espectrometria por fluorescÊncia de raios x por …antigo.nuclear.ufrj.br/msc dissertacoes/eduardo...

ESPECTROMETRIA POR FLUORESCNCIA DE RAIOS X POR REFLEXO

TOTAL: UM ESTUDO SIMULADO UTILIZANDO O MTODO

DE MONTE CARLO

Eduardo dos Passos Belmonte

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS

PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM

ENGENHARIA NUCLEAR.

Aprovada por:

____________________________________________

Prof. Delson Braz, D.Sc.

____________________________________________

Prof. Ademir Xavier da Silva, D.Sc.

____________________________________________

Prof. Edgar Francisco Oliveira de Jesus, D.Sc.

____________________________________________

Prof. Regina Cely Barroso, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL

MARO DE 2005

ii

BELMONTE, EDUARDO DOS PASSOS

Espectrometria por Fluorescncia de Raios

X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado

Utilizando o Mtodo de Monte Carlo [Rio de

Janeiro] 2005.

XII, 164 p. 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Nuclear, 2005).

Tese Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE.

1. Monte Carlo;

2. TXRF;

3. MCNP;

4. Fluorescncia;

5. Simulao

I. COPPE/UFRJ II. Ttulo (srie)

iii

Aos meus pais Eloi e Mrcia Belmonte.

minha companheira Veralu Santos,

que tem participao fundamental neste trabalho.

Aos meus irmo, que esto, cada qual seu modo,

em busca da realizao.

Aos meus tios Joo e Alice.

Aos meus tios Francisco (in memorian) e Neuci e meus

primos Wilton e Solange.

Aos meus queridos amigos que

me ajudaram e confortaram nesta caminhada.

iv

AGRADECIMENTOS

Deus. Ao Professor Delson Braz pela oportunidade da orientao. Aos professores Ademir Xavier da Silva, Edgar Francisco Oliveira de Jesus e

Marcelino Jos dos Anjos pelas indispensveis orientaes, dicas, explicaes e pela disponibilidade.

Aos colegas do LIN, em especial para Max pela indispensvel ajuda e para

Renata pela ajuda e disponibilidade. Aos colegas do LNRTR pelas contribuies com o cdigo MCNP. Aos colegas da turma pelo apoio e incentivo, em especial para Christiano

Pinheiro , Nivia Villela e Raimundo Oliveira. Aos funcionrios do PEN pelo valioso apoio. Aos amigos do Grupo Angolinha e Clube dos Tericos pelos momentos de

descontrao sem os quais esta caminhada seria impossvel. A Comisso Nacional de Energia Nuclear pelo financiamento deste trabalho e

pelo apoio pesquisa na rea de Engenharia Nuclear. Aos amigos Cludio, Mariana, Pi e Elisa pela presena e apoio em diversos

momentos. Wilton Lemos dos Passos, pelo apoio em vrios momentos. Sra. Judite dos Santos e famlia. minha companheira Veralu Santos, sem a qual este trabalho no se

realizaria. todos que direta ou indiretamente contriburam para a realizao deste

trabalho.

v

Resumo da Tese apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios

para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.)

ESPECTROMETRIA POR FLUORESCNCIA DE RAIOS X POR REFLEXO

TOTAL: UM ESTUDO SIMULADO UTILIZANDO O

MTODO DE MONTE CARLO


Maro/2005

Orientador: Delson Braz

Programa: Engenharia Nuclear

Utilizando o mtodo de Monte Carlo foi avaliada, a capacidade e do cdigo MCNP 4B em simular o fenmeno da TXRF, bem como avaliar a influncia dos ngulos de deteco e de incidncia na probabilidade de incidncia da radiao fluorescente.

Para tanto foram utilizadas duas fontes em momentos diferentes. Um feixe monocromtico de 28 eV de energia e um espectro gerado por um tubo de W 30 kV. Estas fontes foram utilizadas para irradiar amostras de 5nm de espessura apoiadas em um suporte refletor de cristal de quartzo com 2,5cm de raio e 3mm de espessura.

Nas 63 simulaes realizadas os picos gerados tiveram energias dentro do previsto para os picos de fluorescncia dos elementos presentes nas diferentes amostras. As relaes entre as probabilidades de incidncia de K e K gerados tambm tiveram valores e comportamento dentro do previsto teoricamente.

Variando o ngulo de deteco entre 0 e 135 no foram detectadas variaes significativas para os picos de fluorescncia. A radiao totalmente refletida diminuiu com o aumento do ngulo.

Com o aumento do ngulo de incidncia detectou-se um decrscimo relativo na intensidade de radiao fluorescente devido ao aumento da interao da radiao incidente com a matria.

Para avaliar a determinao da concentrao de elementos com MCNP foi simulada a irradiao de uma amostra com dez elementos detectveis. Todos os elementos foram detectados, seis destes com erro percentual menor que vinte por cento em relao concentrao real. O que leva a concluir que o cdigo MCNP 4B capaz de simular o fenmeno da TXRF e tem boa preciso na determinao da concentrao de elementos em uma amostra.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

TOTAL-REFLECTION X-RAY FLUORESCENCE SPECTROMETRY: A

SIMULATE STUDY USING THE MONTE CARLOS METHOD


March/2005

Advisor: Delson Braz

Department: Nuclear Engineering

Using the Monte Carlo method was appraised, the capacity of the code MCNP 4B in simulating the phenomenon of TXRF, as well as to evaluate its influences of the detection and incidence angles in the incidence probability of the fluorescent radiation.

Just like that two sources were used in different moments, a monochrome beam of 28 keV of energy and a spectrum generated by a tube of W to 30 kV. These sources were used to irradiate samples of 5nm of thickness supported in a quartz reflector support with 2,5cm of ray and 3mm of thickness.

In the 63 made simulations the generated picks had energies inside of the foreseen for the picks of fluorescence of the present elements in the different samples. The relationships between the incidence probability of K and K picks generated also had values and behavior inside of the foreseen.

Varying the detection angle between 0 and 135 degrees significant variations were not detected for the fluorescence incidence probability picks. The radiation totally reflected it decreased with the increase of the angle.

With the increase of the incidence angle a relative decrease was detected in the intensity of fluorescent radiation due to the increase of the interaction of the incident radiation.

To evaluate the determination of the concentration of elements with MCNP the irradiation of a sample with ten elements you detected it was simulated. All the elements were detected, six of these with smaller percentile mistake than 20% in relation to real concentration. What takes to end that the code MCNP 4B is capable to simulate the phenomenon of TXRF and it has good precision in the determination of the concentration of elements in a sample.

vii

Sumrio

Captulo 1 01

Introduo 01

1.1 Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total 01

1.2 Simulao em Monte Carlo 03

1.3 Objetivos do Trabalho 04

Captulo 2 06

Fundamentos Tericos 06

2.1 Uma Breve Histria do tomo 06

2.1.1 O tomo Primitivo 06

2.1.1.1 Na Grcia 06

2.1.1.2 A Redescoberta 09

2.1.2 A Descoberta do Eltron 10

2.1.2.1 Modelo de Thomson 10

2.1.2.2 Modelo de Rutherford 11

2.1.3 A Teoria Quntica 14

2.1.3.1 Max Planck 14

2.1.3.2 O Modelo de Bhr 19

2.1.4 A Nova Teoria Quntica 28

2.1.4.1 De Broglie 28

viii

2.1.4.2 O Modelo de Heisenberg 31

2.1.4.3 O Modelo de Schrdinger 33

2.2 Interao da Radiao Com a Matria 35

2.2.1 Fenmenos de Interao 35

2.2.1.1 Efeito Fotoeltrico 35

2.2.1.2 Espalhamento Compton 37

2.2.1.3 Produo de Pares 44

2.2.2 Atenuao e Seco de Choque 45

2.3 O Espectro de Raios X 51

2.3.1 Curva de Distribuio Contnua 52

2.3.2 Os Picos de Raios X 54

2.3.3 Eltron Auger 60

2.4 Anlise por Fluorescncia de Raios X 61

2.5 A Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total 67

2.5.1 Reflexo e Refrao 68

2.5.2 Reflexo Total 70

2.5.3 Coeficiente de Reflexo Total 73

2.5.4 Poder de Penetrao 74

2.5.5 Intensidade de Fluorescncia na Reflexo Total 76

2.5.5.1 Anlise Quantitativa 80

2.5.5.2 Limite de Deteco 81

2.5.5.3 Background do Refletor 82

2.6 Simulao por Monte Carlo 83

2.6.1 Cdigo Monte Carlo de N Partculas verso 4B 85

2.6.1.1 Propriedades do MCNP 4B 86

2.6.1.2 Princpios Bsicos de Utilizao de MCNP 4B 86

ix

Captulo 3 90

Materiais e Mtodos 90

3.1 Arranjo Experimental 90

3.1.1 Arranjo Experimental a Ser Simulado 90

3.3.2 Entrada do Arranjo Experimental no Arquivo INP 92

3.2 Metodologia 100

3.2.1 Simulao Teste 101

3.2.2 Variaes do ngulo de Deteco 102

3.2.3 Variaes do ngulo de Irradiao 103

3.2.4 Determinao de Concentrao de Elementos 104

Captulo 4 105

Apresentao e Discusso dos Resultados 105

4.1 Resultados da simulao teste 106

4.1.1 Validao dos Picos de K 107

4.2 Variao do ngulo de Deteco 110

4.2.1 ngulo de Deteco Variando de 0 a 5 Graus 110

4.2.1.1 Validao dos Picos K 113

4.2.1.2 Anlise dos Picos K 114

4.2.1.2 Feixes Totalmente Refletidos 115

4.2.2 ngulo de Deteco Variando de 5 135 Graus 117

x

4.2.2.1 Validao dos Picos K 117

4.2.2.2 Anlise dos Picos K 118

4.2.2.3 Radiao Totalmente Refletida 124

4.3 Variao do ngulo de Incidncia 125

4.3.1 Validao dos Picos K 125

4.3.2 Anlise dos Picos K 126

4.4 Determinao da Concentrao 128

4.4.1 Curva de Sensibilidade 128

4.4.2 Determinao da Concentrao de Elementos 132

Captulo 5 137

Concluses e Sugestes 137

5.1 Simulao em Monte Carlo com MCNP 137

5.2 Simulao de TXRF 137

5.3 Fatores Geomtricos da TXRF 138

5.4 Sugestes Para Trabalhos Futuros 139

Captulo 6 140

Referncias Bibliogrficas 140

Captulo 7 150

Anexos 150

Anexo I (Relaes K/K segundo Streli (1996)) 150

xi

Anexo II (Espectro de um tubo de Tungstnio 30kV) 152

Anexo III (Arquivo de entrada do MCNP 4B (INP)) 153

Anexo IV (Arquivo de sada do MCNP 4B ) 156

xii

ndice de Tabelas

Tabela Pgina

01 Nmeros atmicos Chadwick 14

02 Sries de linhas para o Hidrognio 22

03 Probabilidade de interao por faixa de energia 46

04 Nveis, subnveis, nmeros qunticos e quantidade de eltrons 58

05 ngulos crticos para diferentes materiais 72

06 Coeficiente de reflexo 74

07 Poder de penetrao da radiao 76

08 Superfcies do MCNP-4B 87

09 Comandos de sada do MCNP-4B 88

10 Funes gerais dos planos 99

11 Energia dos ftons de fluorescncia 106

12 Energia dos picos gerados na Simulao Teste 108

13 Relao K/K para Simulao Teste 109

14 Comparativos dos desvios calculados e das incertezas fornecidas pelo

MCNP para picos K do Fe detectados entre 5 e 135 123

15 Concentrao dos elementos nos padres 129

16 Sensibilidade dos elementos componentes dos padres 131

17 Elementos da amostra e suas concentraes de entrada 132

18 Elementos componentes da amostra, energias e probabilidades de

incidncias de K1 133

19 Sensibilidade e concentrao calculada para os componentes da amostra 134

20 Comparativo entre concentraes calculadas e reais 135

Captulo 1

Introduo

1.1 Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total

A espectroscopia por Fluorescncia de Raios X (X-Ray Fluorescence XRF)

uma tcnica de anlise qualitativa e quantitativa da composio qumica de amostras.

Consiste na exposio de amostras slidas ou lquidas a um feixe de radiao para a

excitao e deteco da radiao fluorescente resultante da interao da radiao com o

material da amostra.

A Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total (Total-Reflection X-Ray

Fluorescence - TXRF) uma tcnica de XRF que utiliza para a irradiao da amostra

um ngulo de incidncia muito raso no intuito de se produzir reflexo total. A reflexo

se d na interface do ar com a amostra e desta com o material refletor posicionado como

suporte para amostra. Devido pequena espessura utilizada para as amostras h pouca

interao da radiao com o material da amostra, com isso o espalhamento da radiao

incidente ser pequeno e ter-se- um melhor limite de deteco.

Como parte da introduo idia do trabalho ser apresentada uma breve

reviso de trabalhos que foram importantes no desenvolvimento da tcnica da TXRF.

Os raios X foram descobertos pelo fsico alemo Wilhelm Conrad Retgen

(18451923) em seu laboratrio em Wrzburg no ano de 1895. Essa descoberta causou

tamanho furor na comunidade cientfica e nos meios de comunicao que em 1896,

menos de um ano depois da descoberta de Retgen, dezenas de livros e cerca de mil

artigos haviam sido publicados sobre o assunto.

Muitas foram s aplicaes em diversas reas atribudas aos raios X logo que

descobertos. Uma delas a anlise multielementar por fluorescncia de raios X.

A espectroscopia de raios X como anlise multielementar tem sua primeira

experincia com Barkla (1911), mas, s nos anos 50 foi efetivamente adotada como

mtodo de anlise. Nesta poca os equipamentos utilizavam o mtodo de Fluorescncia

Captulo 1 - Introduo

2

de Raios X por Comprimento de Onda (Wavelength Dispersive X-Ray Fluorescence

WDXRF) que usava um cristal difrator para, atravs do comprimento de onda,

caracterizar o raio X de fluorescncia.

Com as contribuies de Elad (1965) e Muggleton (1972) no campo dos

detectores semicondutores de Si (Li) de alta resoluo foi possvel o desenvolvimento

do sistema de Fluorescncia de Raios X por Disperso de Energia (Energy Dispersive

X-Ray Fluorescence - EDXRF) (GIAUQUE et al., 1973). Kneip e Lauper (1972)

descreveram as vantagens da EDXRF em relao a WDXRF. Hoje a EDXRF bastante

utilizada como anlise multielementar, como em Reis (2003) que usou a EDXRF para

analisar sedimentos de superfcie de fundo da Baa de Sepetiba ou ainda em dos Anjos

(2000) que utilizou a EDXRF para analisar a concentrao de metais pesados em

amostras de solo tratadas com composto orgnico de lixo urbano e cama de avirio.

Em 1923 Compton descobriu o fenmeno da reflexo total para raios X e em

1971 Yoneda e Horiuchi (1971) aplicaram os princpios da reflexo total dos raios X

para analisar os elementos componentes de um material. Na dcada de 70 a tcnica da

TXRF foi aprimorada por Aiginger e Wobrauschek (1975) e tornou-se uma importante

tcnica de anlise multielementar.

No final do sculo passado, muitas foram s reas onde se utilizou a TXRF

para anlise de concentrao de elemento. Koopmann e Prange (1991) analisaram

sedimentos do mar alemo de Wadden utilizando a TXRF, a Espectrometria de

Absoro Atmica (AAS) e a Anlise por Ativao de Nutrons (INAA). Prange,

Bddeker et al. (1993) determinaram elementos trao em gua de rio utilizando a

TXRF. De Jesus et al. (2000) desenvolveram uma tcnica de monitoramento de

elementos em nvel trao em bioindicadores no controle da poluio ambiental

utilizando a TXRF por Radiao Sincrotron (SRTXRF). Simabuco e Matsumoto (2000)

utilizando a SRTXRF analisaram elementos trao em gua de chuva. Schmeling (2004)

utilizou a TXRF para caracterizar a poluio do ar urbano nas cidades de Chicago e

Phoenix (USA). Marc et al. (2004) utilizou a TXRF para analisar amostras biolgicas.

Nos ltimos anos a parceria entre o Programa de Engenharia Nuclear (PEN) da

COPPE-UFRJ e o Laboratrio Nacional de Luz Sncrotron (LNLS) permitiu que muitos

trabalhos envolvendo a SRTXRF fossem desenvolvidos no PEN.


Espectrometria por Fluorescncia de Raios X por Reflexo Total: Um Estudo Simulado Utilizando o Mtodo de Monte Carlo


3

Serpa (2003) identificou e quantificou os elementos K, Ca, Ti, Cr, Mn, Fe, Ni,

Cu, Zn, Rb, Sr, Cd, Ba e Pb no fumo e na cinza e K, Cd, e Pb na fumaa de nove

cigarros nacionais utilizando a tcnica de SRTXRF.

Costa (2003) utilizando a SRTXRF identificou e quantificou as concentraes

de Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn, Mo e Pb em amostras superficiais de gua da Baa de

Sepetiba e de sete rios que nela desembocam.

Calsa (2003) avaliou os nveis de concentrao em msculos, gnadas e

brnquias de quatro espcies de peixes encontrados no rio Paraba do Sul. Neles foram

encontrados Ti, Cr, Mn, Fe, Co, Cu, Zn, Rb, Sr, Ba e Pb. As concentraes dos

elementos Cr, Cu, Zn e Pb estavam acima do limite mximo permitido pela legislao

brasileira.

Pereira (2004) avaliou a contaminao por metais pesados na gua e

sedimentos do rio Paraba do Sul em 42 pontos desde a sua nascente at a foz. Os metais

pesados encontrados foram Ti, Mn, Fe, Cu, Zn, Rb, Sr e Ba nas amostras de gua. Nas

amostras de sedimento foram encontrados Ti, Cr, Mn, Fe, Cu, Zn, Rb, Sr, Pb. Os

elementos Cu, Zn e Mn foram caracterizados como os maiores contaminantes nessa

bacia.

1.2 Simulao em Monte Carlo

Desde o advento da metodologia cientfica a experimentao tem participao

insubstituvel na criao do conhecimento. Por isso, tcnicas cada vez mais avanadas

de comprovao de hipteses vm sendo criadas e estudadas.

No campo da verificao de hipteses, alm da experimentao propriamente

dita, as simulaes vm sendo muito utilizadas. Com o acelerado crescimento das

tcnicas computacionais e a ampliao dos recursos tecnolgicos no campo, tanto dos

hardwares, quanto dos softwares, as simulaes vm se tornando cada vez mais rpidas

e prximas da realidade experimental. A simulao na comprovao de um

conhecimento no descarta a necessidade do procedimento experimental, porm, uma

forma importante de verificao principalmente por representar, em muitos casos, uma

grande economia de tempo e de dinheiro. Eduardo dos Passos Belmonte



4

A simulao em Monte Carlo (MC) hoje uma poderosa aliada na avaliao de

hipteses cientficas. Utilizando clculos probabilsticos o MC simula, de forma rpida

e barata, arranjos experimentais que para uma situao real de experimentao teria alto

custo financeiro e de tempo.

Muito tem se estudado acerca da simulao em MC envolvendo radiaes

ionizantes.

Karlender (1982) utilizaram o mtodo de MC para calcular uma tabela dos

raios X caractersticos dos elementos. Vincze et al. (1999) simularam o espectro de

fluorescncia de uma amostra de Al e Cu usando radiao Sncrotron e um detector de

HPGe. Al-Ghorabie et al. (2001) compararam os cdigos EGS4 e MCNP na simulao

de um sistema de fluorescncia de raios X in vivo para anlise da composio de

tumores localizados na cabea e pescoo. Ewa et al. (2001) calcularam a eficincia do

detector de Germnio hiperpuro (HPGe) para uma faixa de 59,5 a 1836keV utilizando a

simulao por MC. Kubala-Kuku et al. (2001) utilizaram o mtodo de MC para calcular

a distribuio da concentrao de elementos trao com concentraes prximas ao

limite de deteco. Hendrix, Mauec et al., (2002) Simularam um detector cintilador

irradiado por raios oriundos do decaimento de 40 K, 232Th e 238U usando o cdigo

MCNP. Shi, Chen, et al. (2002) usaram o cdigo MCNP para calcular a funo resposta

para detectores de NaI(Tl) com fonte de 0,4118 a 7,11MeV. Yegin (2003) utilizou o

cdigo EGS4 de MC para propor uma nova abordagem de geometria para o clculo de

grandezas relacionadas ao transporte de partculas pela matria. Kubala-Kuku et al.

(2004) utilizou Mtodo de Monte Carlo para atravs da XRF determinar a distribuio

e concentrao de elementos trao em amostra biomdicas. Maximiniano (2004)

verificou os aspectos que influenciam na resposta e no limite de deteco para um

sistema de espectrometria por fluorescncia de raios X, confirmando assim uma

tendncia de aumento na publicao de trabalhos com simulao no PEN.

1.3 Objetivos do Trabalho

Ciente da importncia da tcnica de TXRF e do mtodo de MC, este trabalho

tem como objetivo geral avaliar a influncia de aspectos fsicos do arranjo experimental




5

na qualidade de resposta de um sistema de espectroscopia por fluorescncia de raios X

por reflexo total utilizando, para isso, a simulao em MC com o cdigo MCNP. luz

desse objetivo foram traados alguns objetivos pontuais para balizar esse trabalho.

So eles:

Avaliar a capacidade do cdigo MCNP em simular o fenmeno da TXRF;

Avaliar o aparecimento e a intensidade do feixe de totalmente refletido;

Avaliar, atravs da variao do ngulo de deteco, a isotropicidade de

sada da radiao fluorescente;

Analisar a influncia da variao do ngulo de incidncia na intensidade do

sinal de sada;

Avaliar a qualidade e limitaes da resposta dada pelo cdigo MCNP na

simulao de um sistema ideal, segundo resultados dos objetivos

anteriores.

Esses objetivos so utilizados como guias do trabalho que segue.

No prximo captulo (captulo 2) sero apresentados os fundamentos tericos

da tcnica de TXRF e do mtodo de simulao por MC mais especificamente do cdigo

MCNP verso 4B. No captulo 3 sero apresentados os meios utilizados para alcanar os

objetivos bem como as tcnicas utilizadas ao longo do desenvolvimento do trabalho. Os

resultados e algumas discusses acerca desses sero apresentados no captulo 4. O

captulo 5 expe as concluses a que se chegou com o desenvolvimento do trabalho

bem como sugestes de trabalhos que podem ser desenvolvidos no intuito de dar

seqncia a pesquisa. As referncias bibliogrficas consultadas no decorrer do trabalho

sero listadas em ordem alfabtica no captulo 6.



Captulo 2

Fundamentos Tericos

2.1 Uma Breve Histria do tomo

As sees seguintes mostram em linhas gerais a histria do tomo comeando

pela exploso cultural da Grcia antiga, passando pela descoberta do eltron, a criao

da Teoria Quntica at a moderna teoria quntica de Heisenberg e Schrdinger.

2.1.1 O tomo Primitivo

Nesta seo sero abordados de forma breve e superficial alguns fatos que

ocorreram na histria antiga, bem como algumas vises de mundo desta mesma poca,

que contriburam com a construo do conceito de tomo que se tem hoje.

2.1.1.1 Na Grcia

A partir do sc. IX a.C. os gregos, que viviam sobre a influncia da mitologia

de Homero e Hesodo, j comeam a substituir essa viso da natureza por outra viso,

um tanto questionadora, que se pode chamar de uma viso filosfica. Mas, foi a partir

do sc. VI a.C. que comeou a ocorrer, na Grcia, a mais profunda transformao j

vista na histria do conhecimento humano.

A Grcia ficava no centro geogrfico do dito mundo civilizado, pois,

localizava-se entre o Oriente Mdio, o Egito e a Europa Ocidental, e seus portos eram

escala obrigatria para os navios vindos do oriente ou da Europa Ocidental. Os gregos,

alm da influncia dessas culturas que chegavam a cada embarcao tinham tambm um

Captulo 2 Fundamentos Tericos 7

fcil acesso a Europa, Egito e Oriente Mdio. Pesquisadores acreditam que esta posio

privilegiada alavancou o advento da filosofia grega.

Por volta de VI a.C. a Comunidade dos Pitagricos enxergava o universo

como combinaes numricas. Encontra-se em Pitgoras muitos elementos do

conhecimento oriental da poca, provavelmente aprendidos por Pitgoras em suas

viagens feitas Babilnia e ao Egito. Tendo j alguns avanos na rea da vibrao dos

corpos, os pitagricos relacionavam as notas musicais com os nmeros e suas

propores. O universo vibraria ento na fantstica msica das esferas.

Para Parmnides e seu discpulo Zenon o universo do movimento, a mudana

e toda a transformao so irreais, projees criadas pela mente humana e chamada,

portanto, de no-Ser. O Ser ocupa todo o universo que nico e perfeito, portanto,

imutvel. O que nos d noo de movimento a relao do que vemos no agora com o

que vimos h alguns instantes atrs, porm, o que vimos nesse instante passado no

existe apenas uma lembrana em nossa memria. O real o que estamos vendo no

agora. Essa a explicao dada pelos monistas para a inexistncia do movimento e a

imutabilidade do Ser. Essa idia, embora, nos parea, hoje, um tanto absurda

completamente compatvel com a viso grega da poca de imutvel perfeio do

universo.

J Herclito acreditava que o Ser seria o constante movimento do universo,

este estaria em eterno movimento, tudo estaria numa constante transformao, constante

evoluo. Estima-se que Herclito sofrera influncia da viso oriental na elaborao

deste conceito pela sua semelhana com a viso oriental de universo.

Na escola de Mileto fundada por Thales ainda no sc. IV a.C. nasce pelas

mos dos pr-socrticos (Thales, Anaximandro e Anaximenes) o conceito de um

elemento primordial, do qual so feitas todas as coisas constituintes do universo. A esse

elemento deram o nome de arch.

Thales, que previu um eclipse ocorrido no ano de 535 a.C., acreditava no

arch como sendo a gua, provavelmente por ser um elemento imprescindvel para toda

e qualquer forma de vida. Para os gregos o princpio fundamental da vida era a

respirao, baseado nisso Anaximenes acreditava que o ar seria o elemento primordial

do universo. Anaximandro definia o arch como apeyron (em grego: infinito,




indefinido) criando assim, um conceito ainda mais subjetivo no qual o universo

constituir-se-ia de excesso e escassez de arch.

Empdocles, nascido por volta de 490 a.C. acreditava ser o universo formado

por no um, mas, quatro elementos primordiais e imudveis. A gua, a terra, o fogo e o

ar combinados pelas duas foras primordiais, atrao e repulso, constituiriam o

universo conhecido (ROCHA et al, 2002).

Embora um tanto divergentes, entre si, os Pr-socrticos introduzem um

conceito que at ento no se cogitava. Com a idia do arch nasce a idia de um

elemento primordial. Esse elemento primordial pode ser visto como um alicerce para o

Atomismo.

O Ser absoluto, perfeito e imutvel de Parmnides entra em concordncia com

o universo metamrfico, mutante, em constante movimento de Herclito por volta do

ano 400 a.C. com os Atomistas.

A palavra tomo em grego significa indivisvel e foi assim que Leucipo (440 a.

C) e Demcrito (420 a.C.) batizaram seu constituinte primordial do universo. Segundo

os Atomistas no universo somente existem vcuo e tomos, os tomos esto em

constante movimento pelo vcuo, seus movimentos e distncias justificam as

densidades dos corpos e as constantes mudanas sofridas por estes. Os tamanhos e o

modo como se arranjam entre si determinam as diferenas entre as substncias.

Demcrito acreditava que os fenmenos da natureza se do por pura

causalidade das relaes entre os tomos. Nessa viso podemos observar uma base do

materialismo determinista.

O Atomismo foi de extrema importncia na superao de uma viso

supersticiosa, pelos filsofos. Seu determinismo bane a superstio e o medo de deuses

caprichosos, ciumentos e vingativos da poca, por entenderem o universo determinado

apenas pelos tomos e suas combinaes. Tambm introduz a forma de investigao em

que separa o todo em partes para compreend-lo. Essa uma marcante caracterstica da

filosofia ocidental que se seguiu, e tambm a base da cincia moderna.

Mais tarde, Epcuro de Samos (340 270 a.C.) e Lucrcio (98 55 a.C.)

deram continuidade ao trabalho de Leucipo e Demcrito, mas, o advento da filosofia

aristotlica (que via o universo como contnuo) na Grcia e em toda Europa ofuscou o




Atomismo, s revisto aps os crticos de Aristteles a partir do sc. IV d.C. (ROCHA et

al, 2002, LOPES, 1993).

2.1.1.2 A Redescoberta

No final do sc. XVIII muitos fsicos acreditavam de alguma forma na

existncia de um corpo que fosse a menor poro de matria, principalmente, por que

essa teoria ajudava a explicar muitos fenmenos qumicos. Mas, foi sem duvida na obra

do fsico ingls John Dalton (1766-1844) que temos nosso principal marco na teoria

corpuscular da matria quando propem em seu Novo Sistema Da Filosofia Qumica

(em 1808) alguns conceitos como:

- tudo o que existe no universo composto por inmeras partculas

denominadas tomos;

- os tomos so indivisveis e indestrutveis;

- existe um pequeno nmero de elementos diferentes na natureza;

- reunindo tomos iguais ou diferentes nas vrias pores, podemos formar

todas as matrias do universo conhecido;

O conceito de tomo passou a ser de extrema importncia na interpretao de

fenmenos qumicos e seus princpios como a lei da conservao de massa, lei das

propores definidas e lei das propores mltiplas.

Em 1811 o professor Amadeo Avogrado (1777-1856), com o intuito de

interpretar a teoria de Gay-Loussac, props a hiptese das molculas, que seriam

agrupamentos de tomos. Disse Avogrado volumes iguais de gases medidos mesma

temperatura e presso contm nmeros iguais de molculas.(LOPES, 1993).

Muitos fsicos da poca, como o jovem Max Planck, resistiram a essa idia.

Um grande defensor da teoria atmica, e proponente de alguns modelos

matemticos para esta, foi Ludwig Boltzmann. Seus modelos contriburam na rea da

teoria cintica dos gases e para a mecnica estatstica, atravs das quais Jean Perrim

teve a base para medir o nmero de molculas em um molcula-grama.(LOPES, 1993).




2.1.2 A Descoberta do Eltron

No final do sc. XIX a idia de tomo j era bem aceita na comunidade

cientfica. D-se inicio, ento, a busca por um modelo que explicasse como seria esse

tomo.

Em 1897, liderados pelo fsico ingls lorde Joseph John Thomson (1856

1940), os fsicos experimentais do laboratrio de Cavendish dedicavam-se aos estudos

da descarga eltrica em gases rarefeitos, descobriram uma radiao que emanava dos

tubos de descarga. A radiao foi chamada de raio por ser propagar em linha reta e por

ser oriunda do catodo ficou conhecida como raio catdico. Nos experimentos de

Cavendish foi constatado tambm que a radiao transmitia um impulso aos corpos com

os quais interagia e era parada por um fino obstculo.

Embora os fsicos alemes, em destaque Hertz, sustentassem uma verso

ondulatria da partcula os pesquisadores ingleses como Crookes e Perrin acreditavam

numa estrutura corpuscular. Thomson tambm defendia a teoria corpuscular tentando

descobrir a relao carga/massa das partculas. Com a colaborao de H. A. Wilson, R.

A. Millikan, Kaufmann e outros, Thomson constatou que as partculas constituintes dos

raios catdicos seriam muito menores que qualquer tomo conhecido. G. Stoney batizou

a partcula como eltron. (EISBERG e RESNICK 1988, LOPES, 1993)

2.1.2.1 O Modelo de Thomson

Estes resultados foram anunciados em 30 de abril de 1897, em uma

conferencia na Royal Institution. A descoberta da constituio dos raios catdicos levou

os pesquisadores a acreditar que tais eltrons seriam provenientes dos tomos que

compunham o catodo.

Em 1898, Thomson lana o primeiro modelo detalhado para o tomo, que

ficou conhecido como pudim de ameixas (plum pudding) ilustrado na figura 2.1.1.

Neste modelo o tomo seria uma grande esfera onde toda a carga positiva distribua-se

continuamente. Os eltrons estariam espalhados uniformemente (devido repulso




couloumbiana) no interior da esfera como ameixas em um pudim. As posies dos

eltrons seriam fixas em seus estados de menor energia e vibrariam em torno da posio

estacionria no caso de excitao deste tomo.

Figura 2.1.1: modelo atmico de Thomson

Em 1904 o fsico japons Hantaro Nagaoca prope um modelo planetrio onde

os eltrons girariam em rbitas circulares em torno de um ncleo slido onde se

concentraria toda a carga positiva do tomo.

Pela teoria clssica do eletromagnetismo uma carga em movimento acelerado,

como o caso do eltron de Nagaoca, perderia energia constantemente atravs da

emisso de radiao eletromagntica. Devido a isso, haveria uma diminuio constante

do raio orbital at o momento em que a carga atingisse o centro da rbita. Para o tomo,

isto significaria a queda do eltron para o ncleo havendo assim a aniquilao de

cargas.

Como este fenmeno no observado o modelo de Nagaoca foi considerado

inconsistente, prevalecendo assim, o modelo de Thomson.

2.1.2.2 O Modelo de Rutherford

Convidado por Lorde Thomson, o jovem fsico neozelands, Ernest

Rutherford juntou-se equipe do laboratrio de Cavendish e comeou a trabalhar com a

radioatividade no final do sc. XIX.




Figura 2.1.2: Ernest Rutherford (1871-1937)

Aos 26 anos de idade Rutherford fez a descoberta que o tornaria famoso.

Aplicando uma diferena de potencial na sada de uma fonte de radiao Rutherford

percebeu a emisso de dois tipos distintos de radiao. Uma delas, com baixo poder de

penetrao devido a sua elevada massa, era atrada pelo plo negativo. Essa radiao,

chamada radiao (alfa), era como um tomo de hlio sem os eltrons.

A outra tinha maior poder de penetrao devido a sua menor massa (igual a

dos eltrons) era atrada pelo plo positivo e ficou conhecida por radiao (beta).

Orientados por Rutherford, Johanes Hans Geiger (1882 1945) e Ernest

Marsden (1889 1970) passaram a trabalhar em 1909 com um aparato experimental

que lhes permitia saber a trajetria das partculas emitidas por uma fonte radioativa

bombardeando um determinado alvo. O aparato experimental referido est

esquematizado na figura 2.1.3. No caso da experincia de Marsden e Geiger o alvo era

uma lmina de 4 x 103 de espessura de ouro. As partculas eram observadas graas

a cintilao que provocavam em uma folha de sulfeto de zinco que envolvia todo o

sistema fonte-alvo.

Figura 2.1.3: aparato experimental utilizado por Rutherford e sua equipe




Pelo modelo de Thomson as partculas por terem massa e carga muito menor

que os tomos da lmina de ouro, no atravessariam o alvo. Mas, no foi isso que se

observou.

Para surpresa de Geiger, Marsden e Rutherford uma grande luminosidade

continuou aparecendo no outro lado da lmina de ouro. O que indicava que a maior

parte da radiao alfa emitida pela fonte atravessava facilmente a lmina sem colidir

com seus tomos.

Outros pontos luminosos tambm foram observados na folha de sulfeto de

zinco, porm, muito menos intensos. Tambm chamava muito a ateno o fato de uma

pequena frao de radiao alfa (cerca de 1 em 20.000) causavam luminosidade na parte

anterior a lmina de ouro, ou seja, teriam sido desviadas a um ngulo maior do que 90.

O fato de a maior parte da radiao alfa emitida no interagir com os tomos

do material alvo era uma evidncia de que a maior parte do tomo seria vazio, trazendo

novamente tona o modelo de Nagaoca, porm, com ajustes feitos por Rutherford.

O tomo de Rutherford ocuparia um volume esfrico, por onde os eltrons

estariam girando de forma a distriburem uniformemente a carga negativa na chamada

eletrosfera. Toda a carga positiva e a maior parte da massa do tomo estaria concentrada

no centro da esfera denominada ncleo. Segundo a anlise de Rutherford a seo de

choque em funo do ngulo de incidncia de partcula (Z`=2) com ncleos (para

ncleos pontuais e infinitamente pesados) seria:

( ) ( )21

2.4'

4

2

200

2

senmveZZ

= (2.1.1)

As equaes de Rutherford levaram a uma distncia mnima entre a partcula

incidente e o ncleo.

( )

+=

2sen11

4'

200

2

mveZZr (2.1.2)




Moseley props em 1914 um nmero relacionado ao ncleo denominado

nmero atmico Chadwick utilizou a expresso 2.1.1 para determinar o nmero atmico

de diversos elementos alvo e obteve resultados extremamente prximos aos que

conhecemos hoje. Os nmeros atmicos de Chadwick para alguns elementos podem ser

vistos na tabela 1.

Tabela 1: comparativo entre os nmeros atmicos conhecidos atualmente com os encontrados por Chadwick.

Elemento Z Valores de Z encontrados por Chadwick

Cu 29 29,3

Ag 47 46,3

Pt 78 77,4

Em 1922, Rutherford e Chadwick descobriram que a uma distncia de 10-12 o

espalhamento no mais obedece a 2.1.1 . Este foi o primeiro indicio da existncia de

foras de curto alcance.

2.1.3 A Teoria Quntica

Nesta seo sero apresentados alguns princpios e idias que deram origem a

teoria quntica para o tomo. Sero citados os trabalhos de alguns dos seus principais

autores.

2.1.3.1 Max Planck

Em uma cavidade fechada, sem a presena de carga, parte da radiao

eletromagntica emitida pelos tomos das paredes da cavidade tambm absorvida

pelas paredes.




Em condio de equilbrio, toda energia emitida em um determinado tempo

absorvida pelas paredes no mesmo intervalo de tempo. A densidade (u) de energia na

cavidade est ligada freqncia () das radiaes e a temperatura (T) de suas paredes:

u= u(,T) (2.1.3)

Fazendo um orifcio muito pequeno em relao s dimenses da cavidade, de

forma que a energia perdida seja desprezvel para densidade interna, consegui-se obter

dados experimentais a cerca da freqncia e da densidade de radiao. E desta forma foi

traada a curva da figura 2.1.4.

Figura 2.1.4: curva experimental da densidade de energia de radiao numa cavidade em equilbrio a uma temperatura em funo da freqncia.

Lorde Rayleigh e James Jeans fizeram a primeira tentativa de descrever,

teoricamente, a relao entre a densidade de energia com a freqncia de radiao,

usando uma analogia a osciladores harmnicos espalhados pelas paredes da cavidade.

Para tanto:

))(=) T,(T,u( d (2.1.4)

onde ()d o nmero de osciladores harmnicos lineares por unidade de volume em

uma cavidade de volume V; e a energia mdia dos osciladores.




Para um oscilador harmnico de freqncia /2 e = kc obtiveram a energia

mdia dos osciladores como:

( ) kTde

deT

kT

kT

==

',

0

'

0

(2.1.5)

Sendo ()d dada por:

( ) dc

d 238

= (2.1.6)

Obtemos a densidade u(,T) como:

( ) kTc

Tu 328, = (2.1.7)

Para baixas freqncias os resultados de Lorde Rayleigh e James Jeans se

mostraram satisfatrios, porm, para altas freqncias os resultados experimentais

fogem completamente a expresso 2.1.7 conforme pode ser visto na figura 2.1.5.

Figura 2.1.5: A lei de Rayleigh e Jeans prev que u(,T) cresce com 2, o que

no se confirma para a curva experimental




Em 1900 o fsico alemo, Max Karl Ernst Planck (18581947) encontra uma

soluo para o modelo experimental existente. Considerando correta a anlise de Lorde

Rayleigh e James Jeans que levara a expresso 2.1.4. Planck considerou falsa a hiptese

da continuidade da energia dos osciladores harmnicos.

Portanto:

( )

=

=

=

0

0,

n

kTE

n

kTE

n

n

n

e

eET (2.1.8)

Planck diz que a energia de um oscilador harmnico linear um mltiplo

inteiro de um dado valor:

En = n0 n=0,1,2...

Ento 2.1.8 fica:

( )1

,0

0

= kTe

T

(2.1.9)

Logo a densidade de energia, segundo 2.1.4 e 2.1.9 :

( )1

8,0

03

2

= kTec

Tu

Para que a expresso concorde com a curva experimental ou seja:




lim u(,T)=0

0 deve ser crescente em

para tanto Planck props:

( )

h=

=

0

00

A partir da h passou a ser uma constante universal.

Ento 2.1.9 passa :

( )1

,

=kT

he

hT

e a densidade de energia:

( )1

8, 32

=

kTh

e

hc

Tu

A constante de Planck chamada de Quantum de Ao e vale 6,6 x 10-34J.S.

Usa-se, tambm, a constante h/2 que ganhou o smbolo . h

At ento se acreditava, pela mecnica clssica, que a energia de um oscilador

harmnico era contnua. Planck introduziu com seu trabalho um novo conceito Fsica,

o conceito da quantizao de energia.




2.1.3.2 O Modelo de Bhr

Em setembro de 1911 o laboratrio de Cavendish recebe o jovem doutor em

fsica de origem dinamarquesa Niels Henrik David Bhr (1885 1965) que pretendia

desenvolver trabalhos com o ento diretor do laboratrio, Lorde Thomson. Infelizmente

essa parceria cientfica nunca ocorreu. Mas, foi em Cavendish que Bhr conhecer

Ernest Rutherford, em um seminrio apresentado por Rutherford sobre as experincias a

cerca de seu modelo atmico. Em pouco tempo Bhr renunciou a universidade de

Cambridge, para se juntar equipe de Rutherford em Manchester. Esta parceria

(Rutherford Bhr) marcaria para sempre a histria da fsica.

Figura 2.1.6: Niels Bhr, Nobel de fsica em 1922.

Com relao ao modelo planetrio de Rutherford, Bhr no tenta refut-lo, ao

contrrio, tentou devolver-lhe a estabilidade.

Para a discusso do modelo de Bhr necessrio antes que se conhea um

pouco a espectroscopia.

O espectro de um elemento o conjunto de linhas espectrais que este pode

produzir em um filme fotogrfico atravs da emisso de ftons com diferentes

comprimentos de onda. possvel obter o espectro de um determinado elemento com o

espectroscpio cujo esquema se encontra na figura 2.1.7.




Figura 2.1.7: esquema de um espectroscpio por disperso de energia.

Uma quantidade de gs monoatmico excitada, atravs de descarga eltrica.

Quando este retoma seu estado natural emite radiao equivalente diferena energtica

entre estado excitado e natural. Essa radiao colimada por uma fenda. O feixe

colimado passa por um prisma (ou rede de difrao) onde os diferentes comprimentos

de onda sero separados e assim, marcaro em um filme fotossensvel.

Cada elemento tem um conjunto de linhas caracterstico e atravs destes

possvel saber a composio qumica de substncias. Essa aplicao contribuiu para que

muitas medidas fossem tomadas, no final do sculo XIX para o estudo desses

complexos espectros de elementos.

O tomo de Hidrognio, devido a sua constituio bastante simples, gera um

espectro, tambm, muito simples. A figura 2.1.8 mostra uma parte do espectro de

Hidrognio onde o comprimento de onda das linhas est, aproximadamente, na faixa de

luzes visveis.

Figura 2.1.8: Ao alto: foto da parte visvel de um espectro de Hidrognio;

abaixo: esquema da imagem do espectro com os valores de correspondentes.




Na figura 2.1.8 podemos perceber a regularidade na diminuio do intervalo

entre as linhas. Essa regularidade, bastante clara, estimulou muitas tentativas de se

descrever o espectro com uma expresso emprica. Balmmer props em 1885:

43646 2

2

=

nn (em )

Esta expresso capaz de prever o comprimento de onda das 9 primeiras

linhas desse espectro. A descoberta de Balmmer levou a uma corrida por expresses

gerais descrevessem espectros mais complexos. Nessa corrida destacou-se o sueco

Raydberg (1854 1919) que props a seguinte frmula , em termos do nmero de onda

k (k= 1 = c )

== 22

111

baH nn

Rk

, onde n = 3, 4, 5... (2.1.10)

Onde RH = a constante de Raydberg para o Hidrognio. O valor de RH

encontrado experimentalmente de 1,097373 x 107m-1. Para a srie de linhas, cujo

comprimento de onde Balmmer previu, a expresso 2.1.10 escrita como:

== 2

1411

bnk

para n = 3, 4, 5...

que descreve a chamada srie de Balmmer.

Hoje so conhecidas cinco sries de linhas espectrais para o tomo de

Hidrognio, como visto na tabela 2 descritas pela expresso 2.1.10.




Tabela 2: sries de linhas espectrais para Hidrognio

Nomes Faixas de comprimento de Onda Frmula

Lyman Ultravioleta

= 22

111

nRH n=2, 3, 4,...

Balmmer Ultravioleta prximo ao visvel

= 22

121

nRH n=3, 4, 5,...

Paschen Infravermelho

= 22

131

nRH n=4, 5, 6...

Brackett Infravermelho

= 22

141

nRH n=5, 6, 7...

Pfund Infravermelho

= 22

151

nRH n=6, 7, 8...

Em 1913 tendo como alicerce o modelo planetrio de Rutherford e a idia de

quantizao da energia de Max Planck, Bhr prope um modelo para o tomo, baseado

em quatro postulados (apud EISBERG, RESSNICK, 1988):

1 Um eltron em um tomo se move em uma rbita circular em torno do ncleo sob influncia da atrao coulombiana entre o eltron e o ncleo, obedecendo s leis da mecnica Clssica.

2 Em vez da infinidade de rbitas que seriam possveis segundo a mecnica clssica, um eltron s pode se mover em uma rbita na qual seu momento orbital angular L um mltiplo de (a constante de Planck dividida por 2)

3 Apesar de estar constantemente acelerado, um eltron que se move em uma dessas rbitas possveis no emitem radiao eletromagntica. Portanto sua energia total E permanece constante.

4 emitida radiao eletromagntica se um eltron, que se move inicialmente sobre uma rbita de energia Ei muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma rbita de energia total Ef. A freqncia da radiao emitida igual a quantidade (Ei Ef) dividida pela constante de Planck h




O primeiro e o segundo postulados constroem a idia de um ncleo com

rbitas quantizadas:

hnmvrnhmvr ==2

onde n = 1, 2, 3... (2.1.11)

O terceiro postulado invalida a instabilidade do eltron por no se poder tratar

como um caso clssico. O quarto est ligado a teoria de Einstein de que a freqncia

de um fton igual a sua energia dividida pela constante de Planck:

( )fiif EEh =1 (2.1.12)

( )

( )fiif

fiif

EE

EEh

=

=

h

Para o eltron permanecer em uma trajetria circular preciso que haja um

equilbrio entre as foras coulombianas (de atrao) e a centrfuga (de fuga), para isso

considerando.

20

22

4 nn re

rmv

= (2.1.13)

isolando v2: m

ev0

22

4=

isolando v2 em 1 temos: 2222

2

nrmnv h=




ento: 2222

0

2

4 nn rmn

mre h

=

e

20

22 4me

nrnh

=

considerando 0

22

4eq = (2.1.14)

tem-se: 22

mqnrn

h= (2.1.15)

Obtm-se ento um para o orbital circular do eltron raios mltiplos nmeros

inteiros sucessivos. Substituindo as constantes em 2.1.15 para n=1 tem-se o menor raio

chamado raio de Bhr seu valor a0=5,292 x 10-11m.

20 mqa h= (2.1.16)

e

02anrn = (2.1.17)

onde n = 1, 2, 3...

Tem-se a partir da uma imagem das rbitas estacionrias de Bhr.

Os postulados sugerem que em uma rbita estacionria especfica a energia do

eltron no varia, por isso no emite ftons. Vamos analisar, ento, a energia para as

rbitas estacionrias de Bhr:




Em 2.1.13 tem-se:

nremv

0

22

4=

Da nr

emv0

22

421

2 =

Ento:

( ) nn reE

0

2

42 =

E considerando a equao 2.1.14 tem-se:

nn r

qE2

2

=

e considerando a equao 2.1.15 tem-se:

22

22

2 hnmqqEn = (2.1.18)

2

4

2 21

h

mqn

En = (2.1.19)

e considerando

2

4

0 2hmqE =

tem-se:




20

nEEn = (2.1.20)

onde n = 1, 2, 3...

O termo obtido nos d um valor constante tambm para a menor energia

possvel para o eltron do tomo de Hidrognio. Substituindo valores em 2.1.18 para

n=1 temos

E0 = -13,6 eV

O sinal negativo representa uma energia de confinamento.

Do 4 postulado de Bhr (2.1.12) tem-se:

hEE fi =

Substituindo 2.1.10 em 2.1.12 tem-se:

22

22

22

22

22 hh fi nmqq

nmqqh =

= 223

4 114 fi nnmqh

(2.1.21)

De Raydberg tem-se:




= 22

11

ba nnRc

Podemos, facilmente, perceber a semelhana entre a expresso terica de Bhr

e a emprica encontrada por Raydberg igualando as expresses temos:

=

fiba nnmq

nnRc 11

411 4

h

Considerando:

=

fiba nnnn1111

tem-se:

3

4

4 hcmqR

= (2.2.22)

R=1,09677 x 10-7m-1

Que concorda com o valor experimental reforando a teoria de Bhr.

Embora o modelo de Bhr apresentasse problemas, ele representa um grande

avano na teoria atmica pelo conceito da quantizao das energias. Pouco tempo

depois de enunciado o modelo de Bhr verificaram-se energias diferentes para um

mesmo orbital.




Zommerfeld props ento, rbitas elpticas que tm, devido excentricidade,

energias diferentes em uma mesma rbita. Ele prope um segundo nmero quntico: k,

que est ligado excentricidade do orbital. O nmero k se relaciona com os eixos

atravs da seguinte expresso:

kn

menoreixodoocomprimentmaioreixodoocompriment

=______

O modelo de Bhr com os complementos de Zommerfeld hoje conhecido

como antiga teoria quntica.

2.1.4 A Nova Teoria Quntica

Depois de construdas as bases da teoria quntica far-se-, nessa seo, uma

breve exposio das idias que aliceraram o conceito de quantizao da matria. Sero

tambm expostas superficialmente, noes sobre o surgimento da Mecnica das

Matrizes e da Mecnica Ondulatria.

2.1.4.1 De Broglie

Em 1886 e 1887 Henrich Hertz (1857 1894) realizou experimentos que

confirmaram experimentalmente a teoria de Maxwell. Dentre os experimentos de Hertz

h o que mostra a descarga eltrica entre dois eletrodos facilidade se sobre um dos

eletrodos incidido um feixe de luz ultravioleta. Mais tarde Hallwachs deu

continuidade a esses experimentos. Baseado nos experimentos de Hallwachs, Lenard

mostrou que a incidncia de luz faz com que o catodo emita eltrons. Este fenmeno

ficou conhecido como efeito fotoeltrico.




Em 1905, o jovem fsico alemo Albert Einstein (1878 1955) props uma

nova teoria para explicar o efeito fotoeltrico, na qual, a energia das ondas

eletromagnticas estava quantizada em pacotes inicialmente localizadas em pequenos

volumes do espao que mais tarde vieram a ser chamados de ftons. Einstein argumenta

que nos experimentos onde a luz se comporta como uma onda, os pacotes de energia so

vistos de forma coletiva. Embora estas experincias mostrem que a luz se propaga de

maneira ondulatria, sua emisso e absoro se do de uma forma corpuscular, com

pulsos de energia.

Para Einstein o fton teria freqncia de radiao ; se propagaria com

velocidade c; sua energia seria expressa por h e seu momento na direo de propagao

seria h/c. A idia de velocidade constante nos mostra que o fton no uma partcula

comum uma vez que no teria massa de repouso. Esse trabalho daria a Einstein o

prmio Nobel em 1921.

Embora no incio de sua vida acadmica o nobre francs Louis De Broglie

Interessara-se por histria eclesistica, foi no campo da fsica que ele assinou seu nome

na histria. Irmo do prestigiado fsico experimental Maurice De Broglie, que

secretariou por algum tempo o Congresso de Solvay, Louis Victor Pierre Raymond ou

Prncipe De Broglie (18921987) apresentou Faculdade de Cincias da Universidade

de Paris em 1924, sua tese de doutorado intitulada Pesquisas Sobre A Teoria Dos

Quanta.

Figura 2.1.9: Louis De Broglie, Nobel de fsica de 1929.

Partindo do princpio j comprovado da teoria de Einstein para o efeito

fotoeltrico, onde a luz, que classicamente se conhecia como onda, tem um

comportamento de partcula, De Broglie props que tambm a matria tivesse um

carter ondulatrio. Da mesma forma que a luz apresenta seu carter corpuscular atravs

da constante universal de Planck h, tambm o eltron, que tinha seu movimento




limitado por h no tomo de Bhr, apresentaria seu carter ondulatrio atravs da mesma

constante h.

De Broglie expressou os aspectos quantitativos desse conceito da mesma

forma que Einstein o fizera para a radiao. A energia E da partcula, assim como da

radiao, est relacionada com sua freqncia por:

hE =

E seu momento linear p est relacionado com o comprimento de onda por:

hp =

A tese de De Broglie causou grande controvrsia entre os fsicos. Embora

muitos trabalhos tivessem sido publicados na tentativa de explicar suas ondas de

matria, a princpio para a comunidade cientfica todos os tipos de onda j eram

conhecidos. Muitas eram as objees e desconfianas a cerca da teoria de De Broglie,

porm esta despertou interesse de alguns fsicos como Einstein, que recebeu a tese pelas

mos de Paul Langevin, professor de De Broglie.

O grande feito terico de De Broglie foi relacionar o comprimento de onda a

massa m da partcula e sua velocidade v em uma expresso onde aparece a constante de

Planck h evidenciando que tais ondas so quantizadas. Ento, uma vez que:

p= mv

o comprimento de onda de De Broglie :

mvh=




Essa expresso nos leva a ordens de grandeza de muito pequenas para serem

detectadas se utilizadas em situaes do cotidiano, porm, para o caso de um eltron

cujo a massa 10-27g submetido a uma ddp de 1 Volt de forma a atingir uma velocidade

de 6x107cm/s encontra-se um entorno de 10-7. Prximo a ordem de grandeza dos raios

X, isso animaria os experimentalistas da poca.

A ondulatria do eltron teve plena aceitao a partir de 1927 com os

experimentos de L. H. Germer, do russo P. S. Tartakovisky e dos ingleses Alexandre

Reid, Clinton Joseph Davisson (1881 1958) e Sir Georg Paget Thomson (1892

1975). Os dois ltimos vieram a receber o Prmio Nobel em 1937 pela difrao de

eltrons por cristais, onde encontraram para o eltron o mesmo comprimento de onda

encontrado teoricamente por De Broglie.

Curioso observar que J. J. Thomson descobriu a existncia dos eltrons como

partculas dotadas de carga e massa em 1897 e por esse feito recebeu o Prmio Nobel

em 1906. J seu filho, G. P. Thomson descobriu a difrao eletrnica em 1927 e

recebeu, por esse feito, o Prmio Nobel em 1937 juntamente com C. J. Davisson. Sobre

essa curiosidade Max Jammer escreveu: Pode-se ficar inclinado a dizer que Thomson,

o pai, recebeu o Prmio Nobel por ter mostrado que o eltron era uma partcula, e

Thomson, o filho, o recebeu por ter mostrado que o eltron uma onda. (EISBERG e

RESNICK, 1988).

Foi no quinto Congresso de Solvay em Bruxelas, no vero de 1927 que a

comunidade cientfica conheceu os alicerces da nova teoria quntica estabelecidos por

Werner Heisenberg e por Ervin Schroedinger desenvolvidos por ambos, separadamente,

e com abordagens diferentes, porm considerando o trabalho de De Broglie.

2.1.4.2 O Modelo de Heisenberg

Um dos beros da Mecnica Quntica foi a Escola de Gttingen onde Max

Born (1882 1970) e seus assistentes, Pascoal Jordan (1902 1980) e Werner Karl

Heisenberg (1901 1976) procuravam solues para o tomo de Hidrognio nos idos de

1925. Eduardo dos Passos Belmonte



Figura 2.1.10: Werner Karl Heisemberg

O jovem fsico alemo Heisenberg acreditava na validade do modelo de Niels

Brh, porm, sua intuio dizia que este, ainda, no havia sido experimentado

adequadamente. Heisenberg acreditava que as rbitas de Bhr no poderiam ser

observadas, embora, as linhas espectrais fossem, evidentemente, resultado de uma

transio entre diferentes nveis de energia. Seus estudos considerando a intensidade das

linhas espectrais preencheriam uma lacuna no modelo de Bhr.

A intuio de Heisenberg dizia no ser interessante para o estudo do estado de

um tomo limitar os clculos a analogias com a realidade macroscpica.

Heisenberg desenvolveu um clculo com tabelas onde Born reconheceu a

semelhana com as matrizes, ramo da matemtica introduzido pelo ingls Cayley no

sc. XIX. Atravs das matrizes Heisenberg desenvolveu a primeira teoria consistente

para a Mecnica Quntica. Verificou que algumas grandezas no comutavam, isso o

induziu a propor, em 1927, as Relaes de Incerteza. Segundo as Relaes de Incerteza

impossvel conhecer ao mesmo tempo a velocidade de uma partcula e seu momento,

contrariando os princpios da Mecnica Clssica.

Com o sistema de Heisenberg foi possvel explicar a alternncia entre as linhas

de intensidade, fortes e fracas no espectro do Hidrognio molecular.

Os clculos de Heisenberg, embora rigorosamente precisos, para alguns casos

se mostravam muito difceis e devido a isso, com o tempo foram sendo substitudos por

outras formulaes matemticas como a Mecnica ondulatria de Schrdinger. Em

1932 Heisenberg foi laureado com o Prmio Nobel pela criao da Mecnica Quntica

ou Mecnica das Matrizes. (ROCHA et al., 2002).




2.1.4.3 O Modelo de Schrdinger

Professor da Escola de Zurique o austraco Erwin Schrdinger (1887 1961)

s tomou conhecimento dos trabalhos de De Broglie em 1926. Deste ento se empenhou

na busca de uma equao que descrevesse as ondas de matria. Em um seminrio

realizado em Zurique, Schrdinger foi incumbido de apresentar uma palestra sobre a

tese de De Broglie. Os estudos para tal apresentao estimularam Schrdinger a

encontrar uma equao de onda no relativstica e com carter corpuscular para o

eltron. Os passos que o levaram a tal equao esto descritos em sete artigos assinados

por Schrdinger.

Figura 2.1.11: Erwin Schrdinger

A equao de Schrdinger uma equao diferencial parcial de primeira

ordem em relao ao tempo e de segunda ordem em relao as coordenadas espaciais,

cuja soluo a funo de onda que trs informaes sobre o estado fsico do sistema.

Este objeto matemtico representa o eltron e o quadrado do seu mdulo da a

probabilidade de se encontrar este eltron em uma determina regio prxima ao ncleo

denominada orbital. Hoje conhecemos a equao de Schrdinger como:

ttxitxtxV

xtx

m

=+

),(),(),(),(

2 222

hh

Diferentes das rbitas de Bhr os orbitais so regies nas redondezas do

ncleo onde os eltrons tm grande probabilidade de serem encontrados. Para a

Mecnica Quntica os eltrons no mais traariam rbitas ao redor do ncleo, mas, sim

realizariam movimentos com uma distribuio de probabilidade dependente do tempo Eduardo dos Passos Belmonte



de se encontrar em uma determinada posio. Nestes movimentos na regio orbital o

conceito de trajetria deve ser abandonado. Em um mesmo estado quntico o eltron

no sofre mudanas de energia. Uma mudana de energia do eltron implica numa

mudana de orbital, uma vez que cada orbital caracteriza um estado quntico e este est

ligado a uma energia caracterstica. Esta mudana de energia est ligada emisso ou

ganho de energia atravs de um fton. A essa transio d-se o nome de salto quntico.

Os estados qunticos so caracterizados pelos nmeros qunticos: principal

representado pela letra n que est ligado distncia do ncleo; o nmero quntico

orbital est ligado ao momento angular orbital e representado por l; o nmero

quntico magntico m est ligado dependncia angular da funo de onda do

eltron; o spin, representado por s est ligado a uma propriedade eletrnica anloga ao

movimento de rotao.

Essa segunda formulao da Mecnica Quntica, a Mecnica Ondulatria de

Schrdinger, obteve muito sucesso, conseguiu reproduzir vrios resultados de De

Broglie para o tomo de Bhr e conseguiu explicar a frmula emprica de Balmmer para

o espectro do Hidrognio.




2.2 Interao da radiao com a matria

2.2.1 Fenmenos de Interao

Por no possuir carga nem massa as radiaes eletromagnticas podem

penetrar grandes espessuras de matria sem interagir com seus tomos. Sua

probabilidade de interao depende da energia da radiao incidente e tambm de

propriedades do material alvo como o nmero atmico Z dos elementos que o compem

e sua densidade como veremos adiante.

No percurso da radiao dentro do material h uma probabilidade muito

maior de ocorrncia nas camadas eletrnicas do que nos ncleos dos tomos do material

irradiado. Nesse processo de interao trs so os fenmenos predominantes:

Efeito fotoeltrico;

Espalhamento Compton;

Produo de pares.

2.2.1.1 Efeito Fotoeltrico:

Como visto na seo 2.1.4a Einstein mostrou que uma onda eletromagntica

incidente em um material interage com seus tomos de forma corpuscular. No caso do

efeito fotoeltrico o fton colide com o eltron e transmite para este toda a sua

energia desaparecendo por completo. O eltron por sua vez ejetado do material, como

ilustrado na figura 2.2.1. Portanto para a ocorrncia do efeito fotoeltrico a energia h

do fton deve ser maior ou igual a energia de ligao do eltron com o tomo do

material alvo. A energia cintica K do eltron ejetado depende da energia do fton

incidente e da energia de ligao do eltron.

K=h-




onde:

K= energia cintica do eltron;

= energia de ligao;

h= constante de Planck;

= freqncia da radiao.

Figura 2.2.1: esquema do efeito fotoeltrico

O efeito fotoeltrico ocorre com maior probabilidade para ftons incidentes de

baixas energias e para interao com elementos de elevado nmero atmico.

O eltron ejetado nesse processo deixa uma vacncia que ser preenchida por

um eltron oriundo de um nvel mais energtico. A diferena de energia sofrida por esse

eltron ser eliminada pela emisso de um fton cuja energia ser igual diferena entre

a energia do nvel inicial e do nvel final. A esse fenmeno d-se o nome de

fluorescncia.

A maior probabilidade de interao se d quando a energia h do fton igual

a energia de ligao do eltron. A probabilidade decai com o aumento da energia do

fton como mostra a figura 2.2.2. Quando interaes com a camada K so permitidas,

80% das interaes ocorrem nessa camada.




Figura 2.2.2: seo de choque para o efeito fotoeltrico para o Chumbo em funo da

energia do fton incidente

Quando o fton atinge a energia de ligao da camada K observa-se um brusco

crescimento na seco de cheque. O mesmo pode-se observar para a camada L

2.2.1.2 Espalhamento Compton

Compton em 1923 incidiu um feixe de raio X de comprimento de onda sobre

um alvo de grafite e mediu a intensidade dos raios X espalhados em funo do seu

comprimento de onda para vrios ngulos espalhados. Embora o feixe incidente tenha

apenas um comprimento de onda , o feixe espalhado tem sua intensidade mxima em

dois picos, um em outro em que maior que por uma quantidade . Esta

quantidade chamada deslocamento Compton.

=- (2.2.1)

Compton interpretou esse fenmeno como sendo uma coliso dos ftons com

os eltrons como a coliso de bolas de bilhar.

Como o fton incidente transfere parte de sua energia para o eltron o fton

espalhado deve ter uma energia E menor que a incidente, e portanto, uma freqncia

mais baixa = E/h e conseqentemente um comprimento de onda = c/ maior.




Seja um feixe incidente de energia E= h a energia total relativstica de uma

partcula, considerando sua massa de repouso e velocidade, :

22

20

1 cvcmE

= (2.2.2)

Como sua velocidade v igual a c sua massa de repouso deve ser zero para

que sua energia seja finita.

Pode se obter o momento p de um fton pela expresso:

E2=c2p2+(m0c2)2 (2.2.3)

Como sua massa de repouso m0 nula ento:

E2=c2p2 (2.2.4)

chp

cEp == (2.2.5)

O processo do espalhamento dos raios X se d na coliso de um fton com um

eltron do material alvo. A figura 2.2.3 ilustra a interpretao de Compton para o

espalhamento de raios X onde um fton incidente de energia E0 e o momento p0 se

propaga na direo de um eltron e na segunda figura, aps a coliso, o fton espalhado

se propaga com energia E1 e momento p1 h um ngulo do eixo de coliso. J o

eltron recua com energia cintica K e momento p a um ngulo do eixo de coliso.




Figura 2.2.3: esquema ilustrativo da interpretao de Compton para o fenmeno do

espalhamento.

Pelo princpio da conservao do momento temos:

p0=p1cos+pcos (2.2.6)

p1sen=psen (2.2.7)

Elevando-as ao quadrado:

(p0-p1cos)2=p2cos2 (2.2.8)

somando as expresses acima tem-se:

p2=p02 +p12-2p0p1cos (2.2.9)

pela conservao da energia total relativstica tem-se:

E0+m0c2= E1+Km0c2 (2.2.10)

E0-E1=K (2.2.11)




e de acordo com 2.2.4:

c(p0-p1)=K (2.2.12)

fazendo E= K+m0c2 em 3 Obtm-se:

K2+2Km0c2=c2p2

202

2

2 pKmcK

=+ (2.2.13)

substituindo p2 de 2.2.9 e K de 2.2.12 tem-se:

(p0-p1)2+2mc(p0-p1)=p02+p12-2p0p1cos (2.2.14)

que pode ser reduzida para:

m0c(p0-p1)=p0p1(1-cos) (2.2.15)

ou

)cos1(111

001

=cmpp

(2.2.16)

se h for multiplicado e substitudo por p segundo a expresso 2.2.5 tem-se:

=1-0 =c(1-cos) (2.2.17)




onde c=h/m0c (2.2.18)

que o comprimento de onda Compton do eltron.

O deslocamento Compton segundo a 2.2.17 varia de zero para = 0,

quando a radiao tange o eltron de forma a no sofrer desvio; 2h/m0c para = 180

no caso de um choque onde o fton seja espalhado na mesma direo de incidncia com

sentido contrrio.

0 2h/m0c (2.2.19)

Se escrevermos a expresso 2.2.16 em funo das energias no lugar dos

comprimentos de ondas ter-se-:

)cos1(01

=cE

hcEhc

Ehc

01

1)cos1(11EEE c

+= (2.2.20)

Considerando Ec=551:

01

1)cos1(51111

EE+= (2.2.21)

Ento:




0

1 1)cos1(5111

1

E

E+

=

1)cos1(511

10

1

+=

EE (2.2.22)

A expresso 2.2.22 d a energia do fton espalhado em funo do ngulo.

Com relao variao de intensidade da radiao pelo ngulo podemos ter

uma idia observando a frmula de Klein-Nishina que nos d a probabilidade de

espalhamento incoerente em relao ao ngulo slido para o fton individual para

eltron livre, em forma de seo de choque diferencial:

[ ]

+

++

+

=

)cos1(1)cos1(cos1.

)cos1(11.2),(

22

2

20

REd

d NK (2.2.23)

Afigura 2.2.4 mostra a probabilidade de espalhamento em funo do ngulo

conforme descrito na expresso (2.2.23).

Figura 2.2.4: descreve a probabilidade do espalhamento de um fton individual por um

eltron livre em funo do ngulo de espalhamento.




Para o espalhamento incoerente a seco de choque diferencial :

),(. ZqSd

dd

d NKincoerente

=

O Espalhamento Rayleigh ocorre principalmente para ftons incidentes de

baixa energia e para materiais com Z elevado. Consiste no espalhamento elstico do

fton com um eltron orbital que no ser ejetado. O fton espalhado mantm a mesma

energia incidente, porm, muda sua direo de propagao.

Figura 2.2.5: ilustrao do efeito Rayleigh. Pode-se perceber que o fton mantm sua

energia (h).

O espalhamento Rayleigh chamado de espalhamento coerente e sua seo de

choque diferencial dada por:

2220 )],().[1.( ZqFcord

d coerente

+=




2.2.1.3 Produo de Pares

Para ftons com energia igual ou superior a 1,022MeV o fenmeno de

interao que predomina a produo de pares. Quando um fton de alta energia passa

perto de um ncleo de nmero atmico elevado, que produz um intenso campo eltrico,

ele interage com o campo transformando sua energia em matria gerando assim um par

eltron-psitron, como mostra a figura 2.2.6. A energia mnima do fton para a

ocorrncia desses fenmenos igual soma das energias de repouso das partculas

resultantes, como a energia de repouso, tanto para o eltron quanto para o psitron de

511keV a energia mnima do fton para a ocorrncia da produo de pares

511keV+511keV 1022keV. O psitron ou anti-eltron possui as mesmas

caractersticas do eltron como sua massa de repouso, porm, sua carga positiva, o que

garante a conservao da carga na produo do par eltron-psitron. Caso a energia do

fton seja maior que 1,022MeV a carga excedente ser responsvel pela energia

cintica das partculas resultantes da reao.

Figura 2.2.6: esquema ilustrativo para o fenmeno da produo de pares.

Pelo princpio da conservao da energia tem-se ento:

h= (K-+m0c2) + (K++m0c2)




2.2.2 Atenuao e Seo de Choque

Um feixe paralelo de ftons com intensidade I0 que atravessa uma lamina de

um determinado material de espessura x tem sua intensidade atenuada pela interao

dos ftons com os tomos do material, como ilustrado na figura 2.2.7, atravs dos

fenmenos de absoro fotoeltrica, espalhamento Compton ou produo de pares.

Figura 2.2.7: ilustrao da interao do feixe de intensidade

I0 com a placa de espessura x.

Para um fton com uma determinada energia, a probabilidade de interao por

um determinado fenmeno esta ligada seo de choque desse fenmeno. Por exemplo,

para o efeito fotoeltrico o nmero de absores fotoeltricas para uma lmina muito

fina que contm n tomos por unidade de rea e para um feixe I de ftons, pode ser

escrita como:

NFE=KFEIn (2.2.24)

onde: KFE=seco de choque para o efeito fotoeltrico.

A figura 2.2.8 ilustra as sees de choque para os fenmenos predominantes e

a seo de choque total para tomos de chumbo (Pb) relacionando com a energia dos

ftons incidentes.




Figura 2.2.8: seo de choque para os efeitos de

espalhamento (E), fotoeltrico (FE) e produo de pares (PR).

A probabilidade de interao de um fton com a matria para uma

determinada energia a soma das probabilidades dos fenmenos predominantes, na

figura 2.17 representada pela seo de choque total T.

T= E+FP+FE (2.2.25)

Como as sees de choque variam com a energia do fton incidente e tambm

com o Z do material absorvedor devido sua energia de ligao, a tabela abaixo mostra

os intervalos de energia aproximados onde cada fenmeno d sua contribuio mais

importante na probabilidade de interao. A relao ser apresentada para dois

materiais, um de Z alto (Pb) e outro de Z baixo (Al).

Tabela 3: intervalo de energia da maior probabilidade de interao para cada fenmeno de interao para o Pb e o Al.

Tipo de interao Intervalo de energia

Para o Pb

Intervalo de energia

Para o Al

Efeito Fotoeltrico h < 5 x 105eV h < 5 x 104eV

Espalhamento 5 x 105eV < h < 5 x 106eV 5 x 104eV < h < 5 x 107eV

Produo de Pares 5 x 106eV < h 5 x 107eV < h




A contribuio dos fenmenos predominantes na interao da radiao

com a matria relacionando a energia do fton incidente com o Z do absorvedor est

ilustrada na figura 2.2.9.

Figura 2.2.9: contribuio dos fenmenos predominantes para o nmero atmico do

material absorvedor em funo da energia do fton incidente

Se na figura 2.2.7 I0 ftons de raios X incidem em uma lmina grossa de

matria de espessura x contendo tomos por cm3. Depois de penetrar uma espessura t

na lmina o feixe passa a ter intensidade I(t) devido s interaes. Considerando uma

placa fina desta lmina dt o nmero de tomos por cm2 vezes o seu volume Adt. Para

simplificar consideramos a rea da lmina como 1cm2. Ento o nmero de tomos da

placa infinitesimal dt. O nmero de ftons que vo interagir com a placa est

relacionado seco de choque total T por uma expresso anloga a 2.2.24 onde seu

valor ser I(t)dx.

O nmero de ftons que sai da placa depois de percorrida uma espessura

t+dt na lmina igual ao nmero de ftons imediatamente antes da placa infinitesimal

menos o nmero de ftons que interagem com a mesma. Esta relao pode ser descrita

por:

I(t+dt)=I(t)-TI(t)dt

I(t+dt)-I(t)=-TI(t)dt (2.2.26)




pela definio:

I(t+dt)-I(t)=dI(t) (2.2.27)

ento:

dI(t)=-TI(t)dt (2.2.28)

logo:

= dttItdI

T )()( (2.2.29)

integrando a expresso na espessura da lmina temos:

=x

T

x

dttItdI

00 )()( (2.2.30)

ln I(x)-ln I(0)= -Tx

xI

xI =)0()(ln (2.2.31)

xTeI

xI =)0()( (2.2.32)

Considerando T como o coeficiente de atenuao total (=T) e

(I(0)=I0) de 2.2.32 tem-se:

I(x)= I0e-x




A figura 2.2.10 ilustra o decaimento da intensidade relativa (I/I0) com o

aumento da espessura do material absorvedor.

Figura 2.2.10: decaimento da intensidade relativa com o aumento da espessura do

absorvedor

Na determinao do coeficiente de atenuao de um material para evitar

confuses devido a variao do coeficiente com a mudana do estado fsico do material,

costuma-se tabelar os valores de dividindo pela densidade do material. Essa relao

(/) chamada coeficiente de atenuao de massa. A figura 2.2.11 mostra o

comportamento do coeficiente de atenuao de massa do iodeto de sdio para diferentes

energias.

Figura 2.2.11: contribuies dos diversos efeitos na absoro total para a relao coeficiente de atenuao de massa em funo da energia do fton incidente para o

iodeto de sdio (TAUHATA, 2001). Eduardo dos Passos Belmonte



As relaes entre o coeficiente de atenuao de massa para um

determinado material e suas sees de choque microscpicas para cada efeito so:

Efeito Fotoeltrico: AF NAgcm 1)/( 2

=

F: seco de choque microscpica para o efeito fotoeltrico (cm2/tomo)

Efeito Compton: AE NAZgcm

=)/( 2

E: seco de choque microscpica para o efeito Compton (cm2/eltron)

Produo de Pares: AP NAgcm 1)/( 2

=

E: seco de choque microscpica para formao de pares (cm2/tomo)

onde:

A: o nmero de massa (g/mol);

NA: o nmero de Avogrado 6,022x1023 tomos/mol;

Z: nmero atmico.

Para uma mistura ou composto pode se obter o coeficiente de atenuao de

massa total somando os coeficientes de atenuao de massa de cada elemento

multiplicado por seu respectivo peso:

ii

i W

= (2.

espectrometria por fluorescÊncia de raios x por …antigo.nuclear.ufrj.br/msc dissertacoes/eduardo...

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