Teorema:Si y son dos bases de un espacio vectorial , entonces m=n , es decir, cualesquiera de dos bases en espacio vectorial , tienen el mismo nmero de vectores.

Demostracin :Sea y son dos bases para el espacio vectorial . Qu pasa si m>n ?, entonces si es un conjunto linealmente dependiente (porque le sobran trminos) lo que contradice la hiptesis de ser base. Si la misma prueba demostrar que y esto probar nuestro teorema. As hasta demostrar que si m>n entonces si es dependiente con se constituye en base. Todo vector se puede escribir como una combinacin lineal de

Para demostrar que es dependiente, se deben encontrar escalares , no todos cero tales que

El sistema es un conjunto homogneo de m-ec's con n-incgnitas, , y m>n entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones, as existen no todas cero, tales que por lo tanto es ld esto contradice el hecho de que era base. Ahora si n>m implica que es ld que tambin contradice la hiptesis del TMA . Por lo que slo puede ocurrir que m=n . cqd Definicin:Si el espacio vectorial tiene una base finita entonces la dimensin de es el nmero de vectores li en todas las bases y se llama espacio vectorial de dimensin finita.

Ejemplos : La dimensin de

La dimensin de un polinomio de grado n

La dimensin de una matriz M mn

Ejercicio :Determine si el conjunto de vectores dados es una base para el espacio vectorial al que se refiere Polinomios de grado 3 Solucin :Primero comprobamos que sean li

Haciendo el wronskiano

Ahora la forma general de un polinomio de grado 3 es

No general el espacio por lo tanto no es base Definicin:Suponga que es el conjunto de vectores linealmente independientes en V , entonces .

C i son distintos de cero son ld . contradice la hiptesis Entonces para que sea li Definicin:Sea H un subespacio vectorial de V de dimensin finita entonces H tiene dimensin finita.

Ejemplo :Sea polinomios cualesquiera de de grados . Demostrar que es una base de . Solucin :Sabemos que , por lo tanto tenemos n+1 polinomios que son li . Para ello hagamos lo siguiente:

con Obsrvese lo siguiente

esto tambin es una base para los polinomios de grado , ahora cualquier polinomio de grado n se puede escribir.

pero

Esta frmula recibe el nombre de Teorema del residuo . Ahora si donde es polinomio, y sus derivadas existen. Tendramos que

Esto se llama la serie de Taylor .

SERIE DE POTENCIAS Ejemplo :Encuentre una base (y de la dimensin) para el espacio solucin S del sistema homogneno

Solucin :

Si

El vector solucin Es la base del espacio solucin dim Espacio solucin =1 Ejemplo :Encuentre una base para el espacio solucin S del sistema

Solucin :El sistema asociado

Definicin:Sea A una matriz real de tamao , si consideramos las filas de A como vectores en y las columnas de A como vectores en : Se llama espacio fila A al subespacio vectorial generado por los vectores fila de A . El subespacio de generado por la columna de la matriz A se llama espacio columna.

Definicin:Sea A una matriz de tamao El conjunto Imagen definido por

es un subespacio vectorial de al que llamaremos imagen de A . El conjunto

es un subespacio de al que llamaremos ncleo de A .

Ejemplo :Calcular el ncleo de A y la imagen de A .

ii) Se sabe que las dos columnas son y por lo tanto forman una base para .

Nuc =Nulidad Img = Rango Sean U y V los siguientes subespacios de y Hallar la dimensin y base de V y W . Solucin :Buscamos una base del conjunto solucin de la ecuacin Las variables libres son a,c y d . Hacemos

Ahora buscamos una base del conjunto solucin de las ecuaciones

Armamos el sistema

Nuestras variables libres sern b y d .

Ejercicio :Encuentre una base para el conjunto de vectores que estn en el plano

Solucin :tenemos dos variables libres

Definicin:Sea A una matriz de . Entonces el rango de la matriz A denotado por est dado por

Definicin:El tambin recibe el nombre de espacio nulo de A y se llama la nulidad de A .

Teorema:Sea A una matriz de . Entonces A es una matriz invertible ssi .

Si A siendo una matriz es invertible, quiere decir que podemos escalonarla y al poder escalonar no hay variables libres, por lo tanto slo caepta un nico valor que es , que eso es igual al ncleo y por definicin .Ahora si A tiene como ncleo , por obviedad su , eso slo puede ocurrir cuando se puede escalonar la matriz y sabemos que el resultado del determinante de una matriz escalonada es el producto de su diagonal y est es distinta de cero, lo cual por definicin quiere decir que podemos calcular su inversa. Teorema:Si A es una matriz de entonces .

Definicin:Si A es matriz de , sean los renglones de la matriz A , las columnas de A . Entonces

Encuentre una base para el espacio generado por

y calcular el (Rango). Solucin :Este conjunto de vectores genera el siguiente sistema

Entonces escalonamos a esta matriz

Si analizamos por columna

Ejercicio :Hallar el rango de la matriz A donde

Solucin :

Ejercicio :Determine el rango y el espacio de los renglones de la matriz

Solucin :