ESPAÇO DE FASE APLICADO À ANÁLISE

E À COMPOSIÇÃO MUSICAL

Aluno: Danilo Machado de Souza

Orientador: Prof. Dr. Jônatas Manzolli

Co-orientador: Prof. Dr. Adolfo Maia Junior Departamento de Música Instituto de Artes Núcleo Interdisciplinar de Comunicação Sonora (NICS) {danilo,jonatas}@nics.unicamp.br Relatório Final de atividades

Resumo

Iniciamos uma pesquisa sobre as relações entre parâmetros musicais e a

representação dos espaços de fase. Este estudo levou-nos a formular

alguns conceitos de análise musical vinculado a conceitos como simetria,

densidade, média e desvio padrão. Após o estudo dos parâmetros

musicais e de desenvolver o método de análise, neste semestre

trabalhamos na elaboração de um programa de análise baseado no

espaço de fase para ser executado na Internet. Como resultado temos um

aplicativo que cria gráficos que poderão servir de parâmetro de análise de

composições que estejam em arquivos no formato do protocolo MIDI.

Estes gráficos apresentam resultados de acordo como os parâmetros que

estudamos durante o decorrer da pesquisa.

Palavras chave: análise musical, gráficos, Internet, espaço de fase,

composição

1 - Introdução Este relatório se concentrará em reportar os últimos estudos que fizemos com a

ferramenta de análise utilizando a Internet. Desta forma, fazemos uma breve

introdução sobre o potencial da Internet e, a partir daí, apresentamos os

resultados do trabalho.

1.1 Internet, Info-vias e Música O desenvolvimento recente da informática e o crescimento do uso da Internet têm

fomentando a utilização da informação divulgada em larga escala através desse

grande meio de comunicação. Nos deparamos com grandes fontes de informação,

que são provenientes de todas as partes do mundo, informação de todas as áreas

possíveis. Frente a esse grande compartilhamento, a informação musical passa

estar disponível em inúmeros lugares onde podemos encontrar as mais diversas

fontes relacionadas com diversos assuntos. Temos sites de centros de pesquisa

musical que se dedicam a divulgar um nível de conhecimento musical de

vanguarda, incontáveis locais onde pode-se encontrar simples aulas para

iniciantes em seus instrumentos, partituras em formatos pdf, partituras

digitalizadas em programas específicos; inúmeros sites que disponibilizam

arquivos MIDI e também muita informação sobre compositores, orquestras,

músicos, grupos etc.

Dado esse cenário, trabalhos durante este semestre no sentido de apresentar o

resultado da nossa pesquisa de forma acessível a qualquer pessoa com interesse

na área de análise musical e que tenha acesso a Internet.

2 - Metodologia Por se tratar de um desenvolvimento interdisciplinar, a parte de programação

computacional relativa a implementação do programa ficou a cargo do aluno de

Ciência da Computação Marcos V . Lazarini que prestou uma ajuda inestimável

neste trabalho.

O programa desenvolvido segue os passos estudados durante todo o decorrer da

pesquisa, porém faz todos os parâmetros foram disponibilizados de forma

automatica, deixando a cargo do usuário apenas anexar os arquivos MIDI

desejados, fazer as observações, comparações e tirar as suas próprias

conclusões.

Cabe ao usuário a escolha dos arquivos a serem anexados, estes podem ser

simplesmente encontrados da Internet ou mesmo uma obra digitalizada pelo

interessado, as condições e o escopo do arquivo dependem exclusivamente do

usuário. Este método de análise tem generalidade para ser aplicado em obras

com características musicais diferentes. Por exemplo, podemos avaliar como

compositor dispersa o material de alturas no registro do instrumento e qual a

similaridade entre as vozes internas frente à textura da obra.

2.1 - Método do Espaço de Fase

Os métodos de análise do Espaço de Fase a seguir são os mesmos aplicados nas

pesquisas anteriores, porém agora dentro de um processo automatizado através

de um sistema computacional.

2.1.1 – Parâmetros de Análise O Espaço de Fase é definido como um plano euclidiano bidimensional, com as

medidas de, por exemplo, intervalos no eixo-x e classe de alturas como eixo-y.

Para realizar a análise foi estudado um conjunto de parâmetros de construção do

Espaço de Fase. Estes parâmetros são os seguintes:

2.1.1.1 Contagem Crescente: é a seqüência numérica referente a quantidade de

notas (eventos MIDI) da primeira música adicionada. Essa contagem leva em

conta o tamanho do primeiro arquivo anexado, sendo assim o tamanho do

segundo arquivo será reduzido ou aumentado, proporcionalmente, em relação ao

primeiro.

2.1.1.2 Nota: (Xk) são todos os eventos de Notas (somente os ataques das notas)

não levando em conta o tempo de duração da nota e nenhum outro parâmetro

MIDI.

2.1.1.3 Próxima Nota: (Xk+1) a próxima Nota da seqüência depois em relação a

(2).

2.1.1.4 Intervalo: (Xk+1 – Xk) Consideramos então intervalos melódicos ascendentes quando os números são

de ordem crescente ou quando são executados simultaneamente.

Com a contagem intervalar ocorre, às vezes, um problema, quando se passa de

um acorde para outro, ou quando uma mão fica por algum momento em pausa, a

seqüência é considerada diretamente, ou seja, a nota de maior valor MIDI é

imediatamente anterior a próxima, de valor menor (isso por que não consideramos

os tempos das notas, mas somente seus ataques); com isso temos que

eventualmente considerar intervalos maiores do que de costume, muitas vezes

descendentes.

2.1.1.5 Classe de Altura da Nota: (Xk mod 12) (Pitch Class)

É a classificação da nota variando de 1 a 12 (a divisão da oitava), não sendo

observado valores maiores (onde teríamos intervalos maiores que uma oitava),

levando em conta somente à classe da nota, ou qual nota, também não

observando se os intervalos são ascendentes ou descendentes, sendo assim

tomados sempre positivos.

2.1.1.6 Equivalência Intervalar: (Xk+1 – Xk) mod12

Seria, de certa forma, o “Pitch class” do intervalo, onde os resultados intervalares

variam de 1 a 12, como a Classe de altura da Nota, vista acima.

2.1.2 – Órbitas no Espaço de Fase

Seja U um conjunto de objetos ao qual denominamos de conjunto Universo.

Suponhamos, que ao longo do tempo t façamos escolhas destes objetos. Isto é,

dada uma seqüência de N instantes de tempo NN tttt <<< −121 .... , associamos a

ela um subconjunto finito de N objetos

UtOOtOOtOOtOOO NNNN ⊂===== −− )}(),(),...,(),({ 112211 .

O conjunto O é denominado de órbita em U . Vamos aqui, para efeito de

aplicações, tomar a variável tempo como sendo discreta.

No caso em estudo tomamos como conjunto Universo o Espaço de Fase A ,

o qual é constituído de pares ordenados ),( yx onde x (é a primeira música

adicionada) e y (é a segunda música adicionada) Utilizando-se o protocolo MIDI

podemos descrever este conjunto da seguinte forma: se 1x e x2 são os valores da

tabela MIDI (de duas notas contíguas de uma peça em estudo), 12 xxy −= é o

intervalo melódico entre elas medido em semitons. A variável y mede então a

variação intervalar da melodia ao logo do tempo. Denominamos o conjunto A

simplesmente de Espaço de Fase das Alturas (EFA). Podemos então criar órbitas

do tipo },,2,1),,({ NiyxOO iii K=== no Espaço de Fase A . Daí, uma peça

polifônica seria representada por um conjunto de várias órbitas, digamos, M

órbitas, { )()2()1( ,, MOOO L }. Nesta notação, o i-ésimo ponto da k-ésima órbita que

será denotado por )(kiO .

Podemos construir também, outro Espaço de Fase, denotado por B

relacionado a A (EFA) definido como o conjunto dos pares ordenados

Niyx ii ...1),,( = onde, agora, ix é altura e iy é a classe de altura de ix no sentido

de Pitch Class como definido por Forte (1973). Dentro desta representação, é

natural que se possa considerar órbitas em B associadas a melodias codificadas

no protocolo MIDI, estudar também suas estruturas e subestruturas morfológicas e

como estas relacionam-se com a obra em análise.

2.1.3 - Métricas no Espaço de Fase

Nesta secção apresentamos a formulação estatístico-matemática necessária para

uma análise estatística de estruturas no Espaço de Fase (EFA) como definido

acima.

Def. 1: Dados um Espaço de Fase A e um conjunto de pontos { ix , com

Ni ,...2,1= }, relacionados com intervalos musicais derivados de uma

seqüência dada de alturas (variável y definida acima), definimos a Média Intervalar como:

N

yy

N

ii∑

== 1 Eq. (1)

Def. 2: A Dispersão Intervalar como:

N

yyN

ii∑

=

−= 1σ Eq. (2)

Podemos também realizar medidas quantitativas entre duas estruturas

musicais como apresentado nos resultados da seção 5.0. Assim, precisamos

definir uma medida de distância (métrica) no espaço de fase (bidimensional) A .

Na verdade, há uma infinidade de métricas em A e apresentamos aqui a

chamada Métrica Euclidiana, a qual vamos denotar por d e é definida a seguir.

Def. 3: Dados dois pontos quaisquer em A , ),( 111 yxO = e ),( 222 yxO = ,

definimos a Distância (Métrica) Euclidiana entre eles como:

212

212222121 )()()),(),,((},( yyxxyxyxdOOd −−−== Eq. (3)

Daí, podemos descrever uma órbita (trajetória de alturas) 1O e 2O como

)},()({ 111iiii yxtOOO === , onde )( ii txx = e )( ii tyy = , com Ni L,2,1= . SE temos

então duas órbitas ),(1iii yxO = e ),(2

iii yxO = definimos a função distância entre os

objetos no tempo ti do espaço de fase como:

),()( 21iiiii OOdtdd == com Ni ,,2,1 L= Eq. (4)

Dentro desta abordagem estatística são imediatas as próximas definições.

Def 4: Definimos a Distância Média como: N

dd

N

ii∑

== 1

Eq. (5)

Def 5: Definimos Desvio Médio como: =σN

ddN

ii∑

=

−1

Eq. (6)

Importante ressaltar que a Distância Média e o Desvio Médio só nos forneceram

resultados quando a análise for feita com duas músicas diferentes.

3 - Gráficos Resultantes

Abaixo temos alguns exemplos da análise. Nestes casos podemos observar que,

mesmo com obras de tamanhos diferentes, e que passaram pelo processo

compressão ou expansão numérica, as semelhanças entre elas é muito grande,

assim, não sendo de grande relevância a ordem de entrada dos arquivos.

Os quatro primeiros gráficos são referentes as seguintes obras:

1 - Chopin noturno 12 em G maior – (tonal-romantismo)

2 - Guarnieri ponteio no 15 – (contemporâneo)

1 - Gráfico de Espaço de Fase

Distância Média: 14.97

Desvio Médio: 0.09

2 - Gráfico de Espaço de Fase

Distância Média: 14.97

Desvio Médio: 0.09

3 - Gráfico de Espaço de Fase

Distância Média: 13.19

Desvio Médio: 0.06

4 - Gráfico de Espaço de Fase

Distância Média: 13.19

Desvio Médio: 0.06

Observamos que os gráficos 2 e 3 são muito similares, as regiões de maior

ocorrência estão entre –8 e 0 (intervalo) e 40 e 80 (nota); devemos observar que o

gráfico número 2 está é uma reflexão lateral do número 3.

Também os gráficos 1 e 4 são muito semelhantes nas regiões de –20 a 20

(intervalo) e 65 a 80 (nota)

4 - Composição Musical Para realizarmos uma composição musical a partir dos gráficos, foi necessário o

uso dos arquivos textos que deram origem a esses gráficos. Esses arquivos têm

então que passar pelo processo inverso do utilizado até esse momento em nossa

pesquisa, ou seja, a transformação de texto em MIDI.

Porém esse processo nos exigiu um programa na plataforma Matlab. Com este

programa foi possível transformar um arquivo texto em arquivo MIDI. No entanto o

arquivo texto tem que estar formado com apenas uma seqüência numérica, no

caso, somente as notas.

No Matlab tivemos que alterar os parâmetros de duração de cada nota. Os

demais parâmetros foram tomados como constantes, mas sujeitos a alterações

futuras se necessário. Para essa pesquisa mantivemos as relações de “velocity”

(que nos dá a dinâmica da nota) e de duração de cada nota constantes, desde

que estejam em um mesmo arquivo (arquivos diferentes podem ser formatados

com durações diferentes).

Os arquivos MIDI tiveram que ser transformados em arquivos de áudio, os

quais foram trabalhados no programa SoundForge.

Porém os resultados obtidos não foram nem um pouco satisfatórios, pois os

arquivos musicais a partir dos arquivos MIDI são de uma qualidade sonora muito

ruim, não servindo assim para uma composição musical razoável.

Neste caso, precisaríamos ter explorado outra ferramenta de composição

que seria relacionada a utilização de renderização de arquivos de áudio a partir de

arquivos MIDI utilizando WaveTable com amostras sonoras de boa qualidade.

Todavia, não conseguimos chegar até este ponto, principalmente, porque,

tivemos que despender um grande tempo na pesquisa no desenvolvimento do

aplicativo.

• O processo codificação arquivo MIDI e MIDI para áudio foi:

1) partitura (opcional) MIDI MIDI texto gráficos e distâncias

2) texto e gráficos MIDI música.

No passo (2), não obtivemos os resultados esperados, todavia, foram feitos

grandes avanços no sentido de criar uma ferramenta de análise disponível na

Internet em:

www.nics.unicamp.br/~danilo

5 – Conclusão O programa criado para a análise dos arquivos MIDI é uma grande realização,

pois poderemos colocar a disposição de toda a comunidade interessada em

pesquisa, algo realmente diferente em relação à análise musical. Esperamos

receber os comentários dos usuários para tirarmos melhores conclusões a

respeito da recepção do programa pela comunidade interessada.

6 – Agradecimentos

Marcos Vinicius Lazarini, pela programação do aplicativo MIDI. Marcos Vinícius

Guimarães Cabral, pela ajuda na transformação dos arquivos texto para arquivos

MIDI.