esperienze - dipartimento di fisica e astronomia · metodo dei punti coniugati; metodo di bessel;...

Capitolo 8

Esperienze

8.1 Banco ottico

Per effettuare le esperienze di ottica del corso si utilizza il banco ottico schematizzatoin Fig. 8.1.

Figura 8.1:

La rotaia su cui puo scorrere il tutto e costituita da un profilato di alluminio (A) mu-nito di una scala graduata che valuta il mezzo millimetro, cioe con una sensibilita di0.5 mm. Sul suo asse orizzontale, che indicheremo con X, saranno posti con relativaposizione x:

123

124 CAPITOLO 8. ESPERIENZE

• una lampada alogena (B) alimentata con corrente alternata variabile da 6 a 10Volt da cui fuoriesce luce bianca che puo attraversare

– filtri (C) di tipo interferenziale e precisamente: a) un filtro blu centrato suF = 4861A, lunghezza d’onda vicina alla riga F dello spettro di Fraunhofer;b) un filtro giallo centrato su D = 5893A, lunghezza d’onda vicina allariga D dello spettro di Fraunhofer e infine c) un filtro rosso centrato suC = 6563A, lunghezza d’onda vicina alla riga C dello spettro di Fraunhofer,che corrispondono rispettivamente alla riga dell’idrogeno Hβ , alla riga deldoppietto del sodio, e alla riga dell’idrogeno Hα;

– una mascherina (E) ad 1 foro di diametro d = 0.5±0.01 mm per ottenere unasorgente di luce puntiforme e una mascherina a 2 fori con lo stesso diametrod distanti 4± 0.01 mm per ottenere una sorgente estesa, entrambe da porresul braccio della lanterna e poste in un porta mascherine (D);

• un cavaliere posizionatore (I) da far combaciare tramite due perni metallici dainfilarsi negli appositi fori del cavaliere. La posizione della mascherina verra lettaa destra della molla del posizionatore;

• due cavalieri portalenti, uno fisso (F) e l’altro (G) dotato di movimento micro-metrico lungo l’asse X;

• alla loro destra si avviterano con un nonio circolare di sensibilita 0.01 mm leghiere portalenti ove sono poste le lenti che saranno utilizzate di volta in voltanelle esperienze;

• due tipi di diaframmi, uno indicato con D4, a 4 fori di 0.50±0.01 mm di diametro,2 parassiali a distanza R1 = 2.50±0.01 mm dal centro e 2 marginali alla distanzaR = 14.00±0.01 mm sempre dal centro. L’altro indicato con D1 e avente un forocentrale di diametro d = 10.00 ± 0.01 mm;

• un cavaliere portaschermo (M) con movimento lungo gli assi X e Y, cioe ortogo-nalmente all’asse ottico per spostamenti perpendicolari al piano della rotaia;

• un alimentatore della lampada con regolazione d’intensita.

8.1.1 Cavalieri portalenti

Ogni banco ha in dotazione due cavalieri portalenti di tipo diverso, uno fisso e l’altrodotato di movimento micrometrico lungo l’asse X, come si puo vedere in Fig. 8.2.All’altezza dell’asse ottico c’e un foro filettato dove e possibile avvitare sia i diaframmi,a sinistra, che, a destra, le ghiere portalenti, che una volta posizionate avranno il lorospigolo sinistro, cioe la battuta, in corrispondenza della faccia destra del portalentestesso. Nel caso del portalente fisso la tacca che indica la lettura sulla scala graduata

8.1. BANCO OTTICO 125

del banco passera per il piano fisso indicato dalla freccia che attraversera il centro dellalente; per quanto riguarda il cavaliere mobile a movimento micrometrico, una voltaazzerato il micrometro dopo aver avvitato la ghiera, bisognera fare avanzare lo stessomicrometro del valore indicato su di esso e aggiungerci il valore dr

2 della lente utilizzata.

Figura 8.2:

8.1.2 Cavaliere portaschermo

Tale cavaliere fissera uno schermo traslucido costituito da un vetro smerigliato su cuie tracciato un reticolo con passo di 10 mm × 10 mm. La lettura della posizione delloschermo rispetto alla scala graduata del banco viene effettuata sempre sul filo destrodell’indice (Fig. 8.3).


Figura 8.3:

8.1.3 Lenti e diaframmi

In Fig. 8.4 sono riportate le lenti usate nelle esperienze in laboratorio; la seconda dasinistra e la lente convergente, la terza, sempre da sinistra e quella divergente, mentrela prima a destra e il doppietto acromatico utilizzato come lente collimatrice. Sottosono disegnati i due tipi di mascherina, a un foro per creare una sorgente puntiformee a due fori per avere una sorgente estesa, e i due diaframmi che saranno usati, quellocon un foro centrale D1 e il diaframma D4 a 4 fori per selezionare raggi parassiali emarginali.

Il vetro di cui sono costituite le lenti (BK7) ha indice di rifrazione:

n(λC) = 1.5143, n(λF ) = 1.5224, n(λD) = 1.5168

In Fig. 8.5 sono riportate le caratteristiche geometriche delle lenti con i valori di V V ′

e dr che competono ad esse.

8.1. BANCO OTTICO 127

Figura 8.4:


Figura 8.5:

8.2. MISURA DELLA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE SOTTILE 129

8.2 Misura della focale di una lente convergente sottile

Dotazione: banco ottico e lente convergente.Scopo dell’esperienza: determinazione della lunghezza focale f di una lente convergentebiconvessa simmetrica.

Generalmente si possono utilizzare per la misura diversi metodi:

• metodo della collimazione;

• metodo dei punti coniugati;

• metodo di Bessel;

• variante di Silbermann.

8.2.1 Metodo della collimazione

Consideriamo una lente convergente e immaginiamo di porre una sorgente di luce asinistra della lente e molto lontano da essa, tanto da poterla considerare all’infinito.Dalla teoria sappiamo che tale lente concentrera un fascio di raggi paralleli al suo asseottico in un punto detto fuoco secondario (F2), che si trova a destra della lente stessa.La distanza tra F2 ed il vertice della lente dalla parte del fuoco e detta distanza focale.Ma la lente e dotata di due fuochi, per cui se adesso poniamo una sorgente luminosapuntiforme nel fuoco primario (F1) essa genera un fascio di raggi omocentrico che vie-ne collimato dalla lente convergente in un fascio di raggi paralleli all’asse ottico, cheemerge a destra della lente.

In generale le due distanze focali sono diverse ma per una lente simmetrica, come nelnostro caso, esse coincidono e nel limite di spessore nullo della lente sono uguali allalunghezza focale della lente, che e quella per cui vale l’equazione dei punti coniugati.Tali ipotesi sono verificate per tutte le lenti che si trovano in laboratorio. Dunque, sesi pone la lente a una distanza dalla sorgente puntiforme tale che il fascio emergentesia collimato, quella distanza e proprio la lunghezza focale della lente.

In pratica, si tratta di avvitare la lente nell’apposito supporto, cioe a destra del cavaliereportalenti con micrometro e provvedere a centrarla in modo che il centro della lente cadaesattamente in corrispondenza della tacca bianca del supporto, tacca a cui ci si riferisceper le letture sulla scala graduata. Per il centraggio si regola la vite micrometricadel supporto nella posizione di azzeramento indicata sul supporto stesso (∆micrometro),cui si aggiunge il semispessore minimo della lente dr

2 . Si inserisce poi la mascherinapuntiforme nel braccio della lanterna e si pone la lente a diverse distanze p dalla sorgente(cioe la mascherina), fino a trovare la distanza alla quale il fascio emergente e ben


collimato. L’errore su p e dato dalla somma dell’errore di sensibilita sulla posizionedella sorgente e dell’errore di sensibilita sulla posizione della lente. Per controllare lacollimazione del fascio si fa scorrere lo schermo lungo la rotaia, controllando che lamacchia luminosa che si forma su di esso mantenga sempre lo stesso diametro. Lacollimazione appare buona non per un unico valore di p, ma per un certo intervallo divalori di p. E possibile determinare il massimo e il minimo valore corretto di p, perottenere una stima di f e di ∆f .Questo metodo e relativamente poco accurato, ma permette di ottenere rapidamenteuna stima della distanza focale della lente convergente.

8.2.2 Metodo dei punti coniugati

Questo metodo sfrutta l’equazione dei punti coniugati:

1p

+1q

=1f

Riscriviamo questa equazione esplicitando f e calcoliamo l’errore massimo associato∆f utilizzando la propagazione degli errori:

f =pq

p+ q

∆f =∣∣∣∣∂f∂p

∣∣∣∣∆p+∣∣∣∣∂f∂q

∣∣∣∣∆q∆f =

q2

(p+ q)2∆p+

p2

(p+ q)2∆q

Si utilizza la mascherina per la sorgente puntiforme e si applica il diaframma D4 permettersi nella condizione di raggi parassiali (Fig. 8.6).

Operativamente, si posiziona la lente a una distanza pk con k = 1, 2, ..., 10, dalla sor-gente puntiforme. L’errore associato ∆pk sara dato dalla combinazione dell’errore disensibilita della scala graduata agli estremi del segmento pk. Si porta lo schermo vicinoalla lente e si comincia ad allontanarlo, finche i due punti-immagine diventano unosolo. Si misura la posizione sulla scala graduata indicando questo valore come qk,min.A causa della profondita di campo, esistera un qk,max oltre il quale il punto si sfuoca dinuovo in due punti. Tra qk,min e qk,max l’immagine della sorgente puntiforme e ancorapuntiforme. Si calcola il valore medio fra qk,min e qk,max e si prende quello come valoredi qk corrispondente al valore di pk.


Figura 8.6:

Conviene ripetere questa misura 10 volte, in modo da avere:

qkj =qkj,max + qkj,min

2j = 1, 2, ..., 10

qk =

10∑j=1

qkj

10σqk

=

√√√√√√10∑

j=1

(qkj − qk)2

9

A causa dell’effetto combinato di profondita di campo e errore di misura, e consigliabileutilizzare gli errori massimi, per cui ∆qk = 3σqk

.

Per ogni valore di k si calcola il corrispondente valore della lunghezza focale e del suoerrore fk ± ∆fk. Infine si calcola la media pesata dei valori ottenuti per ricavare lalunghezza focale della lente:

f =

10∑k=1

wkfk

10∑k=1

wk

σf =1√√√√ 10∑

k=1

wk

wk =(

1σfk

)2

Si tenga conto che ∆f = 3σf e ∆fk = 3σfk.


8.2.3 Metodo di Bessel

Il metodo di Bessel si basa sulla constatazione che partendo dalla legge dei punti co-niugati e tenendo fissa la distanza fra sorgente e schermo su cui si forma l’immagine, sihanno due possibili posizioni della lente che consentono di mettere a fuoco l’immagine.Queste due posizioni saranno simmetriche rispetto al centro della distanza sorgente-schermo.

Figura 8.7:

Come si vede dalla figura (Fig. 8.7), p1 = q2 e p2 = q1. Chiamiamo l la distanzasorgente-schermo e s la distanza fra le due posizioni della lente per cui si ha un’imma-gine a fuoco sullo schermo.

f =pq

p+ qq = l − p

f =p(l − p)p+ l − p

=pl − p2

l

p2 − pl + fl = 0 ⇒ p1,2 =l ±√l2 − 4lf2

Se l = 4f si ha p1 = p2 = q1 = q2, cioe la lente e posizionata a meta della distanza


sorgente-schermo.

Se l > 4f , si ha p1 6= p2:

p1 =l

2− s

2q1 = l − p1 = l − l

2+s

2=l

2+s

2

f =p1q1p1 + q1

=

(l2 − s

2

) (l2 + s

2

)l2 − s

2 + l2 + s

2

=l2 − s2

4l

Quindi e possibile esprimere la lunghezza focale della lente in termini della distanzasorgente-schermo e della distanza fra le posizioni della lente per cui si ha un’immaginea fuoco.Operativamente, si fissa lo schermo a una distanza l1 maggiore di 4f , si determinanole due posizioni p1,1 e p2,1, si calcola s1 = |p2,1 − p1,1|, si ripete questa operazione perun numero di volte N=10, in modo da avere s1 ± σs1 . Si ripete l’operazione ponendolo schermo a una distanza l2 > l1 fino a l10. Dalla propagazione degli errori, l’erroremassimo su l sara ∆l = 2∆x, con ∆x errore di sensibilita della scala graduata. Comeper il metodo precedente si procede al calcolo della media pesata delle lunghezze focalie relativo errore, ottenendo f ± ∆f .

8.2.4 Variante di Silbermann

Questo metodo e una variante del metodo di Bessel ed e basato sull’utilizzo dellasoluzione l = 4f , che implica lente posizionata a meta distanza sorgente-schermo, maimplica anche ingrandimento m = 1. Quindi si procede per approssimazioni successive,utilizzando come sorgente quella estesa, ponendo lo schermo a una distanza l > 4f ,la lente a meta percorso, e misurando la dimensione dell’immagine. Si sposta poi loschermo e di conseguenza la lente fino a misurare ingrandimento pari a 1.


8.3 Misura della focale di una lente divergente sottile

Scopo di questa seconda esperienza e la determinazione della lunghezza focale f di unalente divergente biconcava simmetrica per cui vale:

1f

= (n− 1)(

1r1

− 1r2

)dove n e l’indice di rifrazione del vetro e r1 (< 0), r2 (> 0) sono i raggi di curvaturadelle superfici della lente, per cui risulta f < 0. Una lente divergente fa divergere unfascio di raggi paralleli al suo asse ottico principale in modo che i prolungamenti deiraggi si incontrino nel punto focale F1, cioe in modo che i raggi emergenti, provenganovirtualmente da F1, che si dice punto focale immagine. F1 e appunto un fuoco virtuale,in quanto l’immagine del punto all’infinito che la lente divergente forma in F1 non ereale ma virtuale. I raggi che incidono sulla lente divergente convergendo verso il puntoF2 vengono deviati dalla lente in un fascio di raggi paralleli al suo asse ottico principale.F2 si dice punto focale oggetto e anch’esso e un fuoco virtuale, in quanto la sorgentepuntiforme posta in F2 che produce, attraverso la lente divergente, un’immagine all’in-finito non e un oggetto reale ma virtuale. Per una lente simmetrica F1 ed F2 si trovanoalla stessa distanza dalla lente. Tale distanza, presa col segno negativo, e la focale dellalente divergente.

Per determinare la focale di una lente divergente si possono usare 3 metodi:

• il metodo della divergenza di un fascio collimato

• il metodo dei minimi quadrati

• il metodo dei punti coniugati

In questa esperienza useremo i primi due.

8.3.1 Metodo della divergenza di un fascio collimato

Consideriamo un fascio collimato, avente sezione circolare di diametro d, che incidesulla lente divergente parallelamente al suo asse ottico principale. La lente devia i raggidel fascio cosicche su uno schermo posto a distanza h dalla lente si forma una chiazzacircolare di diametro k (Fig. 8.8).In base alla proprieta di similitudine di due triangoli rettangoli ottenuti attraverso pro-lungamento all’indietro dei raggi divergenti verso il fuoco F1, si dimostra che vale larelazione:

8.3. MISURA DELLA FOCALE DI UNA LENTE DIVERGENTE SOTTILE 135

f =d · hk − d

Conoscendo d e h, dalla misura di k si risale alla focale f .

Figura 8.8:

In pratica:

1) si inserisce la lente nell’apposito supporto e si provvede a centrarla in modoche il centro della lente cada esattamente in corrispondenza della tacca biancadel supporto. Per il centraggio si regola, esattamente come e stato fatto nellaprima esperienza, la vite micrometrica del supporto nella posizione di azzeramentoindicata sul supporto stesso (∆micrometro), cui si aggiunge il semispessore massimodella lente dr

2

2) si inserisce la mascherina puntiforme sul braccio della lanterna e si pone il doppiet-to acromatico fra la sorgente e la lente divergente, ad una distanza dalla sorgentestessa pari alla sua lungherzza focale, fd = 81.83 ± 0.81 mm, usando l’appositasbarretta calibratrice. Il doppietto agisce allora come collimatore, fornendo unfascio di raggi paralleli all’asse ottico

3) si inserisce il diaframma con un foro circolare davanti alla lente divergente per la-vorare solo con i raggi parassiali e ridurre quindi l’aberrazione sferica. Il diametrodel fascio incidente viene allora a coincidere (a meno di difetti di parallelismo e


di difetti di circolarita del diaframma) col diametro d del diaframma, che e noto:d = 10.00 ± 0.01 mm

4) si pone poi il filtro giallo davanti alla lampada per ridurre l’aberrazione cromatica

5) si pone la lente divergente a una distanza dal doppietto opportunamente piccola,dell’ordine di 10 cm, in modo da ridurre difetti di parallelismo del fascio collimatostesso

6) si pone lo schermo ad una certa distanza h dalla lente e si misura il diametro kdello chiazza luminosa che si forma sullo schermo, usando il micrometro per glispostamenti laterali ed il reticolo tracciato sullo schermo.

Per ogni valore hi, con i = 1, ..., 10, si effettuano 10 misure ripetute kij , con j = 1, ..., 10.Si calcola il valore medio e lo scarto quadratico medio di ogni ki, l’errore massimo as-sociato sara ∆ki = 3σki

. L’errore massimo ∆h sara dato dal doppio dell’errore disensibilita dell’asta millimetrata e sara uguale per ogni hi.Si calcolano poi fi e ∆fi:

fi =d · hi

ki − d

∆fi =∣∣∣∣∂fi

∂hi

∣∣∣∣∆hi +∣∣∣∣∂fi

∂d

∣∣∣∣∆d+∣∣∣∣∂fi

∂ki

∣∣∣∣∆ki =d

ki − d∆h+

hiki

(ki − d)2∆d+

hid

(ki − d)2∆ki

Si faccia attenzione di scegliere i valori hi in modo che sia sempre verificato ki(hi) > 2d,cosı da evitare che la propagazione dell’errore sulla misura (indiretta) di fi sia troppoelevato. Infatti se ki

∼= d, l’errore su fi diverge molto rapidamente.

Si converte ∆fi in σfiusando la solita formula ∆fi = 3σfi

. Si calcola infine la mediapesata dei dieci valori della lunghezza focale e il suo errore associato:

f =

10∑i=1

wifi

10∑i=1

wi

σf =1√√√√ 10∑

i=1

wi

wi =(

1σfi

)2

8.4. MISURA DELL’ABERRAZIONE SFERICA DI UNA LENTE CONVERGENTE SOTTILE137

8.3.2 Metodo dei minimi quadrati

Utilizziamo le stesse misure hi e ki ottenute col metodo precedente.Riscriviamo la formula della focale in questo modo:

k =(d

f

)h+ d

Abbiamo quindi una retta di pendenza df e di intercetta d.

Mettiamo i valori (hi, ki) in grafico, con le barre d’errore associate. Utilizziamo il meto-do dei minimi quadrati per ricavare pendenza e intercetta e relativi errori. Riportiamola retta sul grafico e verifichiamo la compatibilita con gli errori delle misure. Infineriportiamo per confronto la retta ottenuta usando il valore noto di d e quello di fcalcolato con il metodo precedente.

8.4 Misura dell’aberrazione sferica di una lente conver-gente sottile

L’equazione dei punti coniugati per una lente sottile:

1p

+1q

=1f

vale solo in approssimazione di raggi parassiali ossia per angoli di apertura ϕ piccoli. Intale approssimazione fissato un punto oggetto p sull’asse ottico, q risulta indipendentedall’angolo di apertura ϕ del raggio considerato e la lente risulta un sistema otticostigmatico. Andando ad approssimazioni di ordine superiore, invece per un dato p, qdipende anche da ϕ, e la lente non e piu un sistema ottico stigmatico. Per p → ∞,cioe con un fascio di raggi incidenti paralleli all’asse ottico, raggi parassiali e marginaliconvergono in fuochi diversi: la distanza focale fm per i raggi marginali e minore diquella per i raggi parassiali fp. La distanza fra i due fuochi Fm e Fp, si dice aberrazionesferica principale longitudinale:

FmFp = fp − fm = l

In approssimazione del terzo ordine, che vuol dire che nell’equazione di Snell i senidegli angoli coinvolti vengono sviluppati secondo la formula di Taylor fino al 3o ordine,l’espressione dell’aberrazione sferica principale longitudinale risulta:

l = ch2

f


dove h e il raggio dell’apertura massima del fascio incidente, f la lunghezza focale dellalente, c il coefficiente di aberrazione sferica principale:

c =4n3 − 4n2 − n+ 2

8n(n− 1)2

Nell’esperienza si usa il filtro giallo, quindi n = n(λD). A causa della diversa conver-genza dei raggi parassiali e marginali, per una una sorgente puntiforme all’infinito, sulpiano focale corrispondente ai raggi parassiali, i raggi marginali non danno un’immagi-ne puntiforme bensı una chiazza di dimensioni finite. Il diametro di tale spot si chiamaaberrazione sferica principale trasversale.

Da considerazioni geometriche tale diametro sara dato da:

t = l ·(

2hf − l

)sostituendo in quest’ultima l’espressione di l si ottiene:

t = 2ch3

f(f − l)

Ricordiamo che f che compare in questa formula, come in quella dell’aberrazione sferi-ca principale longitudinale, e uguale alla focale misurata nella prima esperienza e saramolto maggiore di l, per cui si puo fare la seguente approssimazione:

f(f − l) ∼= f2

Per cui si ottiene una relazione per l’aberrazione sferica trasversale principale indipen-dente da l:

t = 2ch3

f2

Scopo dell’esperienza e la misura dell’aberrazione sferica principale longitudinale l etrasversale t della lente convergente, e ricavare da queste misure il coefficiente di aber-razione sferica c ottenuto tramite la misura longitudinale (cl) e trasversale (ct). Dalconfronto si dovra verificare che sono uguali entro gli errori di misura al valore teoricodella costante di aberrazione sferica principale c.

In pratica:

8.4. MISURA DELL’ABERRAZIONE SFERICA DI UNA LENTE CONVERGENTE SOTTILE139

Figura 8.9:

• si avvita la lente nell’apposito cavaliere e la si centra, come per le esperienzeprecedenti

• si inserisce davanti alla lampada il filtro giallo per ridurre l’aberrazione cromatica

• si inserisce la mascherina puntiforme sul braccio della lanterna, nella solita posi-zione delle altre esperienze

• si pone il doppietto acromatico, avvitato sull’apposito supporto, ad una distanzadalla mascherina (sorgente puntiforme) pari alla sua focale f = 81.83± 0.81 mm;tale distanza si puo determinare con l’apposita sbarretta calibratrice. Il doppiettofunge cosı da collimatore fornendo un fascio di raggi (in buona approssimazione)paralleli all’asse ottico

• si pone il diaframma D4 davanti alla lente, per poter isolare alternativamente iraggi parassiali e quelli marginali

• si chiudono i fori per i raggi parassiali e si trova, spostando lo schermo, il fuocoFm dei raggi marginali; si annota la corrispondente lettura lm del micrometro sunonio circolare per gli spostamenti longitudinali dello schermo

• si chiudono poi i fori per i raggi marginali e si aprono quelli per i parassiali.Spostando lo schermo col micrometro si trova il fuoco dei raggi parassiali Fp; sialp il valore corrispondente sul nonio. La differenza fra lp e lm sara uguale a l

• lasciando lo schermo su Fp si chiudono i fori per i raggi parassiali e si aprono quelliper i marginali. I raggi marginali, sul piano focale formano due punti luminosidistinti, la cui distanza e t. Si misurano le posizioni ts e td dei due punti sfruttando


il micrometro per gli spostamenti laterali ed il reticolato tracciato sullo schermo.La differenza tra questi due valori sara uguale a t

• si sposta poi di nuovo lo schermo col micrometro per gli spostamenti longitudinalifino a ritrovare il fuoco dei marginali Fm

E cosı via si ripete il procedimento fino ad ottenere 10 determinazioni di lm, lp, ts etd. Poiche ci interessano misure differenziali (l = lp − lm, t = ts − td), non occorredare le posizioni assolute di Fm e Fp (cioe le loro distanze dalla lente fm ed fp), masono sufficienti le letture relative sul micrometro. L’errore delle singole determinazionidi lmi , lpi , tsi , tdi

, con (i = 1, 2, ..., 10) e dato dall’errore di sensibilita dei due micrometri.

Se il fuoco dei raggi parassiali non e ben definito a causa della profondita di campodella lente stessa, opportuno ottenere lpi segnandosi la prima posizione del micrometroappena l’immagine sembra a fuoco (intrafocale) e l’ultima posizione poco prima di sfuo-care (extrafocale) per poi fare la media artimetica, in modo da evitare errori sistematici.

A questo punto per ogni i si calcola li = lpi − lmi , dove lpi e ottenuto come detto pocoprima. E si calcola ti = |tdi

− tsi |. Si calcola poi la media e lo scarto quadratico mediodi queste due quantita ottenendo l ± σl e t± σt.

Dalla teoria sappiamo che:

l = ch2

f

nel nostro caso h, raggio dell’apertura massima del fascio di raggi incidenti, corrispondealla meta della distanza fra i fori per i raggi marginali del diaframma D4, che e nota,cioe h = 14.00 ± 0.01 mm. La distanza focale f ± ∆f della lente convergente e statadeterminata nella prima esperienza. Dalla determinazione di l si puo ricavare indiret-tamente il coefficiente di aberrazione sferica principale:

cl =f · lh2

con errore dato da:

∆cl =∣∣∣∣ fh2

∣∣∣∣∆l + ∣∣∣∣ lh2

∣∣∣∣∆f +∣∣∣∣−2fl

h3

∣∣∣∣∆hdove ∆l = 3σl e ∆t = 3σt.

8.5. MISURA DELL’ABERRAZIONE CROMATICA 141

Sempre dalla teoria sappiamo che:

t = 2ch3

f2

Conoscendo h ed f e misurato t si puo ricavare indirettamente e con un’altra relazione,il coefficiente di aberrazione sferica principale:

ct =t · f2

2h3

con con errore dato da:

∆ct =∣∣∣∣ f2

2h3

∣∣∣∣∆t+∣∣∣∣ tfh3

∣∣∣∣∆f +∣∣∣∣−3tf2

2h4

∣∣∣∣∆hAlla fine si ottengono valori che dovranno essere confrontati tra loro e con il valoreteorico di c: cl ± ∆cl e ct ± ∆ct.

8.5 Misura dell’aberrazione cromatica

Lo scopo di questa esperienza e la determinazione dell’aberrazione cromatica. Dallateoria, sappiamo che l’indice di rifrazione (n) dipende dalla lunghezza d’onda dellaradiazione che attraversa il mezzo. In particolare, per mezzi trasparenti come il vetro,n decresce al crescere della lunghezza d’onda:

dndλ

< 0 (8.1)

Quindi, l’effetto della rifrazione sui raggi incidenti dipende dalla lunghezza d’onda e inparticolare verranno deviati maggiormente i raggi a lunghezza d’onda inferiore, rispettoa quelli a lunghezza d’onda maggiore. Questo e alla base dell’effetto di aberrazionecromatica.I set di filtri che useremo in laboratorio fanno passare la radiazione con lunghezzad’onda centrata a un certo valore e con un intervallo molto stretto (< 50A). I filtrisono:

• filtro blu λF = 4861 A (corrispondente alla riga Hβ dell’idrogeno);

• filtro giallo λD = 5892 A (corrispondente al doppietto del sodio);

• filtro rosso λC = 6563 A (corrispondente alla riga Hα dell’idrogeno).


Definiamo aberrazione cromatica longitudinale (principale) la quantita:

A = fC − fF = f(λC) − f(λF) (8.2)

l’errore associato sara la somma degli errori sulle determinazioni delle due focali:

∆A = ∆fC + ∆fF (8.3)

Definiamo aberrazione cromatica trasversa la quantita:

d =12

fC − fFfD

D =12

A × DfD

(8.4)

l’errore relativo associato sara dato dalla somma degli errori relativi delle diverse quan-tita calcolate. Usiamo gli errori relativi perche d e calcolato come rapporto. D e ladistanza tra i fori della mascherina che viene usata e vale D = 5.00 ± 0.01 mm. Percalcolare le focali si usa il metodo dei punti coniugati:

f =pq

p + q(8.5)

Praticamente i passi da seguire sono i seguenti:

1. avvitare la lente sul cavaliere portalenti con il micrometro, avendo cura di avvi-tarla sul lato destro. Centrare la lente regolando la vite micrometrica del sup-porto nella posizione di azzeramento (segnata sul cavaliere stesso), aggiungendoil semi-spessore della lente (dr/2);

2. inserire la mascherina con la sorgente puntiforme;

3. avvitare al cavaliere portalenti il diaframma con i quattro fori, sul lato sinistro,per lavorare con i raggi parassiali;

4. inserire il filtro rosso;

5. posizionare la lente a distanze pk (con k = 1,2,...10) dalla sorgente. L’errore∆pk sara la somma degli errori di sensibilita della scala graduata agli estremi delsegmento pk. Non posizionare la lente troppo vicina alla sorgente, altrimenti laprofondita di campo viene molto grande;

6. spostare lo schermo in modo da trovare il punto in cui i raggi vanno a fuoco, cioequando i due punti diventano un punto solo. Per ottenere una misura precisa,andra usato il micrometro per determinare la posizione in cui i raggi vanno afuoco. A causa della profondita di campo, i raggi non vanno a fuoco in un solopunto, ma in un intervallo. Determinare qmin

kj e qmaxkj per 5 volte per ogni posizione

della lente, sfuocando e ritrovando il fuoco ogni volta;

8.5. MISURA DELL’ABERRAZIONE CROMATICA 143

7. Per ogni posizione della lente, ripetere il procedimento trovando 5 qminkj e qmax

kj nelfiltro rosso, giallo e blu;

8. spostare la lente nella posizione successiva e ripetere la procedura fino a ottenere10 valori di pk e, per ognuno di essi, i corrispondenti 5 qmin

kj e 5 qmaxkj per ogni

filtro.

Alla fine otteremo 10 valori diversi di pk. Per ogni valore di pk, avremo 5 qminkj e 5 qmax

kj

nei tre filtri. Calcoliamo ora la media di qminkj e qmax

kj e avremo:

< qkj >=qmin

kj + qmaxkj

2(8.6)

Poi calcoliamo la media dei < qkj >:

< qk >=

∑5j=1 < qkj >

5(8.7)

e gli scarti quadratici medi: √∑5j=1 (< qkj > − < qk >)2

4(8.8)

Poi calcoliamo l’errore massimo ∆qk = 3σk Calcoliamo ora la focale nei tre filtri el’errore associato, per ogni posizione della lente:

fk =pkqk

pk + qk(8.9)

∆fk =∣∣∣∣ ∂fk∂pk

∣∣∣∣∆pk +∣∣∣∣ ∂fk∂qk

∣∣∣∣∆qk (8.10)

Per ricavare il valore della focale per ogni filtro, calcoliamo la media pesata delle focali:

f =∑10

k=1 wkfk∑10k=1 wk

(8.11)

σk =1√∑10k=1 wk

(8.12)

con

wk =(

1σk

)2

esperienze - dipartimento di fisica e astronomia · metodo dei punti coniugati; metodo di bessel;...

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