Espejos Planos

Antes de analizar lo que se entiende por imagen, primero necesitamos definir el concepto objeto en términos de la óptica. Un objeto es cualquier cosa de la cual emerjan rayos de luz. Esta luz puede ser emitida por el objeto mismo si éste es luminoso, como el filamento incandescente de una bombilla eléctrica, o puede ser emitida por otra fuente (como una lámpara o el sol) y luego ser reflejada por el objeto. En la figura 10, se muestran los rayos de luz radiados en todas las direcciones desde un objeto situado en un punto P.

 

figura 10

 

Para que un observador vea este objeto de manera directa, no debe haber obstrucción entre el objeto y los ojos del observador. Note que los rayos de luz provenientes del objeto llegan a los ojos izquierdo y derecho del observador con ángulos diferentes; estas diferencias son procesadas por los ojos del observador para determinar la distancia que hay entre él y el objeto.

El objeto de la figura 10 es un objeto puntual que no tiene extensión física. Los objetos reales que poseen longitud, ancho y alto se conocen como objetos extendidos. Para empezar, consideraremos solamente un objeto puntual idealizado, puesto que siempre es posible pensar en un objeto extendido como si estuviera formado por un número muy grande de objetos puntuales.

Suponga que algunos de los rayos provenientes del objeto inciden en una superficie reflectora, plana y lisa (figura 11). Ésta podría ser la superficie de un material con diferente índice de refracción, que refleje parte de la luz incidente, o una superficie metálica pulida que refleje casi el 100% de la luz que le llega.

 

figura 11

 

De acuerdo con la ley de reflexión, todos los rayos que llegan a la superficie se reflejan formando un ángulo con respecto a la normal igual al ángulo de incidencia. Puesto que la superficie es plana, la normal apunta en la misma dirección para todos los puntos de la superficie, y la reflexión es especular. Después de que los rayos se reflejan, su dirección es la misma que tendrían si provinieran del punto P'; llamamos al punto P punto objeto, y al punto P', punto imagen; y decimos que la superficie reflectora forma una imagen del punto P. Un observador que sólo pueda ver los rayos reflejados en la superficie, y que no sepa que está viendo un reflejo, piensa que los rayos se originan en el punto imagen P'. Este punto, por tanto, es una manera conveniente para describir la dirección de los diferentes rayos reflejados, del mismo modo el punto objeto P describe las direcciones de los rayos que llegan a la superficie antes de la reflexión.

Si la superficie de la figura 11 no fuera lisa, la reflexión sería difusa, y los rayos reflejados en diferentes partes de la superficie se desplazarían en direcciones no correlacionadas. En este caso no habría un punto imagen P' definido del que pareciera provenir todos los rayos reflejados. Usted no puede ver su reflejo en la superficie de una pieza no pulida de metal, debido a que su superficie es rugosa; al pulir el metal la superficie queda lisa, de modo que se presenta la reflexión especular y la imagen reflejada se hace visible.

También se forma una imagen mediante una superficie plana refractora, como se muestra en la figura 12. Los rayos que salen del punto P se refractan en la interfase entre dos materiales ópticos. Cuando los ángulos de incidencia son pequeños, la dirección final de los rayos después de la refracción es la misma que tendrían si provinieran del punto P', como se muestra, y de nuevo decimos que P' es un punto imagen.

 

figura 12

 

En las figuras 11 y 12 los rayos en realidad no pasan por el punto imagen P'. De hecho, si el espejo de la figura 11 fuera opaco no habría ninguna luz en su lado derecho. Si los rayos provenientes de la superficie en realidad no pasan por el punto imagen, decimos que se trata de una imagen virtual. Cuando los rayos provenientes de la superficie si pasan por el punto imagen, a la imagen resultante se le llama imagen real.

 

Formación de imágenes

Para encontrar la localización precisa de la imagen virtual P' que un espejo plano forma de un objeto P, utilizamos la construcción que se muestra en la figura 13. En esta figura se muestran dos rayos que salen del punto P a una distancia s a la izquierda de un espejo plano. Llamaremos a s distancia objeto. El rayo PV incide normalmente en el espejo (es decir, es perpendicular a la superficie del espejo) y se refleja a lo largo de su trayectoria original.

 

figura 13

 

El rayo PB forma un ángulo con el rayo PV. Incide en el espejo con un ángulo de incidencia y se refleja con un ángulo igual con respecto a la normal. Cuando extendemos hacia atrás los dos rayos reflejados, se cortan en el punto P', a una distancia s' detrás del espejo. Llamamos a s' distancia imagen. La línea que une a P y P' es perpendicular al espejo. Los dos triángulos son congruentes, de modo que P y P' están a la misma distancia del espejo y s y s' tienen igual magnitud. El punto imagen P' se encuentra localizado exactamente en la posición opuesta al punto objeto P, y tan lejos detrás del espejo como el punto objeto lo está enfrente de él.

Podemos repetir la construcción de la figura 13 para cada rayo que diverge de P. La dirección de todos los rayos reflejados es la misma que tendrían si se hubieran originado en el punto P', confirmando que este punto es la imagen de P. Sin importar dónde esté localizado el observador, siempre ve la imagen en el punto P'.

Reglas de signos

Dispongámonos a introducir algunas reglas de signos. Podrían parecer innecesariamente complicadas para el caso sencillo de una imagen formada por un espejo plano, pero deseamos establecer las reglas de forma que sean aplicables a todas las situaciones. Éstas son las reglas:

1. Regla para la distancia objeto: Cuando el objeto se encuentra del mismo lado de la superficie reflectora o refractora que la luz que llega, la distancia objeto s es positiva; en cualquier otro caso es negativa.

2. Regla para la distancia imagen: Cuando la imagen está del mismo lado de la superficie reflectora o refractora que la luz que sale, la distancia imagen s' es positiva; en cualquier otro caso es negativa.

3. Regla para el radio de curvatura de una superficie esférica: Cuando el centro de curvatura C está del mismo lado que la luz emergente, el radio de curvatura es positivo; en cualquier otro caso es negativo.

Para un espejo, el lado de donde proviene la luz y hacia donde se refleja es siempre el mismo; por ejemplo, en la figura 11 y 13 se trata del lado izquierdo. Para la superficie refractora de la figura 12, el lado por donde llega la luz y el lado por donde se aleja son diferentes: uno está a la izquierda y el otro a la derecha, respectivamente, de la superficie entre los dos materiales.

 

figura 11

 

figura 12

 

figura 13

 

En la figura 13, la distancia objeto s es positiva debido a que el punto objeto P está del lado por donde llega la luz (el lado izquierdo) a la superficie reflectora. La distancia imagen s' es negativa debido a que el punto imagen P' no se encuentra en el lado por donde se aleja la luz (el lado izquierdo) de la superficie. La distancia objeto s y la distancia imagen s' están relacionadas simplemente por:

Para una superficie reflectora o refractora plana, el radio de curvatura es infinito y no es una cantidad particularmente interesante o útil; en tales casos, en realidad no tenemos necesidad de la tercera regla de los signos. Pero esta regla será de gran importancia cuando estudiemos la formación de imágenes por superficies reflectoras y refractoras curvas.

Imagen de un objeto extendido

Consideremos un objeto extendido de tamaño finito. Por sencillez, a menudo consideramos objetos que sólo poseen una dimensión, como una flecha delgada paralela a la superficie reflectora; un ejemplo es la flecha PQ de la figura 14. La distancia desde la punta hasta la base de una flecha orientada de esta manera se conoce como su altura; en la figura 14 la altura es y. La imagen formada por este objeto extendido es una imagen extendida; a cada punto del objeto le corresponde un punto de la imagen. Se muestran dos de los rayos que salen de Q; todos los rayos que salen de Q parecen divergir de su punto imagen Q' después de la reflexión. La imagen de la flecha es la línea P'Q', cuya altura es y'. Otros puntos del objeto PQ tienen puntos

imagen entre P' y Q'. Los triángulos PQV y P'Q'V son congruentes, de modo que el objeto PQ y la imagen P'Q' tienen el mismo tamaño y la misma orientación, y y = y'.

 

figura 14

 

El cociente de la altura de la imagen entre la altura del objeto, y'/y, en cualquier situación de formación de imágenes se conoce como aumento lateral m; esto es:

Por consiguiente, para un espejo plano el aumento lateral m es la unidad. Cuando usted se mira en un espejo plano, su imagen tiene el mismo tamaño que usted.

En la figura 14, la flecha imagen apunta en la misma dirección que la flecha objeto; decimos que la imagen está derecha. En este caso, y y y' tienen el mismo signo, y el aumento lateral m es positivo. La imagen formada por un espejo plano siempre está derecha, de modo que y y y' tienen la misma magnitud y el mismo signo; por la ecuación anterior, el aumento lateral de un espejo plano siempre es m = +1. Cuando la imagen está invertida, la flecha imagen apunta en la dirección opuesta a la de la flecha objeto. Para una imagen invertida, y y y' tienen signos opuestos y el aumento lateral m es negativa.

El objeto de la figura 14 tiene sólo una dimensión, su altura y'. En la figura 15 se muestra una imagen virtual tridimensional, formada por un espejo plano, de un objeto tridimensional. Están relacionados de la misma manera que las manos derecha e izquierda.

 

figura 15

 

¿Por qué un espejo plano cambia las imágenes de izquierda a derecha y no de arriba a abajo?

Como se muestra en la figura 15, la imagen hacia abajo P'Q' y la imagen izquierda-derecha P'S' son paralelas a sus objetos y ¡no están cambiadas en absoluto! Solamente la imagen anterior-posterior P'R' está cambiada con respecto a PR. Por tanto, es más correcto decir que el espejo plano invierte de posterior a anterior. Para verificar esta relación objeto-imagen, apunte sus dedos pulgares a lo largo de PR y P'R', los índices a lo largo de PQ y P'Q' y sus dedos del corazón a lo largo de PS y P'S'. Cuando un objeto y su imagen están relacionados de esta manera, decimos que la imagen es la inversa; esto significa que solamente la dimensión anterior-posterior está cambiada.

La imagen inversa de un objeto tridimensional formada por un espejo plano es del mismo tamaño que el objeto en todas sus dimensiones. Cuando las dimensiones transversales de objeto e imagen están en la misma dirección, la imagen está derecha. Por tanto, un espejo plano siempre forma una imagen derecha e inversa.

Una propiedad importante de todas las imágenes formadas por superficies reflectoras o refractoras es que una imagen formada por una superficie óptica o por un dispositivo óptico puede servir como objeto para una segunda superficie o dispositivo. En la figura 16 se muestra un ejemplo; el espejo 1 forma una imagen P1' del punto objeto P, y el espejo 2 forma otra imagen P2'. Pero además, la imagen P1' formada por el espejo 1 sirve como objeto para el espejo 2, que entonces forma una imagen de él en el punto P3'. Del mismo modo, el espejo 1 usa la imagen P2' formada por el espejo 2 como objeto y forma una imagen de ésta. La idea de que una imagen formada por un dispositivo pueda actuar como objeto para otro es de gran importancia en la óptica geométrica.

 

figura 16