   salvajes"   (18)]   encarna   el   conocimiento,   no   sólo   de   los   haces   o   los   n-­‐stacks,   sino   (vía   paso   al   límite  inductivo)  el  conocimiento  de  todos  ellos"  (20);  "todas  las  operaciones  cohomológicas  posibles  e  imaginables  ya  están  incluidas   en   los   datos   provistos   por   un   sistema   de   n-­‐categorías"   (21);   "¿cuál   es   esa  maravillosa   fórmula   de   Bloch-­‐Quillen  a  la  que  usted  alude,  que  no  conozco,  y  con  la  que  se  me  hace  agua  a  la  boca?"  (22).              

 Carta  a  Serre  

(pre-­‐pre-­‐historia)  

 

 

Noviembre   5   1959.   "Cada   vez   que,   en   virtud   de  mis   criterios,   una   variedad   de  módulos   (o   mejor,   un   esquema   de  módulos)   para   la   clasificación   de   las   variaciones   (globales   o   infinitesimales)   de   ciertas   estructuras   (variedades  completas   no   singulares,   fibrados   vectoriales,   etc.)   no   puede   existir,   a   pesar   de   eventuales   buenas   propiedades   de  lisura,  propiedad  y  no  singularidad,   la  razón  se  debe  solo  a   la   existencia  de  automorfismos  de   la   estructura  que  impide  funcionar  la  técnica  de  descenso".    [Correspondance  Grothendieck-­‐Serre,  SMF,  2001,  p.  94].    

   

Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  en  la  Tabla  de  Contenidos,  la  Carta  a  Quillen  y  el  Documento  Principal  corresponden  a  la  numeración  del  propio  Grothendieck.    Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  en  las  Cartas  a  Breen  corresponden  a  la  paginación  separada  de  cada  carta.  Todas  las  negritas  son  nuestras.  

     

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FUERZAS  CENTRALES  EN  PURSUING  STACKS      

                     def.  (actual)  STACK  =  funtor  E  →  CT    donde:  

• el  funtor  es  fibrado  (los  morfismos  en  CT  se  relevan  canónicamente  a  E)  • las  fibras  CT⏐U    (preimágenes  del  funtor  sobre  objetos  U  de  CT)  son  grupoides  • el  funtor  "cambio  de  base"  CT⏐U  →  Con  es  un  haz    • CT  es  una  categoría  C  con  una  topología  de  Grothendieck  T  • los  cubrimientos  en  las  fibras  se  relevan  ("los  datos  de  descenso  son  efectivos")  

   ejemplos  esenciales:  

• CT  =  categoría  de  esquemas  afines  sobre  un  esquema  S  fijo,  con  la  topología  étale  • E  =  M1,1    espacio  moduli  de  curvas  elípticas  (Mumford,  1965)  • E  =  Mg,n    espacio  moduli  de  superficies  de  género  g  con  n  puntos  (Grothendieck,  1981)  

       

    desarrollo  de  los  STACKS  

         (hacia  aritmética  +  Langlands)                                            (hacia  física  +  HoTT)    TEORÍAS  DE  LA  CLASIFICACIÓN  

               NO  CONMUTATIVIDAD  

(GRUPOIDE  FUNDAMENTAL)                TEORÍA  FINA  DE  ESPACIOS  MODULI                                TEORÍA  HOMOTÓPICA  DE  CATEGORÍAS        [Laumon  2000]               [Maltsiniotis  2005]                          categorías  algebraicas                                        categorías  analíticas                                                          n-­‐categorías                      -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  bases  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐                                                      variedades  algebraicas                              variedades  diferenciables          1-­‐stacks  =  stacks                                        esquemas                                          espacios  topológicos            0-­‐stacks  =  haces                              STACKS  ALGEBRAICOS              STACKS  TOPOLÓGICOS  /  DIFERENCIABLES                                n-­‐STACKS      

     

emergencia  terminológica  STACKS  (=  CHAMPS)  (Deligne-­‐Mumford  1969)    

     tránsito  final  (ideas  de  Grothendieck)    

(4)  se  integra  toda  la  información  de  variación  y  pegamiento  en  los  haces    

(3)  aparecen  entonces  naturalmente  los  grupoides  en  los  problemas  de  clasificación    

(2)  la  clasificación  de  esas  estructuras  (espacios  moduli)  debe  tener  en  cuenta  las  variaciones  (Riemann)      

(1)  muchas  estructuras  poseen  grupos  de  automorfismos  no  triviales  (interés  de  la  ambigüedad  -­‐  Galois)    

obstrucción  inicial        

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SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Abril  20  &  Abril  27  

Esbozo  de  un  programa  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

1983   Carta  a  Faltings  (Junio  27  1983),  10  pp.    Transcripción   (alemán)   en   L.   Schneps   &   P.   Lochak,   Geometric   Galois   Actions   I,   Cambridge:   Cambridge   University   Press   (LMS   Series   242),   1997,   pp.   49-­‐58;  traducción  al  inglés,  ibidem,  pp.  285-­‐293.    

   

El  "desarrollo  de  la  potencia  visionaria  en  matemáticas"  requiere  penetración  [insight],  profundidad,  delicadeza,  y  "emerge  de  la  niebla"  a  partir  de  una  "delicada  y  obstinada  sensación  de  los  conceptos  y  entidades  relevantes  y  sus  relaciones  mutuas"  (1).  "El  «yoga  de  los  motivos»  (...)  es  una  suerte  de  ciencia  secreta  –  Deligne  me  parece  ser  aquel  más  fluyente  en  ella"  (1).  "Yoga"  de  la  geometría  anabeliana,  problema   general   (2),   caracterización   de   anabelianidad   en   el   caso   curvas   por   la   negatividad   de   la   característica   de   Euler   (3),  caracterización  de  anabelianidad  en  el  caso  C  por  hiperbolicidad  (3).  Variedad  anabeliana  general  como  fibración  de  curvas  anabelianas  (3).  "Estoy  bastante  convencido  de  que  los  espacios  moduli  Mg,n  pueden  ser  aproximados  como  «anabelianos»"  (3).  "No  me  he  ocupado  de  este  conjunto  de  preguntas  desde  hace  más  de  un  año"  (3)  [i.e.  desde  la  Longue  marche].  Caracterización  de  las  variaciones  de  campos  mediante  variaciones  de  los  grupos  fundamentales,  gracias  a  su  "rigidez"  interna,  o,  equivalentemente,  gracias  a  la  "fuerza"  de  su  acción  aritmética   externa   (4-­‐5).   Emergencia   del   grupo   de   Galois   absoluto   Gal(𝑸:𝑸)  como   objeto   central   [Grundobjekt]   de   la   geometría  algebraica  anabeliana  (5).  Anabelianidad  y  topos  étales  (7).  Relaciones  del  programa  anabeliano  con  la  conjetura  de  Mordell  (8).  Ideas  estimuladas   por   "algunas   reflexiones   trascendentales   sobre   la   acción   de   grupos   finitos   sobre   curvas   complejas   algebraicas   y   sus  recubrimientos  universales"  (9).  Después  de  inicios  "durante  la  primera  parte  de  1981  (...)  retomé  las  reflexiones  anabelianas  de  nuevo  entre  Diciembre  81  y  Abril  82"  (9).  Registro  de  trabajos  en  anabelianidad,  espacios  de  Teichmüller  y  "fundamentos  de  la  cohomología  con  respecto  al  álgebra  homotópica"  [i.e.  Pursuing  Stacks]  (9).      

 Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  remiten  a  la  paginación  del  documento  original,  indicada  en  los  márgenes  de  la  traducción  inglesa.  

 1984     Esquisse  d'un  programme   ("Esbozo  de  un  programa")   (Enero  1984),  manuscrito   inédito,  programa  de     trabajo  destinado  a  su  ingreso  al  CNRS  (reclutado  1984-­‐1988,  apoyo  en  particular  por  Connes),  57  pp.    Transcripción   (francés)   en   L.   Schneps   &   P.   Lochak,   Geometric   Galois   Actions   I,   Cambridge:   Cambridge   University   Press   (LMS   Series   242),   1997,   pp.   5-­‐48;  traducción  al  inglés,  ibidem,  pp.  243-­‐283.  

   

"1.  ENVÍO"  (1-­‐2).  "Dos  voluminosos  cartones  de  notas  manuscritas"  [¿Longue  marche  +  Pursuing  stacks?]  (1);  "trabajo  de  descubrimiento  (...)   pensamiento   que   sondea   y   que   descubre   andando   a   tientas   en   la   penumbra"   (1);   "el   esbozo   que   sigue   sobre   algunos   temas   de  reflexión  de  los  últimos  diez  o  doce  años  tendrá  lugar  a  la  vez  de  esbozo  de  programa  de  trabajo  para  los  años  venideros"  (1).    

"2.  UN  JUEGO  DE  «LEGO-­‐TEICHMÜLLER»  Y  EL  GRUPO  DE  GALOIS  DE  𝑸  SOBRE  Q"  (2-­‐9).  Estudio  de  la  "intuición  geométrica  y  topológica  de  las  formas,   y   más   particularmente   de   las   formas   bidimensionales   (...)   que   se   pueden   agrupar   bajo   la   apelación   de   «topología   de   las  superficies»   o   «geometría   de   las   superficies»"   (2);   "ha   sido   mi   principal   fuente   de   inspiración,   así   como   mi   hilo   conductor  constante"   (3);   "con   sorpresa   y  maravilla   a   lo   largo   de   los   años   descubrí   (o  más   bien,   sin   duda,   redescubrí)   la  riqueza   prodigiosa,  realmente   inagotable,   la   profundidad   insospechada   de   ese   tema,   de   apariencia   tan   anodina"   (3).   Estudio   del   "sistema   de   todas   las  multiplicidades  Mg,n  ligadas  entre  ellas  por  un  cierto  número  de  operaciones  fundamentales"  (4);  estudio  "reflejado  por  una  estructura  análoga   sobre   los   grupoides   fundamentales   correspondientes,   los   «grupoides   de   Teichmüller»   (...)   de   manera   suficientemente  intrínseca  para  que  el  grupo  de  Galois  Γ  de  𝑸/Q     opere  sobre   la  «torre»  de   los  grupoides"  (4);  así  "el  grupo  de  Galois  Γ  se  realiza  como  un  grupo  de  automorfismos  de  un  grupo  profinito  muy  concreto"  (4).  La  acción  de  Γ  sobre  la  torre  puede  ser  descrita  por  su  acción  en   los   primeros   niveles   (5-­‐6);   importancia   de   ir   más   allá   del   grupo   fundamental   con   un   punto   de   base,   y   pasar   a   grupoides  fundamentales  con  "todo  un  paquete  [de  puntos]  que  sea  invariante  para  las  simetrías  de  la  situación"  (5)  [tema  recurrente:  back-­‐and-­‐forth  de  lo  Uno  a  lo  Múltiple];  "tierra  virgen  (...)  verdadera   joya"  (6).  Aparición  esencial  del  grupo  modular  en  la  base  de  la  torre  (6);  "doce  «piezas  de  construcción»  fundamentales   (6  de  género  0,  6  de  género  1)  en  un  «juego  de  Lego-­‐Teichmüller»"   (8);   cercanía  con  el  "juego  de  «cirugía  geodésica  hiperbólica»  de  Thurston"  (8);  aparición  de  un  "juego  de  vaivén  típico  entre  lo  combinatorio  y  lo  algebraico  complejo  (o  mejor,  lo  algebraico  sobre  Q)"  (9).          

"3.  CUERPOS  DE  NÚMEROS  ASOCIADOS  A  UN  DIBUJO  DE  NIÑOS"  (9-­‐18).  "Mi  interés  por  las  superficies  topológicas  comienza  a  surgir  en  1974"  (9);  tesis  doctoral  de  Yves  Ladegaillerie  (9-­‐10);  trabajo  de  DEA  de  Jean  Malgoire  y  Christine  Voisin  (11);  estudio  de  la  categoría  de  mapas  X\K   (X   superficie   compacta,  K   complejo   topológico   sumergido   en   X)   (10)   y   descubrimiento   de   que   los  mapas   pueden   ser   descritos  mediante  recubrimientos  de  la  esfera  de  Riemann  (11);  "se  llega  a  una  constatación  que  ocho  años  después  me  parece  aún  siempre  tan   extraordinaria:   ¡todo   mapa   orientado   «finito»   se   realiza   canónicamente   sobre   una   curva   algebraica   compleja!"   (11).  "Naturaleza  familiar,  no  técnica,  de  los  objetos  considerados,  dibujos  de  niños"  (12);  "a  un  tal  dibujo  se  le  asocian  sutiles  invariantes  aritméticos"  (12).  Aparición  del  grupo  de  Galois  Γ  (=Gal(𝑸:𝑸))  "como  agente  transformador  sobre  formas  topológico-­‐combinatorias  de  la   naturaleza  más   elemental   posible"   (13);   "mi   reflexión   se   encaminó  muy   rápido   hacia   una   dirección  más   conceptual   para   llegar   a  aprehender   la   naturaleza   de   esa   acción   de   Γ   (...)   y   así   mi   atención   se   dirigió   hacia   lo   que   he   llamado   desde   entonces   «geometría  algebraica  anabeliana»"   (14);   aparición  de   "grupos   fundamentales  que  están  muy  alejados  de   los   grupos  abelianos   (y  que  por  esta  razón  he  llamado  «anabelianos»)"  (14).  Teorema  de  Belyi  (1979)  ("identidad  profunda  entre  la  combinatoria  de  los  mapas  finitos,  por  

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una  parte,  y  la  geometría  de  las  curvas  algebraicas  definidas  sobre  cuerpos  de  números,  por  otra  parte")  (15)  y  enlace  con  el  programa  de  geometría   anabeliana   (15).   Referencia   a   la   Longue   marche,   "esfuerzo   de   comprensión   de   las   relaciones   entre   grupos   de   Galois  «aritméticos»  y  grupos  fundamentales  profinitos  «geométricos»"  (15).  Enlace  entre   la  geometría  anabeliana  y   la   teoría  de  Galois-­‐Teichmüller,  a  través  de  las  "multiplicidades  modulares  Mg,n  que  aparecen  como  los  primeros  ejemplos  importantes,  en  dimensión  >1,  de   variedades   (o,   más   bien,   multiplicidades)   que   parecen   merecer   la   apelación   «anabeliana»"   (16).   "Riqueza   verdaderamente  inimaginable   de   un   grupo   anabeliano   típico   como   el   grupo   SL(2,Z)   (...)   «piedra   de   construcción»   fundamental   de   la   «torre   de  Teichmüller»"  (16).  "Yoga  anabeliano  (...):  una  curva  algebraica  anabeliana  sobre  un  cuerpo  de  números  K  (extensión  finita  de  Q)  se  conoce  módulo  isomorfismo  cuando  se  conoce  su  grupo  fundamental  mixto"  (17).  "Hay  quienes,  ante  esto,  se  contentan  con  levantar   los   hombros   (...)   Olvidan,   o   ignoran,   que   nuestra   ciencia,   y   cualquier   ciencia,   sería   bien   poca   cosa   si   desde   sus   orígenes   no  hubiese  estado  nutrida  por  los  sueños  y  las  visiones  de  aquellos  que  se  entregan  a  ella  con  pasión"  (18).      

"4.   POLIEDROS   REGULARES   SOBRE   CAMPOS   FINITOS"   (18-­‐25).   Problematización   del   caso   infinito   en   el   caso   de   mapas   "regulares"  (correspondientes   a   "recubrimientos   galoisianos")   (18);   trabajos   de   fundamentos   de   Malgoire   y   Voisin   (19).   "En   1977   y   1978,  paralelamente  a  dos  cursos  C4  sobre  la  geometría  del  cubo  y  aquella  del  icosaedro,  comencé  a  interesarme  por  los  poliedros  regulares"  (19);  "la  teoría  de  los  polígonos  regulares  en  característica  arbitraria  fue  el  objeto  de  un  curso  de  DEA  en  1977/78"  (20).  "La  extensión  de   la   teoría   de   los   poliedros   regulares   (y,   más   generalmente,   de   toda   suerte   de   configuraciones   geométrico-­‐combinatorias,   aún   los  sistemas  de  raíces...),  desde  el  campo  de  base  R  o  C  hacia  un  anillo  de  base  general,  me  parece  de  un  alcance  comparable,  en  esta  parte  de  la  geometría,  a  la  extensión  análoga  que  ha  tenido  lugar  desde  el  comienzo  del  siglo  en  geometría  algebraica,  o  desde  hace  unos  veinte  años   en   topología,   con   la   introducción   del   lenguaje   de   los   esquemas   y   los   topos"   (20).   "Ampliación   del   punto   de   vista   (...)   pequeño  milagro  (...)  despejar  un  manto  de  brumas  (...)  fuerza  de  motivación  y  fascinación  poco  comunes,  como  la  del  sueño  tal  vez  (...)  llamado  de  lo  informulado,  de  lo  informe  que  busca  forma,  de  un  entrevisto  elusivo  (...)"  (23-­‐24).          

"5.  HARO  SOBRE  LA  TOPOLOGÍA  DICHA  «GENERAL»,  Y  REFLEXIONES  HEURÍSTICAS  HACIA  UNA  TOPOLOGÍA  DICHA  «MODERADA»"  (25-­‐36).  "Necesidad  de  fundamentos  nuevos  para  la  topología  «geométrica»,  en  una  dirección  muy  diferente  de  la  noción  de  topos,  y  aún  independiente  de  las  necesidades  de  la  geometría  algebraica  denominada  «abstracta»  (sobre  campos  y  anillos  de  base  generales)"  (25).  "El  problema  de  partida,   que   comenzó   a   intrigarme   hace   ya   unos   quince   años,   era   el   de   definir   una   teoría   de   descomposicón   [dévissage]   de   las  estructuras  estratificadas"  (25);  inspiración  y  motivación  de  las  multiplicidades  modulares  Mg,n  en  "mi  reflexión  sobre  las  estructuras  estratificadas,  de  diciembre  1981  a  enero  1982"  [¿desliz  de  fechas?  -­‐  no  concuerda  con  las  fechas  de  La  longue  marche   -­‐  ¿referencia  a  otro  manuscrito?]   Estudio   de   categorías   isotópicas   en   el   problema   de   "tornar   canónico   aquello   que   no   lo   es"   en   las   cuestiones   de  dévissage   (27);   necesidad   de   solventar   "fenómenos   «salvajes»"   en   cocientes,   bordes,   proyecciones   (28);   necesidad   de   introducir   una  "«topología  moderada»"  (29)  dirigida  al  "estudio  de  propiedades  topológicas  de  formas  geométricas  diversas"  (29),  en  contraste  con  la  "«topología  general»  (desarrollada  en  los  años  treinta  y  cuarenta)  por  analistas  para  las  necesidades  del  análisis"  (29).  Lucha  en  contra  de  la  "inercia  casi  insuperable  del  espíritu"  (30).  "Aproximación  axiomática"  de  la  topología  moderada  (30);  consecuente  aparición  "no  de  una  «teoría  moderada»,  sino  de  una  vasta  infinitud"  (30),  ligada  por  teoremas  de  comparación  isotópica  (31).  "Lo  que  hace  falta,  otra  vez,  no  es  para  nada   la  virtuosidad  técnica  de   los  matemáticos,  a  veces   impresionante,  sino   la  audacia  (o  simplemente   la   inocencia)"  (32).  Aparición  de  "una  noción  de  grado  de  trascendencia  (o  «dimensión»)  de  un  punto  en  un  espacio  moderado,  cercano  de  la  noción  familiar  en  geometría  algebraica"  (33)  [prefiguración  de  la  noción  de  dimensión  en  las  teorías  O-­‐minimales  posteriores  de  la  teoría  de  modelos].   Importancia   de   los   "sueños"   y   del   "trabajo   de   fundamentos"   en   la   "expresión   de   una   realidad   palpable"   (34).   Las  multiplicidades   deben   estudiarse   sobre   categorías   de   índices   (35);   la   teoría   del   dévissage   resulta   ser   una   "guía   preciosa"   para   el  entendimiento   de   la   torre   de   Teichmüller   (35).   "He   podido   convencerme   que   un   tal   formalismo   de  dévissage   tiene   un   sentido   en   el  contexto  (¡denominado  «abstracto!»)  de  los  topos  generales"  (36).  "La  comprensión  de  la  estructura  topológica  de  los  esquemas  no  ha  progresado  mucho  desde  el  trabajo  de  Artin-­‐Mazur"  (36).    

"6.   «TEORÍAS   DIFERENCIABLES»   A   LA   NASH   Y   «TEORÍAS   MODERADAS»"   (37-­‐42).   Teoremas   de   dévissage   para   teorías   moderadas   (37);  "canonicidad"  asociada  a  descomposiciones  en  espacios  contraíbles  (38);   isotopía  y  anabelianidad  (39).  "Fundamentos  de  la  topología  moderada":  necesidad  de  un  "trabajo  tenaz,  meticuloso,  sin  duda  de  largo  respiro"  (39-­‐40).  Siguiendo  "las  ideas  de  Nash,  que  me  habían  golpeado  mucho  (...)  ¿a  fines  de  los  años  60?",  estudio  de  "una  axiomatización  de  «variedad  lisa»  y  del  formalismo  diferenciable  sobre  esas  variedades"  (=  teoría  lisa)  (40);  axioma  de  "estabilidad  por  continuación  analítica"  (41);  conexiones  entre  sistemas  de  gérmenes  de  funciones  analíticas  y  teorías  lisas  (41);  conexiones  entre  variedades  para  teorías  lisas  y  espacios  con  topologías  moderadas  (42).              

"7.  A  LA  BÚSQUEDA  DE  LOS  CAMPOS"  (42-­‐45).  "Desde  el  mes  de  marzo  del  año  pasado,  es  decir  desde  cerca  de  un  año,  la  mayor  parte  de  mi  energía  ha  estado  consagrada  a  un  trabajo  de  reflexión  sobre  los  fundamentos  del  álgebra  (co)homológica  no  conmutativa,  o  lo  que  es  lo  mismo,  finalmente,  del  álgebra  homotópica"  (42).  Recuento  de  la  escritura:  notas  destinadas  a  la  publicación  (Hermann),  trabajo  en  curso   de   redacción,   amplitud   del   manuscrito   (1500   pp.),   dos   volúmenes   esperados   ("À   la   poursuite   des   champs")   (43);   recuento   de  intentos   (Verdier,  Giraud,   Illusie,  Quillen)  en  esa   fundamentación,   "no  entendidos"  y  que   "esperan  aún  un   lenguaje  preciso  y  plástico  para   darles   forma"   (43-­‐44).   Referencia   a   las   cartas   a   Larry   Breen   (1975)   y   cómo   "en   ese  momento   aparece   la   intuición   que   los  ∞-­‐grupoides   deben   constituir   modelos,   particularmente   adecuados,   para   los   tipos   de   homotopía,   correspondiendo   los   n-­‐grupoides  a  los  tipos  de  homotopía  truncados  (con  πi  =  0  para  i>n)"  (44);  referencia  a  los  trabajos  de  Ronnie  Brown  y  al  "estímulo  de  una  correspondencia  agitada"  con  Brown  (44);  emergencia  del   término  "campo"  (44).  Referencia  a  "última  conferencia  pública,  en  el  IHES  en  1976,  cuyo  manuscrito,   confiado  no  sé  a  quien,   se  ha  perdido"   (45),  donde  ya   intuía  una  "«esquematización»  de   los   tipos  de  homotopía"  (45).  Se  trata  de  "un  cuento  de   las  mil  y  una  noches,  donde   la  atención  se  mantiene  en  suspenso  a  través  de  otros  veinte  cuentos  antes  de  conocer  el  fin  del  primero"  (45).          

"8.   DIGRESIONES   SOBRE   GEOMETRÍA   BIDIMENSIONAL"   (45-­‐49).   Estudio   de   tres   temas   en   "geometría   topológica   bidimensional"   (45):   (i)  "polígonos   planos"   y   variedades   modulares   asociadas   (46),   (ii)   "curvas   sumergidas   en   una   superficie"   y   "visión   dinámica   de   las  configuraciones   posibles,   con   el   paso   de   una   a   otra   por   deformaciones   continuas",   llevando   a   una   propiedad   de   "«telescopía»"   en   la  inmersión   del   círculo   en   una   superficie   (46-­‐47),   (iii)   "clasificación   topológico-­‐combinatoria   de   sistemas   de   rectas"   y   aparición   de   un  "objeto   notable"   en   cuestiones   de   clasificación:   "suerte   de   «superficie   modular»   asociada   a   un   sistema   de   pseudo-­‐rectas"   (47-­‐48).  Constatación   de   soledad   (46),   falta   de   alumnos   (47)   y   "nivel   de   cultura  muy  modesto   de   casi   todos   los   alumnos   que   han   trabajado  conmigo  en  estos  últimos  diez  años"  (48).  Búsqueda  de  "métrica  riemanniana  canónica"  en  el  estudio  de  mapas  bidimensionales  (48).    

"9.  BALANCE  DE  UNA  ACTIVIDAD  DOCENTE"  (49-­‐50).  La  enseñanza  universitaria  (Montpellier)  aportó  "una  renovación  de  mi  aproximación  de  las  matemáticas"  (49),  pero  "constato  un  fracaso  claro  y  nítido  en  mi  actividad  docente"  (49);  solo  dos  discípulos  entre  el  74  y  el  76:  Yves  Ladegaillerie  y  Carlos  Contou-­‐Carrère  (49).      

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"10.  EPÍLOGO"  (50-­‐51).  La  solicitud  de  entrada  al  CNRS  "ha  sido  para  mí  la  ocasión  de  escribir  este  esbozo,  que  de  otra  manera  sin  duda  nunca  habría  visto  el  día"  (50);  "diez  años  de  trabajo  no  serían  demasiados  para  llevar  a  cabo  algunos  de  los  mínimos  temas  esbozados  (...)  ¡y  cien  años  serían  pocos  para  el  más  rico  de  entre  ellos!"  (51);  "un  lector  atento  percibirá  como  yo  una  unidad  profunda"  (51);  "la  geometría  de  superficies  (...)  representa  una  renovación  pero  de  ningún  modo  una  ruptura.  Más  bien,  muestra  el  camino  de  una  nueva  aproximación  hacia  esa  realidad  aún  misteriosa,  aquella  de  los  «motivos»,  que  me  fascinaba  más  que  cualquier  otra"  (51).  "Ya  no  soy,  como  antes,  el  prisionero  voluntario  de  tareas  interminables"  (51);  "el  tiempo  de  las  tareas  para  mí  ha  terminado.  Si  la  edad  me  ha  aportado  algo,  es  ser  más  ligero"  (51).  Una  nota  final  (pie  de  página  51)  remite  a  la  Esquisse  Thématique  (1972)  donde  Grothendieck  había  resumido  sus  trabajos  hasta  ese  momento.      

"NOTAS"   (52-­‐57).  Nota  1   (52):   importancia   de   las   conjeturas   aparentemente   "fuera   de   alcance";   nueva   conjetura   sobre   el   programa  anabeliano.  Nota  2  (52-­‐53):  recordatorio  de  Maria,  en  el  campo  de  Rieucros,  quien  le  enseña  a  los  doce  años  la  definición  de  círculo;  "en  ese  momento,  creo,  es  cuando  vi  por  vez  primera   la  potencia  creativa  de  una  «buena»  definición  matemática,  de  una  formulación  que  describe  la  esencia.  Aún  hoy,  me  parece  que  la  fascinación  que  ejerció  en  mí  esa  potencia  no  ha  perdido  nada  de  su  fuerza"  (53).  Nota  3  (53-­‐54):  "la  geometría  algebraica  anabeliana   (...)   ignora   los  anillos  y   las  ecuaciones  algebraicas  que  sirven   tradicionalmente  para  describir  los  esquemas,  al  trabajar  directamente  con  sus  topos  étales,  expresables  en  términos  de  grupos  profinitos";  "el  desarrollo  de  una  tal  traducción  de  un  «mundo  geométrico»  (a  saber,  esquemas,  multiplicidades  esquemáticas,  etc.)  en  términos  de  un  «mundo  algebraico»  (grupos  profinitos  y  sistemas  de  grupos  profinitos,  derivados  de  topos  étales  convenientes)  puede  ser  considerado  como  el  logro  último  de  la  teoría  de  Galois,  sin  duda  en  el  espíritu  mismo  de  Galois"  (53)  [cfr.  Récoltes  et  semailles  1,  16].  Nota  4  (54-­‐55):  reflexiones  sobre  el  grupo  modular  y   las  representaciones  motívicas  de  Gal(𝑸:𝑸)  ("comenzadas  en  1981");  temas  principales   a  desarrollar  en  la  geometría  algebraica  anabeliana:  (a)  "construcción  combinatoria  de  la  Torre  de  Teichmüller",  (b)  "descripción  del  grupo  de  automorfismos  de  la  compactificación  profinita  de  la  torre,  y  reflexión  sobre  una  caracterización  de  Gal(𝑸:𝑸)  como  subgrupo  de  este",  (c)  "la  «máquina  de  motivos»  SL(2,Z)  y  sus  variantes",  (d)  "el  diccionario  anabeliano  y  la  conjetura  fundamental",  (e)  "problema  de  Fermat"  (55).  Nota  5  (55):  ciclotomía  y  teoría  combinatoria  del  bi-­‐icosaedro  ligadas  al  entendimiento  de  Gal(𝑸:𝑸).  Nota  6  (55-­‐56):  "unos  fundamentos  más  apropiados  para  la  topología  no  suprimirán  esos  fenómenos  [salvajes,  con  su  razón  de  ser  y  su  propia  belleza],  pero  nos  permitirán  situarlos  en  su  justo  lugar,  como  «casos  límite»  de  fenómenos  de  la  «verdadera»  topología"  (56).  Nota  7  (56-­‐57):  despliegues,  estratificaciones,  fibras,  bordes,  enlaces,  junturas  en  un  sistema  de  espacios  moderados.            

 Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  remiten  a  la  paginación  del  documento  original,  indicada  en  los  márgenes  de  la  transcripción  francesa    

(cursivas  y  «entrecomillados»  de  Grothendieck;  nuestras  negritas).              

                                                  Manuscrito  1987  (preparatorio  a  EGA5)                                            Mediados  de  la  década  de  los  ochenta  

   

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ALGUNAS  FUERZAS  CENTRALES  EN  ESQUISSE  D'UN  PROGRAMME      

                     

 

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ALGUNAS  FUERZAS  CENTRALES  EN  ESQUISSE  D'UN  PROGRAMME      

                     

    (I)  El  camino  de  los  dibujos  de  niños                                      (II)  El  camino  de  la  topología  moderada                        nuevo  entendimiento  del  grupo  de  Galois  absoluto              TOPOLOGÍA  MODERADA                                                    (por  geómetras  para  la  síntesis)         Gal(𝑸:𝑸)                                        [teorías  "lisas"  /  orden  superior  intuicionistas]                        acción  clásica                            nueva  acción          

                                 categorías  generales      sup.  Riemann  compactas                  DIBUJOS  DE  NIÑOS  

                                                                             isotopías                              GEOM  +  ANAL                        TOPOL  +  COMBIN                                    espacios  moderados                                  (estratificaciones,  dimensionalidad  intrínseca)  Teoría  de  Teichmüller                          Geometría  Anabeliana                                                tránsitos  naturales  ("suaves")                          acción  sobre  la  torre                                acción  estratificada    Gal(𝑄:𝑄)                                            Gal(𝑄:𝑄)                versus  variación  algebraica                                            anabelianidad:            conjetura                    grupo  fundamental                                        TOPOLOGÍA  GENERAL                    Mg,n                      ⇔    variedad  sobre                  (por  analistas  para  el  análisis)                                                                      anabelianas            campos  de  números      grupoides                                      (car.  arbitraria)        Mg,n                                [teorías  primer  orden  clásicas]  

     Tg,n                                curvas  alg.  complejas                  variación     variación                                            ⇔  (Belyi)                              algebraica         categoría  Top     continua                          superficie                    función                                          Riemann            +            Belyi   variación                                M1,1                        SL(2,Z)                                        ⇔  (Groth)                                continua         isomorfismos                    curvas                        grupo                                                            mapas  finitos  orientados                            elípticas                modular                                                                            superficies  topológicas                                espacios  topológicos                                                                                    obstrucciones  artificiales  ("salvajes")                                                                                                                  mundus  subterraneus  (Kircher)  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

      TOPOS  

  étale                                          aritmético                                          [Deligne]                                            [Connes]                            Conjeturas  Weil                        Hipótesis  Riemann                    

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  201  

SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Mayo  11  

Los  derivadores  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

1990-­‐91   Les  dérivateurs,  manuscrito  inédito  (octubre  1990  -­‐  mediados  1991),  1976  pp.    

Transcripción  (francés)  por  Matthias  Künzer,  edición  y  revisión  de  Georges  Maltsiniotis  y  Jean  Malgoire,  disponible  en  www.grothendieckcircle.org.    

         

   

                           

                       1991  (Abril  2,  Les  Aumettes)  Carta  a  Thomason.  Grothendieck  resume  algunas  de  las  ideas  esenciales  de  Los  derivadores:    

• desarrollo  de  un  "álgebra  topológica"  general  bajo  un  amplio  "fundamento  de  la  teoría  de  categorías"  (2)    • búsqueda  de  "estructuras  intrísecas"  (2),  "esencias  últimas"  (9),  "quintaesencia"  (11),  subyacentes  a  categorías  homológicas  y  homotópicas  • aparición  en  SGA5  de  la  idea  de  derivadores:  axiomas  apropiados  para  las  propiedades  funtoriales  asociadas  a  categorías  derivadas  (5)  • nociones  fundamentales  del  "álgebra  topológica":  derivador,  topos,  n-­‐categoría,  n-­‐campo,  para  poder  captar  Cat  con  "ojo  de  geómetra"  (6)  • derivadores  /  categorías  de  modelos  ≡  estructuras  /  bases  :  el  carácter  intrínseco  de  los  derivadores  calca  la  independencia  de  cambios  de  base  (11)    

 

Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  remiten  a  la  transcripción  del  documento,  disponible  en  www.grothendieckcircle.org    

 Las  referencias  numéricas  entre  paréntesis  (x.y)  remiten  a  la  paginación  de  la  transcripción,  señalando  capítulos  (x)  y  páginas  (y).  

   

 

Cap.  1          Generalidades  sobre  los  (pre)derivadores  (126  pp.)            Cap.  2          Cofinalidad  (a  derecha  e  izquierda)  (preliminar  a  la  cofinalidad  cohomológica)  (99  pp.)                Cap.  3          Hom  externos  en  los  derivadores  (12  pp.)                Cap.  4          Diagramas  substanciales  (83  pp.,1-­‐72  ausentes)                Cap.  5          Categorías  de  caminos  y  localización  (52  pp.)  Cap.  6          HOT  (204  pp.)  Cap.  7          Categorías  de  caminos  (2)  (171  pp.)  Cap.  8          1-­‐tipos  de  homotopía  relativos:  su  integración...  (9  pp.)  Cap.  9          Regreso  sobre  las  categorías  MW-­‐1,  comparación  con  Quillen  (25  pp.)  Cap.  10      Comparación  de  Cat  con  Δ^  (5  pp.)  Cap.  11      Fibraciones  HOT,  funtores  propios  y  funtores  lisos,  etc.  (136  pp.  1-­‐126  ausentes)  Cap.  12      Caracterización  de  𝑊! .  Funtores  W-­‐propios,  W-­‐lisos,  etc.  Sumas  amalgamadas  y  cuadrados  W-­‐cocartesianos  en  Cat  (275  pp.)  Cap.  13      Categorías  de  modelos  (1)  (98  pp.)  Cap.  14      Cuadrados  h-­‐cartesianos  y  h-­‐cocartesianos  (8  pp.)  Cap.  15      Teoremas  de  factorización  (modelos  (2))  (137  pp.)    

 [capítulos  16-­‐19,  por  transcribirse  aún,  a  fecha  Mayo  2016]    

Cap.  16      Localizadores  fundamentales  en  Cat  (124  pp.)  Cap.  17      Categorías  con  fibraciones  y  cofibraciones  (modelos  (3))  (118  pp.)  Cap.  18      Categorías  y  conjuntos  accesibles  (492  pp.,    1-­‐49  ausentes)  Cap.  19      Modelos  (4)  (50  pp.)      

 

Les  dérivateurs:  algunos  temas  escogidos    

Cap.  1.  Cuadro  intuitivo  (1.1):  "categoría  de  coeficientes"  A,  "categoría  de  índices"  I,  topos  de  prehaces  𝐴(𝐼) = 𝐴!!" ,  cambio  de  base  f:  I→J,  y  problemática  de  existencia  de  adjuntos  (izquierda,  derecha)  para    f*:  A(J)→A(I).  Cuadro  general:  definición  de  derivador  como  2-­‐funtor  D:  Diaop  →  Cat  (Dia  subcategoría  plena  de  Cat  =  "diagramas")  que  "satisface  ciertas  condiciones"  (1.4)  [un  tal  funtor  se  denominará  luego  "prederivador"  (1.22)  y  los  axiomas  para  los  derivadores  irán  apareciendo  a  medida   que  el   texto   se  desarrolla  naturalmente   (1.5,  1.9,  1.22,  1.23-­‐25)].   "La   filosofía  de   los  derivadores   consiste   en  gran  medida"  en  responder  cómo  ciertos  diagramas  en  "categorías  de  coeficientes"  D(I)  provienen  inversa  y  canónicamente  de  otros  diagramas  (1.7).  "Intuitivamente,  se  mira  un  derivador  D  como  una  categoría  [de  base]  fundamental  con  una  «estructura»  suplementaria,  a  saber  las  «extensiones»  [de  la  base]",  de  manera  funtorial;  emerge   entonces   un   vaivén   global-­‐local   entre   coeficientes   (1.10).   Aparición   "estándar"   de   los   derivadores   vía   localizaciones   (1.10).   Ejemplo   esencial:  derivador  HOT  elevado  sobre    la  "categoría  homotópica  estándar"  Hot,  categoría  base  de  "coeficientes  fundamentales"  (1.11).  "Filosofía":  los  funtores  entre  categorías  fundamentales,  subyacentes  a  derivadores,  deben  provenir  de  manera  canónica  de  morfismos  entre  derivadores  (1.14).  Las  notas  a  pie  de  página  (agregadas   después   de   avances   y   retrocesos   en   el   texto   principal)   indican   "errores"   (1.22),   "inutilidades"   (1.24),   "falsedades"   (1.25-­‐27,   1.52),   "mejoras"  (1.31),   "contraejemplos"   (1.53),   "dudas"   (1.65):   reflejos  de   la   labor  creativa  en  acción   de  Grothendieck.  Enlace  entre   condiciones  de   suavidad   –morfismos  propios  y   lisos   (1.30)–  y  propiedades  de  estabilidad   en   cambios  de  base   (1.32).  Descomposición  globular  de   la   esfera   a   través  de   conjuntos  ordenados  y  categorías  (1.57-­‐58).  Desarrollo  parcial  del  documento  fechado  11  Noviembre  1990  (1.66).    

Cap.   3.   Acciones   eventuales   de   Hot   sobre   la   categoría   fundamental   de   un   derivador   (5.1).   Correlaciones   entre   Cat   y   Hot;   localización   módulo   cuasi-­‐isomorfismos  (5.2).  Carácter  especulativo  del  capítulo:  ¿"nuevo  axioma"?  (5.3),  "heurística"  (5.6),  "no  hay  duda,  debe  funcionar"  (5.6),  dudas:    ¿"corrección"?  (5.7),  ¿"verdad"?  (5.8),  confianza  relativa:  "O.K."  (5.8).  Ejemplo:  funtores  asociados  al  "tipo  de  homotopía  del  círculo  estándar"  (5.3).    

Cap.  5.  Categorías  abstractas  de  caminos   (5.1-­‐4).  Enlaces  con  categorías  de   fracciones   (5.5,  5.17,  5.20).  Cat  hot,   categoría  de  categorías  módulo  homotopía  (5.8):  intento  de  presentación  vía  "demostración  conceptual,  sin  «cálculos»  fastidiosos"  (5.9)  [recordar  la  frase  de  Galois:  "hay  que  saltar  a  pies  juntillas  sobre  los  cálculos"].    

Cap.  11.  Fibraciones  de  tipo  Hot  en  Cat:  utilizando  técnicas  de  haces,  correspondencias  entre  preservación  de  Hot-­‐equivalencias  y  preservación  de  fibras  bajo  cambios  de  base  (11.1-­‐3).  "Para  poner  resultados  «topológicos»  sobre  una  base  sólida,  hay  que  desarrollar  las  nociones  pertinentes  de  funtor  propio,  funtor  liso,  etc.,  sin  referencia  a  una  teoría  HOT.  Es  lo  que  por  otro  lado  había  intentado  hacer  ya  en  1983,  por  los  tiempos  de  Pursuing  Stacks,  pero  sin  una  redacción  en  forma"  (11.6).  

 

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  202  

 

 ALGUNAS  FUERZAS  CENTRALES  EN  LOS  DERIVADORES    

       

"quintaesencia"  unidad  /  suavidad  

arquetipo    

TRÁNSITOS  GENERALES  EN  CAT    

(axiomática  de  los  derivadores,  adjuntos  derechos  e  izquierdos)  

 ÁLGEBRA  TOPOLÓGICA    

[nivel  universal  global:  Les  dérivateurs  1991,  nivel  proyectivo  local:  La  longue  marche  1981,  Pursuing  Stacks  1983]  

   

      tipos  1                                    tipos  2                  ÁLGEBRA  HOMOLÓGICA                                                      ÁLGEBRA  HOMOTÓPICA                          (coeficientes)                              (límites)      

tránsitos  funtorialización  y  abstracción  de  los  procesos  de  derivación  emergencia  de  canonicidad  y  universalidad  a  nivel  Cat  

 estabilidad    intrínseca  /  invarianza    "independencia  de  cambios  de  base"    

   

(PRE)DERIVADOR    

                                   funtor:    C  →  𝑀!!"[𝑊!!!]        

            con  axiomas  adicionales                              

a  partir  de  un  "localizador"  (M,W):  M  categoría,  W  subcategoría  de  flechas  de  M,  

𝑊!    subcategoría  de  𝑀!!" ,  𝑊!

!!cuasi-­‐isomorfismos        

      CATEGORÍAS  DERIVADAS            complejos    de  cadenas    Compl(A)  +  equivalencias  débiles  W  :  localización  Compl(A)⋅[W-­‐1  ]             obstrucciones       no  canonicidad       no  universalidad  

   

                       Lema  Yoneda                                      C  →  𝐴!!"                                          intuición  central:  topos  de  prehaces  

   

            CATEGORÍAS  ABELIANAS  (A)           TOPOS    (𝐴!!")                          (Tôhoku  1957)                (SGA  1962)  

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  203  

SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Mayo  18  

El  método:  regreso  a  (Cosechas  y  siembras)  +  (La  llave  de  los  sueños)  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   

   

década  de  los  ochenta  -­‐  comienzos  de  los  noventa        vaivén  pendular  

         

    (A)  GRANDES  PROGRAMAS  DE  RENOVACIÓN  MATEMÁTICA                      (B)  REFLEXIONES  PROFUNDAS    

1981     La  longue  marche  à  travers  la  théorie  de  Galois  1983     Pursuing  stacks  1984     Esquisse  d'un  programme                   1983-­‐86     Récoltes  et  semailles                   1987     La  clef  des  songes  1990-­‐91   Les  dérivateurs  

     

 Registro  (exhaustivo)  de  apariciones  de  temas  (A)  en  RÉCOLTES  ET  SEMAILLES  (los  números  indicados  en  la  tabla  remiten  a  los  volúmenes  y  páginas  del  tratado–  ver  p.  172  de  este  Seminario)  

 

             

 

 TORRE  DE    

TEICHMÜLLER  

 GEOMETRÍA    ANABELIANA  

 DIBUJOS    DE  NIÑOS  

 n-­‐GRUPOIDES  n-­‐CATEGORÍAS  

 TOPOLOGÍA  MODERADA  

 ÁLGEBRA  

TOPOLÓGICA  

 RS01(21-­‐22):  tema  central  (no.  11);  tema  profundo    

RS01(45):  tema  profundo    

RS2(196):  "el  objeto  más  rico  y  fascinante  que  he  encontrado  en  matemáticas"    

RS2(266):  teoría  de  "dévissage"    

RS2(342):  conexión  con  Mumford    

RS2(391):  inicios  en  el  Seminario  Cartan  (1961),  exposiciones  sobre  espacios  analíticos    

RS2(412):  microseminario  (1981)  para  Leroy  y  Contou-­‐Carrère    

 

 RS01(21-­‐22):  tema  central    (no.  11);  tema  profundo    

RS01(45):  tema  profundo    

RS1(16):  "logro  último  de  la  teoría  de  Galois"    

RS1(142):  cercanía  con  conjeturas  aritméticas    

RS2(342):  "alcance  excepcional"    

RS2(400):  yoga  fundamental    

RS3(600):  cercanía  tardía  con  Fermat    

RS3(639):  "parte  neurálgica"    

RS4(1160):  su  "alma",  el  yoga  de  los  motivos      

 

 RS2(247):  "continente  nuevo"  

 RS2(194):  "joyas  únicas"    

RS2(386):  dimensiones  arbitrarias  en  topos    

RS3(574):  importancia  de  las  ampliaciones  de  un  contexto    

RS4(1205):  "síntesis"  –  "el  cuadro  de  naturaleza  puramente  algebraica  más  vasto  para  dejar  obrar  la  intuición  topológica"  

 RS01(21):  tema  central  (no.  10)    

RS01(36):  "metamorfosis  de  la  noción  de  espacio"    

RS01(55-­‐56):  extensión  de  estructuras,  neonato  "ilegal"    

RS2(392):  variaciones  de  suavidad    

RS3(639):  renovación  entera  para  la  topología,  "del  alcance  de  los  esquemas  en  geometría  algebraica"    

RS4(1037):  cercanía  con  temas  de  constructibilidad  y  coherencia  en  los  años  cincuenta  

 RS01(21):  tema  central  (no.  9)    

RS2(198):  "máquina  de  fabricar  categorías  derivadas"  –  "objeto  más  rico"      

RS2(386):  "fundamento  conceptual  común  al  álgebra  homológica  y  al  álgebra  homotópica"    

RS4(1205):  derivadores,  ideas  presentes  desde  los  años  sesenta  

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  204  

Registro  (parcial)  de  procedimientos  de  la  obra  grothendickiana,    alegorizados  en  los  inicios  de  LA  CLEF  DES  SONGES  

(los  números  indicados  remiten  a  páginas  en  el  tratado)  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       categorían                        adjunciones            categoríam  

                                 [Galois]                            procesos  inyectivos  /  proyectivos  

 

 

                                                       torren                                                            traducciones  /  diccionarios                                                              torrem    

                                                                                       [yang  /  razón]  

 

                                 objetos  singulares                                          estratos              bases                        [Riemann]  

 

 

intuiciones  profundas  /  analogías  

[yin  /  co-­‐razón]  

 RELATIVIZAR    

 pensar  sobre    bases  movibles:  flechas  verticales,  transformaciones  

 variaciones  →  invarianzas  

   

 MULTIPLICAR    

 allende  objetos  "en  sí",  

pensar  objetos  "en  múltiple":  urdimbres,    

multiplicidades    

inyecciones  →  proyecciones    

 ESTRATIFICAR    

 elevar  una  arquitectónica  natural  de  tipos  y  niveles:  

truncamientos,  correspondencias  

 traducciones  →  reflejos  

 

 UNIFICAR    

 estructurar  y  axiomatizar  la    multiplicidad  de  variaciones:    categorías  de  coeficientes,  

categorías  coma    

topos  →  n-­‐categorías        

 DESPEJAR  (="dégager")  

 trascender  ciertas  

obstrucciones  singulares:    acceso  universal  a    tránsitos  suaves  

 particular  →  general  

 

   (8):  allende  nuestra  inercia,  importancia  del  cambio  –"gran  miedo  del  cambio"    

(21):  enlace  movible  entre  razón  y  corazón,  descripción  y  fe  –  importancia  del  "oído  espiritual"    

(23):  conciencia  del  "allende"  –  "cosas  delicadas  y  elusivas,  cosas  de  la  sombra  y  la  penumbra"    

(39):  lucha  contra  "resistencias  enormes  de  inercia"  –  "rayos  de  genialidad"  vistos  como  cambios  de  base    

(42):  estudio  de  todas  las  capas  de  la  psiquis,  cada  una  con  "su  propia  coloración  y  resonancia"      

 

   (6):  multitud  (cerca  de  un  millar)  de  sueños  anotados  entre  1976  y  1986    

(26):  penetración  de  una  cosa  en  "capas  y  estratos  sucesivos"  –  acceso  a  la  novedad  "al  tocar  fondo"  –  recorrido  yang  a  través  de  una  multiplicidad  de  umbrales    

(31):  "cuatro  tiempos  que  marcan  los  ritmos  de  la  creación":  preparación,  concepción,  trabajo,  consecución    

(35):  múltiples  ciclos  de  Eros,  medidas  del  ritmo  creador    

     

 

   (1):  sondeo  de  las  profundidades  (el  "alma",  "el  otro  yo",  "el  niño  en  mí")  –  pasaje  de  "umbrales"    

(2):  importancia  de  los  sueños  como  "testimonio  directo"  de  los  niveles  del  inconsciente      

(10):  escritura  racional  de  los  estratos  de  sueños  irracionales    

(11):  la  "otra  voz",  "esencial",  "delicada":  sin-­‐razón,  co-­‐razón,  in-­‐seguridad    

(22):  valor  de  los  "grandes  sueños"  que  permiten  "saltar"  entre  niveles  de  conciencia      

 

   (16):  "el  acto  de  conocimiento  completo  (...)  es  un  acto  común  entre  Dios  y  alma"    

(18):  unidad  del  Soñador  y  del  yo  –  "connivencia"  de  esa  cercanía  en  los  sueños    

(25):  "trabajo  de  profundización,  de  penetración  de  la  periferia  hacia  las  profundidades"    

(27):  penetración  del  espíritu  en  "capas  superpuestas"  –  acceso  al  inconsciente  –  imersión  yin  hacia  una  unidad  profunda    

(30-­‐31):  unidad  triádica  y  "arquetipo  común"  de  los  procesos  creativos:  sensibilidad,  intelectualidad,  espiritualidad    

   (3):  "somos  ciegos"  –  "pero  hay  un  Ojo  que  ve,  una  Mano  que  pinta"    

(4):  "aparecemos  como  soñadores,  o  mejor,  soñados"    

(7):  "percibo  un  soplo  (...)  nada  mecánico,  que  no  viene  de  mí"    

(12):  voz  del  "Soñador",  de  la  "Madre",  de  "Eros":  "leche  verdadera"  de  lo  profundo      

(23):  "el  comienzo,  la  esencia,  del  acto  creador  es  esquivo.  Escapa  siempre  a  las  manos  burdas  de  la  razón,  y  a  su  red,  el  lenguaje"    

 (39):  trabajo  de  "limpieza"  –  debemos  despejar  los  pesos  agobiantes  de  toda  una  vida    

 

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  205  

SEMINARIO  CONTINUO  DE  FILOSOFÍA  DE  LAS  MATEMÁTICAS  2016-­‐I  –    GROTHENDIECK  

 Mayo  25  

Diagramas  de  la  creatividad  en  Grothendieck  Tercer  periodo  (1981-­‐1991)  

-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐    

(1)  LA  VIDA  ACTIVA  MATEMÁTICA                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                   GERMINACIÓN                                                                                                      1991                                                    (TERCERAS  "COSECHAS")  

LOS  FUNDAMENTOS  "ARQUETÍPICOS"              Les  dérivateurs  

 

                       REFLEXIÓN                                        (B  -­‐  C  -­‐  F  -­‐  J  -­‐  K  -­‐  L  -­‐  Y  -­‐  δ  -­‐  γ)  La  clef  des  songes  (1987)                                      -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  Récoltes  et  semailles  (1986)                                                  1984                                                    LA  CONDENSACIÓN  Y  LA  VISIÓN    

             Esquisse  d'un  programme    

                                                                   (B  -­‐  C  -­‐  G  -­‐  I  -­‐  J  -­‐  K  -­‐  L  -­‐  X  -­‐  Y  -­‐  α  -­‐  β  -­‐  δ  -­‐  γ)                                            -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

   1983        Pursuing  Stacks                                  

                                                                                                 (B  -­‐  C  -­‐  G  -­‐  L  -­‐  Y  -­‐  Z  -­‐  δ  -­‐  γ)    

     1981        LA  GRAN  RENOVACIÓN  

     La  longue  marche  à  travers  la  théorie  de  Galois    

     (B  -­‐  C  -­‐  G  -­‐  H  -­‐  I  -­‐  J  -­‐  K  -­‐  L  -­‐  X  -­‐  Y  -­‐  α  -­‐  β  -­‐  δ)    

 (α)  espacios  moduli  de  superficies  de  Riemann    (β)  grupo  de  Galois  absoluto    (δ)  grupoide  fundamental    (γ)  tipos  homotopía  

 1975-­‐76  

  LOS  GÉRMENES  FINALES    (TERCERAS  "SIEMBRAS")  

   (X)  esquemas                                                        (Y)  topologías  de  Grothendieck,  topos                                        (Z)  topos  étale  de  un  esquema  

 1958-­‐62  

LOS  GÉRMENES  MEDIOS  (SEGUNDAS  "SIEMBRAS")  

                     TOPOLOGÍA                                                        ANÁLISIS  FUNCIONAL                              VARIABLE  COMPLEJA               ÁLGEBRA                                (A)  evtlc                          (D)  espacios  Hilbert/Banach                                    (G)  Riemann-­‐Roch  clásico                                                              (J)  productos  tensoriales                        (B)  haces                                                      (E)  espacios  nucleares                                  (H)  espacios  de  funciones  holomorfas                 (K)  propiedades  permanencia        (C)  (no)  separación      (F)  aproximación          (I)  esfera  de  Riemann                                                                (L)  co/homología                  

1950-­‐1951  LOS  GÉRMENES  INICIALES  (PRIMERAS  "SIEMBRAS")  

                   CALIBRACIÓN  DE  FUERZAS                                                (#  apariciones  en  los  terceros  entornos  de  "germinación")  

 A  (0)                                            D  (0)     G  (3)                J    (3)                            X  (2)  B  (4)                                            E  (0)     H  (1)                K  (3)                            Y  (4)  C  (4)                                            F  (1)     I      (2)                L  (4)                            Z  (1)  

                           α(2)                                              β(2)                    δ(4)                              γ(3)      

Page 26: espacios$moduli espacios módulo - IMJ-PRGwebusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/Salamea3.pdf · !185! SEMINARIO!CONTINUODE!FILOSOFÍA!DE!LAS!MATEMÁTICAS! 20168I!!GROTHENDIECK!

 

  206  

 (2)  LAS  TENSIONES  METODOLÓGICAS  

       

(A)    NUEVO  ESTILO:    

DIARIOS  DE  TRABAJO  PLÁSTICOS  (YIN),  NO  ARQUITECTÓNICOS  (YANG)    

• lugar  al  error,  a  la  corrección,  a  la  variación  progresiva  de  los  ajustes  • espacios  abiertos:  descubrimiento/invención  +  reflexión  

       

(B)    ACCESO  DIRECTO  A  OBJETOS  ARITMÉTICO-­‐GEOMÉTRICOS  RICOS:  

REENTENDIMIENTO  DE  NÚMERO/ESPACIO  DESDE  LA  PROFUNDIDAD  DE  LO  CONCRETO    

• espacios  moduli  de  superficies  de  Riemann  • grupo  modular  /  grupo  de  Galois  absoluto  • variable  compleja  y  torre  de  Teichmüller  

• superficies  topológicas  • dibujos  de  niños    

         

(C)    ACCESO  UNIVERSAL/ARQUETÍPICO  A  LA  HOMOTOPÍA:  

TRÁNSITOS  AXIOMÁTICOS  EN  CAT  DESDE  LA  PROFUNDIDAD  DE  LO  GENÉRICO    

• truncamientos  y  localizaciones:  n-­‐grupoides,  n-­‐tipos  de  homotopía,  n-­‐stacks  • suavizaciones  y  globalizaciones:  derivadores  

       

(D)    COINCIDENTIA  OPPOSITORUM  

 "ver  Cat  con  ojo  de  geómetra"  

CAT-­‐GEOM    

                                         particular  (B)                                                                    general  (C)                                    

tensión  /  armonización  /  suavización  entre  los  opuestos