ESPAD III * TC 20

APLICACIONES Teorema de Pitágoras

• CUADRADO

• Diagonal de un cuadrado• Recta que une dos vértices

opuestos.• Por el Teorema de Pitágoras:• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2

• Las diagonales son rectas que se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Las dos son iguales en medida.

• Ejemplo:• Hallar la diagonal del cuadrado de

lado l= 5 cm• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2• d=√( 52 + 52 ) = √(25+25)=• = √2.25 = 5.√2 cm

l

l

l

l

d d’

d = l.√2

b

h

• RECTÁNGULO

• Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos.

• Por el Teorema de Pitágoras:• d=d’ = √( b2 + h2 )

• Las diagonales se cortan en su punto medio. Son iguales.

• Ejemplo:

• Hallar la diagonal del rectángulo de 8 cm de base y de 6 cm de altura.

• d=d’ = √( b2 + h2 ) • d=√( 82 + 62 ) =• = √( 64 + 36 ) = √100 = 10 cm

d = √( b2 + h2 )

b

h

d’d

• ROMBO

• Las diagonales son rectas que unen vértices opuestos.

• Las dos diagonales son distintas y perpendiculares.

• En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras:

• l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]

• Ejemplo:

• Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24

• l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] =• = √ [ (24/2)2 + (10/2)2 ] =• = √ (122 + 52) = √ 169 = 13 cm

l l

ll

D

d

l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]

b

B

l lh

TRAPECIO ISÓSCELES

Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES.

P = B + b + 2.l

A = [ (B+b)/2 ].h

EJEMPLO_1

En un trapecio isósceles las bases miden 13 y 5 cm y la altura mide 3 cm.Hallar el lado oblicuo, el perímetro y el área.

Por Pitágoras:Cateto mayor = altura= 3 cmCateto menor = (B – b) / 2 = (13-5)/2 = 4 cmHipotenusa = lado oblicuo = l Luego l = √(h2 + [(B–b)/2]2) = √ (32 + 42) == √ (9 + 16) = √25 cm = 5 cmP = 13+5+2.5 = 13+5+10 = 28 cmA = [(13+5)/2].3 = (18/2).3 = 9.3 = 27 cm2

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] }

l = hipotenusa.

h = un cateto.

(B-b)/2 = el otro cateto.

Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h

Luego 48 = [(11+5)/2].h 48 =(16/2).h 48 = 8.h h = 6 cm

Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo:

Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l

Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm

b=5

B = 11

l l

h

EJEMPLO_2

En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2.

Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo.

h

B

lh

TRAPECIO RECTÁNGULOEs aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

PERÍMETRO: P = B + b + l + h

AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h

b

En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }

l = hipotenusa.

h = un cateto.

(B - b) = el otro cateto.

h

b

B

l hh

Ejemplo_1

Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm y cuya altura mide 5 cm

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }

Sustituyendo los valores conocidos:

l = √ { 52 + [ ( 16 – 12 )2 ] } =

= √ (52 + 42) = √ (25 + 16) =

= 6,40 cm

Ejemplo_2

Hallar la altura del trapecio rectángulo cuyas bases miden 22 cm y 16 cm y cuyo lado oblicuo mide 10 cm

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }

Sustituyendo los valores conocidos:

10 = √ ( h2 + 62 ) ; 100 = h2 + 36 ;

64 = h2 h = 8 cm

EXÁGONO

l

apo

• Es un polígono regular de SEIS lados.• Se compone de 6 triángulos equiláteros.• Todos sus ángulos miden 60º• La altura de cada uno de los seis

triángulos se llama Apotema.

• La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras, pues:

• l= hipotenusa.• l/2= un cateto.• apo= otro cateto.

• Teniendo:• l2 = (l/2)2 + apo2

• apo2 = l2 - (l/2)2

• De donde:

• apo = l. √3 / 2

apol

l / 2

llll

P = 6.l

A = P.apo / 2

• Ejemplo_1

• Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm

• Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2

• Sustituyendo los valores conocidos:

• 62 = 32 + apo2

• Despejando: apo2 = 62 - 32 apo2 = 36 – 9 = 27 apo = √27 = 5,20

• Ejemplo_2

• Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm.

• Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2

• Sustituyendo los valores conocidos:

• l2 = (l2 / 4) + 42

• Operando: 4.l2 = l2 + 64 3.l2 = 64 l = √(64/3) = 4,6188 cm